先導範例：機會遊戲

先導問題：丟一枚銅板一次，正面朝上的機率。

古典法 相對頻率法 主觀機率法

古典法

• 因為丟一枚銅板

一次，不是看到

正面朝上就是看

到反面朝上，

• 所以丟一枚銅板

一次，正面朝上

的機率是1/2。

相對頻率法

• 因為連續「丟一

枚銅板一次」

100次，發現55

次正面朝上，

• 所以丟一枚銅板

一次，正面朝上

的機率是55/100。

主觀機率法

• 因為「我有經

驗」，

• 所以我認為丟一

枚銅板一次，正

面朝上的機率是

0.55。

古典法

•因為「丟一枚銅板

兩次」不是看到

「HH」，「HT」，

「TH」，就是

「TT」，

•所以「丟一枚銅板

兩次，連續看到正

面朝上(HH)的機率」

是1/4。

相對頻率法

•因為連續「丟一枚

銅板兩次」100次，

觀察到30次「HH」，

•所以「丟一枚銅板

兩次，連續看到正

面朝上(HH)的機率」

是30/100。

主觀機率法

•因為「我有經驗」，

•所以「丟一枚銅板

兩次，連續看到正

面朝上(HH)的機率」

是0.2。

古典法

•因為…

•所以…

相對頻率法

•因為…

•所以…

主觀機率法

•因為…

•所以…

古典法

• ½會因時空改

變而改變？

•因為…所以…

相對頻率法

• 55/100會因時

空改變而改變？

•因為…所以…

主觀機率法

• 0.55會因時空

改變而改變？

•因為…所以…

1. 認識問題的「實驗」。(與賭局有關的機會遊戲就是一種實驗。)

2. 利用大家常說的「文字」或是「符號」定義實驗的結果(基本出象)。

3. 把這些代表基本出象的文字或是符號放入樣本空間內。 4. 算一算樣本空間內有多少基本出象。這個數字我們叫

做「樣本空間的點數」。注意，我們允許樣本空間內重複出現同樣的基本出象。

5. 找到對應問題的部分集合(事件)。 6. 算一算樣本空間內有多少基本出象。這個數字我們叫

做「事件的點數」。 7. 事件的機率＝「事件的點數」除以「樣本空間的點

數」。

1. 認識問題的「實驗」。(與賭局有關的機會遊戲就是一種實驗。)

2. 利用大家常說的「文字」或是「符號」定義實驗的結果(基本出象)。

3. 把這些代表基本出象的文字或是符號放入樣本空間內。

4. 算一算樣本空間內有多少基本出象。注意，我們允許樣本空間內重複出現同樣的基本出象。

5. 重複問題的實驗許多次。

6. 紀錄每一次實驗的結果，也就是紀錄觀察到哪一項實驗的基本出象。

7. 算一算多少次實驗的結果落入我們有興趣那個事件的集合內。

8. 答案就是第7項的數字除以第4項的數字。

古典法

1. 認識問題的「實驗」。(與賭局有關

的機會遊戲就是一種實驗。) 2. 利用大家常說的「文字」或是「符

號」定義實驗的結果(基本出象)。 3. 把這些代表基本出象的文字或是符

號放入樣本空間內。 4. 算一算樣本空間內有多少基本出象。

這個數字我們叫做「樣本空間的點數」。注意，我們允許樣本空間內重複出現同樣的基本出象。

5. 找到對應問題的部分集合(事件)。 6. 算一算樣本空間內有多少基本出象。

這個數字我們叫做「事件的點數」。 7. 事件的機率＝「事件的點數」除以

「樣本空間的點數」。

相對頻率法

1. 認識問題的「實驗」。(與賭局有關

的機會遊戲就是一種實驗。) 2. 利用大家常說的「文字」或是「符

號」定義實驗的結果(基本出象)。 3. 把這些代表基本出象的文字或是符

號放入樣本空間內。 4. 算一算樣本空間內有多少基本出象。

注意，我們允許樣本空間內重複出現同樣的基本出象。

5. 重複問題的實驗許多次。 6. 紀錄每一次實驗的結果，也就是紀

錄觀察到哪一項實驗的基本出象。 7. 算一算多少次實驗的結果落入我們

有興趣那個事件的集合內。 8. 答案就是第7項的數字除以第4項的

數字。

假如我們無法執行同一項實驗許多次，或許我們可以根據以往的經驗，諸如類似情況，直覺，或是專家的意見。比如說，某公司董事長或許認為某一次商業投機行為的成功機率是0.7。這時候根據以往類似行為的經驗、公司其他同仁的意見、跟其他與這一項投機行為有關的資訊，董事長個人相信這一次冒險有70%的信心會成功。

