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Módulo I : Clima Marítimo

Clase 2: Teoría determinista del oleaje

Movimientos del mar

Gregorio Gómez Pina

III Curso de Introducción a la Ingeniería de Costas y Puertos :

Su Aplicación Práctica

Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

Demarcación de Andalucía

SusSus fundamentosfundamentos : S: S--XIXXIXTeorTeorííaa deterministadeterminista del del oleajeoleaje

•• Gerstner (Gerstner (trocoidaltrocoidal) ) 18021802

•• Airy (lineal)Airy (lineal)•• Stokes (noStokes (no--lineal)lineal)•• Mc Cowan (Mc Cowan (roturarotura))•• BoussineskBoussinesk ((ondaondasolitariasolitaria))

•• Kelvin (Kelvin (ondasondas largaslargas))•• Green (peraltamiento)Green (peraltamiento)

•• Froude Froude ((ondaonda--obstobstááculoculo))

•• Von Von HelmoltzHelmoltz((ondasondas en en puertospuertos))

•• Rayleigh Rayleigh

((distribucidistribucióónn probabilprobabilíísticastica))))

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Ondas de pequeña amplitud(ondas de Airy )- HIPÓTESIS

• Profundidad d y periodo T constante• Bidimensional• Forma constante al propagarse• Fluido incompresible• Viscosidad, turbulencia tensión superficial despreciables

• H << L (H / L << 1)

Planteamiento matemático

Resolver ecuación de Laplace

Cuatro condiciones de borde:

Si conozco la Función Potencial , lo conozco “todo”(velocidades, aceleraciones, presiones, etc)

1.1. CondiciCondicióónn de de fondofondo

2.2. CondiciCondicióónn de de superficiesuperficie

3.3. CondiciCondicióónn dindináámicamica :

4.4. CondicionesCondiciones lateraleslaterales

:

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Condiciones de borde : significado físico

CondiciCondicióónn de de fondofondo : El movimiento del flujo debe ser paralelo en el fondo, al ser éste impermeable (u existe, pero w = 0 (*) )

CondiciCondicióónn de de superficiesuperficie : Una partícula en la superficie, se mantiene siempreallí

CondiciCondicióónn dindináámicamica : Presión constante en la superficie libre (cumplimiento de Bernouilli)

CondicionesCondiciones lateraleslaterales : : Las Características del flujo en un momento dado son las mismas en dos puntos separados uno o varios números enteros de lonngitudes de onda L

¿Qué se obtuvo?Tras una larga manipulación

matemática:EcuaciEcuaciEcuaciEcuacióóóón de n de n de n de dispersidispersidispersidispersióóóónnnn ::::

EcuaciEcuaciEcuaciEcuacióóóón de la n de la n de la n de la superficiesuperficiesuperficiesuperficie librelibrelibrelibre ::::

¡Menos mal que se parece a una ola y no a una clotoide de carreteras!

K = Número de ola:

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Ecuación de onda progresiva --x

fπω 2=

Tf

1=

LK

π2=

)(cos tKxa ωη −=• η = posición de la lámina

libre [m• a = amplitud de onda [m• K = número de onda [m-1

• ω = frecuencia angular [s-1

• f = frecuencia [s-1

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Ecuación de dispersión

Sustituyendo

Manipulando, se obtieneotra versión muy útil paraobtener la celeridad C

Relaciones de C

C depende de d y de L ; NO DEPENDE DE LA ALTURA DE OLA H; en realidaden la teoría lineal no aparece la altura de ola!

¿Es eso real? !Bastante! Sólo aparece en la teoría no lineal de 3er orden….No vale la pena!

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Relaciones de L

Eliminando C C C C se obtiene:

Comentarios a las fórmulas de L

Conocidos T y d, L puede calcularse, pero no directamente. Utilizar tablas o hacer iteracciones con un programasencillo

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Sobre las funciones hiperbólicasA A A A partirpartirpartirpartir de de de de ahoraahoraahoraahora, las , las , las , las funcionesfuncionesfuncionesfuncioneshiperbhiperbhiperbhiperbóóóólicaslicaslicaslicas no no no no desaparecerdesaparecerdesaparecerdesapareceráááánnnn de de de de tutututu vidavidavidavida, , , , sisisisi tetetete dedicasdedicasdedicasdedicas a la Ingeniera la Ingeniera la Ingeniera la Ingenieríííía a a a MarMarMarMaríííítimatimatimatima....

h / LRecordar h = d = profundidad; depende de los libros

0,5

1,0thkh

Sobre la tangente hiperbólica

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Más sobre la tangente hiperbólicathkd

Aguas profundas

En teoría: d/L = Infinito

En la práctica : d/L = 0,5

Simplificaciones en aguasprofundas

AguasAguasAguasAguas profundasprofundasprofundasprofundas : Si : Si : Si : Si d >> Ld >> Ld >> Ld >> L

MatemMatemMatemMatemááááticamenteticamenteticamenteticamente ::::

