Classes 2B et 2C Athénée de Luxembourgold.al.lu › physics › deuxieme › robinet › cours.pdf · Chapitre1 Optiquegéométrique 1.1 Propagationdelalumière 1.1.1 L’œiletlesobjetslumineux

Cours de physique

Classes 2B et 2C

Athénée de Luxembourg

Table des matières

1 Optique géométrique 61.1 Propagation de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 L’œil et les objets lumineux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Propagation rectiligne de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Célérité de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Réflexion de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1 Diffusion et réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2 Image d’un objet fournie par un miroir plan . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Les lois de la réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.4 La position d’un point image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Réfraction de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.1 Le phénomène de réfraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.2 Les lois de la réfraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.3 L’indice de réfraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.4 La loi de Snell-Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.5 L’angle de réfraction limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.6 Réflexion totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.7 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4 Lentilles minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.2 Lentilles convergentes, lentilles divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.3 Points et rayons particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.4 Distance focale et vergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.5 Image formée sur un écran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.6 Image observée à travers la lentille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.7 Relations des lentilles minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Cinématique 362.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Référentiel et repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.1 Référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.2 Repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.3 Trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 Position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2BC Table des matières 3

2.3.2 Abscisse curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4 Vecteur vitesse d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.1 Vitesse moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.2 Vitesse instantanée algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.3 Vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.4 Coordonnées du vecteur vitesse instantanée . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5 Accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5.1 Accélération moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5.2 Accélération instantanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.6 Mouvements rectilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6.1 Mouvement rectiligne uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6.2 Mouvement rectiligne uniformément varié . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Dynamique 513.1 La quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1.1 Étude expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.1.2 Exploitation des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.1.3 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.1.4 Loi de conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . 543.1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Les lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2.1 La première loi de Newton : le principe d’inertie . . . . . . . . . . . . . 573.2.2 La deuxième loi de Newton : le principe fondamental de la dynamique . 583.2.3 La troisième loi de Newton : le principe d’interaction . . . . . . . . . . 613.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2.5 Traduction originale des lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3 Interactions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.1 L’interaction gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.2 L’interaction électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3.3 L’interaction forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3.4 L’interaction faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4 Travail et puissance 704.1 Travail d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.1.2 Le travail est une grandeur algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.1.3 Force variable sur une trajectoire curviligne . . . . . . . . . . . . . . . 734.1.4 Force constante sur une trajectoire curviligne . . . . . . . . . . . . . . . 734.1.5 Force variable sur une trajectoire rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . 754.1.6 Forces conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2 Puissance d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2.1 Puissance moyenne d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2.2 Puissance instantanée d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5 Énergie mécanique 815.1 Notion d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4 Table des matières 2BC

5.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.1.2 Transferts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.1.3 Rendement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2 Énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.3 Formes d’énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3.1 Énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3.2 Énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6 Électricité 946.1 Champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.1.1 Interaction électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.1.2 Le champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.1.3 Lignes de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.1.4 Exemples de spectres électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.2 Potentiel et énergie potentielle électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2.1 Travail de la force électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2.2 Énergie potentielle électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2.3 Potentiel électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.2.4 Tension et différence de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2.5 Relations pour un condensateur plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.3 Énergie et puissance électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.3.1 Générateurs et récepteurs électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.3.2 Énergie reçue, énergie fournie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.3.3 Dipôle parcouru par un courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.3.4 Loi de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.4 Dipôles actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4.1 Générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4.2 Récepteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.4.3 Association de dipôles en série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.5 Condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.5.1 Qu’est-ce qu’un condensateur ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.5.2 Charge et décharge d’un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.5.3 Capacité d’un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.5.4 Énergie emmagasinée dans un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . 1246.5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7 Électromagnétisme 1287.1 Magnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.1.1 Aimants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.1.2 Notion de Champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.1.3 Superposition de champs magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.1.4 Lignes de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.1.5 Champ magnétique créé par un aimant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

2BC Table des matières 5

7.1.6 Champ magnétique créé par un courant . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.1.7 Le champ magnétique terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.2 Forces magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.2.1 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.2.2 Force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.3 Induction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.3.1 Mise en évidence expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.3.2 Flux magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.3.3 Lois de l’induction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.3.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Chapitre 1

Optique géométrique

1.1 Propagation de la lumière

1.1.1 L’œil et les objets lumineux

Pour qu’un objet soit visible, il faut qu’il émette de la lumière et qu’une partie de cettelumière émise atteint l’œil ou un autre récepteur de lumière.

Certains objets, appelés sources lumineuses, produisent la lumière qu’ils émettent.

• Un corps chauffé à une tempérture suffisante émet de la lumière par incandescence :étoile, filament d’une ampoule, . . .

• Un corps peut aussi émettre de la lumière à température ambiante par luminescence :tube fluorescent, diode luminescente, laser, . . .

• Un gaz traversé par une décharge électrique peut émettre de la lumière : lampe au néon,lampe à vapeur de sodium, . . .

Tous les autres objets visibles sont éclairés. Ils renvoient la lumière qu’ils reçoivent danstoutes les directions, nous disons que l’objet diffuse de la lumière. C’est le cas de la Luneet des planètes, ainsi que de la plupart des objets quotidiens. Un tel objet est invisible dansl’obscurité totale.

La lumière est-elle visible ? Considérons l’expérience suivante.

Expérience 1.1 Un écran est éclairé par un faisceau laser. Nous essayons de voir le faisceau.

Observations :

Une petite tache lumineuse est visible sur l’écran, le faisceau laser est invisible (figure 1.1a).Après émission de vapeur, un faisceau fin apparaît : il matérialise le trajet de la lumière(figure 1.1b).

Interprétation :

Lorsque le faisceau traverse l’air parfaitement pur, il est totalement invisible. L’écran diffusantrenvoie une partie du faisceau dans toutes les directions, une tache lumineuse est visible.Lorsque le faisceau rencontre la vapeur, les gouttelettes de la vapeur, qui sont des particules

2BC Optique géométrique 7

(a) dans l’air (b) à travers la vapeur

Figure 1.1 – Observation d’un faisceau laser

diffusantes, renvoient la lumière dans toutes les directions. L’œil en reçoit une partie : nousne voyons pas le faisceau, mais les gouttelettes éclairées sur son trajet.

Conclusion :

Dans un milieu transparent, la lumière n’est pas visible. Elle permet, lorsqu’elle atteint l’œil,de voir les objets dont elle est issue.

1.1.2 Propagation rectiligne de la lumière

Les milieux dans lesquels la lumière peut se propager sont appelés milieux transparents. Àl’inverse, un milieu opaque ne permet pas la propagation de la lumière.

Un milieu est homogène si ses propriétés sont identiques en chacun de ses points (air pur àtempérature uniforme, eau pure, solution de concentration uniforme, . . .).

La visualisation du faisceau laser dans l’expérience 1.1 nous permet de formuler la loi sur lapropagation rectiligne de la lumière.

Propagation rectiligne La lumière se propage en ligne droite dans le vide et dans toutmilieu transparent et homogène.

On modélise le chemin suivi par la lumière par des lignes, orientées dans le sens de la pro-pagation, appelées rayons lumineux. Un faisceau lumineux est un ensemble de rayons issusd’une même source.

8 Optique géométrique 2BC

Ombre et pénombre

Expérience 1.2 Un objet opaque est éclairé par une ou plusieurs sources lumineuses. Onplace un écran à l’opposé des sources.

Observations :

Derrière l’objet éclairé par une seule source ponctuelle (figure 1.2), une partie de l’espace nereçoit pas de lumière. Cette zone est appelée ombre. L’intersection de l’ombre avec l’écrancrée l’ombre portée.

source lumineuseombre portée

ombre

objet opaque

écran

Figure 1.2 – Formation de l’ombre avec une source ponctuelle

Lorsque l’objet est éclairé par deux sources ponctuelles (figure 1.3), une partie de l’espace nereçoit de la lumière que d’une des sources lumineuses. Cette zone est appelée pénombre. Sonintersection avec l’écran crée la pénombre portée.

source lumineuse 2

ombre portée

ombre

objet opaque

écran

source lumineuse 1

pénombre portée

pénombre portée

pénombre

pénombre

Figure 1.3 – Formation de la pénombre avec deux sources ponctuelles

Interprétation :

La formation d’une ombre est une conséquence directe de la propagation rectiligne de lalumière. L’objet opaque constitue un obstacle que la lumière ne contourne pas.

Chambre noire

Une chambre noire est une boîte fermée où un petit trou percé sur une des faces laisse entrerla lumière et la face opposée, faite d’une feuille de papier calque, sert d’écran.


Expérience 1.3 Plaçons un objet en face du trou de la chambre noire (figure 1.4).

Figure 1.4 – Formation d’une image avec une chambre noire

Observation :

On observe une image de l’objet sur l’écran. On remarque que cette image est renversée parrapport à l’objet.

Interprétation :

Chaque point de la source émet des rayons dans toutes les directions. Les rayons qui traversentle trou frappent l’écran.

Les rayons issus de A donnent l’image A′, ceux issus de B donnent B′ (figure 1.5).

Figure 1.5 – Principe de fonctionnement d’une chambre noire

Avec :p distance entre l’objet et le troup′ distance entre l’image et le trouh hauteur de l’objeth′ hauteur de l’image

Si on éloigne l’objet, l’image devient plus petite : p⇒ h′ .Si on éloigne l’écran, l’image devient plus grande : p′ ⇒ h′ .

Les triangles ABO et A′B′O étant semblables, le grandissement γ s’écrit :

γ = h′

h= p′

p.

En augmentant la taille du trou, l’image devient plus lumineuse mais moins nette : le faisceaulumineux issu d’un point donnera un petit disque sur l’écran.


Le rôle de l’œil et du cerveau

La lumière provenant d’un objet que l’on observe traverse les milieux transparents de l’œil,puis arrive sur la rétine, fine membrane qui tapisse le fond de l’œil. La rétine comporte descellules nerveuses photosensibles :

• les bâtonnets (environ 120 millions), réagissant à l’éclairement ;

• les cônes (environ 5 millions), intervenant dans la vision des couleurs.

L’action de la lumière sur la rétine engendre des influx nerveux qui sont transmis au cerveaupar l’intermédiaire du nerf optique. Le cerveau interprète les informations captées par nosdeux yeux et nous percevons ainsi une image unique en relief (figure 1.6).

Figure 1.6 – La perception visuelle de l’homme

Le cerveau interprète toujours l’impression lumineuse comme si les rayons reçus par l’œilprovenaient directement en ligne droite de chaque point lumineux.

1.1.3 Célérité de la lumière

Les scientifiques ont cru longtemps que la propagation de la lumière était instantanée. Au 17e

siècle on rejeta cette idée et on parvint à mesurer pour la première fois la célérité ou vitessede propagation finie de la lumière.

Célérité La valeur fixée pour la célérité de la lumière dans le vide, notée c, est une constanteuniverselle, avec c = 2,997 924 58 · 108 m/s.

En pratique, nous adopterons comme valeur approchée de la vitesse de la lumière dans levide :

c = 3,00 · 108 m/s

Dans les autres milieux transparents (eau, verre, . . .), la lumière se propage toujours à unevitesse inférieure à 3,00 · 108 m/s.


Milieu c (m/s)vide 3,00 · 108

eau 2,25 · 108

plexiglas 2,01 · 108

verre crown 1,98 · 108

verre flint 1,82 · 108

Remarques :

• L’année lumière, notée « a.l. », est une unité utilisée en astronomie pour exprimer desdistances. Elle correspond à la distance parcourue par la lumière dans le vide en uneannée.

• Actuellement, la vitesse la plus faible observée pour la lumière est de 17 m/s.

1.1.4 Exercices

Exercice 1.1 On considère une source ponc-tuelle S, une petite sphère de rayon r = 2 cmet un écran placé à la distance D = 2,0 m dela source S. La sphère est placée à la distanced = 0,5 m de la source ponctuelle de telle fa-çon que l’on puisse voir son ombre portée sur l’écran. La source S et les centres de l’écran etde la sphère sont alignés.

1. Quelle est la nature géométrique de l’ombre portée sur l’écran ?

2. Évaluer les dimensions de cette ombre portée, ainsi que sa surface.

3. On remplace la sphère par un disque de même rayon, à quelles conditions peut-onobtenir sur l’écran la même ombre portée qu’avec la sphère ?

Exercice 1.2 Soient deux sources ponct-uelles S1 et S2 situées dans un plan verti-cal à la distance D = 3,00 m d’un écran dé-roulé verticalement. On dispose à la distanced = 30 cm des deux sources, un petit objetopaque de forme rectangulaire a = 3,0 cm et b = 2,0 cm, le côté le plus long étant disposéverticalement. Les deux sources lumineuses distantes de 3,0 cm sont disposées symétrique-ment par rapport à la direction horizontale passant par le milieu O du rectangle.

1. Faire un schéma dans un plan vertical contenant S1, S2 et O et en utilisant la propa-gation rectiligne de la lumière, montrer l’existence d’une (ou des) zone(s) d’ombre etd’une (ou des) zone(s) de pénombre.

2. Ces zones sont rectangulaires. En utilisant une vue de dessus, c’est-à-dire dans unplan horizontal contenant O, déterminer la largeur commune des zones précédemmentdéfinies.

3. À partir des 2 schémas en déduire les dimensions de la zone d’ombre et déterminer sasurface.


4. En utilisant le schéma dans le plan vertical et le théorème de Thalès, montrer que lahauteur H de la zone d’ombre et de pénombre est donnée par la relation :

H = aD − d/2d/2

5. En déduire la surface des zones de pénombre et préciser le nombre de zones de pénombreet leurs dimensions.

Exercice 1.3 Une fente de largeurO1O2 = 5,0 cm est éclairée par une sourcelumineuse S supposée ponctuelle placée à ladistance d1 = OS = 20 cm (O est le milieu dela fente). On place un écran (E) à la distanced2 = OH = 60 cm. Le point H appartenantà l’écran est tel que les points S, O et H sont alignés. Quelle est la largeur d’écran éclairéepar la source ?

Exercice 1.4 À partir d’une boîte pa-rallélépipédique, Julien construitune chambre noire.Puis il place face au trou (noté O) dediamètre d = 1,0 mm un filament lumi-neux rectiligne AB de hauteur 10,0 cm(O′ milieu de AB) et d’épaisseur négli-geable. Le filament est disposé parallèlement à la face translucide, sa distance au trou O estD = 60,0 cm.

1. En considérant le trou O ponctuel et en utilisant des rayons lumineux issus de A et B,montrer que l’œil de Julien placé derrière la feuille translucide voit une reproductiondu filament renversée sur la feuille (on parlera d’image A′B′), puis déterminer la taillede l’image A′B′.

2. Montrer sur un schéma en vue du dessus avec deux rayons issus de O′ que le diamètredu trou influe sur la netteté de l’image. Établir la relation qui lie la largeur e de l’imageà la distance D et aux caractéristiques de la chambre noire (l et d) puis calculer e.

Exercice 1.5 Exprimer une année lumière en mètres sachant qu’une année a 365,25 jours.

Exercice 1.6 Dans le Nuage de Magellan, galaxie naine tournant autour de la Voie lactée,une étoile massive a explosé il y a 170000 ans environ. La lumière de l’explosion a atteintla Terre le 23 février 1987. Ce soir-là, Ian Shelton, un astronome canadien, observant le cielà l’œil nu, a remarqué la présence d’une nouvelle étoile dans le Nuage de Magellan. C’étaitune supernova, résultat de l’explosion d’une étoile. À quelle distance de la Terre (en km) lasupernova se trouve-t-elle ?

Exercice 1.7 Des réflecteurs ont été déposés à la surface de la Lune lors des différentesmissions lunaires Apollo. Depuis la Terre, on vise un réflecteur à l’aide d’un faisceau laser eton mesure la durée t séparant l’émission de la réception. Lors d’une expérience, on a trouvé :t = 2,51 s.


1. Déterminer la distance entre les surfaces des deux astres.

2. En déduire la distance entre leurs centres.

Données : rayon de la Terre RT = 6,40 · 103 km, rayon de la Lune RL = 1,74 · 103 km.

1.2 Réflexion de la lumière

1.2.1 Diffusion et réflexion

Expérience 1.4 On envoie un faisceau laser rouge sur une feuille de papier blanc et onplace un petit objet au voisinage de la feuille, en dehors du faisceau incident (figure 1.7).Puis on remplace la feuille de papier par un miroir (figure 1.8).

Figure 1.7 – Laser sur feuille de papier Figure 1.8 – Laser sur miroir

Observations :

L’objet placé au voisinage de la feuille de papier est éclairé en rouge. Lorsqu’on remplace lafeuille de papier par le miroir, l’objet n’est plus éclairé.

Interprétation :

La feuille renvoie la lumière dans toutes les directions : elle diffuse la lumière. La surface dumiroir renvoie la lumière dans une seule direction : elle réfléchit la lumière.

Définition On dit qu’un rayon lumineux est réfléchi par une surface lorsqu’il est renvoyépar celle-ci dans une direction déterminée.

Remarques :

• En physique, on appelle miroir toute surface réfléchissante : miroir au sens usuel duterme, mais aussi surface d’une eau tranquille, surface métallisée, vitrine . . .

• Lorsque la surface réfléchissante est plane, on dit qu’il s’agit d’un miroir plan.

1.2.2 Image d’un objet fournie par un miroir plan


Expérience 1.5 On dispose deux bougies symétriquementpar rapport à une vitre. Seule la bougie placée devant le mi-roir est allumée.

Observation : l’image de la flamme donnée par la vitre nousdonne l’illusion que la mèche de la bougie placée derrière lavitre est elle aussi allumée.

Interprétation : un objet et son image donnée par un miroirplan sont symétriques l’un de l’autre par rapport au miroir(figures 1.9).

(a) vue latérale (b) vue d’en haut

Figure 1.9 – Image d’une bougie fournie par un miroir

À tout point A de l’objet correspond un point A′, image symétrique de A par rapport aumiroir. A′ est le point image conjugué du point objet A dans le miroir.

1.2.3 Les lois de la réflexion

Pour pouvoir expliquer l’existence d’un point image, il faut savoir comment un seul rayon estréfléchi par un miroir.

Expérience 1.6 On dirige un rayon laser obliquement vers la surface réfléchissante d’unmiroir horizontal. Les faisceaux incident et réfléchi sont visualisés par la vapeur (figure 1.10).

Observation : les faisceaux incident et réfléchi sont dans un plan perpendiculaire au miroir.

Figure 1.10 – Plan contenant les rayons Figure 1.11 – Mesure des angles


Expérience 1.7 On place un rapporteur dans un plan perpendiculaire à un miroir (figure1.11).

Observation : l’angle de réflexion r et l’angle d’incidence i ont même amplitude.

Ces résultats constituent les lois de Descartes de la réflexion (figure 1.12).

Lois de la réflexion Le rayon incident, le rayon réfléchi et la normale à la surface réflé-chissante sont situés dans un même plan, appelé plan d’incidence.

L’angle de réflexion est égal â l’angle d’incidence :

r = i

Les directions du rayon réfléchi et du rayon incident sont donc symétriques l’une de l’autrepar rapport à la normale au plan l’incidence.

Figure 1.12 – Lois de la réflexion

1.2.4 La position d’un point image

Deux rayons issus d’un point-objet A sont dirigés vers un miroir plan (M) qu’ils atteignentrespectivement en I1 et I2. Les droites (I1O1) et (I2O2) supportant les rayons réfléchis I1O1et I2O2 sont symétriques des droites (AI1) et (AI2) par rapport aux normales n1 et n2 auplan du miroir.

Elles passent donc par le point A′ symétrique de A par rapport au plan du miroir (la droite(AA′) est perpendiculaire au plan du miroir et a = a′). Il en est de même pour le rayonréfléchi correspondant à tout rayon incident issu de A.

Pour l’œil d’un observateur recevant la lumière réfléchie par le miroir, tout se passe comme sielle provenait d’un point-objet placé en A′. C’est là l’interprétation du cerveau, conditionnéà la propagation rectiligne de la lumière.

Les lois de la réflexion permettent donc d’établir que le point-image A′ qu’un miroir planfournit d’un point-objet A donné est symétrique de A par rapport au plan du miroir.


Figure 1.13 – Construction d’un point image

1.2.5 Exercices

Exercice 1.8 Positionner l’image du point-objet S donnée par le miroir en utilisant lesdeux rayons lumineux représentés.

Exercice 1.9 Étudions les images d’un point-objet A données par deux miroirs plans placésorthogonalement l’un par rapport à l’autre.

1. Positionner d’abord l’image A1 de A donnée par le miroir (M1), puis l’image A2 de Adonnée par le miroir (M2). Ces deux images sont dites images premières.À l’aide d’un rayon lumineux issu de A, se réfléchissant uniquement sur (M1), position-ner l’œil de l’observateur qui voit l’image première A1. Utiliser la même démarche pourl’autre image première.

2. Positionner ensuite la (ou les) images secondes (images des images premières dans lemiroir).Pour rechercher ces images il suffit de prolonger par des lignes discontinues les 2 miroirs :A1 présente une image A1

′ et A2 une image A2′.

Pourquoi dans cet exercice les images A1′ et A2

′ sont-elles confondues ? À l’aide d’un


rayon lumineux issu de A, se réfléchissant sur (M1), puis sur (M2), positionner l’œil del’observateur qui voit les images secondes A1

′ et A2′.

Exercice 1.10 Un rayon lumineux issu d’une source ponctuelle S se réfléchit en un pointI, sur un miroir plan placé horizontalement. On fait tourner le miroir d’un angle α = 15autour d’un axe (∆) situé dans son plan, passant par le point I.

1. Faire un schéma et représenter le rayon incident, les rayons réfléchis et la normale auplan avant et après la rotation du miroir.

2. Déterminer la valeur β de l’angle de rotation du rayon réfléchi au cours de la rotationdu miroir.

3. Sur un autre schéma, positionner S1 et S2 points-images conjugés de (S) pour les 2positions successives du miroir. Évaluer l’angle ◊S1IS2.

Exercice 1.11 Un homme mesurant 1,80 m se place debout, à 1,00 m devant un miroirplan, ses yeux sont situés à une distance H = 1,70 m du sol. Le miroir plan rectangulairede dimensions (1,20 m× 1,00 m) est plaqué initialement contre le mur vertical à une hauteurh = 1,00 m du sol.

1. Déterminer à quelle hauteur maximale h du sol doit se trouverle bas du miroir afin que l’homme voie ses pieds.

2. À quelle distance minimale du sol doit se trouver le haut dumiroir afin que l’homme voie le haut de sa tête ?

3. Le miroir tel qu’il est positionné sur la figure permettra-t-il àl’homme de :

(a) voir le haut de sa tête ?

(b) se voir en entier ? Si non, proposer une solution.

4. Montrer que le fait de se rapprocher ou de s’éloigner du miroir ne peut lui permettrede solutionner le problème.


1.3 Réfraction de la lumière

1.3.1 Le phénomène de réfraction

Expérience 1.8 Autour d’une petite boîte contenant une pièce de 1 e, de nombreux ob-servateurs se placent de sorte que le bord de la boîte leur cache tout juste la pièce. Pendantque les observateurs maintiennent leur tête immobile, on verse de l’eau dans la boîte (figure1.14).

boîte

pièce de monnaie

oeil

rayon lumineuxémis par lapièce de monnaie

air

(a) observation en absence d’eau

eau boîte

pièce de monnaie

oeil

rayon lumineuxémis par lapièce de monnaie

(b) observation en présence d’eau

Figure 1.14 – Boîte contenant une pièce de monnaie

Observation : la pièce est devenue visible pour tous les observateurs.

Explication : lorsque les rayons lumineux traversent la surface de séparation entre l’eau etl’air, ils subissent un brusque changement de direction : la lumière est réfractée !

Expérience 1.9 Dirigeons un faisceau laser obliquement vers la surface de l’eau contenuedans une cuve aux parois transparentes (figure 1.15).

Figure 1.15 – Réfraction d’un rayon laser à la surface de l’eau

Observation : le faisceau lumineux est dévié en traversant la surface de séparation entre lesdeux milieux transparents.


Réfraction Lorsque la lumière traverse la surface séparant deux milieux transparents dif-férents, elle subit un changement de direction : c’est le phénomène de réfraction.

Définition Un dioptre est une surface séparant deux milieux transparents et homogènes.

1.3.2 Les lois de la réfraction

Expérience 1.10 Nous allons étudier d’une manière plus approfondie la réfraction observéelors du passage d’un faisceau lumineux de l’air dans le plexiglas (figure 1.16).

dioptre

rayon incident

normale

rayon réfl

échi

rayon réfracté

i1

i2

r

milieu 1milieu 2

Figure 1.16 – Passage d’un rayon de l’air dans le plexiglas

Nous mesurons l’angle de réfraction i2 pour différents angles d’incidence i1.

Tableau des mesures :i1 () 0 10 20 30 40 50 60 70 80 85i2 ()

Conclusions :

• Il n’y a pas de réfraction si la lumière incidente vient perpendiculairement au dioptre.

• Sauf pour i1 = 0, l’angle de réfraction est plus petit que l’angle d’incidence : le rayonréfracté se rapproche de la normale.

• La réfraction est d’autant plus prononcée que l’angle d’incidence est plus grand.

• L’angle de réfraction limite vaut : L = . . . . . .

• Le rayon réfracté se trouve dans le plan d’incidence.

• Nous constatons :sin i1sin i2

' 1,5 = constante.

Il y a donc proportionnalité entre les sinus des angles d’incidence et de réfration. Lecoefficient de proportionnalité est noté nplexiglas/air et s’appelle indice de réfraction du


plexiglas par rapport à l’air. Cet indice dépend des deux milieux transparents et estd’autant plus grand que la réfraction est, pour un même angle d’incidence, plus pro-noncée.

Expérience 1.11 Reprenons l’expérience précédente mais inversons le sens de propaga-tion de la lumière. La lumière passe donc d’un milieu plus réfringent dans un milieu moinsréfringent (figure 1.17).

dioptre

rayon réfracté

normale

rayo

n réfl

échi

rayon incidenti2

i1r

milieu 2milieu 1

Figure 1.17 – Passage d’un rayon du plexiglas dans l’air

Choisissons comme valeurs de l’angle d’incidence successivement les valeurs de l’angle deréfraction de l’expérience 1.10.

Tableau des mesures :

i1 ()i2 ()

Observation : les angles de réfraction respectifs sont égaux aux angles d’incidence de l’expé-rience 1.10.

Conclusions :

• La lumière emprunte la même trajectoire indépendamment du sens de la propagation.C’est la loi du retour inverse de la lumière.

• Sauf pour i1 = 0, l’angle de réfraction est plus grand que l’angle d’incidence : le rayonréfracté s’éloigne de la normale.

• Si i1 = L, angle de réfraction limite, alors i2 = 90 (figure 1.18).

• Si i1 > L le rayon incident ne peut plus passer dans le milieu le moins réfringent : lalumière est totalement réfléchie, le dioptre agit comme un miroir (figure 1.19).

• Nous constatons :sin i1sin i2

' 0,667 = nair/plexiglas.


dioptrerayon réfracté normale

rayon

réflé

chi rayon incident

i1=Lr

Figure 1.18 – Cas limite

dioptrenormale

rayon réfl

échi rayon incident

i1>L

r

Figure 1.19 – Réflexion totale

1.3.3 L’indice de réfraction

Le phénomène de réfraction est une conséquence du fait que la vitesse de propagation dela lumière est différente dans des milieux transparents différents. On peut remarquer quedans les cas étudiés les indices de réfraction sont liés aux célérités de la lumière par lesrelations :

nplexiglas/air = 1,5 = cair

cplexiglas

et :

nair/plexiglas = 0,667 = cplexiglas

cair.

Cette relation est vérifiée en général. On définit l’indice de réfraction n pour un milieutransparent :

n = cvide

c

c étant la célérité de la lumière dans ce milieu.


Exemples :

Milieu nvide 1,00eau 1,33plexiglas 1,49verre crown 1,52verre flint 1,65

Les indices déterminés lors de l’expérience précédente s’écrivent :

nplexiglas/air = nplexiglas

nair

et :nair/plexiglas = nair

nplexiglas.

1.3.4 La loi de Snell-Descartes

Les résultats des expériences ainsi que la définition de l’indice de réfraction nous permettentde formuler les lois de la réfraction.

Loi de Snell-Descartes Le rayon incident et le rayon réfracté sont contenus dans unmême plan : le plan d’incidence.Les angles d’incidence et de réfraction satisfont à la relation :

sin i1sin i2

= n2

n1

ou :n1 sin i1 = n2 sin i2

1.3.5 L’angle de réfraction limite

Appliquons la loi de Snell-Descartes pour exprimer l’angle de réfraction limite en fonctiondes indices de réfraction. Le cas limite correspond à :

n1 > n2 i1 = L i2 = 90.

D’où :sinL

sin 90 = n2

n1

et donc :

L = sin−1Çn2

n1

åExemple : pour le dioptre air/plexiglas L = sin−1

Ç 11,49

å= 42,2.


1.3.6 Réflexion totale

Revenons au cas particulièrement important de la réflexion totale.

Mise en évidence expérimentale

Expérience 1.12 Dans une cuve d’eau, nous disposons une source lumineuse envoyant desfaisceaux lumineux sous différents angles (figure 1.20).

Figure 1.20 – Cuve contenant de l’eau avec une source lumineuse

Observations :

• Certains faisceaux sortent de l’eau et sont réfractés.

• Certains faisceaux ne sortent pas de l’eau et sont réfléchis à la surface du liquide.

Conclusion :

Seuls les faisceaux formant un angle d’incidence inférieur à l’angle limite sortiront de l’eau.Dans le cas contraire, le faisceau ne quitte plus le liquide et reste dans l’eau en étant réfléchisur la surface de l’eau comme sur un miroir.

Réflexion totale Si à la surface de séparation entre deux milieux transparents :

• le rayon lumineux passe du milieu plus réfringeant vers le milieu moins réfringeant ;

• l’angle d’incidence est plus grand que l’angle limite de réfraction,

le rayon est réfléchi entièrement par le dioptre. C’est le phénomène de la réflexion totale.

