CÁLCULO

DE

PROBABILIDADES

Niños jugando a los dados - Esteban Murillo ©: Inmaculada Leiva Tapia

EXPERIENCIAS ALEATORIAS

EXPERIENCIAS ALEATORIAS.

Experiencia determinista : su resultado es predecible de antemano.En idénticas condiciones,se obtiene el mismo resultado.

Experiencia aleatoria : su resultado no se puede predecir,depende del azar,aunque se repita en idénticas condiciones.

 Ej.: lanzar una piedra al vacío y medir su aceleración.

Ej.: lanzar un dado y anotar el número obtenido.

SUCESOS ALEATORIOS

Al lanzar un dado se pueden obtener seis resultados diferentes.

Espacio muestral es el conjunto E de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria.

E =

C =

A = B =

D = H =

Suceso : es cualquier subconjunto del espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.

Sucesos elementales : cada uno de los elementos del espacio muestral.

Sucesos compuestos : formados por dos o más sucesos elementales.

Suceso seguro : es el propio espacio muestral E.

Suceso imposible : es el suceso vacío Ø.

OPERACIONES CON SUCESOS

La unión de dos sucesos es el suceso formado por los elementos de ambos.

La intersección de dos sucesos es el suceso formado por los elementos comunes a ambos sucesos.

A = B =

C = D =

F =

B∩D =

BUD =

AUB = CUD = E =

C∩F =

Dos sucesos son incompatibles cuando es imposible que ocurran simultáneamente,es decir, cuando A∩B=Ø.

C = D =

C = F =

Dos sucesos son contrarios cuando entre ambos se reparten todos los sucesos elementales,es decir, A∩B=Ø y AUB=E.

A = B =

C y D son incompatiblesC∩ D = Ø

C∩ F = ǂ Ø C y F son compatibles

UNIÓN: Suceso formado por todos los elementos de A y de B

OPERACIONES CON SUCESOS

AUB se verifica cuando ocurre uno de los dos sucesos A o B,o ambos.

A

AUB

A

INTERSECCIÓN: Suceso formado por los elementos comunes de A y de B.

A A

A∩B

A∩B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.

DIFERENCIA: A-B es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.

B-A es el suceso formado por todos los elementos de B que no son de A.

A-B se verifica cuando lo hace A y no lo hace B.

B-A se verifica cuando lo hace B y no lo hace A.

A

A-B

A

AA

B-A

COMPLEMENTARIO O CONTRARIO: Suceso formado por todos los elementos que no son de A.

E-A = Ā

SUCESOS INCOMPATIBLES: Sucesos que no tienen elementos comunes.

Ā se verifica siempre que no se verifica A.

A y B no se verifican simultáneamente.

A

AE

A∩B = Ø

Ejercicio E={1,2,3,4,5,6}Se lanza un dado

Determina los elementos que componen los sucesos:

A=”salir par” B=”salir impar” C=”menor o igual que 4” D=”mayor o igual que 5” F=”salir nº primo”

E6

C F

1 423 5

Determina :

C∩F CUFC-FF-C¿Son F y C incompatibles?¿Y contrarios?

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS

DISTRIBUTIVAS: AU(B∩C) = (AUB)∩(AUC)

A∩(BUC) = (A∩B)U(A∩C)

DE SIMPLIFICACIÓN: AU(B∩A) = A

A∩(BUA) = A

DEL CONTRARIO: (A')' = A

A-B = A∩B'

LEYES DE MORGAN: (AUB)' = A'∩B'

(A∩B)' = A'UB'

FRECUENCIA Y PROBABILIDAD

Si realizamos N veces un experimento aleatorio,y observamos un suceso Sque se verifica n veces,tenemos

LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS:

Si realizamos un experimento aleatorio N veces,la frecuencia relativa fr(S) de un suceso S toma distintos valores. Dichos valores pueden sufrir grandes oscilaciones, pero si aumentamos indefinidamente el número N de veces que realizamos el experimento aleatorio,se observa que las oscilaciones son cada vez menores y que dicha frecuencia fr (S) tiende a estabilizarse, aproximándose a un valor. Ese valor es la probabilidad del suceso S y se escribe P(S)

Frecuencia absoluta de S: número de veces que ocurre S.