LongitudLongitudLongitudLongitud de de de de ondaondaondaonda en en en en aguasaguasaguasaguas profundasprofundasprofundasprofundas LLLL0000

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Simplificaciones aguas profundas:La práctica

• Aguas profundas : d >> L

• Teoría : d / L = Infinito

• Práctica : d / L = 0,5

Sobre la Longitud de onda en aguas profundas L0

En general (En general (En general (En general (““““aguasaguasaguasaguas intermediasintermediasintermediasintermedias””””))))

En En En En ““““aguasaguasaguasaguas profundasprofundasprofundasprofundas”””” ::::

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Relación entre L y L0

Forma práctica obtener L

Datos : T (seg) ; d (m) Incógnita : L(m) a la profundidad d

CBA

thkdd/Ld/Lo

Calcular siempre L0 = 1.56 T2

Después : d/L0 = AB = d / L

L = d / B

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EjemploDatos : T= 10 seg ;

d= 15(m)

Incógnita : L a la profundidad d de 15 m

CB =.1375)A

thkdd/Ld/Lo

L0 = 1.56 TL0 = 1.56 TL0 = 1.56 TL0 = 1.56 T2 2 2 2 = 1.56 x 10= 1.56 x 10= 1.56 x 10= 1.56 x 102222 = 156 m= 156 m= 156 m= 156 md/L0 = 15 / 156 = d/L0 = 15 / 156 = d/L0 = 15 / 156 = d/L0 = 15 / 156 = 0,09610,09610,09610,0961

B = d / L

L = d / B=15/ 0.1375= 109 m

L = 109 m

L0 = 1.56 T2 = 1.56 x 102 = 156 md/L

0= 15 / 156 = 0,0961; d/L = 0,1365

L = 15 / 0,1365 = 109 m

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 200

100

200

300

400

500

600

700

Wave Period - T (s)

Wav

elen

gth

- L

(m)

Linear Wave Theory

1 m

2 m3 m

5 m

10 m

15 m

20 m

30 m

50 m

75 m

100 m

150 m

inf

Observaciones prácticas sobre las tablas

CBA

thkdd/Ld/Lo

Pueden lerse de cualquier forma ; p.e. : siconocieras C, le correspondería B ó A

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Sobre la Celeridad de onda en aguas profundas C0

En general (En general (En general (En general (““““aguasaguasaguasaguas intermediasintermediasintermediasintermedias””””))))

En En En En ““““aguasaguasaguasaguas profundasprofundasprofundasprofundas”””” ::::

C = L / T ; Basta con dividir las expresiones de L por T

Relación entre C y C0

Como

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Simplificaciones en aguasreducidas(“shallow water”)

Aguas reducidas : si d<< L

En la práctica : si d/ L < 1/20 (0.05)

Sobre las funciones hiperbólicasSimplificacionesSimplificacionesSimplificacionesSimplificaciones cuandocuandocuandocuando las las las las funcionesfuncionesfuncionesfuncionesson son son son muymuymuymuy pequepequepequepequeññññasasasas : x 0: x 0: x 0: x 0

senhsenhsenhsenh x = xx = xx = xx = x ; coshcoshcoshcosh x = 1x = 1x = 1x = 1;thx = xthx = xthx = xthx = x

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Sobre la Longitud de onda en aguas reducidas L

En general (En general (En general (En general (““““aguasaguasaguasaguas intermediasintermediasintermediasintermedias””””))))

En En En En ““““aguasaguasaguasaguas reducidasreducidasreducidasreducidas”””” ::::

En En En En ““““aguasaguasaguasaguas reducidasreducidasreducidasreducidas”””” : : : : thkdthkdthkdthkd = = = = kdkdkdkd

Sobre la Celeridad de onda en aguas reducidas C

En En En En ““““aguasaguasaguasaguas reducidasreducidasreducidasreducidas”””” ::::

Como :Como :Como :Como :

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Observaciones prácticas sobre las tablas – Aguas reducidas

Aguas reducidas

1/20 = 0.050,0500

(0,0496)0,0150

d/LSi d/L < 1/20

d/Lo

Resumen final condiciones aguasreducidas (“shallow water”)

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Sobre deducciones fórmulas aguasreducidas

SSSSóóóólolololo paraparaparapara los que los que los que los que quieranquieranquieranquieran profundizarprofundizarprofundizarprofundizar en en en en ccccóóóómomomomo obtenerobtenerobtenerobtener las las las las ffffóóóórmulasrmulasrmulasrmulas

¿Qué pasó con la función potencialy las velocidades u y w?

