CÁLCULO - escoladematematicapontal.com.br TEORIA DAS...trigonometria. Ele foi chefe do observatório astronômico em Ujjain, considerado o principal centro matemático da antiga Índia

COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO

FUN

CÁLCULO TEORIA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

JOÃO CARLOS MOREIRA COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO






JOÃO CARLOS MOREIRA Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP

Universidade Federal de Uberlândia

EDITORA LIVRARIA ESCOLA DE MATEMÁTICA


Copyright © 2019 by João Carlos Moreira CAPA: João Carlos Moreira EDITOR: João Carlos Moreira DIAGRAMAÇÃO: João Carlos Moreira DISTRIBUIÇÃO: Editora Livraria Escola de Matemática COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1988.

Impresso no Brasil / Printed in Brazil


Para todos os meus alunos, com carinho. João Carlos Moreira


Prefácio Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Cálculo, criado em 2013, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado de Cálculo e suas aplicações. A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos e no desenvolvimento de algoritmos. Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino de matemática no Brasil. Agradeço a Deus pela missão educacional confiada a mim.

Ituiutaba, inverno de 2019.

João Carlos Moreira


Símbolos

Símbolo Lê-se Exemplo Lê-se

∈ pertence 2 ∈ A O número dois pertence ao conjunto A.

∀ para todo (∀ a)(a ∈ ℕ) Para todo a, a pertencente a ℕ.

∃ existe (∃ x)(x ∈ A) Existe x, x pertencente ao conjunto A.

∃! existe um único (∃! x∗)(x∗ ∈ ℕ) Existe um único sucessor de x pertencente ao conjunto dos números naturais.

∧ e x ∧ y x e y ∨ ou (inclusivo) x ∨ y x ou y ∨ ou (exclusivo) x ∨ y x ou y ¬ não ¬(2 ∈ A) 2 não pertence ao

conjunto A → implica 𝑃 → 𝑄 P implica Q ↔ se, e somente se 𝑃 ↔ 𝑄 P se, e somente se, Q



ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM

Sumário

1 Abordagem Histórica 00

2 Abordagem Algébrica 00

2.1 Sistema matemático das funções trigonométricas 00

2.1.1 Representação das funções trigonométricas 00

2.1.2 As operações 00

2.1.3 As relações 00

2.1.4 Os axiomas 00

2.2 Teoria do cálculo infinitesimal 00

2.3 Teoria do cálculo diferencial 00

2.4 Teoria do Cálculo integral 00

3 Abordagem Geométrica 00

3.1 Representação das funções trigonométricas 00

3.2 Cálculo de perímetro 00

3.3 Cálculo de área 00

3.4 Cálculo de volume 00

4 Abordagem Computacional 00


4.1 Representação das funções trigonométricas 00

4.2 Algoritmos 00

5 Abordagem Avançada 00

5.1 Teoremas 00

5.2 Conjecturas 00

5.3 Paradoxos 00

6 Resolução de Problemas 00

6.1 Abordagem histórica 00

6.2 Abordagem algébrica 00

6.2.1 Conceitos primitivos e derivados 00

6.2.2 Prática intuitiva 00

6.2.3 Prática formal 00

6.3 Abordagem geométrica 00




6.4 Abordagem Computacional 00




7 Referências Bibliográficas 00


1 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

Fig. 1. Hiparco de Rodes

ABORDAGEM HISTÓRICA TEORIA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS | ESCOLA DE CÁLCULO

1

Fig.2 Plimpton 322 Fig.3 Papiro de Rhind

Hiparco de Rodes (190 a.C. – 120 a.C.) foi um matemático grego. Dentre suas principais contribuições, destacamos a primeira tabela trigonométrica obtida da medida de meia corda em círculos, elaborada em c. 140 a.C. Ele é considerado por muitos historiadores o fundador da trigonometria.

1 A trigonometria tem suas origens em problemas da astronomia, construção de pirâmides, agrimensura e navegação. Algumas evidências podem ser vistas na tábua cuneiforme babilônica Plimpton 322 (c. 1900 a.C. - 1700 a.C.) e no Papiro de Rhind (c. 1650 a.C.), registros arqueológicos encontrados nas civilizações babilônica e egípcia, respectivamente.



Fig.4 Yale Collection #7289

Fig.5 Medida da altura de pirâmides

2 Algumas evidências de medidas de áreas e volumes foram encontradas na Mesopotâmia. Sabemos que os povos que viviam nessa região do oriente médio já tinham o conhecimento do teorema de Pitágoras, conforme mostra o tablete de argila da Yale Collection #7289.

3 Thales de Mileto (c. 624 a.C. - 547 a.C.) conseguiu medir a altura das pirâmides pelo tamanho de sua sombra, no mesmo instante em que nossas próprias sombras são iguais à nossa altura.

4 Em um triângulo retângulo a soma do quadrado de seus catetos é igual ao quadrado de sua hipotenusa. Esse fato já era conhecido pelos babilônios, mas Pitágoras de Samos (c. 569 a.C. – 475 a.C.) pode ter sido o primeiro a prová-lo. Outro resultado importante dele, é que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a dois ângulos retos.