Applications

• La fibre optique (figure 1.21) se compose d’un cœur en verre optique d’indice de réfrac-tion élevé et d’une enveloppe en verre d’indice de réfraction faible. Les rayons lumineuxqui entrent par une extrémité dans la fibre sont guidés dans le cœur par réflexion totaletout au long de la fibre malgré les courbures infligées et ressortent à l’autre extrémité.La fibre optique est utilisée en informatique pour le transport d’informations sous formede lumière. En médecine on l’utilise dans l’endoscopie.


• Le système optique d’une paire de jumelles (figure 1.22) fait intervenir la réflexion totaleinterne dans deux prismes pour renverser l’image et intervertir la gauche et la droite,de sorte que le champ de vision observé par l’œil soit normal.

Figure 1.21 – Fibre optique Figure 1.22 – Jumelles

1.3.7 Dispersion

Expérience 1.13 Un faisceau de lumière blanche issu d’une lampe à incandescence traverseun prisme en verre (figure 1.23). Le faisceau subit deux réfractions successives. Il en résulteune déviation du faisceau. Nous plaçons un écran derrière le prisme.

lumière blancherouge

vert

violet

Figure 1.23 – Décomposition de la lumière blanche

Observation :

Sur l’écran apparaît une bande colorée qu’on appelle spectre. Cette décomposition de lalumière blanche est appelée dispersion.

Interprétation :

La lumière blanche est un mélange des couleurs du spectre. Le prisme sépare les couleursen les réfractant différemment : la lumière violette subit la plus grande déviation, la lumièrerouge la plus petite déviation. Il en résulte que l’indice de réfraction dépend non seulementdu milieu transparent mais aussi de la couleur et donc de la longueur d’onde de la lumière.


1.3.8 Exercices

Exercice 1.12 On schématise à la figure ci-dessous la réfraction d’un rayon de lumièremonochromatique passant de l’air dans l’eau.

1. Reproduire et compléter ce schéma en indiquant le point d’inci-dence, en dessinant la normale à la surface de séparation des deuxmilieux et en indiquant les angles d’incidence et de réfraction.

2. Donner l’expression de la loi de Snell-Descartes.

3. Calculer l’angle de réfraction si l’angle d’incidence vaut 45, sachant que l’indice del’eau vaut 1,33 et que l’indice de l’air vaut 1,00.

Exercice 1.13 L’un des rayons d’un faisceau de lumière se propageant dans l’air pénètredans un diamant d’indice de réfraction 2,43.

1. Schématiser la situation.

2. Écrire la loi de Snell-Descartes.

3. Calculer l’angle d’incidence permettant d’obtenir un angle de réfraction de 20.

Exercice 1.14 Un rayon lumineux se propageant dans le verre d’indice de réfraction 1,53et faisant un angle de 70 avec le dioptre sort dans l’air d’indice de réfraction 1,00.

1. Quel est l’angle d’incidence ?

2. Calculer l’angle de réfraction.

Exercice 1.15 Un faisceau de lumière monochromatique est dirigé, comme l’indique leschéma ci-dessous, vers le centre I de la face plane d’un demi-cylindre de verre. Il pénètredans le verre sans déviation et aborde, en I, la face de séparation du verre et de l’air.

1. Écrire la loi de Snell-Descartes pour le passage de la lumière duverre dans l’air.

2. L’indice du verre vaut 1,5. L’angle de réfraction vaut 60. Calculerl’angle d’incidence.

3. Reproduire et compléter le schéma en dessinant le rayon réfracté.Pourquoi le rayon n’est-il pas dévié lorsqu’il pénètre dans le demi-cylindre ?

Exercice 1.16 Le rayon d’un faisceau de lumière monochromatique issu d’un laser estdirigé sur une lame de verre. Pour cette lumière, l’indice du verre est 1,47.

1. Calculer l’angle de réfraction i2 lorsque la lumière pénètre dans le verre avec un angled’incidence i1 = 40.

2. Avec quel angle d’incidence i3 la lumière atteint-elle la surface de sortie séparant leverre et l’air ?

3. Calculer l’angle de réfraction lorsque la lumière sort du verre.


1.4 Lentilles minces

1.4.1 Définitions

Définition Une lentille est un solide constitué d’un matériau transparent (verre, Plexiglas. . .) délimité par deux faces dont l’une au moins est courbe, l’autre face pouvant être plane.

La lentille est dite sphérique si les faces courbes sont des portionsde sphère. L’axe de symétrie des lentilles sphériques est appelé axeprincipal de la lentille.L’axe (∆) commun aux deux calottes sphériques (ou à la calottesphérique et au disque) est appelé axe optique de la lentille.

Définition La lentille est dite mince si son épaisseur e = O1O2 surl’axe optique est petite devant les rayons R1 et R2 des deux calottessphériques (figure 1.24).

Figure 1.24 – Faces sphériques d’une lentille mince

Dans ce cas, on peut confondre les intersections des deux faces avec l’axe optique en un mêmepoint O appelé centre optique de la lentille.


1.4.2 Lentilles convergentes, lentilles divergentes

Lentilles convergentes

Une lentille convergente fait en sorte que les rayons lumi-neux qui la traversent se rapprochent de son axe optique.Les lentilles convergentes peuvent avoir plusieurs formes,mais elles ont toutes au moins un côté convexe, c’est-à-dire bombé vers l’extérieur.

Les rayons d’un faisceau parallèle à l’axe optique qui tra-versent une lentille convergente sont tous déviés vers l’axeoptique de la lentille (qui correspond à la normale).

Le point de convergence sur l’axe s’appelle foyer de la lentille (figure 1.25). Plus la courbured’une lentille convergente est prononcée, plus le foyer se rapproche de la lentille.

Figure 1.25 – Foyer d’une lentille convergente

Les lentilles convergentes ont des bords minces, on les appelle encore lentilles convexes.Les rayons lumineux d’un faisceau parallèle à l’axe optique d’une lentille mince convexeconvergent, après la traversée, de la lentille vers un point : le foyer.

Lentilles divergentes

Une lentille divergente fait en sorte que les rayons lumi-neux qui la traversent s’éloignent de son axe optique. Leslentilles divergentes peuvent avoir plusieurs formes, maiselles ont toutes au moins un côté concave, c’est-à-direbombé vers l’intérieur.

Les rayons d’un faisceau parallèle à l’axe optique qui tra-versent une lentille divergente sont tous déviés de l’axeoptique de la lentille.

Lorsqu’on trace le prolongement des rayons réfractés, onremarque qu’ils semblent tous provenir d’un point situé sur l’axe de la lentille. Ce point senomme foyer de la lentille divergente (figure 1.26). Plus la courbure d’une lentille divergenteest prononcée, plus le foyer se rapproche de la lentille.

Les lentilles divergentes ont des bords épais, on les appelle encore lentilles concaves. Les rayonslumineux d’un faisceau parallèle à l’axe optique d’une lentille mince concave divergent, aprèsla traversée de la lentille, à partir d’un point : le foyer.


Figure 1.26 – Foyer d’une lentille divergente

1.4.3 Points et rayons particuliers

Après traversée d’une lentille mince convergente (figure 1.27 ) :

Figure 1.27 – Trajets des rayons particuliers

• un rayon parallèle à l’axe principal passe par le foyer principal image F ′ ;

• un rayon passant par le centre optique O n’est pas dévié ;

• un rayon passant par le foyer principal objet F sort de la lentille parallèlement à l’axeprincipal.

1.4.4 Distance focale et vergence

En repérant les positions des foyers F et F ′ par rapport à celle du centre optique O, on peutmesurer les distances OF et OF ′. Les mesures donnent des valeurs très voisines. Les pointsF et F ′ sont symétriques l’un de l’autre par rapport au plan de la lentille (figure 1.27).

Définition On appelle distance focale d’une lentille mince la distance :

f = OF = OF ′.

Les calculs concernant les lentilles font souvent intervenir de façon plus simple l’inverse de ladistance focale.

Définition On appelle vergence d’une lentille la grandeur :

C = 1f.


L’unité S.I. de vergence est la dioptrie δ : 1 δ = 1 m−1.

1.4.5 Image formée sur un écran

Localisation de l’image

Expérience 1.14 Disposons la flamme d’une bougie au voisinage de l’axe optique d’unelentille convergente, assez loin de celle-ci. Déplaçons un écran translucide de l’autre côté dela lentille parallèlement à lui-même, le long de l’axe optique de la lentille (figure 1.28).

Figure 1.28 – Recherche de la position de l’image

Observation :

Pour une position donnée de l’écran translucide on y obtient une image nette et renversée dela flamme sur l’écran.

Conclusions :

• La lentille donne d’un petit objet voisin de son axe optique et perpendiculaire à celui-ci(on le qualifie alors de frontal) une image sur un écran placé convenablement. L’écrandoit être disposé perpendiculairement à l’axe optique de la lentille (image frontale), àune distance particulière de celle-ci.L’objet est qualifié de petit si sa taille perpendiculairement à l’axe optique est petitepar rapport à la distance focale de la lentille.

• Un point particulier B de la flamme de bougie envoie des rayons lumineux sur la lentilleconvergente (L). Les rayons émergents convergent tous en un point B′. On dit que Best un point-objet, que B′ est son point-image, ou que B et B′ sont conjugués l’un del’autre.

Définition On appelle grandissement γ le rapport entre la taille de l’image et de l’objet. SiA et B sont deux points de l’objet et A′ et B′ leurs images respectives :

γ = A′B′

AB.

Construction de l’image

Considérons un point-objet B situé au voisinage de l’axe optique de la lentille. Pour construirel’image B′ de B, on trace la marche de deux des rayons particuliers issus de B choisis parmiles trois suivants (figure 1.29) :


Figure 1.29 – Construction del’image

• le rayon incident BO passant par le centre optiquede la lentille et qui n’est pas dévié ;

• le rayon incident BI parallèle à l’axe optique de lalentille qui émerge en passant par le foyer principalimage F ′ ;

• le rayon incident BF passant par le foyer principalobjet F de la lentille qui émerge parallèlement à sonaxe optique.

Les trois rayons se coupent au même point B′ qui est l’image de B. Un rayon quelconqueissu de B (tel que BJ) émerge de la lentille en passant par B′.

Un petit objet frontal est représenté par deux points A et B, où A est un point de l’axeoptique (figure 1.33). On représente le petit objet frontal AB par une flèche. Le point A del’axe optique peut toujours être considéré comme la projection orthogonale sur ce dernier dupoint B.

De l’expérience 1.14 on déduit les propriétés de l’image de l’objet frontal :

• puisque l’image du petit objet frontal est frontale, l’image A′ de A est la projectionorthogonale de B′ sur l’axe ;

• l’image A′B′ est renversée, c’est-à-dire de sens opposé à celui de l’objet AB.

Caractéristiques de l’image

Lorsque la distance de l’objet au centre optique est supérieure à la distance focale, l’imageest :

• de l’autre côté de la lentille ;

• observée sur un écran positionné à une distance supérieure à la distance focale ;

• réelle ;

• renversée.

Déplacement de l’objet et déplacement de l’image

La construction de la figure 1.30 montre que, si le point A, situé à gauche de F est trèséloigné de ce point (point A1), le point A′ se trouve très près de F ′ (point A1

′). Alors, si A serapproche de F tout en restant à sa gauche (point A2), A′ s’éloigne de F ′ (point A2

′).

1.4.6 Image observée à travers la lentille

Mise en évidence

Expérience 1.15 Dans l’expérience 1.14, diminuons la distance lentille-bougie jusqu’à ceque l’objet AB (flamme de la bougie) vienne se placer entre le foyer principal objet F et lecentre optique O de la lentille.


Figure 1.30 – Variation de la position de l’image

Observations :

• Nous ne pouvons plus observer d’image sur un écran.

• En plaçant l’œil du côté opposé à la bougie et en regardant à travers la lentille, nousobservons une image de la flamme de la bougie qui paraît plus grande et du même sensque celle-ci.

Construction de l’image

Figure 1.31 – Construction del’image

Le rayon BO, passant par le centre optique de la lentille,n’est pas dévié (figure 1.31). Le rayon BI, parallèle à l’axeoptique, émerge en passant par le foyer principal imageF ′. Les demi-droites [BO) et [IF ′) ne se coupent pas.Mais leurs prolongements (en pointillés sur la figure) secoupent en un point B′, image du point objet B.

La projection orthogonale A′ du point B′ sur l’axe op-tique fournit l’image du point objet A, A désignant laprojection orthogonale de B sur l’axe optique.

L’image A′B′ est droite, c’est-à-dire de même sens que celui de l’objet AB.

Caractéristiques de l’image

Lorsque l’objet est situé entre le centre optique et le foyer de la lentille, l’image :

• est du même côté que l’objet ;

• ne peut pas être observée sur un écran ;

• est virtuelle ;

• est droite.


Déplacement de l’objet et déplacement de l’image

Si A se trouve très près de F , mais situé à sa droite (figure 1.31), les segments BI et OFsont pratiquement égaux. Il en est donc de même pour BI et OF ′, et les droites (IF ′) et(BO) sont presque parallèles. L’image B′, situé à gauche de O, est très éloignée de ce point.Si A se déplace alors de F en O, B′ se déplace sur la droite (IF ′) jusqu’en I tandis que A′se déplace vers la droite jusqu’en O.

La loupe

Une loupe est une lentille convergente de courte distance focale (quelques centimètres).L’image est observée à travers la lentille.

Expérience 1.16 Observons un timbre-poste avec une loupe.

Figure 1.32 – Loupe

Observation :

Si la loupe est tenue de façon à rapprocher de F le point Asitué au centre du timbre, le point B′ est rejeté de plus en plusloin à l’avant de la lentille (figure 1.32). L’image A′B′ est deplus en plus grande, mais l’angle sous lequel on l’observe restefini.

Remarque :

Le grossissement commercial G d’une loupe (figurant sur les catalogues) est donné parla relation G = C · d0, où C désigne la vergence de la loupe en δ et où d0 = 0,25 m. Ils’exprime sans unité.

1.4.7 Relations des lentilles minces

Construisons l’image réelle d’un objet AB de hauteur o formée sur un écran par une lentillemince convergente de distance focale f . L’objet est à une distance p de la lentille, avec p > f(figure 1.33).

L’image A′B′ de hauteur i est observée sur un écran qui est placé à une distance q de lalentille.

Considérons d’abord les dimensions de l’objet et de l’image. La similitude des triangles OABet OA′B′ permet d’écrire la relation de grandissement :

i

o= q

p(1.1)

Le rapport des dimensions est appelé grandissement γ :

γ = i

o.


A

B

A'

B'

F F'

f f

p q

o

i

I

O

Figure 1.33 – Image réelle formée par une lentille convergente

La position de l’image dépend de la position de l’objet et de la distance focale de la lentille.Les triangles F ′OI et F ′A′B′ étant semblables, nous pouvons écrire :

i

o= q − f

f.

En utilisant la relation de grandissement (1.1) l’expression devient :

q

p= q

f− 1.

D’où, en divisant par q :1p

= 1f− 1q

et finalement :1p

+ 1q

= 1f

Cette relation est appelée relation de conjugaison de Descartes.

Quand l’objet est placé entre le foyer et la lentille, donc p < f , l’image est observée à traversla lentille. On obtient de façon analogue :

1p− 1q

= 1f

Activité :

L’applet « banc optique1 » présente une simulation d’un banc optique et permet d’explorerles différentes situations et de vérifier les relations des lentilles minces.

1http://www.walter-fendt.de/ph14e/imageconvlens.htm

http://www.walter-fendt.de/ph14e/imageconvlens.htm


1.4.8 Exercices

Exercice 1.17 Compléter.Les rayons lumineux d’un faisceau parallèle à l’axe optique d’une lentille convergente émergenten passant par . . . situé sur l’axe . . . et appelé . . . La distance de ce point au centre optique Ode la lentille convergente est appelée . . . L’inverse de cette distance est appelé . . . et s’exprimeen . . .

Exercice 1.18 Une lentille mince convergente a une vergence de 5 δ. Calculer sa distancefocale. Schématiser à l’échelle 1/4 cette lentille en précisant l’axe optique, le centre optique,les foyers principaux image et objet.

Exercice 1.19 Tracer :

a. les faisceaux émergents ;

b. les faisceaux incidents.

Exercice 1.20 Compléter à l’aide de deux qualificatifs.

1. La loupe donne d’un petit objet une image . . . et . . . observable à travers elle.

2. L’objectif d’un appareil photographique donne d’un objet (par exemple un paysage)une image . . . et . . . sur la pellicule.

Exercice 1.21 Vrai ou faux ?

1. Les foyers F et F ′ sont symétriques par rapport au centre optique O lorsque les deuxfaces convexes n’ont pas le même rayon de courbure.

2. La vergence s’exprime en mètre.

3. La lentille convergente donne d’un objet situé entre son centre optique O et son foyerobjet F une image observable sur un écran.

Exercice 1.22 Construire l’image A′B′ d’un objet AB donnée par une lentille convergentede distance focale OF ′ = 3 cm. A est sur l’axe optique avec AB = 1 cm et OA = 6 cm.

1. Préciser les caractéristiques et la position de cette image par exploitation graphique.

2. Retrouver OA′ et A′B′ par le calcul.


Exercice 1.23 Une lentille mince de distance focale OF ′ = 3 cm donne d’un objet AB dehauteur AB = 1 cm, dont A est placé sur l’axe optique à une distance telle que OA = 2 cm,une image A′B′. Trouver OA′ et A′B′ par le calcul. Quelles sont les caractéristiques del’image ?

Exercice 1.24 Une lentille convergente de distance focale OF ′ = 50 mm donne d’une tour,de hauteur AB = 50 m, située à une distance de 250 m, une image A′B′ nette sur un écran.

1. Quelle est la distance lentille-écran ? Conclure.

2. Quelle est la taille de l’image de la tour sur l’écran ?

Exercice 1.25 Une loupe est assimilable à une lentille mince convergente de vergence égaleà 6 δ. Pour voir des caractères quatre fois plus grands que ceux du texte, à quelle distance dela feuille l’observateur doit-il placer la loupe.

a. 4,0 cm ; b. 12,5 cm ; c. 6,0 cm ; d. 24,0 cm ?

Exercice 1.26 Un œil normal est assimilable à une lentille mince convergente d’axe op-tique (x′x), de centre optique O, de distance focale OF ′. La rétine est assimilée à un planperpendiculaire à l’axe optique et situé à une distance invariable de 17 mm.

1. L’œil n’accommode pas. Quelle doit être la distance focale f ′1 pour que l’image d’unobjet situé à l’infini se forme sur la rétine ?

2. L’œil accommode maintenant au maximum. L’observateur voit nettement des objetssitués à la distance minimale distincte, c’est-à-dire à 20 cm de O. Calculer la nouvelledistance focale f ′2.

3. On définit l’amplitude d’accommodation par la relation : ∆ = (f ′2)−1− (f ′1)−1. Calculerl’amplitude d’accommodation. Donner son unité.

4. Avec l’âge, l’œil devient presbyte, le cristallin devenant moins souple. La faculté d’ac-commodation diminue. La personne continue à voir nettement à l’infini sans accommo-der. L’amplitude d’accommodation devient par exemple égale à ∆′ = ∆/4. Calculer lanouvelle distance minimale de vision distincte.

Chapitre 2

Cinématique

2.1 Introduction

La cinématique est l’étude du mouvement des corps. Nous ne considérerons que des corpsde faibles dimensions de sorte qu’ils seront toujours assimilés à des points appelés mobiles.Les grandeurs physiques de la cinématique sont le temps, la position, la vitesse et l’accéléra-tion.

Étudier le mouvement d’un mobile veut dire :

• trouver l’équation de la trajectoire du mobile ;

• trouver la relation mathématique (une équation) entre vitesse et temps ;

• trouver la relation entre position et temps ;

• trouver la relation entre vitesse et position.

2.2 Référentiel et repère

2.2.1 Référentiel

La description d’un mouvement se fait par rapport à un objet, choisi comme référence, appeléréférentiel. La description du mouvement n’est pas la même dans tous les référentiels !

Exemple :

Deux voyageurs A et B sont assis dans un wagon en mouvement. Le voyageur A observe Bet conclut : B est immobile. Le chef de gare C observe B et conclut : B est en mouvement.Ces deux observations sont-elles contradictoires ? Non, car elles sont faites dans deuxréférentiels différents : A fait ses observations dans le référentiel du wagon, C fait sesobservations dans le référentiel lié à la Terre.

Définition Le référentiel est un objet de référence par rapport auquel on étudie un mouve-ment. Il peut être matérialisé par un seul corps ou par un ensemble de corps qui restent àdistance constante les uns des autres.

2BC Cinématique 37

Exemples de référentiels :

• le laboratoire, la salle de classe, un wagon, un carrousel, . . .

• le référentiel terrestre : son centre est le centre de la Terre, ses axes sont liés à despoints fixes sur la Terre. On l’utilise pour décrire tous les mouvements sur la Terre. Lesréférentiels laboratoire et salle de classe sont équivalents au référentiel terrestre.

• le référentiel géocentrique : son centre est le centre de la Terre, ses axes sont dirigésvers des étoiles lointaines considérées comme fixes. On l’utilise p.ex. pour décrire lemouvement des satellites ;

• le référentiel héliocentrique : son centre est le soleil, ses axes sont dirigés vers des étoileslointaines considérées comme fixes. On l’utilise p.ex. pour décrire le mouvement desplanètes ;

2.2.2 Repère

Pour décrire le mouvement d’un mobile, un observateur dans un référentiel doit se mu-nir :

• d’un repère pour déterminer la position du mobile ;

• d’une horloge.

Un repère est déterminé par une origine O et par une base, le plus souvent orthonormée.

Exemple : repère (O,~ı, ~, ~k) orthonormé à 3 dimensions (figure 2.1).

ıä

k

y

z

xO

Figure 2.1 – Repère orthonormé à 3 dimensions

Les axes Oy et Oz sont perpendiculaires entre eux et sont dans le plan de la feuille de papier.L’axe Ox sort de ce plan et est perpendiculaire à ce plan.

Dans le domaine des sciences comme dans la vie courante, une horloge permet de déter-miner :

• la durée ou l’intervalle de temps qui s’écoule entre deux événements ;

• la date ou l’instant auquel un événement a lieu.

L’unité S.I. (Système International d’Unités) du temps est la seconde (s).

38 Cinématique 2BC

2.2.3 Trajectoire

La trajectoire est l’ensemble des positions successives occupées par le mobile M lors de sonmouvement. Elle est représentée par une courbe dans l’espace (figure 2.2). Comme toutecourbe, la trajectoire est déterminée, dans un repère donné, par son équation mathématique.La trajectoire dépend du choix du référentiel et du repère.

ıä

k

y

z

xO

M(t1)

M(t2)t2 > t1

Figure 2.2 – Trajectoire dans un repère à 3 dimensions

Exemples :

• Trajectoire d’un point de la roue d’une bicyclette, dans les référentiels suivants : obser-vateur au repos au bord de la route, cycliste, roue ?

• Trajectoire d’un enfant sur un manège : immobile ou en rotation ?

2.3 Position

2.3.1 Coordonnées cartésiennes

Soit M le mobile et (O, ~ı, ~, ~k) le repère choisi. La position du mobile est repérée à chaqueinstant par les coordonnées x, y, z du vecteur position −−→OM (figure 2.3).

ıä

k y

z

xO

≠≠æOM

M

Figure 2.3 – Vecteur position

Dans la base du repère : −−→OM = x~ı+ y ~+ z ~k.

Si le repère est orthonormé, x, y, z sont appelés coordonnées cartésiennes du point M . Dansla suite nous n’utiliserons que des repères orthonormés.

2BC Cinématique 39

S’il y a mouvement, les coordonnées x, y et z varient au cours du temps. Les fonctionsx = f(t), y = g(t) et z = h(t) sont appelées équations horaires ou équations paramétriquesdu mouvement.

Exercice 2.1 Dans le repère (O, ~ı, ~, ~k) la position d’un point M est définie à chaqueinstant par :

x = 2 t ; y = 4 t2 + 1 ; z = 0.Donner les positions respectives du point M aux instants 0, 1 s, 2 s, 3 s et 4 s. En déduirel’équation de la trajectoire suivie par M .

2.3.2 Abscisse curviligne

Si la trajectoire d’un mobile M est connue, on peut l’orienter et choisir un point origine A.La valeur algébrique de l’arc AM est l’abscisse curviligne s du point M (figure 2.4).

ıä

k

y

z

xO

A M+

s

Figure 2.4 – Abscisse curviligne

Signe de l’abscisse curviligne :

• s > 0 si en allant de A à M on se déplace dans le sens de l’orientation.

• s < 0 si en allant de A à M on se déplace dans le sens inverse de l’orientation.

On oriente, dans la mesure du possible, la trajectoire dans le sens du mouvement. L’abscissecurviligne est liée au temps par la relation s = f(t), appelée équation horaire du mouve-ment.

2.4 Vecteur vitesse d’un point

La rapidité avec laquelle un mobile change de position est indiquée par sa vitesse (vecteurvitesse). On distingue vitesse moyenne et vitesse instantanée.

2.4.1 Vitesse moyenne

La vitesse moyenne vm est la distance d parcourue divisée pas la durée t :

vm = d

t.

40 Cinématique 2BC

Si un point mobile se trouve en M1 à l’instant t1 et en M2 à l’instant t2, la vitesse moyenneau cours du déplacement de M1 vers M2 s’écrit :

vm = s2 − s1

t2 − t1= ∆s

∆t

Remarque : on note usuellement par ∆x la différence de la valeur finale de la grandeur x etde sa valeur initiale : ∆x = xfinal − xinitial.

Unité S.I. de la vitesse : 1 m/s.

Autre unité : 1 km/h.

Transformations : 1 km/h = 10003600 m/s = 1

3,6 m/s⇔ 1 m/s = 3,6 km/h.

2.4.2 Vitesse instantanée algébrique

La vitesse instantanée donne des renseignements plus précis que la vitesse moyenne : elledéfinit la vitesse du mobile à chaque instant !

Si au cours d’un intervalle de temps ∆t la vitesse ne varie pas d’un instant à l’autre, c’est-à-dire qu’elle est constante, il est évident que pour cet intervalle de temps, la vitesse instantanéeà chaque instant est égale à la vitesse moyenne.

Si par contre la vitesse varie d’un instant à l’autre, la vitesse instantanée s’obtient en réduisantla distance sur laquelle la vitesse est mesurée de sorte qu’on puisse admettre que la vitessene varie plus sur cette distance tellement petite. La durée mesurée devient plus petite aussiet la vitesse instantanée en un point M est :

vM = distance très petitedurée très petite

vM = δs

δt= lim

∆t→0

∆s∆t .

Signe de la vitesse instantanée :

• Si le mouvement s’effectue dans le sens positif, δs > 0 et vM > 0.

• Si le mouvement s’effectue dans le sens négatif, δs < 0 et vM < 0.

2.4.3 Vecteur vitesse

On définit un vecteur vitesse moyenne entre M1 et M2 par :

~vm =−−−−→M1M2

∆t .

Introduisons l’origine O du repère (figure 2.5) et utilisons la relation de Chasles :

−−−−→M1M2 = −−−→M1O +−−−→OM2 = −−−→OM2 −

−−−→OM1 = ∆−−→OM

2BC Cinématique 41

O

M1

M2

≠≠≠≠æM1M2

≠≠≠æOM2

≠≠≠æOM1

Figure 2.5 – Vecteur déplacement

alors :

~vm = ∆−−→OM∆t .

Quand ∆t→ 0, les points M1 et M2 se rapprochent pour donner un point M et la directionde ~vm devient la direction de la tangente à la trajectoire en M . Le vecteur vitesse moyennedevient le vecteur vitesse instantanée en M (figure 2.6) :

~vM = lim∆t→0

∆−−→OM∆t = δ

−−→OM

δt(2.1)

vM

M

Figure 2.6 – Vecteur vitesse instantanée

Propriétés du vecteur vitesse instantanée :

• direction : la tangente à la trajectoire en M ;

• sens : celui du mouvement ;

• intensité (norme) : vM = ‖~vM‖ =∣∣∣∣∣δsδt

∣∣∣∣∣.

2.4.4 Coordonnées du vecteur vitesse instantanée

Dans le repère (O,~ı, ~, ~k) le vecteur ~v s’exprime par :

~v = vx~ı+ vy ~+ vz ~k.

L’intensité v est reliée aux coordonnées vx, vy, vz par la relation de Pythagore :

v =»vx2 + vy2 + vz2.

Dans le cas d’un mouvement plan (figure 2.7), les expressions se simplifient : ~v = vx~ı + vy ~et v =

»vx2 + vy2.

42 Cinématique 2BC

ı

ä

O vx

vy

v

Figure 2.7 – Vecteur vitesse dans un plan

2.4.5 Exercices

Exercice 2.2 Lors d’une course cycliste contre la montre, un coureur parcourt dans unepremière partie 22 km en 30 min. Puis la seconde partie de 48 km est faite en 1 h 30 min.

1. Quelle est la vitesse moyenne du coureur sur la première partie ?

2. Quelle est la vitesse moyenne du coureur sur la deuxième partie ?

3. Quelle est la vitesse moyenne du coureur sur l’ensemble de l’épreuve ?

Exercice 2.3 Afin de contrôler le bon fonctionnement de l’indicateur de vitesse de sonautomobile, un conducteur chronomètre une durée de 28 s pour parcourir 1 km sur l’autoroute.

1. Quelle est la vitesse moyenne correspondant à cette observation ?

2. L’automobiliste lit 130 km/h sur son indicateur de vitesse. La précision de cette indi-cation est de 5 %.Que peut-en conclure l’automobiliste ?

2.5 Accélération

Lorsque la vitesse ~v d’un mobile change au cours du temps, on aimerait connaître la rapiditéavec laquelle elle change. C’est l’accélération ~a du mobile qui nous donne cette informa-tion.

L’accélération indique de combien la vitesse ~v varie en 1 seconde. La vitesse peut varier enintensité et en direction. Une forte accélération a (intensité de ~a) signifie donc que la vitessevarie vite, une faible accélération signifie qu’elle varie lentement. L’accélération indique larapidité de variation de la vitesse.

On distingue l’accélération moyenne ~am au cours d’un intervalle de temps ∆t, et l’accélérationinstantanée ~a à un instant donné.

2.5.1 Accélération moyenne

Quand la vitesse d’un mobile varie entre ~v1 à la date t1 et ~v2 à la date t2, le vecteur accélérationmoyenne est :

~am = ~v2 − ~v1

t2 − t1= ∆~v

∆t (2.2)

2BC Cinématique 43

Unité S.I. de l’accélération : 1 m/s2.

