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Classificação de Sistemas LTI
Segundo o comprimento da resposta ao impulso ℎ 𝑛 :
FIR (Finite Impulse Response):
ℎ 𝑛 = 0, 𝑛 < 𝑛1, 𝑛 > 𝑛2
IIR (Infinite Impulse Response): ℎ(𝑛) possui comprimento infinito
Segundo o procedimento do cálculo da saída:
Não-recursivo: utiliza apenas amostras do sinal de entrada
para gerar cada amostra da saída
Recursivo: o cálculo da resposta envolve amostras passadas
da própria resposta além de amostras do sinal de entrada
Classificação de Sistemas LTI
Os filtros FIR são, em geral, implementados por estruturas não-
recursivas, através do somatório (com número finito de termos):
𝑦 𝑛 = ℎ 𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘)
𝑛2
𝑘=𝑛1
Os filtros IIR são sempre implementados por estruturas recursivas.
Exemplo de implementação recursiva de um filtro FIR:
Seja ℎ 𝑛 =1
𝑀𝛿 𝑛 + 𝛿 𝑛 − 1 +⋯+ 𝛿 𝑛 −𝑀 + 1 .
Podemos calcular a saída y(𝑛) para uma entrada 𝑥(𝑛) de
forma não-recursiva:
𝑦 𝑛 =1
𝑀 𝑥(𝑛 − 𝑘)
𝑀−1
𝑘=0
ou, de forma recursiva:
𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛 − 1 +1
𝑀x n − x(n − M)
Filtros FIR com Fase Linear
Fase linear:
∠𝐻 𝑒𝑗𝜔 = −𝑛0𝜔 → 𝜏 𝜔 = −𝑑∠𝐻 𝑒𝑗𝜔
𝑑𝜔= 𝑛0
Podemos facilmente obter filtros FIR com fase linear, impondo simetria na
sua resposta ao impulso.
Esses filtros são classificados em 4 tipos, de acordo com o comprimento
da sua resposta ao impulso (par /ímpar) e ao tipo de simetria (par/ímpar):
Tipo I: ℎ(𝑛) simétrica com comprimento ímpar
ℎ 𝑛 = h 𝑁 − n , 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁, 𝑁 𝑝𝑎𝑟
Por exemplo, para 𝑁 = 4:
Filtros FIR com Fase Linear
A função de transferência deste filtro é:
𝐻 𝑧 = ℎ(𝑛)𝑧−𝑛4
𝑛=0
= h 0 1 + 𝑧−4 + h 1 𝑧−1 + 𝑧−3 + h(2)𝑧−2
A resposta em frequência, fazendo 𝑧 = 𝑒𝑗𝜔 na expressão acima, é:
𝐻(𝑒𝑗𝜔) = h 0 1 + 𝑒−𝑗4𝜔 + h 1 𝑒−𝑗𝜔 + 𝑒−𝑗3𝜔 + h(2)𝑒−𝑗2𝜔
= 𝑒−𝑗2𝜔 h 0 𝑒𝑗2𝜔 + 𝑒−𝑗2𝜔 + h 1 𝑒𝑗𝜔 + 𝑒−𝑗𝜔 + h(2)
= 𝑒−𝑗2𝜔 2h 0 𝑐𝑜𝑠 2𝜔 + 2h 1 𝑐𝑜𝑠 𝜔 + h(2)
A expressão geral, para um filtro de ordem 𝑁, é:
𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝑒−𝑗𝑁2𝜔 𝑎(𝑛)𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜔
𝑁/2
𝑛=0
onde
𝑎 0 = ℎ 𝑁/2 e 𝑎 𝑛 = 2ℎ 𝑁/2 − 𝑛 , 1 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁/2
Filtros FIR com Fase Linear
Tipo II: ℎ(𝑛) simétrica com comprimento par
ℎ 𝑛 = h 𝑁 − n , 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁, 𝑁 ímpar
Para 𝑁 = 5:
A expressão geral, para um filtro de ordem 𝑁, é:
𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝑒−𝑗𝑁2𝜔 𝑏(𝑛)𝑐𝑜𝑠 𝜔(𝑛 −
1
2)
(𝑁+1)/2
𝑛=0
onde
𝑏 𝑛 = 2ℎ (𝑁 + 1)/2 − 𝑛 , 1 ≤ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)/2
Filtros FIR com Fase Linear
Tipo III: ℎ(𝑛) anti-simétrica com comprimento ímpar
ℎ 𝑛 = −h 𝑁 − n , 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁, 𝑁 par
Em particular, para 𝑛 = 𝑁/2, ℎ 𝑁/2 = −h N/2 = 0
Para 𝑁 = 4:
A expressão geral, para um filtro de comprimento N, é:
𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝑒−𝑗(𝑁2𝜔−
𝜋2) 𝑐 𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛
𝑁/2
𝑛=1
onde
c 𝑛 = 2ℎ 𝑁/2 − 𝑛 , 1 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁/2
Filtros FIR com Fase Linear
Tipo VI: ℎ(𝑛) anti-simétrica com comprimento par
ℎ 𝑛 = −h 𝑁 − n , 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁, 𝑁 ímpar
Para 𝑁 = 5:
A expressão geral, para um filtro de comprimento N, é:
𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝑒−𝑗(𝑁2𝜔−
𝜋2) 𝑑 𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝜔(𝑛 −
1
2)
(𝑁+1)/2
𝑛=1
onde
d 𝑛 = 2ℎ (𝑁 + 1)/2 − 𝑛 , 1 ≤ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)/2
Atraso de Grupo dos Filtros FIR com Fase Linear
As respostas de fase dos filtros dos Tipos I e II podem ser escritas como:
∠𝐻 𝑒𝑗𝜔 = −𝑁
2𝜔 + 𝜑
e as dos filtros dos Tipos III e IV:
∠𝐻 𝑒𝑗𝜔 = −𝑁
2𝜔 +
𝜋
2+ 𝜑
onde 𝜑 = 0 ou 𝜑 = 𝜋, dependendo de 𝜔
Portanto, para os 4 tipos de filtros FIR de fase linear, o atraso de grupo é:
𝜏 𝜔 =𝑁
2
Localização dos Zeros dos Filtros FIR com Fase Linear
Para os filtros dos Tipos I e II:
𝐻 𝑧 = ℎ(𝑛)𝑧−𝑛 = ℎ 𝑁 − 𝑛 𝑧−𝑛 = 𝑧−𝑁𝐻 𝑧−1𝑁
𝑛=0
𝑁
𝑛=0
Para os filtros dos Tipos III e IV:
𝐻 𝑧 = ℎ(𝑛)𝑧−𝑛 = −ℎ 𝑁 − 𝑛 𝑧−𝑛 = −𝑧−𝑁𝐻 𝑧−1𝑁
𝑛=0
𝑁
𝑛=0
Localização dos Zeros dos Filtros FIR com Fase Linear
Podemos então enumerar as seguintes propriedades dos zeros de um
filtro FIR de fase linear:
i. Se 𝑧0 é um zero de 𝐻(𝑧), 𝑧0−1 também é. Além disso, se ℎ 𝑛 é
real, zeros complexos ocorrerão em pares complexos conjugados e,
portanto, 𝑧0∗ e 𝑧0
∗ −1 também serão zeros de 𝐻 𝑧 . ii. Filtros do Tipo II possuem um zero em 𝑧 = −1, pois 𝐻 −1 =
−1 −𝑁𝐻 −1 = −𝐻 −1 = 0. Portanto, estes filtros não realizam
funções passa-altas.
iii. Filtros do Tipo III e IV possuem um zero em 𝑧 = 1, pois 𝐻 1 =−1 −𝑁𝐻 1 = −𝐻 1 = 0. Portanto, estes filtros não realizam
funções passa-baixas.
iv. Filtros do Tipo III possuem um zero em 𝑧 = −1, pois 𝐻 −1 =− −1 −𝑁𝐻 −1 = −𝐻 −1 = 0. Portanto, estes filtros não realizam
funções passa-altas.
Filtros IIR Passa-Tudo
Não é possível projetar filtros IIR causais e estáveis com fase exatamente
linear.
Em geral, um filtro 𝐺 𝑧 é projetado para satisfazer uma determinada
resposta em frequência de módulo e a fase não-linear é corrigida por um
filtro equalizador de fase 𝐴(𝑧), colocado em cascata (𝐺 𝑧 A(z)) .
Este filtro deve ter resposta em frequência de módulo constante
( 𝐺 𝑒𝑗𝜔 = 𝐾 ) e, por isso, é chamado de filtro passa-tudo.
A função de transferência de um filtro passa-tudo causal de ordem 𝑀 com
coeficientes reais é da forma:
𝐴 𝑧 =𝑎𝑀+𝑎𝑀−1𝑧
−1+⋯+𝑎1𝑧−(𝑀−1)+𝑧−𝑀
1+𝑎1𝑧−1+⋯+𝑎𝑀−1𝑧−(𝑀−1)+𝑎𝑀𝑧−𝑀
Filtros IIR Passa-Tudo
Podemos reescrever 𝐴(𝑧) como:
𝐴 𝑧 =𝑧−𝑀𝐷(𝑧−1)
𝐷(𝑧) = 𝑘
𝑧 − 1/𝜆𝑖𝑧 − 𝜆𝑖
𝑀
𝑖=1
Portanto, se 𝐴 𝑧 tiver um polo em 𝜆𝑖 , terá necessariamente um zero em
𝜆𝑖−1.