Fig.6 𝒔𝒆𝒏 (𝒙

𝟐) =

𝟏

𝟐

𝑨�̂�

𝒓

O

A

B

5 O matemático grego Eudoxus (c. 408 a.C. – 355 a.C.) desenvolveu um método, chamado de método da exaustão. Ele aproximava a área de uma dada região pela soma de uma sequência de áreas de regiões triangulares. Esse método precede os conceitos de limite e integral da era moderna.

6 Diversos resultados importantes sobre triângulos planos podem ser encontrados nos livros I e II do tratado Os Elementos, de Euclides de Alexandria (c. 325 a.C. - 265 a.C.).

7 O matemático grego Hiparco de Rodes (190 a.C. – 120 a.C.), elaborou em c. 140 a.C. a primeira tabela trigonométrica obtida da medida de meia corda em círculos. Sua tabela fornece uma solução geral para vários problemas trigonométricos.

Denotando por 𝐴𝐵,̂ as cordas são associadas ao arco 𝐴ô𝐵 = 𝑥 de um círculo de raio fixo 𝑟. Existem evidências que foi ele quem introduziu a divisão da circunferência em 360 graus na Grécia. Ele é considerado por muitos historiadores o fundador

da trigonometria.

8 A prova de que a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico é maior que 180 graus, aparece no livro Sphaerica do matemático grego Menelau de Alexandria (c. 70 a.C. -130 a.C.), assim como as suas aplicações na astronomia.



Fig.7 Fragmento de Almagesto

9 O tratado composto de treze livros e chamado de Almagesto, foi escrito pelo matemático grego Cláudio Ptolomeu (c. 85 -165). Ele perdurou por cerca de seis séculos como a principal obra sobre trigonometria na antiguidade e foi elaborado com base nos estudos de Hiparco de Rodes (190 a.C. – 120 a.C.). O mesmo apresenta em detalhes a teoria matemática dos movimentos do Sol, da Lua e dos planetas. Ptolomeu utilizou em seus cálculos, fórmulas para 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) , 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) e

𝑠𝑒𝑛 (𝑥

2), usando cordas em círculos.

10 O tratado indiano do final do século IV sobre astronomia, chamado de Surya Siddhanta, talvez tenha sido o primeiro texto em que o seno de um ângulo realmente tenha aparecido. Ele passou por revisões durante séculos sucessivos, tomando a sua versão final no século X.

11 O matemático indiano Aryabhata I (476-550) escreveu o tratado astronômico chamado Aryabhatiya durante o século V. Ele aborda trigonometria plana e trigonometria esférica e apresenta tabelas com vários cálculos de cordas no círculo, utilizadas na astronomia. Aryabhata I foi o primeiro a usar a palavra ardha-jiva (meia-corda) para a função seno.



12 O matemático indiano Brahmagupta (598-670), baseado nos trabalhos de Aryabhata I (476-550), escreveu dois importantes tratados, o Brahmasphutasiddhanta em 628 e o Khandakhadyaka em 665, ambos com uma forte presença da trigonometria. Ele foi chefe do observatório astronômico em Ujjain, considerado o principal centro matemático da antiga Índia.

13 O matemático árabe Al-Battani (850-929) adotou a trigonometria hindu, introduzindo na mesma uma importante inovação, o círculo de raio unitário. A partir daí, estabeleceu as fórmulas

(𝑡𝑔(𝑥) =𝑠𝑒𝑛(𝑥)

cos(𝑥)) ∧ (sec(𝑥) = √1 + 𝑡𝑔2(𝑥)).

O Kitab al-Zij de Al-Battani é o seu trabalho mais importante e influenciou cientistas como Copérnico (1473-1543), Tycho Brahe (1546-1601), Kepler (1571-1630) e Galileu (1564-1642).

14 Os árabes trabalharam com tabelas de senos e cossenos e o matemático Abu'l-Wafa (940-998) utilizava nos seus cálculos a fórmula:

𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥).

15 O matemático indiano Bhaskara II (1114-1185), estabeleceu em seu tratado Siddhantasiromani, um método detalhado para construir uma tabela de valores de senos, para qualquer ângulo dado. Ele também deduziu as fórmulas:

𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑦) + 𝑠𝑒𝑛(𝑦)cos (𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑦) − 𝑠𝑒𝑛(𝑦)cos (𝑥).



16 O matemático indiano Madhava de Sangamagramma (1350-1425), introduziu no ano de 1400, o conceito de série de potências para as funções trigonométricas do 𝑠𝑒𝑛(𝑥), cos (𝑥) e 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥).

17 O matemático alemão Regiomontanus (1436-1476), escreveu o tratado De Triangulis Omnimodis em 1464, que abordava o uso da trigonometria na astronomia. Nesse trabalho, destacamos o aparecimento do seno e da cossecante, bem como uma lista de axiomas, seguidos por 56 teoremas.