Frecuencia relativa de S: proporción de veces que ocurre S.Por tanto,siempre es un nº entre 0 y 1.

fr (S) = n/N

f(S) = n

P (S ) = limN →+ ∞

f r (S )

Ejemplo:

Lanzamos un dado N veces. Anotamos la frecuencia relativa del suceso S = ”salir el 3”. Repetimos este experimento para otros valores mayores de N.Se observa que fr(S) toma distintos valores y con muchas oscilaciones, si los valores de N son pequeños. Pero,para valores muy grandes de N (muchos lanzamientos), las oscilaciones disminuyen hasta que los valores fr(S) se estabilizan, acercándose a un número P(S)

P S = limN ∞

f r S =16= 0.17P (S ) = lim

N →+ ∞f r (S ) =

16≃ 0,1667

PROBABILIDADES DE SUCESOS

AXIOMAS:

P(E) = 1

Si A y B incompatibles,P(AUB) = P(A) + P(B)

P(A) ≥ 0A1

A2

A3

A

E

A

E

PROPIEDADES:

A

AĀ

B-AA

P(Ā) = 1 - P(A)T1

T2 P(Ø) = 0

T3

T4

T6

Si A ⊆ B, entonces P(B) = P(A) + P(B-A)

Si A ⊆ B, entonces P(A) ≤ P(B)

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

T7

Si E es finito y S = {x1,x

2,....,x

k},entonces

P(S) = P(x1) + P(x

2) +.....+ P(x

k)

T5

Si A1, A

2,...., A

k son incompatibles dos a dos, entonces

P(A1U A

2U....U A

k) = P(A

1) + P(A

2) +.....+ P(A

k)

B

REGLA DE LAPLACE

REGLA DE LAPLACE

Si además el espacio muestral E = {x1,x

2,....,x

n} consta de n sucesos

elementales equiprobables, es decir, P(x1) = P(x

2) = ...... = P(x

n) = 1/n ,

entonces la probabilidad de un suceso S viene dada por la expresión:

Esta es la ley de Laplace que se expresa:

P(S) = k/n

P(S) = nº casos favorables a S

nº casos posibles

La propiedad T7 permite calcular la probabilidad de un suceso S,

sumando las probabilidades de los sucesos elementales que lo componen: Si E es finito y S = {x

1,x

2,....x

k}, entonces P(S) = P(x

1) + P(x

2) +.....+ P(x

k)

Lanzamos un dado correcto.Halla la probabilidad de obtener:

a) impar b) primo c) múltiplo de 3 d) menor que 5

E = {1,2,3,4,5,6 }

Todos los resultados son equiprobables si el dado es correcto.Aplicamos la ley de Laplace:

P(impar) = P({1,3,5}) = 3/6 = 1/2

P(primo) = P({2,3,5}) = 3/6 = 1/2

P(múltiplo de 3) = P({3,6}) = 2/6 = 1/3

P(menor que 5) = P({1,2,3,4}) = 4/6 = 2/3

P(S) = nº casos favorables a S

nº casos posibles

Se tiene una baraja española.Halla la probabilidad de que al extraer una carta sea: a) figura b) as c) 6 o 7 d) copas e) no figura

figura es sota,caballo

o rey

12/40 = 3/10 = 0,3

4/40 = 1/10 = 0,1

10/40 = 1/4 = 0,25

P(figura) =

P(as) =

P(copas) =

P(no figura) = 1 - P(figura) = 1 – 0,3 = 0,7

hay 10 cartas de copas

no figura es lo contrario de

figura

P(6 o 7) = 8/40 = 1/5 = 0,2

Regla de

Laplace

+ 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12

P(suma par) = 18/36 = 1/2

Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos. Calcula la probabilidad de que la suma sea: a) par b)múltiplo de 3 c)múltiplo de 5 d)mayor que 6

P(múltiplo de 3) = 12/36 =1/3

P(múltiplo de 5) = 7/36

P(mayor que 6) = 21/36 = 7/12

E = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Pero estos 11 sucesos no son equiprobables.

E´= {(1,1),(1,2),...........(6,6)}

Nuevo enfoque del experimento aleatorio:

Son 36 sucesos equiprobables ⇒ ley de Laplace:

+ 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12

P(suma 7)= 6/36

P(suma 6)=5/36

Dos amigos juegan con dos dados.Uno apuesta a obtener suma igual a 6 y el otro apuesta a obtener suma igual a 7.¿Te parece el juego justo?

