Clases Unidad 2 Tema 4 5 6

7/24/2019 Clases Unidad 2 Tema 4 5 6

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Republica Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación Superior

Universidad Nacional Experimental Dr. Raael Mar!a BaraltPro"rama de #n"enier!a $ %ecnolo"!aSan Pedro& estado 'ulia

(ontroles )utom*ticos

Unidad ##+ Temas 4,5,6 programa UNERMB

Profesor:Ing. Elba SandovalMsC. Ingeniería de Control yAutomatización de ProcesosIndustriales



%EM) ###+ )N,-#S#S DE -) RESPUES%) %R)NS#%R#)

La respuesta transitoria es la parte de la respuesta de un sistema

que se presenta cuando hay un camio en una entrada y desaparece

despu!s de un re"e inter"alo de tiempo#

La respuesta en estado estable es la respuesta que permanece

despu!s que desaparecen todos los transitorios#





Sistemas de primer orden

$esde el punto de "ista matem%tico se representan por

ecuaciones di&erenciales ordinarias de primer orden# Estos

sistemas pueden ser'

El!ctricos, mec%nicos traslacionales, mec%nicos rotacionales,

t!rmicos, hidr%ulicos, electromec%nicos#

Sistemas de se"undo orden+

$esde el punto de "ista matem%tico se representan por

ecuaciones di&erenciales ordinarias de segundo orden# Estos

sistemas pueden ser'

El!ctricos, mec%nicos traslacionales, mec%nicos rotacionales,

t!rmicos, hidr%ulicos, electromec%nicos#



%EM) /+ ES%)B#-#D)D DE UN S#S%EM) DE (N%R-

Un requerimiento importante para un sistema de control es que dee ser

estale, es decir que si al sistema se aplica una entrada de magnitud &inita,

entonces la salida deer(a tami!n ser &inita y de ning)n modo in&inita#

*ara los sistemas lineales el requerimiento de estailidad se puede de&inir en

t!rminos de los polos de la &unci+n de trans&erencia en lao cerrado#

Los polos son las ra(ces del polinomio del denominador de la &unci+n de

trans&erencia y los ceros las ra(ces del polinomio del numerador de la &unci+n de

trans&erencia#

Un sistema se puede de&inir como estale si toda entrada acotada, es decir

&inita, produce una salida acotada o in&inita#

La condici+n de estailidad tami!n se puede e-presar como que un sistema

es estale si al e-citarlo con un impulso la salida regresa e"entualmente a cero#

Los sistemas de control en lao aierto son inherentemente estales# Una

entrada &inita produce una salida &inita y en que &orma inde&inida no camia con

el tiempo#



En los sistemas de control en lao aierto al incrementar la &unci+n de

trans&erencia de un elemento en tales sistemas no tiene e&ecto en la estailidad

del propio sistema#

E.emplo'

En una maquina dispensadora de chocolates, /sumiendo que la maquina

dispensadora es un sistema de lao aierto, al insertar correctamente el dinero ,

la maquina le dar% el chocolate, no continuara dando arras en &orma inde&inida#

/l camiar el tipo de arra de chocolate que tenga la maquina y su costo en

&orma independiente esto no tendr% e&ecto sore la estailidad del sistema#

En los sistemas de control en lao cerrado pueden mostrar inestailidad, ya

que se pueden presentar como resultados de tiempos de retardos que ocurren

entre el camio de la "ariale y la se0al de realimentaci+n que resulta de la

respuesta de un sistema#

E.emplo'

Un sistema de control de un rao ro+tico o la mano de un orracho, que dee

le"antar una taa de ca&!#



La mano se mue"e hacia la tasa de ca&! y si en ese mo"imiento des"(a hacia

la derecha en la trayectoria requerida, es un retardo porque no lo logro, se en"(a

una se0al a la mano para iniciar nue"amente el mo"imiento, esta se0al continua

en la situaci+n ideal hasta que la mano logre alcanar la tasa de ca&!#

1in emargo si hay tiempos de retardos en el sistema, la acci+n puede

continuar por un tiempo prolongado y la mano puede sorepasar la trayectoria

requerida antes que el sistema reaccione#

El ciclo entero se puede repetir dirigi!ndose la mano hacia adelante o hacia

tras, de un lado a otro de la trayectoria requerida, de esta manera una

perturaci+n inicial puede producir una situaci+n inestale#

La inestailidad depende de la &unci+n de trans&erencia de la trayectoria

directa, puesto que un "alor grande para esta resultar(a en un gran mo"imiento

de la mano durante el tiempo de retardo#



Entre muchas &ormas de especi&icaciones de desempe0o usadas en el dise0o

de sistema de control, el mas importante requerimiento es que el sistema dee

ser estale# Un sistema inestale es generalmente considerado in)til#

Entonces al dise0ar un sistema de control, se dee ser capa de predecir el

comportamiento din%mico a partir del conocimiento de sus componentes y la

caracter(stica mas importante del comportamiento din%mico de un sistema de

control, es la ES%)B#-#D)D )BS-U%), es decir si un sistema es estale o es

inestale#

2Un sistema de control esta en equilirio, si en ausencia de cualquier

perturaci+n, la salida permanece en el mismo estado3

2un sistema de control lineal e in"ariante en el tiempo es estale si la salida

termina por regresar a su estado de equilirio cuando el sistema esta su.eto a

una condici+n inicial3

2un sistema de control lineal e in"ariante en el tiempo es cr(ticamente estale si

las oscilaciones en la salida contin)an en &orma inde&inida3



/parte de la estailidad asoluta, se dee considerar cuidadosamente la

estailidad relati"a, esta representa la medida cuantitati"a de la rapide con la

que la respuesta transitoria tiende a cero#

uanto menor sea el tiempo en estailiarse la respuesta, el sistema es mas

estale relati"amente#



Polos $ ceros

*ara entender la estailidad de un sistema de control es necesario, partir de la

de&inici+n de los polos y los ceros de una &unci+n de trans&erencia#2La &unci+n de trans&erencia en lao cerrado s7 de un sistema en general se

puede representar mediante3

8 si las ra(ces del denominador y del numerador se estalecen como'