Exemplo: 𝐴 𝑧 =0,81+0,9𝑧−1+𝑧−𝑀
1+0,9𝑧−1+0,81𝑧−2
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imagin
ary
Part
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-400
-300
-200
-100
0
Normalized Frequency ( rad/sample)
Phase (
degre
es)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.5
0
0.5
1
Normalized Frequency ( rad/sample)
Magnitude (
dB
)
Filtros IIR de Fase Mínima
Um sistema 𝐻(𝑧) é chamado de fase mínima se todos os zeros de sua
função de transferência estiverem dentro do círculo unitário.
Se todos os zeros de 𝐻(𝑧) estiverem fora do círculo unitário, o sistema é
chamado de fase máxima.
Se 𝐻(𝑧) tiver zeros fora e dentro do círculo unitário, o sistema é chamado
de fase mista.
Os sistemas de fase mínima são os que respondem mais rapidamente à
uma dada entrada.
Filtros IIR de Fase Mínima
Exemplos:
𝐻 𝑧 =2(1 + 0,3𝑧−1)(1 − 0,4𝑧−1)
(1 − 0,2𝑧−1)(1 + 0,5𝑧−1)
𝐻 𝑧 =2(1 + 0,3𝑧−1)(0,4 − 1𝑧−1)
(1 − 0,2𝑧−1)(1 + 0,5𝑧−1)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
5
10
15
20
25
Normalized Frequency ( rad/sample)
Phase (
degre
es)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12
4
6
8
10
12
Normalized Frequency ( rad/sample)
Magnitude (
dB
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
50
100
150
200
Normalized Frequency ( rad/sample)
Phase (
degre
es)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12
4
6
8
10
12
Normalized Frequency ( rad/sample)
Magnitude (
dB
)
0 2 4 6 8 10 12-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
n (samples)
Am
plit
ude
Impulse Response
0 2 4 6 8 10 12-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
n (samples)
Am
plit
ude
Impulse Response
Filtros IIR de Fase Mínima
𝐻 𝑧 =2(0,3 + 𝑧−1)(1 − 0,4𝑧−1)
(1 − 0,2𝑧−1)(1 + 0,5𝑧−1)
𝐻 𝑧 =2(0,3 + 𝑧−1)(0,4 − 𝑧−1)
(1 − 0,2𝑧−1)(1 + 0,5𝑧−1)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200
-150
-100
-50
0
Normalized Frequency ( rad/sample)
Phase (
degre
es)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12
4
6
8
10
12
Normalized Frequency ( rad/sample)
Magnitude (
dB
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200
-100
0
100
200
Normalized Frequency ( rad/sample)
Phase (
degre
es)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12
4
6
8
10
12
Normalized Frequency ( rad/sample)
Magnitude (
dB
)
0 2 4 6 8 10 12-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
n (samples)
Am
plit
ude
Impulse Response
0 2 4 6 8 10 12-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
n (samples)
Am
plit
ude
Impulse Response
Sistemas Inversos
Dois sistemas LTI, com respostas ao impulso ℎ1(𝑛) e ℎ2(𝑛), são inversos
um do outro se
ℎ1 𝑛 ∗ ℎ2 𝑛 = 𝛿 𝑛
ou, no domínio Z,
𝐻1 𝑧 𝐻2 𝑧 = 1
Para um sistema causal com função de transferência racional
𝐻1 𝑧 =𝑃(𝑧)
𝐷(𝑧)
o sistema inverso tem função de transferência
𝐻2 𝑧 =𝐷(𝑧)
𝑃(𝑧)
Sistemas Inversos
Se 𝐻1 𝑧 for um sistema de fase mínima, o sistema inverso causal será
estável, pois os polos de 𝐻2 𝑧 estarão dentro do círculo unitário.
Se 𝐻1 𝑧 for um sistema de fase não mínima, o sistema inverso será
instável se causalidade for imposta.
Equalização de canais de fase não-mínima:
Para 𝐻1 𝑧 de fase não mínima, podemos escrever
𝐻1 𝑧 =𝑃𝑖(𝑧)𝑃𝑜(𝑧)
𝐷(𝑧)
Multiplicando 𝐻1 𝑧 por
𝐴 𝑧 =𝑧𝑀𝑃0(𝑧
−1)
𝑃0(𝑧)
Sistemas Inversos
Obtém-se o sistema de fase mínima 𝐻1 𝑧
𝐻1 𝑧 =𝑧−𝑀𝑃𝑖(𝑧)𝑃0(𝑧
−1)
𝐷(𝑧)
para o qual o sistema inverso causal
𝐻2 𝑧 =1
𝐻1 𝑧
é estável.
É fácil verificar que
𝐻1 𝑧 𝐻2 𝑧 = 1/𝐴 𝑧
Portanto, utilizando-se 𝐻2 𝑧 como equalizador para um canal 𝐻1 𝑧 ,
cancela-se a distorção de amplitude. A distorção de fase pode
ser reduzida com um equalizador de fase (filtro passa-tudo).