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Cálculo I

Armengol Blanco BenitoFacultad Nacional de IngenieríaDepartamento de Matemáticas

1 de septiembre de 2012

ii

PrefacioEste apunte nace ante de la necesidad de proporcionar a mis alumnos de Cálculo I una ayuda

para clari�car y aplicar los conceptos expuestos en clases.

En cierta manera es un compendio de la asignatura. Se consultaron varios textos clásicos deCálculo Diferencial e Integral y Geometría Analítica, asimismo varias páginas web de internet.

El Cálculo tiene una vigencia de más 3 siglos, desde Newton(1642-1727) y Leibniz (1646-1716),considerados como los padres del Cálculo, sus enfoques y conceptos son distintos, pero llegan bási-camente a los mismos resultados, llegando a un cálculo también algo distinto del que se usa ahora.

No se pretende ser original en cuanto al contenido temático, el cálculo diferencial e integral es unalgoritmo general que vale para todas expresiones analíticas, hasta nuestros días no sufrió cambiosprofundos, tal vez en la forma de enfocar y presentar los temas.

Los cambios vienen con el uso de una metodología de enseñanza en particular que usa asistentesmatemáticos, tales como: MathCAD, Derive, Matlab y otros.

Por otra parte, se pretende satisfacer los intereses, tanto de los alumnos que estudian ingenieríacomo de los que quisieran dedicarse a las matemáticas puras.

A lo largo del texto, se incluyen ejemplos resueltos para clari�car y aplicar los conceptos ex-puestos.

La edición del texto, se preparó en el ambiente LATEX2ε mediante el editor WinEdit v. 6.0 y lasgrá�cas se realizaron en Derive c© 6.

Armengol Blanco Benito

Índice general

1. Introducción Teórica 11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Números Reales, R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1. Números Naturales, N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2. Números Enteros, Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3. Números Racionales, Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.4. Números Irracionales, Q′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Recta Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Concepto de Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4.1. Cuerpo de los Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Leyes usuales de la aritmética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6. Axiomas de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.7.1. Reglas para Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.8. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.8.1. Intervalos Acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8.2. Intervalos In�nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.9. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.9.1. Propiedades del Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.10. Vecindades y Entorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.11. Punto de Acumulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.12. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.12.1. Diversas Formas de Expresión de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.12.2. Funciones Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.12.3. Funciones Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.12.3.1. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.12.3.2. Función parte Entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.12.3.3. Función signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.12.4. Composición de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.12.5. Función Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.12.5.1. Función Inyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.12.5.2. Función Sobreyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.12.5.3. Función Biyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.13. Clases de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

iii

iv ÍNDICE GENERAL

1.14. Funciones Acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.14.1. Operaciones Algebraicas con Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.15. Sistema de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.15.1. Sistema Rectangular de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.15.1.1. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.15.1.2. Punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.15.2. Sistema de Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.15.3. Transformación de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.16. Línea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.16.1. Formas de la Ecuación de la Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.16.1.1. Reducción de la forma general a normal . . . . . . . . . . . . . . . . 261.16.2. Distancia de un Punto a una Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.17. Secciones Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.17.1. Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.17.2. Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.17.3. Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.17.4. Hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.17.5. Transformación de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.18. Lectura recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.18.1. Axiomas de Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.18.2. Relación, Función, Aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2. Límites y Continuidad de las Funciones 372.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2. Sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3. Límite de una Sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4. Límite de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4.1. Límites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.2. Límite de la función cuando x→∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5. In�nitésimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6. Teoremas Fundamentales sobre Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.7. Límites Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.8. Continuidad de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.8.1. Puntos de Discontinuidad de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3. Derivadas y Diferenciales 473.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2. De�nición de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3. Interpretación Geométrica de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4. Velocidad del Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.5. Reglas de Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.6. Derivada de Funciones Compuestas: Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . 523.7. Derivada de Funciones Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.8. Derivada de Funciones Paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.9. Derivada de una Función Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

ÍNDICE GENERAL v

3.10. Derivada de Funciones Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.11. Diferencial de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.12. Derivada de Órdenes Superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.12.1. Fórmula de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.13. Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.14. Regla de L'Hôpital-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.15. Aplicaciones Geométricas de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4. Teorema del Valor Medio, Extremos 614.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2. Teoremas del Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3. Puntos Críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4. Puntos de In�exión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5. Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.6. Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.7. Fórmula de Interpolación de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.8. Aplicaciones de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.8.1. Gra�car una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.8.1.1. Pasos para Gra�car una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.8.2. Problemas de Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5. Integrales 735.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2. Integral Inde�nida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3. Reglas Fundamentales de Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3.1. Método de Sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.3.2. Integración por Simple Inspección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4. Integración por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.5. Integración de Fracciones Racionales Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.6. Descomposición de una Fracción Racional Propia en Fracciones Simples . . . . . . . 79

