Clase Integral EB 2014-1 Solucionario

8/15/2019 Clase Integral EB 2014-1 Solucionario

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Matemática Analítica para Ingeniería (MA311)

Clase integral para el EXAMEN FINAL-SOLUCIONARIO

Ciclo 2014-1

1. Simplifique la expresión

je

cjs

j

j

j

j)3/2(12

8

12

12

33

55

322

322

Justificando su procedimiento paso a paso.

Rpta:8

45( )3

116 312 (2 /3 )3

34

5 24 12

0,18124 3 2

j

j j j j

j

j j

j

ee e

e e eee e

3 1 1 30,18

2 2 j

2. Se tienen las ondas 1 20sen 120 0,5 y t y 2 12sen 120 1,2 y t . Determine la

superposición de dichas ondas usando fasores.

Escribimos las ondas como números complejos, considerando los argumentos como las

fases:

1 20 0,5 z y 2 12 1, 2 z (los ángulos están en radianes).

Entonces 1 2 20 0,5 12 1,2 z z .

Para sumar fasores tenemos que pasar a la forma binomial:

1 2 20 (0,5) 12 ( 1,2) 20cos(0,5) 12cos( 1,2) 20sen(0,5) 12sen( 1,2) z z cjs cjs j j

1 2 21,90 1,60 z z z j

Donde

1,6021, 96 y arg arctg( ) 0, 07 rad.

21,90 z z

Es decir: 21,96 0,07 z

Finalmente: 1 2 21,96 sen(120 0,07) y y t .

3. Se tiene la matriz

2 1 3

4 1 2

4 2 6

.

a. Hallar el rango de la matriz.


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2

La matriz escalonada (se puede calcular con classpad o usando Gauss-Jordan):

2 1 3

0 1 8

0 0 0

lo que significa que el rango es 2.

b. Resolver el sistema

2 1 3 1

4 1 2 2

4 2 6 2

x

y

z

.

Que el rango sea 2 puede significar que el sistema es inconsistente o indeterminado.

La matriz ampliada es:

2 1 3 1

4 1 2 24 2 6 2

-2F1+F2

2 1 3 1

4 1 2 24 2 6 2

-2F1+F3

2 1 3 1

0 1 8 40 0 0 0

Lo que significa que el sistema es compatible indeterminado.

Escribiendo las ecuaciones de los planos restantes:

2 3 1 x y z

8 4 y z

Tomando z t para la parametrización, y reemplazando en las ecuaciones se tiene:

8 4 y t , 5 32

t x , que son las ecuaciones paramétricas de la recta que es

intersección de los 2 planos.

c. Si una partícula se desplaza por la recta que se obtiene al resolver el sistema deecuaciones ¿cuál es el desplazamiento desde 0 st , hasta 5 st ?

Cuando 0t , reemplazando en la ecuaciones paramétricas se halla que la partícula está

en A 3 ,4,02 , y cuando 5t , está en B 11,44,5 . Su desplazamiento está dado por

el vector diferencia B – A 25

,40,02

.

4. Indique la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones, justificando adecuadamente

cada respuesta.a. Una recta y un plano siempre tienen un punto de intersección.

Rpta: No siempre, un contra ejemplo pueden ser el plano P: 2 z y x y la recta

2;1;10;0;0: t L

b. Dos rectas cualesquiera siempre forman un plano en el espacio.

Rpta: No siempre, podrían cruzarse y estar en diferentes planos (rectas alabeadas), loque significa que no se podría formar un plano que las contenga a ambas.


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3

c. Dos rectas con un punto en común están contenidas en un mismo plano.

Rpta: Se puede tomar un punto de paso de cada recta que no esté en la otra y con el punto de intersección tendríamos 3 puntos, que necesariamente forman un plano.

Dadas las rectas 1 ; ; L a b c t u (u es el vector dirección de la recta L1) y

2 ; ; L a b c t v (v es el vector dirección de la recta L2) donde ambas están contenidas

en un mismo plano, el vector normal al plano se determina por vun .

d. Para que la intersección de dos planos 1 y 2 ,

22222

11111

:

:

d z c yb xa

d z c yb xa

sea una recta, es necesario que el rango de la matriz aumentada sea igual a dos.Rpta: Si, ya que los planos no deben ser paralelos o coincidentes.

e. La curva dada en coordenadas polares 1 cosr , es simétrica con respecto al eje polar.

Reemplazando en la ecuación podemos apreciar que no se altera, ya que

1 cos 1 cos

f. Las ecuaciones, en coordenadas polares,4

12sin( )r y4

12cos( )r representa

la misma circunferencia con centro (3 2,3 2) y radio 6.

Rpta: Si, la primera ecuación es una circunferencia girada /4 en sentido horario con

respecto al eje y positivo; y la segunda ecuación es una circunferencia girada /4 ensentido antihorario respecto del eje x positivo.

g. Si el punto P pertenece a una parábola con ecuación 2)2()1(5 y x entonces la

distancia del Foco de la parábola al punto P es cuatro veces la distancia de la Directriz al punto P .Rpta: No, por definicón de la parábola se debe cumplir que la distancia de P al foco debeser igual a la distancia de P a la recta directriz.

h. Las ecuaciones paramétricas de la cónica2 2

116 9

x y son

4cos0 2

3sin

x t t

y t

.