Conclusión: el juego no es justo pues el segundo jugador tiene mayor probabilidad de ganar.

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Dados dos sucesos A y B,se llama probabilidad de B condicionada a Aa la proporción de veces que ocurre B de entre las que ocurre A .

P(A∩B) = P(A)·P(B|A)

Por tanto:la probabilidad de la intersección de dos sucesos A y B es el productode la probabilidad de uno de ellos por la probabilidad condicionada del otro a éste.

E

BA

A∩B P(B|A) =

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Los resultados de una encuesta sociológica acerca de la actitud política progresista o conservadora, realizada sobre 375 universitarios de ambos sexos están registrados en la siguiente tabla de contingencia:

Varones MujeresActitud progresista 150 75 225

Actitud conservadora 50 100 150200 175 375

P(varón) = 200/375

P(mujer) = 175/375

P(progresista) = 225/375

P(conservador) = 150/375

P(varón∩progresista) = 150/375

P(progresista|varón) = 150/200P(varón∩progresista)

P(varón)

150/375

200/375=

P(B|A) =

SUCESOS DEPENDIENTES

Dos sucesos A y B,se dice que son independientes cuando se cumple que:

P(B|A) = P(B) P(A|B) = P(A)y

Cuando dos sucesos son independientes la probabilidad de su intersección es igual al producto de las probabilidades de cada uno de ellos.

A y B independientes ⇒ P(A∩B) = P(A)·P(B)

SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES

En caso contrario se dice que son dependientes y, entonces,la probabilidad de su intersección es igual al producto de la probabilidad de uno por la probabilidad del otro condicionada a éste:

A y B dependientes ⇒ P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B)

Los resultados de una encuesta sociológica acerca de la actitud política progresista o conservadora,realizada sobre 375 universitarios de ambos sexos están registrados en la siguiente tabla de contingencia: La actitud progresista y el hecho de ser varón,¿son independientes?

Varones MujeresActitud progresista 150 75 225

Actitud conservadora 50 100 150200 175 375

P(progresista) = 225/375 = 3/5

P(progresista|varón) = 150/200 = 3/4P(progresista|varón) ≠ P(progresista)

Por tanto,las características tener actitud progresista y ser varón son sucesos dependientes

1 2 3 4 5 6 7 8 P(B|A) =

P(par | verde) =

P(par | rojo) =

P(par | negro) =

P(par ∩ verde)

P(verde)

P(par ∩ rojo)

P(rojo)

P(par ∩ negro)

P(negro)

=

=

=

1

3

2

4=

1

2

1

1= 1

P(par) = 4

8=

1

2

P(par|rojo) = P(par)par y rojo son sucesos independientes

proporción de pares entre las bolas rojas = proporción de pares en el conjunto total

P(par|verde) ≠ P(par) par y verde son dependientes

P(par|negro) ≠ P(par) par y negro son dependientes

EXPERIENCIAS COMPUESTAS

● Experiencias independientes: Cuando el resultado de cada experiencia,no influye en el de la siguiente.

● Experiencias dependientes: Cuando el resultado de cada experiencia, sí influye en el de la siguiente.

P(S1∩ S

2) = P(S

1)·P(S

2)

P(S

1∩ S

2) = P(S

1)·P(S

2IS

1)

Extracción de dos cartas sucesiva-mente con reemplazamiento:

P(As1∩ As

2) = P(As

1).P(As

2)=

4/40 4/40•=

Extracción de dos cartas sucesiva-mente sin reemplazamiento:

P(As1∩ As

2) = P(As

1).P(As

2IAs

1)=

4/40 3/39•=

Observa la diferencia en la segunda extracción

EXPERIENCIAS COMPUESTAS

Se llaman experiencias compuestas a aquellas en las que se distinguen dos o más etapas. Se distinguen dos casos:

De una baraja española se extraen dos cartas sucesivamente y sin reemplazamiento.La primera carta extraída es el as de oros. Calcula la probabilidad de que la segunda carta extraída sea:

1) oros 2) as 3) figura

Primera carta Segunda carta

1) P(oros) = P(O2| A

1) = 9/39 = 3/13

2) P(as) = P(A2| A

1) = 3/39 = 1/13

3) P(figura) = P(F2| A

1) = 12/39 = 4/13

CASO I : EXPERIENCIAS INDEPENDIENTES

Lanzamos dos dados.¿Cuál es la probabilidad de obtener “PAR” en el primer dado y “MAYOR QUE 2” en el segundo?