:La fórmula de la función potencialse obtuvo ( bastante larga….). Lo importante es que se podía obtener de ahí el campo de velocidades :

uw

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Expresiones para u , w

w u

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Descripción Euleriana de las partículas de agua

�El movimiento (u,w) es de tipo armónico, no existiendo desplazamiento neto en el sentido de propagación de la onda

�El movimiento bajo la cresta (u) se realiza en sentido de la propagación, retornando en el paso del seno

�u y w van desfasados 90º

Velocidades máximas en la superficie

Velocidades máximas

cos( ) , sen ( ) = 1

En la superficie : u s, max ; w s, max

dSuperficie : z = 0

En las Tablas

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Distribución de las velocidades en “aguas profundas” (“deep water”)

Se Se Se Se demuestrademuestrademuestrademuestra

Resumen conceptual de las velocidades en aguas profundas

• Las velocidades (u0 , w0) son iguales

• Decrecen exponencialmente con la profundidad

• Valores muy pequeños en cuanto tesumerges media o una longitud de onda

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Resumen velocidades (u0 , w0)en aguas profundas: fórmulas

Algunas consecuencias

�Un dique flotante funcionará mejor en “aguas profundas”, pues las velocidades horizontales disminuyen exponencialmente con la profundidad.

�Cualquier “francobordo” F , interceptará la energía cinética horizontal de las partículas de agua de forma exponencial

�Cualquier trabajo submarino se realizará muy bien en “aguas profundas”, por debajo de media longitud de onda

F

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Velocidades máximas en el fondo

cos( ) , sen ( ) = 1

En el fondo : u b, max ; w b, max

Fondo : z = - d

En las Tablas

d

Sobre las velocidades máximas en el fondo: algunas reflexiones físicas

• Para olas de igual periodo ( T ), las olas de mayor altura ( H ), producirán mayor velocidad horizontal el el fondo (u, b, max)

• Para olas de altura variable ( H ), las de menor período ( T ), producirán mayor velocidad horizontal el el fondo (u b, max), (y serán por tanto las que muevan mayor sedimento….algo que puede resultar “extraño”. Las olas más peraltadas de los temporales pueden mover más sedimentos, que las de un swellmenos peraltado)

�En aguas reducidas

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Velocidades máximas en el fondoen “aguas profundas” (“deep water”)

dAguas profundas : u u u u b, maxb, maxb, maxb, max = w = w = w = w b, maxb, maxb, maxb, max = 0= 0= 0= 0

¡Ya lo deberíamos de saber en aguas profundas. Todose “desvanece” a partir de LLLL0000/2/2/2/2 !

Velocidades máximas en “aguasreducidas” (“shallow water”)

Aguas reducidas : shkd = kd

Haciendo operaciones, resulta:

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¿Cuál sería la velocidad máxima horizontal en el fondo, para un oleaje de 3333 metros de metros de metros de metros de alturaalturaalturaaltura de de de de olaolaolaola , a 2 metros de 2 metros de 2 metros de 2 metros de profundidadprofundidadprofundidadprofundidad, para d/L = 1/25d/L = 1/25d/L = 1/25d/L = 1/25(aguas reducidas)?

Para H = 3 mH = 3 mH = 3 mH = 3 m ; d = 2 md = 2 md = 2 md = 2 m

U U U U b, maxb, maxb, maxb, max = 3/2 (g/2)= 3/2 (g/2)= 3/2 (g/2)= 3/2 (g/2)1/21/21/21/2 = 3,3 = 3,3 = 3,3 = 3,3 m/sm/sm/sm/s

¡¡¡¡UnaUnaUnaUna velocidadvelocidadvelocidadvelocidad suficientesuficientesuficientesuficiente paraparaparapara mover bolosmover bolosmover bolosmover bolos¡¡¡¡, , , , como se como se como se como se explicarexplicarexplicarexplicaráááá en la en la en la en la claseclaseclaseclase correspondientecorrespondientecorrespondientecorrespondiente de de de de sedimentossedimentossedimentossedimentos

Distribución de las velocidades en “aguas reducidas” (“shallow water”)

w

uU

La La La La velocidadvelocidadvelocidadvelocidad horizontal se horizontal se horizontal se horizontal se transmitetransmitetransmitetransmite por por por por igualigualigualigual de la de la de la de la superficiesuperficiesuperficiesuperficie al al al al fondofondofondofondo. Es . Es . Es . Es decirdecirdecirdecir, , , , todotodotodotodo estestestestáááá en en en en movimientomovimientomovimientomovimiento. Un . Un . Un . Un diquediquediquedique flotanteflotanteflotanteflotante, por , por , por , por tantotantotantotantodejardejardejardejaráááá pasarpasarpasarpasar muchamuchamuchamucha energenergenergenergííííaaaa

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Descripción Lagrangiana de las partículas de agua

d x / dt = u (x, z, t)

dz/ dt = w (x, z, t)

Aguasintermedias

Órbitaselípticas

Aguas profundasÓrbitas circulares.

A partir de Z = - L0 / 2, no hay movimiento

Z = - L0 / 2

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Aguas reducidas

Esquema movimiento partículas

Aguas profundas

Ejemplo del movimiento de las partículas de una ola en aguas

profundas

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Limitaciones de la teoría lineal de oleaje

• Trayectoria de las partículas es cerrada

• No hay transporte de masa de agua hacia costa

Otras teorías (no lineales)

• Cnoidal

• Trocoidal

• Onda solitaria

• Stokes

• Stream function

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Rango de

validez de las

diversas teorías

de oleaje

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