L’accélération d’un mobile dont la vitesse varie de 1 m/s en 1 s est 1 m/s2.

2.5.2 Accélération instantanée

De la même façon que la vitesse instantanée, on définit le vecteur accélération instanta-née :

~a = lim∆t→0

∆~v∆t = δ~v

δt(2.3)

En général, le vecteur accélération n’est pas tangent à la trajectoire.

Exercice 2.4 Calcule l’accélération dans les cas suivants :

1. Une voiture accélère sur une route rectiligne de 30 km/h à 90 km/h en 8 s.

2. Un navire animé d’un mouvement rectiligne de vitesse 20 km/h met 1 min pour arriverau repos.

2.6 Mouvements rectilignes

Un mouvement est rectiligne si sa trajectoire est une droite. Dans ce cas, nous pouvons choisirun repère à une dimension (O,~ı) de même direction que la trajectoire.

La position du mobile devient : −−→OM = x~ı.

ıOv1 v2

a

ıOv1 v2

a

x

x

accélération

décélération

Figure 2.8 – Mouvement rectiligne

Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire : ~v = vx~ı. La variation du vecteur vitesse et,par conséquent, l’accélération sont sur l’axe du repère (figure 2.8) : ~a = ax~ı.

2.6.1 Mouvement rectiligne uniforme

Un mouvement est rectiligne uniforme (MRU) si la trajectoire est une droite et si la vitesseest une constante.

La relation (2.2) permet de calculer l’accélération moyenne :

amx = v2x − v1xt2 − t1

= 0∆t = 0

44 Cinématique 2BC

car v2x = v1x = constante.

Ce résultat est vrai aussi dans la limite ∆t → 0 ; il en suit que ax = 0 à tout instant. Lavitesse est constante : vx = vmx = v0x = constante.

Nous allons déterminer l’équation horaire par la méthode de « l’aire ». La représentationvx = f(t) est une droite horizontale (figure 2.9).

vx

t”t

”x = vx · ”t

0

vx · t

Figure 2.9 – Mouvement rectiligne uniforme

L’expression (2.1) de la vitesse instantanée donne :

vx = δx

δt=⇒ δx = vx δt.

L’aire du petit rectangle (on dit rectangle élémentaire) de largeur δt et de longueur vx estvx δt. Cette aire élémentaire est égale à la distance δx parcourue pendant le temps δt avecla vitesse vx. La distance totale parcourue entre t = 0 et t est donnée par l’aire totale durectangle pour cet intervalle de temps : vx t.

Soit x0 la position du mobile à la date t = 0. Pour obtenir sa position à la date t il suffitd’ajouter la distance parcourue :

x = vx t+ x0.

Cette relation est l’équation horaire du MRU.

Lois horaires du MRU Les équations horaires qui régissent le mouvement rectiligne uni-forme sont :

x = vx t+ x0

vx = v0x = constanteax = 0

Connaissant la position initiale et la vitesse du mobile, on peut déterminer sa position à toutedate. La figure 2.10 montre les représentations x = f(t) de quelques cas particuliers.

2.6.2 Mouvement rectiligne uniformément varié

Un mouvement est rectiligne uniformément varié (MRUV) si la trajectoire est une droite etsi le vecteur accélération est constant, porté par la trajectoire.

L’accélération est constante : ax = amx = a0x = constante

2BC Cinématique 45

t0

vx · tx

x0

(a) vx > 0

t0

vx · t

xx0

(b) vx < 0

t0

x

x0

(c) vx > 0

Figure 2.10 – Représentations x = f(t) de quelques MRU

t”t0

ax

ax · t

”vx = ax · ”t

Figure 2.11 – Accélération constante

Nous allons déterminer la loi des vitesses par la méthode de « l’aire ». La représentationax = f(t) est une droite horizontale (figure 2.11).

L’expression (2.3) de l’accélération donne :

ax = δvxδt

=⇒ δvx = ax δt.

L’aire du rectangle élémentaire de largeur δt et de longueur ax est ax δt. Cette aire élémen-taire est égale à l’augmentation de la vitesse δvx pendant le temps δt due à l’accélération.L’augmentation totale de la vitesse entre t = 0 et t est donnée par l’aire totale du rectanglepour cet intervalle de temps : ax t.

Soit v0x la vitesse du mobile à la date t = 0. Pour obtenir la vitesse du mobile à la date t ilsuffit d’ajouter l’augmentation de la vitesse :

vx = ax t+ v0x. (2.4)

Par la même méthode de « l’aire » nous pouvons déterminer l’équation horaire. La représen-tation vx = f(t) est une droite (figure 2.12).

L’expression (2.1) de la vitesse instantanée donne :

vx = δx

δt=⇒ δx = vx δt.

L’aire du petit rectangle élémentaire de largeur δt et de longueur vx est vx δt. Cette aireélémentaire est égale à la distance δx parcourue pendant le temps δt avec la vitesse vx. Ladistance totale parcourue entre t = 0 et t est donnée par l’aire totale du trapèze pour cet

46 Cinématique 2BC

vx

”x = vx · ”t

t”t0

v0xv0x · t

12 (vx ≠ v0x) · t

Figure 2.12 – Mouvement rectiligne uniformément varié

intervalle de temps. Cette aire se décompose

∣∣∣∣∣∣en un rectangle d’aire : v0x t

et en un triangle d’aire : 12 (vx − v0x) t.

L’aire totale est : v0x t+ 12 (vx − v0x) t. En utilisant la relation (2.4) :

vx = ax t+ v0x =⇒ vx − v0x = ax t

nous obtenons pour l’aire totale : v0x t+ 12 ax t t = v0x t+ 1

2 ax t2.

Soit x0 la position du mobile à la date t = 0. Pour obtenir sa position à la date t il suffitd’ajouter la distance parcourue :

x = 12 ax t

2 + v0x t+ x0.

Cette relation est l’équation horaire du MRUV.

Lois horaires du MRUV Les équations horaires qui régissent le mouvement rectiligneuniformément varié sont :

x = 12 ax t

2 + v0x t+ x0

vx = ax t+ v0x

ax = a0x = constante

Connaissant la position initiale, la vitesse initiale et l’accélération du mobile, on peut dé-terminer sa position et sa vitesse à toute date. La figure 2.13 montre les représentationsvx = f(t) de quelques cas particuliers.

En éliminant le temps dans les équations du mouvement, on obtient une relation entre vitesseet position :

vx = ax t+ v0x =⇒ t = vx − v0xax

2BC Cinématique 47

t0

ax · t

v0x

vx

(a) ax > 0

t0

ax · tv0x

vx

(b) ax < 0

t0

v0x

vx

(c) ax > 0

Figure 2.13 – Représentations vx = f(t) de quelques MRUV

d’où :

x = 12 ax

Çvx − v0xax

å2+ v0x

Çvx − v0xax

å+ x0

= 12vx

2 − 2 vx v0x + v0x2

ax+ v0x vx − v0x

2

ax+ x0

= vx2 − 2 vx v0x + v0x

2 + 2 v0x vx − 2 v0x2

2 ax+ x0

= vx2 − v0x

2

2 ax+ x0

donc :x− x0 = vx

2 − v0x2

2 axet finalement :

vx2 − v0x

2 = 2 ax (x− x0)

2.6.3 Exercices

Exercice 2.5 Une voiture part du repos et atteint 100 km/h en 12 s avec une accélérationconstante. Ensuite elle roule à vitesse constante pendant 30 s. Quelle est la distance totaleparcourue ? Calcule la décélération nécessaire pour qu’elle s’arrête en 5 s.

Exercice 2.6 Un cycliste grimpe un col de longueur d à la vitesse moyenne v = 18 km/h,puis sans s’arrêter, redescend le même col à la vitesse moyenne v′ = 42 km/h.

1. Calcule la vitesse moyenne du cycliste pour cet aller-retour.

2. Sachant que le temps total du parcours est de 1 h 40 min, calcule la longueur d du colet les temps mis pour effectuer l’ascension, la descente.

Exercice 2.7 Deux piétons A et B se déplacent dans le même sens sur une route rectiligne.La vitesse de A est 5,4 km/h, celle de B est 3,6 km/h. La distance qui les sépare à t = 0 est80 m, B étant en avance sur A.

1. À quelle date t A dépassera-t-il B ?

48 Cinématique 2BC

2. Quelle sera alors la distance parcourue par chaque piéton depuis l’instant t = 0 ?

3. Représenter sur un graphique la distance séparant les piétons en fonction du temps.

Exercice 2.8 Deux mobilesM etM ′ se déplacent sur un axe x′x. Leurs abscisses respectivessont x = 2t− 2, x′ = −3t+ 4 (x et x′ en m, t en s).

1. Que peut-on dire des mouvements de M et M ′ ?

2. Quelles sont les valeurs de leurs vitesses ?

3. À quelle date les deux mobiles se rencontrent-ils ?

4. À quelles dates sont-ils distants de 2 m ?

Exercice 2.9 Un voyageur arrive sur le quai de la gare à l’instant où son train démarre. Levoyageur, qui se trouve à une distance d = 25 m de la portière, court à la vitesse constantev1 = 24 km/h. Le train est animé d’un mouvement rectiligne d’accélération constante a =1,2 m/s2.

1. Le voyageur pourra-t-il rattraper le train ?

2. Dans le cas contraire, à quelle distance minimale de la portière parviendra-t-il ?

Exercice 2.10 Une automobile se trouvant à 5 m devant un feu rouge démarre avec uneaccélération a = 2,5 m/s2 lorsque le feu passe au vert. À cet instant, un camion roulant à lavitesse v = 45 km/h se trouve à une distance d = 25 m du feu devant celui-ci. Il maintient savitesse constante. Dans un premier temps, le camion va doubler l’automobile, puis celle-ci vadépasser le camion. On choisit comme origine des dates l’instant où le feu passe au vert, etcomme origine des espaces, la position du feu tricolore. Déterminer :

1. les dates des dépassements ;

2. les abscisses des dépassements ;

3. les vitesses de l’automobile à ces instants.

Exercice 2.11 Robin des Bois aperçoit Marianne qui a faussé compagnie au vilain shérifde Nottingham et qui s’éloigne en courant dans la forêt à une vitesse constante de 9 km/h.Au moment où il l’aperçoit, la belle a 50 m d’avance sur lui. On suppose que Robin des Boisavance à vitesse constante de 18 km/h sur son cheval au moment où il aperçoit Marianne.

Vous choisirez comme origine des temps le départ de Robin des Bois et comme origine desespaces sa position à t = 0.

1er cas :

On suppose que Robin continue à la même vitesse. Au bout de combien de temps rejoindra-t-ilMarianne ?

2e cas :

On suppose qu’au moment où il aperçoit Marianne, Robin accélère et décrit un MRUV telque sa vitesse passe de 18 à 36 km/h en 5 s. Au bout de combien de temps rejoindra-t-ilMarianne ?

2BC Cinématique 49

Exercice 2.12 Nestor Boyau arrive en retard en courant à vitesse constante de 5 m/s surle quai de la gare ; alors que le train s’apprête à partir, Nestor se trouve 50 m derrière lui. Letrain accélère de telle manière qu’il passe de 0 à 36 km/h en 10 s.

1. Montrez que Nestor ne peut pas rattraper le train.

2. Calculez la vitesse minimale que Nestor devrait avoir pour rattraper le train. Qu’enpensez-vous ? (Le record du monde sur 200 m est de l’ordre de 20 s.)

3. Déterminez la date et le lieu de la rencontre.

Exercice 2.13 Juliette fait du jogging dans la forêt. Elle passe à vitesse constante de12,6 km/h devant Roméo assis sur son cheval. Lorsque Juliette a 20 m d’avance, Roméo faitpartir son cheval d’un mouvement accéléré qui le fait passer en 5 s à une vitesse de 10 m/s.

Vous choisirez comme origine des temps le départ de Roméo et comme origine des espaces saposition à t = 0.

1. Au bout de combien de temps rejoindra-t-il Juliette ?

2. Quelle distance aura-t-il parcourue ?

3. Quelle sera alors sa vitesse (on suppose que le cheval continue son mouvement rectiligneuniformément accéléré) ?

Exercice 2.14 Lors de sa première traversée, en juillet 1952, le paquebot United Statesa gagné le ruban bleu pour avoir effectué la traversée la plus rapide de l’Atlantique entreNew York et Cornwall au Royaume-Uni. Le voyage avait duré 3 jours 10 h 40 min avec unevitesse moyenne de 34,5 n÷ud (65,5 km/h), c’est-à-dire 10 h 2 min de moins que le record quedétenait depuis 14 ans le Queen Mary. Quelle était la vitesse moyenne du Queen Mary ?

Exercice 2.15 Un oiseau vole vers le nord à 20 m/s pendant 15 s. Il se repose pendant 5 spuis vole vers le sud à 25 m/s pendant 10 s. Déterminez, la vitesse moyenne pour la totalitéde son voyage.

Exercice 2.16 Une automobile et un camion se déplacent initialement dans la même di-rection à 20 m/s, le camion ayant 38 m d’avance. L’automobile accélère à un taux constantde 2 m/s2, dépasse le camion, et se rabat dans la voie de droite lorsqu’elle se trouve à 11 mdevant le camion. Quelle distance a parcourue le camion durant ce temps ?

Exercice 2.17 Le train A a une longueur de 1 km et roule à 50 m/s. Le train B a unelongueur de 0,5 km et démarre juste à l’instant où l’arrière du train A passe au niveau del’avant du train B. Le train B a une accélération de 3 m/s2 et une vitesse maximale de 60 m/s.

1. À quel instant B dépasse-t-il A, c’est-à-dire à quel instant l’arrière de B dépasse-t-ill’avant de A ?

2. Quelle distance le train A a-t-il parcourue pendant ce temps ?

Exercice 2.18 Un T.G.V. roule sur une voie rectiligne à la vitesse de 260 km/h. La longueurdu convoi vaut 400 m. Un hélicoptère, de longueur négligeable, vole à 300 km/h au-dessus dela voie ferrée dans le sens inverse du TGV. Le TGV et l’hélicoptère se croisent sur la voie

50 Cinématique 2BC

rectiligne. Calculer le temps pendant lequel l’hélicoptère va rester à au-dessus du TGV.

Exercice 2.19 Un automobiliste roule sur un tronçon d’autoroute rectiligne à la vitessede 130 km/h. Soudain, un obstacle fixe apparaît sur la voie à une distance de 120 m. Leconducteur freine immédiatement et réduit sa vitesse à 105 km/h au bout d’une durée de 1 s.On suppose la décélération de l’automobile constante.

1. Calculer la valeur de la décélération.

2. À quelle distance de l’obstacle la voiture va-t-elle s’arrêter ?

Exercice 2.20 La plus grande vitesse atteinte par un être humain est de 12,5 m/s. C’estRobert Hayes qui a réalisé cet exploit pendant une course. Une Porsche 911 Turbo peutatteindre 96 km/h en 4,6 s. Supposons que Hayes puisse maintenir sa vitesse maximale et quel’automobile démarre juste au moment où il arrive à sa hauteur.

1. Où et quand va-t-elle le rattraper ?

2. Quelles sont leurs vitesses à ce point ?

Chapitre 3

Dynamique

Après avoir décrit les mouvements, nous allons nous intéresser aux causes qui les produisent.Notre but est d’énoncer les règles qui régissent les mouvements.

La dynamique, déjà introduite par Galilée, fut développée plus tard par Newton qui associal’existence de forces à la modification de la vitesse d’un objet. La mécanique de Newton sefonde sur trois lois ou principes : le principe d’inertie, la loi fondamentale de la dynamiqueet le principe des actions réciproques.

Avant d’entamer l’étude des lois de Newton, nous allons nous intéresser à une grandeurimportante en dynamique : la quantité de mouvement. Cette grandeur fut introduite parNewton et fait l’objet d’une loi de conservation.

3.1 La quantité de mouvement

3.1.1 Étude expérimentale

Considérons les interactions entre deux chariots se déplaçant sur un banc à coussin d’airhorizontal. Dans ces conditions, les interactions entre les chariots lors des collisions sont lesseules à pouvoir modifier les mouvements des chariots.

Nous mesurons les masses des deux chariots ainsi que leurs vitesses avant et après l’interac-tion, c’est-à-dire dans l’état initial et dans l’état final. Les vitesses sont des valeurs algébriques,le sens positif étant choisi vers la gauche.

Choc élastique

Expérience 3.1 Le chariot 2 est initialement au repos (figure 3.1). Le chariot 1 va entreren collision avec le chariot 2. Après le choc, les deux chariots repartent séparément.

52 Dynamique 2BC

état initial2

2

1

1

v2 = 0v1

v1Õ

v2Õ

état final

Figure 3.1 – Choc élastique


m1 m2 v1 v2 v′1 v′2(kg) (kg) (m/s) (m/s) (m/s) (m/s)

Choc inélastique

Expérience 3.2 Le chariot 2 est initialement au repos (figure 3.2). Le chariot 1 va entreren collision avec le chariot 2. Après le choc, les deux chariots repartent en restant collés l’uncontre l’autre.

état initial2

2

1

1

v2 = 0v1

v1Õ = v2

Õ

état final

Figure 3.2 – Choc inélastique


m1 m2 v1 v2 v′1 v′2(kg) (kg) (m/s) (m/s) (m/s) (m/s)

Explosion

Expérience 3.3 Un ressort est fixé entre les deux chariots initialement au repos (figure3.3). Après avoir comprimé le ressort, on relâche les chariots.

2BC Dynamique 53

état initial2

2

1

1v2

Õ v1Õ

v1 = 0v2 = 0

état final

Figure 3.3 – Explosion

Tableau des mesures :m1 m2 v1 v2 v′1 v′2(kg) (kg) (m/s) (m/s) (m/s) (m/s)

3.1.2 Exploitation des mesures

Nous constatons que lors des chocs élastique et inélastique une partie de l’« élan » du chariot1 est transféré au chariot 2. Cette quantité transférée, que nous allons appeler quantité demouvement, dépend de la vitesse et de la masse du chariot.

Dans le cas de l’explosion, la quantité de mouvement est initialement nulle. Un transfert apourtant eu lieu car un des chariots a reçu une quantité de mouvement négative et l’autreune quantité de mouvement positive ! Le chariot avec la masse la plus grande va acquérir lavitesse la plus faible.

Ces remarques nous suggèrent que le produit de la masse par la vitesse est une mesure dela quantité de mouvement d’un chariot. C’est une valeur algébrique que nous calculons pourles deux chariots avant et après leur interaction :

m1 v1 m2 v2 m1 v′1 m2 v

′2

(kg m/s) (kg m/s) (kg m/s) (kg m/s)

On constate que la somme des produits est, aux erreurs expérimentales près, la même dansl’état final que dans l’état initial :

m1 v1 +m2 v2 = m1 v′1 +m2 v

′2.

Il en suit que la quantité de mouvement est en partie transférée d’un chariot à l’autre touten restant conservée lors des interactions.

54 Dynamique 2BC

3.1.3 Définitions

Dans le cas d’un mouvement dans l’espace à trois dimensions, les valeurs algébriques doiventêtre remplacées par des vecteurs. La quantité de mouvement est, comme la vitesse, un vec-teur.

Définition Le vecteur quantité de mouvement ~p d’un corps est le produit de la masse m ducorps par le vecteur vitesse ~v du centre d’inertie de ce corps.

~p = m~v (3.1)

L’unité S.I. de la quantité de mouvement est le kilogramme mètre par seconde (kg m/s).

Pour un système formé de plusieurs solides, on définit la quantité de mouvement totale.

Définition Le vecteur quantité de mouvement totale ~p d’un système formé de plusieurscorps 1, 2, . . . s’obtient en faisant la somme vectorielle des vecteurs ~p1, ~p2, . . . des différentscorps.

~p = ~p1 + ~p2 + · · · =∑i

~pi

3.1.4 Loi de conservation de la quantité de mouvement

Les expériences ont montré que la quantité de mouvement d’un système est conservée, c’est-à-dire qu’elle est la même à l’état final qu’à l’état initial. Il est important de noter que lesseules interactions étaient celles entre les deux chariots.

Définition On appelle système isolé un ensemble de corps qui n’interagissent qu’entre euxet qui ne sont pas soumis à des forces extérieures.

Les chariots sur le banc à coussin d’air ne constituent pas un système isolé. Ils sont soumisaux forces d’attraction terrestre, dont les actions sont toutefois compensées par les réactionsdu banc.

Définition On appelle système pseudo-isolé un ensemble de corps qui n’interagissent qu’entreeux et pour lesquels la résultante des forces extérieures est nulle.

Pour un système isolé ou pseudo-isolé nous pouvons formuler la loi de conservation de laquantité de mouvement.

Énoncé La quantité de mouvement totale d’un système isolé est conservée. Soient respecti-vement ~p et ~p ′ les quantités de mouvement totales du système à l’état initial et à l’état final,alors :

~p = ~p ′

2BC Dynamique 55

3.1.5 Exercices

Exercice 3.1 Un jeune garçon de masse M = 30 kg réalise les opérations suivantes avec saplanche à roulettes dont la masse est m = 5 kg.

1. Il est sur sa planche et l’ensemble est initialement immobile. Décrire le mouvement dela planche et calculer sa vitesse lorsque :

(a) le garçon saute de la planche avec une vitesse horizontale de valeur v = 2 m/s,dirigée suivant l’axe de la planche et vers l’avant ;

(b) le garçon saute perpendiculairement à l’axe de la planche.

2. Le garçon est sur la planche et l’ensemble a un mouvement rectiligne et uniforme à lavitesse v′ = 1 m/s. Il quitte alors sa planche en sautant avec une vitesse pratiquementhorizontale et dans la direction du mouvement. La vitesse avec laquelle il quitte laplanche est v′/2, vitesse évaluée par rapport à la planche.Quelle est la vitesse de la planche après le saut dans les deux cas suivants :

(a) le garçon saute vers l’avant ;

(b) le garçon saute vers l’arrière.

Exercice 3.2 Un cosmonaute dans son fauteuil de l’espace évolue à proximité du vaisseauspatial qui constitue sa base, et à très grande distance de tout astre. Sa masse (avec l’équi-pement complet) est M = 120 kg ; il est initialement immobile par rapport au vaisseau et luifait face.

1. Pour regagner le vaisseau, il expulse vers l’arrière une masse m = 100 g de gaz ; lavitesse du gaz par rapport au cosmonaute est 25 m/s.

(a) Quelle sera sa vitesse après l’éjection des gaz ?

(b) Quel temps mettra-t-il pour regagner le vaisseau s’il est initialement à 15 m decelui-ci ?

2. En arrivant à proximité du vaisseau, le cosmonaute doit s’arrêter. Dans ce but, il doitréaliser une nouvelle éjection de gaz.

(a) Cette éjection doit-elle être faite vers l’avant ou vers l’arrière ?

(b) Du fait de la baisse de la pression dans les réservoirs, la vitesse d’éjection des gazn’est plus que v′ = 10 m/s. Quelle masse de gaz devra-t-il éjecter pour arriver aurepos ?

Exercice 3.3 Un neutron vient frapper, à la vitesse vn = 106 m/s, un noyau d’hélium (parti-cule α) immobile. Le noyau d’hélium est projeté dans le sens de ~vn à la vitesse vα = 4 · 105 m/s,tandis que le neutron rebondit dans le sens inverse, à la vitessevn′ = 6 · 105 m/s.

Quelle relation peut-on en déduire entre la masse mα du noyau d’hélium et la masse mn duneutron ?

Exercice 3.4 Deux boules de billard de même masse progressent suivant des directions quifont un angle de 60 aux vitesses respectives v1 = 1 m/s et v2 = 0,8 m/s.Après le choc, la boule (2) part avec un angle de 45 par rapport à sa direction initiale, à la

56 Dynamique 2BC

vitesse v2′ = 0,6 m/s.

Déterminez la vitesse (valeur et direction) de la boule (1) après le choc.

Exercice 3.5 Sur une voie horizontale, trois wagons identiques sont immobiles, distants de10 m. Un quatrième wagon identique arrive sur eux avec une vitesse v = 2 m/s. Les wagonss’attachent les uns aux autres. Déterminez :

1. Les vitesses après chaque choc.

2. L’intervalle de temps entre le premier et le dernier choc.

Exercice 3.6 On considère deux patineurs immobiles sur la glace d’une patinoire. Leursmasses sont 70 kg. L’un d’eux envoie à son partenaire une caisse de masse 7 kg à une vitessede 2 m/s par rapport au sol ; le partenaire l’attrape. Il y a 3 périodes :

1. au départ tout est immobile ;

2. la caisse glisse ;

3. le second patineur a attrapée la caisse.

Calculer la vitesse des patineurs pendant chacune des 3 périodes.

2BC Dynamique 57

3.2 Les lois de Newton

3.2.1 La première loi de Newton : le principe d’inertie

Le centre d’inertie

Expérience 3.4 Lançons un solide sur une table à coussin d’air horizontale (figure 3.4).On observe le mouvement de deux points du solide : le point P situé à sa périphérie et soncentre de masse G.

(a) photographie

GP

(b) schéma

Figure 3.4 – Solide en mouvement sur une table horizontale

Observation :

Le mouvement du point P est curviligne et non uniforme. Le centre de masse G se déplacetoujours sur une ligne droite et à vitesse constante.

Interprétation :

Le solide est soumis à deux forces : son poids et la réaction de la table. Comme la table esthorizontale, ces deux forces se compensent. Le seul point du solide pseudo-isolé qui effectueun mouvement rectiligne et uniforme est appelé le centre d’inertie du solide.

Définition Dans le référentiel terrestre, le centre d’inertie d’un solide pseudo-isolé a unmouvement rectiligne et uniforme.

Remarque : le centre de gravité d’un solide est confondu avec son centre d’inertie.

58 Dynamique 2BC

Exemple 3.1 Sur une plaque de verglas, le centre d’inertie d’une voiture a un mouvementrectiligne et uniforme.

Quel sera le mouvement du centre d’inertie d’un solide pseudo-isolé dans d’autres référen-tiels ?

Expérience 3.5 Prenons comme solide « test » une bille qui est initialement au repos surune table horizontale dans différents référentiels.

Observations :

• Dans un train se déplaçant à vitesse constante sur un tronçon rectiligne, la bille varester immobile.

• Dans un train accéléré ou freiné sur un tronçon rectiligne, la bille ne va pas resterimmobile.

• Sur un manège en rotation autour d’un axe, la bille ne va pas rester immobile.

Interprétation :

Parmi les référentiels on distingue ceux dans lesquels le centre d’inertie d’un solide pseudo-isolé a un mouvement rectiligne et uniforme. Ils sont appelés référentiels galiléens.

Exemple 3.2 Les référentiels terrestre, géocentrique et héliocentrique sont des référentielsgaliléens.

Principe d’inertie

Première loi Dans un référentiel galiléen, le centre d’inertie G d’un système pseudo-isoléa un mouvement rectiligne et uniforme.

∑~Fext = ~0⇐⇒ ~vG = vecteur constant

Remarques :

• L’immobilité est un cas particulier du mouvement rectiligne et uniforme.

• Le principe d’inertie permet de distinguer référentiels galiléens et référentiels non gali-léens.

3.2.2 La deuxième loi de Newton : le principe fondamental de ladynamique

Solide non pseudo-isolé

Lorsque, dans un référentiel galiléen, un solide est soumis à des forces extérieures dont larésultante ne s’annule pas, le vecteur vitesse n’est plus un vecteur constant : le vecteuraccélération est non nul.

2BC Dynamique 59

Expérience 3.6 Un chariot de masse m est accéléré sur un rail horizontal sous l’effet d’uneforce ~F (figure 3.5). On varie la masse et l’intensité de la force et on mesure l’accélération duchariot.

Fa

Figure 3.5 – Chariot sur un rail horizontal

Conclusions :

• Pour une masse donnée, l’accélération est d’autant plus élevée que l’intensité de la forceest importante. Les mesures permettent de montrer :

a ∼ F.

• Pour une force donnée, l’accélération est d’autant plus faible que la masse est grande.Les mesures permettent de montrer :

a ∼ 1m.

En combinant ces deux résultats :a ∼ F

m

et en introduisant la constante de proportionnalité k :

a = kF

m.

L’unité de l’intensité d’une force est définie de sorte que pour accélérer de 1 m/s2 un corps demasse 1 kg il faut lui appliquer une force d’intensité 1 N. Avec cette définition, la constantede proportionnalité doit être fixée à k = 1 :

a = F

m=⇒ F = ma.

Comme l’accélération et la force résultante ont même direction et même sens, il en résulte :

~F = m~a.

Principe fondamental de la dynamique

Deuxième loi Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures ap-pliquées à un système est égale au produit de la masse m du système par le vecteur accélérationde son centre d’inertie G.

∑~Fext = m~aG (3.2)

60 Dynamique 2BC

Remarque :

Pour un système pseudo-isolé, le vecteur accélération est nul et on retrouve bien la pre-mière loi de Newton. On peut se demander quelle est l’utilité de la première loi puisqu’ellesemble être une conséquence de la deuxième. En réalité, il n’en est rien. Énoncer la pre-mière loi, c’est affirmer l’existence des référentiels galiléens et ainsi définir le domaine devalidité du principe fondamental.

Relation entre quantité de mouvement et force

La définition de l’accélération :~a = δ~v

δtpermet d’écrire :

m~a = mδ~v

δt

m~a = δ(m~v)δt

En tenant compte de la définition de la quantité de mouvement (3.1) :

m~a = δ~p

δt.

Finalement, en comparant à la relation fondamentale de la dynamique (3.2) :

~F = δ~p

δt(3.3)

La chute libre

Considérons le mouvement d’un solide de masse m sous l’effet de son poids (figure 3.6).

y

z

xO

G

P

gm

Figure 3.6 – Solide en chute libre

Le système que nous allons considérer est le solide en chute libre. Le référentiel galiléen danslequel l’étude sera réalisée est le référentiel terrestre.

En négligeant la résistance de l’air et la poussée d’Archimède, la seule force qui agit sur lesystème est son poids :

~P = m~g.

2BC Dynamique 61

La relation fondamentale permet de déterminer l’accélération du centre d’inertie du sys-tème :

∑~Fext = ~P

m~a = m~g

~a = ~g

L’accélération ~a est donc indépendante de la masse m. Elle est égale à l’intensité de lapesanteur ~g.

