CÁLCULO DE PROBABILIDADES Conceptos Básicos Tema 8.pdfOBJETIVOS - Conocer y comprender los conceptos básicos propios de la “Teoría de la Probabilidad”. - Manejar las diferentes

TEMA 8

CÁLCULO DE PROBABILIDADESConceptos Básicos

ÍNDICE INTRODUCCIÓN. CONCEPTOS BÁSICOS

AXIOMAS DE KOLMOGOROV. PROPIEDADES

REGLA DE LAPLACE

PROBABILIDAD CONDICIONADA. DEPENDENCIA

TEOREMAS DE PROBABILIDAD TOTAL Y DE BAYES

COMBINATORIA

VARIABLES ALEATORIAS

Distribuciones discretas. Propiedades

Algunas Variables Discretas importantes: Distribuciones Binomial e Hipergeométrica

Estadística DESCRIPTIVA

Estadística INFERENCIAL

Cálculo deProbabilidadesEstadística

Estadística I

Estadística I y II

Estadística II

INTRODUCCIÓN

El Cálculo de Probabilidades Teoría matemática del azar

Mide el grado de confianza de las inferencias realizadas

Permite tomar decisiones en situaciones bajo incertidumbre(riesgo).

Proporciona los conceptos, herramientas matemáticas ymodelos para describir el comportamiento del azar enfenómenos empíricos

Calcula probabilidades de sucesos relevantes, permiterealizar predicciones midiendo el grado de incertidumbreasociada a ellas y permite evaluar riesgos

INTRODUCCIÓNOBJETIVOS

- Conocer y comprender los conceptos básicos propios de la “Teoríade la Probabilidad”.- Manejar las diferentes aproximaciones para la asignación de laprobabilidad.- Calcular probabilidades condicionadas y caracterizar si dos o mássucesos son o no Independientes entre sí.- Utilizar las herramientas de Combinatoria con el objetivo deasignar la probabilidad de un determinado suceso en aquellassituaciones en las que sea aplicable la Regla de Laplace.- Aplicar los Teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes para elcálculo de determinadas probabilidades- Interpretar el significado de ambos teoremas en aplicaciones reales.

BREVE RESEÑA HISTÓRICAEl Cálculo de Probabilidades surge en Francia en el sigloXVII, merced a la labor realizada por matemáticos como:Pascal y Fermat. Éstos realizan el primer estudio sistemáticoen juegos de azar y desarrollan un método formal paracalcular la probabilidad de ganancia en este ámbito. Posteriormente, a lo largo de los siglos XVIII y XIX,varios científicos constarón que, otros fenómenos en elámbito de la genética, la astronomía como el naufragio de unnavío, o la edad de fallecimiento de una persona, sonfenómenos de “incertidumbre” y, a priori, formalmentesimilares a los observados en los juegos de azar. Podían, portanto, analizarse con las mismas técnicas.

INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN

Experimentos deterministas y estocásticos “Deterministas” cuando se puede predecir el resultado

antes de que se produzca. “Estocásticos” o aleatorios cuando no se puede predecir

con certeza el resultado Ejemplos: Deterministas:

• Una ley física: Ley de la Gravedad• Una reacción química

Estocásticos:• Lanzamiento de una moneda o un dado• Loterías

CONCEPTOS BÁSICOS

Espacio muestral (Ω) Espacio muestral es el conjunto de resultados posibles (o

valores) de un experimento

Suceso o Evento Suceso es cualquier subconjunto de elementos del espacio

muestral

Ω espacio muestral

A

CONCEPTOS BÁSICOS

Clasificación de sucesos Sucesos Simples o elementales: Cualquiera de los elementos

del espacio muestral. Sucesos Compuestos: Aquel que se obtiene operando

cualesquiera de los elementales. Sucesos especiales Suceso Imposible: Evento que no se observa nunca (∅) Suceso Seguro: Evento que ocurre siempre. Se identifica con

el espacio muestral (Ω) Nota: Forma de representarlo: Diagramas de Venn

Álgebra de sucesos

Objetivo: traducir el lenguaje coloquial a un lenguaje deprobabilidad

Sean A, B sucesos del espacio muestral

Suceso Unión A∪BSi ocurre A ó B

Suceso Intersección A∩BSi ocurren A y B

CONCEPTOS BÁSICOS

Ω espacio muestral

A

B

Ω espacio muestral

A

B

Ω espacio muestral

A

B

Suceso contrario Ac

Si no ocurre ASuceso diferencia A \ B

Si ocurre A pero no B

Suceso diferencia simétrica A ∆ BSi ocurre A pero no B óSi ocurre B pero no A(Ocurre A ó B pero no los dos) Ω

AB

Sucesos incompatiblesno pueden ocurrir simultáneamente

CONCEPTOS BÁSICOS

A \ B = A∩Bc = = A\(A∩B)

A∆B = (A\B) ∪ (B\A) == (A∩Bc) ∪ (B∩Ac) =

= (A∪B) \ (A∩B)A∩B = ∅

Ω espacio muestral

A

A’

Ω espacio muestral

A

B

Ω espacio muestral

A

B

CONCEPTOS BÁSICOS

Ac∩Bc = (A∪ B)c

Leyes de Morgan

Ac ∪ Bc = (A∩ B)c

No ocurre ni A ni B Ocurre, a lo más, unode los dos, A ó B

Ω espacio muestral

A

B

Ω espacio muestral

A

B

CONCEPTOS BÁSICOS

Un cliente realiza semanalmente pedidos de diversos productos (A, B,C,…) a un proveedor

Experimento aleatorio: Seleccionar aleatoriamente un pedido Suceso A = “El pedido incluye el producto A” Suceso B = “El pedido incluye el producto B”

Identificar los siguientes sucesos como combinaciones de A o B “el pedido incluye al menos uno de los dos productos” “el pedido incluye ambos productos” “el pedido incluye el producto A” “el pedido incluye el producto B pero no el A” “el pedido incluye el producto A y no el producto B” “el pedido incluye alguno de los dos productos” “el pedido incluye solo uno de los dos productos” “el pedido no incluye ni el producto A ni el producto B” “el pedido no incluye ambos productos”

Ejercicio

P(A) = Probabilidad del suceso A. Refleja una medida del grado de incertidumbre (o de confianza) en la ocurrencia del suceso A

P : ( ) [0,1] A P(A)℘Ω →

→

Se llama probabilidad a una función, P, que asigna a cada suceso A un número real P(A). Es una medida de la incertidumbreacerca de la posibilidad de ocurrencia de un suceso Formalmente, se trata de una función:

donde: Ω = Espacio muestral.℘ (Ω) = Conjunto de sucesos obtenidos operando los sucesos elementales (partes de Ω).

