CLAVE-101-4-M-1-00-2018

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CURSO: Matemática Básica 1

CÓDIGO DEL CURSO: 101

TIPO DE EXAMEN: Examen Final

NOMBRE DEL AUXILIAR Edgar Hurtarte

FECHA: 11 de mayo 2018

SEMESTRE: Primer semestre

HORARIO DE EXAMEN: 8:00-10:00

CLAVE CLAVE-101-4-M-1-00-2018

CLAVE-101-4-M-1-00-2018

Examen Final

Temario A

Tema 1: (15 puntos)

La siguiente figura muestra la gráfica de una

función trigonométrica f trazada en un

período. Encuentre la amplitud, período,

desplazamiento de fase. Halle la fórmula

correspondiente.

Tema 2: (20 puntos)

La sección transversal de un tanque es un triángulo isósceles invertido, con

altura de 12 pies y una base de 6 pies, y su longitud es de 30 pies.

Inicialmente, hay 100 pies3 de agua dentro del tanque y se está llenando a

razón constante de 10 pie3/min. Encuentre:

a. El tiempo en el que se llena completamente.

b. Una función que exprese la altura h del agua en términos del tiempo.

c. El tiempo que tardará para que la altura sea de 8 pies.

Tema 3: (20 puntos)

Un topógrafo desea encontrar la distancia entre

dos puntos inaccesibles A y B. Se seleccionan

los puntos C y D, que están a una distancia de

120 metros entre sí, desde los que es posible ver

A y B. Luego se miden los siguientes ángulos:

  115ºACD ,   92ºACB ,   125ºBDC ,

  100ºBDA . Determine la distancia AB.

Tema 4: (30 puntos)

a. Resuelva la ecuación: 24cos sen(2 )    para 0,2x x

b. Resuelva la ecuación: 1/6 1/31 3( 1) 2( 1)x x x

c. Demuestre la identidad trigonométrica: sen cos1 cot  1 ta

sen cos

n x x

x x

x x

Tema 5: (15 puntos)

Se sabe que la trayectoria de la Luna alrededor de la Tierra es una elipse

que tiene una excentricidad de 0.0549, la distancia del foco al vértice más

cercano es 356,425 km. Con esa información determine una ecuación con

centro en el origen para la trayectoria de la Luna. Dibuje la gráfica

indicando los vértices y los focos.

1 2 3 4 5 6

-2

0

2

4

6

x

y

A

B

C D120 m

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SOLUCIÓN DEL EXAMEN

Tema 1: 15 puntos

Primero hay que analizar la gráfica, para saber si se está trabajando con la

gráfica del seno o coseno

Como se logra observar la gráfica que se asemeja a la del problema es la verde,

la cual corresponde al coseno.

1 2 3 4 5 6

-2

0

2

4

6

x

y

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Segundo, se procede a calcular la amplitud de la gráfica.

Para poder calcular la amplitud se procede a bajar la gráfica al eje x un total de

dos unidades, tal como se ve a continuación

Entonces se procede a establecer que la amplitud es 3, debido a que la amplitud

es la distancia que hay desde el eje hasta el punto máximo de la curva tal como

se ve en la flecha azul

Tercero, para poder encontrar el periodo para dicha grafica se procede a restar

desde el primer punto donde empieza la gráfica hasta el último

Entonces se procede a hacer la siguiente operación P= 5-1 esto nos da como

resultado que el periodo es igual a 4

Cuarto, se procede a encontrar los desplazamientos

Desplazamiento horizontal no hay presente, caso contrario al desplazamiento

vertical el cual si existe y previamente fue determinado al momento que se bajó la

gráfica 2 unidades, hasta que llego al eje

Quinto, se procede a encontrar el factor B de desplazamiento

𝑪

𝑩= 𝑷 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑩 =

𝑪

𝑷 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑩 =

𝟐𝝅

𝟒=

𝝅

𝟐

1 2 3 4 5 6

-2

0

2

4

6

x

y

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Ultimo paso es que todos los datos que se obtuvieron anteriormente son metidos

a la ecuación del correspondiente al coseno

𝒚 = 𝑨𝑪𝒐𝒔(𝑩𝒙 + 𝑪) + 𝑫

Donde

A= Amplitud

B y C = Factores de desplazamiento Horizontal

D = Desplazamiento Vertical

Entonces

𝒚 = 𝟑𝑪𝒐𝒔 (𝝅

𝟐𝒙) + 𝟐

Tema 2: (20 puntos)

