Clase5 Matrices Complemento Usm 2011

5/13/2018 Clase5 Matrices Complemento Usm 2011 - slidepdf.com

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Coordinación de Matemática II (MAT022)Segundo semestre de 2011

Semana 4: Lunes 5 al Sábado 10 de Diciembre.

COMPLEMENTO

• Clase 1: Matrices y operaciones elementales. Rango.

• Clase 2: Notación matricial de sistemas de ecuaciones lineales. Resolución de sistemas de

ecuaciones lineales por eliminación Gaussiana.

Contenidos

CLASE 11.1 Operaciones elementales y Matrices elementales

Definición 1.1. En una matriz podemos realizar tres tipos de operaciones elementales por fila:

(1) Intercambiar (permutar) dos de sus filas.

(2) Multiplicar una fila (es decir cada coeficiente de la correspondiente fila) por una constante distinta de cero.

(3) Sumar el múltiplo de una fila a otra fila

Ejemplo 1.1. Ejemplos de operaciones elementales:

• Intercambio entre dos filas: las filas 1 y 3

2 0 −1

5 4 3−7 −6 9

←→

−7 −6 9

5 4 32 0 −1

• Multiplicación de una fila por un escalar: la fila 2, se multiplica por 3

4 0 −1

5 4 3

2 8 9

←→

4 0 −1

15 12 9

2 8 9



Universidad Técnica Federico Santa María

Departamento de Matemática

• Adición del múltiplo de una fila a otra fila: Multiplicamos la fila 2 por 2 y se la sumamos a la fila 3

1 0 −1

1 0 2

3 8 −9

←→

1 0 −1

1 0 2

5 8 −5

1.2 Matrices elementales

Definición 1.2. Una matriz elemental es una matriz que resulta al efectuar una operación elemental sobre la matriz

identidad I n

Dado que existen tres tipos de operaciones elementales, existirán entonces tres tipos de matrices elementales; usare-

mos la notación siguiente:

• E i j Es la matriz elemental obtenida intercambiando (en la matriz identidad) la fila i con la fila j

• E i (λ) Es la matriz obtenida multiplicando (en la matriz identidad) la fila i por λ= 0

• E i j (λ) Es la matriz obtenida sumándole a la fila i , la fila j multiplicada por λ

Ejemplo 1.2. Para la matriz I 4:

1. E 24 =

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

2. E 3(−2) =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −2 0

0 0 0 1

3. E 31

(−4) =

1 0 0 0

0 1 0 0

−4 0 1 00 0 0 1

Considere ahora la matriz

A =

−1 2 1 0

2 5 6 4

3 −1 0 −5

0 2 3 4

Note que si multiplicamos esta matriz por la matriz elemental E 24 por la izquierda, esto es, efectuamos el producto

E 24 A , obtenemos la matriz

E 24

A =

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 00 1 0 0

−1 2 1 0

2 5 6 4

3 −1 0 −50 2 3 4

=

−1 2 1 0

0 2 3 4

3 −1 0 −52 5 6 4

que es lo mismo que haber efectuado sobre la matriz A la operación elemental, intercambiar la fila 2 con la fila 4.

Si efectuamos el producto E 3(−2) A , obtenemos

E 3(−2) A =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −2 0

0 0 0 1

−1 2 1 0

2 5 6 4

3 −1 0 −5

0 2 3 4

=

−1 2 1 0

2 5 6 4

−6 2 0 10

0 2 3 4

MAT022 (Complemento) 2





que es lo mismo que se obtiene al realizar sobre la matriz A la operación elemental, la fila 3 la multiplicamos por -2.

Si efectuamos el producto E 31

(−4) A , obtenemos el mismo resultado de la operación elemental sobre A , la fila 1 la

multiplicamos por -4 y se la sumamos a la fila 3.

E 31 (−4) A =

1 0 0 0

0 1 0 0−4 0 1 0

0 0 0 1

−1 2 1 0

2 5 6 43 −1 0 −5

0 2 3 4

=

−1 2 1 0

2 5 6 47 −9 −4 −5

0 2 3 4

Se tiene al respecto el siguiente teorema.

Teorema 1.1. Sea E la matriz elemental obtenida al efectuar una operación elemental por fila sobre la matriz I n . Si la

misma operación elemental se realiza sobre una matriz A de orden n ×m, el resultado es el mismo que el del producto E A.

Definición 1.3. Diremos que las matrices A y B son equivalentes por filas si existe una sucesión de operaciones elemen-

tales por filas que convierte la matriz A en la matriz B . En tal caso pondremos A ∼ B

Como hemos visto, realizar una operación elemental sobre una matrizes equivalente a multiplicar por la izquierda esa

matriz por una matriz elemental; para efectos de nuestros cálculos haremos directamente la operación elemental sobrela correspondiente matriz, y la anotamos de la manera que muestra el ejemplo siguiente:

Ejemplo 1.3.

