Clase Martes 29 de Marzo

8/7/2019 Clase Martes 29 de Marzo

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RELACION ENTRE LOS CAMPOS E Y B

ConociendoE se puede hallarB a travs de la Ley de Faraday:

ConociendoB se puede hallarE a travs de la Ley de Ampere. En el caso en que no haycargas libres en el espacio:

Caso de la onda plana:

Definamos una terna positiva de ejes coordenados. Por ejemplo,la terna de la figura. En ella, el eje x, dibujado en perspectiva,es entrante a la hoja. Sea una onda plana conE apuntando segny, que se propaga en la direccin del eje z:

Entonces, B ser:

Esto demuestra que, en una onda plana:a. El mdulo deB es igual al mdulo deE dividido por la velocidad de

propagacin c. Es decir, las funcionesE(z,t) y B(z,t) poseen la misma forma yson mutuamente proporcionales.b. La direccin deB est a 90 de la direccin deE, y a la vez a 90 de la direccin

de propagacin.

Para una onda plana que adems es armnica, se grafican E yB en la fig. 1. Aunque nose muestra en el diagrama, los campos tambin ocupan las regiones con z2.Obsrvese que, para todo z, el producto vectorial (E xB) va en la direccin depropagacin, lo cual entenderemos ms cuando veamos la energa de un campoelectromagntico.No necesariamente las ondas electromagnticas deben ser armnicas. En la fig. 2 se

muestran los campos para una onda triangular, y no peridica, que se desplaza consentido (-x), dada por la ecuacin:

dtExBt

BEx ==rr

rr

dtBxEt

EBx =

=

rrr

r

1

xy

z( ) jctzfE(

mr

=

( )

( )

( )i

c

ctzfB

dtictzfz

dt

ctzf

zyx

kji

dtExB

(mm

r

(m

m

(((

rr

=

===

00

///


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( )


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UNA ONDA PLANA ELECTROMAGNTICA NO PUEDE TENERCOMPONENTES LONGITUDINALES

En la deduccin de la relacin entre E y B para la onda plana del captulo anterior,habamos supuesto inicialmente que el campoE solamente tena componente en el ejey,

el cual era perpendicular a la direccin de propagacin z de la onda. En este captulodaremos fundamento a esta eleccin, que oportunamente pareci arbitraria. Lo cierto esque, para ondas electromagnticas, en el caso en que son planas, la componente decampo elctrico y de campo magntico en la direccin de propagacin son nulas.Demostracin: supongamos una onda que se propaga hacia +z (o -z) que incluyera unacomponente longitudinalEz.

Dado que la onda es plana, sus componentes no dependen de x ni de y. Adems, dadoque la onda se propaga hacia +z (o z), es funcin dez c t.

Por medio de la ley de Faraday, hallaremosB.

Pero el rotor de E est dado por:

Teniendo en cuenta que ninguna componente deE depende dex ni dey, queda:

DondeB1 es un vector que result como constante de integracin, y por consiguiente nodepende del tiempo.Dado queEx yEy son funciones de z c t, podemos integrar, resultando:

Ahora volveremos a obtenerE. Para esto, usaremos la ley de Ampere, en el casoJ=0.

( ) ( ) ( ) ktzyxEjtzyxEitzyxEEzyx

(((r,,,,,,,,, ++=

( ) ( ) ( ) kctzEjctzEictzEEzyx

(m

(m

(m

r++=

dtExBt

BEx =

=

rrr

r

( )zyxBjdtz

Eidtz

EB xy ,,1r((r +

=

( )zyxBjc

Ei

c

EB x

y,,1

r((m

r+=

jz

Ei

z

E

EEE

zyx

kji

Ex xy

zyx

((

(((

r

+

== ///


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DondeE2 result como constante de integracin.Si comparamos esta ltima ecuacin con la del E del cual hemos partido, vemos quecoinciden las componentes Ex y Ey, pero no as la componente Ez (z c t), que en laltima ecuacin est faltante. Con la nica excepcin que fueran:

Donde A es una constante. Pero en ese caso, tanto E2 como B1 produciran camposelctricos y magnticos, respectivamente, que tenderan a infinito al crecer x,y,z, por locual esta excepcin no tiene aplicacin en la vida real.Se ha demostrado entonces, que una onda plana con componentes longitudinales de Eno cumple con las ecuaciones de Maxwell. Es por esto que se dice que es una ondatransversal.Cabe destacar que tanto E como B pueden apuntar en cualquier sentido, siempre ycuando sus vectores sean perpendiculares a la propagacin (al eje z en este caso). Perono es necesario que apunten solamente segn x o solamente segn y, como se supuso enel captulo anterior, sino que ambos campos pueden poseer ambas componentes x e ysimultneamente. Esto, por cuestiones de simetra, no le resta generalidad a ladeduccin hecha en ese captulo.Puede demostrarse que tampoco B posee componentes longitudinales en una ondaplana. Para hacer esa demostracin, se parte de definir la ecuacin para el campoB, y seprocede de manera similar a la hecha para el campoE.

( )zyxEtBxcjEiEE

dtBxjdt

z

E

c

idt

z

E

c

E

dtBxEt

EBx

yx

yx

,,

11111

1

212

1

rr((r

r((m

r

rrr

r

+++=

+

=

=

=

kzAE

kc

ABx

(r

(m

r

=

=

2

1

1


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ENERGA DE LAS ONDAS ELECTROMAGNTICAS

Demostracin del vector de Poynting S:

Dado un espacio de volumen Vol rodeado por un rea

cerrada . La conservacin de la energa, si no existiesecarga encerrada, implicara que:

Esto es cierto solamente en el caso en que no hay cargas libres. Pero consideremosahora que existen cargas libres. Definimos la densidad de portadores de carga n(x,y,z,t),medida en 1/m3. Entonces, en un dVol perteneciente al volumen total habr unadensidad de carga:

La cual recibir una fuerzadF de parte de la onda:

Y la onda ejercer una potencia sobre esta carga:

Pero (v xB) es perpendicular a v. Entonces:

Esta potencia que recibe la carga es a costa de una reduccin en la energa de la onda.Teniendo en cuenta esto, la ecuacin de conservacin cambia a:

Aplicando el teorema de la divergencia, resulta:

(1)

Para cada punto del espacio:

En la figura, se muestra que, si los materiales son lineales (By H son proporcionales entre s, al igual que E con D), estas

integrales resultan en las reas sombreadas de formatriangular. Por lo tanto, para estos materiales:

( ) dVoltzyxnedQ ,,,=

( ) dVtzyxutdt

dUAdS

Vol

==

,,,rr

dA

dAE

E

Vol

BvdQEdQFdrrrr

+=

vBvdQvEdQvFddPrrrrrrr

+==

( )

( ) dVolEJEvdVoltzyxnedP

vEdVoltzyxnevEdQvFddPrrrr

rrrrrr

==

===

,,,

,,,

( ) dVtzyxut

dVEJAdSVolVol

=+

,,,rrrr

( )tzyxut

EJS ,,,

=+

rrr

( ) DdEBdHtzyxurrrr

+=,,,

B

H

D

E

u

u


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(2)

A efectos de reemplazar en (1), derivamos la (2):

Pero:

Donde T es el tensor permitividad traspuesto. Analizaremos el tensor permitividad msadelante en este curso. En los casos en que no hay efectos girotrpicos, el tensor es unamatriz simtrica, y por lo tanto T=.

Y algo similar sucede entre H y B. De donde:

(3)

Pero por Ley de Ampere:

(4)

por ley de Faraday:

(5)

Reemplazando (4) y (5) en (3), y luego la (3) en la (1):

De la ltima, se interpreta que:

La energa por unidad de volumen de una onda electromagntica est dada por laecuacin (2), para materiales lineales. Si adems los materiales son istropos, la

( ) DEBHtzyxurrrr

+=2

1

2

1,,,

( )t

DED

t

E

t

BHB

t

Htzyxu

t

+

+

+

=

rrr

rrrr

r

2

1

2

1

2

1

2

1,,,

( )Et

E

t

DE T

rtrr

r

=

( )t

BH

t

DEtzyxu

t

+

=

rr

rr

,,,

( ) ( ) EJHEJHEt

DE

rrrrrrrr

r==

( )EHt

BH

rrr

r=

( ) ( )( ) ( ) ( )EHHEEHS

EHEJHEEJSrrrrrrr

rrrrrrrrr

==

++=+

HESrrr

=

( ) Dt

EE

t

E

t

DE

rr

rtrr

r

=

=


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permitividad y la permeabilidad son escalares. En ese caso, D y E tienen idnticosentido. Lo mismo ocurre entreB yH:

Reemplazando en (2) resulta:

Entonces:

(6)

Caso de la onda plana con sentido nico:

Supongamos una onda que se propaga segn el ejez. Las componentesEz yBz sernnulas. Podemos escribir:

Reemplazando en (6):

Pero ambos trminos del ltimo miembro son iguales. De donde:

Dado que la onda se propaga con sentido nico, vale S = u c. Entonces:

Si, adems, la onda fuera armnica,

Promediando, la intensidad resulta:

BHED

rrrr

==

( ) ( ) ( )2222222

1

2

1

2

1

2

1,,, zyxzyx EEEBBBEEBBtzyxu +++++=+=

rrrr

( )22

2

1

2

1,,, EBtzyxu

rr

+=

( )( )

c

ctzfBctzfE

mrm

r==

( ) ( ) ( )ctzfctzfc

uutzuEB mm

222 2

1

2

1,

+=+=

( ) ( ) ( )ctzfctzfc

uutzu EB mm22

2

122,

====

( ) ( ) ( )ctzcfctzfc

tzS mm 221

,

==

( ) ( )

( ) ( ) ( )ii

i

tkzcEtkzEc

tzS

tkzEctzf

+=+=

+=

220

220

0

coscos1

,

cosm

( ) ( )22

,1,20

20

0

cE

c

EdttzS

TtzSI

T

====


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MPETU DE LAS ONDAS ELECTROMAGNTICAS

Mientras una onda electromagntica incide contra un objeto, le ejerce una fuerza y, si elobjeto est libre para moverse, le transfiere mpetu (llamado tambin cantidad demovimiento). Puede decirse entonces que la onda acta como un objeto externo que

choca al objeto en cuestin, tal cual se vio en fsica 1. Por lo tanto, la onda posee unmpetu.En la vida diaria, no percibimos el mpetu de la luz ni de las dems ondaselectromagnticas. Esto es as porque la magnitud de las fuerzas que estas ondas ejercenes muy pequea, y las fuerzas de roce estticas que pueden aportar los cuerpos de modode quedarse en reposo son mucho mayores. Si esto no fuera as, al encender la luz enuna habitacin nos sentiramos empujados.Cunto vale el mpetu de una onda electromagntica? Debemos tener en cuenta que sicierta onda es peridica, ocupa todo el eje, y su energa y su mpetu son infinitos. Es poreso que se prefiere definir un mpetu por unidad de volumen. Para una ondaelectromagntica, se cumple:

Si el medio de propagacin es istropo, entonces:

De donde el vectorp posee la misma direccin que el vector S, y es proporcional a l.Si la onda es plana con sentido nico de propagacin:

(7)

La figura siguiente muestrap(x,t) y u(x,t) en el caso de propagacin hacia (+x) de unaonda armnica. Existenp(x,t) y u(x,t) para x


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Si la onda fuera de extensin finita, su energa y su mpetu seran tambin finitos.Podemos extender entonces la ecuacin (7) para calcular el mpetu de una ondaelectromagntica en un volumen de extensin finita. Si dentro de ese volumen de ondaexiste una energa total U (en Joules), entonces este volumen contendr un mpetu:

Obsrvese que en este caso se calcula el mpetu total, y no la densidad de mpetu.Cunto mpetu le transfiere una onda a un cuerpo? Supongamos que inicialmente unaonda con energa Ue mpetu P=U/c se acerca a un cuerpo que est en reposo:

Al incidir, el cuerpo refleja parte de la onda. A la fraccin de energa reflejada, lallamaremos U, con 01. El cuerpo podra ser traslcido para la frecuencia de laonda incidente, de modo que una fraccin de la energa incidente, que llamaremos U,con 01, contina luego de atravesar el cuerpo. Finalmente, el resto de la energa, esdecir (1--)U, fue absorbido por el cuerpo.

Cunto vale el mpetu PCque adquiri el cuerpo? Dado que no hay fuerzas externas:

Si el cuerpo es opaco a la frecuencia de la onda, entonces =0. En ese caso, el cuerpoque absorba la onda totalmente adquirir el total del mpetu de la onda, mientras que elcuerpo que refleje la onda totalmente se quedar con el doble! del mpetu.