{3,4,5,6}

{1,2}

{1,2}

{3,4,5,6}

1/2

1/2

4/6

4/6

2/6

2/6

Primer dado

PAR

IMPAR

Segundo dado

NO MAYOR QUE 2

MAYOR QUE 2

MAYOR QUE 2

NO MAYOR QUE 2

{3,4,5,6}

{1,2}

{1,2}

{3,4,5,6}

4/6

4/6

2/6

2/6

Experiencia 1ª:

Ahora determinamos las probabilidades de cada suceso de la experiencia compuesta:

P(PAR y MAYOR QUE 2) =

P(PAR y NO MAYOR QUE 2) =

P(IMPAR y MAYOR QUE 2) =

P(IMPAR y NO MAYOR QUE 2)=

Experiencia 2ª:

IMPAR

1/2

1/2

PAR1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

4/6

2/6

4/6

2/6

..

.

.

.

Para obtener la probabilidad de un sucesocompuesto,se multiplican las probabilidadesde los sucesos simples que lo componen yaque las experiencias son independientes:

P(PAR ∩ MAYOR QUE 2) = P(PAR) · P(MAYOR QUE 2) = 1/2 · 4/6

experiencias independientes:

CASO II : EXPERIENCIAS DEPENDIENTES

Tenemos una urna con 3 bolas verdes y 2 bolas rojas. Extraemos dos bolas sucesivamente y sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que “AMBAS SEAN VERDES”?

Primera extracción Segunda extracción

3/5

2/5

2/4

2/4

1/4

3/4

P( ) =

P( ) =

P( ) =

P( ) =

2/5

2/5

3/5

3/53/5

1/4

3/4

2/4

2/4••

•

•

•

experiencias dependientes: la probabilidad de la 2ª extracción es condicionada

P(VERDE1 ∩ VERDE2) = P(VERDE1)·P(VERDE2 | VERDE1) = 3/5 · 2/4

EJERCICIO: Extraemos simultáneamente 3 cartas de una baraja.

¿Cuál es la probabilidad de obtener “3 ASES” ?

Simultáneamente =

sucesivamente sin reemplazamiento

Es una experiencia compuesta,formada por experiencias

dependientes

Haré un diagrama de

árbol para ayudarme

NOTA:Hay ocasiones en los que las pruebas no son sucesivas,sino simultáneas.Pero puede ser más fácil pensar en ellas como si se sucedieran en el tiempo.

1ª extracción 2ª extracción 3ª extracción

4/40

36/40

As

No As

35/39

4/39

3/39

36/39

2/38

36/38

4/38

34/38

3/38

35/38

3/38

35/38

••

•

•

•

•

•

•

•

1ª extracción

4/40

36/40

As

No As

2ª extracción

35/39

4/39

3/39

36/39

3ª extracción

2/38

36/38

4/38

34/38

3/38

35/38

3/38

35/38

••

•

•

•

•

•

•

•

P(AXX)=

P(XAX)=

P(XXA)=

P(XXX)=

P(AAA)=

P(AAX)=

P(AXA)=

P(XAA)=

4/40 3/39 2/38• •

36/40 35/39 34/38• •

4/40 3/39 36/38• •

4/40 36/39 3/38• •

4/40 36/39 35/38• •

4/40 36/39 3/38• •

36/40 4/39 3/38• •

36/40 4/39 35/38• •

36/40 35/39 4/38• •

Ahora determinamos las probabilidades de cada suceso de la experiencia compuesta:

1/2

1/2

Se tiene una urna con 4 bolas rojas y 2 verdes. Se lanza una moneda.Si sale cara se saca una bola de la urna,y si sale cruz se sacan dos bolas sucesivamente y sin reemplazamiento. Halla la probabilidad de:

a) sacar 2 bolas verdes b) ninguna verde

4/6

4/6

2/6

2/6

P( )=

P( )= 1/2

1/2 4/6

2/6

•

•

P( )=

P( )=

P( )=

P( )=

1/2

1/2

1/2

1/2

4/6

4/6

2/6

2/6

3/5

2/5

4/5

1/5

•

•

•

• •

•

•

•cara

cruz

1ª bola

3/5

2/5

4/5

1/5

moneda 2ª bola

PROBABILIDAD TOTAL

A1

A2

A3

A4

A5

S

E

A1∩ S

A2∩ S

A3∩ S

A4∩ S

A5∩ S

Cualquier suceso S se puede expresarcomo unión de sucesos incompatibles:

S = (A1∩ S) U (A

2∩ S) U..... U (A

n∩ S)

P(S) = P(A1∩ S) + P (A

2∩ S) +..... + P (A

n∩ S) =

= P(A1)·P(S| A

1)+P(A

2)·P(S| A

2)+....+P(A

n)·P(S| A

n)

por lo tanto,la probabilidad total de S es:

Si el espacio E se descompone como unión de sucesos incompatibles:

E = A1 U A

2 U....U A

n siendo

Ø = A1∩ A

2= A

1∩ A

3=......= A

i∩ A

j

PROBABILIDAD TOTAL

A1

A2

A3

An

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

P(S| A1)

P(S| A2)

P(S| An)

A1∩ S

A2∩ S

An∩ S

P(S)....

P(A1∩ S)

P(A2∩ S)

P(An∩ S)

P(A1)

P(A2)

P(An)

P(S) = P(A1∩ S) + P (A

2∩ S) +..... + P (A

n∩ S) =

= P(A1)·P(S| A

1) + P(A

2)·P(S| A

2) + .... + P(A

n)·P(S| A

n)

La probabilidad total del suceso S es:

PROBABILIDAD TOTAL

La probabilidad de que un autobús que va de Madrid a Burgos sufra un accidente en un día lluvioso es del 9% y en día seco del 5‰. Durante un período de 10 días ha habido 7 días secos y 3 lluviosos. ¿Cuál será la probabilidad de que se produzca un accidente?

A

A

Ᾱ

Ᾱ

L

S

0,3

0,7

0,09

0,91

0,005

0,995

Lluvioso L

Seco S

A ∩ L

A ∩ S

A ∩ L

A ∩ S

EA ∩ L

A ∩ S

A

P(A) = P(A ∩ L) + P(A ∩ S) = P(L)·P(A| L) + P(S)·P(A| S) =

La probabilidad total de tener accidente es:

= 0,0305 O sea,ligeramente superior a un 3%. 0,09 + 0,7 . 0,0050,3

Un gato persigue a un ratón.Este puede entrar en uno de los tres callejones A,B o C. La probabilidad de que elija cada uno de ellos es del 30%, 50% y 20%, respectivamente.Y de que sea cazado en cada uno de ellos del 40%, 60% y 10% respectivamente. Calcula la probabilidad de que el gato finalmente cace al ratón.

A

B

C

0,3

0,5

0,2

P(A∩cazado)

P(B∩cazado)

P(C∩cazado)

P(A∩no cazado)

P(B∩no cazado)

P(C∩no cazado)

P(A)·P(cazadoIA) + P(B)·P(cazadoIB) + P(C)·P(cazadoIC) =

0,4

0,6

0,6

0,4

0,1

0,9

0,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,40,4

= 0,4• • •0,6 0,1+ +0,3 0,5 0,2 = 0,44

P(cazado) =

P(c

azad

o)

La probabilidad total de queel ratón sea cazado es:

urna A

Tenemos dos urnas A y B. Se extrae una bola de A , y se introduce en B, se remueve y se extrae finalmente una bola de la urna B. Halla la probabilidad de que la segunda bola extraída sea:

a) roja b) verde c) negraurna A urna B

urna B

P(R)

P(R)P(V)

P(N)

2/6

3/6

1/6

2/5

1/5

2/5

1/5

2/5

2/5

1/5

1/5

3/5

P(R)=P(R1)·P(R2|R1) + P(V1)·P(R2|V1) + P(N1)·P(R2|N1) =

= 2/6 2/5. + 3/6 1/5. + 1/6 1/5. = 8/30

P(V)=P(R1)·P(V2|R1) + P(V1)·P(V2|V1) + P(N1)·P(V2|N1) =

= 2/6 1/5. + 3/6 2/5. + 1/6 1/5. = 9/30

P(N)=P(R1)·P(N2|R1) + P(V1)·P(N2|V1) + P(N1)·P(N2|N1) =

= 2/6 2/5. + 3/6 2/5. + 1/6 3/5. = 13/30

PROBABILIDADES “A POSTERIORI”:TEOREMA DE BAYES.