ProbabilidadCONCEPTOS BÁSICOS

Aproximación Clásica: Basada en la Regla de Laplace es válidaen situaciones “equiprobables”, pero no lo es en experimentos coninfinitos resultados.Aproximación Frecuentista: Basada en el comportamiento límitede la frecuencia relativa cuando el fenómeno se repite un númeroindefinido de veces. La probabilidad es una extensión lógica delconcepto de frecuencia (como límite o como valor esperado).Aproximación Bayesiana (probabilidad subjetiva): Recoge lacreencia individual y experta sobre la ocurrencia del evento(depende de la cantidad de información disponible).

CONCEPTOS BÁSICOSAproximaciones

Representan las condiciones mínimas para que unafunción:

determine consistentemente sus probabilidades. Axiomas:

A1: No NegatividadA2: NormalizaciónA3: Aditividad Finita Ai i = 1,…,nSi Ai∩Aj = ∅ ∀ i ≠ j ⇒

La terna (Ω,P(Ω),P) se denomina Espacio Probabilístico

CONCEPTOS BÁSICOS

1)( =ΩΩ PsegurosucesoelesSi

A ( ), p(A) 0∀ ∈℘Ω ≥

P : ( ) R A P(A)℘Ω →

→

Axiomas de Kolmogorov (1933)

( )∑==

=

nn

1ii

1ii APAP

CONCEPTOS BÁSICOSPropiedades

Sean (Ω, ℘(Ω),P) espacio probabilístico, ∀A, B∈℘(Ω).

1) P(AC) = 1-P(A)

2) P(∅) = 0

3) Si A ⊆ B entonces P(A) ≤ P(B) y P(B-A) = P(B)-P(A)

4) 0 ≤ P(A) ≤ 1

5) P(A∪B) = P(A)+ P(B)-P(A∩B)

⇒ P(A∪B) ≤ P(A) + P(B) (Desigualdad de Boole)

6) ( ) ( ) ( )

−++∩−=

=

−

= +===∑∑∑

n

1ii

n1n

1i

n

1ijji

n

1ii

n

1ii AP1...AAPAPAP

CONCEPTOS BÁSICOSPropiedades/Consecuencias

Aplicando las propiedades anteriores se deducetambién que:

P(A \ B) = P(A) – P(A ∩ B)

P(A ∆ B) = P(A ∪ B) – P(A ∩ B)

ó = P(A) + P(B) – 2P(A ∩ B)

P(Ac∩ Bc) = P((A∪ B)c) = 1 – P(A ∪ B)

P(Ac∪ Bc) = P((A∩ B)c) = 1 – P(A ∩ B)Leyes de Morgan

Sucesos Equiprobables: Cuando todos los sucesoselementales del Espacio Muestral Ω tienen la mismaprobabilidad. Si Ω=e1,…,en con p(ei)=1/n, ∀i=1,…,n. Sea el suceso A=e1,…,em con m<n, su probabilidadse obtiene como:

Ejemplo: Lanzamiento de un dado: Ω=1,2,3,4,5,6 Probabilidad de sacar un número par (p=1/2). Probabilidad de obtener un número < 3 (p=1/3).

CONCEPTOS BÁSICOSRegla de Laplace

nm

posiblescasosnúmerofavorablescasosnúmero)A(P ==

𝑃𝑃 = 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑂𝑂𝑛𝑛𝑛𝑂𝑂𝑂𝑂𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑂𝑂𝐼𝐼 = 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑂𝑂𝑛𝑛𝑛𝑂𝑂𝑂𝑂𝑛𝑛 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑝𝑝𝑝𝑝𝑂𝑂𝑅𝑅 = 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑂𝑂𝑛𝑛𝑟𝑟𝑛𝑛𝑁𝑁 = 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑛𝑛𝑂𝑂𝑛𝑛𝐷𝐷𝐷 = 𝑃𝑃𝑂𝑂𝑖𝑖𝑛𝑛𝑂𝑂𝑂𝑂𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑂𝑂𝑂𝑂𝑝𝑝𝐷𝐷2 = 𝑆𝑆𝑂𝑂𝑛𝑛𝑆𝑆𝑂𝑂𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑂𝑂𝑂𝑂𝑝𝑝𝐷𝐷3 = 𝑇𝑇𝑂𝑂𝑂𝑂𝑑𝑑𝑂𝑂𝑂𝑂𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑂𝑂𝑂𝑂𝑝𝑝

3536 343233 312930 282627 252324 222021 191718 161415 131112 1089 756 423 1

1ª

2ª

3ª

𝑃𝑃 𝑃𝑃 = 𝑃𝑃 𝐼𝐼 = 𝑃𝑃 𝑅𝑅 = 𝑃𝑃 𝑁𝑁 =𝐷2

𝑃𝑃 𝐷𝐷𝐷 = 𝑃𝑃 𝐷𝐷𝐷 = 𝑃𝑃 𝐷𝐷𝐷 =𝐷3

𝑃𝑃 𝑃𝑃 ∩ 𝐷𝐷𝐷 =𝑃𝑃 𝑃𝑃 ∪ 𝐷𝐷𝐷 =𝑃𝑃 𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶 =𝑃𝑃 𝑅𝑅 ∩ 𝑁𝑁 =𝑃𝑃 𝑅𝑅 ∪ 𝑁𝑁 =𝑃𝑃 𝐷𝐷𝐷 − 𝑃𝑃 =𝑃𝑃 𝑃𝑃 − 𝐷𝐷𝐷 =𝑃𝑃 𝑃𝑃 ∆ 𝐷𝐷𝐷 =

