Clases Totales Ingeniería Economica

INGENIERÍA ECONÓMICA

Christián Zurita Zumarán.

[email protected]

Ingeniería Económica: Colección de técnicas matemáticas que

simplifican comparaciones económicas. Herramienta de decisión

por medio de la cual se podrá escoger un método como el más

económico posible.

Alternativa: Es una solución única para una situación dada.

Una alternativa comprende:

-Costo de Compra

-Vida del activo

-Costo de Mantenimiento y operación

-Valor de recuperación (costo de salvamento)

-Tasa de Interés (tasa de retorno)

CONCEPTOS INGENIERÍA ECONÓMICA, ALTERNATIVA

Criterios de evaluación de Alternativas:

-En el análisis económico el dinero se toma como base de comparación. De las formas que cumplen el objetivo se selecciona la de menor costo.

-En el análisis de alternativas los casos involucran factores intangibles, como p.ej. efectos sobre la moral de los empleados.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS

Interés: Evidencia el valor del dinero en el tiempo.

Interés = cantidad acumulada - Inversión original. (captación)

Interés = cantidad debida - préstamo original. (colocación)

Ejemplo1:

Una compañía invierte $100 en mayo 1º y retiró $106 un año después.

Calcular a) interés sobre la inversión y b)Tasa de interés.

a) Interés = 106 - 100 = 6

b)

%100original cantidad

tiempode unidadpor acumulado InterésInterés de Tasa

%100100

6Interés de Tasa

INTERÉS, EJEMPLO 1

Ejemplo 2.

Pedrito planea solicitar un préstamo de 20000 al 15% de Interés

anual.

Calcular a) el Interés b) la cantidad a pagar al final del año

a)

b)

3000 $%1520000Interés

23000 $300020000 pagar a Cantidad

(1.15)20000i)(1capitalpagar a Total

EJEMPLO 2

Equivalencia.

Supongase que la tasa de interés es 12%.

Consideremos distintos esquemas de prestamos y pagos.

Plan 1: El interés y el capital se cobran al cabo de 5 años. El

interés se aplica cada año sobre el acumulado del capital e

interés causado.

Plan 2: El interés acumulado se paga cada año y el capital es

recuperado al final del 5º año.

antes añoun 89.29 $ 0.12)(1100son hoy 100$

después añoun 112 $0.121100son hoy 100$

EQUIVALENCIA DEL DINERO

Plan 3: El interés acumulado y el 20% del capital se pagan

anualmente. Como el préstamo decrece cada año, el interés

también.

Plan 4: Se hacen pagos iguales cada año en proporción del

capital original y el remanente.

Plan 1

0 5000

1 750 5750 0 5750

2 862.5 6612.5 0 6612.5

3 991.88 7604.38 0 7604.38

4 1140.66 8745.04 0 8745.04

5 1311.76 10056.8 10056.8 0

10056.8

Plan 2

0 5000

1 750 5750 750 5000

2 750 5750 750 5000

3 750 5750 750 5000

4 750 5750 750 5000

5 750 5750 5750 0

8750

Plan 3

0 5000

1 750 5750 1750 4000

2 600 4600 1600 3000

3 450 3450 1450 2000

4 300 2300 1300 1000

5 150 1150 1150 0

7250

Plan 4

0 5000

1 750 5750 1491.58 4258.42

2 638.76 4897.18 1491.58 3405.6

3 510.84 3916.44 1491.58 2424.86

4 363.73 2788.59 1491.58 1297.01

5 194.57 1491.58 1491.58 0

7457.9

Planes de pago de 5000 al 15% en 5 años

PLANES DE PAGO

•Interés simple. Se retiran los intereses a cada período

•Interés compuesto. Se reinvierten los intereses a c/período

inP interes de tasaperiodos denºCapitalInterés

0.1431000 totalInterés

14% al años 3 a 1000 $

Ej.

1i1capital

capitali1capital Interés

n

n

INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

6

5

4

3

2

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1615201561

15101051

14641

1331

121

11

1

x

x

x

x

x

x

x

POTENCIAS DE UN BINOMIO. TRIANGULO DE

PASCAL.

INTERES SIMPLE V/S INTERES COMPUESTO

432

32

2

46i41

ii331

21

1

1

i41

31

21

1

1

4

3

2

1

0

iii

i

ii

i

i

i

i

niinn 1 1

En Ingeniería Económica se usan los siguientes símbolos:

P = Valor de dinero en tiempo presente; dólares, pesos, etc.

F = Valor de dinero en algún tiempo futuro; pesos, dólares, etc.

A= Serie consecutiva de valores constantes en cada período.

US$ por mes, pesos por mes, etc.

n = Número de períodos; meses, años, etc.

i = Tasa de Interés por período, % por mes, % por año, etc.

P y F representan eventos discretos que suceden una vez en el

tiempo, A ocurre en forma discreta con el mismo valor en un

número determinado de períodos.

SIMBOLOS

Ejemplo 1

Ud. Solicita un préstamo de $2000 ahora y debe pagarlo en

cinco años a una tasa del 12% anual. ¿ Identifique entre P, F, n,

e i.

Solución:

P=2000, F=?, i=12%, n=5 años

Ejemplo 2

Se piden prestados $2000 al 17% anual a 5 años, el crédito de

pagarse en pagos iguales.

P=2000, A= anual (5 años), i=17%, n=5 años

EJEMPLOS

Cada persona tiene Ingresos y egresos(pagos) de dinero que ocurren en momentos determinados.

Flujo de Caja positivo: Representa un Ingreso

Flujo de Caja negativo:Representa un Pago.

Flujo de Caja neto = Entrada - Desembolsos.

Supuesto :Todos los flujos de caja ocurren al final de cada

período. Esto se conoce como convención fin de período.

Un Diagrama de Flujo de Caja es una representación gráfica de

un flujo de caja en el tiempo. t=0 representa el presente.

DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA

Comenzando desde ahora se hacen 5 depósitos de $1000 por

año en una cuenta que paga el 7% anual.¿Cuanto dinero se

habrá acumulado después del último depósito?.

0 1 2 3 4 año

i=7% F=?

A=$1000

Figura 1. Diagrama de Flujo de caja del Ejemplo 3

EJEMPLO 3

Fórmulas de pago único.

Recordando las fórmulas de interés compuesto se plantea que

si se invierte una cantidad P se tendrá:

•al cabo de 1 año,

F1 = P + Pi = P (1+i)

•al cabo del segundo año,

F2 = F1 + F1i = F1(1+i) = P (1+i)(1+i) = P (1+i)2

•al cabo del tercer año,

F3 = P (1+i )3

En general al cabo de n años,

Fn = P (1+i )n Ec. 1

FACTORES

FCCPU:

(1+i )n :Factor Cantidad Compuesta Pago Unico (FCCPU), dará la cantidad futura F, después de n años a una tasa de interés i.

Despejando P de la Ec. 1 en términos de F, se obtiene:

P = F [(1/(1+i )n]

FVPPU:

[(1/(1+i )n] :Factos Valor Presente Pago Unico (FVPPU), permite determinar el valor presente P de una cantidad futura F, n años antes a una tasa de interés i.

fórmulas son de pago único pues está implicado un pago o entrada.

FCCPU Y FVPPU

Sea el problema de determinar el valor presente de una serie uniforme de flujos, como de muestra en el diagrama de flujo de caja.

0 1 2 3 4 n-1 n año

P=? i=7%

A = dado

Figura 2. Diagrama de Flujo de caja para determinar

el valor presente de una serie uniforme

DEDUCCIÓN DEL FACTOR VALOR PRESENTE SERIE

UNIFORME Y DEL FACTOR DE RECUPERACIÓN DE

CAPITAL.