PROBABILIDADES “A POSTERIORI”: TEOREMA DE BAYES.

En una experiencia compuesta,si A es una suceso de la primera experiencia y S un suceso de la segunda,¿tiene sentido la probabilidad condicionada P(A|S)? Se puede llegar al suceso S habiendo pasado primero por A, o bien por otros sucesos (B, C,....) de la primera experiencia:

Si sabemos que finalmente ha ocurrido el suceso S,¿cuál es la probabilidad de que haya ocurrido así, pasando previamente por el suceso A? O sea,de las distintas causas que han podido provocar como efecto el suceso S, ¿en qué proporción del total de veces que sucede S,la causa ha sido A? Este es el significado de P(A|S), llamada probabilidad “a posteriori” de A, sabiendo que ha ocurrido S. (También llamada probabilidad de las causas)

Intuitivamente,dicha proporción es:

B

A

C

S

S

S

.

.

.

.

P(S)

A1

A2

Ai

An

.

.

.

.

P(A1 )

P(Ai )

P(An )

S

S

S

.

.

.

.

P(A1 ∩ S)

P(Ai ∩ S)

P(An ∩ S)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

P(S | A1 )

P(S | Ai )

P(S | An )

Y expresando P(S) como probabilidad total, se tiene la fórmula de Bayes :

La probabilidad de que un autobús que va de Madrid a Burgos sufra un accidente en un día lluvioso es del 9% y en día seco del 5‰. Durante un período de 10 días ha habido 7 días secos y 3 lluviosos. Sabiendo que se ha producido un accidente en esos días,¿cuál será la probabilidad de que haya ocurrido: a) en día lluvioso? b) en día soleado?

A

A

Ᾱ

Ᾱ

L

S

0,3

0,7

0,09

0,91

0,005

0,995

Lluvioso L

Seco S

A ∩ LA ∩ S

A ∩ LA ∩ S

EA ∩ L

A ∩ S

A

P(L | A) = P(A ∩ L)

P(A)

P(S | A) = P(A ∩ S)

P(A)=

=. 0,090,3

0,0305

0,0305

0,7 . 0,005

=

=

. 0,09 + 0,7 . 0,0050,3

. 0,09 + 0,7 . 0,0050,3

. 0,090,3

.0,7 0,005

Supongamos,siguiendo con el ejercicio anterior,que vemos al gato perseguir al ratón.Al poco rato llega con él en la boca. ¿En cuál de los tres caminos es más probable que lo haya cazado?

Calculamos la probabilidad de que el ratón estuviera en cada uno de los caminos,sabiendo que ha sido cazado,aplicando el teorema de Bayes:

P(A)·P(cazadoIA)+P(B)·P(cazadoIB)+P(C)·P(cazadoIC) =

= 0,4• • •0,6 0,1+ +0,3 0,5 0,2 = 0,44

Según el ejercicio anterior:P(cazado) =

6

22=

15

22=

1

22=

P(AIcazado)=P(AIcazado)=P(A∩cazado)

P(cazado)

P(AIcazado)=P(BIcazado)=P(B∩cazado)

P(cazado)

P(cazado)

P(AIcazado)=P(CIcazado)=P(C∩cazado)

P(cazado)