比如說，當董事長估計某一次商業行為的成功機率是0.7的時候，這個意思可能是，將來可能會遇上許多次類似的商業狀況，而這一類的冒險行為在這麼多次裡頭會有70%是成功的。或者說，董事長並不認為0.7是一種相對頻率，而認為0.7是「冒險投機只有一次生意」的信心。

估計方法 根據 答案的本質 需要數據？ 困難度 想像一下，什麼時候用？

古典法 銅板是公平的

理論值 NO

低

相對頻率法 「丟一枚銅板一次」好幾次

經驗值 YES 中

主觀機率法 經驗、專家的意見、…

主觀值 YES or NO 高

古典法之假設

古典法之深入研究

一般機率常用的符號

機率公設

基本出象都是「等可能發生的」。

「等可能發生的」的一般說法是「公平的」。

如果是一枚銅板，「公平的」的意思是 「出現正面」跟「出現反面」的機會是一樣的。

但是，「公平的」並不代表「出現人頭」的機率等於「出現梅花」的機率，因為「人頭」不一定是「丟一枚銅板一次」這一項實驗的出象；「梅花」也可能不是實驗的出象。

認識問題的「實驗」。這件事是根據古典法計算機率的關鍵因素。 利用大家常說的「文字」或是「符號」定義實驗的結果(基本出象)。然後把這些代表基本出象的文字或是符號放入樣本空間內。

比如說，「丟一枚銅板一次」。以下都是可能的「樣本空間」： {人頭，梅花} {人頭，人頭} {梅花，梅花} 但不論如何，我們一定可以說「丟一枚銅板一次」的樣本空間是{正面，反面}。

再看「擲一枚骰子一次」這個實驗。 實驗的樣本空間就是骰子上哪些「花色」所構成的集合。但是，為了方便，我們不會使用花色書寫樣本空間，而是利用「編號」。比如說，「點數一」這個花色用「1」代表；「點數二」這個花色用「2」代表；等等。

所以 如果手中的骰子，上面的「編號」是1, 2, 3, 4, 5, 6，那麼這時候樣本空間是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。

如果手中的骰子，上面的「編號」是1, 1, 1, 2, 2, 2，那麼這時候樣本空間是{1, 1, 1, 2, 2, 2}。

注意，我們借用集合的符號書寫樣本空間。但這時候，我們允許大刮號({})內出現重複的代號。這一點跟數學的集合是不一樣的。

通常，一般的教科書並不會考慮樣本空間不是{1, 2, 3, 4, 5, 6}的情形。因此，「樣本空間」與隨後定義的「事件」就是數學家口中的集合。至於像{1, 1, 1, 2, 2, 2}這樣的骰子，我們會用一種所謂「分配」(下一章的主角)描述之。

此時此刻我們正式定義跟古典法有關的專用術語：(請參考課堂用書的定義) 實驗：觀察不確定基本出象的一連串過程。 基本出象：實驗的結果。 樣本空間：基本出象構成的集合。 事件：樣本空間的部分集合。 事件的機率：用數字測量、事件發生的機會。

自己想像一些實驗，試著定義它的「基本出象」，然後帶出「樣本空間」、「事件」、跟「事件的機率」。記得常訓練自己「關連式學習法」。

樣本空間：S，{…}

事件： A，B，…

{…}

事件的機率： 基本出象：P(H)

非基本出象的一般事件： P(A)

P({…})

P(文字描述)

0 機率 1

所有基本出象的機率之總和等於1.0。

均質實驗 異質實驗

取後不放回 取後放回

第一次 第二次 第三次

H H H

T H H

H T H

T T H

H H T

T H T

H T T

T T T

答案是「YES」。右邊的技巧叫做「直交表」。

比如說，我們想要些下「丟一枚銅板三次」的樣本空間。

第一次，一次H一次T。

第二次，兩次H兩次T。

第三次，四次H四次T。

為什麼是這樣呢？你可以自行發現規則，或者想辦法找到答案。(提示：「丟一枚銅板三次」的基本出象總共有2*2*2=8個)

如果「三次」改成「四次」，那就是

第一次，一次H一次T。

第二次，兩次H兩次T。

第三次，四次H四次T。

第四次，八次H八次T。

古典法

出現了

機率公設

相對頻率

法來了 重複？

主觀機率

法也來了

太主觀了！ 貝氏定理

被發現了

主觀加客

觀

貝氏學

派

機會遊

戲

實驗

基本出

象

樣本空

間

事件

事件的

機率

減法規

則

加法規

則

除法規

則

乘法規

則

總和機

率

貝氏定

理