Se hará uso del Factor Presente Pago Unico, así se tiene:

P = A[1/(1+i )1] + A[1/(1+i )2] +... + A[1/(1+i )n-1] +A[1/(1+i )n]

los términos entre [] representan FVPPU para los años 1 hasta n. Ec2

Multiplíquese la ec. anterior por [(1/(1+i )]

P [1/(1+i )] = A[1/(1+i )2] + A[1/(1+i )3] +... + A[1/(1+i )n] +A[1/(1+i )n+1]

Ec3

Restando Ec2 de la Ec3, se obtiene:

P [(1/(1+i )]-P = A[1/(1+i )n+1) - (1/(1+i )1)]

[(1-1-i)/(i+1)]P = A[1/(1+i )] [1/(1+i )n - 1]

-iP = A [1/(1+i )n-1] iP = A [1-1/(1+i )n]

P i (1+i )n = A[((1+i )n -1)

FVPSU:i1i

1i1 AP

n

n

Factor Fondo de Amortización

FFA: Factor de Fondo de Amortización

FRC :1i1

i1i

1i1

i1iPA

FVPSU:i1i

1i1

i1i

1i1AP

n

n

n

n

n

n

n

n

FFA:

1i1

i

1i1

iF

1i1

i1i

i1

1FA

: tienese Pen FCCPU el dosustituyen , 1i1

i1iPA

: que sabe Se

nnn

n

n

n

n

FVPSU, FRC, FFA

FCCSU:

i

1i1 ,

i

1i1AF

:obtiene seanterior ecuación la de F Despejando

nn

Para Encontrar Dado Factor Nombre Ecuación

P F (P/F, i%, n) FVPPU P=F(P/F, i%, n)

F P (F/P, i%, n) FCCPU F=P(F/P, i%, n)

P A (P/A, i%, n) FVPSU P=A(P/A, i%, n)

A P (A/P, i%, n) FRC A=P(A/P, i%, n)

A F (A/F, i%, n) FFA A=F(A/F, i%, n)

F A (F/A, i%, n) FCCSU F=A(F/A, i%, n)

Notación Estándar

FCCSU

Ud. deposita $600 hoy, 300 dos años más tarde y $400 dentro de

cinco años, la tasa de interés es 5% anual. ¿Cuanto tendrá en 10

años?.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

600

300 400

F=? i=5%

Diagrama de Flujo de Caja del Problema 4

EJEMPLO 4

P= 600 + 300(P/F, 5%, 2) + 400(P/F, 5%, 5)

P= 600 + 300(0.9070) + 400(0.7835)

P= 1185.5

Entonces,

F= 1185.5 (F/P, 5%, 10)

F= 1185.5 (1.6289)

F=$1931.06

Encontrar Dado Factor Nombre Ecuación Formula

P F (P/F, i%, n) FVPPU P=F(P/F, i%, n)

F P (F/P, i%, n) FCCPU F=P(F/P, i%, n)

P A (P/A, i%, n) FVPSU P=A(P/A, i%, n)

A P (A/P, i%, n) FRC A=P(A/P, i%, n)

A F (A/F, i%, n) FFA A=F(A/F, i%, n)

F A (F/A, i%, n) FCCSU F=A(F/A, i%, n)

ni

FP1

1

niPF 1

n

n

ii

iAP

1

11

11

1n

n

i

iiPA

11n

i

iFA

i

iAF

n11

CÁLCULOS CON NOTACIÓN ESTÁNDAR

Gradiente Uniforme: Es una serie de flujo de Caja que

aumenta o disminuye de manera Uniforme. La cantidad de

aumento o disminución es el gradiente. Por lo tanto, es una

serie en progresión aritmética y la diferencia entre dos

flujos consecutivos es el valor del gradiente.

Gradiente convencional: Se considera que el gradiente en

el flujo de caja comienza entre el primer período y el

segundo.

Cantidad base: Es el flujo constante que se sucede desde el

primer período hasta el último.

DEFINICIÓN Y DEDUCCIONES DE LAS FÓRMULAS DE

GRADIENTES.

0 1 2 3 4 5 n-1 n

G

2G

3G

4G

(n-2)G

(n-1)G

Serie de Gradiente Uniforme (sin cantidad base).

FIGURA SERIE GRADIENTE UNIFORME

Existen varias maneras de resolver el problema.

Llevando a valor presente los gradientes se obtiene la suma:

n %, ,/11-n %, ,/2 ...

)4 %, ,/(3)3 %, ,/(2)2 %, ,/(

iFPGniFPGn

iFPGiFPGiFPGP

]n %, ,/11-n %, ,/2 ...

)4 %, ,/(3)3 %, ,/(2)2 %, ,/[(

iFPniFPn

iFPiFPiFPGP

Reemplazando los factores se tiene:

nni

n

i

n

iiiGP

1

1

1

2 ...

1

3

1

2

1

11432

Ec.1

CÁLCULO DEL FACTOR VALOR PRESENTE GRADIENTE

UNIFORME

Se multiplica la Ec. 1 por (1+i) y se obtiene:

12321

1

1

1

1

2 ...

1

3

1

2

1

11

nni

n

i

n

iiiGiP

Ec.2

Restando la Ec 1 de la Ec 2 se obtiene:

nni

n

i

nn

iiiGPiP

1

1

1

21 ...

1

23

1

12

1

11

1321

1

nni

n

iiiiGiP

1

1

1

1 ...

1

1

1

1

1

11321

nnnii

nG

iiiiii

GP

11

1

1

1 ...

1

1

1

1

1

11321

El valor entre paréntesis corchete es el FVPSU de 1 a n años,

por lo tanto,

nn

n

ii

nG

ii

i

i

GP

11

11

nn

n

i

n

ii

i

i

GP

11

11

Esta relación convierte un gradiente uniforme G para n años a

un valor presente en el año cero y se denomina VPGU. Y la

notación es:

FVPGU 11

111%, ,/

nn

n

i

n

ii

i

iniGP

Nota: El gradiente comienza el año 2.

FVPGU

Para obtener la serie uniforme equivalente del gradiente G,

se multiplica el valor presente anterior por el FRC, se

obtiene:

11

1

11

111%,,/%, ,/

n

n

nn

n

i

ii

i

n

ii

i

iniPAniGP

11

1%, ,/

ni

n

iniGA

11

1%, ,/

ni

n

iGniGAGA

La anualidad de obtiene:

SERIE UNIFORME EQUIVALENTE A UN GRADIENTE

UNIFORME

11

1n

i

n

iGA

Por lo tanto,

El factor entre paréntesis corchete se designa por

FSAGU (factor serie anual gradiente uniforme)

y se identifica por niGA %, ,/

Así también puede obtenerse en Valor Futuro

Gradiente Uniforme

niPFniGPniGF %, ,/%, ,/%, ,/

n

i

i

iGniGFGF

n111

%, ,/

Serie en Escalera.

0 1 2 3 4 5 n

D D(1+E)

D(1+E)2

D(1+E)3

D(1+E)n-1

PE=?

FIGURA SERIE ESCALERA

Cuando el flujo aumenta con una proporción constante entre

flujos consecutivos se está en presencia de una serie escalera.

No es otra cosa que una serie geométrica y la proporción en

que aumenta se designa por (1+E), siendo E la tasa de

Escalera. Sea D la cantidad de dinero el año 1.

n

n

Ei

ED

i

ED

i

ED

i

DP

1

1 ...

1

1

1

1

1

1

3

2

21

n

n

Ei

E

i

E

i

E

iDP

1

1 ...

1

1

1

1

1

11

3

2

21

Ec.1

CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE PARA UNA SERIE

EN ESCALERA.

Para obtener una expresión para PE se realizan dos pasos

•Multiplicar la Ec.1 por (1+E)/(1+i).

14

3

3

2

21

1 ...

1

1

1

1

1

1

1

1n

n

Ei

E

i

E

i

E

i

ED

i

EP

• Restar la Ec.1 de la Ec.2 Ec.2

ii

ED

i

EP

n

n

E1

1

1

11

1

11

iE

11

1

11

1

1

1

1

11

iE

i

E

D

i

E

ii

E

DP

n

n

n

n

E

iE

11

1

iE

i

E

DP

n

n

E

Si E=i, entonces se debe aplicar el teorema

de L´Hopital a la Ec.3

Ec.3

iE

11

1

iEE

i

E

EDP

n

n

E

iE

11

1

1

1

1

1

nn

n

n

EiE

nD

i

En

DP

iE 1

E

nDPE

Por lo tanto, para los casos E=i y Ei se

tiene:

iE

11

1

iE

i

E

DP

n

n

E

Tasa nominal y efectiva: La diferencia existe cuando el período

de capitalización es menor a una año.

Tasa de Interés Nominal (r): Es la tasa de interés por período

de capitalización (o de interés) multiplicada por el número de

períodos m.

Por ejemplo: Una tasa de 1% mensual es de 3% nominal

trimestral, a su vez es de 6% nominal semestral y es de 12%

nominal anual. Esta tasa ignora el valor del dinero en el tiempo.

Tasa de Interés Efectiva : Involucra el valor del dinero en el

tiempo. Así para la tasa efectiva anual se tiene:

12421111 mtrSef iiii

TASAS DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA Y

CAPITALIZACIÓN CONTINUA

Para obtener la tasa efectiva de interés a partir de la tasa

nominal se utiliza la siguiente fórmula:

i = tasa de interés efectiva por período

r = tasa nominal de interés por período

m= número de períodos de capitalización

Ejemplo:

a)Depósito de $100.

Un banco paga 12% de interés capitalizable anualmente:

11

m

m

ri

112$12.0110011

niPF

TASAS DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA Y CAPITALIZACIÓN

CONTINUA

Ejemplo:

b)Depósito de $100.

Un banco paga 12% de interés capitalizable semestralmente:

c)Depósito de $100.

Un banco paga 12% de interés capitalizable trimestralmente:

36,112$06.011002/12.01100122

niPF

55,112$04.011003/12.01100144

niPF

Tasas de Interés nominal, efectiva y capitalización continua

Lenguaje usual.

•El período de capitalización no está dado.

•El período de capitalización está dado sin expresar si la tasa

es nominal o efectiva.

i=12% anual

Tasa de 12% anual

efectiva. Se

compone

anualmente

Se asume que la

tasa es la tasa

efectiva del

período

enunciado

i=12% anual,

compuesto

mensualmente

Tasa de 12%

nominal anual .