1 0 −1

−2 4 0

3 −4 6

E 21

(2)∼

1 0 −1

0 4 −2

3 −4 6

E 31

(−3)∼

1 0 −1

0 4 −2

0 −4 9

E 32

(1)∼

1 0 −1

0 4 −2

0 0 7

En este caso las matrices

1 0 −1

−2 4 0

3 −4 6

y

1 0 −1

0 4 −2

0 0 7

son equivalentes (por fila).

Observación 1.1. Un desarrollo análogo permite definir operaciones elementales columna.

Definición 1.4. Una matriz se encuentra en forma escalonada por filas si satisface las siguientes propiedades:

• Cualquier fila que se componga enteramente de ceros se ubica en la parte inferior de la matriz.

• En cada fila distinta de cero, la primera entrada o coeficiente (contado desde la izquierda), denominado pivote, se

localiza en una columna a la izquierda de cualquier entrada principal debajo de ella.

si además se cumple:

• Sus pivotes son todos iguales a 1

• En cada fila el pivote es el único elemento no nulo de su columna

decimos que la matriz se encuentra en forma escalonada reducida.

Ejemplo 1.4. Son matrices escalonadas

A =

1 2 4 5 −2 9

0 0 −2 6 0 1

0 0 0 3 4 1

0 0 0 0 −1 1

y B =

1 2 0 0

0 0 2 0

0 0 0 0

0 0 0 0






pero la matriz

C =

1 2 0 1 −1 3

0 1 4 5 7 0

2 0 0 1 1 1

0 0 0 0 0 1

no es escalonada.

Ejemplo 1.5. Las siguientes matrices están en forma escalonada reducida:

A =

1 2 0 0 0 − 58

3

0 0 1 0 0 9

2

0 0 0 1 0 53

0 0 0 0 1 −1

, B =

1 0 0 12

12

0

0 1 0 14

− 34

0

0 0 1 19

16

31

160

0 0 0 0 0 1

Definición 1.5. Un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables, no ambiguas, cuya ejecución da una

solución de un problema en un tiempo finito.

El algoritmo de reducción de Gauss escalona una matriz por las por medio de operaciones elementales fila. Aquí estala descripción del algoritmo de reducción de Gauss

Sea A =

a i j

m ×n

.

Para k (índice de fila) tomando los valores 1,2, . . . , m −1 :

1. Si la submatriz M k de las filas k , (k + 1) , · · · , m solo tiene coeficientes nulos no hacer nada.

2. Si el punto anterior no se cumple, buscar el índice j 0 más pequeño tal que la columna j 0 tenga por lo menos un

coeficiente distinto de cero en M k . Hallar el i 0 más pequeño tal que a i 0 j 0 = 0 e i 0 ≥ k . Si i 0 > k operar en la matriz

permutando filas k e i 0.

3. Para i de k + 1 a m , si a i j 0 = 0 cambiar la fila i por la fila i menosa i j 0

a k j 0

la fila k .

Ejemplo 1.6. Consideremos la matriz

2 0 31 3 −6

0 −6 15

encontrar su forma escalonada:

2 0 3

1 3 −6

0 −6 15

E 12∼

1 3 −6

2 0 3

0 −6 15

E 21(−2)

∼

1 3 −6

0 −6 15

0 −6 15

E 32(−1)

∼

1 3 −6

0 −6 15

0 0 0

esta es su forma escalonada.

Observación 1.2. Mostrar también que mediante ejemplos el algoritmo de Gauss-Jordan se puede llevar a la forma

escalonada reducida.

Definición 1.6. Sea A una matriz. Se denomina rango de la matriz A al número de filas no nulas de la matriz escalonada

equivalente a la matriz A original obtenida por ejemplo mediante el algoritmo de reducción de Gauss. Se denota el rango

de la matriz A por ρ ( A ) o bién rango ( A ).






Ejemplo 1.7. Determinar el rango de la matriz

A =

1 2 3

4 −1 0

2 1 1

0 0 03 −1 2

Proposición 1.1. Si A ∈M n ×m entonces ρ ( A )≤min{n , m }.

CLASE 2

2.1 Sistemas de ecuaciones lineales

Consideremos el sistema de m ecuaciones y n incógnitas

a 11x 1 + a 12x 2 + . . . + a 1n x n = b 1

a 21x 1 + a 22x 2 + . . . + a 2n x n = b 2...

......

a m 1x 1 + a m 2x 2 + . . . + a mn x n = b m

Usando matrices, el sistema se escribe como la ecuación matricial AX = B , donde

A =

a 11 a 12 · · · a 1n

a 21 a 22 · · · a 2n

......

......

a m 1 a m 2 · · · a mn

m ×n

, X =

x 1x 2...

x n

n ×1

, B =

b 1b 2

...

b m

m ×1

Definición 2.1. Considere un sistema AX = B con A ∈ m ×n (), B ∈ m ×1 (). Diremos que X 0 ∈ n ×1 () es solución

del sistema si

AX 0 = B

Definición 2.2. Un sistema se llama compatible si tiene al menos una solución. Si el sistema no tiene solución, diremos

que es incompatible.