Ejercicio 1


3536 343233 312930 282627 252324 222021 191718 161415 131112 1089 756 423 1

1ª

2ª

3ª



𝑃𝑃 𝑃𝑃 ∩ 𝐷𝐷𝐷 = 636

= 16

𝑃𝑃 𝑃𝑃 ∪ 𝐷𝐷𝐷 =𝑃𝑃 𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶 =𝑃𝑃 𝑅𝑅 ∩ 𝑁𝑁 =𝑃𝑃 𝑅𝑅 ∪ 𝑁𝑁 =𝑃𝑃 𝐷𝐷𝐷 − 𝑃𝑃 =𝑃𝑃 𝑃𝑃 − 𝐷𝐷𝐷 =𝑃𝑃 𝑃𝑃 ∆ 𝐷𝐷𝐷 =

Ejercicio 1


3536 343233 312930 282627 252324 222021 191718 161415 131112 1089 756 423 1

1ª

2ª

3ª

𝑃𝑃 𝑃𝑃 ∩ 𝐷𝐷𝐷 = 636

= 16

𝑃𝑃 𝑃𝑃 ∪ 𝐷𝐷𝐷 = 𝑃𝑃 𝑃𝑃 + 𝑃𝑃 𝐷𝐷𝐷 − 𝑃𝑃(𝑃𝑃 ∩ 𝐷𝐷𝐷)= 12

+ 13− 1

6= 2

3𝑃𝑃 𝐷𝐷𝐷𝐶𝐶 =𝑃𝑃 𝑅𝑅 ∩ 𝑁𝑁 =𝑃𝑃 𝑅𝑅 ∪ 𝑁𝑁 =𝑃𝑃 𝐷𝐷𝐷 − 𝑃𝑃 =𝑃𝑃 𝑃𝑃 − 𝐷𝐷𝐷 =𝑃𝑃 𝑃𝑃 ∆ 𝐷𝐷𝐷 =



Ejercicio 1

PROBABILIDAD CONDICIONADASean A, B ∈℘(Ω), con p(B)>0Pregunta: Sabiendo que ha ocurrido B,¿ha cambiado la probabilidad de que ocurra A?La respuesta se obtiene con la ley de la probabilidadcondicionada, basada en las propiedades de las frecuenciasrelativas condicionadas:

donde P(A B) denota la probabilidad deA condicionado por B o que ocurra A si ha ocurrido B

p(A∩B)=p(A|B)p(B) Regla de multiplicación

( ) ( ))(

|Bp

BApBAp ∩=

E

A

B

PROBABILIDAD CONDICIONADA

La probabilidad condicionada cumple las propiedades de laprobabilidad, en particular:

Por tanto, si A1 y A2 son incompatibles

P(A|B)=1-P(Ac|B)

P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1∩A2|B)

P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)


Consecuencia: Regla Probabilidad Condicionada

Sean A1,...., An∈ ℘(Ω),

p(A1∩A2∩...∩An) = p(A1)p(A2|A1)p(A3|A1∩A2)...p(An|A1∩A2∩... An-1)

Regla de la Multiplicación

Ejercicio 2Hay 20 familias viviendo en una zona residencial. De ellas, 10 elaboraron sus

propias declaraciones de impuestos el año anterior, 7 la encargaron a unprofesional de la localidad y las 3 restantes a una gestoría

a) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a una familia que haya contratadoa un profesional?

b) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a dos familias que hayancontratado a un profesional?

c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a tres familias que hayancontratado a un profesional?

d) Si se seleccionan dos familias al azar ¿cuál es la probabilidad de que almenos una de ellas haya contratado a un profesional?

e) Si se seleccionan cinco familias al azar ¿cuál es la probabilidad de que almenos una de ellas haya contratado a un profesional?


DEPENDENCIA E INDEPENDENCIASean A y B∈ P(Ω).A y B son independientes si no tienen nada que ver el uno con elotro. En caso contrario, se dice que son dependientes.Matemáticamente, A y B son independientes si:

P(A∩B) = P(A)P(B)

Observar que si P(A) > 0 o P(B) > 0, la independencia esequivalente a que:

P(B|A) = P(B) y P(A|B) = P(A), respectivamente.

En general, A1,...,An son independientes si

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2.... · ·....·n nP A A A P A P A P A=

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA

Observaciones1) Si A y B son independientes, también lo son:

• Ac y B• A y Bc

• Ac y Bc

2) Si A y B son incompatibles (A∩B=∅) y P(A) > 0,P(B) > 0 entonces A y B NO son independientes,es decir, son dependientes.

Ejercicio 3Un inversor compró 100 acciones de un banco y 100 acciones deuna compañía eléctrica. La probabilidad de que las accionesbancarias aumenten su valor en un año es de 0.7, mientras que la deque lo hagan las acciones de la compañía eléctrica es de 0.6.Suponiendo independencia en la evolución de los precios de ambasacciones, calcula la probabilidad de:a) Ambos lotes de acciones aumenten su valor.b) Solo las acciones bancarias aumenten su valor.c) Al menos uno de los dos lotes de acciones aumente su valor.d) Ninguno de los dos lotes de acciones aumente su valor.


Ejercicio 4Una empresa pretende ofrecer seguros de vida a hombres de 60años por Internet. Las tablas de mortalidad indican que laprobabilidad de que un hombre de esa edad sobreviva otro año es0,98. Si el seguro se ofrece a cinco hombres de 60 años ysuponiendo independencia entre sus trayectorias vitales, calcular laprobabilidad de que:a) Los cinco hombres sobrevivanb) Por lo menos uno no sobrevivac) Ninguno sobrevivad) Únicamente dos de ellos sobrevivan


