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primera parte de limites
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Lımites
David J. Coronado1
1Departamento de Formacion General y Ciencias BasicasUniversidad Simon Bolıvar
Matematicas I
D. Coronado Lımites
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Contenido
1 Definicion de LımitesDefinicion IntuitivaDefinicion Formal de LımitesPropiedades de Lımites
2 Calculo de LımitesEjemplos
3 Lımites NotablesLımites notablesEjemplos
4 Mas EjemplosIndeterminaciones del tipo 0/0Lımites de F. Trigonometricas
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1 Definicion de LımitesDefinicion IntuitivaDefinicion Formal de LımitesPropiedades de Lımites
2 Calculo de LımitesEjemplos
3 Lımites NotablesLımites notablesEjemplos
4 Mas EjemplosIndeterminaciones del tipo 0/0Lımites de F. Trigonometricas
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1 Definicion de LımitesDefinicion IntuitivaDefinicion Formal de LımitesPropiedades de Lımites
2 Calculo de LımitesEjemplos
3 Lımites NotablesLımites notablesEjemplos
4 Mas EjemplosIndeterminaciones del tipo 0/0Lımites de F. Trigonometricas
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1 Definicion de LımitesDefinicion IntuitivaDefinicion Formal de LımitesPropiedades de Lımites
2 Calculo de LımitesEjemplos
3 Lımites NotablesLımites notablesEjemplos
4 Mas EjemplosIndeterminaciones del tipo 0/0Lımites de F. Trigonometricas
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DefinicionCalculo de Lımites
Lımites NotablesMas Ejemplos
IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Contenido
1 Definicion de LımitesDefinicion IntuitivaDefinicion Formal de LımitesPropiedades de Lımites
2 Calculo de LımitesEjemplos
3 Lımites NotablesLımites notablesEjemplos
4 Mas EjemplosIndeterminaciones del tipo 0/0Lımites de F. Trigonometricas
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DefinicionCalculo de Lımites
Lımites NotablesMas Ejemplos
IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Definicion Intuitiva de Lımite
x
y
y = f (x)
L
c
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DefinicionCalculo de Lımites
Lımites NotablesMas Ejemplos
IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Definicion Intuitiva de Lımite
x
y
y = f (x)
L
c
Intuitivamente
limx→c
f (x) = L
Es el valor L al se aproxima una funcion fcuando la variable x se acerca a un valorfijo c .
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DefinicionCalculo de Lımites
Lımites NotablesMas Ejemplos
IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Definicion Intuitiva de Lımite
x
y
y = f (x)
L
c
Intuitivamente
El lımite de f (x) cuando x tiende a a es elnumero L, que se escribe
limx→c
f (x) = L
siempre que f (x) esta cercana a L paratoda x lo suficientemente cerca, perodiferente, a a.Si no existe tal numero, decimos que ellımite no existe.
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DefinicionCalculo de Lımites
Lımites NotablesMas Ejemplos
IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Definicion de Lımites
Ejemplo
limx→1
x3 − 1
x − 1= 3
x < 1 f (x)
0.8 2.440.9 2.710.95 2.85240.99 2.97010.995 2.9850250.999 2.994001
x > 1 f (x)
1.2 3.641.1 3.311.05 3.15251.01 3.03011.005 3.0150251.001 3.003001
Note que 1 /∈ Domf .
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Lımites NotablesMas Ejemplos
IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Definicion de Lımites
Ejemplo
limx→1
x3 − 1
x − 1= 3
x < 1 f (x)
0.8 2.440.9 2.710.95 2.85240.99 2.97010.995 2.9850250.999 2.994001
x > 1 f (x)
1.2 3.641.1 3.311.05 3.15251.01 3.03011.005 3.0150251.001 3.003001
Note que 1 /∈ Domf .