=0,4•

• •0,6 0,1+ +

0,3

0,5 0,20,4•0,3

0,6•

• •0,6 0,1+ +

0,5

0,5 0,20,4•0,3

0,1•

• •0,6 0,1+ +

0,2

0,5 0,20,4•0,3

=

=

EJERCICIOS

E = 39F = 16I = 27F∩ I=9F

E

9718

5 P(F) = 16/39

P(I) = 27/39

P(F∩ I) = 9/39

P(FU I) = P(F) + P(I) - P(F∩ I) = 34/39

P(F - I) = 7/39

P(I - F) = 18/39

P(F∩ I) = P(FUI) = 1 - P(FU I) = 5/39

P[(I - F)U(F - I) ] = P(I - F) + P(F – I) = 18/39 +7/39 = 25/39

De los 39 alumnos de una clase,16 escogieron francés y 27 inglés, 9 alumnos eligieron ambos idiomas y el resto no escogió ninguno de ellos. Elegido un alumno al azar, halla la probabilidad de que escogiera: a)francés b)inglés c)ambos d)alguno de los dos idiomas e)francés pero no inglés f)inglés pero no francés g)sólo un idioma h)ninguno de ellos

Sean A y B tales que: P(A) = 0,4 ; P(B) = 0,5 ; P(A∩B) = 0,3. Halla P(AUB) y P(A∩B).

A B

P(A∩B) = 0,3

Por las leyes de Morgan:

P(AUB) = 1 - P( AUB) = 1 - 0,3 = 0,7

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

0,7 = 0,4 + 0,5 – P(A∩B)

0,20,20,3

0,3

A∩B = AUB

Por T1.,hallamos la probabilidad del suceso contrario:

Por T6. tenemos que:

⇒ P(A∩B) = 0,2

⇒ P(A∩B) = P(AUB) = 0,3

Partimos de:

Sabemos que P(A) = 0,4 , P(B) = 0,3 y P(A∩B) = 0,1 . Halla razonadamente : P(AUB) P(AUB) P(A|B) P(A∩B)

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0,4 + 0,3 – 0,1 = 0,6

Por las leyes de Morgan: AUB = A∩B ⇒ P(AUB) = P(A∩B) =

Y usando la probabilidad del suceso contrario: = 1 - P(A∩B) = 1 - 0,1 = 0,9

P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = 0,1 / 0,3 = 1/3 = 0,3333....

usando la otra ley de Morgan: A∩B = AUB

⇒ P(A∩B) = P(AUB) =

= 1 - P(AUB) = 1 - 0,6 = 0,4

A B

0,1 0,20,3

0,4

En una empresa hay 200 empleados:100 hombres y 100 mujeres.Los fumadores son 40 hombres y 35 mujeres.Haz la tabla de contingenciacorrespondiente y determina sobre ella probabilidades.

Hombres MujeresFumadores 40 35 75

No Fumadores 60 65 125100 100 200

P(M) = P(H) = 100/200 = 0,5

P(H∩NF) = 60/200 = 0,3

P(M∩F) = 35/200 = 0,175

P(M|F) = 35/75 = 0,467

P(F|M) = 35/100 = 0,35

ser mujer y ser fumador son sucesos dependientes

P(M) ≠ P(M|F)

El 20 % de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20 % son economistas.El 75 % de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50 % de los economistas también,mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20 % ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un directivo elegido al azar sea ingeniero?

0,2

0,2

0,6

Ingenieros

Economistas

Sin titulación

0,75

0,25

0,5

0,5

0,8

IngenierosIngenierosIngenierosIngenierosIngenierosDirectivos

No Directivos

IngenierosIngenierosIngenierosIngenierosIngenierosDirectivos

No Directivos

IngenierosIngenierosIngenierosIngenierosIngenierosDirectivos

No Directivos

0,2

P(D)

0,4050,2·0,75

0,2·0,75+0,2·0,5+0,6·0,2= =

Teorema de Bayes:

Un jugador de baloncesto suele acertar el 75 % de sus tiros desde el puntode lanzamiento de personales.Si acierta el primer tiro,puede tirar de nuevoa canasta.Calcula la probabilidad de que:

a) haga dos puntosb) haga un puntoc) no haga ningún punto

ACERTAR

FALLAR

0,75

0,25

ACERTAR

FALLAR

0,75

0,25

P(dos puntos) = P(A1∩A2) = P(A1).P(A2|A1) = 0,75 . 0,75 = 0,56

P(un punto) = P(A1∩F2) = P(A1).P(F2|A1) = 0,75 . 0,25 = 0,19

P(ningún punto) = P(F1) = 0,25

FIN

©: Inmaculada Leiva Tapia

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VUESTRA ATENCIÓN