Ejercicio 4p(S) = 0,98

a) Los cinco hombres sobrevivan𝑝𝑝 𝑆𝑆1 ∩ 𝑆𝑆2 ∩ 𝑆𝑆3 ∩ 𝑆𝑆4 ∩ 𝑆𝑆5 = 0,98 × 0,98 × 0,98 × 0,98 × 0,98 = 0,985

b) Por lo menos uno no sobreviva𝑝𝑝 𝑆𝑆1𝑐𝑐 ∪ 𝑆𝑆2𝑐𝑐 ∪ 𝑆𝑆3𝑐𝑐 ∪ 𝑆𝑆4𝑐𝑐 ∪ 𝑆𝑆5𝑐𝑐 = 𝐷 − 𝑝𝑝 𝑆𝑆1 ∩ 𝑆𝑆2 ∩ 𝑆𝑆3 ∩ 𝑆𝑆4 ∩ 𝑆𝑆5 = 𝐷 − 0,985

c) Ninguno sobreviva𝑝𝑝 𝑆𝑆1𝑐𝑐 ∩ 𝑆𝑆2𝑐𝑐 ∩ 𝑆𝑆3𝑐𝑐 ∩ 𝑆𝑆4𝑐𝑐 ∩ 𝑆𝑆5𝑐𝑐 = 0,02 × 0,02 × 0,02 × 0,02 × 0,02 = 0,025


Ejercicio 5En una compañía el 80% de los empleados que trabajan en un departamento sonmujeres. Entre las mujeres, el 90% son universitarias, igual que el 70% de loshombres. Si se elige aleatoriamente un empleado de dicho departamento:a) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado sea una mujer universitaria?b) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado sea un hombre universitario?c) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado sea universitario?

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

𝑝𝑝 𝑀𝑀 = 0,8 𝑝𝑝 𝑈𝑈 𝑀𝑀 = 0,9 𝑝𝑝 𝑈𝑈 𝐻𝐻 = 0,78

a) 𝑝𝑝 𝑀𝑀 ∩ 𝑈𝑈 = 𝑝𝑝 𝑀𝑀 × 𝑝𝑝 𝑈𝑈|𝑀𝑀 = 0,8 × 0,9 = 0,72

b) 𝑝𝑝 H ∩ 𝑈𝑈 = 𝑝𝑝 𝐻𝐻 × 𝑝𝑝 𝑈𝑈|𝐻𝐻 = 0,2 × 0,7 = 0,14

c) 𝑝𝑝 𝑈𝑈 = 𝑝𝑝 𝑀𝑀 ∩ 𝑈𝑈 + 𝑝𝑝 H ∩ 𝑈𝑈 = 0,72 + 0,𝐷4 = 0,86

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

Sean B1,..., Bn un sistema completo de sucesos, de

forma que son incompatibles dos a dos (Bi∩Bj=∅)

∀i≠j y verifican que B1∪B2∪....Bn = Ω

Sea A∈ P(Ω), se tiene que:

( )∑=

=n

iii BPBAPAP

1)(|)(

B1 B2

B5

B6

B8

B3

B7

B4

B11B9 B10

A

B1 B2

B5

B6

B8

B3

B7

B4

B11B9 B10

B1 B2

B5

B6

B8

B3

B7

B4

B11B9 B10

A

B1 B2

B5

B6

B8

B3

B7

B4

B11B9 B10

B1 B2

B5

B6

B8

B3

B7

B4

B11B9 B10

Ejercicio 5 (continuación)En una compañía el 80% de los empleados que trabajan en un departamento sonmujeres. Entre las mujeres, el 90% son universitarias, igual que el 78% de loshombres. Si se elige aleatoriamente un empleado de dicho departamento:

d) Si el empleado es universitario, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?e) ¿Los sucesos “el empleado es una mujer” y “el empleado es universitario”

son independientes? ¿Por qué?

EJERCICIOS

d) 𝑝𝑝 𝑀𝑀|𝑈𝑈 = 𝑝𝑝(𝑀𝑀∩𝑈𝑈)𝑝𝑝(𝑈𝑈)

= 𝑝𝑝 𝑀𝑀 ×𝑝𝑝 𝑈𝑈|𝑀𝑀𝑝𝑝 𝑀𝑀 ×𝑝𝑝 𝑈𝑈|𝑀𝑀 +𝑝𝑝 𝐻𝐻 ×𝑝𝑝 𝑈𝑈|𝐻𝐻

= 0,8×0,90,8×0,9+0,2×0,7

= 0,720,86

= 0,837

e) 𝑝𝑝 𝑀𝑀|𝑈𝑈 ≠ 𝑝𝑝(𝑀𝑀)

TEOREMA DE BAYES

Sean B1,..., Bn un sistema completo de sucesos, de forma que,son incompatibles dos a dos (Bi∩ Bj = ∅ si i ≠ j) y verifican queB1∪ B2∪ .... Bn = Ω.

Sea A∈P(Ω), se tiene que:

donde:

P(Bi); i=1,...,n son las probabilidades a priori

P(A|Bi); i=1,...,n son las verosimilitudes

P(Bi|A);i=1,...,n son las probabilidades a posteriori

( )( )∑

=

= n

jjj

iii

BPBAP

BPBAPABP

1)(|

)()|(|

En un centro de especialidades médicas, semanalmente ingresa un50% de enfermos que padecen afección renal, un 30% conafección cardiaca, y un 20% con afección pulmonar.

Estudios recientes asignan una probabilidad de curación completaen afección renal de 0’7, en afección cardiaca de 0’8, y la de laafección pulmonar es 0’9.

a) Hallar la probabilidad de que un enfermo que entre en elhospital salga recuperado.

b) Calcular la probabilidad de que un enfermo que fue dado dealta sano, sufriera una afección renal.

EJERCICIOSEjercicio 6

Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%,respectivamente, del total de las piezas producidas en unafábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estasmáquinas son del 3%, 4% y 5%.a) Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad deque sea defectuosa.b) Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa;calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquinaB.c) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haberproducido la citada pieza defectuosa?

Ejercicio 7

EJERCICIOS

Ejercicio 8Cuando el proceso de fabricación de una empresa se encuentrabajo control, el 5% de las unidades producidas son defectuosas.Si el proceso se encuentra fuera de control, se producen un 30%de unidades defectuosas. La probabilidad de que el proceso seencuentre bajo control es 0,92.

Si elegida una unidad al azar, resulta ser defectuosa, calcular laprobabilidad de que el proceso de producción se encuentre bajocontrol.

EJERCICIOS

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

COMBINATORIA Es una parte de las Matemáticas que proporciona herramientaspara contar, de forma mecánica, el número total de formasdiferentes en las que un conjunto de “n” elementos se puedenasociar en grupos de tamaño “m”. Tiene gran utilidad paradeterminar el número total de casos favorables y de casos posiblesen la observación de un fenómeno, lo que permitirá asignar laprobabilidad de un suceso siguiendo la regla de Laplace.