Expérience 3.7 Dans un tube en verre, appelé tube de Newton, une plume et une piècede monnaie peuvent tomber en absence (figure 3.7a) et en présence (figure 3.7b) de l’air.

v2v1

(a) vide

v1Õ

v2Õ

(b) air

Figure 3.7 – Chute d’objets dans un tube de Newton

Observations :

• Dans le vide, la plume et la pièce de monnaie atteignent le fond du tube au mêmeinstant. Ils parcourent la même distance sous le seul effet de leur poids.

• Dans l’air, tel n’est plus le cas ! La pièce de monnaie arrive en premier.

Interprétation :

La résistance de l’air agit sur la plume alors qu’elle est négligeable pour la pièce de monnaie.Quand la vitesse atteint une certaine valeur limite, la résistance de l’air va compenser l’effetdu poids de la plume. À partir de cet instant, la vitesse de la plume restera constante.

3.2.3 La troisième loi de Newton : le principe d’interaction

Considérons à nouveau l’expérience des deux chariots sur le banc à coussin d’air horizontalde la section 3.1.1.

La quantité de mouvement totale du système des deux chariots est :

~p = ~p1 + ~p1.

62 Dynamique 2BC

Lors des interactions, les chariots sont soumis simultanément à des forces réciproques. Larelation (3.3) permet d’écrire :

δ~p1 = ~F2/1 δt

δ~p2 = ~F1/2 δt

=⇒ δ~p = δ~p1 + δ~p2 = (~F2/1 + ~F1/2) δt.

La loi de conservation de la quantité de mouvement implique que les forces d’interactionréciproques sont opposées :

δ~p = 0⇐⇒ ~F2/1 = −~F1/2.

Principe d’interaction

Troisième loi Lorsqu’un corps A exerce sur un corps B la force ~FA/B, alors le corps Bexerce sur le corps A la force ~FB/A.

FB/A

FA/B

B

A

Figure 3.8 – Principe d’interaction

Indépendamment de l’état de mouvement des deux corps A et B, cette interaction est telleque (figure 3.8) :

• ~FA/B et ~FB/A ont la même droite d’action ;

• ~FA/B = −~FB/A.

Applications

Exemple 3.3 Lorsqu’une moto accélère, les cailloux éjectés vers l’arrière permettent dereprésenter la force ~FR/S exercée par la roue arrière sur le sol (figure 3.9). La moto est miseen mouvement par la force ~FS/R dirigée dans le sens du mouvement.

roue

solFS/RFR/S

Figure 3.9 – Traction

Exemple 3.4 Le principe d’interaction est à l’origine de la propulsion des fusées.

A la fin du 19e siècle, le Russe Konstantin Tsiolkovski a imaginé le moteur-fusée, capable decréer sa propre force motrice aussi bien dans l’atmosphère que dans le vide spatial.

2BC Dynamique 63

Dans l’espace, la fusée éjecte des gaz vers l’arrière et se propulse par réaction, sans pointd’appui extérieur. Au mouvement de la masse de gaz vers l’arrière correspond un mouvementopposé de la fusée vers l’avant. La fusée s’appuie sur les gaz éjectés et fonctionne parfaitementdans le vide.

3.2.4 Exercices

Exercice 3.7 Un camion prend un virage à vitesse constante. Sur la surface de chargementse trouve une caisse non arrimée qui peut glisser sans frottement.

1. Le référentiel du camion est-il, dans ce cas, un référentiel galiléen ? Justifier.

2. Le principe d’inertie s’applique-t-il pour la caisse dans le référentiel du camion ? Dansle référentiel terrestre ?

3. Décrire le mouvement de la caisse dans les deux référentiels.

Exercice 3.8 Le passager d’une voiture oublie de mettre sa ceinture de sécurité.

1. Faire le bilan des forces qui s’exercent sur le passager. Quelle est la relation entre cesforces ?

2. À quelle condition, autre que l’immobilité, la voiture est-elle un référentiel galiléen ?

3. Dans la voiture, référentiel galiléen, le passager est-il ou non un système pseudo-isolé ?Quelle est, dans ces conditions, l’utilité de la ceinture de sécurité ?

4. Que devient le référentiel voiture si elle freine brutalement ?

5. Le passager reste-il immobile dans le référentiel voiture ? Quelle est, dans ces conditions,l’utilité de la ceinture ?

Exercice 3.9 Si nous considérons une rame de TGV, de masse 485 t, lancée à 300 km/h surune voie rectiligne et horizontale, et que nous voulons effectuer un freinage d’urgence sansà-coups, il faudra exercer une force résistante pendant environ 84 s pour obtenir l’arrêt.

1. En supposant l’ensemble des forces constantes au cours du freinage, quelle est la naturedu mouvement du TGV dans ces conditions ?

2. Calculer l’accélération du mouvement.

3. Au cours du freinage, la valeur de la force de résistance aérodynamique estFr = 70 000 N. Calculer la valeur de la force résistante nécessaire à l’arrêt dans cesconditions.

Exercice 3.10 Pour accélérer une voiture de massem, le moteur exerce une force de tractionconstante ~F .Qu’adviendrait-il de l’accélération du véhicule si celui-ci avait une masse double et le moteurla même force de traction.

Exercice 3.11 Une savonnette de masse m glisse sur un plan incliné d’un angle α = 15par rapport à l’horizontale. On néglige les frottements.Calculer l’accélération de la savonnette.

64 Dynamique 2BC

Exercice 3.12 Par l’application d’une force de freinage ~F constante, la vitesse d’une voiturede masse m = 800 kg passe de 90 km/h à 60 km/h en 5 s.Déterminer la valeur de la décélération du véhicule et en déduire l’intensité de la force defreinage.

Exercice 3.13 Une feuille de masse m = 5 g tombe de l’arbre d’une hauteur h = 5 m. Ellesubit une force de frottement constante d’intensité F = 0,03 N.Quelle est l’accélération de la feuille ?

Exercice 3.14 Une fusée dont la masse est 10 t subit une poussée de 2,5 · 105 N pendantune minute (départ arrêté au niveau du sol).

1. Quelle est son altitude après une minute, si l’on néglige les frottements ?

2. Comment varie cette réponse si l’on tient compte des frottements ?

3. Comment varie cette réponse si l’on tient compte de la diminution de la masse de lafusée due à l’éjection du carburant ?

Exercice 3.15 Deux projectiles A et B sont lancés verticalement avec la même vitesseinitiale v0, l’une vers le haut et l’autre vers le bas.

1. Déterminer la distance AB en fonction du temps.

2. Calculer v0 sachant que AB = 10 m au bout d’une seconde.

Exercice 3.16 Une bille A est lancée verticalement vers le haut à 1 m du sol et arrive 5 mplus haut après 1 s.

1. Établir l’équation horaire de la bille A si le départ se fait à la date t = 0 s.

2. Chercher la relation entre la vitesse et la position dans le mouvement de la bille A.

3. Déterminer le plafond atteint par la bille A et sa vitesse de retombée au sol.

4. Une bille B est lancée 1 s après A dans les mêmes conditions. Former l’équation horairede la bille B et trouver le point de rencontre avec A. Quelles sont à ce moment lesvitesses des deux billes ?

Exercice 3.17 Un skieur démarre, tiré par une perche de téléski, sur une pente inclinéed’un angle α = 20 par rapport à l’horizontale. La perche fait un angle β = 20 avec ladirection de la piste.

1. La vitesse du skieur passe de 0 à 2 m/s en 0,5 s ; calculer l’accélération du skieur.

2. On néglige les frottements sur la neige et le skieur à une masse m = 80 kg ; calculer latension de la perche.

Exercice 3.18 Un mobile de masse m = 0,65 kg est lâché sans vitesse initiale sur une tableinclinée d’un angle α = 12 par rapport à l’horizontale. Il est soumis au cours du mouvementà une force de frottement ~F constante et parallèle à la vitesse de glissement. On a relevé lespositions du mobile au cours du temps :

2BC Dynamique 65

t (s) 0 0,12 0,24 0,36 0,48x (cm) 0 1,1 4,45 10,0 17,8

1. Établir l’expression littérale de l’accélération du mobile.

2. En déduire l’expression littérale de l’accélération si le frottement est négligeable. Cal-culer la valeur numérique dans ce cas.

3. Déduire des mesures la valeur numérique de l’accélération du mouvement. L’expériencemet-elle en évidence l’existence d’une force de frottement ? Si oui, calculer sa valeur F .

Exercice 3.19 Deux objets respectivement de 3 kg et de 5 kg sont attachés aux extrémitésd’un fil inextensible et de masse négligeable. Celui-ci est passé autour d’une poulie d’axehorizontale, de masse négligeable et n’introduisant pas de frottement important. Initialement,les deux objets sont maintenus immobiles. On abandonne ensuite le système à lui-même.Déterminer :

1. La distance parcourue par le corps de 5 kg pendant les 2 s suivant son départ.

2. La force exercée par le fil sur le corps de 3 kg.

66 Dynamique 2BC

3.2.5 Traduction originale des lois de Newton

Newton publia les « Principia » en 1687. La traduction par la marquise du Châtelet futpubliée en France en 1759.

(a) Première page (b) Extrait de l’ouvrage

2BC Dynamique 67

3.3 Interactions fondamentales

Le terme d’interaction désigne les actions réciproques que deux systèmes exercent l’un surl’autre. Toutes les interactions connues à l’heure actuelle peuvent être réduites à quatre inter-actions fondamentales : interaction gravitationnelle, électromagnétique, forte et faible.

Toutes les forces qui jouent un rôle dans la vie de tous les jours, comme par exemple le poidsd’un corps, les forces de frottement, la tension d’un ressort, . . . trouvent leur origine soitdans l’interaction gravitationnelle, soit dans l’interaction électromagnétique des constituantsélémentaires des systèmes physiques.

Exemples :

• le poids d’un corps est due à l’interaction gravitationnelle de ce corps et de la Terre ;

• la tension d’un ressort est due à l’interaction électrique des électrons et des noyaux quiconstituent le ressort.

Les interactions forte et faible furent découvertes au 20e siècle et jouent un rôle uniquementau niveau du noyau atomique.

3.3.1 L’interaction gravitationnelle

Selon la loi de gravitation de Newton, deux corps sphériques et homogènes A et B, demasses m1 et m2, dont les centres O1 et O2 sont distants de d, exercent l’un sur l’autredes forces attractives ~FA/B et ~FB/A de même droite d’action (O1O2) et de même valeur F(figure 3.10) :

F = Km1m2

d2

FB/AFA/B

BA

O1

O2

Figure 3.10 – Interaction gravitationnelle

La constante K (ou G) est appelée constante de gravitation. Sa valeur dans le système inter-national est :

K = 6,67 · 10−11 N kg−2 m2.

La loi de gravitation de Newton a connu son plus grand succès lorsqu’elle fut appliquée aumouvement des planètes du système solaire. Cependant, certaines observations astronomiquesn’étaient pas en accord avec les résultats théoriques.

En 1915, Einstein publia sa théorie de la relativité générale qui donne une description géo-métrique de l’interaction gravitationnelle. Elle est à ce jour la seule théorie de l’interactiongravitationnelle en accord avec toutes les observations astronomiques (y compris les trousnoirs).

68 Dynamique 2BC

3.3.2 L’interaction électrique

L’interaction électromagnétique ne concerne que les objets portant une charge électrique.Elle est à l’origine de tous les phénomènes électriques et magnétiques, y compris les ondesélectromagnétiques, parmi lesquelles on distingue la lumière, les ondes radio, les ondes radar,les rayons X . . .

Nous allons nous limiter à l’interaction électrique décrite par la loi de Coulomb. Selon cetteloi, deux objets ponctuels A et B, distants de d, portant les charges électriques q1 et q2,exercent l’un sur l’autre des forces ~FA/B et ~FB/A de même droite d’action (AB), répulsivessi q1 et q2 sont de même signe (figure 3.11a), attractives si q1 et q2 sont de signes contraires(figure 3.11b), et de même valeur F :

F = 14πε0

|q1 q2|d2 = k

|q1 q2|d2

FB/A

FA/BBA

+ (−)+ (−)

(a) Charges de même signe

FB/AFA/B

B

A

+

−

(b) Charges de signes contraires

Figure 3.11 – L’interaction électrique

La constante ε0 est appelée permittivité électrique du vide. L’unité de charge électrique est lecoulomb (C).

La valeur de la permittivité électrique du vide est :

ε0 = 8,84 · 10−12 N−1 C2 m−2.

On en déduit :k = 9,00 · 109 N C−2 m2.

3.3.3 L’interaction forte

Entre deux nucléons (protons et neutrons) d’un noyau atomique s’exercent des forces attrac-tives de valeur environ mille fois plus grande que celle des forces électriques répulsives entredeux protons ; c’est cette interaction forte qui assure la cohésion du noyau. Elle s’exerce indif-féremment entre proton et neutron, mais elle est inexistante entre un électron et un nucléon.Sa portée n’excède pas la taille du noyau, qui est de l’ordre de 10−15 m.

L’interaction forte est aussi responsable des réactions nucléaires, source d’énergie des étoileset donc du Soleil.

2BC Dynamique 69

3.3.4 L’interaction faible

L’interaction faible, ou force nucléaire faible, est responsable de certains phénomènes de laradioactivité (radioactivité bêta). Sa portée est extrêmement faible, de l’ordre de quelquescentièmes de la taille d’un nucléon. Elle est environ 105 fois plus faible que l’interactionforte.

3.3.5 Exercices

Exercice 3.20 Calculer la masse de la Terre sachant que son rayon vaut 6,4 · 103 km et quel’intensité de la pesanteur moyenne est égale à 9,8 N/kg.

Exercice 3.21 Dans l’atome d’hydrogène, la distance entre le proton et l’électron vautenviron 5,3 · 10−11 m.

1. Calculer l’intensité de la force électrique entre le proton et l’électron.

2. Calculer l’intensité de la force d’attraction gravitationnelle entre le proton et l’électron.

3. Comparer ces valeurs.

m mq q

– LExercice 3.22 Deux corps de même masse m et portant des chargespositives identiques q sont suspendus à des fils de même longueur L.À l’équilibre, les fils font un angle α entre eux.Déterminer la charge q des deux corps.

Données : m = 10 g ; L = 20 cm ; α = 40.

Chapitre 4

Travail et puissance

4.1 Travail d’une force

4.1.1 Définition

En physique, le travail est une notion liée aux forces et aux déplacements de leurs pointsd’application.

Considérons une force constante ~F dont le point d’application subit un déplacement rectilignede A vers B. Nous allons, tout d’abord, définir le travail dans deux cas particuliers.

• Le travail W d’une force ~F orientée dans la direction et dans le sens du déplacement(figure 4.1) est défini par l’expression :

W (~F ) = F AB.

L’unité du travail est le joule (J) : 1 J = 1 N m.

A BF

Figure 4.1 – Force parallèle au déplacement

• Une force perpendiculaire à la direction du déplacement ne travaille pas.

Lorsque la force ~F n’est ni parallèle, ni perpendiculaire au déplacement, il faut la décom-poser en une composante tangentielle ~FT et une composante normale ~FN au déplacement(figure 4.2).

D’après la définition ci-dessus, ce n’est que la composante ~FT qui travaille. Le travail de laforce ~F lors du déplacement de A vers B est :

WAB(~F ) = FT AB = F AB cosα.

L’expression F AB cosα représente le produit scalaire des vecteurs ~F et −→AB.

2BC Travail et puissance 71

A B

F

FT

FN

–

Figure 4.2 – Décomposition d’une force

Définition Le travail d’une force constante ~F pour un déplacement rectiligne −→AB de sonpoint d’application est égal au produit scalaire des vecteurs ~F et −→AB :

WAB(~F ) = ~F · −→AB = F AB cosα (4.1)

où α est l’angle formé par les deux vecteurs ~F et −→AB.

Remarque : on retrouve bien la définition du travail dans le cas particulier α = 0.

4.1.2 Le travail est une grandeur algébrique

Selon la valeur de l’angle α, avec 0 ≤ α ≤ 180, le travail d’une force est positif, négatif ounul :

α < 90 : cosα > 0 =⇒ WAB(~F ) > 0 (figure 4.3a).La force ~F favorise le mouvement, son travail est dit moteur.

α = 90 : cosα = 0 =⇒ WAB(~F ) = 0 (figure 4.3b).La force ~F ne travaille pas.

α > 90 : cosα < 0 =⇒ WAB(~F ) < 0 (figure 4.3c).La force ~F s’oppose au mouvement, son travail est dit résistant.

A BF–

(a) travail moteur

A BF

(b) travail nul

A BF –

(c) travail résistant

Figure 4.3 – Signe du travail d’une force

Exemple 4.1 Un solide descend un plan incliné de longueur d. Il est soumis à trois forces :son poids ~P , la réaction ~R du plan incliné et la force de frottement ~f (figure 4.4).

Le travail du poids est moteur, le travail de la réaction est nul et le travail de la force defrottement est résistant :

W (~f) = f d cos 180 = −f d.Cette expression est valable pour toute force de frottement constante en intensité, indépen-damment de la trajectoire.

72 Travail et puissance 2BC

d

f

P

Rplan incliné

solide

Figure 4.4 – Descente sur un plan incliné

Exemple 4.2 Un solide de masse m peut glisser sans frottement sur une piste horizontale.Le solide est accéléré du repos à la vitesse v sous l’action d’une force constante ~F (figure 4.5).

F

P

Rdéplacement

Figure 4.5 – Accélération sur une piste horizontale

Les forces ~P et ~R ne travaillent pas. Le travail de la force ~F est moteur et s’écrit :

W (~F ) = F d

où d est la distance parcourue pour atteindre la vitesse v. Comme la force est constante, lemouvement est rectiligne et uniformément accéléré :

d = 12 a t

2.

L’expression du travail devient :W (~F ) = F 1

2 a t2.

L’accélération et la force sont reliées par la deuxième loi de Newton :

F = ma

d’où :W (~F ) = ma 1

2 a t2 = 1

2 m (a t)2

et avec v = a t :

W (~F ) = 12 mv2 (4.2)

Le travail ne dépend que de la valeur finale de la vitesse et de la masse du solide. L’expressionreste valable même si la force n’est pas constante.


F

F Õ

A

B

(a) Trajectoire réelle

F1

Fi

”si”s1

A

B

(b) Déplacements élémentaires

Figure 4.6 – Force variable et trajectoire curviligne

4.1.3 Force variable sur une trajectoire curviligne

Rappelons que la définition (4.1) du travail ne s’applique qu’au cas d’une force constantedont le point d’application se déplace sur une trajectoire rectiligne.

Considérons le cas le plus général d’une force qui varie le long d’une trajectoire curviligne(figure 4.6a). Pour calculer le travail de la force entre A et B, nous divisons la trajectoireen « très petits » déplacements élémentaires rectilignes δ~si (figure 4.6b) de sorte que la forcepuisse être assimilée à une force constante ~Fi le long d’un tel déplacement.

L’expression du travail élémentaire δWi effectué par la force sur le ie déplacement élémentaires’écrit :

δWi = ~Fi · δ~si.Le travail total est la somme des travaux élémentaires :

WAB(~F ) =∑i

δWi =∑i

~Fi · δ~si. (4.3)

Remarques :

• Le choix des déplacements élémentaires dépend de la variation de la force et de lacourbure de la trajectoire.

• Le nombre de termes dans la somme est d’autant plus grand que la longueur moyennedes déplacements élémentaires est petite. Dans la limite où cette longueur tend verszéro, la somme est remplacée par une intégrale.

4.1.4 Force constante sur une trajectoire curviligne

Travail du poids

Considérons le travail du poids d’un solide lors du déplacement rectiligne de son centre degravité G de A vers B (figure 4.7).

Comme le poids est une force constante et que le déplacement est rectiligne, nous pouvonsappliquer la définition (4.1) du travail.

Lorsque le centre de gravité du solide descend (figure 4.7a), le travail du poids est mo-teur :

WAB(~P ) = P AB cos(90 − θ) = P AB sin θ= P h.


A

B

G

P

h

◊

(a) travail moteur

A

BG

P

h

◊

(b) travail résistant

Figure 4.7 – Travail du poids sur un plan incliné

Le travail est résistant lorsque le centre de gravité monte (figure 4.7b) :

WAB(~P ) = P AB cos(90 + θ) = −P AB sin θ= −P h.

Dans le cas général d’un déplacement curviligne du centre de gravité, nous divisons la tra-jectoire en N déplacements élémentaires (figure 4.8). En utilisant le repère de la figure, letravail du poids sur le ie déplacement élémentaire s’écrit :

δWi = P hi = P (zi − zi+1).

On vérifie que le travail élémentaire est moteur si l’altitude z diminue et qu’il est résistant siz augmente.

z

xO

A

Bhi

zi

zi+1

Figure 4.8 – Travail du poids sur une trajectoire curviligne

Le travail total du poids entre A et B est alors, avec z0 = zA et zN = zB :

WAB(~P ) =N−1∑i=0

δWi =N−1∑i=0

P (zi − zi+1) = PN−1∑i=0

(zi − zi+1)

En écrivant la somme de façon explicite :

WAB(~P ) = P (z0 − z1 + z1 − z2 + z2 · · · − zN−1 + zN−1 − zN)

et finalement :WAB(~P ) = P (zA − zB) (4.4)

Une trajectoire différente joignant les mêmes points A et B conduit au même résultat.


Travail du poids Lorsque le centre de gravité G d’un solide se déplace d’un point A d’al-titude zA à un point B d’altitude zB, le travail du poids de ce solide est indépendant de latrajectoire suivie par G entre A et B. Il est égal au produit de l’intensité P de ce poids parla diminution d’altitude zA − zB.

On aboutit au même résultat en utilisant l’expression (4.3) et la distributivité du produitscalaire par rapport à l’addition vectorielle :

WAB(~P ) =∑i

~P · δ~si = ~P ·∑i

δ~si.

La somme vectorielle des déplacements élémentaires δ~si est égale au vecteur déplacementrésultant −→AB :

WAB(~P ) = ~P · −→AB (4.5)

Travail du poids Lorsque le centre de gravité G d’un solide se déplace d’un point A à unpoint B, le travail du poids de ce solide est indépendant de la trajectoire suivie par G entreA et B. Il est égal au produit scalaire du poids ~P et du déplacement −→AB.

Généralisation

Le raisonnement qui a conduit à la relation (4.5) reste valable pour toute force constante.

Le travail d’une force constante ~F dont le point d’application M passe d’un point A àun point B ne dépend pas de la trajectoire suivie par M entre A et B. Il est donné parl’expression :

WAB(~F ) = ~F · −→AB.

4.1.5 Force variable sur une trajectoire rectiligne

Méthode de l’aire

Nous allons nous limiter au cas d’une force parallèle au déplacement. Prenons x commeabscisse de son point d’application sur l’axe du déplacement. La seule coordonnée non nullede la force est Fx. Le travail est :

WAB(~F ) =∑

Fx δx.

Le travail peut être évalué l’aide de la méthode de « l’aire ». Représentons Fx en fonction dex (figure 4.9).

L’aire du rectangle élémentaire de largeur δx et de longueur Fx est Fx δx. Cette aire est égaleau travail de la force sur le déplacement élémentaire δx. Le travail total entre A et B, avecxA < xB, est égal à l’aire de la surface colorée entre xA et xB.

Le calcul du travail revient donc à déterminer l’aire de la surface délimité par la courbereprésentant la force en fonction de la position de son point d’application.


x0

Fx

xA xB

”W = Fx · ”x

”x

Figure 4.9 – Représentation de la force en fonction de la position

Travail tenseur

Considérons un ressort de raideur k sur lequel on exerce à son extrémité libre une force ~F . Lepoint d’application de cette force se déplace sur l’axe x dont l’origine correspond au ressortdétendu (figure 4.10). La seule coordonnée non nulle de la force est Fx, avec :

Fx = k x.

Elle est positive si le ressort est allongé (figure 4.11).

0 x

F = 0

Figure 4.10 – Ressort détendu avec Fx = 0

0 x

F

Figure 4.11 – Ressort allongé avec Fx > 0

Comme l’intensité de la force n’est pas constante, nous allons utiliser la méthode de « l’aire »pour calculer son travail. D’après la loi de Hooke, la représentation de Fx en fonction de xdonne une droite passant par l’origine (figure 4.12).

Lorsque le point d’application de la force se déplace de A en B, avec xA < xB, le travailqu’elle effectue est égal à l’aire du trapèze délimité par la droite entre xA et xB :

WAB(~F ) = 12 (FxA + FxB) (xB − xA)

= 12 (k xA + k xB) (xB − xA) = 1

2 k (xA + xB) (xB − xA).

Le produit de la somme et de la différence est égale à la différence de deux carrés :

WAB(~F ) = 12 k (xB2 − xA2) (4.6)


x0

Fx

xA xB

W > 0FxA

FxB

Figure 4.12 – Représentation de la force en fonction de l’allongement

Le travail de la force ~F est positif. L’expression reste valable lorsque le ressort est comprimé.Pour allonger de x un ressort initialement détendu, l’expression du travail devient :

WAB(~F ) = 12 k x

2.

4.1.6 Forces conservatives

Nous avons montré que le travail d’une force constante est indépendant du trajet suivi. Parmiles forces variables, certaines présentent également cette propriété.

Définition Une force est dite conservative lorsque le travail de cette force entre deux pointsA et B est indépendant de la trajectoire suivie par son point d’application pour passer de Aà B. Dans le cas contraire, la force est dite non conservative.

Le travail d’une force conservative sur une trajectoire fermée est nul. En effet, le travail étantindépendant de la trajectoire, il est égal au travail pour un déplacement nul.

Exemples :

• Le poids et la tension d’un ressort sont des forces conservatives.

• Toute force de frottement est non conservative.

4.2 Puissance d’une force

4.2.1 Puissance moyenne d’une force

Définition La puissance moyenne Pm d’une force est le quotient du travail qu’elle effectueentre les points A et B par la durée ∆t correspondante :

Pm(~F ) = WAB(~F )∆t


L’unité SI de la puissance est le watt (W) : 1 W = 1 J/s.

4.2.2 Puissance instantanée d’une force

Lorsque la force varie au cours du déplacement ou quand le mouvement de son point d’ap-plication n’est pas rectiligne et uniforme, il est utile de considérer la puissance instantanée àune certaine date t.

Exemple 4.3 La puissance instantanée du moteur d’une voiture varie au cours d’un dépla-cement. Elle dépend du nombre de tours du moteur et de la position de l’accélérateur.

Soit δW le travail élémentaire effectué par la force ~F entre les dates t et t+ δt. La puissanceinstantanée à la date t est :

P = δW

δt.

Avec δW = ~F · δ~s on a :

P =~F · δ~sδt

= ~F · δ~sδt.

L’expression δ~s

δtest la vitesse instantanée ~v du point d’application de la force ~F à la date

considérée.

Puissance instantanée Lorsque le point d’application d’une force ~F se déplace à la vitesse~v, la puissance instantanée P de cette force est égale au produit scalaire des vecteurs force ~Fet vitesse instantanée ~v :

P (~F ) = ~F · ~v (4.7)

Le cheval-vapeur (ch) est une ancienne unité de puissance introduite par James Watt pourmesurer la puissance de ses moteurs à vapeur. Elle correspond à la puissance fournie par uncheval qui soulève une charge de masse 75 kg à la vitesse 1 m/s. L’application de l’expression(4.7) donne 1 ch = 736 W.

4.3 Exercices

Exercice 4.1 Montrer que les expressions (4.4) et (4.5) pour le travail du poids sont équi-valentes.

Exercice 4.2 Une automobile de masse 1100 kg roule à vitesse constante sur un tronçonrectiligne de 2 km, puis monte une pente de 8 % pendant 1500 m. On supposera que les forcesde frottement qui s’opposent au déplacement gardent une valeur constante de 1850 N toutau long du trajet.

1. Calculez le travail du poids sur le trajet complet.

2. Calculez le travail de la force de frottement sur le trajet complet.


Exercice 4.3 Un pendule simple est constitué d’une boule de masse 50 g accrochée au boutd’un fil de longueur 30 cm, de masse négligeable. La boule reçoit en A une impulsion qui lafait remonter jusqu’en B, de telle manière que le pendule fait alors un angle α = 30 avec laverticale.

AB

–

1. Calculez le travail du poids de la boule entre A et B.

2. Quel est le travail entre A et B de la force exercée par le fil sur laboule ? Motivez !

3. Quel serait le travail du poids de la boule, si le pendule faisait untour complet ? Expliquez !

Exercice 4.4 Une boule de flipper de masse 150 g est lancée à l’aide d’un ressort de raideur60 N/m, comprimé de 10 cm. La boule quitte le ressort quand la compression s’annule.

1. Calculer le travail effectué par la tension du ressort lors du lancement.

2. En déduire la vitesse de la boule après le lancement.

Exercice 4.5 Calculer la puissance moyenne fournie par une machine qui soulève une caissede 500 kg à une hauteur de 20 m en 60 s.

Exercice 4.6 Une voiture de 1000 kg monte une pente de 3 % à 20 m/s. Trouver la puissancenécessaire, sans tenir compte du frottement.

Exercice 4.7 De l’eau coule d’un réservoir avec un débit de 3000 kg/min vers une turbinequi se trouve 120 m plus bas. Si le rendement de la turbine est de 80 %, calculer la puissancefournie par la turbine.

Exercice 4.8 Une voiture de masse 1,5 t roule à la vitesse constante de 108 km/h sur unsol horizontal.

1. Faites le bilan des forces qu’elle subit et précisez quelles forces font un travail moteur,lesquelles un travail résistant, lesquelles un travail nul.

2. La force de frottement vaut 1800 N. Calculez le travail du poids et de la force motricesur un trajet de 10 km.

3. Calculez la puissance de la voiture.

4. Reprenez l’exercice en supposant que la voiture monte un col avec une pente de 12 %.

Exercice 4.9 Un tapis roulant est utilisé pour charger du minerai dans un wagon. Lalongueur du tapis est L = 22,5 m et son inclinaison avec l’horizontale est α = 35.


1. Faire le bilan des forces s’exerçant sur un bloc de minerai de masse m = 2 kg qui estentraîné à vitesse constante sur le tapis roulant.

2. Calculer la valeur de la force de frottement ~f exercée par le tapis roulant sur le bloc deminerai.

3. Calculer le travail de cette force de frottement ~f lorsque le bloc parcourt toute lalongueur du tapis roulant.

4. Quelle est la puissance des forces exercées par le tapis sur le minerai transporté si lavitesse de chargement du wagon est de 1,55 t par minute ?