$onde las ra(ces del numerador son 9:,9;<# 9n y se denominan eros y las

Raices del denominador son p:,p;<#pn y se denominan polos# = es una

constante multiplicadora o ganancia del sistema#



Los ceros son los "alores de 1 para los cuales la &unci+n de trans&erencia se

"uel"e cero, los polos son los "alores para los cuales la &unci+n de trans&erencia

es in&inita, es decir estos hacen que el "alor del denominador sea cero#

$e esta manera por e.emplo si el numerador es s>;7 entonces la &unci+n de

trans&erencia es cero si s>;7?@ es decir 1?A;, por lo tanto el cero esta en A;#

1i el denominador es sA57 entonces la &unci+n de trans&erencia es in&inita si

sA57?@ si 1?>5, por lo tanto el polo esta en >5#

Los polos y los ceros pueden ser cantidades reales o comple.as# Estos se

pueden escriir como s01234 donde es la parte Real y CD la parte maginaria#

omo se indica en la siguiente ecuaci+n,

enunciar los "alores de ceros y polos de un sistema, .unto con el "alor de una

ganancia permite especi&icar por completo la &unci+n de trans&erencia de un

sistema#



Patrón de ceros $ polos

Los polos y los ceros de una &unci+n de trans&erencia se pueden representar

en un diagrama llamado patr+n de polos y ceros#

La &igura muestra los e.es que se usan para dicho diagrama, el e.e 2-3 es la

parte real del polo o cero y el e.e 2y3, la parte imaginaria de un polo o un cero#

La posicion de un polo se marca con una cru o F, y la de los ceros con un

peque0o circulo 2o3#

$e esta manera en la &igura se marca un polo que tiene como parte real de >:

y una parte imaginaria :. es decir el polo esta en >:A:.7# El cero se marca en A: y no tiene parte imaginaria#

La gra&ica en dos dimensiones se conoce como plano 1, los polos o ceros en

el lado iquierdo de la gra&ica son todos negati"os, los polos o ceros en el lado

derecho de la gra&ica son positi"os# Los polos o ceros son pares del tipos ACD7



Un sistema lineal e in"ariante en el tiempo es estale si cumple las

condiciones siguientes'

:# /nte una entrada acotada o &inita responde con una salida acotada o &inita#

;# 1i todos los polos de la &unci+n de trans&erencia est%n en el semiplano 2s3

negati"o , es decir tienen la parte real negati"a#

La localiaci+n de los polos de un sistema en el plano s representan la

respuesta transitoria resultante #

Los polos en el semiplano derecho del plano s, dan como resultado una

respuesta decreciente ante una perturaci+n#

Los polos en el e.e imaginario y en el plano derecho dan como resultado un

respuesta neutral y otra creciente#

*or tal ra+n la ona de estailidad de un sistema din%mico se estalece en el

semiplano negati"o del plano s#



*or esta ra+n anteriormente descrita es necesario que para un sistema

realimentado sea estale es que todos los polos de la &unci+n de trans&erencia

del sistema tengan partes reales negati"as, uicadas en el semiplano iquierdo

del plano s#

1i llegase el caso de que la ecuaci+n caracter(stica del sistema tenga ra(ces

simples sore el e.e imaginario, respecto al e.e iquierdo, se asume que el

proceso o sistema es marginalmente estale#

1i una ecuaci+n caracter(stica de un sistema tiene los polos sore el

semiplano derecho del plano s entonces es inestale#

E.ercicios



(riterio de Estabilidad )bsoluta o Rout5 6ur7itz

Es un m!todo algeraico que o&rece in&ormaci+n sore la estailidad asoluta de

un sistema lineal e in"ariante en el tiempo que tiene una ecuaci+n caracter(stica con

coe&icientes constantes#

El criterio pruea la estailidad asoluta para cualquiera de las ra(ces de la

ecuaci+n caracter(stica de un proceso situadas en el lado derecho del plano s,

tami!n indica para el numero de ra(ces situadas en el e.e CD y en el lado derecho del

plano s#

Este criterio se utilia cuando el grado del polinomio de la &unci+n de trans&erencia

es de grado mayor a G#



Metodolo"ia de aplicación del (riterio de Estabilidad )bsoluta o Rout5 6ur7itz

cuando las ra(ces del polinomio del denominador de la &unci+n de trans&erencia

tienen la &orma

1e requiere utiliar el criterio de Routh>HurIit#

el criterio estalece que si las ra(ces de la ecuaci+n caracter(stica o &unci+n de

trans&erencia estar%n en el semiplano iquierdo del plano s, si todos los elementos de

la primera columna son de igual signo#

/s( mismo el numero de camios de signo en los elementos de la primera columna

equi"ale al numero de ra(ces con parte real positi"a o en el semiplano derecho#

*or otro lado el criterio estalece que para que un sistema sea estale requiere que

no haya camios de signos en la primera columna#



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