Agrupaciones: Combinaciones, Variaciones y Permutaciones.

Para averiguar el tipo de agrupación, responder a las siguientespreguntas: 1.- ¿Cuántos objetos forman parte agrupación?¿todos?

2.- ¿Influye el orden?3.- ¿Pueden repetirse elementos?

¿En cada configuración

intervienen todos los elementos?

¿Influye el orden?

¿Hay elementos repetidos?PERMUTACIONES

PERMUTACIONESORDINARIAS

PERMUTACIONESCON REPETICIÓN

VARIACIONES

COMBINACIONES

¿Hay elementos repetidos?


VARIACIONESORDINARIAS

VARIACIONESCON REPETICIÓN

COMBINACIONESORDINARIAS

COMBINACIONESCON REPETICIÓN

SíSí

Sí

Sí

SíNo

NoNo

No

No

COMBINATORIA

Permutaciones sin repetición.- Dado un conjunto A con nelementos, A = a1, a2,…, an, llamaremos permutacionessin repetición de orden n, a todas las colecciones posibles,formando parte los n elementos de A, diferenciándose dos deestas colecciones únicamente en el orden de los elementosdentro de las colecciones. Denotaremos por Pn al númerototal de permutaciones sin repetición de n elementos y vienedado por:

Pn = n!

COMBINATORIA

Permutaciones con repetición.- Dado un conjunto A con nelementos, A = a1, a2,…, an, llamaremos permutacionescon repetición de n elementos, entre los cuales existen n1

iguales entre sí, n2 iguales entre sí y distintos de losanteriores y así sucesivamente hasta un número final nk deellos iguales entre sí, de forma que n1 + n2 + .. + nk = n, a lascolecciones distintas obtenidas con los n objetos. El númerode colecciones diferentes de este tipo es:

!!...!

1

,...,1

k

nnn nn

nPR k =

COMBINATORIA

Variaciones sin repetición.- Dado un conjunto A con nelementos, A = a1, a2,…, an, se llama variación sinrepetición de orden m, a todo agrupamiento de A con melementos. Diremos que dos variaciones sin repetición sondiferentes cuando tengan algún elemento diferente o cuando,teniendo los mismos elementos, el orden de colocación seadistinto. Denotaremos por Vn

m al número total de variacionessin repetición de orden m formadas a partir de n objetosdados y viene dado por:

)!(!mn

nV mn −=

COMBINATORIAVariaciones con repetición.- Dado un conjunto A con nelementos, A = a1, a2,…, an, se llama variación conrepetición de orden m a todas las agrupaciones de melementos que pueden hacerse con los n elementos de A.Dos variaciones con repetición se considerarán distintascuando tengan algún elemento diferente o bien cuando,teniendo los mismos, el orden de colocación en ambas nocoincide. En cada colección pueden aparecer elementosrepetidos. Denotaremos por VRm

n al número total devariaciones sin repetición formadas a partir de m objetosdados y viene dado por:

mmn nVR =

COMBINATORIACombinaciones sin repetición.- Dado un conjunto A con nelementos, A = a1, a2,…, an, y m un número natural tal que m ≤n, llamaremos combinaciones sin repetición de orden m, a todaslas colecciones posibles de m objetos de entre los elementos de Ay diremos que dos de esas colecciones son distintas comocombinaciones si tienen algún elemento diferente. En cadacolección no puede aparecer ningún elemento repetido. Podemosdecir también que cada combinación sin repetición de orden m esun subconjunto de A con m elementos. Denotaremos por Cm

n alnúmero total de combinaciones sin repetición de orden mformadas a partir de n objetos dados y viene dado:

!)!(!

mmnn

mn

C mn −

=

=

¿En cada configuración

intervienen todos los elementos?

¿Influye el orden?

¿Hay elementos repetidos?PERMUTACIONES



VARIACIONES

COMBINACIONES






SíSí

SíSíNo

NoNo

No

No

!!...!

1

,...,1

k

nnn nn

nPR k =

!nPn =

)!(!mn

nV mn −=

mmn nVR =

!)!(!

mmnn

mn

C mn −

=

=






Pn = n!

!!...!

1

,...,1

k

nnn nn

nPR k =

)!(!mn

nV mn −=

mmn nVR =

!)!(!

mmnn

mn

C mn −

=

=

Ejemplo 1: Seis ciclistas llegan al sprint en una prueba ¿De cuántas maneras se pueden colocar los tres primeros puestos?

)!(!mn

nV mn −= 120

)!36(!63

6 =−

=V

COMBINATORIA

Todos?Orden?

Repetidos?

No intervienen todos los elementosSí influye el orden

No se repiten

Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas en 5 asientos en un cine?

!nPn = 120!55 ==P

COMBINATORIA

Todos?Orden?

Repetidos?

Sí intervienen todos los elementosSí influye el orden

No se repiten

Ejemplo 3: Con las letras A A A B B, ¿cuántas palabras, con o sin sentido, pueden formarse?

10!2!3

!5!!...

! 2,35

1

,...,1 =⋅

=== PRnn

nPRm

nnn

m

COMBINATORIA

Todos?Orden?

Repetidos?

Sí intervienen todos los elementosSí influye el orden

Sí se repiten

Ejemplo 4:¿De cuántas formas se puede formar un grupo de trabajo de 6 alumnos de entre una clase de 27?

010.296!6)!627(

!276

27627 =

−=

=C

COMBINATORIA

Todos?Orden?

Repetidos?

No intervienen todos los elementosNo influye el orden

No se repiten

Ejemplo 5:¿De cuántas formas posibles se puede rellenar una quiniela de 15 partidos?

907.348.14315153 ==VR

COMBINATORIA

No intervienen todos los elementosSí influye el orden

Sí se pueden repetir

Todos?Orden?

Repetidos?