Exercice 4.10 Lorsqu’une voiture roule à vitesse constante sur une route horizontale, letravail fourni par la force motrice sert uniquement à vaincre les frottements. Pour des vitessesassez élevées, le frottement est presque entièrement aérodynamique. La force de frottementde l’air est proportionnelle au carré de la vitesse.

1. Comparez les valeurs de la puissance motrice aux vitesses 100 km/h et 130 km/h.

2. Calculer la consommation d’essence à 130 km/h sachant qu’elle est de 6 l pour 100 kmà 100 km/h.

Chapitre 5

Énergie mécanique

5.1 Notion d’énergie

5.1.1 Définition

Bien que la notion d’énergie soit omniprésente, même dans la vie de tous les jours, il s’avèretrès difficile de la définir de façon précise.

Définition L’énergie d’un système représente sa capacité à modifier, par interaction, l’étatd’un autre système.

À cette définition générale mais peu précise, il faut ajouter des propriétés que doit satisfairel’énergie d’un système :

• Sa valeur ne dépend que de l’état du système et non pas de son évolution antérieure :l’énergie est une fonction d’état.

• Elle est une grandeur scalaire, déterminée par un nombre et une unité.

• Son unité est le joule (J).

• Différentes formes d’énergie peuvent exister.

• Elle peut être échangée entre des systèmes et entre les éléments d’un système.

• L’énergie d’un système isolé est conservée.

5.1.2 Transferts

Lorsqu’un système interagit avec un autre, il y a un transfert d’énergie entre les systèmespar :

• le travail d’une force ;

• un échange de chaleur ;

• un rayonnement.

82 Énergie mécanique 2BC

Un système possède de l’énergie s’il est capable de produire un travail, de la chaleur ou unrayonnement en diminuant son énergie.

Lorsqu’on fournit à un système un travail, de la chaleur ou un rayonnement, son énergieaugmente.

5.1.3 Rendement

Considérons un système qui permet la conversion ou le transfert d’énergie (figure 5.1). Il reçoitune quantité d’énergie ∆Ereçue et restitue l’énergie ∆Eutile utilisée par un autre système.

Système

Eutile

Ereçue

Edissipee

Figure 5.1 – Transferts et conversions d’énergie

Lors de ce processus, une quantité d’énergie non utile ∆Edissipée est dissipée par le sys-tème.

Remarques :

• Les quantités d’énergie transférées peuvent être un travail, de la chaleur ou un rayon-nement.

• On dit souvent que l’énergie reçue provient d’une source d’énergie. Or il n’existe pas desource d’énergie dans le sens que de l’énergie soit créée. L’énergie reçue provient d’unéchange avec un autre système qui voit son énergie diminuer.

Définition Le rendement ρ d’un système lors d’un transfert ou d’une conversion d’énergieest le rapport de l’énergie restituée à l’énergie reçue :

ρ = ∆Eutile

∆Ereçue

Le rendement est une grandeur sans unité et est souvent exprimé en %.

Le rendement d’un système est compris entre 0 et 1. Plus le rendement est élevé, plus letransfert ou la conversion de l’énergie est complète. Tous les systèmes réels ont un rendementinférieur à 1.

Exemples :

1. Un moteur thermique reçoit la chaleur provenant de la combustion de l’essence, latransforme en partie en énergie mécanique et transfère de la chaleur au milieu extérieur.

2. Le travail mécanique fourni par un moteur électrique est inférieur au travail électriqueinvesti.

2BC Énergie mécanique 83

3. Le travail de la force exercée sur l’extrémité de la corde d’un palan est en partie resti-tuée pour effectuer un travail de levage sur la charge. Les frottements provoquent unedissipation de chaleur.

5.2 Énergie mécanique

5.2.1 Définition

L’énergie mécanique d’un système est une fonction des positions et des vitesses des corps quile composent. Les transferts d’énergie mécanique se font par le travail d’une force.

Considérons un système composé de plusieurs corps en interaction. Les forces qui agissentsur les corps du système peuvent être divisées en deux groupes :

• les forces extérieures provenant de l’interaction avec un autre système ;

• les forces intérieures d’interaction entre les corps du système.

Les forces extérieures, par les travaux qu’elles effectuent, font varier l’énergie mécanique dusystème. Les forces extérieurs qui effectuent un travail moteur augmentent l’énergie méca-nique du système, celles qui effectuent un travail résistant la font diminuer.

Théorème de l’énergie mécanique Dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergiemécanique d’un système est égale à la somme des travaux effectués sur le système par les forcesextérieures.

∆E =∑

W (~Fext) (5.1)

Remarque : le théorème de l’énergie mécanique sert à définir l’énergie mécanique d’un systèmeet peut être démontré à l’aide des lois de Newton.

L’énergie mécanique augmente si la somme des travaux des forces extérieures est positiveet diminue si cette somme est négative. Lorsque la somme est nulle, l’énergie mécanique estconservée : ∑

W (~Fext) = 0⇐⇒ E = constante.

En particulier, l’énergie mécanique est conservée :

• pour un système isolé ou pseudo-isolé ;

• si les forces extérieures ne travaillent pas.

La variation de l’énergie mécanique par unité de temps est égale à la somme des puissancesdes forces extérieures :

δE

δt=∑ δW (~Fext)

δt=∑

P (~Fext).

Connaissant les positions et les vitesses des corps dans un état donné et, le cas échéant,les travaux des forces extérieures, on peut utiliser le théorème de l’énergie pour obtenir desinformations sur ces grandeurs dans un autre état, sans connaître les étapes intermédiairesde l’évolution du système.


5.2.2 Exemples

Exemple 5.1 Le système est composé d’un corps solide S et d’un ressort R (figure 5.2). Leressort est fixé au solide et au banc horizontal à coussin d’air sur lequel le solide se déplacesans frottement.

Fbanc

FR/S

FS/R

bancsolide

Figure 5.2 – Solide en interaction avec un ressort

Les forces extérieures sont le poids du solide, la réaction du banc sur le solide et la force ~Fbancexercée par le banc sur le ressort. Aucune de ces forces ne travaille, l’énergie mécanique dusystème est conservée.

Les forces intérieures sont ~FR/S et ~FS/R. Les travaux de ces forces assurent le transfert del’énergie entre le ressort et le solide.

Exemple 5.2 Le système est composé de la Terre et d’un corps solide (figure 5.3). Le corpsse déplace dans le champ de pesanteur de la Terre.

Terre

corps

FextFT/S

FS/T

Figure 5.3 – Corps en interaction avec la Terre

La seule force extérieure est ~Fext. Lorsque le corps s’éloigne de la Terre, le travail de ~Fext estmoteur et l’énergie mécanique du système augmente.

Les forces intérieures sont ~FT/S et ~FS/T . Le travail de ~FS/T est nul car le déplacement ducentre de gravité de la Terre est négligeable. En absence de forces extérieures, le travail de~FT/S transforme l’énergie du corps d’une forme en une autre.

Exemple 5.3 Le système est composé d’un seul corps, un chariot se déplaçant sur unepiste horizontale (figure 5.4).

Les forces extérieures sont le poids ~P du chariot, la réaction ~R de la piste et la force derésistance ~Fr. La seule force qui travaille est ~Fr ; son travail est résistant, l’énergie mécaniquedu système diminue. En même temps, l’énergie interne du chariot et de la piste augmentent.

Le corps n’interagit qu’avec le milieu extérieur, il n’y a aucune force intérieure.


piste horizontale

déplacement

P

Rchariot

Fr

Figure 5.4 – Chariot sur une piste horizontale

Exemple 5.4 Le système 1 est composé d’un chariot muni d’un ressort, un deuxième chariotforme le système 2 (figure 5.5). Les chariots peuvent se déplacer sans frottement sur un banchorizontal à coussin d’air. Initialement, le système 1 se déplace vers le système 2 qui est aurepos.

21 banc

chariotressort

Figure 5.5 – Les deux systèmes sont isolés

Avant et après le choc, chacun des systèmes n’est soumis qu’à deux forces extérieures : lepoids du chariot et la réaction du banc. Ces forces ne travaillent pas, l’énergie mécanique estconservée.

21

F1/2F2/1

Figure 5.6 – Les deux systèmes sont en interaction

Lors de l’interaction des deux systèmes (figure 5.6), les travaux des forces extérieures ~F2/1 et~F1/2 changent les énergies des deux systèmes :

W (~F2/1) < 0 =⇒ l’énergie du système 1 diminue ;

W (~F1/2) > 0 =⇒ l’énergie du système 2 augmente.

D’après le principe d’interaction ~F2/1 = −~F1/2. Comme les points d’application des deuxforces effectuent le même déplacement, leurs travaux sont opposés :

∆E1 = W (~F2/1)∆E2 = W (~F1/2) = −W (~F2/1)

et donc :∆E1 = −∆E2.

Il y a un transfert d’énergie mécanique du système 1 vers le système 2.


5.3 Formes d’énergie mécanique

L’énergie mécanique d’un système peut exister sous deux formes différentes. Un corps pos-sède de l’énergie cinétique du fait de son mouvement. Les position des corps du systèmedéterminent son énergie potentielle.

L’énergie mécanique E d’un système est la somme de son énergie cinétique Ec et de sonénergie potentielle Ep :

E = Ec + Ep

L’énergie potentielle a le potentiel de se transformer en énergie cinétique par le travail desforces intérieures.

5.3.1 Énergie cinétique

Le mouvement d’un corps solide est déterminé par toutes les forces qui agissent sur lui. Lavariation de son énergie cinétique est une conséquence des travaux de toutes ces forces.

Théorème de l’énergie cinétique Dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergiecinétique d’un corps solide est égale à la somme des travaux effectués sur ce corps par toutesles forces, extérieures et intérieures.

∆Ec =∑

W (~Fext) +∑

W (~Fint) (5.2)

Remarques :

• Le théorème de l’énergie cinétique sert à définir l’énergie cinétique d’un corps et peutêtre démontré à l’aide des lois de Newton.

• En considérant le corps solide comme seul élément du système, toutes les forces sontextérieures.

Nous allons déterminer l’expression de l’énergie cinétique d’un corps solide dans le cas d’unexemple simple, bien qu’on puisse l’établir de façon générale.

Considérons un corps solide de masse m, accéléré à partir du repos à la vitesse ~v par l’actiond’une force motrice ~F (figure 5.7). Le poids ~P du solide et la réaction ~R de la piste netravaillent pas.

F

P

R

déplacement

piste horizontale

solide

Figure 5.7 – Solide accéléré sur une piste horizontale

La variation de l’énergie cinétique du solide lors de l’accélération est donnée par :

∆Ec = W (~F ) +W (~P ) +W (~R) = W (~F ).


En utilisant l’expression (4.2) du travail de la force motrice on obtient :

∆Ec = 12 mv2.

L’énergie cinétique du corps solide au repos est fixée à zéro.

Définition Un corps solide de masse m animé d’un mouvement de translation de vitesse~v par rapport à un certain référentiel possède, dans ce référentiel, une énergie cinétique Ecdont l’expression est :

Ec = 12 mv2

Un système composé de plusieurs corps solides de masses mi et animés de mouvementsde translation de vitesses ~vi possède une énergie cinétique égale à la somme des énergiescinétiques de chaque solide :

Ec =∑i

12 mi vi

2.

5.3.2 Énergie potentielle

L’énergie potentielle dépend des positions des corps d’un système. Elle peut être convertie enénergie cinétique ou vice-versa par le travail des forces intérieures. Les schémas de la figure5.8 montrent les effets des travaux des différentes forces.

ÿW (Fext)

EE Õ

(a) variation de E

ÿW (Fint)

EpE Õ

p

E Õc

Ec

(b) échange entre Ep et Ec

Figure 5.8 – Schémas énergétiques

Le travail des forces extérieures fait varier l’énergie mécanique, donc la somme de l’énergiecinétique et de l’énergie potentielle (figure 5.8a).

Lorsque l’énergie mécanique ne varie pas, le travail des forces internes est responsable pourl’échange entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle (figure 5.8b).

Exemple 5.5 Lorsqu’un corps solide est en chute libre dans le champ de pesanteur dela Terre, le travail du poids du corps transforme de l’énergie potentielle, appelée énergiepotentielle de pesanteur, en énergie cinétique.

Exemple 5.6 Quand un corps solide est accéléré à l’aide d’un ressort comprimé, le travail dela tension transforme de l’énergie potentielle, appelée énergie potentielle élastique, en énergiecinétique.


La variation de l’énergie potentielle est donnée par :

∆Ep = ∆E −∆Ec.

Pour un système de corps solides en interaction, on peut combiner les expressions (5.1) et(5.2) pour obtenir :

∆Ep = −∑

W (~Fint)

La somme s’étend sur toutes les forces intérieures qui s’appliquent à tous les corps solides dusystème.

Pour que l’énergie potentielle soit une fonction d’état, le travail de la force interne doit êtreindépendant de la trajectoire qui relie l’état initial à l’état final. Il est donc nécessaire que laforce intérieure soit conservative. Dans le cas contraire, il faudra la traiter comme une forceextérieure.

Exemple 5.7 Une force de frottement n’est pas conservative et sera toujours traitée commeune force extérieure.

Une autre façon de déterminer la variation de l’énergie potentielle est d’introduire une ouplusieurs forces extérieures ~Fop exercées par des « opérateurs » de sorte que l’énergie cinétiquene varie pas. Sous ces conditions ∆Ec = 0 et la variation de l’énergie potentielle s’écrit :

∆Ep =∑

W (~Fop)

Remarque :

Contrairement à l’énergie cinétique, l’énergie potentielle n’est pas une propriété d’un corpsmais est liée à l’interaction de plusieurs corps. Lorsque cette interaction est décrite parun champ, on peut associer l’énergie potentielle à ce champ.

Énergie potentielle de pesanteur

Considérons un corps solide de massem et de centre de gravité G se déplaçant sans frottementsur un support dans le champ de pesanteur de la Terre (figure 5.9). Le centre de gravité estrepéré par son altitude z.

Le système est composé du solide et de la Terre avec laquelle il interagit. La seule forceintérieure qui travaille est le poids du solide. La force exercée par le solide sur la Terre netravaille pas car le centre de gravité de la Terre ne se déplace pratiquement pas.

La variation de l’énergie potentielle de pesanteur du système entre les positions A et B ducentre de gravité s’écrit :

∆Epp = −WAB(~P ).

Le travail du poids (expression 4.4) est indépendant de la trajectoire entre A et B :

Epp(B)− Epp(A) = −P (zA − zB) = mg (zB − zA).

Cette expression détermine l’énergie potentielle de pesanteur à une constante près. On choisitun point O qui définit le niveau de référence pour lequel l’énergie potentielle est nulle. En un


P

sol

RG

support

solide

A

B

z

zOO

Figure 5.9 – Corps solide dans le champ de pesanteur

point d’altitude z, l’énergie potentielle de pesanteur s’écrit :

Epp = mg (z − zO)

L’énergie potentielle de pesanteur dépend du choix du niveau de référence. La variation deEpp est indépendante de ce choix.

Énergie potentielle élastique

Un corps solide est fixé à une extrémité d’un ressort de raideur k. Le solide peut se déplacersans frottement sur un banc à coussin d’air horizontal. L’autre extrémité du ressort est fixéeau banc (figure 5.10).

banc

0 x

solideressort

Figure 5.10 – Système en position d’équilibre

L’énergie cinétique du système composé du solide et du ressort se réduit à celle du solide carla masse du ressort est négligeable. Le solide se déplace sous l’action de la tension ~T exercéepar le ressort. Pour que l’énergie cinétique ne varie pas lors d’un déplacement de A vers B,un « opérateur » agit avec une force extérieure ~Fop opposée à la tension (figure 5.11). La seulecoordonnée non nulle de cette force est :

Fopx = −Tx = k x.

La variation de l’énergie potentielle élastique du système s’écrit, sous ces conditions :

∆Ep élast = WAB(~Fop).


banc

0 x

solideressort

xA

Fop

xB

T

Figure 5.11 – Force extérieure exercée par un opérateur

En utilisant l’expression (4.6) du travail tenseur :

Ep élast(B)− Ep élast(A) = 12 k (xB2 − xA2).

Cette relation détermine l’énergie potentielle élastique pour une déformation x à une constanteprès :

Ep élast = 12 k x

2 + constante.On fixe à zéro l’énergie potentielle élastique du ressort non déformé. Il vient :

Ep élast = 12 k x

2

5.4 Exercices

Exercice 5.1 Établir l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur en introduisant unopérateur qui exerce une force extérieure pour augmenter l’altitude du corps sans changerson énergie cinétique.

Exercice 5.2 Deux chariots A et B, de même masse, sont placés sur un banc à coussind’air horizontal. On lance A sur B initialement immobile. Après le choc, les deux chariotsrestent liés.Montrer que l’énergie mécanique du système des deux chariots n’est pas conservée.

Exercice 5.3 La diminution de la vitesse d’un passager lors d’un choc est due essentielle-ment à l’action de la ceinture de sécurité.

1. Calculer l’énergie cinétique d’un passager de masse m = 60 kg circulant en voiture àv = 70 km/h.

2. Au cours du choc, la vitesse de la voiture s’annule sur une distance d = 3,5 m. Quelleest l’intensité de la force exercée par la ceinture de sécurité sur le passager ?

3. Refaire le calcul en supposant que la voiture circule initialement à v′ = 50 km/h etconclure.

Exercice 5.4 Un proton (m = 1,67 · 10−27 kg) dont la vitesse est de 5 · 106 m/s traverse unfilm métallique d’une épaisseur de 0,01 mm et émerge avec une vitesse de 2 · 106 m/s.Quelle est l’intensité moyenne de la force qui s’est opposée à la traversée du film ?

Exercice 5.5 Un parachutiste de masse 90 kg est en chute à la vitesse v0 = 190 km/h. Ilouvre son parachute et sur une distance verticale de 120 m sa vitesse est réduite à v1 par


l’action d’une force de résistance d’intensité 1900 N.Représenter toutes les forces et calculer la vitesse v1 en utilisant le théorème de l’énergiecinétique.

Exercice 5.6 On jette une pierre d’un point O, verticalement vers le haut, avec une vitessevO = 12 m/s.

1. À quelle hauteur h1 au-dessus du point O, la vitesse de la pierre n’est-elle plus quev1 = 6 m/s ?

2. Quelle hauteur maximale h2 la pierre atteint-elle par rapport au point O ?

Exercice 5.7 Une bille de masse 20 g est suspendue à l’extrémité d’un fil de longueurL = 80 cm. On écarte le fil d’un angle α = 40 de sa position d’équilibre et on abandonne labille sans vitesse initiale.Calculer, en utilisant la conservation de l’énergie, la vitesse v de la bille lorsqu’elle passe parsa position d’équilibre.

Exercice 5.8 La figure montre une perle glissant sur un fil.

perle

A

B

Ch1

h2

1. Quelle doit être la hauteur h1 si la perle, partant au repos de A, atteint une vitesse de200 cm/s au point B ? Ne pas tenir compte du frottement.

2. On suppose maintenant que h1 = 50 cm, h2 = 30 cm et que la distance de A à C estde 400 cm. Une perle de 3,0 g est lâchée en A, glisse jusqu’en C et s’arrête. Quelle estl’intensité de la force de frottement qui s’oppose au mouvement ?

Exercice 5.9 Un ressort de raideur k = 5 N/cm et de longueur naturelle l0 = 12 cm estcomprimé avec une force d’intensité 20 N. Calculer la nouvelle longueur du ressort et sonénergie potentielle élastique.

Exercice 5.10 Sur un ressort dont l’axe est orienté verticalement on pose une masse m =200 g. Le ressort est comprimé de 4 cm.

1. Quelle est la raideur du ressort ? Calculer son énergie potentielle élastique.

2. Calculer la variation de l’énergie potentielle de pesanteur de la masse.

Exercice 5.11 Paul a une masse de 60 kg et tient dans chaque main une haltère de 30 kg. Ilsaute d’une hauteur de 3 m sur un trampoline. Au point le plus bas de sa trajectoire il dépose


les deux haltères. Calculer la hauteur maximale qu’il va atteindre lors du rebondissement.

Exercice 5.12 Une balle de masse m = 200 g tombe d’une hauteur de 10 m.

1. De combien sera-elle aplatie quand elle touche le sol s’il faut une force de 100 N pourl’aplatir de 1 cm ?

2. Quelle est la hauteur maximale qu’elle va atteindre lors du 1er, 2e, . . . rebondissementsi son rendement est de 60 % ?

Exercice 5.13 Pour lancer une boule (masse 50 g) de « flipper », on comprime un ressortde raideur 200 N/m de 10 cm. Quelle sera la vitesse de la boule lorsqu’elle aborde le virageau bout d’une course de 1,5 m après qu’elle ait quitté le ressort :

1. si le flipper est horizontal ?

2. s’il fait un angle de 5 avec l’horizontale ?

Dans les deux cas, on néglige le frottement entre la boule et le support.

Exercice 5.14 Un fusil de fléchettes comprend un ressort de raideur k = 250 N/m, delongueur naturelle l0 = 12 cm et qui, comprimé par la fléchette de masse 25 g, ne mesure plusque l = 4 cm.

1. Avec quelle vitesse la fléchette sort-elle du fusil dans le cas d’un tir horizontal. Faire lecalcul :

(a) sans tenir compte du frottement entre fléchette et fusil.

(b) en tenant compte d’une force de frottement de 0,15 N.

2. Quelle altitude maximale peut-elle atteindre dans le cas d’un tir vertical ? Faire le calculsans tenir compte du frottement entre fléchette et fusil ni de la résistance de l’air.

Exercice 5.15 Deux chariots A et B, de masses mA = 150 g et mB = 300 g, sont placés surun banc à coussin d’air horizontal. Un ressort de raideur 1,5 N/cm, comprimé de 5 cm, estplacé entre les deux chariots initialement immobiles. Le système « explose » quand le ressortse détend.En supposant conservée l’énergie mécanique du système composé des deux chariots et duressort, calculer les vitesses des deux chariots après l’explosion.

Exercice 5.16 La figure ci-dessous montre un corps de masse m = 300 g se déplaçant sansfrottements sur un rail à coussin d’air. Il a été lancé, passe en A avec une vitesse vAx = −5 m/set heurte en x = 0 un ressort non tendu. On donne xA = 20 cm.

0 xxA

vA

1. Dans une expérience préliminaire, le corps a été suspendu au ressort et a provoqué unallongement de 6 mm. Quelle est la raideur du ressort ?


2. Quelle est la compression maximale de ce ressort ?

3. Avec quelle vitesse le corps repassera-t-il par A ?

4. En réalité, il ne repassera en A qu’avec une vitesse de 4,8 m/s. On admet qu’une forcede frottement constante agit sur le corps et on demande de calculer son intensité.

5. Le rail est incliné de 30, le départ en A est sans vitesse initiale. Quel est le cheminmaximal lors du rebondissement en tenant compte de la force de frottement ?

Chapitre 6

Électricité

6.1 Champ électrique

6.1.1 Interaction électrique

L’étude de l’électricité peut se ramener à l’étude des charges électriques et de leurs inter-actions. Rappelons que l’interaction électrique est une des interactions fondamentales de lanature. Elle s’exprime par la loi de Coulomb, loi qui décrit l’interaction entre deux chargesponctuelles.

Loi de Coulomb Deux objets ponctuels A et B distants de r, portant les charges électriquesq1 et q2, exercent l’un sur l’autre des forces ~FA/B et ~FB/A de même droite d’action (AB),répulsives si q1 et q2 sont de même signe (figure 6.1a), attractives si q1 et q2 sont de signescontraires (figure 6.1b), et de même valeur F :

F = 14πε0

|q1 q2|r2 = k

|q1 q2|r2

FB/A

FA/BBA

+ (−)+ (−)

(a) charges de même signe

FB/AFA/B

B

A

+

−

(b) charges de signes opposés

Figure 6.1 – Interaction de deux charges électriques ponctuelles

La constante ε0 est appelée permittivité électrique du vide. L’unité de charge électrique dansle système S.I. est le coulomb (C).Valeurs des constantes : ε0 = 8,854 · 10−12 N−1 C2 m−2 et k = 9,0 · 109 N C−2 m2.

2BC Électricité 95

6.1.2 Le champ électrostatique

Dans de nombreuses situations, une charge ponctuelle interagit avec un ensemble de chargesdont les positions sont fixes ou ne varient que très peu sous l’influence de la charge ponctuelle.Dans une telle situation, l’introduction de la notion de champ électrique créé par un ensemblede charges facilite l’analyse d’un problème d’électricité.

Exemple 6.1 Un bâton de verre frotté avec de la matière plastique porte des chargesélectriques positives fixées sur la surface du bâton. Lorsqu’on approche une charge ponctuelleq du bâton, elle subit une force électrique qui résulte de l’interaction avec toutes les chargesdu bâton. Nous disons que le bâton chargé crée un champ électrostatique.

Définition Un champ électrostatique règne dans une région de l’espace si dans cette régionune charge électrique est soumise à des forces électrostatiques.

Le champ électrique est dit statique si les positions des charges qui le créent sont fixes dansun repère donné.

Considérons la force résultante ~Fél exercée par un ensemble de charges q1, q2, . . . sur unecharge d’« essai » ponctuelle q. D’après la loi de Coulomb, l’intensité de la force exercée parchacune des charges qi sur la charge q est proportionnelle à q ; la résultante de ces forces estdonc également proportionnelle à q !

Le vecteur ~Fél/q ne dépend pas de la valeur de la charge d’essai mais uniquement de saposition et des positions et valeurs des charges qui créent le champ. Ce vecteur est appelévecteur champ électrostatique.

Définition Une charge q placée en un point A dans un champ électrostatique subit uneforce électrostatique ~Fel. Le vecteur champ électrostatique ~E en A est :

~E =~Fel

q

Propriétés du vecteur champ électrostatique :

• Direction : ~E est parallèle à ~Fél.

• Sens : ~E et ~Fél ont le même sens si q > 0 et des sens contraires si q < 0.

• Intensité : E = Fél/|q|. Unité de l’intensité du champ : 1 N/C.

Principe de superposition Si plusieurs ensembles de charges créent en un point leschamps ~Ei, le champ résultant en ce point est égal à leur somme vectorielle :

~E =∑i

~Ei.

96 Électricité 2BC

6.1.3 Lignes de champ

Le champ en un point quelconque de l’espace est défini par le vecteur champ en ce point. Onpeut représenter la configuration du champ en traçant les vecteurs en des points quelconquesde l’espace (figure 6.2a).

On préfère représenter le champ par des lignes de champ continues (figure 6.2b). En toutpoint d’une telle ligne, le vecteur champ électrique est tangent à la ligne. La ligne de champest orientée dans le sens de ~E.

(a) vecteurs champ

A

BEA

EB

EA > EB

(b) lignes de champ

Figure 6.2 – Représentation d’un champ électrique

Un ensemble de lignes de champ constitue un spectre électrique du champ. L’orientation duvecteur champ en un point donné est déterminée par la seule ligne de champ qui passe parce point.

Le spectre électrique peut nous renseigner sur l’intensité du champ : plus les lignes de champsont rapprochées autour d’un point de l’espace, plus le champ en ce point est intense.

Remarque : les lignes de champ ne sont pas réelles, mais elles nous aident à mieux visualiserle champ électrique.

6.1.4 Exemples de spectres électriques

Une charge ponctuelle

Considérons le champ électrostatique créé par un charge ponctuelle positive q placée en unpoint O. Pour déterminer l’allure du spectre électrique on place une charge d’« essai » positiveq′ dans le champ.

En chaque point du champ la charge d’essai est repoussée par la charge q, la direction de laforce étant la droite reliant les deux charges. Comme le vecteur champ a la même directionet le même sens que la force électrostatique subie par q′ > 0, les lignes de champ sont deslignes droites issues de la charge q (figure 6.3).

L’intensité du champ à une distance r du point O est :

E = Fél

q′= 1q′k|q q′|r2

ce qui est indépendant de q′ :

E = k|q|r2 .


Figure 6.3 – Spectre d’une charge ponctuelle q > 0

En tout point d’une sphère de centre O et de rayon r, l’intensité du champ est la même ; onparle d’un champ radial.

Dans le cas d’une charge ponctuelle négative, seule l’orientation des lignes de champ change.

Deux charges ponctuelles

La figure 6.4 montre les spectres de deux charges électriques. Dans le cas de deux charges designes contraires, les lignes de champ commencent sur la charge positive et se terminent surla charge négative.

(a) charges de signes opposés (b) charges de même signe

Figure 6.4 – Champ créé par deux charges ponctuelles

Surfaces conductrices

Un condensateur plan est composé de deux plaques planes conductrices, parallèles et séparéespar un isolant. Les deux plaques d’un condensateur chargé portent des charges électriquesopposées.

La figure 6.5a montre le spectre électrique d’un condensateur chargé. Si la distance entre lesplaques est petite par rapport aux dimensions de la plaque, les lignes de champ entre lesplaques sont parallèles. Le vecteur champ électrostatique est le même en tout point de cetterégion, on dit que le champ est uniforme.

À l’extérieur du condensateur le champ électrique est pratiquement nul. Les effets des champscréés par les deux plaques se compensent dans cette région.


(a) condensateur (b) effet de pointe

Figure 6.5 – Champ créé par deux électrodes de signes opposés

La paire de conducteurs de la figure 6.5b montre un effet de pointe. On remarque que leslignes de champ sont particulièrement denses sur la pointe orientée vers la plaque conductrice.L’intensité du champ est très importante en cet endroit.

Remarque : les lignes de champ sont toujours perpendiculaires aux surfaces conductrices.

6.1.5 Exercices

Exercice 6.1 Deux charges électriques négatives q et 2q sont situées respectivement en despoints A et B, tels que AB = 2a.

1. Déterminer en fonction de a les caractéristiques du champ électrostatique au milieu Mde [AB].

2. Déterminer numériquement la position du point P de la droite AB où le champ élec-trostatique est nul. On donne a = 10 cm.

Exercice 6.2 Un pendule électrostatique de longueur l = 20 cm et de masse m = 1 gporte une charge q = 10−7 C. Lorsqu’il est placé dans un champ électrostatique uniformehorizontal, il s’écarte de la verticale d’un angle α = 5,5.