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IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Definicion de Lımites
Ejemplo
limx→1
x3 − 1
x − 1= 3
x < 1 f (x)
0.8 2.440.9 2.710.95 2.85240.99 2.97010.995 2.9850250.999 2.994001
x > 1 f (x)
1.2 3.641.1 3.311.05 3.15251.01 3.03011.005 3.0150251.001 3.003001
Note que 1 /∈ Domf .
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Definicion de Lımites
Ejemplo
limx→1
x3 − 1
x − 1= 3
x < 1 f (x)
0.8 2.440.9 2.710.95 2.85240.99 2.97010.995 2.9850250.999 2.994001
x > 1 f (x)
1.2 3.641.1 3.311.05 3.15251.01 3.03011.005 3.0150251.001 3.003001
Note que 1 /∈ Domf .
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Lımites NotablesMas Ejemplos
IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Ejemplo
limx→2
(x + 3) = 5
x f (x)
x < 2...
x f (x)
x > 2... Note que 2 ∈ Domf .
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Ejemplo
limx→2
(x + 3) = 5
x f (x)
x < 2...
x f (x)
x > 2... Note que 2 ∈ Domf .
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Ejemplo
limx→2
(x + 3) = 5
x f (x)
x < 2...
x f (x)
x > 2... Note que 2 ∈ Domf .
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Ejemplo
limx→2
(x + 3) = 5
x f (x)
x < 2...
x f (x)
x > 2... Note que 2 ∈ Domf .
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IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Contenido
1 Definicion de LımitesDefinicion IntuitivaDefinicion Formal de LımitesPropiedades de Lımites
2 Calculo de LımitesEjemplos
3 Lımites NotablesLımites notablesEjemplos
4 Mas EjemplosIndeterminaciones del tipo 0/0Lımites de F. Trigonometricas
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DefinicionCalculo de Lımites
Lımites NotablesMas Ejemplos
IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Definicion de Lımites
x
y
y = f (x)
L
c
Definicion Formal
Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que
0 < |x − c | < δ ⇒ |f (x)− L| < ε
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Lımites NotablesMas Ejemplos
IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Definicion de Lımites
x
y
y = f (x)
L
c
Definicion Formal
Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que
0 < |x − c | < δ ⇒ |f (x)− L| < ε
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DefinicionCalculo de Lımites
Lımites NotablesMas Ejemplos
IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Definicion de Lımites
Ejemplo
Demostrar quelimx→1
(2x + 1) = 3
Solucion:
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IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Definicion de Lımites
Ejemplo
Demostrar quelimx→1
(2x + 1) = 3
Solucion:Primero identificamos:
f (x) = 2x + 1
c = 1
L = 3
Sustituimos en la definicion:Dado ε > 0, debemos encontrar unδ > 0 tal que
0 < |x − 1| < δ ⇒ |2x + 1− 3| < ε
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IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Definicion de Lımites
Ejemplo
Demostrar quelimx→1
(2x + 1) = 3
Solucion:Para encontrar δ, simplificamos |f (x)− L|:
|f (x)− L| = |2x + 1− 3| = |2x − 2|= 2|x − 1|
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IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Definicion de Lımites
Ejemplo
Demostrar quelimx→1
(2x + 1) = 3
Solucion:Quedo |f (x)− L| = 2|x − 1| pero, |x − 1| < δ. Por lo tanto
|f (x)− L| = 2|x − 1| < 2δ = ε
Al tener del lado derecho una expresion sin la variable la igualamosa ε y despejamos δ:
2δ = ε⇒ δ = ε/2
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IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Definicion de Lımites
Ejemplo
Demostrar quelimx→1
(2x + 1) = 3
Solucion:Para concluir el ejercicio, escribimos:
dado ε > 0 si δ < ε/2 se cumple que
0 < |x − 1| < δ ⇒ |2x + 1− 3| < ε
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Lımites NotablesMas Ejemplos
IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Definicion de Lımites
Ejemplo
Demostrar quelimx→1
(x2 − 3x + 1) = −1
Solucion:
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IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Definicion de Lımites
Ejemplo
Demostrar quelimx→1
(x2 − 3x + 1) = −1
Solucion:Identificamos:
f (x) = x2 − 3x + 1
c = 1
L = −1
Escribimos la definicion: Dado ε > 0,debemos hallar δ > 0 tal que
0 < |x−1| < δ ⇒ |x2−3x+1−(−1)| < ε
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IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Definicion de Lımites
Ejemplo
Demostrar quelimx→1
(x2 − 3x + 1) = −1
Solucion:
Simplificamos |f (x)− L|:
|f (x)− L| = |x2 − 3x + 1− (−1)|= |x2 − 3x + 2|= |x − 2||x − 1|
Nos quedo|f (x)−L| = |x−2||x−1|.Tenemos que,|x − 1| < δ, ası que
|f (x)− L| < |x − 2|δ
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Definicion de Lımites
Ejemplo
Demostrar quelimx→1
(x2 − 3x + 1) = −1
Solucion:Falta eliminar |x−2|. Para ello, le damos a δ cualquier valor positivo
y acotamos: si δ = 1 nos queda:
|x − 1| < 1 ⇒ −1 < x − 1 < 1
⇒ 0 < x < 2
⇒ −2 < x − 2 < 0
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Lımites NotablesMas Ejemplos
IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Definicion de Lımites
Ejemplo
Demostrar quelimx→1
(x2 − 3x + 1) = −1
Solucion:De donde podemos concluir que
−2 < x − 2 < 2⇒ |x − 2| < 2
Sustituyendo:
|f (x)− L| < |x − 2|δ ⇒ |f (x)− L| < 2δ = ε
⇒ δ = ε/2
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IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Definicion de Lımites
Ejemplo
Demostrar quelimx→1
(x2 − 3x + 1) = −1
Solucion:Ası concluımos:
dado ε > 0 si δ < min{1, ε/2} se cumple que:
0 < |x − 1| < δ ⇒ |x2 − 3x + 1− (−1)| < ε
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IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Ejemplos: Lımites que no existen
x
y
y = f (x)
x = −2
321
limx→−2
f (x) NO existe
x
y
y = 1/x2
limx→0
1
x2NO existe
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Lımites NotablesMas Ejemplos
IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Ejemplos: Lımites que no existen
x
y
y = f (x)
x = −2
321
limx→−2
f (x) NO existe
x
y
y = 1/x2
limx→0
1
x2NO existe
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Contenido
1 Definicion de LımitesDefinicion IntuitivaDefinicion Formal de LımitesPropiedades de Lımites
2 Calculo de LımitesEjemplos
3 Lımites NotablesLımites notablesEjemplos
4 Mas EjemplosIndeterminaciones del tipo 0/0Lımites de F. Trigonometricas
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IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Propiedades de Limites
Teorema (Propiedades)
1 Si f (x) = c , c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c .
2 limx→a
xn = an, ∀n ∈ Z+.
Si limx→a f (x) = L y limx→a g(x) = M. Entonces
3 limx→a(f (x)± g(x)) = L + M.
4 limx→a(f (x) · g(x)) = L ·M.
5 limx→a(c · f (x)) = c · L, c ∈ R.
6 limx→af (x)g(x) = L
M ,M 6= 0.
7 limx→an√
f (x) = n√
L, si n es par, L debe ser positivo.
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IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Propiedades de Limites
Teorema (Propiedades)
1 Si f (x) = c , c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c .
2 limx→a
xn = an, ∀n ∈ Z+.
Si limx→a f (x) = L y limx→a g(x) = M. Entonces
3 limx→a(f (x)± g(x)) = L + M.
4 limx→a(f (x) · g(x)) = L ·M.
5 limx→a(c · f (x)) = c · L, c ∈ R.
6 limx→af (x)g(x) = L
M ,M 6= 0.