Se compone

mensualmente

Se asume que la

tasa es la tasa

nominal. El

período de

capitalización es

el enunciado

Lenguaje usual.

•La tasa de interés está expresada como efectiva.

Tasas de Interés nominal, efectiva y capitalización continua

i=12% anual

efectivo

compuesto

mensualmente

i=6% semestral

efectivo

Tasa de 12% anual

efectiva. Se

compone

mensualmente

I=6% semestral

efectiva,

compuesto

semestralmente

Si la tasa está

expresada como

efectiva, es la

efectiva

Si el período de

capitalización no

está dado, este se

asume

coincidente con

el tiempo

expresado

Payment (Pagos periódicos)

Muchos depósitos o préstamos se realizan en cuotas

iguales. Por lo que es necesario conocer algunas

fórmulas que ahorrarán bastante tiempo:

PMT PMT PMT PMT

0 1 2 3 n

ii

iPMT

iPMT

i

PMT

i

PMT

i

PMTVP

n

nn

jjn

1

11

1

1

1......

11 121


Despejando el PMT, tendremos:

capital delón recuperaci deFactor ...11

1

CRF

i

iin

n

En donde:

11

1n

n

i

iiVPPMT


También se puede relacionar el PMT con el valor

futuro:

11

1

11n

n

ni

iiVP

i

iVFPMT

Este término se conoce como SFF

(Factor de amortización de capital)

Carlitos tiene en mente comprarse un automóvil

deportivo; un Ferrari rojo que cuesta $27.000.000 y él

lo pagará en 36 cuotas iguales.

¿De qué valor será cada cuota si el interés es del 2%

mensual?

EJEMPLO

11

1n

n

i

iiVPPMT

Es necesario llevar a cuota un valor presente utilizando

el factor de recuperación de capital.

Numéricamente se obtiene:

287.059.1102,1

02,002,1000.000.27

36

36

PMT

Pedrito deberá pagar cuotas de $1.059.287

SOLUCIÓN

A la hora de cancelar un crédito en cuotas, existen dos

alternativas en las formas de pago:

a) Con cuotas iguales b) Con amortización constante

Tabla de amortización

Periodo Principal Amortización Interés Cuota

1

0

2

Deuda

AMORTIZACIÓN

Periodos de Gracia: Se entiende por período de

gracia el período en el cual se cancelan sólo los

intereses sin pagar el capital.

AMORTIZACIÓN (CONTINUACIÓN)

Calculamos el Valor de la Cuota como un Payment

de n períodos e interés i. O sea CUOTA = PMT

PMT

PMT

B=A·i C=PMT-B D=A-C


1

0

2

A

AMORTIZACIÓN EN CUOTAS IGUALES

El valor de la amortización se fija dividiendo el monto

de la deuda en el n° de cuotas pactadas:AMORT = A/n

Tabla de Amortización

AMORT

AMORT

B=A·i C=A-AM D=AM+B


1

0

2

A

AMORTIZACIONES IGUALES O

CONSTANTES

Se piden prestados $1.000.000, a 2 años plazo

pagaderos en cuotas anuales, con un interés anual

del 10% y con 2 años de gracia. Calcule las cuotas

y su composición de interés y amortización

A) En cuotas Iguales, la cuota será:

190.57611,1

1,01,1000.000.1

2

2

PMT

B) En amortización constante la cuota será:

000.5002

000.000.1AMORT

EJEMPLO: AMORTIZACIÓN

576.190

100.000 1

0

2

1.000.000


4

3 576.190

1.000.000

1.000.000

523.810

0

100.000

52.381

100.000

100.000

100.000

476.190

523.809

SOLUCIÓN AMORTIZACIÓN. EN CUOTAS

IGUALES Tabla de Amortización

550.000

100.000 1

0

2

1.000.000


4

3 600.000

1.000.000

1.000.000

500.000

0

100.000

50.000

100.000

100.000

100.000

500.000

500.000

SOLUCIÓN CON AMORTIZACIÓN

CONSTANTE Tabla de Amortización

Es una obligación a largo plazo, emitida por una

corporación o entidad gubernamental, con el propósito de

conseguir el capital necesario para financiar obras

importantes

Los bonos se utilizan frecuentemente, cuando se hace

difícil el préstamo de grandes cantidades de dinero de

una sola fuente o cuando debe pagarse en un largo

período de tiempo

BONOS

Condiciones de pago Estas condiciones se especifican en el momento de

emitir los bonos e incluyen en Valor nominal de

bono, La tasa de interés del bono, el período de pago

de interés y su fecha de vencimiento.

•Los intereses se pagan periódicamente

•En la fecha de vencimiento se paga el Interés

correspondiente más el valor nominal del bono

Observaciones

Los bonos pueden ser comprados y vendidos en el

mercado abierto, por personas diferentes al beneficiario

original del bono

A usted le ofrecen un bono de $10.000 cuya tasa de

interés es de 6% y paga los intereses semestralmente. Si

la fecha de vencimiento será en 15 años, ¿Cuánto

pagaría hoy por el bono si desea ganar 4% de interés

semestral?

Ejemplo:

Solución (del ejemplo anterior)

Los intereses pagados semestralmente ascienden a:

El diagrama de flujos será:

Continúa...

3002

06,0000.10

I

300 300 300 300+10.000

0 1 2 3 30

P

Luego

Reemplazando, tendremos

Por lo tanto, usted estaría dispuesto a pagar $8271 por

el bono.

nn

n

i

VN

ii

iIP

11

11

271.804,01

000.10

04,004,1

104,1300

3030

30

P

Solución (continuación)

El valor del dinero decrece con el tiempo, debido a esto

con una cantidad de dinero fija se adquieren cada vez

menos bienes o servicios. Este es el fenómeno de la

inflación.

La inflación se mide a través de un índice que refleja el

nivel de precios de la economía conocido como IPC, el

cual contempla una canasta de productos representativos

de los patrones de consumo de los hogares chilenos.

Cada precio es ponderado en su aumento de valor de

acuerdo al consumo de este.

El índice tiene base 100 en diciembre de 2009. http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/estadisticas_precios/ipc/metodologia/31_03_10/Manual%20Met

odologico%20NIPC%20BASE%20ANUAL%202009.pdf

INFLACIÓN

En los cálculos de valor futuro, se debe reconocer que la

suma de dinero futuro puede representar una de las cuatro

diferentes cantidades:

Cantidad Nominal y Real de Dinero

Poder de Compra

Número de pesos de entonces requeridos

Ganancia de interés sobre inflación

A continuación se analizará cada uno de estos casos...

VALOR FUTURO CONSIDERANDO

INFLACIÓN

•Nominal toma en cuenta inflación y ganancia

•Real, No toma en cuenta la existencia de la inflación.

Se limita sólo a calcular la cantidad de dinero que se

obtendría con un interés dado.

El cálculo del valor futuro es a través de la

fórmula tradicional:

niVPVF )1(

CANTIDAD NOMINAL Y REAL DE DINERO

Ejemplo

Usted deposita $100.000 en una cuenta de ahorros

con10% anual de interés por 8 años.

¿Cuál será la cantidad de dinero que obtendrá ?

Por lo tanto en 8 años más usted tendría $214.359

359.214)1,01(000.100 8 VF

En el ejemplo anterior, al cabo de 8 años usted

tendría más del doble del dinero que depositó

inicialmente. Sin embargo, probablemente no podrá

comprar el doble de cosas que hubiera podido

comprar en un principio. ¿Por qué?.

La respuesta es simple, los precios se han

incrementado, esto es por la inflación.

EL PODER DE COMPRA

Una solución sería llevar a valor presente el valor futuro

obtenido con la tasa de interés. Para llevar a valor

presente se debe considerar la tasa de inflación (f), es

decir, en la fórmula reemplazar el “i” por el “f”.

El dinero que recibiré ¿Cómo lo puedo comparar con el

dinero inicial?, es decir, ¿Cómo puedo comparar el

poder de compra del futuro con el actual?

En fórmulas...

EL PODER DE COMPRA (CONTINUACIÓN)

Llevamos a valor futuro el depósito:

niVPVF )1(

Finalmente este valor lo llevamos a valor presente (en

donde reemplazaremos “i” por “f”):

El poder de compra (continuación)

nn

nf

iVP

f

VFV

1

1

1

Para realizar este cálculo, podríamos utilizar la tasa de

interés real (ir ), la cual representa la tasa a la cual el dinero

presente se transformará en dinero futuro equivalente con

el mismo poder de compra .

La fórmula sería:

nrn

n

iVPf

iVPV

1

1

1

Donde:

f

fiir

1

El poder de compra (continuación)

Ejemplo Usted deposita $100.000 en una cuenta de ahorros

con10% anual de interés por 7 años.