Definición 2.3. Sea A ∈M m ×n (). El sistema AX = 0 se llama homogéneo.

Ejercicio 2.1. Si un sistema de ecuaciones tiene dos soluciones distintas entonces tiene infinitas soluciones distintas

2.1.1 Propiedades de los sistemas homogéneos

1. Un sistema homogéneo es siempre compatible, porque X = 0 es solución.

2. Si C ∈M m ×n () es tal que C ∼ A , entonces AX = 0 y C X = 0 tienen las mismas soluciones.

para ver esto, note lo siguiente sobre las matrices elementales, E i j E i j = I , E i (λ) E i

1λ

= I además E i j (−λ) E i j (λ) =

I . De esta forma Si E es una matriz formada por un producto de matrices elemetales entonces existe una matriz

E −1 (llamada matriz inversa de E ) tal que

E −1E = I

Como A ∼C existe una sucesión de matrices elementales E 1, E 2, . . . , E k tales que

E 1 E 2 · · ·E k A = C .






Pongamos E = E 1E 2 · · ·E k .

Si X 0 es tal que AX 0 = 0, entonces se sigue C X 0 = E AX 0 = E 0 = 0.

Recíprocamente si C X 1 = 0, entonces AX 1 = E −1C X 1 = 0.

Todo lo anterior nos asegura que los dos sistemas homogéneos AX = 0 y C X = 0 tienen las mismas soluciones.

2.1.2 Sistemas no homogéneos

Con el mismo método de la sección anterior es posible mostrar que si ( A ) = E A es la matriz escalonada equivalente por

filas con A entonces

AX = B

y

( A ) X = E B

tienen las mismas soluciones. El segundo sistema es mucho más fácil de resolver.

Ejemplo 2.1. Resolver

1 2 0

0 −1 2

0 0 2

x

y

z

=

1

2

3

note que este sistema es

x + 2 y = 1

− y + 2z = 2

2z = 3

de la última ecuación obtenemos z = 32

reemplazamos este valor en la segunda ecuación y despejamos para obtener y = 1

teneiendo estos dos valores reemplazamos en la primera ecuación y obtenemos el valor x =−1.

Vemos que un método para resolver sistemas seria obtener el sistema escalonado equivalente.

Definición 2.4. Sea A ∈ M m ×n (

) y B ∈ M m ×1(

). Consideremos el sistema AX = B con B = 0. Llamaremos matrizampliada del sistema a la matriz

( A , B ) =

a 11 a 12 · · · a 1n b 1a 21 a 22 · · · a 2n b 2

......

......

...

a m 1 a m 2 · · · a m n b m

Método de solución mediante el algoritmo de Gauss: Como sabemos, AX = B y ( A ) X = E B , donde ( A ) = E A , tienen

las mismas soluciones, note que la matrices ( A ) y E B aparcen al aplicar las operaciones elementales que escalonan la

matriz A entonces, si aplicamos el método de Gauss para obtener la escalonada de matriz ampliada del sistema ( A , B )

estaremos obteniendo la matriz ( ( A ) , E B ).

Ejemplo 2.2. Resolver el sistema

1 2 1

3 0 1

1 −1 2

x

y

z

=

1

2

0

Formamos la matriz ampliada del sistema

( A , B ) =

1 2 1 1

3 0 1 2

1 −1 2 0






aplicamos el algoritmo de Gauss para obtener la escalonada

1 2 1 1

3 0 1 2

1 −1 2 0

∼

1 2 1 1

0 −6 −2 −1

0 0 2 − 12

y ahora resolvemos el sistema

1 2 1

0 −6 −2

0 0 2

x

y

z

=

1

−1

− 1

2

que tiene las mismas soluciones.

Teorema 2.1. Sea A ∈M m ×n () y B ∈M m ×1():

1. El sistema AX = B es compatible si y solo si ρ( A ) = ρ( A , B )

2. Sea AX = B un sistema compatible.

(a) Si ρ( A ) = ρ( A , B ) = n (número de incógnitas) entonces el sistema tiene solución única.

(b) Si ρ( A

) = ρ

( A , B

)<n, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

Observación 2.1. En lugar de aplicar el algoritmode Gauss, podemos aplicar el algoritmo de Gauss-Jordan(matriz escalon-

ada reducida) para resolver un sistema equivalente más simple. Dar ejemplos de este método.

2.1.3 Ejercicios propuestos

Usar Gauss Jordan para resolver los sistemas:

1.

2x + 3 y + z = 1

3x −2 y −4z = −3

5x − y − z = 4

x = 1, y =−1, z = 2 (solución única)

2.

2x − y + 3z = 4

3x + 2 y − z = 3

x + 3 y −4z = −1

x = 117− 5

7z , y = 11

7z − 6

7(infinitas soluciones)

3.

x + y + z −w = 2

2x + y + w = 5

3x + z + w = 1

3x + 2 y + z = 3

(No hay solución)


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