Ejercicio 2 (cont.)Hay 20 familias viviendo en una zona residencial. De ellas, 10 elaboraron suspropias declaraciones de impuestos el año anterior, 7 la encargaron a unprofesional de la localidad y las 3 restantes a una gestoríaf) Si se seleccionan cinco familias al azar, ¿cuál es la probabilidad de que

exactamente dos de ellas hayan contratado un profesional?g) Si se seleccionan cinco familias al azar, ¿cuál es la probabilidad de que

dos familias elaboren sus propias declaraciones, dos familias hayancontratado un profesional y la otra haya contratado una gestoría?

EJERCICIOS

Ejercicio 4 (cont.)Una empresa pretende ofrecer seguros de vida a hombres de 60años por Internet. Las tablas de mortalidad indican que laprobabilidad de que un hombre de esa edad sobreviva otro añoes 0,98. Si el seguro se ofrece a cinco hombres de 60 años ysuponiendo independencia entre sus trayectorias vitales,calcular la probabilidad de que:d) Solo uno sobrevivae) Solo dos sobrevivan

EJERCICIOS

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

VARIABLE ALEATORIA

- Ω es el espacio muestral correspondiente al experimento aleatorio- ℘(Ω) es el conjunto de todos los posibles subconjuntos del

espacio muestral- P es la función de probabilidad asociada al experimento

Una variable aleatoria es una cuantificación (asignaciónnumérica) de los resultados del experimento aleatorio.Matemáticamente, es una función:

X: Ω→ Rω→ X(ω)

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA

Dado un experimento aleatorio, definimos espacio probabilísticocomo la terna (Ω, ℘(Ω), P) donde:

VARIABLES ALEATORIASVariables aleatorias discretas y continuas

Existen, esencialmente, dos tipos de variables aleatorias:discretas y continuas

Una variable aleatoria se dice discreta si toma, conprobabilidad 1, un número finito o infinito numerable devalores de R (se pueden enumerar con los númerosnaturales)

Una variable aleatoria se dice continua, si puede tomarcualquier valor de los comprendidos dentro de un intervaloo en toda la recta real.


EXPERIMENTO: LANZAMIENTO DE DOS DADOS

Algunas variables aleatorias:

1. Puntuación conjunta2. Puntuación del primer dado3. Máxima puntuación4. Puntuación del primer dado menos la del segundo

VARIABLES ALEATORIASUn inspector de Hacienda elige de forma aleatoria lasdeclaraciones que revisará detalladamente. Sabemos quetiene un lote de 10 declaraciones, de las cuales hay 4erróneas y que va a seleccionar sólo 5 de ellas

Algunas variables aleatorias:1. Número de declaraciones erróneas2. Número de declaraciones correctas3. Número de correctas - Número de erróneas

Variantes:1. Con reemplazamiento2. Sin reemplazamiento


OBSERVACION DE LA COTIZACIÓN DE UN TITULO

Algunas variables aleatorias:

1. Cotización al cierre2. Máxima cotización3. Mínima cotización4. …

FUNCIÓN DE PROBABILIDADSea X una variable aleatoria discreta.Llamaremos soporte de X, DX, al conjunto de valores

que puede tomar la variable y cumple que PX∈DX=1.

Llamaremos función de probabilidad o de cuantía deX, pX, a la función dada por:

pX: DX → Rw → pX(w) = P(X=w)

Asigna la probabilidad de observar cada valor de X:Propiedades

1) La probabilidad es mayor o igual que cero:

2) La probabilidad total es 1:

x 0 ∀≥= xXP

1===∈ ∑∈ XDx

X xXPDXP

,...,...,, 21 nX xxxD =

( )ii xXPp ==

X = Puntuación 1er dadoDX = 1, 2, …, 6

X = Máxima puntuaciónDX = 1, 2, …, 6

X = Puntuación conjuntaDX = 2, 3, …, 12

FUNCIÓN DE PROBABILIDADEXPERIMENTO: LANZAMIENTO DE DOS DADOS

x p(X=x)

2 1/36

3 2/36

4 3/36

5 4/36

6 5/36

7 6/36

8 5/36

9 4/36

10 3/36

11 2/36

12 1/36

x p(X=x)

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

x p(X=x)

1 1/36

2 3/36

3 5/36

4 7/36

5 9/36

6 11/36

X = Número de declaraciones erróneasDX = 0, 1, …, 5

FUNCIÓN DE PROBABILIDADSeleccionar 5 declaraciones.Total de declaraciones: 10 (4 erróneas)Con reemplazamiento

x p(X=x)0 0,65 = 0,07776

1 5×0,41×0,64 = 0,2592

2 10×0,42×0,63 = 0,3456

3 10×0,43×0,62 = 0,2304

4 5×0,44×0,61 = 0,0768

5 0,45×0,60 = 0,01024


FUNCIÓN DE PROBABILIDADSeleccionar 5 declaraciones.Total de declaraciones: 10 (4 erróneas)Sin reemplazamiento

x p(X=x)0 6

𝐷0 ×59 ×

48 ×

37 ×

26 =

𝐷4𝐷 = 0.0238

1 5 ×4𝐷0 ×

69 ×

58 ×

47 ×

36 =

5𝐷𝐷 = 0.𝐷𝐷8𝐷

2 𝐷0 ×4𝐷0 ×

39 ×

68 ×

57 ×

46 =

𝐷0𝐷𝐷 = 0.476𝐷

3 𝐷0 ×4𝐷0 ×

39 ×

28 ×

67 ×

56 =


4 5 ×4𝐷0 ×

39 ×

28 ×

𝐷7 ×

66 =

𝐷4𝐷 = 0.0238

X = Número de declaraciones erróneas

FUNCIÓN DISTRIBUCIÓNSeleccionar 5 declaraciones.Total de declaraciones: 10 (4 erróneas)

x P con reemplazamiento P sin reemplazamiento0 0.0778 0.02381 0.2592 0.23812 0.3456 0.47623 0.2304 0.23814 0.0768 0.02385 0.0102 0

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

FUNCIÓN DISTRIBUCIÓNLa función de distribución de X, a la que llamaremos F, es

la probabilidad acumulada hasta el punto x y se define:F: R→R

x→F(x) = P(X≤x)=Propiedades1) 0 ≤ F(x) ≤ 1

2) F(x) es monótona no decreciente:

3) F(x) es continua a la derecha:

4) F(x) permite calcular la probabilidad de un intervalo:

1F(x)limy 0F(x)limxx

==+∞→−∞→

ℜ∈∀≤⇒< 212121 xx )x()x(x FFx

ℜ∈∀=→

a F(a)F(x)Limax

)()()( aFbFbXaP −=≤<

( ) ∑∑≤≤

==xx

ixx

iii

pxXP

CARACTERÍSTICAS DE UNA V.A.VALOR ESPERADOSea X una variable aleatoria discreta de soporte D y funciónde probabilidad pSe denomina valor esperado X o esperanza matemática deX, y se denota por E[X], a:

Es el promedio de los valores que tomaría la variable X sirepitiésemos infinitas veces el experimento aleatorio, por lotanto, se interpreta como el valor de X que esperamos obteneren cada repetición.También se denomina media y se denota por µ.