1. Déterminer les caractéristiques des forces qui agissent sur la charge du pendule.

2. En déduire l’intensité E du champ électrostatique.

Exercice 6.3 On donne un triangle ∆ABC, rectangle et isocèle en B et de côtésAB = BC = r, avec r = 15 cm. En A et C on place des charges de valeur respectiveqA = 30 nC et qC = −40 nC.Dessiner le champ résultant en B, calculer son intensité et sa direction.


6.2 Potentiel et énergie potentielle électriques

6.2.1 Travail de la force électrostatique

Considérons une charge positive q se déplaçant dans le champ uniforme ~E d’un condensateurchargé (figure 6.6).

xA xB

A

B

0x

q

E

Fel

Figure 6.6 – Charge ponctuelle positive dans un champ uniforme

La charge est soumise à la force électrostatique :~Fél = q ~E.

Le travail effectué par cette force constante lors du déplacement de la charge du point A aupoint B est :

WAB(~Fél) = ~Fél ·−→AB = q ~E · −→AB.

Comme le champ électrique est parallèle à l’axe x du repère choisi, le produit vectoriel seréduit au produit des coordonnées x des deux vecteurs :

WAB(~Fél) = q (−E) (xB − xA)= q E (xA − xB). (6.1)

Le travail de la force électrique est moteur lorsque la charge positive se déplace vers la plaquenégative. La force électrique est conservative, son travail est indépendant de la trajectoireentre A et B.

6.2.2 Énergie potentielle électrique

Considérons le système composé du condensateur chargé et de la charge positive q. La seuleforce intérieure est la force électrique ~Fél. L’énergie potentielle électrique Ep él du système estdéfinie par sa variation lors d’un déplacement de la charge de A vers B :

∆Ep él = −WAB(~Fél).

En utilisant l’expression (6.1) il vient :

Ep él(B)− Ep él(A) = q E (xB − xA).

Cette expression détermine l’énergie potentielle électrique en un point d’abscisse x à uneconstante près :

Ep él = q E x+ cte.


Nous allons choisir la plaque négative d’abscisse x = 0 comme niveau de référence pourlequel l’énergie potentielle est nulle. En un point d’abscisse x, l’énergie potentielle électriques’écrit :

Ep él = q E x (6.2)

Cette énergie est due à la position de la charge dans le champ électrique. L’énergie potentielleélectrique d’une charge positive augmente quand celle-ci s’éloigne de la plaque négative ducondensateur.

Remarque : l’expression (6.2) reste valable pour une charge négative.

6.2.3 Potentiel électrique

L’énergie potentielle électrique d’une charge ponctuelle dans un champ électrostatique estproportionnelle à sa valeur q. La grandeur Ep él/q est indépendante de q et ne dépend que duchamp électrostatique et de la position dans le champ. Cette grandeur électrique est appeléepotentiel électrique.

Définition Le potentiel électrique V en un point d’abscisse x d’un champ uniforme ~E est :

V = E x

l’axe x étant parallèle au champ électrique, orienté dans le sens contraire du champ et ayantson origine sur la plaque négative.

L’unité du potentiel électrique est le volt (V).

L’expression (6.2) de l’énergie potentielle électrique peut s’écrire :

Ep él = q V (6.3)

Le travail de la force électrostatique effectué sur une charge q entre A et B est :

WAB(~Fél) = q (VA − VB) (6.4)

Remarques :

• Le potentiel augmente lorsqu’on s’éloigne de la plaque négative et est maximal sur laplaque positive.

• Comme l’énergie potentielle, le potentiel est défini à une constante près.

• Le potentiel électrique représente l’énergie potentielle électrique d’une charge positivede valeur 1 C.

• On déduit de la définition du potentiel l’unité du champ électrique la plus courammentutilisée : 1 V/m.


6.2.4 Tension et différence de potentiel

La valeur du potentiel en un point dépend du choix du niveau de référence. La différence despotentiels en deux points différents d’un champ électrostatique est indépendante de ce choixet peut être mesurée à l’aide d’un voltmètre. Cette différence de potentiel est appelée tensionélectrique.

Définition La tension électrique UAB entre deux points A et B d’un champ électrostatiqueest la différence de potentiel entre ces points :

UAB = VA − VB.Elle est représentée par une flèche orientée de B vers A.

L’unité de tension est celle du potentiel électrique : le volt (V).

La tension UAB est positive lorsque VA > VB. La flèche qui représente la tension est alorsorientée dans le sens des potentiels croissants.

Les propriétés suivantes sont faciles à montrer en utilisant la définition de la tension :

UAB = UAC + UCB

et :UAB = −UBA.

Le travail de la force électrostatique effectué sur une charge q entre A et B est :

WAB(~Fél) = q UAB (6.5)

Remarque : cette expression du travail reste valable dans un champ non uniforme.

6.2.5 Relations pour un condensateur plan

Entre les plaques parallèles d’un condensateur plan chargé, distantes de d (figure 6.7), letravail de la force électrostatique est (relation 6.1) :

WAB(~Fél) = q E (xA − xB) = q E d.

Ce travail peut également être exprimé en fonction de la tension entre les plaques (rela-tion 6.5) :

WAB(~Fél) = q UAB.

De ces deux relations on obtient :q E d = q UAB

dont on peut déduire une expression pour l’intensité du champ électrostatique :

E = UABd

Le vecteur champ électrostatique est dirigé de A vers B, c’est-à-dire vers les potentiels dé-croissants.


0

x

E

d

UAB

A

B

Figure 6.7 – Tension entre les plaques d’un condensateur plan

6.2.6 Exercices

Exercice 6.4 Un pendule électrostatique est en équilibre entre deux plaques A et B conduc-trices, verticales et parallèles, distantes de d = 10 cm. Celles-ci portent des charges opposées.Le fil isolant de masse négligeable fait avec la verticale l’angle α = 6,5. La sphère de massem = 1,2 g porte la charge négative q = −75 nC.

1. Déterminer les caractéristiques de la force électrostatique ~Fél agissant sur le pendule.

2. Déterminer les caractéristiques du champ électrostatique ~E entre les plaques.

3. Quels sont le signe et la valeur de la tension UAB = VA − VB entre les plaques ?

4. La tension appliquée par le générateur double. Quelle est la nouvelle valeur de l’angleα ?

A B

CD

pile lampe

résistanceExercice 6.5 Considérons le circuit ci-contre formé d’unepile de tension 6 V, d’une résistance chauffante de va-leur R = 10 Ω et d’une lampe. L’intensité du courant estI = 0,45 A.

1. Déterminer les potentiels en A, B et C en choisis-sant VD = 0.

2. Calculer la tension aux bornes de la lampe.

Exercice 6.6 Un électron initialement au repos est accéléré entre les plaques horizontalesd’un condensateur plan. Les plaques sont distantes de 2 cm, la tension entre les plaques est1 V.

1. Déterminer les caractéristiques du champ électrostatique ~E entre les plaques.

2. Déterminer les caractéristiques de la force électrostatique ~Fél agissant sur l’électron.

3. Calculer l’énergie cinétique maximale de l’électron en joule et en électron-volt (eV).Montrer que le poids de l’électron peut être négligé.

4. Quelle est la vitesse maximale de l’électron ?


6.3 Énergie et puissance électriques

Le fonctionnement d’un circuit électrique est assuré par le mouvement d’un grand nombrede charges électriques ponctuelles. Nous allons faire une analyse énergétique des circuitscomprenant des éléments à deux bornes, appelés dipôles.

Des exemples de dipôles d’usage quotidien sont la pile, l’accumulateur, la lampe à incandes-cence, le moteur électrique, . . .

6.3.1 Générateurs et récepteurs électriques

Il est possible de classer les dipôles électriques en deux catégories : les récepteurs et lesgénérateurs. Ce sont tous des convertisseurs d’énergie, mais ils se différencient par la naturedes formes d’énergie qui entrent et qui sortent.

Exemple 6.2 Considérons un circuit simple comprenant une pile et une résistance chauf-fante (figure 6.8).

pile résistanceénergie chimique

énergie interne

Figure 6.8 – Transformations d’énergie dans un circuit simple

La pile est un générateur électrique qui transforme de l’énergie chimique en énergie électrique.Les charges constituant le courant électrique transportent cette énergie électrique de la pilevers la résistance. La résistance est un récepteur électrique qui transforme l’énergie électriqueen énergie interne par une dissipation de chaleur.

Définition Un récepteur est un dipôle qui reçoit de l’énergie électrique et la transforme end’autres formes d’énergie (rayonnée, chimique, mécanique).

Exemples :

• L’ampoule transforme de l’énergie électrique en énergie rayonnée.

• L’électrolyseur transforme de l’énergie électrique en énergie chimique.

• Le moteur électrique transforme de l’énergie électrique en énergie mécanique.

Le plus souvent, les transformations s’accompagnent de dissipation de chaleur. Si l’éner-gie électrique est entièrement transformée en énergie interne on parle d’un récepteur ther-mique.

Définition Un générateur électrique est un dipôle qui transforme différentes formes d’éner-gie (chimique, mécanique, rayonnée) en énergie électrique.


Exemples :

• La pile transforme de l’énergie chimique en énergie électrique.

• La dynamo transforme de l’énergie mécanique en énergie électrique.

• La photopile transforme de l’énergie rayonnée en énergie électrique.

Ici aussi, les transformations s’accompagnent le plus souvent de dissipation de chaleur.

6.3.2 Énergie reçue, énergie fournie

Considérons une charge positive q qui traverse un dipôle de A vers B. L’énergie potentielleélectrique de la charge varie lors de ce passage :

∆Ep él = q VB − q VA = q (VB − VA).

Dans le cas d’un récepteur (figure 6.9), cette énergie diminue. La diminution correspond àl’énergie électrique reçue par le récepteur :

Eél reçue = −∆Ep él = q (VA − VB)

ce qui peut s’écrire, en introduisant la tension entre A et B :

Eél reçue = q UAB (6.6)

L’énergie reçue par le récepteur étant positive, le potentiel électrique décroît quand on sedéplace de A vers B :

UAB > 0 =⇒ VB < VA.

La relation (6.6) permet d’interpréter la tension aux bornes d’un récepteur comme l’énergieélectrique reçue par unité de charge.

A Bq > 0 récepteur

UAB

Figure 6.9 – Récepteur traversé de A en B par une charge positive

Remarque :

Dans les conducteurs métalliques, les porteurs de charge qui constituent le courant élec-trique sont des électrons chargés négativement. Leur sens de mouvement est contraireau sens d’une charge positive. La formule de l’énergie électrique reçue reste cependantinchangée :

Eél reçue = −|q|UBA = |q|UAB.

Lorsque la charge positive traverse un générateur (figure 6.10), son énergie potentielle élec-trique augmente. L’augmentation correspond à l’énergie électrique fournie par le généra-teur :

Eél fournie = ∆Ep él = q (VB − VA)


et donc :Eél fournie = q UBA (6.7)

L’énergie fournie par le générateur étant positive, le potentiel électrique augmente quand onse déplace de A vers B :

UBA > 0 =⇒ VB > VA.

La relation (6.7) permet d’interpréter la tension aux bornes d’un générateur comme l’énergieélectrique fournie par unité de charge.

générateurA Bq > 0

UBA

Figure 6.10 – Générateur traversé de A en B par une charge positive

6.3.3 Dipôle parcouru par un courant continu

Lorsque le dipôle est parcouru par un courant électrique continu d’intensité I, chacune descharges qi qui constituent le courant contribue à l’énergie électrique transformée par le dipôlependant la durée t en présence d’une tension U :

Eél =∑i

qi U = U∑i

qi = U Q

oùQ =

∑i

qi

est la charge totale traversant le dipôle pendant la durée t. Cette charge peut être expriméeen fonction de l’intensité du courant électrique :

Q = I t.

D’où l’expression pour l’énergie électrique transformée :

Eél = U I t (6.8)

La puissance électrique du dipôle est égale au quotient de l’énergie électrique transformée parla durée t :

Pél = Eél

tet en utilisant la relation (6.8) :

Pél = U I (6.9)

Cette expression permet d’interpréter la tension aux bornes d’un dipôle comme la puissanceélectrique par unité d’intensité de courant qui le parcourt.

L’énergie électrique peut être exprimée en fonction de la puissance :Eél = Pél t.

En utilisant les unités kilowatt (kW) pour la puissance et heure (h) pour le temps, l’unitéd’énergie est la kilowattheure (kWh).


6.3.4 Loi de Joule

Appliquons les résultats précédents au cas particulier d’un conducteur ohmique, pour le-quel :

UAB = RI

où R est la résistance du conducteur. Le conducteur reçoit l’énergie électrique

Eél reçue = RI2 t

et la transforme entièrement en chaleur dissipée dans l’environnement : c’est l’effet Joule.

Loi de Joule La quantité de chaleur Q dissipée dans l’environnement pendant la durée tpar un conducteur ohmique de résistance R, parcouru par un courant d’intensité I, est :

Q = RI2 t

La puissance électrique reçue par le conducteur ohmique s’écrit, en utilisant la relation(6.9) :

Pél reçue = RI2

L’effet Joule :

• est utilisé dans les appareils dont la fonction est de produire de la chaleur ou un rayon-nement : chauffe-eau électrique, lampe à incandescence, . . .

• constitue un inconvénient dans tous les cas où la dissipation de la chaleur n’est pasrecherchée : moteur électrique, circuit électronique, . . .

6.3.5 Exercices

Exercice 6.7 L’énergie électrique reçue par un moteur pendant une durée de 80 min est38 MJ. La tension d’alimentation du moteur est 360 V.

1. Quelle est la puissance électrique du transfert ?

2. Calculer l’intensité du courant électrique qui parcourt le moteur.

Exercice 6.8 En termes de puissance, les transferts énergétiques au niveau d’un moteurélectrique sont :

− puissance électrique reçue Pél ;

− puissance mécanique utile de 640 W ;

− puissance des pertes dans les circuits électriques de 138 W ;

− puissance des pertes par frottement à l’intérieur du moteur de 32 W.

1. Calculer la puissance électrique reçue par le moteur.


2. Sous forme d’un schéma, faire le bilan énergétique de ce moteur.

3. Calculer le rendement du moteur.

4. Calculer l’énergie électrique consommée en 3 h 45 min de fonctionnement du moteur.

Exercice 6.9 Deux résistances chauffantes R1 = 25 Ω et R2 = 50 Ω sont utilisées dans desbouilloires de puissances de chauffe différentes.

1. On les alimente avec une tension de 230 V. Pour quelle résistance l’effet Joule est-il leplus important ?

2. Les résistances sont maintenant parcourues par une même intensité de 9,4 A. Comparerleur effet Joule.

Exercice 6.10 Une batterie d’accumulateur au plomb alimente les lampes d’une automo-bile. La tension entre les bornes de la batterie est de 11,9 V et l’intensité du courant qui passedans la batterie est 10,3 A.

1. Quelle est la puissance électrique fournie par la batterie ?

2. Dans ces conditions, le fonctionnement de la batterie dure 17 min. Quelle est l’énergieélectrique transférée dans les circuits récepteurs ?

Exercice 6.11 Un panneau de photopiles alimente le moteur électrique d’une pompe.

1. Exposé en plein soleil, il présente entre ses bornes une tension de 15,9 V. L’intensitédu courant électrique parcourant le moteur est 3,12 A. Calculer la puissance électriquefournie.

2. Le ciel se couvre et la tension entre les bornes du panneau n’est plus que 12,1 V. Lapuissance fournie au moteur n’est plus que la moitié de celle calculée dans la questionprécédente. Quelle est la nouvelle intensité du courant électrique dans le moteur ?

Exercice 6.12 L’aire de la surface active des panneaux solaires de la station orbitale in-ternationale est de 4000 m2. Dans l’espace, au voisinage de la Terre, le rayonnement solaireest de 1,35 kW/m2.

1. Le rendement de la conversion d’énergie rayonnée en énergie électrique est ρ = 17 %.Quelle est la puissance électrique fournie par ces panneaux ?

2. En 24 h, les panneaux sont actifs pendant 11 h. Calculer en kWh, l’énergie électriqueproduite en un an.


6.4 Dipôles actifs

La caractéristiques courant-tension U = f(I) d’un dipôle nous renseigne sur son comporte-ment dans un circuit électrique.

La caractéristique d’un conducteur ohmique passe par l’origine. L’énergie électrique qu’ilreçoit est entièrement dissipée par effet Joule. Un tel dipôle est dit passif.

Un dipôle actif a une caractéristique qui ne passe pas par l’origine. Dans la suite nous allonsétudier séparément les caractéristiques des générateurs et des récepteurs.

6.4.1 Générateurs

Loi d’Ohm pour un générateur

La figure 6.11 montre le schéma du montage utilisé pour relever la caractéristique d’une pile.Le rhéostat permet de faire varier l’intensité du courant débité par la pile. Simultanément,la tension aux bornes de celle-ci varie.

pile

A

rhéostat

I

V

P

N

UPN

Figure 6.11 – Montage utilisé pour relever la caractéristique d’une pile

L’ampèremètre et le voltmètre mesurent des valeurs positives : le courant sort par la bornepositive de la pile, la tension UPN est positive car le potentiel électrique est plus élevé en Pqu’en N . La figure 6.12 montre le tracé des résultats des mesures.

0

UPN

IIcc

E

Figure 6.12 – Caractéristique courant-tension d’un générateur

La pile est un dipôle actif linéaire pour lequel on peut donner l’équation de la caractéristiquesous la forme UPN = a+ b I.


Les paramètres de cette équation peuvent-être reliés à des grandeurs physiques :

• a = E, ordonnée à l’origine, est la tension à vide de la pile, lorsque l’intensité du courantest nulle. La tension E est encore appelée force électromotrice (f.é.m.) de la pile.

• b est la pente négative de la droite qu’on peut exprimer en fonction de E et de Icc.Le courant Icc est le courant maximal que peut débiter la pile lorsqu’elle est en court-circuit, ce qui est le cas si la résistance du rhéostat est nulle. La tension aux bornes dela pile est alors nulle :

UPN = E + b Icc = 0 =⇒ b = − EIcc.

Le rapport r = E

Iccreprésente une résistance appelée résistance interne de la pile.

Pour la pile, lorsqu’elle fonctionne en générateur d’énergie, la relation entre tension et inten-sité s’exprime finalement par :

UPN = E − r ICette relation est appelée loi d’Ohm pour un générateur.

Remarques :

• Dans la convention de tension et de courant utilisée ici (figure 6.13), appelée conventiongénérateur, la tension et l’intensité sont positives : UPN > 0 et I > 0.

I PN

UPN

Figure 6.13 – Convention générateur

• La tension aux bornes d’une pile diminue lorsque l’intensité du courant débité augmente.

• En circuit ouvert, I = 0 et donc UPN = E.

• Dans le cas d’un court-circuit, UPN = 0 et donc I = E

r= Icc.

Bilan énergétique d’un générateur

La puissance et l’énergie électriques fournies par la pile s’écrivent :

Pél = UPN I = E I − r I2,

Eél = UPN I t = E I t− r I2 t.

L’énergie électrique effectivement fournie par la pile se présente donc comme la différence dedeux termes :

Eél = UPN I t énergie électrique fournie au circuit électriqueEch = E I t énergie chimique transformée par la pile

Q = r I2 tquantité de chaleur dissipée dans la pile par effet Jouledu fait de sa résistance interne r


pile

environnement

circuit électrique

réaction chimique

Q

Ech

Eel

Figure 6.14 – Bilan énergétique d’une pile

La figure 6.14 montre un schéma représentant les transformations d’énergie dans une pile.

Pour un générateur électrique, le rendement est le rapport de l’énergie électrique fournie aucircuit à l’énergie transformée par le générateur, ici :

ρ = Eél

Ech= UPN I t

E I t= UPN

E.

La même discussion peut être menée à l’aide des puissances. En particulier, la puissancetransformée par la pile est Pch = E I. Cette relation permet d’interpréter la force électromo-trice E du générateur comme étant la puissance transformée par unité d’intensité de courantqui le parcourt, ici :

E = Pch

I.

Exercices

Exercice 6.13 Une génératrice de courant continu convertit une puissance mécanique dePm = 1,86 kW en énergie électrique. La tension à ses bornes est de 112 V et elle débite uncourant d’intensité 14,2 A.

1. Calculer la puissance électrique fournie par cette génératrice.

2. Calculer la puissance dissipée par effet Joule.

3. Quelles sont la f.é.m. de la génératrice ainsi que sa résistance interne ?

4. Sous forme d’un schéma, faire un bilan d’énergie de cette génératrice en terme depuissance.

Exercice 6.14 Une batterie d’accumulateur au plomb est chargée de 40 Ah.

1. La batterie se décharge complètement en 1 h. La tension au cours de cette décharge est11,8 V. Quelle est l’énergie électrique fournie ?

2. On utilise la batterie pour démarrer une automobile pendant 1,5 s. La batterie est alorstraversée par un courant d’intensité 0,2 kA et la tension à ses bornes est de 10,2 V.

(a) Quelle est l’énergie électrique fournie ?

(b) Quelle est la puissance électrique ?

(c) Quelles sont la f.é.m. et la résistance interne de la batterie ?

Exercice 6.15 On se propose de tracer la caractéristique U = f(I) d’une pile électrochi-mique. Les différentes mesures sont consignées dans le tableau suivant :


I (mA) 0 100 200 300 400 500 600UPN (V) 4,70 4,54 4,40 4,27 4,13 3,98 3,82

1. Tracer la caractéristique de la pile.

2. En utilisant le tracé, déterminer la f.é.m. de la pile et sa résistance interne.

3. Si la pile était mis en court-circuit, quelle serait alors l’intensité Icc du courant électrique.

6.4.2 Récepteurs

Loi d’Ohm pour un récepteur

La figure 6.15 montre le schéma du montage utilisé pour relever la caractéristique d’unrécepteur, comme par exemple un moteur électrique ou un électrolyseur. Le générateur detension variable permet de faire varier la tension aux bornes du récepteur et, par conséquent,l’intensité du courant qui le traverse.

AI

Vgénérateur variable

récepteurUAB

A

B

Figure 6.15 – Montage utilisé pour relever la caractéristique d’un récepteur

L’ampèremètre et le voltmètre mesurent des valeurs positives : le courant traverse le récepteurde A vers B, la tension UAB est positive car le potentiel électrique est plus élevé en A qu’enB. La figure 6.16 montre le tracé des résultats des mesures.

0 I

UAB

E Õ

Figure 6.16 – Caractéristique courant-tension d’un récepteur

Le récepteur étudié est un dipôle passif linéaire pour lequel on peut donner l’équation de lacaractéristique sous la forme UAB = a+ b I lorsque UAB dépasse E ′.

Les paramètres de cette équation peuvent-être reliés à des grandeurs physiques :

• a = E ′, ordonnée à l’origine, est une tension appelée force contre-électromotrice (f.c.é.m.)du récepteur.


• b est la pente positive de la droite. Elle est égale au quotient de la variation de la tensionaux bornes du récepteur par la variation de l’intensité du courant correspondante :

b = ∆UAB∆I .

La pente représente une résistance, c’est la résistance interne r′ du récepteur.

Finalement, lorsque UAB dépasse E ′, la relation entre tension et intensité s’exprime par :

UAB = E ′ + r′ I

Cette relation est appelée loi d’Ohm pour un récepteur.

Remarques :

• Dans la convention de tension et de courant utilisée ici (figure 6.17), appelée conventionrécepteur, la tension et l’intensité sont positives : UAB > 0 et I > 0.

I

UAB

A B

Figure 6.17 – Convention récepteur

• La tension aux bornes d’un récepteur augmente lorsque l’intensité du courant qui leparcourt augmente.

Lorsque UAB < E ′, les phénomènes dépendent du cas particulier. Voici quelques remarquesconcernant le moteur électrique et l’électrolyseur :

• Il n’y a pas de rotation du moteur électrique et pas de réaction chimique dans l’élec-trolyseur.

• Aucun courant ne traverse l’électrolyseur : I = 0.

• Le moteur électrique se comporte comme un conducteur ohmique : E ′ = 0. La tensionet l’intensité sont alors reliées par : UAB = r′ I.

Bilan énergétique d’un récepteur

Lorsque UAB > E ′, la puissance et l’énergie électriques reçues par le récepteur s’écrivent :

Pél = UAB I = E ′ I + r′ I2,

Eél = UAB I t = E ′ I t+ r′ I2 t.

L’énergie électrique reçue par le récepteur se présente donc comme la somme de deux termes :

Eél = UAB I t énergie électrique reçue par le récepteurEutile = E ′ I t énergie utile fournie à un autre système

Q = r I2 tquantité de chaleur dissipée dans le récepteur par effetJoule du fait de sa résistance interne r′


environnement

circuit électrique

Q

autre système

récepteurEel

Eutile

Figure 6.18 – Bilan énergétique d’un récepteur

La figure 6.18 montre un schéma représentant les transformations d’énergie dans un récep-teur.

Pour un récepteur électrique, le rendement est le rapport de l’énergie utile à l’énergie élec-trique reçue :

ρ = Eutile

Eél= E ′ I t

UAB I t= E ′

UAB.

La même discussion peut être menée à l’aide des puissances. En particulier, la puissance utileest Putile = E ′ I. Cette relation permet d’interpréter la force contre-électromotrice E ′ du ré-cepteur comme étant la puissance utile par unité d’intensité de courant qui le parcourt :

E ′ = Putile

I.

Exercices

Exercice 6.16 Un moteur électrique de force contre-électromotrice E ′ = 100 V a une ré-sistance interne r′ = 4 Ω.

1. On applique à ce moteur une tension U = 110 V. Quelle est l’intensité du courant quile traverse ? Faire le bilan énergétique du moteur en terme de puissance.

2. Quelle est la tension à appliquer pour que l’intensité du courant qui le traverse soit4 A ? Quel est alors le rendement du moteur ?

Exercice 6.17 Lorsqu’il est soumis à une tension de 1,6 V, un électrolyseur est traversépar un courant d’intensité 0,4 A. Cette intensité est de 0,8 A lorsque la différence de potentielaux bornes est de 2,0 V.Calculer la force contre-électromotrice et la résistance interne de cet électrolyseur.

Exercice 6.18 On se propose de tracer la caractéristique U = f(I) d’un électrolyseur. Onconstate qu’il n’y a pas de réaction chimique pour des tensions appliquées inférieures à 2,3 V.Au dessus de 2,3 V on relève les valeurs suivantes :

I (mA) 1 5 10 20 30 40 50 60UAB (V) 2,30 2,46 2,58 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72

1. Représenter la caractéristique de cet électrolyseur.

2. En utilisant la droite de régression, déterminer la f.c.é.m. de l’électrolyseur et sa résis-tance interne.


6.4.3 Association de dipôles en série

Considérons un circuit série, sans dérivations, constitué par deux accumulateurs en opposi-tion, un moteur, un électrolyseur et deux conducteurs ohmiques (figure 6.19).

A

B

C D

E

F

M

I

E1, R1E Õ2, R2

E Õ4, R4

E Õ6, R6

R3 R4

Figure 6.19 – Association de dipôles en série

Bilan énergétique

Déterminons les puissances électriques pour les différents dipôles :

• L’accumulateur 1 fonctionne en générateur d’énergie ; il fournit au circuit la puissanceélectrique : P1 = E1 I −R1 I

2.

• L’électrolyseur reçoit la puissance électrique : P2 = E ′2 I +R2 I2.

• Le moteur reçoit la puissance électrique : P4 = E ′4 I +R4 I2.

• Les conducteurs ohmiques reçoivent les puissances électriques : P3 = R3 I2 et

P5 = R5 I2.

• L’accumulateur 6 fonctionne en récepteur d’énergie ; il reçoit la puissance électrique :P6 = E ′6 I +R6 I

2.

La conservation de l’énergie permet d’écrire :

P1 = P2 + P3 + P4 + P5 + P6.

En remplaçant les différentes puissances par leurs expressions, il vient :

E1 I −R1 I2 = (E ′2 I +R2 I

2) +R3 I2

+ (E ′4 I +R4 I2)

+R5 I2 + (E ′6 I +R6 I

2)

ou, d’une autre façon :

E1 I = E ′2 I + E ′4 I + E ′6 I

+R1 I2 +R2 I

2 +R3 I2 +R4 I

2 +R5 I2 +R6 I

2. (6.10)

Cette relation montre que la puissance électrique E1 I développée par l’accumulateur 1est :


• utilisée par les récepteurs pour fournir la puissance utile :

E ′2 I + E ′4 I + E ′6 I,

• dissipée par effet Joule dans toutes les résistances :

R1 I2 +R2 I

2 +R3 I2 +R4 I

2 +R5 I2 +R6 I

2.

Loi de Pouillet

Appliquons la loi d’Ohm aux différents dipôles. En utilisant UAA = 0 il vient :

UAB + UBC + UCD + UDE + UEF + UFA = 0

ou, en remarquant que UFA = −UAF :

UAF = UAB + UBC + UCD + UDE + UEF

et en utilisant les différentes expressions de la loi d’Ohm :

E1 −R1 I = (E ′2 +R2 I) +R3 I + (E ′4 +R4 I) +R5 I + (E ′6 +R6 I).

En ordonnant et en mettant I en évidence on trouve :

E1 − E ′2 − E ′4 − E ′6 = (R1 +R2 +R3 +R4 +R5 +R6) I.

Finalement :I = E1 − E ′2 − E ′4 − E ′6

R1 +R2 +R3 +R4 +R5 +R6.

La généralisation de cette expression conduit à la loi de Pouillet.

Loi de Pouillet L’intensité du courant électrique qui parcourt un circuit série est égale àla somme des forces électromotrices des générateurs, moins les forces contre-électromotricesdes récepteurs, l’ensemble étant divisé par la somme de toutes les résistances du circuit. Onpeut écrire :

I =∑Egénérateurs −∑E ′récepteurs∑

Rtous les dipôles.

Remarques :

• Le sens positif de I doit être le sens de circulation réel du courant. On cherche parexemple le générateur de plus grande force électromotrice sachant que celui-ci imposerale sens du courant.

• En divisant l’expression (6.10) par I et en mettant I en évidence on retrouve la loi dePouillet.


6.4.4 Exercices

Exercice 6.19 Une cellule à électrolyse a une f.c.é.m. E ′ = 1,6 V et une résistance interner = 0,1 Ω.

1. On applique une tension U1 = 2,1 V. Calculer l’intensité I1 du courant qui traverse lacellule à électrolyse.

2. On veut que l’intensité du courant soit I2 = 8 A.

(a) Quelle est la tension U2 à appliquer ?

(b) Calculer la puissance électrique reçue par la cellule ainsi que la puissance dissipéepar effet Joule.