[ ]1= smKgc

UP

P

U

onda

cuerpo

P

U

onda reflejada

cuerpo

onda transmitida

P

U

PC

( )PP

PPPP

PP

C

C

finini

+=

++=

=

1


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LINEAS DE TRANSMISIN

Una lnea de transmisin consiste en un par de cables que llevan energa entre una f.e.m.y una carga. Un cable lleva la corriente y el otro la trae. Hay muchas maneras dedisponer dos cables, pero en el caso de las lneas de transmisin dichos cables poseen

una geometra que mantienen a lo largo de su extensin.Las tres geometras ms usadas son las siguientes:

Lnea bifilar: son dos cables equidistantes. En general vienen unidos por unmaterial aislante que mantiene la rigidez mecnica del armado.

Cable coaxil o coaxial: consta de un cable interior y otro exterior, que, como elnombre del cable lo indica, comparten el mismo eje. El conductor interior llevala corriente, mientras que el exterior la trae.

Par trenzado: los cables forman un entrelazado simtrico.

Por qu usar dos cables ensamblados tan prolijamente, en lugar de disponerlos en

forma arbitraria entre la fuente y la carga? La respuesta es: si las corrientes dedesplazamiento son despreciables frente a las corrientes de conduccin, los cablespueden colocarse en forma arbitraria sin que haya consecuencias respecto alfuncionamiento del circuito (si bien tambin hay que tener en cuenta efectos de otrandole, como por ejemplo la aislacin elctrica, etc.). Sin embargo, cuando lascorrientes de desplazamiento son del orden o mayores que las de conduccin, la nouniformidad en la disposicin de los cables provoca reflexiones de energa tanto en laf.e.m. como en la carga. Estas reflexiones hacen que el sistema sea prcticamenteinoperable. Ahora, cundo las corrientes de desplazamiento son despreciables frente alas corrientes de conduccin? Cuando se cumpleD


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Deduccin de la ecuacin de onda:

La lnea de transmisin posee una inductancia por unidad de longitud (de ambos cablesa la vez) L [H/m] y una capacidad por unidad de longitud C [F/m], que Ud. ya calcul enel curso de fsica 2. Si la lnea tiene prdidas (de energa por efecto Joule), hay que

considerar adems la resistencia (suma de ambos cables) por unidad de longitud R[/m] y la conductancia entre cables por unidad de longitud G [-1m-1]. En la figura, sedefini un ejex con origen en la fuente y se muestra el circuito equivalente entre unpunto de coordenada genricax y otro de coordenadax+x.

En este curso se analizar la lnea sin prdidas. Entonces, el circuito queda:

Donde se muestran las convenciones de voltaje y de corrientes considerados positivos.Si alguno de ellos fuera negativo, apuntara contrario a aquel de la figura.Sabiendo que para cualquier inductancia se cumple:

Entonces podemos escribir, usando la segunda ley de Kirchhoff:

Haciendo tender x a cero, se obtiene:

(8)

Tambin sabemos que para cualquier capacitor:

Entonces podemos escribir, usando la primera ley de Kirchhoff:

(t

Rx

x

x x +x

L x

CxGx

0

t

x

x x + x

L x

Cx

I(x) I(x+x)

I(x+x)I(x)

+

-

+

-

V(x) V(x+x)

0

dt

diLVL =

( )( )

( ) 0,,

, =+ txxVdt

txdIxLtxV

dt

dIL

x

V=

dt

dVCI CC =


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Haciendo tender x a cero, obtenemos:

(9)

Derivando la (8) en ambos miembros respecto dex, y la (9) en ambos miembrosrespecto de t, se llega a:

Y si hubiramos derivado la (8) en ambos miembros respecto de t, y la (9) en ambos

miembros respecto dex, habramos llegado a:

Donde ambas VeIson funciones dex y de t.De all surge que la velocidad de propagacin es:

De donde se deduce que, si conectramos la f.e.m. en t=0, cada punto de la lnea detransmisin se entera de dicha conexin en t=x/c (hasta entonces, la diferencia depotencial y la corriente en ese punto son cero), y la ltima en enterarse es la resistenciade carga.