[ ] ( )Xx D

E X x P x∈

= ⋅∑

[ ]E Xµ =

CARACTERÍSTICAS DE UNA V.A.

Ejercicio 9Un agricultor ha adquirido una nueva parcela de terreno yquiere plantar trigo. El rendimiento obtenido dependerá de laclimatología de la próxima estación. Si el tiempo es lluvioso(probabilidad del 40%) obtendrá 60 toneladas de grano. Si eltiempo es normal (con una probabilidad del 20%), recogerá50 toneladas, mientras que si es seco sólo recolectará 40.Determina cuál es el rendimiento que espera obtener esteagricultor

CARACTERÍSTICAS DE UNA V.A.VARIANZA de X

Indica la dispersión o variabilidad de la variable.

Su raíz cuadrada se llama DESVIACIÓN TÍPICA:

( )∑− −=

==

iii pxEXVar X 222 )()( µσ µ

)(XVar=σ

PROPIEDADES

1) ∀c∈R E[c] = c

2) (Transformación lineal de la media)E[aX+b]=aE[X]+b ∀a,b∈R

3) (Fórmula abreviada de la varianza) Var(X) = E[X2]-µ2

4) (Transformación lineal de la varianza)Var[aX+b]=a2Var[X] ∀a,b∈R



Ejercicio 10Con la misma información del Ejercicio 9, determina cuál esel rendimiento que espera obtener este agricultor si losrendimientos estuvieran expresados en kilogramos (60.000kg cuando hay clima lluvioso, 50.000 kg con clima normal y40.000 kg con tiempo seco).

CASOS NOTABLESDISTR. UNIFORME DISCRETAEs la distribución soporte de la regla de Laplace.X se distribuye según una uniforme discreta en 1,...,N, y lopondremos X∼UD(1,N), si su soporte es D = 1,...,N y sufunción de probabilidad

Ejemplo: Lanzamiento de un dado

N1,2,...,con x N1xXP ===

21N]X[E +

=

121N]X[V

2 −=

Se tiene que:

CASOS NOTABLESEjercicio 11

a) Cuando lanzamos un dado y observamos la puntuación obtenida, ¿cuál es el valor esperado de dicha puntuación?

b) ¿Cuál es la varianza de la puntuación?

CASOS NOTABLESEXPERIMENTO DE BERNOUILLILlamaremos experimento de Bernouilli a un experimentocon dos resultados posibles mutuamente excluyentes, quedenominaremos éxito y fracaso.

El experimento es susceptible de ser repetido indefinidamentebajo las siguientes condiciones:a) Todas las realizaciones del experimento sonindependientes entre sí

b) La probabilidad de obtener éxito en cada realización semantiene constante

CASOS NOTABLESDISTRIBUCIÓN DE BERNOUILLISea p la probabilidad de éxito, y q la probabilidad de fracaso

p = P(“éxito”) and q = 1 ˗ p = P(“fracaso”)

Sea X = número de éxitos obtenidos al realizar dichoexperimento 1 vezX es una variable aleatoria discreta con soporte0,1Su distribución de probabilidad recibe el nombre de distribuciónde Bernouilli de parámetro p y lo pondremos X ∼ Be(p)

Su función de probabilidad es: p(x) = pxq1-x x∈0,1

Se tiene que: E(X) = p y Var(X) = pq

CASOS NOTABLESEjercicio 12

Un inspector de Hacienda elige de forma aleatoria lasdeclaraciones que revisará detalladamente. Sabemos que tieneun lote donde el 40% de las declaraciones son erróneas.Si el inspector escoge una declaración al azar:

a) ¿Qué distribución sigue la variable aleatoria “Númerode declaraciones erróneas”?

b) ¿Cuál es la esperanza de dicha variable?c) ¿Cuál es su varianza?

CASOS NOTABLESDISTRIBUCIÓN BINOMIALUna importante generalización de la distribución de Benoulli seda cuando se repite varias veces un experimento aleatorio condos posibles resultados, y las repeticiones son independientes.Sea X = número de éxitos obtenidos al realizar n experimentosde Bernouilli de forma independienteX es una variable aleatoria discreta con soporte 0,1,...,nSu distribución de probabilidad recibe el nombre de distribuciónbinomial de parámetros n y p y lo pondremos X∼ B(n,p)Su función de probabilidad viene dada por:

Se tiene que: E(X) = n·p y Var(X) = n·p·q

0,1,..., x n xnP X x p q x n

x−

= = ∈

CASOS NOTABLES

Ejercicio 13Un inspector de Hacienda elige de forma aleatoria lasdeclaraciones que revisará detalladamente. Sabemos que tieneun lote donde el 40% de las declaraciones son erróneas.Si el inspector escoge 5 declaraciones:

a) ¿Qué distribución sigue la variable “Número dedeclaraciones erróneas”?

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente dosdeclaraciones erróneas?

c) ¿Cuál es la esperanza de dicha variable?d) ¿Cuál es su varianza?