Primero procedemos a dibujar la sección transversal del tanque

Luego de dibujarlo, procedemos a responder las preguntas con la ayuda de los

datos que se nos presentan como el largo, el volumen de agua que este tiene y

también el caudal

1. Tiempo en el que se llena completamente

Primero se procede a calcular el volumen total del tanque, esto con la ayuda de las

dimensiones de su largo, ancho y fondo

𝑉𝑜𝑙 = (6)(12)(30) = 2160𝑓𝑡2

Luego se procede a calcular el tiempo mediante la fórmula del caudal:

𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 =𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛

𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

Se hace el despeje correspondiente, y se colocan los datos correspondientes al volumen

del tanque y también al caudal que previamente nos dieron.

𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 =𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛

𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 =

2160

10 = 216 𝑚𝑖𝑛

6ft

12 ft

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2. Una función que exprese la altura h del agua en términos del tiempo

Primero se procede a utilizar la fórmula del caudal previamente explicada

𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 =𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛

𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

Y como el problema pide que se exprese la altura h en términos del tiempo, se procede

a despejar la ecuación. Y a agregar los datos que conocemos como los son el caudal y

las dimensiones del tanque.

𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 =𝐵𝑥𝐻𝑥𝐿

𝑇 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐻 =

𝑄 𝑥 𝑇

𝐵 𝑥 𝐿 =

10𝑇

(6)(30) =

𝑇

18

3. El tiempo que tardara para que la altura sea de 8ft

Este inciso se puede resolver utilizando la fórmula del caudal o bien utilizando la

expresión obtenida con anterioridad

Utilizando Formula del Caudal, se despeja en función del tiempo y se agregan los

valores solo que esta vez se modifica el volumen, en lugar de agregar los 12ft del tanque

solo utilizamos 8ft

𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 =(6)(8)(30)

10= 144𝑚𝑖𝑛

Utilizando Expresión Anterior, ya que tenemos una altura despejamos en función del

tiempo

𝐻 =𝑇

18 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑇 = (18)(8) = 144 𝑚𝑖𝑛

Tema 3: (20 puntos)

Para poder trabajar este problema es necesario primero, localizar los ángulos

que menciona el problema.

A

B

C D120 m

115°

92°

100°

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Luego por medio de correspondencia de ángulos, procedemos a encontrar los

ángulos faltantes en la figura. Y también con la ayuda de los dos ángulos se

procede a encontrar el ángulo faltante como se ve a continuación

∅ = 𝟏𝟏𝟓 − 𝟗𝟐 = 𝟐𝟑°

𝜷 = 𝟏𝟐𝟓 − 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟓°

NOTA: el color de los ángulos va a indicar que ángulos pertenecen a los distintos

lugares y los ángulos encontrados anteriormente están color negro y rojo

respectivamente y el morado es un ángulo α

entonces luego de haber distribuido los ángulos se procede a encontrar los

ángulos α que son los que están de acuerdo a la figura están en color morado.

Entonces como se sabe que la sumatoria de los ángulos internos de un triángulo es

igual a 180° y como ya tenemos separada la figura en 4 triángulos procedemos a

encontrar α de esta manera, mediante la siguiente formula.