5.6.1. Casos de Descomposición en Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . 815.7. Integración de Fracciones Irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.8. Integración de Integrales Binomias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.9. Integración por Sustitución de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.10. Integrales trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.10.1. Estrategia para calcular ∫cosn xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.10.2. Estrategia para calcular ∫senm xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.10.3. Estrategia para calcular ∫senm x cosn xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.10.4. Estrategia para calcular ∫tanm x secn xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.10.5. Estrategia para calcular a) ∫senmx cosnxdx, b) ∫

senmx sennxdxo c) ∫

cosmx cosnxdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.10.6. Substituciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.11. Integral De�nida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.11.1. Integral de Reimann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.11.2. Cambio de Variable en una Integral De�nida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

vi ÍNDICE GENERAL

5.12. Integrales Impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.13. Aplicaciones de la Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.13.1. Cálculo de Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.13.2. Pasos para el Cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.13.3. Cálculo de Volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.13.4. Volumen de un sólido de revolución: Método de discos . . . . . . . . . . . . . 1005.13.5. Volumen de un sólido de revolución: Método de los cilindros . . . . . . . . . . 1005.13.6. Cálculo de Longitud de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.13.7. Cálculo de Centros de Gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.13.8. Cálculo de Límites de Sumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6. Series 1076.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2. Sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.3. Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.4. Algunos Tipos de Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.4.1. Serie Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4.2. Serie Armónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4.3. Serie Telescópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.5. Series de Términos Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.5.1. Condición Necesaria de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.5.2. Criterios de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.5.2.1. Criterio de la Raíz o de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.5.2.2. Criterio del Cociente o de D'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.5.2.3. Criterio de Comparación Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.5.2.4. Criterio de Comparación por Paso al Límite . . . . . . . . . . . . . . 1116.5.2.5. Criterio de Pringsheim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.5.2.6. Criterio de Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.5.2.7. Criterio de la Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.6. Series Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.6.1. Criterio de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.6.2. Convergencia Condicional y Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.6.2.1. Convergencia Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.6.2.2. Convergencia Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.7. Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.7.1. Intervalo de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.7.2. Operaciones con Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.7.3. Diferenciación e Integración termino a termino de Series de Potencias . . . . . 115

Índice de cuadros

4.1. Aproximación sucesiva en cada iteración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2. Aproximación sucesiva. Primera solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3. Aproximación sucesiva. Segunda solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1. Sustituciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

vii

viii ÍNDICE DE CUADROS

Índice de �guras

1.1. Recta Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Entorno de p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. p es un punto de acumulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. El número 2, es un punto de acumulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6. Grá�ca de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7. Grá�cas de la función potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8. Grá�cas de la función potencial: a < 0; a ∈ Z− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.9. Grá�cas de la función potencial: a fraccionario positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.10. Grá�cas de la función potencial: a fraccionario negativo . . . . . . . . . . . . . . . . 121.11. Grá�cas de la función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.12. Grá�cas de la función logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.13. Grá�cas de función seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.14. Grá�cas de función coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.15. Grá�cas de función tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.16. Familia de rectas con b=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.17. Familia de rectas con m=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.18. Grá�ca de la función cuadrática, a > 0, raíces reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.19. Grá�ca de la función cuadrática, a > 0, raíces complejas . . . . . . . . . . . . . . . . 161.20. Grá�ca de la función cuadrática, a < 0, raíces reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.21. Grá�ca de la función cuadrática, a < 0, raíces complejas . . . . . . . . . . . . . . . . 171.22. Grá�ca función cúbica a > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.23. Grá�ca función cúbica a < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.24. Grá�ca función par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.25. Grá�ca función impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.26. Grá�ca función constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.27. Grá�ca de la función valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.28. Grá�ca de la función parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.29. Grá�ca de la función signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.30. Grá�ca de la composición de funciones: g ◦ f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.31. Ecuación normal de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.32. Distancia del punto P1(x1, y1) a la recta L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.33. Circunferencia con centro en C(h, k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.34. Parábola con vértice en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

ix

x ÍNDICE DE FIGURAS

1.35. Elipse con centro en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.36. Hipérbola con centro en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.37. Traslado de ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.38. Rotación de ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1. Límite de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2. Límite de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3. Límite de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4. Límites laterales de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5. La función senx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2. Velocidad instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3. Recta tangente y normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4. Ángulo entre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1. Grá�ca de la función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2. Grá�ca de la función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3. Grá�ca de la función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4. Grá�ca de la función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.5. Grá�ca de la función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.6. Esquema del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.7. Lata de 250cm3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.1. Área bajo la curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2. Rectángulo vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3. Rectángulo horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.4. Aproximación de arco por diferenciales de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.5. Diferencial de área: Rectángulo vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.6. Diferencial de área: Rectángulo horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.7. Centro de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Capítulo 1

Introducción Teórica

1.1. Introducción

En el presente capítulo se trata del cuerpo de los números reales, funciones y la geometríaanalítica plana.