(c) En déduire le rendement de la transformation d’énergie dans l’électrolyseur.

3. On veut que la puissance électrique consommée par l’électrolyseur soit de 15,5 W. Quelletension faut-il appliquer ?

Exercice 6.20 On utilise un générateur dont la tension entre les bornes est de 8,75 Vlorsqu’il débite un courant d’intensité 1,3 A.Une autre expérience permet de mesurer une intensité débitée de 1,8 A lorsque la tensionentre les bornes de ce générateur est de 7,5 V.Calculer la f.é.m. et la résistance interne de ce générateur.

Exercice 6.21 Un moteur électrique de résistance 0,8 Ω est parcouru par un courant I =10 A lorsqu’il est alimenté sous une tension U = 90 V. Déterminer :

1. sa force contre-électromotrice,

2. la puissance absorbée,

3. la puissance utile fournie par ce moteur,

4. le rendement électrique de ce moteur.

Exercice 6.22 Un moteur électrique a une f.c.é.m. de 100 V et une résistance interne de2 Ω ; le courant qui traverse le moteur ne doit pas dépasser une intensité maximale de 10 A.

1. Ce moteur est alimenté sous une tension de 110 V. Quelle est l’intensité du courant quile traverse ?

2. Lorsqu’il est soumis à une tension de 90 V, le moteur ne tourne pas. Calculer dans cecas la nouvelle intensité du courant à travers le moteur. Que peut-on conclure ?

3. Il est indispensable d’associer à ce type de moteur un rhéostat de démarrage pour per-mettre à l’intensité de ne pas dépasser la valeur maximale.Quelle doit être dans ce cas la résistance totale du rhéostat employé sachant que l’uti-lisation courante du moteur est prévue pour une tension de 110 V ?

Exercice 6.23 Un générateur de tension a une f.é.m. E = 11 V et une résistance interner = 5,5 Ω.

1. Exprimer, en fonction de l’intensité I débitée :


(a) la tension entre les bornes de ce générateur,

(b) la puissance utile Putile fournie par le générateur,

(c) le rendement de ce générateur.

2. Tracer la courbe représentant Putile = f(I). Pour quelle valeur de l’intensité la puissancedébitée est-elle maximale ?

Exercice 6.24 Une pile a une force électromotrice E = 1,5 V et une résistance interner = 0,5 Ω. On monte cette pile en court-circuit.Quelle est la puissance dissipée par effet Joule ?

Exercice 6.25 Un moteur électrique a une force contre-électromotrice E ′ = 80 V et unerésistance interne r = 2 Ω.

1. Tracer la caractéristique tension-courant de ce moteur pour une tension appliquée va-riant de 80 à 110 V.

2. Calculer la puissance absorbée par le moteur ainsi que la puissance dissipée par effetJoule lorsque U = 110 V.

3. L’intensité maximale du courant qui peut traverser les fils de bobinage est de 20 A.Quelle est la puissance maximale dissipée par effet Joule ?

4. Calculer l’intensité du courant qui traverse le moteur et la puissance dissipée par effetJoule lorsque :

(a) U = 81 V,

(b) U = 79 V.

Conclure.

Exercice 6.26 Une pile de f.é.m. E = 4,5 V et de résistance interne r = 2 Ω est branchéeaux bornes d’un conducteur ohmique de résistance R. L’intensité du courant qui traverse lecircuit est I = 0,3 A.

1. Déterminer la tension aux bornes de la pile et la puissance électrique qu’elle fournit.

2. Calculer la valeur de la résistance R.

3. Calculer la puissance totale dissipée par effet Joule dans ce circuit.

Exercice 6.27 Un générateur de f.é.m. E = 33 V débite un courant d’intensité I = 11 Alorsqu’il est connecté à un conducteur ohmique de résistance R = 2,5 Ω. Calculer :

1. la puissance dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique,

2. la puissance totale disponible dans le générateur,

3. la puissance dissipée par effet Joule dans le générateur,

4. la résistance interne du générateur.

Exercice 6.28 Un accumulateur de f.é.m. E = 12 V et de résistance interne r = 1 Ωalimente un moteur électrique de force contre-électromotrice E ′ = 10 V et de résistance


interne r′ = 2 Ω. Déterminer :

1. l’intensité du courant dans le circuit,

2. la tension aux bornes de l’accumulateur,

3. la puissance utile fournie par le moteur,

4. le rendement du moteur.

Exercice 6.29 Un moteur électrique (E ′ = 4 V, r′ = 4 Ω) est alimenté par un générateur(E = 12 V, r = 2 Ω).

1. Calculer la tension aux bornes du moteur et l’intensité qui le traverse.

2. Le moteur est bloqué. Que deviennent la tension et l’intensité ?

Exercice 6.30 On considère le circuit suivant formé de deux piles de même f.é.m.E = 4,5 V et de même résistance interne r = 1,5 Ω.

1. Calculer :

(a) l’intensité du courant qui traverse le circuit,

(b) la puissance totale dissipée par effet Joule.

2. Reprendre les mêmes questions après avoir inversé le sens del’une des deux piles.

Exercice 6.31 On considère le circuit suivant comportant l’association en série de deuxaccumulateurs (E1, r1) et (E2, r2), et d’un électrolyseur (E ′, r′) :

E1 = 12 V ; r1 = 4 Ω ; E2 = 4 V ; r2 = 3 Ω ; E ′ = 3 V ; r′ = 2 Ω

1. Déterminer le sens et l’intensité du courant dans le circuit.

2. Comment fonctionne l’accumulateur 2 ?

3. Calculer :

(a) la puissance totale fournie par l’accumulateur 1,

(b) la puissance électrique reçue par l’accumulateur 2,

(c) la puissance électrique reçue par l’électrolyseur.

Exercice 6.32 On donne le circuit suivant dans lequel une batterie d’accumulateurs def.é.m. E = 12 V et de résistance interne r = 5 Ω alimente un moteur électrique de f.c.é.m.E ′ = 6,5 V et de résistance interne r′ = 1,5 Ω par l’intermédiaire d’un rhéostat R.

1. L’intensité maximale supportée par le moteur électrique vaut Imax =500 mA. A quelle valeur doit-on régler la résistance du rhéostatlorsque le moteur est en fonctionnement ?

2. En fait, le rhéostat sert aussi de rhéostat de protection destiné à li-miter l’intensité du courant dans le moteur lorsque celui-ci ne tournepas ; quelle doit être la valeur minimale de la résistance du rhéostatpour assurer une protection efficace du moteur ?


6.5 Condensateurs

6.5.1 Qu’est-ce qu’un condensateur ?

Le principe du condensateur fut découvert en 1782 par Alessandro Volta qui s’était renducompte de la « condensation » (c’est-à-dire de l’accumulation) de charges électriques sur lesfaces de deux lames conductrices rapprochées et reliées aux bornes d’un générateur.

Définition Un condensateur est constitué par deux lames parallèles séparées par un isolant.

La figure 6.20 en donne la représentation symbolique : les plaques métalliques en regard sontles armatures, elles sont séparées par un isolant encore appelé diélectrique.

armatures

diélectrique

Figure 6.20 – Représentation symbolique d’un condensateur

6.5.2 Charge et décharge d’un condensateur

Pour charger un condensateur d’électricité, nous allons le relier à un générateur. Un courantélectrique va apporter des charges électriques sur les armatures.

V C

A

B

A

R

R

1 2

circuit de charge

circuit de décharge

Figure 6.21 – Montage utilisé pour la charge et de la décharge d’un condensateur

On réalise le montage de la figure 6.21. Le générateur délivre une tension constante, R estune résistance et C est le condensateur. Le rôle des résistances est de limiter l’intensité ducourant dans les circuits de charge et de décharge.


Le voltmètre permet de mesurer la tension entre les armatures, l’ampèremètre permet dedétecter le passage du courant dans un sens ou dans l’autre. La tension aux bornes ducondensateur est initialement nulle.

Charge du condensateur

On bascule l’interrupteur en position 1. L’ampèremètre indique le passage d’un bref courantélectrique. La tension affichée par le voltmètre croît simultanément jusqu’à la valeur de la forceélectromotrice du générateur, puis demeure constante : le condensateur s’est chargé.

Interprétation :

Lorsqu’on bascule l’interrupteur en position 1, un courant transitoire d’intensité i circuledans la branche AB de A vers B. Ce courant, arrivant sur l’armature A y apporte une chargepositive +Q (figure 6.22).

UAB

A

B

+Q

≠Qi

i

C

Figure 6.22 – Un courant transitoire charge le condensateur

La charge qui sort du pôle positif du générateur est la même que celle qui rentre dans sonpôle négatif, pendant le même intervalle de temps. Ainsi, le courant qui sort de l’armature Bemporte autant de charges que le même courant en a apporté sur l’armature A. Il en résultela création d’une charge −Q sur l’armature B.

• Les charges électriques portées par les armatures d’un condensateur chargé sont égaleset opposées :

QA = Q et QB = −Q.

• On appelle charge du condensateur la valeur absolue de l’une d’entre elles.

Le courant de charge cesse dès que la tension entre les armatures est égale à la tension auxbornes du générateur.

Énoncé Aucun courant permanent ne peut circuler lorsqu’on branche un condensateur entreles bornes d’un générateur délivrant une tension constante.

Cela n’est pas très étonnant car le circuit de charge est un circuit ouvert ; il n’y a pas deliaison conductrice entre les armatures du condensateur.

Remarque : pendant la charge, le condensateur se comporte comme un récepteur.


Décharge du condensateur

Le condensateur étant chargé, on bascule l’interrupteur en position 2. L’ampèremètre indiqueun bref courant en sens inverse du courant de charge. La tension mesurée par le voltmètres’annule simultanément : le condensateur s’est déchargé.

Interprétation :

Lorsqu’on bascule l’interrupteur en position 2, un courant transitoire d’intensité i circuledans la branche AB de B vers A (figure 6.23).

UAB

A

B

+Q

≠Qi

i

C

Figure 6.23 – Un courant transitoire décharge le condensateur

Ce courant transitoire emporte une charge positive de l’armature A qui va neutraliser lacharge négative sur l’armature B.

Remarque : pendant la décharge, le condensateur se comporte comme un générateur.

Courant transitoire

L’intensité du courant transitoire n’étant pas constante, nous devons généraliser la relationentre i et la charge q du condensateur.

Lorsque le courant i arrive à l’armature A portant la charge q, il apporte la charge δq pendantl’intervalle de temps δt. Cet intervalle étant très court, l’intensité peut être considérée commeconstante et on peut écrire :

δq = i δt =⇒ i = δq

δt.

En introduisant la dérivée à la limite quand δt→ 0 :

i = dqdt

L’intensité qui arrive sur une armature est égale à la dérivée par rapport au temps de lacharge q qu’elle porte.

6.5.3 Capacité d’un condensateur

La capacité d’un condensateur est sa caractéristique fondamentale. L’étude quantitative dela charge d’un condensateur va nous permettre de définir cette nouvelle grandeur.

Nous allons nous intéresser à la relation entre la charge du condensateur et la tension entreses armatures.


Expérience

Considérons le montage de la figure 6.24. Le générateur de courant débite un courant decharge d’intensité constante I mesurée à l’aide de l’ampèremètre. Le voltmètre mesure latension UAB entre les armatures du condensateur.

générateur de courant

I

C V

A

B

A

UAB

Figure 6.24 – Montage utilisé pour étudier la relation entre charge et tension

Le condensateur étant initialement déchargé, sa charge à l’instant t est calculée à l’aide del’expression Q = I t, avec I = . . . . . . µA.


Q (µC)UAB (V)

Conclusion :

La tension entre les armatures est proportionnelle à la charge du condensateur :

UAB ∼ Q

Définition de la capacité

D’après le résultat de l’expérience précédente, le rapport de la charge par la tension estconstant pour un condensateur donné. Ce coefficient de proportionnalité est appelé capacitédu condensateur.

Définition La capacité C d’un condensateur est égale au rapport de la charge Q du conden-sateur par la tension UAB entre ses armatures :

C = Q

UAB

Dans le système international, l’unité de capacité est le farad (F) : 1 F = 1 C/V.

La capacité d’un condensateur représente la quantité de charge qu’un condensateur peutaccumuler sous une tension de 1 V.

Considérons plusieurs condensateurs différents qui ont été chargés aux bornes du même gé-nérateur. La charge d’un condensateur est donnée par la relation :

Q = C UAB.


À tension constante, la charge accumulée sur les armatures d’un condensateur est donc pro-portionnelle à sa capacité.

Capacité d’un condensateur plan

Un condensateur est plan lorsque ses armatures sont planes et parallèles. Rappelons lespropriétés déjà établies :

• Le champ entre les armatures d’un condensateur plan est uniforme ; les lignes de champy sont parallèles entre-elles, perpendiculaires aux armatures et dirigées de l’armaturepositive vers l’armature négative.

• L’intensité E du champ électrique est liée à la tension UAB entre l’armature positive etl’armature négative par la relation :

E = UABd

ou d est la distance entre les armatures.

Intéressons-nous maintenant à la capacité d’un condensateur plan. En gardant constante lacharge du condensateur, nous allons observer la variation de la tension UAB lorsque la distanced, la surface S des armatures et la nature du diélectrique varient.

Si la charge reste constante, la relation entre tension et capacité est :

Q = C UAB = constante =⇒ C ∼ 1UAB

.

• Lorsqu’on augmente la distance d, la tension UAB augmente, c’est-à-dire que la capacitéC diminue. On peut montrer :

C ∼ 1d.

• Lorsqu’on augmente la surface S, la tension diminue, c’est-à-dire que la capacité Caugmente. On peut montrer :

C ∼ S.

• Lorsqu’on met un diélectrique autre que l’air entre les armatures, la tension diminue,c’est-à-dire que la capacité C augmente. On peut l’expliquer par l’apparition de chargesde polarisation (figure 6.25) sur les armatures qui font diminuer la tension.

diélectrique

+Q ≠Q

charges de polarisation

≠ + ≠ + ≠ +

≠ + ≠ + ≠ +

≠ + ≠ + ≠ +

≠ + ≠ + ≠ +

Figure 6.25 – Apparition de charges de polarisation


Ces relations peuvent se résumer par la formule :

C = εr ε0S

d

où ε0 = 8,854 · 10−12 F/m est la permittivité du vide et εr la permittivité relative du diélec-trique. La permittivité relative tient compte des propriétés du diélectrique. Le tableau 6.1donne εr pour quelques diélectriques.

diélectrique εrair sec 1,0papier 3,7verre 5,6mica 6,6céramique 1,8 · 103

Table 6.1 – Permittivité relative

Remplacer l’air par un diélectrique de permittivité relative εr revient à multiplier la capacitépar εr, d’où l’intérêt évident des diélectriques.

6.5.4 Énergie emmagasinée dans un condensateur

Expérience

Considérons le montage de la figure 6.26.

C

1 2

M

Figure 6.26 – Moteur électrique alimenté par un condensateur

Le condensateur étant déchargé, on ferme l’interrupteur en position 2 : le moteur ne tournepas. On bascule l’interrupteur en position 1 : le générateur charge le condensateur. On fermeensuite l’interrupteur à nouveau en position 2 : le condensateur se décharge à travers lemoteur qui se met alors en marche.

Cette expérience met en évidence que le moteur a reçu de l’énergie électrique préalablementemmagasinée dans le condensateur chargé.

Application :

Le condensateur du flash d’un appareil photo n’emmagasine pas une énergie importantemais il peut la libérer en très peu de temps. La puissance lumineuse se révèle donc trèsimportante.Par exemple, pour un flash de studio, l’énergie libérée est de 1000 J pendant un temps de1/8000 s. La puissance lumineuse sera alors de 8 MW !


Expression de l’énergie emmagasinée

Considérons la charge du condensateur initialement déchargé. À l’état final, sa charge est Qf

et la tension entre ses armatures est Uf .

Nous allons charger le condensateur en appliquant une force extérieure ~F , opposée à la forceélectrique ~Fél, pour transporter des charges positives δQ de la plaque négative B vers laplaque positive A (figure 6.27).

+Q ≠Q

A B”Q

FelF

Figure 6.27 – Déplacement d’une charge positive entre les armatures

Considérons un état intermédiaire de charge Q et de tension UAB. Le déplacement d’unecharge δQ de la plaque B vers la plaque A fait augmenter l’énergie potentielle électrique dusystème :

δEp él = WBA(~F ) = WAB(~Fél) = δQUAB.

Sur la représentation U = f(Q) (figure 6.28), cette variation élémentaire d’énergie correspondà l’aire du rectangle de côtés UAB et δQ.

0

UAB

”Q

”QUAB

Qf

Uf

U

Q

Figure 6.28 – Représentation U = f(Q)

La variation totale de l’énergie potentielle électrique du condensateur est la somme des va-riations élémentaires :

∆Ep él =∑

δEp él

et correspond à l’aire du triangle de base Qf et de hauteur Uf :

∆Ep él = 12 Qf Uf .

En fixant à zéro l’énergie du condensateur déchargé, l’expression de l’énergie potentielleélectrique d’un condensateur portant la charge Q à la tension U devient :

Ep él = 12 QU = 1

2 C U2 = Q2

2C


6.5.5 Exercices

Exercice 6.33 On charge un condensateur de capacité C = 0,8 µF à l’aide d’une source decourant qui débite, pendant le temps t = 2,5 s, un courant d’intensité constanteI = 22 µA.Quelle est la charge acquise par le condensateur ? Quelle est la tension entre ses armatures ?

Exercice 6.34 Quelle doit être la capacité d’un condensateur pour qu’il emmagasine l’éner-gie électrostatique E = 10−4 J lorsqu’on applique entre ses armatures la tension U = 100 V ?Quelle énergie E ′ possède-t-il lorsque la tension est U ′ = 200 V ?

Exercice 6.35 Un condensateur dont les armatures sont notées A et B porte la chargeQ = 48 µC lorsque la tension UAB est égale à 40 V.On branche entre les armatures, à l’instant t = 0, un générateur qui débite un courantd’intensité constante I = 5 µA circulant de A vers B hors du condensateur.

1. Quelle est la valeur de sa capacité C ?

2. Quelles sont les valeurs de la charge QA et de la tension UAB aux instants t1 = 5 s,t2 = 10 s ?

Exercice 6.36 Les armatures d’un condensateur plan sont distantes de 1 mm. Il règneentre les armatures un champ électrostatique uniforme ~E d’intensité 20 kV/m ; la charge Qdu condensateur est, dans ces conditions, égale à 10−8 C.

1. Quelle est la valeur de sa capacité C ?

2. Calculer son énergie électrostatique Ep él.

Exercice 6.37 Les armatures d’un condensateur plan ont pour surface S = 50 cm2 et sontdistantes de d = 5 mm. L’espace entre les armatures est constitué par de l’air. Calculer sacapacité C.

Exercice 6.38 Un condensateur plan comporte deux armatures de surface S = 200 cm2,séparées par un isolant de 3 mm d’épaisseur. Cet isolant pourra être successivement de l’airou du mica avec εr = 8.On charge le condensateur sous la tension U = 200 V. On demande dans les deux cas de :

1. Calculer sa capacité.

2. Déterminer sa charge.

3. Quelle est l’énergie emmagasinée ? Conclure.

Exercice 6.39 La formation d’un orage correspond à une accumulation de nuages dans leciel. Le bas des nuages acquiert des charges négatives par frottements divers. Par influence, laTerre, située en regard, se charge positivement. On obtient alors, entre les deux, une tensionU = 50 · 106 V.On peut considérer l’ensemble nuage-Terre comme un condensateur temporaire et géomé-triquement limité : ses armatures de diamètre 3 km sont séparées par le diélectrique aird’épaisseur D = 1,2 km. Un éclair, correspondant à une décharge de ce condensateur, se


produit pendant une durée très brève T = 150 µs.

Figure 6.29 – Apparition d’un éclair

1. Calculer la capacité C et la charge Q du système avant la décharge. En déduire l’énergieemmagasinée dans ce gigantesque condensateur.

2. On peut considérer l’intensité du courant de décharge comme constante durant l’exis-tence de l’éclair. Déterminer la valeur de cette intensité.

Remarque :

Le précurseur d’éclair est le chemin tracé par les charges négatives en mouvement depuisle nuage jusqu’au sol. L’éclair lumineux et sonore, dit de « retour », remonte ensuite dusol, le long du trajet du précurseur.

Chapitre 7

Électromagnétisme

7.1 Magnétisme

7.1.1 Aimants

Les aimants furent découverts d’abord en Chine et puis en Grèce. Les premiers aimants sontdes pierres noires qui ont la propriété d’attirer des objets en fer. Cette pierre est constituée demagnétite, un minerai de fer composé principalement d’oxyde de fer (Fe3O4). Le phénomèneobservé est le magnétisme.

Au voisinage d’un aimant, les corps en fer s’aimantent et deviennent eux-mêmes des aimants.Ceci est observé pour d’autres matériaux comme le nickel et le cobalt. Certains de ces maté-riaux dits ferromagnétiques ne se désaimantent pas si on éloigne l’aimant ; on a ainsi réaliséun aimant permanent.

Une des premières applications fut la boussole. Elle est constituée d’une aiguille aimantéemobile autour d’un axe vertical. En un lieu donné, l’aiguille s’oriente toujours dans la mêmedirection et dans le même sens. Cette propriété fait de la boussole un instrument de naviga-tion.

Un aimant permanent est capable d’attirer des corps ferromagnétiques. L’intensité de la forceattractive diminue rapidement lorsqu’on éloigne le corps de l’aimant. La force est particuliè-rement intense aux extrémités de l’aimant appelées pôles magnétiques.

En étudiant les interactions entre deux barres aimantées, on constate qu’il y a des forcesattractives et répulsives. On en conclut qu’il y a deux types de pôles différents.

Lorsqu’on suspend une barre aimantée, elle s’oriente dans une direction proche de la directionNord-Sud géographique. L’extrémité de la barre qui pointe vers le Nord est appelée pôle nordet l’autre extrémité pôle sud.

Des expériences simples permettent de montrer que deux pôles de même nom se repoussentet que deux pôles de noms différents s’attirent.

Les pôles magnétiques apparaissent toujours par paires ; il n’existe pas de monopôle magné-tique. En découpant une barre aimantée en deux, on obtient deux couples de pôles nord etsud (figure 7.1).

Remarque : par convention, le pôle nord est marqué en rouge ou représenté par une flèche.

2BC Électromagnétisme 129

SN SNSNdécoupe

Figure 7.1 – Les pôles magnétiques apparaissent toujours par paires

7.1.2 Notion de Champ magnétique

L’étude des interactions magnétiques est simplifiée par l’introduction de la notion de champmagnétique.

Expérience 7.1 Approchons plusieurs aiguilles aimantées d’un aimant droit (figure 7.2).

SN

Figure 7.2 – Aiguilles aimantées placées au voisinage d’un aimant droit

Observations :

• Lorsque nous approchons les aiguilles de l’aimant, leurs orientations changent.

• Les aiguilles prennent chacune des directions et des sens bien déterminés, différentsd’une aiguille à une autre.

Interprétation :

Les aiguilles subissent les forces magnétiques exercées par l’aimant droit. Ces forces sontdifférentes d’un point de l’espace à l’autre et conduisent à des orientations différentes desaiguilles. Nous disons que l’aimant droit crée un champ magnétique.

Définition Un champ magnétique règne dans une région de l’espace si dans cette régionune aiguille aimantée est soumise à des forces magnétiques.

L’expérience précédente incite à représenter le champ en un point par une grandeur vecto-rielle.

Définition En chaque point de l’espace, le champ magnétique est représenté par un vecteurchamp magnétique ~B dont les propriétés sont :

direction l’axe de l’aiguille aimantée ;

sens du pôle sud vers le pôle nord de l’aiguille ;

valeur notée B.

130 Électromagnétisme 2BC

L’unité de la valeur du champ magnétique est le tesla (T). La valeur du champ magnétiqueen un point donné est mesurée à l’aide d’un teslamètre.

7.1.3 Superposition de champs magnétiques

Expérience 7.2 Nous disposons de deux aimants droits identiques et d’une petite aiguilleaimantée. L’aiguille est placée en un point P d’une feuille de papier. On relève l’orientationde l’aiguille en présence :

• du 1er aimant (figure 7.3a) ;

• du 2e aimant (figure 7.3b) ;

• des deux aimants (figure 7.3c).

On représente les vecteurs champ de même valeur ~B1 et ~B2 qu’on observe au point P enprésence respectivement du 1er et du 2e aimant seul. On construit ensuite le vecteur champrésultant ~B = ~B1 + ~B2.

S NP

(a) en présence du 1er aimant

S

N

P

(b) en présence du 2e aimant

S N

S

N

B1

B2

P

B

(c) en présence des deux aimants

Figure 7.3 – Orientation d’une aiguille aimantée

Observation :

En présence des deux aimants, l’aiguille s’oriente dans la direction du vecteur champ résultant.

Principe de superposition En présence de plusieurs aimants, le vecteur champ résul-tant en un point est égale à la somme vectorielle des vecteurs champs magnétiques que l’onobserverait en présence de chacun des aimants seuls.

7.1.4 Lignes de champ

Lorsqu’on déplace une aiguille aimantée dans la direction et dans le sens du vecteur champmagnétique ~B, on dessine une courbe orientée appelée ligne de champ. Une ligne de champcommence au pôle nord d’un aimant et se termine en son pôle sud.


En un point donné, le vecteur ~B est par conséquent tangent à la ligne de champ passant parce point et orienté dans le même sens.

N

BN

BMM

N

S N

Figure 7.4 – Spectre magnétique

Un spectre est constitué par un ensemble de lignes de champ (figure 7.4). Plus les lignes dechamp sont rapprochées, plus le champ est intense.

Expérience 7.3 Saupoudrons de la limaille de fer sur une plaque de plexiglas disposéeau-dessus d’un aimant droit.

Observation :

Les grains de limaille se distribuent suivant les lignes de champ le long desquelles ils s’en-chaînent les uns aux autres, visualisant ainsi le spectre magnétique de l’aimant droit (figure7.5).

Figure 7.5 – Spectre magnétique d’un aimant droit

Interprétation :

Les grains de limaille de fer s’aimantent en présence de l’aimant droit et s’orientent dans lechamp magnétique comme des aiguilles aimantées.

7.1.5 Champ magnétique créé par un aimant

Les figures 7.4 et 7.5 montrent le spectre magnétique d’un aimant droit. Considérons le champmagnétique créé par un aimant en U.


Expérience 7.4 Formons le spectre magnétique d’un aimant en U, dans la région de sonentrefer.

Observation :

Le spectre magnétique fait apparaître des lignes de champ parallèles entre elles et perpendi-culaires aux branches de l’aimant (figure 7.6).

Figure 7.6 – Spectre magnétique d’un aimant en U

Des mesures précises montrent que le champ magnétique a la même valeur en tout point del’entrefer. On dit qu’il y est uniforme.

7.1.6 Champ magnétique créé par un courant

L’effet magnétique du courant électrique fut découvert par Christian Œrsted. Une aiguilleplacée au voisinage immédiat d’un fil conducteur parcouru par un courant électrique subitune déviation.

Un courant électrique crée un champ magnétique. Nous allons étudier les spectres magné-tiques d’un fil rectiligne, d’une bobine plate et d’un solénoïde parcourus par un courantélectrique.

Fil rectiligne

Expérience 7.5 Formons le spectre magnétique du champ créé par un fil rectiligne verticalparcouru par un courant. Saupoudrons de la limaille de fer dans un plan perpendiculaire aufil. Plaçons également quelques aiguilles aimantées au voisinage du fil.

Observation :

Le spectre magnétique fait apparaître des lignes de champ en forme de cercles centrés sur lefil (figure 7.7a). L’orientation des aiguilles aimantées s’inverse lorsque nous changeons le sensdu courant (figure 7.7b).

Remarque : un vecteur ou un courant perpendiculaire au plan d’étude sera représenté par :

lorsqu’il est dirigé vers l’avant du plan ;

⊗ lorsqu’il est dirigé vers l’arrière du plan.


(a) lignes de champ

I I

(b) sens du champ

Figure 7.7 – Spectre magnétique d’un fil rectiligne

Propriétés Les lignes de champ magnétique d’un courant électrique rectiligne sont descercles ayant pour axe le fil transportant le courant.Le sens du champ magnétique peut être déterminé à l’aide de la règle de la main droite :

pouce → sens du courantindex → sens du champ magnétique

La valeur du vecteur champ est proportionnelle à l’intensité du courant.

Solénoïde

Un solénoïde est constitué d’un fil conducteur enroulé régulièrement en hélice de façon àformer une bobine dont la longueur est grande par rapport à son rayon.

Expérience 7.6 Formons le spectre magnétique du champ créé par un solénoïde d’axehorizontal parcouru par un courant électrique. Saupoudrons de la limaille de fer dans unplan horizontal contenant l’axe du solénoïde. Plaçons également quelques aiguilles aimantéesà l’intérieur du solénoïde.

(a) lignes de champ

I

Iaxe

(b) sens du champ

Figure 7.8 – Spectre magnétique d’un solénoïde

Observations :


• Le spectre magnétique à l’extérieur du solénoïde a la même allure que celui d’un aimantdroit. À l’intérieur du solénoïde et suffisamment loin des extrémités, les lignes de champsont parallèles à l’axe du solénoïde (figure 7.8a).

• L’orientation des aiguilles aimantées s’inverse lorsque nous changeons le sens du courant(figure 7.8b).

Une étude quantitative montre que la valeur B du champ magnétique à l’intérieur d’unsolénoïde de longueur L comprenant N spires est proportionnelle :

• à l’intensité I du courant qui le parcourt ;

• au rapport n = N/L indiquant le nombre de spires par unité de longueur.

Les résultats suivants s’appliquent au champ magnétique à l’intérieur du solénoïde, suffisam-ment loin de ses extrémités.

Propriétés Un solénoïde parcouru par un courant électrique crée un champ magnétiqueuniforme et de même direction que l’axe du solénoïde.Le sens du champ magnétique peut être déterminé à l’aide de la règle de la main droite :

pouce → sens du champ magnétiqueindex → s’appliquant sur les spires indique le sens du courant

La valeur du vecteur champ est donnée par l’expression :

B = µ0 n I

avec µ0 = 4π · 10−7 T m A−1 appelée perméabilité magnétique du vide.