𝜶 = 𝟏𝟖𝟎 − (𝟐𝟓 + 𝟐𝟑) = 𝟏𝟑𝟐

Luego de encontrar este ángulo, se procede a encontrar uno de los lados del triángulo

el cual está representado en la figura de color rosado, para ello se utiliza la ley de senos,

en esta ley se va a relacionar un lado con respecto a un ángulo que se encuentre en su

dirección, en este caso se procede a relacionar el ángulo de 25 grados, representado

de color rojo con el lado rosado y el ángulo de 132 grados con la medida de 120m

𝑠𝑒𝑛(132)

120=

𝑠𝑒𝑛(25)

𝐿𝑟

𝑙𝑟 =𝑠𝑒𝑛(25) ∗ 120

𝑠𝑒𝑛(132)= 68 𝑚

A

B

C D120 m

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Pero como la distancia que se necesita es la de AB se procede a encontrarla utilizando

la relación del lado rosado y ahora relacionándolo con el lado anaranjado y el angulo

que está en su dirección.

𝑠𝑒𝑛(100)

68=

𝑠𝑒𝑛(92)

𝐿𝑎𝑛

𝑙𝑟 =𝑠𝑒𝑛(92) ∗ 68

𝑠𝑒𝑛(100)= 69 𝑚

Y ahora como ya se tiene el valor del lado anaranjado y del ángulo con el que se va a

relacionar, este puede relacionarse con el lado AB que es que al principio pedían y

también con el ángulo α que ya habíamos encontrado.

𝑠𝑒𝑛(23)

69=

𝑠𝑒𝑛(132)

𝐴𝐵

𝑙𝑟 =𝑠𝑒𝑛(132) ∗ 69

𝑠𝑒𝑛(23)= 131 𝑚

Tema 4: (30 puntos)

Inciso A

24cos sen(2 )    para 0,2x x

Primero, de acuerdo a las expresiones equivalentes para las identidades

trigonométricas sabemos que

𝑪𝒐𝒔𝟐𝒙 =𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝟐

Entonces se procede a sustituir en la operación original.

𝟒 ∗𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙

𝟐= 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙

Se procede a simplificar

(𝟐 + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙) = (𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙)

Se elevan al cuadrado los dos lados y obtenemos la siguiente expresión.

𝟒 + 𝟖𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙

también utilizamos la siguiente relación trigonométrica para poder encontrar una

operación equivalente para el seno.

𝒔𝒆𝒏𝟐𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒙 = 𝟏

Despejamos para coseno y después lo sustituimos en la ecuación que ya

teníamos.

𝟒 + 𝟖𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒙 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒙

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Simplificamos

𝟑 + 𝟖𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟓𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒙 = 𝟎

Luego procedemos a hacer una sustitución

𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 = 𝒘

Entonces

𝟑 + 𝟖𝒘 + 𝟓𝒘𝟐 = 𝟎

Se encuentran las soluciones de la ecuación.

W1= -1

W2= -3/5

Luego se sustituyen estos valores en la ecuación de Cos2x =w, entonces

𝑪𝒐𝒔(𝟐𝒙) = −𝟏 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒙 = 𝝅

𝟐

𝑪𝒐𝒔(𝟐𝒙) = − (𝟑

𝟓) 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒙 = 𝟏. 𝟏𝟎

Luego procedemos a restar

𝝅

𝟐− 𝝅 =

𝟑𝝅

𝟐

Y entonces las soluciones para la ecuación son las siguientes

𝒙 = 𝟏. 𝟏𝟎,𝝅

𝟐, 𝝅,

𝟑𝝅

𝟐

Inciso B

1/6 1/31 3( 1) 2( 1)x x x

primero se procede a hacer una sustitución:

U= x+1

Luego se procede a dejar todo en términos de U:

𝒖𝟏𝟐 − 𝟑𝒖

𝟏𝟔 = 𝟐𝒖

𝟏𝟑

luego hacemos otra sustitución donde:

𝒀 = 𝒖𝟏

𝟔

Luego se procede a sustituir:

𝒀𝟑 − 𝟐𝒀𝟐 − 𝟑𝒀 = 𝟎

Se procede a encontrar las posibles soluciones:

Y= 0, Y=3, Y=-1

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Procedemos a realizar la prueba para ver si cumple sustituyendo las respuestas

en la ecuación dada, entonces llegamos a la conclusión que las soluciones son

Y=0 y Y=3

Entonces se procede a sustituir en la ecuación de Y en términos de U

𝟎 = 𝒖𝟏𝟔 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒖 = 𝟎

𝟑 = 𝒖𝟏𝟔 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒖 = 𝟕𝟐𝟗

Luego de hacer la sustitución procedemos a encontrar las soluciones de la

ecuación original

𝟎 = 𝒙 + 𝟏 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒙 = −𝟏

𝟕𝟐𝟗 = 𝒙 + 𝟏 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒙 = 𝟕𝟐𝟖

Inciso C

sen cos1 cot  1 ta

sen cos

n x x

x x

x x

Primero, hay que tener en mente las siguientes relaciones trigonométricas

𝑪𝒐𝒕 𝒙 =𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝒔𝒆𝒏 𝒙

𝑻𝒂𝒏 𝒙 =𝒔𝒆𝒏 𝒙

𝒄𝒐𝒔 𝒙

Entonces sustituimos en la ecuación original las siguientes identidades

trigonométricas

𝒔𝒆𝒏𝒙

𝟏 +𝒄𝒐𝒔 𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒙

−𝒄𝒐𝒔𝒙

𝟏 +𝒔𝒆𝒏 𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙

Procedemos a operar el denominador

𝒔𝒆𝒏𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝒔𝒆𝒏 𝒙

−𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏 𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙

Realizamos la operación de los extremos y obtenemos que

𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙

𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 −

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙

Como los denominadores son iguales procedemos solo a lo siguiente

𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙

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Se procede a factorizar el numerador

(𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙)(𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙)

𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙

Eliminamos los términos que son iguales y nos queda que

𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙

Tema 5: (15 puntos)

Para este problema es necesario primero extraer toda la información, primero

1. Trayectoria Elipse

2. Excentricidad 0.0549

3. Distancia del foco al vértice más lejano es de 356,425 km

Luego de haber sacado los datos, debemos de tomar en cuenta que la gráfica que

vamos a realizar va a ser una elipse y así como todo elemento a graficar, esta tiene

su ecuación.

𝒙𝟐

𝒂𝟐+

𝒚𝟐

𝒃𝟐= 𝟏

Entonces de acuerdo a la distancia del foco al vértice más lejano. Y también la

excentricidad

Vertice Vertice

Foco Foco

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Entonces de acuerdo a la gráfica mostrada se podemos obtener el término a que

se muestra en la formula, utilizando la distancia del foco al vértice más lejano y

la excentricidad

𝒂 =𝟑𝟓𝟔𝟒𝟐𝟓 − 𝟎. 𝟎𝟓𝟒𝟗

𝟐= 𝟏𝟕𝟖𝟐𝟏𝟐. 𝟒𝟕

Luego procedemos a encontrar C o el foco, utilizando la siguiente formula

𝒆 =𝒄

𝒂

Entonces sustituimos valores

𝟎. 𝟎𝟓𝟒𝟗 =𝒄

𝟏𝟕𝟖𝟐𝟏𝟐. 𝟒𝟕 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒄 = 𝟗𝟕𝟖𝟑. 𝟖𝟔

Se procede a sustituir valores en la fórmula de C

𝑪𝟐 = 𝑨𝟐 − 𝑩𝟐

Entonces sustituimos valores

𝟗𝟕𝟖𝟑. 𝟖𝟔𝟐 = 𝟏𝟕𝟖𝟐𝟏𝟐. 𝟒𝟕𝟐 − 𝑩𝟐

𝑩 = 𝟏𝟕𝟕𝟗𝟒𝟑. 𝟕𝟎𝟎

La ecuación para describir el movimiento del a luna seria la siguiente

𝒙𝟐

𝟏𝟕𝟖𝟐𝟏𝟐. 𝟒𝟕𝟐+

𝒚𝟐

𝟏𝟕𝟕𝟗𝟒𝟑. 𝟕𝟎𝟐= 𝟏