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Clase 7 clase semana 4
Titulo
Aplicaciones de las EDO de primer ordenTemperatura La ley de enfriamiento de Newton establece que la rapidez con que un cuerpo se enfrĂa es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y el medio ambiente.Sean đ(đĄ) la temperatura del cuerpo en cualquier instante de tiempo đĄ, đđ la temperatura del medio ambiente y đ0 la temperatura inicial del cuerpo respectivamente.La EDO que modela en este caso el cambio de la temperatura del tiempo viene dada porđđ
đđĄ= đ(đ â đđ), siendo đ una constante de
proporcionalidad.
Titulo
Se observa que debido a que el cuerpo se enfrĂa la constante đ resulta negativa. Para resolver la EDO anterior separamos variables
y llegamos a đđ
đâđđ= đđđĄ, de donde, integrando
tenemos que ln đ â đđ = đđĄ + đ¶1 (siendo đ¶1una constante de integraciĂłn arbitraria).Pero entonces tenemos que đ â đđ = đđ¶1đđđĄ = đ¶đđđĄ â đ đĄ = đđ + đ¶đđđĄ.Esta Ășltima expresiĂłn representa la soluciĂłn general (SG) de la EDO. Debido a que đ0 = đ 0se obtiene que đ¶ = đ0 â đđ y por tanto nuestra soluciĂłn particular (SP) viene dada por đ đĄ = đđ + (đ0 â đđ)đ
đđĄ.
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Se observa que si el cuerpo, en lugar de enfriarse se calienta, sigue siendo vĂĄlida la ley de Newton y se logra tener una descripciĂłn anĂĄloga al caso considerado.Ejemplo SegĂșn la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y el aire. Si la temperatura del medio ambiente (aire) es de 20 â y el cuerpo se enfrĂa en 20 minutos de 100â a 60â Âżen cuĂĄnto tiempo su temperatura descenderĂĄ hasta 30â?Usando la expresiĂłn de la SP obtenida antes y
Titulo
notando que đ0 =100â, đđ= 20â tenemos que la SP en este caso queda escrita en la forma đ đĄ = 20 + 80đđđĄ.Pero el cuerpo llega a 60â en 20 minutos y esto se traduce en que 60 = đ 20 = 20 + 80đ20đ.
AsĂ, đ20đ =1
2â 20đ = đđ
1
2â đ =
1
20đđ
1
2.
Sustituyendo đ en la expresiĂłn de la SP correspondiente nos queda
đ đĄ = 20 + 80đđĄ
20ln(
1
2) = 20 + 80(
1
2)(
đĄ
20).
Titulo
AsĂ, para calcular el tiempo que debe transcurrir para que la temperatura del cuerpo sea de 30â debe ocurrir
30 = đ đĄ = 20 + 80(1
2)(
đĄ
20).
Tenemos que despejar t. Pero entonces nos queda1
8=
1
23=
1
2(đĄ20)
âđĄ
20= 3 â đĄ = 60 đđđ.
Hemos usado la biyectividad de la funciĂłn đŠ = đ„3.
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Crecimiento de poblaciones Para una poblaciĂłn dada la rapidez de crecimiento de la poblaciĂłn es proporcional al nĂșmero de habitantes presentes en cada instante de tiempo t.Sean N(t), đ0 los habitantes presentes en cada instante de tiempo y en t=0 respectivamente. La EDO que modela nuestro problema viene dada
por đđ
đđĄ= đđ, siendo k una constante de
proporcionalidad.
Titulo
Se observa que debido a que N(t) es una funciĂłn creciente el signo de k es positivo. Resolvamos la EDO, que es de variables separables.
Tenemos đđ
đ= đđđĄ. Integrando nos queda
đđđ = đđĄ + đ¶1, de donde la SG viene dada por đ đĄ = đ¶đđđĄ đ¶ = đđ¶1 . Pero usamos la condiciĂłn inicial T(0)=đ0.Se obtiene que C=đ0 y la SP se escribeđ đĄ = đ0đ
đđĄ.Ejemplo Asumiendo que la poblaciĂłn de una ciudad se incrementa a una velocidad proporcional al nĂșmero de habitantes presentes,
Titulo
si la poblaciĂłn se duplica en 40 años, Âżen cuĂĄnto tiempo se triplica?Partiendo de nuestra soluciĂłn particular tenemos que 2đ0 = đ0đ
40đ. De aquĂ tenemos que
đ =1
40đđ2. Sustituyendo este valor de k en
nuestra SP nos queda
đ đĄ = đ0đđĄ
40đđ2 = đ02
đĄ
40.AsĂ, la poblaciĂłn se triplica si ocurre
3đ0 = đ02đĄ
40 â đĄ = 40đđ3
đđ2â 63.4 años.
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DesintegraciĂłn se sustancias radiactivas La rapidez con que se desintegra una sustancia radiactiva es proporcional a la cantidad de sustancia presente.Sean đ đĄ ,đ0 las cantidades se sustancia (sin desintegrar) en los instantes t y t=0 respectivamente.
La EDO viene dada por đđ
đđĄ= đđ.
Separando variables e integrando nos queda la SG đ đĄ = đ¶đđđĄ. Usando que đ 0 = đ0 llegamos a la SPđ đĄ = đ0đ
đđĄ.
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Ejemplo El uranio se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad presente en cada instante. Si en los instantes đ1,đ2 hay đ1,đ2
gramos de uranio respectivamente demostrar que la vida media del uranio viene dada por(đ2âđ1)
ln(đ1đ2
)đđ2.
La vida media del uranio viene dada por el tiempo que tarda el promedio del uranio (đĄđŁđ), en este
caso đ0
2, en desintegrarse (quedando la otra mitad
sin desintegrarse).Sabemos que la SP es đ đĄ = đ0đ
đđĄ.
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Los datos indican que đ1 = đ0 đđđ1,
đ2 = đ0 đđđ2 . Dividiendo ambas ecuaciones nos
queda đ1
đ2= đđ(đ1âđ2). Se sigue que
đđđ1
đ2= đ(đ1 â đ2). Despejando k tenemos
đ =ln(
đ1đ2
)
(đ1âđ2). Sustituyendo este valor de k (y
usando la vida media) en la SP se llega a
đ0
2= đ0(
đ1
đ2)
đĄđŁđ(đ1âđ2).
AsĂ, el tiempo de vida media viene dado por
đĄđŁđ =đ1âđ2 ln(
1
2)
ln(đ1đ2
)=
đ1âđ2 ln 2
ln(đ2đ1
)=
đ2âđ1 ln 2
ln(đ1đ2
).
GRACIAS
Datos Unidad