La tasa de inflación se espera de 8% anual. La

cantidad de dinero que puede acumularse con el

poder de compra de hoy sería:

Veamos lo que ocurre si utilizamos la tasa de interés

real para realizar los cálculos:

706.11308,01

1,01000.1007

7

V

Ejemplo

%8519,108,01,0

08,01,0

1

f

fiir

706.113018519,1000.100)1(7 n

riVPV

Calculamos la tasa de interés real:

Luego:

Tal como se esperaba, se obtuvo el mismo resultado.

Comprar algo en una fecha futura requerirá más

pesos que los requeridos ahora para la misma cosa.

Notar que este caso también reconoce que los precios

se incrementan durante los períodos inflacionarios

El cálculo del valor futuro se efectúa por medio de la

siguiente fórmula:

nfVPVF )1(

NÚMEROS DE PESOS QUE SE

REQUERIRÁN

Ejemplo

Se desea comprar auto dentro de tres años más.

¿Cuánto le costará si actualmente cuesta 1.000 y se

espera que el precio se incremente en 5% anual?

Solución

nfVPVF )1(

158.1)05,1(000.1 3 VF

Podemos calcular fácilmente el valor futuro del auto

usando la formula

Reemplazando, tenemos

Por lo tanto, se deberá juntar 1.158 pesos

4) Ganancia de interés sobre Inflación

Mantiene el poder de compra y la ganancia de interés.

nn ifVPVF )1()1(

Para mantener el poder de compra podemos utilizar la

fórmula del caso 3, es decir, calculamos “el número de

pesos de entonces requeridos”. Luego, a este valor se de

debe agregar la ganancia de interés, este cálculo es

análogo al caso 1.

La formula quedaría:

Ganancia de interés sobre Inflación

También podemos usar la llamada tasa de interés inflada

(if ):

En donde se cumple que:

n

f

nn iVPifVPVF )1()1()1(

ffiii f

Ganancia de interés sobre Inflación

También podemos usar la llamada tasa de interés inflada

(if ):

En donde se cumple que:

n

f

nn iVPifVPVF )1()1()1(

ffiii f

Se depositan $5.000 en un banco, se espera un año y se retira

todo el dinero para comprar un bien. Si el banco lo protegió de

la inflación (que fue 0,5% mensual) y ganó un 1% mensual de

interés . ¿Cuánto le costo el bien?

EJEMPLO

Ejemplo

El depósito en el banco hizo que el dinero mantuviera el

poder de compra y además que ganara interéses, luego nos

enfrentamos a un ejercicio del tipo 4, es decir, ganancia de

interés sobre inflación.

Calculemos la tasa de interés inflada:

5982)01505,1(5000)1( 12 n

fiVPVF

01505,0005,001,0005,001,0 ffiii f

Por lo tanto el bien costó 5.982

Depreciación

Los activos comprados por la empresa van

perdiendo su valor a lo largo del tiempo.

Este efecto se materializa con una disminución del

valor del activo en los libros de las empresas.

Depreciación (continuación)

¿Por qué las empresas deprecian?

Porque les sirve de Escudo Fiscal

(disminuye la base imponible, o

sea, el valor sobre el cual se les

aplican los impuestos.

Depreciación (definiciones)

Dt = Depreciación en el

período t

Vt = Valor del activo en el

período t

VS = Valor de Salvamento o

Valor Residual del activo al fina

del su vida util

VA = Valor Inicial del Activo

P Dt Vt

0

1

2

VA

D1

D2

V1=VA-D1

V2=V1-D2

n Dn VS

Tipos de depreciación

Depreciación Línea Recta n

VSVADt

Depreciación Acelerada

Solo aplicable si n mayor

o igual a 5

T

VSVADt

3

nT Redondeado

hacia abajo

Tipos de depreciación (continuación)

Depreciación Saldos decrecientes

11

t

t dVAdD

tt dVAV 1

¿Cuánto vale d?

ndDS

5,1..

ndDDS

2...

Ejemplo

Si se comprara un camión para la empresa, por un valor

de 11.000 y la vida útil es de 10 años, al término de la

cual, el valor de salvamento será de 1.000, Apliquense

todos los métodos de depreciación vistos

Ejemplo (continuación)

Depreciación Línea Recta 000.110

000.1000.11

tD

P Dt Vt

0

1

2

11.000

1.000 10.000

9.000

10 1.000

1.000

1.000


Depreciación Acelerada

333.33

000.1000.11

tD

33,33

10T

Como 10 es mayor o igual

que 5, se puede aplicar

P Dt Vt

0

1

2

11.000

3.333 7.667

4.334 3.333

2 3.334 1.000

La última depreciación

cambia por el efecto de

los decimales perdidos

Ajustes en la ultima Depreciación

En el sistema de Saldos Decrecientes, es

posible que el último Valor del activo no

coincida con el Valor de Salvamento

establecido originalmente

Por lo tanto, la(s) última(s)

depreciación(es) se acomodan para

hacer coincidir el último Valor del

Activo con el Valor de Salvamento


Depreciación Saldos decrecientes (S.D.D.)

200.22,01000.112,011

1

D 800.82,01000.111

1 V

2,010

2d

760.12,01000.112,012

2

D 040.72,01000.112

2 V

408.12,01000.112,013

3

D 632.52,01000.113

3 V

Ejercicio (continuación)

El cálculo continua hasta el

periodo 10 donde:

2952,01000.112,0110

10

D 181.12,01000.1110

10 V

Valor final 1.181 1.000 por lo que se corrige

la D10 de forma de dejar V10 en 1.000

476.12,01000.119

9 V

D10 = 476

Flujos de Caja

Es la forma de representar los ingresos y egresos

de una actividad económica, con el objetivo de

determinar los flujos netos que ésta entrega (o

absorbe) en cada período

Especial énfasis pondremos en el estudio

de los Escudos Fiscales

Flujo de Caja (continuación)

Ut. Antes Impuestos

=

+

+

-

-

+

-

Depreciación Perd.Ejerc. Anterior

Amort. C y L Plazo

Inversión

Venta Activos

Imp. Venta Activos

Total Anual

+ Monto Crédito

= Flujo Neto (FN)

+

-

-

=

+

=

-

-

-

=

Ing. Ventas

Costo Venta

Utilidad. Bruta

Egresos Operacional

Ut. Operacional

Ing. No Operacional.

Depreciación

Int C. y L. Plazo

Perd.Ejerc. Anterior

Impuesto

Ut después de Impto

-

=

Escudos Fiscales

Aquellos términos que se restan antes de aplicar el

impuesto, para luego sumarlos al flujo. Su efecto es

simple: Disminuyen la cantidad de impuesto a pagar

•Intereses de Corto y Largo Plazo

•Depreciación

•Perdidas del Ejercicio Anterior

Las empresas harán lo posible para maximizar

dichos escudos.

Usted desea hacer algo distinto con su plata, para lo cual se ha decidido a instalar un negocio de venta de softwares de computadores dado que le otorgaron las licencias para poder copiar y vender los programas en CD’s. Necesita comprar un computador para administrar el negocio además de otro que sirva como lector y grabador de los CD’s, todo lo cual se estima en $6.000.000. Estas máquinas tienen estimada una vida útil de 5 años y se deben depreciar con el método Línea Recta. Como usted no tiene todo el dinero logra conseguir un crédito que le financia el 75% del total de la inversión a una tasa de 10% anual, pagadero en 5 cuotas anuales con amortización fija. El negocio se debe evaluar a 5 años plazo. Los ingresos por ventas se estiman en $4.000.000 el primer año, los cuales tendrán un incremento uniforme de $500.000 cada año hasta el año 5. Los costos de producción se estiman en $3.000.000 el primer año y crecerán en $300.000 cada año hasta el año 5. El impuesto anual a las utilidades es de un 15% y la tasa a la cual usted debe evaluar su proyecto es de un 15%.

• Determine la tabla de amortización del crédito y Determine la tabla de

depreciación

• Calcule el flujo de caja para cada año

EJEMPLO

Proyecto con financiamiento

En M$

Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5

+ Ingreso por Ventas 4.500.000 5.000.000 5.500.000 6.000.000 6.500.000

- Costos Producción -3.000.000 -3.300.000 -3.600.000 -3.900.000 -4.200.000

= Utilidad Bruta 1.500.000 1.700.000 1.900.000 2.100.000 2.300.000

- Egreso Oper.