18 No início de 1541, o matemático austríaco Rheticus (1514-1574), publicou Copernicus´s De Revolutionibus de Copérnico (1473-1543), adicionando a obra a primeira tabela puramente de cossenos. No entanto, a palavra cosseno apareceu somente no século XVII, sendo definida por

cos(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝜋

2− 𝑥).

19 O matemático francês François Viète (1540-1603), conhecia as fórmulas para o cálculo de 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) em termos de 𝑠𝑒𝑛(𝑥) e cos(𝑥). Ele explicitou as fórmulas, devidas a Bartholomeu Pitiscus (1561-1613):

𝑠𝑒𝑛(3𝑥) = 3cos2(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛3(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(3𝑥) = cos3(𝑥) − 3𝑠𝑒𝑛2(𝑥) cos(𝑥).

20 A secante e a cossecante, aparecem inicialmente na babilônia conforme as evidências encontradas em Plimpton 322 (c. 1900 a.C.–1600 a.C.) e depois a partir do século XV nas tabelas feitas para auxiliar a navegação.



Fig.8 Geometriae rotundi

21 A tangente e cotangente estão associadas ao antigo cálculo de sombras. O matemático grego Thales de Mileto (c. 624 a.C-547 a.c), fez uso da sombra da pirâmide para calcular a sua altura através de semelhança de triângulos. As sombras também foram utilizadas em relógios solares.

22 Os termos tangente e secante, foram utilizados pela primeira vez em 1583 no livro mais famoso do matemático dinamarquês Thomas Fincke (1561-1656), Geometriae rotundi.

23 A palavra trigonometria, deriva do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida" e foi criada pelo matemático alemão Bartholomeu Pitiscus (1561-1613), aparecendo pela primeira vez no título da sua obra Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus, publicada inicialmente em Heidelberg no ano de 1595.

24 Os termos cosseno e cotangente foram introduzidos por Edmund Gunter (1581-1626) em 1620, nas suas obras Canon Triangulorum Sive Tabulae Sinuum e Tangentium Artificialum. A abreviação 𝑠𝑒𝑛 para seno, aparece pela primeira vez em um desenho de Gunter, no ano de 1624, da mesma forma cot para cotangente foi usada por Jonas More (1627-1679) em 1674.



25 Em paralelo, Isaac Newton (1643 – 1727) e Gottfried

Wilhelm von Leibniz (1646-1716), criam a teoria do cálculo diferencial e integral.

26 No século XVIII temos o início dos estudos das funções trigonométricas de uma variável complexas a valores complexos.

27 O matemático suíço Johann Bernoulli (1667-1748), estabe-leceu no ano de 1702, uma relação entre arcsen(z) e log(𝑧) através das fórmulas:

log(𝑧) = log(|𝑧|) + 𝑖𝑎𝑟𝑔0(𝑧)

𝑎𝑟𝑔0(𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝐼𝑚(𝑧)

|𝑧|).

28 O matemático francês Abraham de Moivre (1667-1754), publicou no ano de 1722 a sua famosa fórmula:

(𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥))𝑛 = cos(𝑛𝑥) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥).

29 O matemático inglês Brook Taylor (1685-1731), descobriu a célebre série conhecida como expansão de Taylor, publicada no ano de 1715 em seu livro Methodus incrementorum directa. Essa série infinita permitiu a obtenção de aproximações para todas as funções trigonométricas. O termo série de Taylor, foi usado por Simon Lhuilier (1750-1840) em 1786. James Gregory (1638-1675), Newton (1643 – 1727), Leibniz (1646-1716) e Abraham de Moivre (1667-1754) também descobriram variantes do Teorema de Taylor.



30 Na obra Introductio in analysin infinitorum, publicada em

1748, Leonhard Euler (1707-1783) apresenta a também famosa fórmula:

𝑒𝑖𝑥 = cos(𝑥) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥).

Essa obra é considerada por alguns historiadores o início da análise matemática. Foi Euler quem primeiro utilizou as nota-ções sen., cos., tan., cot., sec. e cosec. para as funções trigono-métricas.

31 O matemático suíço Johann Heinrich Lambert (1728-1777), introduziu os estudos sobre funções trigonométricas

hiperbólicas.

32 O matemático francês Joseph Fourier (1768-1830), apresentou um trabalho sobre a propagação do calor em corpos sólidos entre 1804 e 1807 que forneceu a bases para os estudos de séries trigonométricas e a teoria das funções de

uma variável real.



[1] DOMINGUES, H. H. Fundamentos de aritmética. São Paulo: Atual, 1991.

[2] LANG, S. Algebra. 3rd ed. USA: Springer, 2002.

[3] VIANNA, J. J. Elementos de Arithmetica. 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1914.

[4] WOODBURRY, G..Elementary Algebra. USA: Addison Wesley, 2009.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS TEORIA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS | ESCOLA DE CÁLCULO

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UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA

5

FUN


Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em matemática pela Unesp - SP, especialista em matemática pelo IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ-RJ e doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é professor associado na UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é Análise Aplicada. Fundou em 2013 a primeira Escola de Cálculo do país com sede na Universidade Federal de Uberlândia.

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