7 limx→an√
f (x) = n√
L, si n es par, L debe ser positivo.
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IntuitivaFormalPropiedades de Lımites
Propiedades de Limites
Teorema (Propiedades)
1 Si f (x) = c , c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c .
2 limx→a
xn = an, ∀n ∈ Z+.
Si limx→a f (x) = L y limx→a g(x) = M. Entonces
3 limx→a(f (x)± g(x)) = L + M.
4 limx→a(f (x) · g(x)) = L ·M.
5 limx→a(c · f (x)) = c · L, c ∈ R.
6 limx→af (x)g(x) = L
M ,M 6= 0.
7 limx→an√
f (x) = n√
L, si n es par, L debe ser positivo.
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Propiedades de Limites
Teorema (Propiedades)
1 Si f (x) = c , c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c .
2 limx→a
xn = an, ∀n ∈ Z+.
Si limx→a f (x) = L y limx→a g(x) = M. Entonces
3 limx→a(f (x)± g(x)) = L + M.
4 limx→a(f (x) · g(x)) = L ·M.
5 limx→a(c · f (x)) = c · L, c ∈ R.
6 limx→af (x)g(x) = L
M ,M 6= 0.
7 limx→an√
f (x) = n√
L, si n es par, L debe ser positivo.
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Propiedades de Limites
Teorema (Propiedades)
1 Si f (x) = c , c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c .
2 limx→a
xn = an, ∀n ∈ Z+.
Si limx→a f (x) = L y limx→a g(x) = M. Entonces
3 limx→a(f (x)± g(x)) = L + M.
4 limx→a(f (x) · g(x)) = L ·M.
5 limx→a(c · f (x)) = c · L, c ∈ R.
6 limx→af (x)g(x) = L
M ,M 6= 0.
7 limx→an√
f (x) = n√
L, si n es par, L debe ser positivo.
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Propiedades de Limites
Teorema (Propiedades)
1 Si f (x) = c , c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c .
2 limx→a
xn = an, ∀n ∈ Z+.
Si limx→a f (x) = L y limx→a g(x) = M. Entonces
3 limx→a(f (x)± g(x)) = L + M.
4 limx→a(f (x) · g(x)) = L ·M.
5 limx→a(c · f (x)) = c · L, c ∈ R.
6 limx→af (x)g(x) = L
M ,M 6= 0.
7 limx→an√
f (x) = n√
L, si n es par, L debe ser positivo.
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Propiedades de Limites
Teorema (Propiedades)
1 Si f (x) = c , c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c .
2 limx→a
xn = an, ∀n ∈ Z+.
Si limx→a f (x) = L y limx→a g(x) = M. Entonces
3 limx→a(f (x)± g(x)) = L + M.
4 limx→a(f (x) · g(x)) = L ·M.
5 limx→a(c · f (x)) = c · L, c ∈ R.
6 limx→af (x)g(x) = L
M ,M 6= 0.
7 limx→an√
f (x) = n√
L, si n es par, L debe ser positivo.
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Propiedades de Limites
Teorema (Propiedades)
1 Si f (x) = c , c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c .
2 limx→a
xn = an, ∀n ∈ Z+.
Si limx→a f (x) = L y limx→a g(x) = M. Entonces
3 limx→a(f (x)± g(x)) = L + M.
4 limx→a(f (x) · g(x)) = L ·M.
5 limx→a(c · f (x)) = c · L, c ∈ R.
6 limx→af (x)g(x) = L
M ,M 6= 0.
7 limx→an√
f (x) = n√
L, si n es par, L debe ser positivo.
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Propiedades de Lımites
Teorema (Polinomios)
Si f es una funcion polinomial. Entonces
limx→a
f (x) = f (a).