1.2. Números Reales, R

Unos de los conceptos más importantes de las matemáticas, es el conjunto de los números reales.

El concepto de número surge en la antigüedad, se amplia y generaliza con el tiempo.

R = {x|x es un número real}

1.2.1. Números Naturales, N

Los números naturales son números enteros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, . . ., son símbolos abstractospara indicar cuantos objetos hay en una colección o conjunto de elementos discretos.

N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}

1.2.2. Números Enteros, Z

El conjunto Z, incluye tanto a los enteros positivos como los negativos y el número cero, el cualno es ni negativo ni positivo.

Z = {. . . ,−6,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}

1.2.3. Números Racionales, Q

Los números racionales, son los números enteros y fraccionarios. Todo número racional puedeexpresarse como la razón, mn de dos números enteros m y n para n 6= 0.

1

2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN TEÓRICA

Q = {x =m

n; m, n ∈ Z}

Los números racionales pueden expresarse en forma de fracciones decimales �nitas o periódicasin�nitas.

Todos los números reales tienen una representación decimal. Los números racionales, tienen surepresentación decimal periódica. Por ejemplo:

12

= 0,50000 . . . = 0,50

13

= 0,333333 . . . = 0.3

157495

= 0,317171717 . . . = 0,317

97

= 1,285714285714 . . . = 1.285714

1.2.4. Números Irracionales, Q′

Los números irracionales, son números en forma de fracciones decimales inde�nida, no periódicay que no puede expresarse como la razón de dos números enteros.

Q′ = {. . . , −√

3,−π,√

2, π, e, . . .}

1.3. Recta Numérica

La recta numérica, se denomina también eje numérico, es la representación grá�ca de los númerosreales como puntos de una recta, es una recta in�nita. La recta numérica permite visualizar, sobretodo, las relaciones de orden.

Figura 1.1: Recta Numérica

En la Fig. (1.1), se tiene la grá�ca de la recta numérica.

1.4. Concepto de Cuerpo

De�nición 1.1 Un cuerpo es un conjunto F en el que hay de�nidas dos operaciones + : F × F →F, · : F × F → F (suma y producto, respectivamente) y dos elementos 0 6= 1 que cumplen laspropiedades siguientes:

1.4. CONCEPTO DE CUERPO 3

I) (F,+) es un grupo abeliano: si x, y, z ∈ F se tienei) x+ y = y + x (propiedad conmutativa)ii) (x+ y) + z = x+ (y + z) (propiedad asociativa)iii) x+ 0 = x,∀x ∈ F (elemento neutro ó cero)iv) ∀x ∈ F,∃y ∈ F tal que x+ y = 0 (inverso respecto de la suma)

II) (F \ {0}, ·) es un grupo abeliano: si x, y, z ∈ F se tienev) x · y = y · x (propiedad conmutativa)vi) (x · y) · z = x · (y · z) (propiedad asociativa)vii) 1 · x = x,∀x ∈ F (elemento neutro ó unidad)viii) ∀x ∈ F con x 6= 0,∃y ∈ F tal que x · y = 1 (inverso respecto del producto)

III) Propiedad distributiva del producto respecto de la suma:ix) x · (y + z) = x · y + x · z,∀x, y, z ∈ FEn lo que sigue, se escribirá xy en lugar de x · y.

1.4.1. Cuerpo de los Números Reales

El conjunto de los números reales en donde se de�ne las operaciones de adición y multiplicación,es un cuerpo conmutativo. Y se cumplen los siguientes axiomas:De�nición 1.2 Axioma: Un axioma, es un principio o sentencia tan claro que no necesita ex-plicación ni demostración, es una verdad evidente.