Rpta: Si, el parámetro es – t y la curva se genera en sentido horario,Otra forma de justificar es remplazando las ecuaciones paramétricas en la ecuación de laelipse.

i. Las ecuaciones 2 3cos

: , 0;2 2sin

x t C t

y t

parametrizan la mitad de una

circunferencia con centro en (2; 2) y radio 3


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4

Rpta: No, la mitad de una circunferencia con centro en (2,2) y radio 3 sería

(2+3cost,2+3sent ).

Otra forma de justificar es: eliminando el parámetro y saldrá la mitad de una elipse.

j. Las ecuaciones 2: ;

2

t t

t t

e e xC t

e e y

parametrizan la hipérbola de ecuación

2 2: 1 H x y .

Elevando al cuadrado y sumando se demuestra la proposición.

k. La curva sin

: , 0;2cos

x t C t

y t

es una curva cerrada simple.

Elevando al cuadrado y sumando se ve que la curva es cerrada 2 2: 1C x y

(circunferencia de radio 1).

l. Las ecuaciones

sin

: cos , 0;4

x t

C y t t

z t

son las ecuaciones paramétricas de una

circunferencia en el espacio tridimensional.

No, porque z va aumentando, no se mantiene en el mismo plano, es una espiral.

m. Se tiene dos puntos P y Q que pertenecen a una circunferencia con centro C entonces se

cumple que: 1),(

),(

C Qd

C P d

Rpta: Si, ya que la distancia de P a C y Q a C es el radio de la circunferencia.

n. Sea P un punto de la elipse 1259

22

y x

, entonces d ( P;F 1)+d ( P;F 2)=10

Rpta: Si, se sabe por definición de la elipse que d ( P;F 1)+d ( P;F 2)=2a=a(5)=10.

5. La curva C que se muestra en la figura representa la mitad de una elipse orientada.


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5

-4-8

3

x

C

y

Hallar:a. Halle la ecuación de la curva en coordenadas cartesianas. b. La ecuación de la curva en coordenadas polares. c.

Las ecuaciones paramétricas de la curva.Rpta:

a)

0 ;1916

4 22

y y x

Otra forma:2( 4)

3 116

x y

b)

2 2cos 4 sen

1 ; /216 9

r r

c)

2

3;

2;

cos3

4sin4:

t

t y

t xC

6. Considere tres puntos en el plano xy, P (0,0), Q(4,0), R(2,5).a.

Calcule el área del triángulo que se forma con los tres puntos.b.

Compare esa área con aquella que se obtiene de la proyección del Δ PQR sobre el

plano 152: z y x . (Nota: la proyección del punto ( x0; y0) sobre el plano se

obtiene reemplazando x0 e y0 en la ecuación de Π y hallando el z respectivo, explique

geométricamente este proceso algebraico).c. Si cambiamos el plano Π por otro de ecuación : 2 5k x y z k con k una

constante real cualquiera cambiará la razón entre las áreas del nuevo triángulo y ladel Δ PQR.

Rpta:

a) Genere los vectores 0;4 P Q PQ y 5;2 P R PR

El área del triangulo PQR es: 1050

24det

2

1

u2

b)

La proyección será el triángulo Δ P’Q’R’ donde los puntos son P’=(0,0,1); Q’=(4,0,-7);R’=(2,5,22)


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6

Área del 21 1

' ' ' ' 40; 100;20 10 30u2 2

P Q P R

7. A partir del siguiente gráfico, donde A(2,0,0), B(0,4,0), C (0,0,1),

x

y

z

AB

C

a.

Determinar la ecuación del plano mostradob. Calcular el área del triángulo ABC

Rpta:

a) 4; 2; 8

: 2 4 4

n AC AB

x y z

b) Área del 21 1

4; 2; 8 7u2 2

AC AB

8. La figura 2 muestra la variación de la longitud r de un brazo robot (figura 1) respecto al

ángulo de rotación . El brazo sólo puede girar de 0 a 3/4. Se pide hallar:

r

ejex

y

x

y

r

eje

10

5

Figura 1 Figura 2

a.

La ecuación en coordenadas polares que describe la variación de la longitud del brazo robot en función de r .


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7

b. La longitud máxima que puede alcanzar el brazo.

Rpta:

a) 34

( ) 10sin( ) 0r

b) 2 2

( ) 10sin( ) 10r

9.

Dadas las siguientes gráficas

Halle sus ecuaciones en coordenadas polares.Rpta:

a) 2

3 ,sin3)(

r

b) 6

( ) 3sin( ) 0 2r

c) 4

( ) 6(1 cos( )) 0 2r

10. Dada la forma cuadrática 2 2( ; ) 66 68 3 2 900 P x y y xy x

a. La ecuación ( ; ) 0 P x y ¿qué tipo de cónica no degenerada representa?

b. ¿Cuál es la matriz de rotación que permite eliminar el término xy?

c.

Hallar los focos y vértices de la cónica.Rpta:a) B2-4AC >0 entonces es una hipérbola.

b) 6

68 3tan 2 3

2 66

B

A C

La matriz de rotación es3 1

2 2

312 2


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