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Ejemplos
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1 Definicion de LımitesDefinicion IntuitivaDefinicion Formal de LımitesPropiedades de Lımites
2 Calculo de LımitesEjemplos
3 Lımites NotablesLımites notablesEjemplos
4 Mas EjemplosIndeterminaciones del tipo 0/0Lımites de F. Trigonometricas
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Ejemplos
Ejemplos
Ejemplo
Calcular el lımite: limx→2
7.
Solucion: limx→2
7 = 7
Ejemplo
Calcular el lımite limx→6
x2.
Solucion:
limx→6
x2 = 62
= 36
Ejemplo
Calcular el lımite limx→2
(x2 + x).
Solucion:
limx→2
(x2 + x) = (22 + 2)
= 6
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Ejemplos
Ejemplos
Ejemplo
Calcular el lımite: limx→2
7.
Solucion: limx→2
7 = 7
Ejemplo
Calcular el lımite limx→6
x2.
Solucion:
limx→6
x2 = 62
= 36
Ejemplo
Calcular el lımite limx→2
(x2 + x).
Solucion:
limx→2
(x2 + x) = (22 + 2)
= 6
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Ejemplos
Ejemplos
Ejemplo
Calcular el lımite: limx→2
7.
Solucion: limx→2
7 = 7
Ejemplo
Calcular el lımite limx→6
x2.
Solucion:
limx→6
x2 = 62
= 36
Ejemplo
Calcular el lımite limx→2
(x2 + x).
Solucion:
limx→2
(x2 + x) = (22 + 2)
= 6
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Ejemplos
Ejemplos
Ejemplo
Calcular el lımite: limx→2
7.
Solucion: limx→2
7 = 7
Ejemplo
Calcular el lımite limx→6
x2.
Solucion:
limx→6
x2 = 62
= 36
Ejemplo
Calcular el lımite limx→2
(x2 + x).
Solucion:
limx→2
(x2 + x) = (22 + 2)
= 6
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Ejemplos
Ejemplos
Ejemplo
Calcular el lımite: limx→2
7.
Solucion: limx→2
7 = 7
Ejemplo
Calcular el lımite limx→6
x2.
Solucion:
limx→6
x2 = 62
= 36
Ejemplo
Calcular el lımite limx→2
(x2 + x).
Solucion:
limx→2
(x2 + x) = (22 + 2)
= 6
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Lımites NotablesMas Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplo
Calcular el lımite: limx→2
7.
Solucion: limx→2
7 = 7
Ejemplo
Calcular el lımite limx→6
x2.
Solucion:
limx→6
x2 = 62
= 36
Ejemplo
Calcular el lımite limx→2
(x2 + x).
Solucion:
limx→2
(x2 + x) = (22 + 2)
= 6
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Lımites NotablesMas Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplo
Calcular el lımite limq→−1
(q3 − q + 1).
Solucion:
limq→−1
(q3 − q + 1) = (−1)3 − (−1) + 1
= 1
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Lımites NotablesMas Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplo
Calcular el lımite limq→−1
(q3 − q + 1).
Solucion:
limq→−1
(q3 − q + 1) = (−1)3 − (−1) + 1
= 1
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Lımites NotablesMas Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplo
Calcular el lımite: limx→2
[(x + 1)(x − 3)].
Solucion:
limx→2
[(x + 1)(x − 3)] = [(2 + 1)(2− 3)]
= (3)(−1)
= −3
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Calcular el lımite: limx→2
[(x + 1)(x − 3)].
Solucion:
limx→2
[(x + 1)(x − 3)] = [(2 + 1)(2− 3)]
= (3)(−1)
= −3
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Calcular el lımite limx→−3
(x3 + 4x2 − 7).
Solucion:
limx→−3
(x3 + 4x2 − 7) = (−3)3 + 4(−3)2 − 7
= 2
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Calcular el lımite limx→−3
(x3 + 4x2 − 7).
Solucion:
limx→−3
(x3 + 4x2 − 7) = (−3)3 + 4(−3)2 − 7
= 2
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Calcular el lımite: limx→1
2x2 + x − 3
x3 + 4.