= Ut.ilidad Oper. 1.500.000 1.700.000 1.900.000 2.100.000 2.300.000

- Depreciación -1.200.000 -1.200.000 -1.200.000 -1.200.000 -1.200.000

- Interés L.P. -450.000 -360.000 -270.000 -180.000 -90.000

Interes CP

- Pérdida Ejercicio Anterior -150.000 -10.000

= Ut. Antes de Imp. -150.000 -10.000 420.000 720.000 1.010.000

- Impuesto ( 15%) -63.000 -108.000 -151.500

= Ut. Después de Imp. -150.000 -10.000 357.000 612.000 858.500

+ Pérdida Ejercicio Anterior 150.000 10.000

+ Capital de trabajo

- Inversión -6.000.000

- Amort. L.P. -900.000 -900.000 -900.000 -900.000 -900.000

Amort CP

+ Depreciación 1.200.000 1.200.000 1.200.000 1.200.000 1.200.000

+ Valor Residual

- Impto Vta Activos

= Total Anual 150.000 440.000 667.000 912.000 1.158.500

+ Crédito 4.500.000

= Flujo Total Anual -1.500.000 150.000 440.000 667.000 912.000 1.158.500

15% 499.119,53

Indicadores Económicos

Herramientas para evaluar la viabilidad

económica de un proyecto

Valor Actual Neto (VAN)

Consiste en actualizar a tiempo presente todos los

flujos de un proyecto

Es uno de los indicadores económicos más

utilizados, por su simpleza de cálculo e

interpretación.

Calculo VAN

n

jj

j

i

FNVAN

0 1

Donde: FNj = Flujo Neto período j

i = Tasa de Interés Efectiva en el período. n = Número de períodos

¿Qué tasa de

interés se ocupa?

Tasa de Descuento

Es el interés que se le

exige a una alternativa de

inversión para ser

considerada rentable

Existen varias formas de entenderla

Corresponde al Costo

de Oportunidad del

evaluador

Por ahora: Interés que

me ofrece mi alternativa de

inversión mas cercana

Por lo tanto, la tasa de

descuento es distinta

para cada inversionista

Interpretación

VAN

> 0 Alternativa Recomendable

= 0 Alternativa No Recomendable

< 0 Alternativa No Recomendable

Mientras mayor sea el VAN de una alternativa,

mejor es desde el punto de vista económico

Ejemplo Sean los flujos netos de caja que me entregará un

proyecto de inversión. Mi alternativa es una cuenta

de ahorro que me da un 7% anual efectivo

1 2 4 3 0

85 100 150 200

500 4321

07,1

200

07,1

150

07,1

100

07,1

85500 VAN

2,586,1526,1223,874,79500 VAN

Tasa de descuento = 7%

Observaciones sobre el VAN

Si lo uso para comparar dos alternativas:

•A ambas se les debe aplicar la misma tasa de

descuento.

•Ambas evaluadas con el mismo numero de

períodos.

¿Que pasa con proyectos de distinta duración?

¿Como los comparo vía VAN?

VAN para alternativas diferente duración

Flujos Alternativa 1

FN0 FN1 FN2 FN3

-525 110 300 400

Flujos Alternativa 2

FN0 FN1 FN2

-200 50 200

Se calculan los VAN prolongando la vida de

los proyectos al Mínimo Común Múltiplo de

sus duraciones. MCM 2 y 3 = 6

Es equivalente a repetir el mismo proyecto

una y otra vez

1 2 4 3 5 6 7 9 8 10 0

Alternativa 1 (Se

hace 2 veces)

Alternativa 2 (Se

hace 3 veces)

-525 110 300 400

-525 110 300 -125 110 300 400

-525 110 300 400

Suma año a año

Suma año a año

-200 50 200

-200 50 200

-200 50 200

0 50 200 50 0 50 -200


Ocupando una tasa de descuento del 10%

2,216

1,1

400

1,1

300

1,1

110

1,1

125

1,1

300

1,1

110525

6543211 VAN

27

1,1

200

1,1

50

1,1

0

1,1

50

1,1

0

1,1

50200

6543212 VAN

Por lo tanto la alternativa 1 es la mejor


COSTO DE CAPITAL PROMEDIO PONDERADO

Se llamará Costo de Capital Promedio Ponderado de

una Empresa (C.C.P.P.) al costo Promedio Ponderado

de las dos fuentes de Financiamiento (Deuda y

Patrimonio) de los activos de la Empresa.

Activos

(Inversiones)

Pasivos

(deuda)

Patrimonio

(aporte de los

dueños)

Rd

Re

Ra

Rd: Costo de Financiamiento con Pasivos (%).

Re: Costo de Financiamiento con Patrimonio (%).

Impuesto de Tasa:

1....

C

eCdActivos

PatrimonioRE

Activos

DeudaRPPCC

EJEMPLO C.C.P.P. Sea la empresa con la estructura siguiente:

Activos

(Inversiones)

=$10.000

Pasivos

=$4.000

Patrimonio

=$6.000

Rd=10%

Re=16%

Ra

%13....

000.10

000.6%16

000.10

000.415,01%10....

PPCC

PPCC

Supuesto: Impuesto de 15%

SIGNIFICADO DEL VAN

1. Suponga el proyecto con los siguientes flujos de caja:

0

1 2

1600 1800

Inv=2000

SIGNIFICADO DEL VAN

2. Suponga la estructura de financiamiento sgte:

Deuda $1.000

Patrimonio $1.000

Rd 10% anual antes de Impto.

E(Re) 11,5% anual

c 15%

SIGNIFICADO DEL VAN

%10....

000.2

000.1%115.0

000.2

000.115,01%10....

PPCC

PPCC

83,500$

1,1

1530

1,1

1360000.2VANPteValor

1530180015.018002 Año Neto Caja de Flujo

1360160015.016001 Año Neto Caja de Flujo

2

SIGNIFICADO DEL VAN AÑO 1 AÑO 2

Flujo Caja Op.(antes de Impto) 1.600 1800

- pago intereses (100) (42)

=Util. afecta a Impto 1.500 1.758

- Impto. (15%) (225) (263,7)

=Remanente 1 1.275 1.494,3

- costo op. Dueño (11,5%) (115) (48,3)

Remanente 2 1.160 1.446

- Amortización deuda (580) (420)

- Devolución dueño (580) (420)

=Remanente final 0 606

10% de 420

15% de 1758

11.5% de 420

Bco.

Dueño

Nos Quedan $ 606 el año 2, ¿cuánto será al año “0”?.

SIGNIFICADO DEL VAN

Nos Quedan $ 606 el año 2, ¿cuánto será al año “0”?.

0 1 2

Respuesta:

VAN 83.500 ¡¡

1.1

606PteValor

2

Costo Anual Uniforme Equivalente

(CAUE)

•El CAUE es otro método que se utiliza comúnmente

en la comparación de dos alternativas

•A diferencia del VAN, el CAUE no requiere que la

comparación se realice sobre el mínimo común

múltiplo de los años cuando las alternativas tienen

diferentes vidas útiles. Sólo se necesita que las Tasas

sean iguales.

•El CAUE nos indica cuál alternativa es mejor, sin

embargo, no nos indica cuánto es una mejor a la otra.

Costo Anual Uniforme Equivalente

(CAUE)

El CAUE significa que todos los ingresos y desembolsos

deben convertirse en una cantidad anual uniforme

equivalente que es la misma cada período.

La alternativa seleccionada será aquella que presente el menor CAUE

Cálculo del CAUE

Sabemos que el CAUE es la “transformación” de los

ingresos y desembolsos en una cantidad anual uniforme

equivalente. Por ejemplo, el siguiente flujo:

900 900 900

500

0 1 2 3 8

8000 900

2955 2955 2955

0 1 2 3 8

2955

Si consideramos una tasa de interés del 20% anual,

el CAUE será:

Cálculo del CAUE

Existen varios métodos para calcular el CAUE, sin

embargo, el procedimiento general consiste en

calcular el VAN y luego llevar éste a un PAYMENT.

Analicemos el Ejemplo anterior:

900 900 900

500

0 1 2 3 8

8000 900

11337

2,1

400

2,1

900

2,1

900

2,1

9008000

8721VAN

Cálculo del CAUE

295512,1

2,02,111337

8

8

CAUE

2955 2955 2955

0 1 2 3 8

2955

El diagrama de flujo será:

Ahora solo llevamos el VAN a un PAYMENT:

CAUE de gastos recurrentes

Algunos proyectos de vida indefinida poseen gastos

recurrentes. Para calcular el CAUE de ellos podemos

seguir el siguiente procedimiento:

1) Los flujos deben ser convertidos a cantidades

anuales uniformes.

2) Se debe modificar el flujo, de tal manera que el PMT

empiece del período nº1.


(ejemplo)

Según el procedimiento señalado, necesitamos

convertir el flujo a cantidades anuales uniformes:

Calculemos el CAUE del siguiente flujo (de vida

indefinida), asumiendo un interés del 10% anual.

5 0 2 1 3

500

4 6 7

500 500

Podemos considerar que desde el 2do año el flujo

esta compuesto por infinitos subflujos de 2 años c/u


(ejemplo)

Siguiendo el consejo de Bart...

28811,1

1,01,1500

2

2

PMT

Luego, nuestro flujo será:

0 1

288

2 3 n

288 288 288

4 5

Finalmente, modificamos el flujo de tal manera que el

PMT empiece en el año nº1:

238

1,1

288

)1( 22

42

i

VV

238

1,1

288

)1( 22

31

i

VV

CAUE de gastos recurrentes (ejemplo)

0

238 238

1 2 ...