CASOS NOTABLES

Ejercicio 13 bisUn inspector de Hacienda elige de forma aleatoria lasdeclaraciones que revisará detalladamente. Sabemos que tieneun lote de 10 declaraciones, de las cuáles 4 son erróneas.Si el inspector escoge 5 declaraciones con reemplazamiento:





CASOS NOTABLESSeleccionar 5 declaraciones.Total de declaraciones: 10 (4 erróneas)Con reemplazamiento

x p(X=x)0 0,65 = 0,07776

1 5×0,41×0,64 = 0,2592

2 10×0,42×0,63 = 0,3456

3 10×0,43×0,62 = 0,2304

4 5×0,44×0,61 = 0,0768

5 0,45×0,60 = 0,01024

CASOS NOTABLESPropiedades de la Distribución Binomial1.X = número de éxitos en n ensayos independientes. X~ B(n, p)

Y = número de fracaso en esos mismos n ensayos: Y~ B(n, 1-p)Es evidente que X + Y = n

2.La distribución Bernoulli es un caso particular de la Binomial:Be(p)=B(1,p)

3.La distribución Binomial es la suma de n variablesindependientes de tipo Bernoulli con la misma probabilidad deéxito:

B(n,p)=Be(p)+…+Be(p)4.La suma de variables independientes de tipo Binomial y con el

mismo parámetro p es otra distribución Binomial cuyo primerparámetro es la suma de las repeticiones del experimento:

B(n1,p)+B(n2,p)=B(n1+n2,p)

CASOS NOTABLESDISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Sea una población finita de tamaño N en la que hay D elementosdefectuosos (por tanto N-D no defectuosos)Se extrae sin reemplazamiento una muestra de tamaño n.

Sea X = número de elementos defectuosos obtenidos en la muestraX es una variable aleatoria que recibe el nombre de distribuciónhipergeométrica y lo indicaremos como X∼ H(N, n, D)

Su función de probabilidad viene dada por:

Se tiene que:

D,nmin,...,N-Dn0,maxcon x

nN

xnDN

xD

)x(p +∈

−−

=

[ ]

−−

−==

11

NDn Var(X)y XE

NnN

ND

NDn

CASOS NOTABLESEjercicio 14Un inspector de Hacienda elige de forma aleatoria lasdeclaraciones que revisará detalladamente. Sabemos que tieneun lote de 10 declaraciones, de las cuales hay 4 erróneas.Si el inspector escoge aleatoriamente 5 declaraciones sinreemplazamiento:





CASOS NOTABLESSeleccionar 5 declaraciones.Total de declaraciones: 10 (4 erróneas)Sin reemplazamiento

x p(X=x)0 6

𝐷0 ×59 ×

48 ×

37 ×

26 =

𝐷4𝐷 = 0.0238

1 5 ×4𝐷0 ×

69 ×

58 ×

47 ×

36 =


2 𝟏𝟏𝟏𝟏 ×𝟒𝟒𝟏𝟏𝟏𝟏 ×

𝟑𝟑𝟗𝟗 ×

𝟔𝟔𝟖𝟖 ×

𝟓𝟓𝟕𝟕 ×

𝟒𝟒𝟔𝟔 =

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟕𝟕𝟔𝟔𝟐𝟐

3 𝐷0 ×4𝐷0 ×

39 ×

28 ×

67 ×

56 =


4 5 ×4𝐷0 ×

39 ×

28 ×

𝐷7 ×

66 =

𝐷4𝐷 = 0.0238

CASOS NOTABLESMUESTREO

Muestra: un subconjunto de individuos de una poblaciónMuestreo: seleccionar aleatoriamente una muestra de unapoblación Muestreo con reemplazamiento:

• Cada elemento seleccionado se devuelve antes de seleccionar elsiguiente

• Las extracciones son independientes y la probabilidad de éxito semantiene constante -> Se puede aplicar la Distribución Binomial

Muestreo sin reemplazamiento• Cuando la población es pequeña el muestreo se realiza habitualmente

sin reemplazamiento: los elementos seleccionados no se devuelven.• Las extracciones no son independientes y la probabilidad de éxito

cambia en cada extracción• Se necesita una distribución diferente: Hipergeométrica

CASOS NOTABLESResumiendo1) Si el muestreo se realiza con reemplazamientocon

2) Si el muestreo se realiza sin reemplazamiento X∼ H(N, n, D)con

3) Por lo tanto, si N→ ∞ (la población es grande) y n<<N(tamaño de la muestra n es menor que el 5% del tamaño de lapoblación N; n/N < 0.05) se verifica que el muestreo con y sinreemplazamiento son equivalentes

ND,nBi~X

[ ]

−==

ND

NDn

NDn 1 Var(X)y XE

[ ]

−−

−==

11

NDn Var(X)y XE

NnN

ND

NDn

CASOS NOTABLESEjercicio 15Un inspector de Hacienda elige de forma aleatoria lasdeclaraciones que revisará detalladamente. Sabemos que tieneun lote de 1000 declaraciones, de las cuales hay 400erróneas.Si el inspector escoge aleatoriamente 5 declaraciones sinreemplazamiento:




Ejercicio 2 (Revisado)Hay 20 familias viviendo en una zona residencial. De ellas, 10 elaboraron suspropias declaraciones de impuestos el año anterior, 7 la encargaron a unprofesional de la localidad y las 3 restantes a una gestoríaSi se seleccionan aleatoriamente cinco familias, define la variable aleatoriaapropiada, indica la correspondiente distribución de probabilidad yresponde de nuevo las siguientes cuestiones:f) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas haya contratado un

profesional?g) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de ellas hayan contratado un

profesional?h)i) ¿Cuál es el número esperado de familias que ha contratado un profesional?

CASOS NOTABLES

Ejercicio 4 (Revisado)Una empresa pretende ofrecer seguros de vida a hombres de 60 años porInternet. Las tablas de mortalidad indican que la probabilidad de que un hombrede esa edad sobreviva otro año es 0,98. Se ofrece el seguro a cinco hombres de60 años cuyas trayectorias vitales se consideran independientes.

Define la variable aleatoria apropiada, indica la correspondientedistribución de probabilidad y responde de nuevo las siguientes cuestiones:

a) Los cinco hombres sobrevivan

b) Por lo menos uno no sobreviva

c) Ninguno sobreviva

d) Solo uno sobreviva

e) Únicamente dos de ellos sobrevivan

f) Calcula el número esperado de supervivientes

CASOS NOTABLES

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CÁLCULO DE PROBABILIDADES Conceptos Básicos Tema 8.pdfOBJETIVOS - Conocer y comprender los conceptos básicos propios de la “Teoría de la Probabilidad”. - Manejar las diferentes