Sean x, y, z números realesAxioma 1.1 Propiedad Conmutativa

x+ y = y + x; xy = yx

Axioma 1.2 Propiedad Asociativax+ (y + z) = (x+ y) + z ; x(yz) = (xy)z

Axioma 1.3 Propiedad Distributivax(y + z) = xy + xz

Axioma 1.4 Existencia de elementos neutros 0, 10 + x = x+ 0 = x; 1x = x1 = x

Axioma 1.5 Existencia de negativos.∀x ∈ R, ∃y ∈ R , tal que

x+ y = y + x = 0

Es decir: y = −x

Axioma 1.6 Existencia del recíproco.∀x ∈ R, ∃y ∈ R , tal que

xy = yx = 1

Es decir: y = 1x


1.5. Leyes usuales de la aritmética.

De�nición 1.3 Teorema: Un teorema, es una proposición que exige demostración.

Sean a, b, c, d números reales

Teorema 1.1 Ley de simpli�cación para la suma.Si a+ b = a+ c, entonces b = c

Teorema 1.2 Posibilidad de la sustracción.Dados a y b existe uno y solo un x tal que a + x = b: Este x se designa por b − a (si b = 0,

0− a = −a negativo)

Teorema 1.3 b− a = b+ (−a)

Teorema 1.4 −(−a) = a

Teorema 1.5 a(b− c) = ab− ac

Teorema 1.6 0a = a0 = 0

Teorema 1.7 Ley de simpli�cación para la multiplicación.Si ab = ac y a 6= 0, entonces b = c

Teorema 1.8 Posibilidad de la división.Dados a y b con a 6= 0 existe uno y solo un x tal que ax = b, se designa por b

a y se denominacociente de b y a (1

a = a−1 recíproco de a)

Teorema 1.9 Si a 6= 0, ( ba = ba−1)

Teorema 1.10 Si a 6= 0, (a−1)−1 = a

Teorema 1.11 Si ab = 0 entonces a = 0 ó b = 0

Teorema 1.12 (−a)b = −(ab) y (−a)(−b) = ab

Teorema 1.13 abcd

= acbd

si b 6= 0 y d 6= 0

Teorema 1.14a

bcd

= adbc

si b 6= 0, c 6= 0 y d 6= 0

Teorema 1.15 ab

+ cd

= ad+ bcbd

; si b 6= 0, d 6= 0

1.6. AXIOMAS DE ORDEN 5

1.6. Axiomas de Orden

Ordenación entre los números reales

Axioma 1.7 Si x, y son positivos, también lo son x+ y, xy

Axioma 1.8 Para cada número real x 6= 0, x es positivo ó x es negativo, pero no ambos.

Axioma 1.9 El número 0 no es positivo

1.7. Desigualdades

Las desigualdades son expresiones donde dos términos se comparan por medio de símbolosparticulares, por esto, las desigualdades también se le llaman inecuaciones. La solución de unadesigualdad se da por un intervalo.

1.7.1. Reglas para Desigualdades

x < y Signi�ca que y − x es positivo

Teorema 1.16 Para los números reales a y b, se veri�ca una y sola una de las tres relaciones:a < b, b < a, a = b

Teorema 1.17 Propiedad Transitiva.Si a 0 es ac < bc

Teorema 1.20 Si a 6= 0 es a2 > 0

Teorema 1.21 1 > 0

Teorema 1.22 Si a bc

Teorema 1.23 Si a −b

Teorema 1.24 Si ab > 0 entonces a y b son positivos o ambos negativos

Teorema 1.25 Si a < c y b < d entonces a+ b < c+ d

1.8. Intervalos

Los intervalos son subconjuntos de números reales.


1.8.1. Intervalos Acotados

A1 = {x | 0 ≤ x ≤ 1}A2 = {x | 2 < x < 5}A3 = {x | 1 < x ≤ 2}A4 = {x | − 1 ≤ x < 0}Otra forma de representar los intervalos:A1 = [0, 1]A2 = ]2, 5[= (2, 5)A3 = ]1, 2] = (1, 2]A4 = [−1, 0[= [−1, 0)

1.8.2. Intervalos In�nitos

A = {x|x > 1} = (1,∞)B = {x|x ≥ 2} = [2,∞)

1.9. Valor Absoluto

De�nición 1.4 Siendo x ∈ R, se llama valor absoluto de x, lo que se denota por |x|, a:

|x| ={

+x : x ≥ 0−x : x < 0

La interpretación geométrica del valor absoluto de x, es la distancia del número x al origen dela recta numérica. La distancia entre a y b, es: |a− b| = |b− a|.

El valor absoluto se comporta de manera adecuada con la multiplicación y la división, pero noasí con la suma y la resta.