238 238 238

3 4 CAUE=238

Nota: Es necesario calcular el monto del año nº1, y

luego éste se repetirá indefinidamente cada año

CAUE de una inversión perpetua

Para estos proyectos el cálculo del CAUE se debe

realizar de la siguiente manera:

¿Cómo se calcula el CAUE de un proyecto de vida

indefinida que además de tener gastos recurrentes tiene

algunos gastos no recurrentes?

1) Los gastos no recurrentes deben convertirse a valor presente

y luego multiplicarse por la tasa de interés:

iVPCAUE *1

2) Luego calculamos el CAUE de los gastos recurrentes

CAUE2

3) CAUE=CAUE1+CAUE2

CAUE de una inversión perpetua

Un proyecto posee el siguiente diagrama de flujo:

(Asumir interés del 10% anual)

¿Cuál será el CAUE del proyecto?

300+800

0

7000 300 300

1 2 3

300

300+800

300+4000

4 5 6

300

300+800

300

7 8 9

Primero calculamos el CAUE de los gastos no

recurrentes:

CAUE de una inversión perpetua (Ejemplo)

9731,01,1

40007000

41

CAUE


Luego necesitamos encontrar el CAUE de los gastos

recurrentes:

Existe un gasto periódico anual de 300, luego

CAUE2=300

Además cada 3 años se gastan 800

adicionales.Entonces, debemos calcular el CAUE3


0 1 2

800

3 4 5

800

6 7 8

800

9

Calculando el CAUE3 de gastos recurrentes de este

flujo: 0

242 242

1 2 ...

242 242 242

3 4

1515242300973 CAUE

Finalmente:

Podemos hacer un diagrama con $500 que se gastan cada

3 años:

Para tomar en cuenta...

El análisis anterior (CAUE) también se puede utilizar

cuando en vez de estudiar COSTOS se estudia flujos

positivos, en cuyo caso el análisis suele llamarse VAE

(Valor anual equivalente),aunque en ocasiones se sigue

utilizando el término CAUE.

Lógicamente la alternativa seleccionada será la de mayor

VAE

VAE (Ejemplo)

Se tienen dos proyectos con sus respectivos flujos. Si la

tasa del inversionista es del 10%, ¿Cuál será la mejor

alternativa utilizando el método del VAE (CAUE)?

Pr oyect o Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5

A -1000 600 700 850

B -2000 700 800 900 950 1000

763AVAN 1243BVAN

Primero calculamos el VAN de cada proyecto:

Ejemplo

Ahora llevamos cada VAN al PAYMENT

correspondiente:

30711,1

1,01,1763

3

3

AVAE

32811,1

1,01,11243

5

5

BVAE

Como VAEB>VAEA, este método nos indica que se

debe escoger el proyecto B.

Comentarios del ejemplo Anterior

Resolvamos la pregunta:

Nota que para el análisis del VAE no se necesitó usar el

mismo período de tiempo de vida de los proyectos

(M.C.M.de los períodos)

¿Cuál sería el resultado si se analizara por el método del VAN?

...Usando el método del VAN

15 0 1 2 3

-1000

600 700 850

4 5 6

-1000

600 700 850

-1000

850

El M.C.M. de los períodos de ambos proyectos es 15,

luego debemos prolongar la vida de los proyectos a

15 años:

El flujo del proyecto A será:

0 3 6

763 763 763

9 12 15

763 763 Proyecto A:

2334

1,1

763

1,1

763

1,1

763

1,1

763763

12963AVAN

Modificando los flujos...

Pero como ya calculamos el VAN individual de cada

Proyecto, podemos aprovechar esto y así modificar los

flujos para ahorrar cálculos:

Finalmente...

0 5 10

1243 1243 1243

15

Proyecto B:

2494

1,1

1243

1,1

12431243

105BVAN

Por lo tanto la elección por el método del VAN

también favorece al Proyecto B

Costo Capitalizado

Costo capitalizado se refiere al valor presente

de un proyecto que se supone tendrá vida

indefinida

Cálculo del costo capitalizado En general, se debe seguir el siguiente procedimiento:

1) Dibujar un diagrama de flujo que muestre todos los gastos

(o ingresos) no recurrentes y al menos dos ciclos de todos los

gastos o ingresos recurrentes.

2) Hallar el VP (al año cero) de los gastos (o ingresos) no

recurrentes.

3) Hallar el CAUE de los gastos recurrentes (desde el año 1

hasta el infinito)

4) Calcular costo capitalizado:

i

(3) Paso(2) Pasodocapitaliza Costo

Se planea construir una carretera en dos etapas, la

primera tendrá una inversión de $100.000, 5 años

después se ampliará y el costo de inversión será

$70.000. Si se espera que el costo anual de mantención

sea de$4.000 durante los primeros 7 años, y luego

ascienda a $6.000 anuales de allí en adelante, calcule el

costo capitalizado. Asuma i=10% anual.

Solución:

Siguiendo los pasos descritos anteriormente,

dibujamos primero el diagrama de flujos

Costo capitalizado (Ejemplo)

2 0 1 6 5 7 8 9 n

4000 4000

100.000

70.000

6000 6000 6000

Hallamos el VP (al año cero) de los gastos no recurrentes:

464.1431,1

000.70000.100

5VP


Para calcular el CAUE desde el año 1 hasta infinito

podemos dividir los flujos recurrentes en 2 flujos:

2 0 1 6 5 7 8 9 n

4000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 4000

2 0 1 6 5 7 8 9 n

2000 2000 2000

50261,1

20004000

7CAUE


Luego, 1937241,0

5026143464docapitaliza Costo


Veamos que sucede si usamos este

procedimiento:

Note que al calcular el VP de los gastos no recurrentes se pueden incluir los gastos anuales hasta el séptimo período y del octavo en adelante considerar como único gasto recurrente los 8000 anuales


Hallamos el VP (al año cero) de los gastos no recurrentes:

1629381,1

4000

1,1

4000

1,1

4000

1,1

4000

1,1

4000

1,1

4000

1,1

4000

1,1

000.70000.100

7654325VP

2 0 1 6 5 7 8 9 n

6000 6000 6000

El CAUE de los flujos recurrentes serán:

30791,1

60007CAUE

1937281,0

3079162938docapitaliza Costo

El TIR es la tasa que “entrega” un proyecto

suponiendo que todos los flujos son reinvertidos a

esta tasa.

Se calcula buscando la tasa que hace el VAN igual a cero.

Otros nombres para el TIR son:

•Método del Inversionista

•Método de flujo de efectivo de descuento

•Índice de rentabilidad

TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

Para que el TIR sea positiva:

•Deben estar los ingresos como las erogaciones.

•La suma de los ingresos debe exceder a la de las

erogaciones o flujos salientes.

VAN(i)

i %

i %

El TIR es la rentabilidad de un proyecto siempre que

los flujos liberados en cada período sean re-invertidos

a la tasa TIR. Si los flujos son re-invertidos a una tasa

XTIR, entonces,

La rentabilidad de un Proyecto es

% 100Rent0

0

I

IFlujoFinal

11RentRent

1Rent1Rent

1

1

1

n

nPeriodosPeriodo

n

PeriodonPeriodos

1

1

Re

1

1

1Re

1

1Re1

111...1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

11

n

jnn

j

j

Periodo

n

jnn

j

j

Periodo

n

jnn

j

j

Periodo

njnn

j

j

n

nnFinal

I

xF

nt

I

IxF

nt

I

IxF

nt

xIVANxFxFxFFF

a. Calcule la Rentabilidad por período del siguiente

proyecto, que está expresado como flujos de caja, con

X=10%.

0

1 2

15

10

Flujo Final

5.311.011151.011515

%21515.210

105.31Re 2

Periodosnt

%48.777748.017748.1Re

1Re115.2

1Re1Re

1

1

21

2

12

Periodo

Periodo

PeriodoPeriodos

nt

nt

ntnt

%614.11818614.118614.2

4636.175.02

5.145.1

2

1.5z

x1zcon 05.105.115.1x1

10 /015115110

x1 /01

15

1

1510

2

2

2

2

2

2

TIRxz

zzx

xx

VANxx

Tasa

10%

Cálculo del TIR:

%62.118 ¡¡ Re

%62.1181862.111862.2110

151864.1115Re 2

Periodo

Periodo

nt

nt

Cálculo de la Rentabilidad si los Flujos son

reinvertidos a tasa X= TIR:

Coincide con el TIR

Moraleja: Cuando los flujos son reinvertidos a tasa TIR,

la rentabilidad del proyecto es la TIR, y sólo en ese caso.

Para toda otra tasa el TIR NO es la rentabilidad del

proyecto.

