CONOZCAMOS UNA PREGUNTA REAL DE LA PSU DEMRE, Proceso de admisin 2008.

APRENDIZAJES ESPERADOSAnalizar en el tringulo rectngulo, los teoremas de Pitgoras y Euclides.Aplicar los diferentes teoremas y propiedades de los tringulos rectngulos, equilteros e issceles en la resolucin de ejercicios.Calcular reas y permetros de tringulos rectngulos y equilteros.

Teoremas vlidos para tringulos rectngulosContenidos1.1 Teorema de Pitgoras1.2 Teorema de Euclides2. Relaciones mtricas en el tringulo rectngulo2.1 Tringulo de ngulos interiores iguales a:30, 60 y 902.2 Tringulo rectngulo issceles2.3 Tringulo rectngulo y transversal de gravedad 2.4 rea del tringulo rectngulo.

4. Tringulos issceles4.1 Definicin4.2 Propiedades3.1 Definicin3.2 Propiedades3. Tringulo equiltero

1.Teoremas vlidos paratringulos rectnguloshipotenusacatetocateto

1.1 Teorema de PitgorasEn todo tringulo rectngulo, la suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa. a2 + b2 = c2(cateto1)2 +(cateto2 )2 =(Hipotenusa)2

De acuerdo a los datos de la figura, el trazo QR mideEjemplo:(Aplicando teorema de Pitgoras)(Desarrollando)(Restando)(Aplicando raz)152 + (QR)2 = 252225 + (QR)2 = 625(QR)2 = 625 - 225(QR)2 = 400QR = 20(Despejando (QR)2 )

Nmeros pitagricos:Son aquellos tros de nmeros que cumplen el teorema de Pitgoras. Los ms utilizados son: 3, 4 y 5 5, 12 y 13Estos tros, adems de satisfacer el teorema de Pitgoras, generan familias de nmeros pitagricos, que corresponden a todos los tros formados al multiplicar el tro inicial por cada nmero natural. Por ejemplo:3, 4 y 5 6, 8 y 10 9, 12 y 15 12, 16 y 20. . . .5, 12 y 1310, 24 y 26 15, 36 y 39 20, 48 y 52 . . . .8, 15 y 17

Todos los tros proporcionales a: 3, 4 y 5, satisfacen el Teorema de Pitgoras.32 + 42 = 5262 + 82 = (10)292 + 122 = (15)2

Consideremos los siguientes casos: 1. Cuando un cateto es el doble del otro 2. Cuando un cateto es el triple del otro Ejemplo:Ejemplo:

1.2 Teorema de EuclidesSea ABC un tringulo rectngulo en C, y CD = hc, la altura sobre la hipotenusa, entonces se cumple que:Adems, se cumple que:

De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden:Ejemplo:Aplicando Teorema de Euclides:(Reemplazando)(Aplicando raz)

Adems, por Euclides se cumple que:(Reemplazando)(Aplicando raz)

2.Relaciones Mtricas en el tringulo rectngulo2.1 Tringulo de ngulos interiores: 30, 60 y 90 En el tringulo rectngulo, con ngulos agudos de 30 y 60 se cumple que:

Ejemplo:Determinar el rea del tringulo ABC de la figura. BAC = 30 El rea del tringulo ABC es:CB = 5530

Los tringulos con ngulos interiores de 30, 60 y 90, corresponden a la mitad de un tringulo equiltero.

2.2 Tringulo rectngulo isscelesEn el tringulo rectngulo issceles de lado a de la figura, se cumple que:Ejemplo: CBA = 45Solucin:454 AC = 4 y

AM = MB = CM2.3 Tringulo rectngulo y transversal de gravedadtc : transversal

Ejemplo:Completando los ngulos, CBA = 40Solucin: AD = DB = CD D es punto medio CBA = DCB Por lo tanto, DCB = 40 4040Si en la figura, CD es transversal de gravedad, determine el DCB. Si CD es transversal de gravedad, El tringulo CDB es issceles de base BC

2.4 rea de un tringulo rectnguloEn la figura:

3. Tringulo Equiltero3.1 DefinicinPolgono regular, ya que tiene sus tres lados y sus tres ngulos congruentes.AB = BC = CA

3.2 Propiedades Las alturas, transversales, bisectrices y simetrales, son iguales.ha = hb= hcba = bb= bcta = tb= tcSa = Sb= ScAdems:ha = ta= ba = Sahb = tb= bb = Sbhc = tc= bc = ScPor lo tanto, el ortocentro, centro de gravedad, incentro y circuncentro coinciden.

rea y altura de un tringulo equiltero:Sea ABC un tringulo equiltero de lado a, entonces su rea y altura se expresan como:Ejemplo:Para determinar el rea, basta conocer el lado del tringulo.

A partir de la altura determinaremos el lado.Sea x la medida del lado, entonces:6 = xComo el lado del tringulo mide 6 cm, su rea ser:

Relacin entre el tringulo equiltero y la circunferencia circunscrita:

Relacin entre el tringulo equiltero y la circunferencia inscrita:

4. Tringulo Issceles4.1 DefinicinEs aquel que tiene dos lados congruentes y un lado distinto llamado base.Los ngulos basales son congruentes.4.2 PropiedadesLa altura, transversal, bisectriz y simetral que cae en la base, coinciden.

Ejemplo: x= 50 DBA = 40 y ADB = 904090= 50

b)Las alturas, transversales y bisectrices que se trazan desde los vrtices congruentes, miden lo mismo. ha = hbta = tbba = bbSa = SbAdems:

RESOLVAMOS LA PREGUNTA PSU EXPUESTA AL COMIENZO DE LA CLASEDEMRE, Proceso de admisin 2008.Opcin correcta: B