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Cálculo 4
Aula 23
Prof. Gabriel Bádue
Aplicações
✓ Teoria
𝐹 = −𝑘𝑥
✓ Teoria
Se ignorarmos qualquer força de resistência externa, pela Segunda Lei de Newton,
temos
ou
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Sua equação auxiliar é
mr2 + k = 0 com as raízes r = ωi, onde Assim, a solução geral é
x(t) = c1 cos ωt + c2 sen ωt
✓ Teoria
A solução geral pode ser representada por
x(t) = A cos(ωt + )
onde
Esse tipo de movimento é chamado movimento harmônico simples.
✓ Exemplos
Exemplo 1
Uma mola com uma massa de 2 kg tem comprimento natural de 0,5 m. Uma força
de 25,6 N é necessária para mantê-la esticada até um comprimento de 0,7 m. Se a
mola é esticada até um comprimento de 0,7 m e, em seguida, libertada com uma
velocidade inicial 0, encontre a posição da massa em qualquer momento t.
✓ TeoriaA seguir, estudaremos o movimento de uma massa presa a uma mola que está
sujeita a uma força de atrito ou a uma força de amortecimento.
Vamos supor que a força de amortecimento seja proporcional à velocidade da
massa e atue na direção oposta ao movimento.
força de amortecimento = –c
onde c é uma constante positiva, chamada constante de amortecimento.
✓ TeoriaA Equação 3 é uma equação diferencial linear de
segunda ordem e sua equação auxiliar é mr2 + cr + k = 0.
As raízes são
CASO I c2 – 4mk > 0 (superamortecimento)
CASO II c2 – 4mk = 0 (amortecimento crítico)
CASO III c2 – 4mk < 0 (subamortecimento)
✓ Teoria
Suponha que, em adição à força restauradora e à força de amortecimento, o
movimento da massa presa à mola seja afetado pela força externa F(t).
✓ Teoria
Uma força externa que ocorre comumente é uma função força periódica
F(t) = F0 cos ω0t onde ω0 ≠ ω =
Nesse caso, e na falta de uma força de amortecimento (c = 0), pede-se que você
use o método dos coeficientes indeterminados para mostrar que
Se ω0 = ω, então a frequência aplicada reforça a frequência natural e o resultado
são vibrações de grande amplitude. Esse é o fenômeno da ressonância .
✓ TeoriaO circuito indicado abaixo contém uma força eletromotriz E (proporcionada pela
pilha ou gerador), um resistor R, um indutor L e um capacitor C, em série. Se a carga
no capacitor no instante t é Q = Q(t), então a corrente é a taxa de variação de Q em
relação a t: I = dQ/dt. É sabido da física que as quedas de voltagem no resistor,
indutor e capacitor são dadas por
✓ TeoriaA lei de voltagem de Kirchhoff diz que a soma destas quedas de voltagem é igual à
voltagem fornecida:
Uma vez que I = dQ/dt, essa equação se torna
Se a carga Q0 e a corrente I0 forem conhecidas no instante 0, então temos as
condições iniciais Q(0) = Q0 Q(0) = I(0) = I0
✓ TeoriaUma equação diferencial para a corrente pode ser obtida derivando-se a equação
anterior em relação a t e lembrando que I = dQ/dt:
Exemplo 2
Determine a carga e a corrente no instante t em um circuito se R = 40 Ω, L = 1 H, C
= 16 10–4 F, E(t) = 100cos 10t, e a carga e a corrente inicial forem ambas 0.