TIR Modificada

Es la tasa que “entrega” un proyecto suponiendo que

todos los flujos son reinvertidos a la tasa costo

capital, la cual generalmente es la tasa atractiva de

retorno (TMAR)

Cálculo de la TIR Modificada

1) Hallar el Valor presente de las inversiones (en valor

absoluto). I0

2) Calcular de VFn de los flujos (usando la tasa del

costo capital, generalmente TMAR)

3) Calcular la TIR Modificada, despejando t’ de la

fórmula:

ntIVF )'1(0

Cálculo de la TIR Modificada

Al calcular el VAN de un proyecto se incluyen

(restan) las inversiones, en el cálculo de la TIR

Modificada le sumamos al VAN la inversión.

nn tIiIVAN )'1()1(* 00

1)1(*1'0

iI

VANt n

Despejando:

Donde i es la tasa costo capital, generalmente TMAR

Análisis incremental

Cuando se realiza un proyecto, lógicamente se busca que

su inversión sea la menor posible. Pero si un proyecto de

mayor inversión se presenta, éste deberá justificar el

incremento de capital. De esta manera si la tasa de retorno

sobre la inversión adicional no iguala o supera nuestra

TMAR el proyecto de mayor inversión (Proyecto retador)

debe desecharse, en caso contrario debe aceptar este último

y desechar el proyecto de menor inversión.

A continuación se mostrará el proceso de análisis

1) Ordenar las alternativas de menor a mayor inversión.

2) Calcular la TIR del proyecto con más baja inversión. Si

TIR<TMAR entonces se desecha el proyecto y se continúa

con el siguiente hasta que TIRTMAR, este proyecto se

llamará DEFENSOR.


El procedimiento para realizar el análisis incremental es el

siguiente:

3) Se igualan los períodos (M.C.M.) entre el

DEFENSOR y el RETADOR (proyecto que le sigue en

inversión)


4) Calcular el Flujo incremental:

5) Calcular la TIR del flujo incremental. Si esta

TIRTMAR entonces el RETADOR se convierte en el

nuevo DEFENSOR (en caso contrario se mantiene el

defensor)

6) Se vuelve al paso 3) hasta que quede solo una

alternativa.

MCM

i

Defensor

i

tador

i FNFN..

0

RelIncrementa Flujo

Análisis incremental (Ejemplo)

Pr oyect o Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4

A -1500 450 550 570 600

B -1000 300 320 400 400

C -2000 450 600 800 900

D -800 240 240 250 260

Utilizando el análisis incremental, determinar cuál proyecto se debería seleccionar si la TMAR es 10%:

Pr oyect o Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4

D -800 240 240 250 260

B -1000 300 320 400 400

A -1500 450 550 570 600

C -2000 450 600 800 900

Siguiendo el procedimiento indicado, primero ordenamos las alternativas en forma ascendente según las inversiones:


2) Calculamos la TIR del proyecto con más baja inversión:

Como TIR<TMAR (8,97%<10%) entonces se desecha el

proyecto “D” y se continúa con el siguiente (“B”):

0)'1(

260

)'1(

250

)'1(

240

)'1(

240800

432

tttt

Despejando obtenemos t’=8,97%

0)'1(

400

)'1(

400

)'1(

320

)'1(

3001000

432

tttt

%74,14' Bt


Como TIRBTMAR el proyecto “B” será el DEFENSOR

3) Igualar los períodos de los proyectos “B” (defensor) y

“A” (retador). Ambos proyectos ya tienen el mismo

número de períodos (4).

4) Calculamos el Flujo incremental:

Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4

-500 150 230 170 200

5) Calculamos la TIR del flujo incremental:

0)'1(

200

)'1(

170

)'1(

230

)'1(

150500

432

tttt



Como TIRTMAR (17,89%>10%) el proyecto “A” pasa a

ser el nuevo DEFENSOR.

6) Volvemos al paso 3), en donde obtenemos que el nº

de períodos es nuevamente 4.

4) Calculamos el Flujo incremental:

Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4

-500 0 50 230 300

5) Calculamos la TIR del flujo incremental:


0)'1(

300

)'1(

230

)'1(

50

)'1(

0500

432

tttt


Como TIR<TMAR (4,43%<10%) entonces “A” sigue

como defensor y como no quedan más proyectos con

quien enfrentarse, “A” es el ganador.

Por lo tanto se debe seleccionar el proyecto “A”

Relación Beneficio/Costo

Tal como su nombre lo indica, el método B/C se basa

en la relación de los beneficios a los costos asociados

con un proyecto particular.

Se utiliza un valor equivalente de los beneficios y un

valor equivalente de los costos, los que pueden ser

valores presente, valores anuales equivalentes o valores

finales.

Debe considerarse el valor del dinero en el tiempo, por

lo que es una razón de beneficios descontados sobre

costos descontados

Relación Beneficio/Costo Existen diversas fórmulas para calcular la relación

B/C se mostrarán dos de ellas, con los métodos de

Valor Presente y VAE.

Razón B/C convencional con VP:

Mantencióny Operación

Beneficios

Proyecto del Totales Costos

costosrebajar sin Proyecto del Beneficios

VPI

VP

C

B

VP

VP

C

B


Un proyecto es económicamente aceptable cuando la relación B/C es mayor o igual a 1

Razón B/C modificada con VP:

InicialInversión

Mantencióny Operación Proyecto del Beneficios

sInversione

costos rebajando Proyecto del Beneficios

I

VPVP

C

B

VP

VP

C

B


Ambas definiciones, convencional y modificada

conducen a la misma decisión. Si bien el valor del

cuociente es diferente en ambas, en el valor “1” son

ambas relaciones iguales y al aumentar los costos

ambas disminuyen, al aumentar los beneficios ambas

crecen, aunque de forma distinta.

Relación Beneficio/Costo Las fórmulas anteriores para calcular la relación B/C

por el método del VAE son:

Razón B/C convencional con VAE:

hay. los si subsidios oDescontand

inversión lapor capital deón recuperaci la FRCI Siendo

Mantencióny Operación

Beneficios

Proyecto del Totales Costos

costosrebajar sin Proyecto del Beneficios

VAEFRCI

VAE

C

B

VAE

VAE

C

B


Razón B/C modificada con VAE:

hay. los si subsidios oDescontand

inversión lapor capital deón recuperaci la FRCI Siendo

InicialInversión

Mantencióny Operación Proyecto del Beneficios

sInversione

costos rebajando Proyecto del Beneficios

FRCI

VAEVAE

C

B

FRCI

VAE

C

B

Las razones así definidas son consistentes con las

anteriores y los proyectos se aceptarán con B/C mayor

o igual a 1.

IVAN

Es la relación entre el Valor actual neto de un proyecto

y su inversión:

Da una medida de la rentabilidad sobre la

inversión

I

VANIVAN

Payback (Período de recuperación)

añosiPayback

Es el año (o período) en el que la suma de los Flujos

Netos es mayor o igual a cero

Se puede calcular con los flujos NO actualizados.

O con Flujos actualizados

i

iFNi

0min

Payback (Tiempo de pago)

El cálculo del Payback considerando los flujos

NO actualizados se realiza simplemente sumando

algebraicamente los Flujos Netos (sin incluir

ninguna tasa de interés) hasta que esta suma sea

mayor o igual que cero.

En cambio si se quiere calcular con flujos

actualizados, se debe tomar en cuenta una

tasa de interés.

Ejemplo:


Pr oyect o Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5

A -1000 480 530 550 560 560

B -1200 500 550 850 950 1000

Se tienen dos proyectos con sus respectivos flujos.

¿Cuál proyecto debe seleccionarse según el Payback

si los flujos no son actualizados? ¿Qué pasa si se

considera flujos actualizados a una tasa del 15%

anual?

Flujos no actualizados:

Proyecto A:

1

0

250i

iFN

añosPayBack

FNi

i

2

0102

0


Proyecto B:

Por lo tanto, según el método del Payback y considerando

flujos no actualizados, conviene realizar el proyecto A.

Veamos que ocurre si usamos flujos actualizados:

7001

0

i

iFN 1502

0

i

iFN

añosPayBack

FNi

i

3

070082055050012003

0

Proyecto A:


Proyecto B:

58315,1

480100

1

0

i

iFN 1822

0

i

iFN

añosPayBack

FNi

i

3

018015,1

550

15,1

530

15,1

4801000

32

3

0

3492

0

i

iFN

76515,1

5001200

1

0

i

iFN

añosPayBack

FNi

i

3

021015,1

820

15,1

550

15,1

5001200

32

3

0


Como el Payback de A es igual al Payback de B (3 años),

entonces según método del Payback estos proyectos son

indiferentes (para flujos actualizados con una tasa del

15% anual)

Si calculan el VAN de cada Proyecto obtendrán que el proyecto B es el mejor.

TASA DE DESCUENTO

TASA DE DESCUENTO OBJETIVO

La tasa de descuento o actualización de los flujos netos de

caja generados por el proyecto, es una de las variables que, a

nivel conceptual y de aplicación, más confusión a causado en

la evaluación de proyectos y además es una de las variables

que más influyen en el resultado de la evaluación de un

proyecto.

La fijación de la tasa de descuento, para muchos, es una

variable poco relevante dentro de la evaluación, por lo que la

estimación de ella adolece de una falta de estudio y

congruencia con las restantes variables del proyecto.


La tasa de descuento representa el retorno mínimo exigido por el inversionista a la inversión del proyecto, debido a que tiene renunciar a un uso alternativo de recursos, los cuales pueden ser invertidos en su mejor alternativa de negocio.

