Clase Uni Semana 11 Geometria

7/25/2019 Clase Uni Semana 11 Geometria

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r

r

R

A

T

R R

R

r

R

r

A

B

O

Geometra

AREA DE REGIONES CIRCULARES

REA DE UN CRCULO REA DE UN SECTOR CIRCULAR

= r2 =r2

360 0

r : radio : medida del angulo central

REA DE UNA CORONA CIRCULAR

= (R2 r2)

= (AT)2

T: Punto de tangencia.

REA DE UN TRAPECIO REA DE UN SEGMENTO

CIRCULAR CIRCULAR

=(R2 r2 )

3600 = R2(

360 0

Sen

2)

TEOREMAS1. En todo tringulo rectngulo se cumple que la suma de las

reas de las figuras semejantes construidas sobre los

catetos es igual al rea de la figura semejante construida

sobre la hipotenusa.

+ =

R1, R2y R3son regiones semejantes entre s y A, B y C las

reas de las regiones R1, R2y R3respectivamente.

2.

= +

3. Lnulas de Hipocrates.

= 1 + 2

4.

= + +

5.

ABCD = -

6.

=(PQ)2

4

= Rr

MN=PQ

M y N puntos de tangencia

7.

=(2)R2

4

8.

OABC es un cuadrado

=()2

2

O

A

C

B

A PO

M

R

N

r

B

Q

B

CA

1

2

A C

B

o


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L

M

O

N

GeometraGeometria del Espacio I

DETERMINACIN DE UN PLANO

1.Tres puntos no colineales determinan un plano.

Si: A,B,C son puntosno colineales.

A, B y C

determina el plano H

2.Una recta y un punto que no pertenece a ella determinanun plano.

Si :A L Ay L

determina al plano H

3.Dos rectas secantes determinan un plano.

Si:1L

2L = {D}

1L y

2L

determinan el plano H.

4.Dos rectas paralelas determinan un plano.

Si:1L //

2L

1L y

2L

determinan el plano H.

POSICIONES RELATIVAS ENTRE:DOS PLANOS

PLANOS PARALELOS:

Si : P Q = P// Q

PLANOS SECANTES:

Si: H Q = { L }

H y Q son secantes

UNA RECTA Y UN PLANORecta Contenida en un Plano:

Observacin:Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano

dicha recta est contenida en dicho plano

Si: A

P y B

P L P

Recta Secante al Plano:Punto A: Pie de la rectasecante

Si: L P= {M}

L y P : Secante

Recta Paralela a un Plano:

Si: L P =

L // P

OBS:La condicin necesaria y suficiente para que una recta seaparalela a un plano es que dicha recta no contenida en el plano

sea paralela a una recta cualquiera contenida en dicho plano.

H

L

H L1

Sea: L1 H L H,si: L // L1

L1 // H

ENTRE DOS RECTASRectas Alabeadas o Cruzadas:

Si:1L y 2L no son

coplanares.

1L y 2L son

alabeadas o cruzadas

DETERMINACIN DE NGULOS ENTRE DOS RECTASALABEADAD:

Se traza: OM//L1y ON// L2

: ngulo entre L1y L2

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO

si 1 y 2 P

TEOREMAToda recta perpendicular a un plano es perpendicular a todas las

rectas contenidas en el plano.

Si PEntonces: La recta L esperpendicular a las rectas ,

contenidas en el plano P

1L 2 3 4 5L L L L ;; ; ; ;...

= Vaci nulo


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8. En la figura . Si AC=5m y AB=12m. Calcule el rea de laregin sombreada en m2.

A)2(15 3) B)3

2(25 6)

C) )2

3(25 6) D)2(25 )

E) (25 3)

9. En el siguiente grfico; el nmero mximo de planos quedeterminan los 5 puntos mostrados, es:

A) 5 B) 6 C) 7

D) 8 E) 10

10. En el siguiente hexaedro regular, se muestran 5 rectas. Sistas rectas son paralelas, entonces el nmero mximo de

planos que determinan stas rectas, son:

A) 6 B) 8 C) 9

D) 10 E) 12

11. Determine verdadero (V) o falso (F), segn corresponda:

I) Tres puntos siempre determinan un plano.

II) La interseccin de tres planos secantes siempredeterminan un punto.

III) El nmero mnimo de planos que determinan 4 rectasparalelas, es uno.

A) VFV B) VVF C) VVV D) FFV E) FFF

12. En un hexaedro regular KLMNPQRS. Si A, B, C y D son

puntos medios de , , y , entonces la sumade las medidas de ngulo que forman al cruzarse con , con y con , es:

A) 100 B) 120 C) 180 D)195 E) 210

13. En un cubo ABCDEFGH calcule la medida del nguloentre las rectas DG y OM (O es centro de cuadrado EFGH

y M punto medio de ).A) Arc tan(

1

2) B) Arc tan(

1

3)

C) Arc tan(1

4) D)Arc tan(

2

2)

E)Arc tan(3

2)

14. Los tringulos ABC y ACD estn en dos planos secantes, siAB=10u, CD=8u y el segmento que une los puntos medios

de y mide 3u, entonces la medida del ngulo queforman los segmentos y es:

A) Arc tan(3

5) B) Arc tan(

3

4)

C) Arc tan(4

5) D)Arc tan(

1

3)

E) Arc tan(2

3)

15. Se tiene un rectngulo ABCD, por cada vrtice se trazan los

segmentos , , y perpendiculares al planoque contiene al rectngulo, si AE=8u, BF=6u y CG=2u,

entonces el segmento (H en el plano que contiene a E,F y G) mide (en u):

A)3 B) 4 C) 5 D)6 E) 7

B

N

5

4

3

2

1

4

3

2

5

1

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