Solucion:
limx→1
2x2 + x − 3
x3 + 4=
2(1)2 + (1)− 3
(1)3 + 4
=0
5= 0
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Calcular el lımite: limx→1
2x2 + x − 3
x3 + 4.
Solucion:
limx→1
2x2 + x − 3
x3 + 4=
2(1)2 + (1)− 3
(1)3 + 4
=0
5= 0
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Calcular el lımite limx→3
3√
x2 + 7.
Solucion:
limx→3
3√
x2 + 7 =3√
32 + 7
= 23√
2
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Calcular el lımite limx→3
3√
x2 + 7.
Solucion:
limx→3
3√
x2 + 7 =3√
32 + 7
= 23√
2
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Calcular el lımite limx→−1
x2 − 1
x + 1.
Solucion:
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Ejemplo
Calcular el lımite limx→−1
x2 − 1
x + 1.
Solucion:Evaluando en x = −1
limx→−1
x2 − 1
x + 1=
(−1)2 − 1
(−1) + 1
=0
0
Lo cual es una indeterminacion.
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Ejemplo
Calcular el lımite limx→−1
x2 − 1
x + 1.
Solucion:Para romper una indeterminacion 0
0 debemos factorizar y simplificar:
limx→−1
x2 − 1
x + 1= lim
x→−1
����(x + 1)(x − 1)
���x + 1rompemos la indet
= limx→−1
(x − 1) ahora, evaluamos
= (−1)− 1
= −2
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Calcular el lımite limx→1
x3 − 1
x − 1.
Solucion:
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Ejemplo
Calcular el lımite limx→1
x3 − 1
x − 1.
Solucion:Evaluando en x = 1
limx→1
x3 − 1
x − 1=
(1)3 − 1
(1)− 1
=0
0
Nuevamente, indeterminado.
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Calcular el lımite limx→1
x3 − 1
x − 1.
Solucion:Para romper una indeterminacion 0
0 debemos factorizar y simplificar:Para ello debemos recordar la formula para factorizar la diferenciade cubos:
a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)
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Ejemplo
Calcular el lımite limx→1
x3 − 1
x − 1.
Solucion:Ahora factorizamos: a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)
limx→1
x3 − 1
x − 1= lim
x→1
����(x − 1)(x2 + x + 1)
���x − 1rompemos la indet
= limx→1
(x2 + x + 1) evaluamos
= 12 + 1 + 1
= 3
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1 Definicion de LımitesDefinicion IntuitivaDefinicion Formal de LımitesPropiedades de Lımites
2 Calculo de LımitesEjemplos
3 Lımites NotablesLımites notablesEjemplos
4 Mas EjemplosIndeterminaciones del tipo 0/0Lımites de F. Trigonometricas
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Lımites Notables
Teorema
1 limx→0
senx
x= 1
2 limx→0
1− cos x
x= 0
3 limx→0
1− cos x
x2=
1
2
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Lımites Notables
Teorema
Lımites notables que involucran la funcion exponencial
1 limx→0
(1 + x)1x = e
2 limx→0
ex − 1
x= 1
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4 Mas EjemplosIndeterminaciones del tipo 0/0Lımites de F. Trigonometricas
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Evaluar el lımite limx→0
sen2x
x.
Solucion:
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Ejemplo
Evaluar el lımite limx→0
sen2x
x.
Solucion:Evaluando en x = 0
limx→0
sen2x
x=
sen0
0
=0
0
Indeterminado.
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Ejemplo
Evaluar el lımite limx→0
sen2x
x.
Solucion:Esta vez, no podemos factorizar.Para romper una indeterminacion tratamos de que aparezca el lımite
notable limx→0
senx
x= 1:
Para ello debemos lo que hacemos es multiplicar y dividir la expresionpor 2:
sen2x
x=
2
2
senx
x= 2
sen2x
2x
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Ejemplo
Evaluar el lımite limx→0
sen2x
x.