Bobine plate

Une bobine plate est constitué d’un fil conducteur enroulé de façon à former une bobine dontla longueur est petite par rapport à son rayon. La figure 7.9 montre le spectre d’une bobineplate.

I

Figure 7.9 – Spectre magnétique d’une bobine plate

Les résultats suivants s’appliquent au champ magnétique créé au centre d’une bobine plateà spires circulaires.


Énoncé Une bobine plate parcouru par un courant électrique crée un champ magnétiquedont la direction est l’axe de la bobine.Le sens du champ magnétique peut être déterminé à l’aide de la règle de la main droite :

pouce → sens du champ magnétiqueindex → s’appliquant sur les spires indique le sens du courant

La valeur du vecteur champ est donnée par l’expression :

B = µ0N

2R I

ou R est le rayon des spires.

La configuration dite « bobines de Helmholtz » est l’association de deux bobines plates iden-tiques séparées par une distance égale à leur rayon sur leur axe commun (figure 7.10a).

(a) dispositif (b) spectre magnétique

Figure 7.10 – Bobines de Helmholtz

En faisant circuler des courants de même intensité et de même sens dans ces bobines, unchamp magnétique est créé qui a la particularité d’être relativement uniforme au centre dudispositif (figure 7.10b).

7.1.7 Le champ magnétique terrestre

Le champ magnétique terrestre est produit par le noyau externe de la Terre, une coucheliquide constituée en majorité de fer et de nickel. Le noyau étant conducteur, il peut êtreparcouru par des courants électriques et donc engendrer un champ magnétique. Ce champest entretenu par les mouvements de matière dans le noyau.

Le champ magnétique terrestre est approximativement celui d’un aimant droit (figure 7.11).Le pôle nord magnétique de cet aimant terrestre pointe vers le sud géographique.

En un point donné du champ magnétique terrestre, le vecteur champ terrestre ~B possède unecomposante verticale ~Bv dirigée vers le centre de la Terre et une composante horizontale ~Bh

dirigée approximativement vers le nord géographique.


axe de rotation

S

N

Nord géographiqueNord magnétique

Figure 7.11 – Champ magnétique terrestre

Dans un plan vertical contenant le vecteur champ ~B, ce dernier fait avec l’horizontale un anglevariable avec le lieu, appelé inclinaison i (figure 7.12a). Dans nos régionsi ≈ 60.

horizontaleBh

Bv

i

B

(a) plan vertical

Bh

d

vers le nordgéographique

(b) plan horizontal

Figure 7.12 – Orientation du vecteur champ magnétique terrestre

Dans un plan horizontal, la composante horizontale du vecteur champ fait avec le méridiengéographique un angle variable avec le lieu, appelé déclinaison d (figure 7.12b). Dans nosrégions d est très petit.

Dans nos régions, la valeur du vecteur champ est approximativement B ≈ 4 · 10−5 T. Lesvaleurs des composantes du vecteur champ sont respectivement Bh = B cos i ≈ 2 · 10−5 T etBv = B sin i ≈ 3,5 · 10−5 T.

7.1.8 Exercices

Exercice 7.1 Vrai ou faux ? Rectifier si nécessaire.

Exercice 7.2 À partir du spectre magnétique représenté, tracer le vecteur champ magné-tique aux différents points.

Exercice 7.3 On dispose de deux barreaux aimantés identiques. La valeur du champ ma-gnétique au point M dû à chaque aimant est B = 20 mT. Représenter le vecteur champ


Exercice 7.1 Exercice 7.2

magnétique au point M toujours situé à la même distance d de chacun des aimants. Calculerla valeur de ~B en M .

Exercice 7.3

Exercice 7.4 On veut obtenir au centre d’un solénoïde de longueur l = 50 cm, un champmagnétique d’intensité 2 mT, l’intensité du courant étant de 1 A. Déterminer le nombre despires nécessaires.

Exercice 7.5 Un aimant droit disposé selon l’axe d’un solénoïde s’oriente selon le schémaci-dessous.

SN

1. Quelle est la face nord du solénoïde ?

2. Quel est le sens du courant qui circule dans le solénoïde ?

3. Représenter le champ magnétique ~B0 au milieu du solénoïde et dessiner quelques lignesde champ.

Exercice 7.6 Deux solénoïdes identiques sont disposés comme l’indique la figure. Leursaxes sont perpendiculaires et se coupent en O.

1. Les sens de courant dans chaque solénoïde sont représentés sur le schéma. Préciser lesens des vecteurs champ magnétique ~B1 créé par (A) et ~B2 créé par (B) au point O.


2. Quelle sera la direction et le sens de l’aiguille aimantée si en O les valeurs des champssont B1 = B2 = 2,3 mT ?

3. Représenter chaque vecteur à la même échelle. Calculer la valeur de ~B = ~B1 + ~B2.

4. Que devient l’orientation de l’aiguille aimantée si on change le sens du courant dans lesolénoïde (A) ?

5. Les sens des courants sont de nouveau ceux de la première question mais on doublel’intensité du courant qui traverse (A). Représenter à nouveau ~B1 et ~B2. Calculer lanouvelle valeur de ~B ainsi que la nouvelle orientation de l’aiguille aimantée.


7.2 Forces magnétiques

Comme les charges en mouvement qui constituent un courant électrique créent un champmagnétique, on peut s’interroger sur l’action d’un champ magnétique sur une charge élec-trique.

7.2.1 Force de Lorentz

Expérience 7.7 Un faisceau d’électrons entre à la vitesse ~v0 dans le champ uniforme ~Bcréé par des bobines de Helmholtz.

Observations :

• ~B = 0 ou ~B ‖ ~v0 : le faisceau n’est pas dévié, le mouvement d’un électron est rectiligneet uniforme (figure 7.13).

B

v0

f = 0e≠

v

Figure 7.13 – Le faisceau d’électrons n’est pas dévié

• ~B 6= 0 et ~B ⊥ ~v0 : la trajectoire du faisceau est un cercle de rayon r, le mouvementd’un électron est circulaire et uniforme (figure 7.14).

B

v0

e≠

f v

B

v0

e≠

f

v

Figure 7.14 – La trajectoire du faisceau est un cercle

En faisant varier la valeur B du champ magnétique et la vitesse v0 des électrons onconstate que :

– r diminue si B augmente ;

– r augmente si v0 augmente.

Le sens du mouvement change lorsqu’on inverse le sens du champ magnétique.

Conclusions :

Une force magnétique ~f , appelée force de Lorentz, agit sur les électrons en mouvement. Lespropriétés suivantes peuvent être déduites des observations de l’expérience :


• la force est perpendiculaire aux vecteurs champ et vitesse ;

• son intensité dépend des valeurs de la vitesse et du champ ;

• elle est nulle si les vecteurs vitesse et champ sont parallèles ou si au moins un des deuxvecteurs est nul.

Loi de Lorentz La force magnétique ~f subie par une particule de charge q se déplaçantavec la vitesse ~v dans un champ magnétique ~B s’écrit :

~f = q ~v × ~B

Les caractéristiques de la force de Lorentz sont :

direction ~f est perpendiculaire à ~v et à ~B ;

sens déterminé à l’aide de la règle de la main droite :

pouce → sens de q ~vindex → sens du champ magnétique ~B

majeur → sens de la force de Lorentz ~f

intensité f = |q sinα| v B, où α est l’angle formé par ~v et ~B.

Remarque : l’expression ~v × ~B est le produit vectoriel des deux vecteurs.

La force de Lorentz est à tout instant perpendiculaire à la trajectoire de la particule chargée.Son travail est nul et, d’après le théorème de l’énergie cinétique, elle ne contribue pas àla variation de l’énergie cinétique de la particule chargée. Il n’y a pas d’énergie potentielleassociée à cette force.

En pratique, on utilise un champ magnétique pour dévier une particule chargée sans changerla valeur de sa vitesse. Le spectrographe de masse et le cyclotron sont des applications de laforce de Lorentz.

7.2.2 Force de Laplace

Lorsqu’un conducteur électrique est parcouru par un courant, un grand nombre d’électrons(de l’ordre du nombre d’Avogadro) est un mouvement. La résultante des forces sur les élec-trons est mise en évidence dans l’expérience suivante.

Mise en évidence expérimentale

Expérience 7.8 Une tige de cuivre est mobile autour d’un point O. Une partie de la tigese trouve entre les branches d’un aimant en U. Les extrémités de la tige sont reliées à ungénérateur qui permet de faire passer un courant électrique I à travers la tige (figure 7.15).


B

O

I

F˛

Figure 7.15 – Courant électrique dans un champ magnétique

Observations :

• En absence d’un courant électrique la tige reste immobile.

• La tige s’écarte de sa position d’équilibre lorsqu’elle est parcourue par un courantélectrique.

• La direction du déplacement est parallèle aux branches de l’aimant.

• Le sens du déplacement change si :

– le sens du courant électrique est inversé ;

– les pôles de l’aimant sont permutés.

Conclusion :

Une force s’exerce sur un conducteur parcouru par un courant électrique et placé dans unchamp magnétique. Cette force électromagnétique est appelée force de Laplace.

Loi de Laplace La force électromagnétique ~F exercée par un champ magnétique uniforme~B sur une portion de conducteur rectiligne de longueur `, parcourue par un courant électriqued’intensité I s’écrit :

~F = I ~× ~B

où ~ est un vecteur de longueur `, parallèle au conducteur et orienté dans le sens du courant.Les caractéristiques de la force de Laplace sont :

direction ~F est perpendiculaire à ~ et à ~B ;

sens déterminé à l’aide de la règle de la main droite :

pouce → sens de Iindex → sens du champ magnétique ~B

majeur → sens de la force de Laplace ~F

intensité F = |I sinα| `B, où α est l’angle formé par ~ et ~B.


Origine

1er cas : le conducteur est au repos.

En absence d’un courant électrique, le mouvement des électrons est désordonné et la ré-sultante des forces magnétiques sur ces électrons est nulle. Lorsqu’on établit un courant, ledéplacement des électrons est parallèle au conducteur et dans le sens contraire du courant(figure 7.16).

B B

e≠

f

vI

F

˛ ¸

ı

Figure 7.16 – Conducteur au repos dans un champ magnétique

La force de Laplace est la résultante des forces magnétiques exercées sur les électrons enmouvement dans portion de longueur ` du conducteur qui se trouve dans le champ magné-tique :

~F =∑

q ~v × ~B = −(∑

e)~v × ~B.

Le vecteur vitesse d’un électron s’écrit ~v = −v~ı, où ~ı est le vecteur unitaire parallèle auconducteur et orienté dans le sens du courant. Il vient :

~F = (∑

e) v~ı× ~B.

La somme s’étend sur tous les électrons en mouvement dans la portion du conducteur. Cettecharge Q va traverser la section délimitant le conducteur en un temps t :∑

e = Q = I t

où t est le temps que met un électron pour traverser le conducteur :

t = `

v.

L’expression de la force résultante devient :~F = Qv~ı× ~B = I t v~ı× ~B = I `~ı× ~B.

En remarquant que ~= `~ı, on retrouve l’expression de la force de Laplace :~F = I ~× ~B.

Cette force exercée sur les électrons est transmise au conducteur.

2e cas : le conducteur est en mouvement.

Lorsque le conducteur est parcouru par un courant continu, il existe également une forceélectrique qui s’exerce sur l’électron (figure 7.17). La résultante des forces magnétique etélectrique sur chaque électron est perpendiculaire au conducteur et contribue à la force deLaplace.

Le champ électrique qui apparaît dans le conducteur est nécessaire pour maintenir le courant.Lorsque le déplacement est dans le sens de la force de Laplace, le champ électrique et lecourant ont le même sens. En changeant le sens du déplacement, le sens du champ électriques’inverse.


B

I

F

e≠

E

vcond

Fel

f

(a) même sens

B

I

F

e≠

E

vcondFel

f

(b) sens contraires

Figure 7.17 – Déplacement d’un conducteur dans un champ magnétique

Applications

Une des applications les plus importantes est lemoteur électrique. Le dispositif de l’expériencesuivante est un moteur rudimentaire, appelé les rails de Laplace.

Expérience 7.9 Une tige en cuivre peut se déplacer en roulant sur des rails conducteurs(figure 7.18). Les rails sont disposés entre les branches d’un aimant en U et reliés à ungénérateur de courant.

BF

I

vcond

¸

Figure 7.18 – Les rails de Laplace

Observations :

• Lorsqu’on établit un courant électrique dans le circuit, la tige se met en mouvement.

• Le direction du déplacement est parallèle au rails.

• Le sens du déplacement change si :

– le sens du courant électrique est inversé ;


Conclusion :

La force de Laplace effectue un travail moteur pour mettre en mouvement la tige. Sa puissanceest :

P (~F ) = ~F · ~vcond = F vcond.


Une partie de l’énergie électrique fournie par le générateur est convertie en énergie mécanique.C’est le principe des moteurs à courant continu.

Figure 7.19 – Schema d’un moteur électrique

La plupart des moteurs moteurs électriques produisent un mouvement de rotation autourd’un axe fixe. Un moteur à courant continu est constitué de deux pièces principales (figure7.19) :

• le stator, un aimant fixe dont le rôle est de créer un champ magnétique ;

• le rotor, association de spires conductrices mobile autour d’un axe.

Les forces de Laplace exercées sur les portions de conducteur parallèles à l’axe tendent à fairetourner la spire dans le même sens autour de l’axe (figure 7.20a).

Après un demi-tour, le sens du courant doit être inversé pour que le sens de rotation soitinchangé. C’est le rôle du collecteur (figure 7.20b), association de deux demi-cylindres mé-talliques, séparés par un isolant, auxquels la spire est reliée. Les deux balais, le plus souventen graphite, assurent la liaison avec le générateur.

BI

F

(a) forces de Laplace

I

balai

(b) collecteur

Figure 7.20 – Principe de fonctionnement d’un moteur électrique

L’applet « moteur électrique1 » présente une simulation d’un moteur électrique constituéd’une spire tournant dans le champ d’un aimant en U.

1http://www.walter-fendt.de/ph14f/electricmotor_f.htm

http://www.walter-fendt.de/ph14f/electricmotor_f.htm


7.2.3 Exercices

Exercice 7.7 Déterminer dans les cas suivants la direction, le sens et l’intensité de la forcede Lorentz si v = 2 · 104 m/s, B = 0,1 T et |q| = 1,6 · 10−19 C :

Exercice 7.8 La direction du champ magnétique uniforme ~B est verticale, préciser, en lejustifiant, quel est son sens.


Exercice 7.9 En appliquant dans chaque cas la loi de Laplace, trouver les caractéristiquesmanquantes.

Exercice 7.10 Sous l’effet de la force de Laplace, la tige se déplace de (1) en (2).

1. Représenter la force de Laplace.

2. Exprimer le travail de la force de Laplace au cours du déplacement.



Exercice 7.11 On donne : AB = BC = CD = DA = 10 cm ; I = 5,0 A ; B = 450 mT.

1. Donner les caractéristiques des forces qui s’appliquent sur les tiges AB, BC, CD etDA. Les représenter.

2. Le cadre se met-il en mouvement sous l’action de ces forces ? Si oui, préciser son mou-vement.

Exercice 7.12 Une tige conductrice de longueur ` = 10 cm, parcourue par un courantd’intensité I = 3 A, fait un angle de 65 avec la direction d’un champ magnétique uniformede valeur B = 150 mT. Calculer la valeur de la force de Laplace qui s’applique sur la tige.

Exercice 7.13 Calculer la puissance développée par la force de Laplace qui déplace unetige de 7 cm, parcourue par un courant d’intensité I = 5 A, dans un champ magnétiqueperpendiculaire à la tige de valeur B = 220 mT, d’une distance de 10 cm en 1,2 s.

Exercice 7.14 Un conducteur est suspendu à l’aide de deux fils souples dans un champmagnétique. Un courant d’intensité I est établi dans le conducteur pour que la tension dansles fils soit nulle.

1. Déterminer le sens du courant. Exprimer l’intensité I en fonction de la masse volumiqueρ du conducteur, de sa section S, de l’intensité de la pesanteur g et de la valeur B duchamp magnétique.

2. Calculer I pour un conducteur en aluminium de section 100 mm2 dans un champ ma-gnétique de 200 mT.


Exercice 7.15 Un conducteur de masse m glisse sans frottement sur deux rail horizontauxécartés d’une distance d et placés dans un champ magnétique uniforme. Un courant d’intensitéI circule dans le conducteur et dans les rails.Déterminer le sens et la valeur de la vitesse du conducteur en fonction du temps s’il est aurepos à l’instant t = 0.

Exercice 7.16 Un fil en cuivre de longueur l = 50 cm est traversé par un courant d’intensitéI = 10 A. Il se trouve dans un plan horizontal et est perpendiculaire à la direction sud-nordmagnétique. L’inclinaison du champ magnétique terrestre est i = 60.Déterminer la direction et l’intensité de la force de Laplace.


Exercice 7.17 Un conducteur en cuivre de masse m = 100 g, de longueur OM = 25 cm,mobile autour de O, est placé entre les pôles d’un aimant en U. Il est parcouru par uncourant électrique d’intensité I = 2 A. La valeur du champ magnétique uniforme qui s’étendsur d = 4 cm est B = 0,8 T.

1. Représenter sur une figure les forces qui agissent sur le conducteur.

2. Déterminer le sens du courant électrique.

3. Calculer, à l’équilibre, l’angle θ entre le conducteur et la verticale.


7.3 Induction électromagnétique

Un courant électrique produit un champ magnétique. Le processus inverse est-il égalementpossible ? Joseph Henry (en 1830) et Michael Faraday (en 1831) réalisèrent indépendammentdes expériences qui montrèrent qu’il est possible de produire des effets électriques à partirde champs magnétiques. Ce phénomène, appelé induction électromagnétique, fut une desmajeures découvertes en vue de la production de l’électricité utilisée dans la vie de tous lesjours.

7.3.1 Mise en évidence expérimentale

Quelques expériences simples permettent de mettre en évidence les caractéristiques essen-tielles de l’induction électromagnétique.

Expérience 7.10 Une bobine reliée à un ampèremètre et un aimant droit sont en mouve-ment relatif (figure 7.21).

A

Figure 7.21 – Mouvement relatif d’une bobine et d’un aimant

Observations :

• Lorsque la bobine et l’aimant sont en mouvement relatif, un courant électrique d’inten-sité I circule dans la bobine.

déplacement

BBind

I

déplacement

B

Bind

I

Figure 7.22 – Sens du courant électrique dans la bobine

• Le sens du courant électrique dans la bobine change si :

– le sens du déplacement est inversé (figure 7.22) ;


• L’intensité I du courant dépend de la vitesse relative de la bobine et de l’aimant.


Interprétation :

La variation du champ magnétique au niveau de la bobine crée un courant induit dans labobine. Ce phénomène est l’induction électromagnétique.Le courant induit crée un champ magnétique induit ~Bind qui se superpose au champ créé parl’aimant.

Expérience 7.11 Considérons deux bobines immobiles disposées en vis-à-vis (figure 7.23).La bobine à droite, appelée bobine primaire ou inducteur, est reliée à une pile et à un interrup-teur. La bobine à gauche, appelée bobine secondaire ou induit, est reliée à un ampèremètre.

BBind

A

Ip

Is

Figure 7.23 – Une bobine inducteur et une bobine induit

Observations :

• À la fermeture de l’interrupteur, un bref courant induit Is apparaît dans la bobinesecondaire.

• Tant que le courant Ip reste constant, il ne se passe rien.

• Si on ouvre l’interrupteur, l’ampèremètre détecte un bref courant induit dans le sensopposé.

Interprétation :

Le courant Ip crée un champ magnétique ~B au niveau de la bobine secondaire. La variationde ce champ magnétique lors de la fermeture et puis lors de l’ouverture de l’interrupteur créeun courant induit dans la bobine secondaire.

Expérience 7.12 Une boucle circulaire de fil conducteur flexible est placée dans un champmagnétique uniforme de sorte que son plan soit perpendiculaire au vecteur champ (figure7.24). On déforme la boucle en tirant subitement sur deux points diamétralement opposés.

B

Bind B

I

Figure 7.24 – Déformation d’une boucle de fil conducteur flexible

Observation : lors de la déformation, un courant induit apparaît dans le fil conducteur.

Interprétation :

Le champ magnétique au niveau de la boucle est constant. La variation de l’aire de la surfacedélimitée par la boucle crée un courant induit.


Expérience 7.13 Une boucle circulaire de fil conducteur est placée dans un champ ma-gnétique uniforme de sorte que son plan soit perpendiculaire au vecteur champ (figure 7.25).On fait tourner le plan de la boucle par rapport à la direction du champ.

Bind

B

I

Figure 7.25 – Rotation d’une boucle de fil conducteur

Observation : lors de la rotation, un courant induit apparaît dans le fil conducteur.

Interprétation :

Le champ magnétique et l’aire de la boucle sont constants. La variation de l’orientation dela boucle par rapport à la direction du champ crée un courant induit.

7.3.2 Flux magnétique

Soit une boucle de fil conducteur placée dans un champ magnétique. Un courant induitapparaît dans cette boucle si au moins une des grandeurs suivantes varie :

• le champ magnétique au niveau de la boucle ;

• l’aire de la surface délimitée par la boucle ;

• l’orientation du plan de la boucle par rapport à la direction du champ.

Pour pouvoir expliquer ces résultats et formuler les lois de l’induction électromagnétique,nous allons définir une grandeur qui fait intervenir ces trois grandeurs.

Définition Le flux magnétique Φ à travers une surface plane ~S, plongée dans un champmagnétique ~B, uniforme sur toute la surface, est défini par le produit scalaire :

Φ = ~B · ~S = B S cosθ

où θ est l’angle formé par ~B et ~S.

L’unité de flux magnétique est le weber (Wb) : 1 Wb = 1 T m2.


S

B◊

(+)

Figure 7.26 – Flux magnétique à travers une surface plane

Remarques :

• Le vecteur ~S qu’on associe à la surface est perpendiculaire au plan de la surface, devaleur égale à l’aire de la surface et avec un sens déterminé par la règle de la maindroite (figure 7.26) :

pouce → sens du vecteur ~Sindex → s’appliquant sur le contour dans le sens positif.

• Le flux magnétique est proportionnel au nombre de lignes de champ traversant la sur-face.

• Pour calculer le flux magnétique à travers une bobine de N spires, on multiplie par Nle flux traversant une seule spire.

7.3.3 Lois de l’induction électromagnétique

Avec l’introduction du flux magnétique, le phénomène de l’induction électromagnétique peutêtre caractérisé par l’énoncé suivant.

Énoncé Un courant induit apparaît dans une boucle de fil conducteur placée dans un champmagnétique si le flux magnétique à travers cette boucle varie.

Considérons à nouveau l’expérience 7.10. Le physicien russe Heinrich Friedrich Lenz remarquaque le champ magnétique induit ~Bind, créé par le courant induit, s’oppose à la variation duflux magnétique Φ du champ ~B à travers la boucle :

• si Φ augmente, ~Bind et ~B ont des sens contraires ;

• si Φ diminue, ~Bind et ~B ont le même sens.

Lenz examina d’autres cas et arriva à la même conclusion. James Clerk Maxwell donna unénoncé plus général de la loi de Lenz.

Loi de Lenz Le sens du courant induit est tel que le flux magnétique qu’il crée s’oppose àla variation de flux magnétique qui le produit.

Remarque : la loi de Lenz est une conséquence de la conservation de l’énergie.

L’existence d’un courant induit est due à la force électromagnétique ~Fém qui effectue untravail sur une charge q en mouvement. Le travail de cette force par unité de charge sur un


tour complet d’une boucle de fil conducteur est appelé force électromotrice (f.é.m.), notée e.On peut donc écrire :

Wboucle(~Fém) = q e

avec :~Fém = q ~E + q ~v × ~B.

Michael Faraday découvrit la relation entre la f.é.m. et la variation du flux magnétique.

Loi de Faraday La force électromagnétique e induite dans une boucle de fil conducteurtraversée par le flux magnétique Φ est donnée par :

e = −dΦdt

Remarques :

• Si la boucle est remplacée par une bobine de N spires, la f.é.m. induite est :

e = −N dΦdt

où Φ est le flux magnétique à travers une spire.

• Le sens du déplacement pour le calcul du travail de la force électromagnétique doit êtrele sens positif choisi pour la boucle.

• Dans un fil conducteur parfait, le travail de la force électromagnétique est nul.

• Sur une portion immobile de la boucle, le travail de la force électromagnétique se réduitau travail du champ électrique.

7.3.4 Applications

Alternateur

Un alternateur est une machine rotative qui convertit l’énergie mécanique fournie au rotor enénergie électrique. Plus de 95 % de l’énergie électrique est produite par des alternateurs.

Expérience 7.14 Un aimant entraîné par un moteur à vitesse réglable tourne devant unebobine reliée à une lampe. Pour visualiser la tension aux bornes de la bobine on y brancheun oscilloscope en parallèle (figure 7.27).

Observations :

• Il apparaît une tension aux bornes de la bobine. On constate que cette tension varie defaçon sinusoïdale en fonction du temps. C’est une tension alternative.

• Lorsqu’on augmente la vitesse de rotation de l’aimant, la fréquence de variation de latension augmente aussi de même que sa valeur maximale.


vers l'oscilloscope

Figure 7.27 – Principe de fonctionnement d’un alternateur

Interprétation :

Le flux à travers la bobine varie lorsque l’aimant tourne. Cette variation crée un courantinduit dans le circuit et une tension aux bornes de la bobine. Plus la rapidité de la variationdu flux est grande, plus la f.é.m. est importante.

Transformateur

Un transformateur est constitué de deux bobines enroulées sur un même cadre en fer (figure7.28).

La bobine primaire de N1 spires est reliée à un générateur qui tension alternative U1. Unrécepteur est branché à la bobine secondaire de N2 spires.

I1

U1 U2

I2

cadre en fer

Figure 7.28 – Schéma d’un transformateur idéal

Le rôle du cadre est de canaliser les lignes de champ magnétique et de créer un circuit ma-gnétique dans lequel le flux magnétique Φ est le même à travers toute section du cadre.

Le flux variable créé à travers la bobine primaire est transmis à travers la bobine secondaire.La variation du flux crée un courant induit dans la bobine secondaire et une tension U2 à sesbornes.

Lorsqu’on néglige les fuites de flux magnétique et les pertes par effet Joule dans les bobines,la rapport des tensions vérifie la relation :

U2

U1= N2

N1.


Selon le rapport du nombre de spires, un transformateur permet d’élever ou d’abaisser unetension alternative.

En négligeant les pertes et les fuites, la puissance électrique est transmise intégralement.Soient respectivement I1 et I2 les intensités des courants dans les circuits primaire et secon-daire. L’égalité des puissance permet d’écrire :

Pél 2 = Pél 1 =⇒ U2 I2 = U1 I1

d’où le rapport des intensités :I2

I1= U1

U2= N1

N2.

Le rapport des intensités est l’inverse du rapport des tensions.

7.3.5 Exercices

Exercice 7.18 On éloigne le pôle nord d’un aimant d’un anneau métallique. Quel est lesens du courant induit dans l’anneau ?


Exercice 7.19 En déplaçant le fil mobile AB vers la droite, il apparaît un courant induitdans le sens représenté. Quel est le sens du champ magnétique dans lequel se trouve le circuit ?

Exercice 7.20 Deux boucles conductrices sont placées sur le même axe. On établit sou-dainement dans la grande boucle un courant I circulant dans le sens des aiguilles d’unemontre.

• Quel est le sens du courant induit dans la petite boucle ?

• Une force est-elle exercée sur la petite boucle ; si oui, dans quel sens ?


Exercice 7.21 Lorsque l’interrupteur est fermé dans le circuit du dessin, un courant estétabli dans la bobine et l’anneau métallique est projeté en l’air. Expliquer ce phénomène.


Exercice 7.22 Calculer le flux dans chacun des cas représentés sur les figures. On supposerale champ ~B uniforme et de valeur égale à 10 mT.

Exercice 7.22

Exercice 7.23 Existe-t-il un courant induit dans les circuits représentés sur la figure ? Sioui, donner son sens.

Exercice 7.23

Exercice 7.24

Exercice 7.24 On considère les deux circuits où les bobines sont placées en vis-à-vis.

1. Que se passe-t-il quand on pousse le bouton poussoir ? Expliquer.

2. S’il y a un courant électrique, donner son sens.

Exercice 7.25 Le flux à travers une spire évolue au cours du temps.

1. Expliquer quel phénomène se produit dans la spire.

2. Représenter l’évolution temporelle de la f.é.m. induite dans la spire.

Exercice 7.26 Une bobine, constituée de 100 spires carrées de 30 cm de côté, est placée


Exercice 7.25Exercice 7.26

dans le champ uniforme ~B d’un électroaimant, comme l’indique la figure. La résistance totaledu circuit est 1 kΩ.

1. Pour B = 0,1 T, calculer le flux Φ à travers la bobine.

2. Calculer la f.é.m. induite dans la bobine. Représenter l’évolution temporelle de l’inten-sité du courant induit dans la bobine et indiquer son sens sur un schéma.

Exercice 7.27 Une spire carrée de côté a = 5 cm se déplace sur l’axe x′x avec la vitessev = 5 m/s. La spire est repérée par l’abscisse x de son centre M . Elle pénètre dans une zonede champ ~B uniforme de valeur 0,2 T d’une largeur 2a.

Exercice 7.27

1. Calculer le flux Φ à travers la spire.

2. Représenter l’évolution temporelle e(t) de la f.é.m. induite dans la spire.

3. Représenter l’évolution spatiale e(x) de la f.é.m. induite dans la spire.

Exercice 7.28 Proposer des dispositifs qui pourraient fonctionner comme alternateur.

Exercice 7.29 Une tige en cuivre se déplace à la vitesse constante ~v sur des rails placésdans un champ magnétique uniforme ~B. Les rails, distants de `, sont reliés à une résistance.

• Expliquer pourquoi un courant induit apparaît dans le circuit. Déterminer le sens ducourant.

• Appliquer la loi de Faraday pour calculer la tension UAB aux bornes de la résistance enfonction de B, ` et v.

• Calculer la tension si B = 200 mT, v = 1,5 m/s et ` = 10 cm.


B ¸

A

B

v

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Classes 2B et 2C Athénée de Luxembourgold.al.lu › physics › deuxieme › robinet › cours.pdf · Chapitre1 Optiquegéométrique 1.1 Propagationdelalumière 1.1.1 L’œiletlesobjetslumineux