Relacin entre V(x,t) eI(x,t):

Conociendo V(x,t) puede hallarseI(x,t) utilizando la (8) o la (9). Por ejemplo:

(10)

Y de modo similar puede hallarse V(x,t) conociendoI(x,t):

( )( )

( ) 0,,

, =+ txxIdt

txdVxCtxI

dtdVC

xI =

2

2

2

2

dt

VdLC

x

V=

2

2

2

2

dt

IdLC

x

I=

[ ]smLC

cLCc

/112 ==

==

dt

x

V

LI

dt

dIL

x

V 1

==

dx

t

ILV

dt

dIL

x

V


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Ahora, si la onda se propagara en sentido nico, no hace falta resolver una integral. Enese caso ser:

Reemplazando en la (10):

Al producto de (L c), le llamaremos impedancia caractersticaZ0:

La cual se mide en ohms.Entonces, si la onda va hacia (+x):

y si la onda va hacia (-x):

Por lo cual, en las ondas con sentido nico de propagacin, VeIposeen la misma formafuncional. Si una es armnica, la otra tambin lo es, y posee la misma fase. Si una fueraun pulso no peridico, la otra tambin lo es, etc.

)(),( ctxftxV m=

( ) ( ) LcV

Lc

ctxf

c

ctxf

L

dtctxfL

dtx

V

LI

===

==

=

)()(1

)('11

m

m

m

m

C

L

LCLLcZ ===

1

0

( ) ( ) 0,, ZtxItxV =

( ) ( ) 0,, ZtxItxV =


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ENERGA ENLINEAS DE TRANSMISIN

En cursos anteriores se vio que, para un capacitor Ccuya diferencia de potencial era VC,la energa almacenada vala:

Y que una inductancia L por donde circulaba una corriente I posea una energaalmacenada:

Adems, si a una caja negra le llega una corrienteIa una

diferencia de potencial V(ver figura), la potencia absorbida porla caja es:

De all surge que, para una lnea de transmisin, la energa por unidad de longitud es:

Mientras que la potencia que pasa por la coordenada x en el tiempo t es:

Obsrvese que, en este caso, la onda que ha sido modelada en forma circuital no ocupaun volumen. Entonces, las unidades para u(x,t) y S(x,t) son las mismas que en el caso dela cuerda.Si consideramos ahora el caso de onda con sentido nico de propagacin, se cumple:

Lo cual permite simplificar los clculos.

Distribucin espacial de la energa:

Consideremos una lnea bifilar larga que lleva energa desde una f.e.m. de corriente

continua hacia una resistencia de carga R. Gracias a la f.e.m., los alambres estncargados, de modo que se establece un campo elctricoE entre cables. Si integrramos

[ ]JCVU 22

1=

[ ]JLIU 22

1=

[ ]WVIP =I

I+

-V

( ) ( ) ctxutxS ,, =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )txutxutxutxutxu LCLC ,2,2,,, ===

( ) ( ) ( ) [ ]mJtxLItxCVuutxu LC /,

2

1,

2

1, 22 +=+=

( ) ( ) ( ) [ ]WtxItxVtxS ,,, =


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este campo elctrico entre los cables (en la figura, entre P y Q) obtendramos ladiferencia de potencial de la f.e.m.Por otro lado, la circulacin de corriente por los cables produce un campo magnticoB,que en el corte de la figura entra y sale de la hoja.

El sentido deB surge de considerar la lnea muy larga y usar la regla del tirabuzn conlas corrientes que circulan por la lnea.

El sentido deE puede deducirse si se observa la lnea desde un costado. En ese casoobtenemos un dipolo elctrico, con las ya conocidas lneas deE.

Usando S=ExHen todos los puntos de la primer figura, deducimos que S va, en estecaso, siempre hacia la derecha. En general, va desde la f.e.m. hacia la carga. El vector S,entonces, est llevando la energa electromagntica entre fuente y carga.

Qu sucede si los cables de la lnea tienen resistencia no nula? Se establecen camposelctricos por prdidasEP dentro de los alambres que, como ya hemos visto, valen:

I

I

R

+ ++ + + +

- -- - - -

E B E BP

Q

E

I

R

+ ++ + + +

- -- - - -

S

S S

S

S S

I

A

IJEP

==


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Este campo elctrico no se hace cero fuerade los conductores. Esto es as porque sihacemos la integral del mismo se debellegar a la misma diferencia de potencial,sea por fuera del conductor o por dentro.

Las lneas deE de la primer figura ahoraresultan de la suma delE original y elE de prdidas.El campo resultante queda como en la figura siguiente (donde se ha exagerado el efectodeEP para mejor visualizacin):

Dada la cada de potencial en los cables, si integramos E2 vamos a obtener menosdiferencia de potencial que si integramosE1. Por lo tanto, |E2|

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