Solucion:Ası nos queda:
limx→0
sen2x
x= 2 lim
x→0
sen2x
2xhaciendo(y = 2x)
= 2 limy→0
seny
y= 2 · 1= 2
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4 Mas EjemplosIndeterminaciones del tipo 0/0Lımites de F. Trigonometricas
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Evaluar el lımite limx→3
x − 3
x2 − 9.
Solucion:
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Evaluar el lımite limx→3
x − 3
x2 − 9.
Solucion:Evaluando en x = 3
limx→3
x − 3
x2 − 9=
3− 3
32 − 9
=0
0
Indeterminado.
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Ind 0/0Trigonometricos
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Ejemplo
Evaluar el lımite limx→3
x − 3
x2 − 9.
Solucion:Factorizando
limx→3
x − 3
x2 − 9= lim
x→3
���x − 3
����(x − 3)(x + 3)
= limx→3
1
x + 3
=1
6
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Evaluar el lımite limx→4
x2 − 9x + 20
x2 − 3x − 4.
Solucion:
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Evaluar el lımite limx→4
x2 − 9x + 20
x2 − 3x − 4.
Solucion:Evaluando en x = 4
limx→4
x2 − 9x + 20
x2 − 3x − 4=
42 − 9(4) + 20
42 − 3(4)− 4
=0
0
Indeterminado.
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Ind 0/0Trigonometricos
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Ejemplo
Evaluar el lımite limx→4
x2 − 9x + 20
x2 − 3x − 4.
Solucion:Factorizando
limx→4
x2 − 9x + 20
x2 − 3x − 4= lim
x→4
����(x − 4)(x − 5)
����(x − 4)(x + 1)
= limx→3
x − 5
x + 1
=−2
4= −1
2
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Evaluar el lımite limx→0
x2 − 2x
x.
Solucion:
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Ejemplo
Evaluar el lımite limx→0
x2 − 2x
x.
Solucion:Evaluando en x = 0
limx→0
x2 − 2x
x=
02 − 2(0)
0
=0
0
Indeterminado.
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Ind 0/0Trigonometricos
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Ejemplo
Evaluar el lımite limx→0
x2 − 2x
x.
Solucion:Factorizando
limx→0
x2 − 2x
x= lim
x→0
�x(x − 2)
�x= lim
x→0(x − 2)
= −2
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Evaluar el lımite limx→−3
x4 − 81
x2 + 8x + 15.
Solucion:
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Evaluar el lımite limx→−3
x4 − 81
x2 + 8x + 15.
Solucion:Evaluando en x = −3
limx→−3
x4 − 81
x2 + 8x + 15=
(−3)4 − 81
(−3)2 + 8(−3) + 15
=0
0
Indeterminado.
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Evaluar el lımite limx→−3
x4 − 81
x2 + 8x + 15.
Solucion:
limx→−3
x4 − 81
x2 + 8x + 15= lim
x→−3
(x2 − 9)(x2 + 9)
x2 + 8x + 15
= limx→−3
(x − 3)����(x + 3)(x2 + 9)
����(x + 3)(x + 5)
= limx→−3
(x − 3)(x2 + 9)
x + 5=
(−6)(18)
2= −54
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Evaluar el lımite limx→1
√x − 1
x − 1
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Evaluar el lımite limx→1
√x − 1
x − 1
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Evaluar el lımite limx→1
√x − 1
x − 1
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Evaluar el lımite limx→0
sen4x
tan x
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Evaluar el lımite limx→0
sen4x
tan x
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Ejemplo
Evaluar el lımite limx→0
sen4x
tan x
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Trigonometricos
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Evaluar el lımite limx→0
3x tan x
senx
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Evaluar el lımite limx→0
3x tan x
senx
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Trigonometricos
Ejemplo
Evaluar el lımite limx→0
3x tan x
senx
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