Cuando el riesgo de la alternativa es similar al riesgo de invertir en el proyecto, esta tasa de descuento coincide con el costo de capital de la alternativa o empresa. Por lo tanto, la tasa de descuento se mide con respecto al costo de capital.

El costo de capital se puede entender como la tasa mínima aceptable para que se justifique el uso de los fondos aportados por la estructura de financiamiento utilizada en el proyecto: capital propio y préstamo.


El costo de cada fuente de financiamiento individual, capital propio y préstamo, se determina en forma independiente y luego se pondera de acuerdo a los pesos relativos de cada una de ellas, con respecto al total del valor de los activos, para obtener así, una tasa promedio (Costo Medio Ponderado de Capital).

Esta es una forma de estimar el costo de capital, también se puede determinar a través del Modelo de Valuación de Activos de Capital (CAPM).

Todo proyecto de inversión involucra una cuantía de recursos conocidos hoy a cambio de una estimación de mayores recursos a futuro, sobre los cuales existe un alto grado de incertidumbre.


Por ello, en el costo de capital o tasa de descuento se incluye usualmente un factor de corrección por el riesgo al cual se ve enfrentado el inversionista. En otras palabras, al costo de capital se le adiciona una prima por riesgo, exigiéndole, por tanto, una mayor rentabilidad al proyecto.

El riesgo de un proyecto se puede definir como la variabilidad de los flujos de caja reales con respecto a los estimados. Mientras más grande es está variabilidad, mayor es el riesgo. La variabilidad de los flujos de caja futuros puede estar asociada a errores en las estimaciones y/o cambios de las condiciones de las variables internas y externas del proyecto.

TASA DE DESCUENTO FIJACIÓN Y VARIACIÓN DE LA TASA DE

DESCUENTO

Usualmente la tasa de descuento se fija por encima del costo de capital, cuando la medida de riesgo puede ser considerada. Esta medida del riesgo corresponde a una de las formas de incluir el riesgo en la evaluación del proyecto.

El ajuste de la tasa de descuento mediante una prima por riesgo, es un método muy subjetivo de incluir el riesgo, en donde la pericia administrativa y la experiencia son ingredientes fundamentales. La forma de considerarla es el ajuste de la tasa de descuento por riesgo.


DESCUENTO

Cuando se analiza la factibilidad de una cartera de proyectos

alternativos es común separarlos por categoría de riesgo y establecer

la tasa de descuento relativa al costo de capital de cada categoría.

La tasa de descuento no es una variable estática, pues varía de un

proyecto a otro y a través del tiempo debido a diversas causas, entre

ellas se pueden mencionar:


DESCUENTO

El riesgo del proyecto. Mientras, mayor sea el riesgo que se juzgue asociado a un proyecto, mayor será la tasa de descuento y también el costo de capital.

La sensibilidad del área del proyecto. Por ejemplo, si la administración desea centralizar sus inversiones en un área determinada, para ello, podría hacerlo disminuyendo la tasa de descuento. Esto puede provocar confusión en un estudio económico.

Métodos de financiación de capital. Si se limita la oferta de capital financiero y la demanda de este capital excede la oferta, la tasa de descuento sube.

Cambio de las condiciones del mercado financiero.

Cambio de la cartera de proyectos a lo largo del tiempo.

Cambio de la estructura financiera de la empresa.


DESCUENTO

Pocentaje(%)

Tasa de Prima por Riesgo

descuento estimada Costo de Capital para un proyecto

de inversión Retorno de una inversión libre de

riesgo

TASA DE DESCUENTO COSTO DE CAPITAL

El costo de capital obedece a un mecanismo racional de

evaluar distintas alternativas financieras de inversión.

Representa la rentabilidad mínima que se exigirá a los

proyectos, según su riesgo, de manera tal que el retorno

esperado permita cubrir la totalidad de la inversión inicial

en cada uno de ellos, los egresos de operación, los

intereses que deberá pagarse por aquella parte de la

inversión financiada con préstamos y la rentabilidad que el

inversionista le exige a su propio capital invertido.


Representa el precio que se paga por los fondos requeridos

para cubrir una inversión.

Cuando el proyecto es medido por criterios de evaluación, el

costo de capital es un parámetro racional por el cual un

proyecto se acepta o se rechaza. Así es importante la

definición de una adecuada estructura de financiamiento y el

correcto cálculo de él.


El costo de capital debe considerar el conjunto fuentes de

financiamiento de la empresa como un todo. Es decir, que este costo no

se determina para cada proyecto particular, según sus fuentes

financiamiento, sino que se considera la totalidad de las fuentes de

financiamiento de la cartera de proyectos de la empresa, analizando

tanto el capital propio de la empresa y las deudas totales.

Lo que interesa es poder determinar el costo medio ponderado de la

mezcla de fuentes de financiamiento repartidas entre capital propio y

deudas. Para esto es necesario determinar el costo efectivo de cada

una de las fuentes.


El costo efectivo se puede definir como la tasa de rendimiento

que iguala el valor actualizado de todos los fondos “realmente

recibidos” por la empresa, con el valor actualizado de todos

los egresos en el tiempo que se supone provocará la

operación financiera.

Estos egresos pueden ser por el capital retenido en préstamo,

los intereses, la amortización o bien por los dividendos

asociados con una emisión de acciones, etc.

TASA DE DESCUENTO AJUSTE DE LA TASA DE DESCUENTO POR RIESGO

Esto corresponde a uno de los métodos de considerar el

riesgo del proyecto en los flujos de caja.

Se efectúa una corrección de la tasa de descuento o costo de

capital. Pues a mayor riesgo, mayor debe ser la tasa para

castigar la rentabilidad del proyecto. Por lo tanto, un proyecto

evaluado en función de la tasa de costo de capital puede

resultar no rentable, al usar una tasa ajustada por riesgo.

Este método se puede mirar desde la perspectiva de que al

proyecto se le exige asegurarse, de tal forma de garantizar los

beneficios netos esperados


Existen dos tipos de riesgos operacionales: los riesgos asegurables y los riesgos no

asegurables.

Los primeros son riesgos susceptibles de ser incluidos en los costos del proyecto

como primas que se pagan a las compañías de seguro por la contratación de

distintos tipos de seguros: contra incendio, robos, explosiones, accidentes, etc.

Los segundos riesgos son los que le dan el carácter de incertidumbre a la

estimación de las variables del proyecto, ya que están relacionados con las

variaciones de las condiciones en las cuales fue evaluado el proyecto, como por

ejemplo, por una lado, las relacionadas con la inversión (vida útil y cambio

tecnológico) y por otro lado, aquellas situaciones imprevistas como condiciones

climáticas adversas (diluvio o sequía), cambios en los gustos, preferencias del

mercado objetivo, etc.


La prima por riesgo con la cual se castigará aún mas la rentabilidad

del proyecto es por concepto de solo aquellos riesgos no asegurables

que hacen que el proyecto sea de mayor riesgo que el de la

empresa, manifestado en el grado de incertidumbre.

Es decir, la prima por riesgo corresponde a la rentabilidad adicional

exigida por el inversionista para compensar los retornos inciertos.

En consecuencia, este seguro que supuestamente está representado

parcialmente por la prima por riesgo, va a depender principalmente

del monto de la inversión y del grado de incertidumbre asociado al

proyecto.


Por otro lado, el valor de la prima por riesgo va a depender de la

fracción de la inversión recuperable si el proyecto es terminado

repentinamente, de la incertidumbre de las proyecciones técnicas y

económicas del proyecto y del grado de riesgo asociado al proyecto.

Luego, a los recursos invertidos en el proyecto se le exigirán dos pagos: 1. Pago por el costo de capital(r)

2. Pago por la prima de riesgo(p)


Con lo cual la tasa mínima atractiva de retorno con la cual se descontarán los flujos netos de caja es:

Tasa de Descuento = r + p

Este método es una forma bastante intuitiva de considerar la incertidumbre del proyecto. Es una forma sencilla y práctica de considerar el riesgo asociado a una inversión, pero su principal desventaja es el carácter subjetivo que posee, pues las preferencias personales pueden hacer diferir la tasa adicional por riesgo entre distintos inversionistas para un mismo proyecto particular.


Nivel de riesgo

Prima por riesgo (p%)

Ejemplo de proyectos

Alto

Sobre 20%

Desarrollo de nuevos productos

Proyectos que usan conceptos muy novedosos

Contratos internacionales

Mediano

10% - 20%

Proyectos algo fuera del giro de la empresa

Procesos nuevos que no han sido completamente

investigados

Promedio

5% - 10%

Incremento de la capacidad de producción

Implementación de una nueva tecnología conocida

Proyectos con información de mercado incompleta

Bajo

1% - 5%

Mejoramiento de la productividad

Expansiones en un mercado en donde es líder y lo conoce

bien

Muy bajo

0% - 1%

Reducción de costos

Proyectos relativos de seguridad

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