1.9.1. Propiedades del Valor Absoluto

Teorema 1.26 ∀x, x ∈ R: |x| ≥ 0

Teorema 1.27 Si x ∈ R y |x| = 0 entonces x = 0

Teorema 1.28 Si x ∈ R, y ∈ R entonces |x · y| = |x||y|

Teorema 1.29 ∀x, x ∈ R: | − x| = |x|

Teorema 1.30 Si x ∈ R, y ∈ R, y 6= 0 entonces∣∣∣xy

∣∣∣ =|x||y|

Teorema 1.31 ∀x, x ∈ R: |x|2 = x2

Teorema 1.32 Sea x ∈ R y k ∈ R, k > 0 entonces: |x| = k ⇐⇒ x = k ó x = −k

Teorema 1.33 Sea x ∈ R y k ∈ R, k > 0 entonces: |x| < k ⇐⇒ −k < x < k

1.10. VECINDADES Y ENTORNO 7

Teorema 1.34 Sea x ∈ R y k ∈ R, k > 0 entonces: |x| > k ⇐⇒ x > k ó x < −k

Teorema 1.35 Sea x ∈ R y k ∈ R, k > 0 entonces:

1. |x| ≤ k ⇐⇒ −k ≤ x ≤ k

2. |x| ≥ k ⇐⇒ x ≥ k ó x ≤ k

Teorema 1.36 ∀x, x ∈ R: −|x| ≤ x ≤ |x|

Teorema 1.37 (Desigualdad triangular) Si x ∈ R, y ∈ R, entonces |x+ y| ≤ |x|+ |y|

Teorema 1.38 Si x ∈ R, y ∈ R, entonces |x− y| ≤ |x|+ |y|

Teorema 1.39 Si x ∈ R, y ∈ R, entonces |x| − |y| ≤ |x+ y|

Teorema 1.40 Si x ∈ R, y ∈ R, entonces |x| − |y| ≤ |x− y|

1.10. Vecindades y Entorno

Dados dos números reales a y b con a < b dan lugar a intervalos cerrados [a, b] (Dados pora ≤ x ≤ b) e intervalos abiertos ]a, b[ (dados por a < x < b).

Sea p ε [a, b] y todo ε pequeño, entonces p−ε < x < p+ε es un intervalo vecindad o entorno]p− ε, p+ ε[

Figura 1.2: Entorno de p

En la Fig. (1.2), se muestra la grá�ca del entorno de p.De�nición 1.5 Entorno de un Punto: Dado p ∈ R, se denomina entorno de p a todo conjuntoV ⊆ R para el que exista algún ε > 0 de manera que V contenga al intervalo (p−ε,p+ε).

De�nición 1.6 Entorno reducido: Si V es un entorno de p, se dice que el conjunto V \ {p} esun entorno reducido de p.

1.11. Punto de Acumulación

De�nición 1.7 Punto de acumulación: Sea A ⊆ R, p ∈ R; p es un punto de acumulaciónde A si todo entorno reducido de p contiene puntos de A.

De�nición 1.8 Sea A ⊆ R. Se dice que p ∈ R es un punto de acumulación de A cuando paratodo r > 0 se tiene que

A ∩ ((p− r, p+ r) \ {p}) 6= φ


Figura 1.3: p es un punto de acumulación

Figura 1.4: El número 2, es un punto de acumulación

En la Fig. (1.3), se muestra la ilustración del punto de acumulación, p.

Ejemplo 1.1 El punto 2 es un punto de acumulación del intervalo (1,2).

En la Fig. (1.4), se presenta la solución grá�ca del ejemplo.

Teorema 1.41 Sean A ⊆ R y p ∈ R. Entonces p es un punto de acumulación de A si y solo si todoentorno de p contiene in�nitos puntos de A.

Corolario 1.1 Un conjunto �nito no tiene puntos de acumulación.

Observación 1.1 Es importante aclarar que el hecho de que p sea un punto de acumulación de Ano implica que p esté en A.

1.12. Funciones

De�nición 1.9 f es un función de A y B si y solo si f es una relación entre A y B, tal que todoelemento de A tiene un único correspondiente en B.

f : A→ B

donde:A es el dominio de f , es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los elementos para los

cuales la función está de�nida.B es el codominio de f , es el conjunto imagen de la misma, es decir, los valores que toma f .

También se denomina rango de la función f .

Ejemplo 1.2 Sean A = {−1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4}f es la aplicación de�nida por:(x, y) ∈ f ⇔ y = x2; x ∈ A, y ∈ Bf = {(−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}En la Fig. (1.5), se muestra el diagrama de Venn de la función f .

1.12. FUNCIONES 9

Figura 1.5: Diagrama de Venn

De�nición 1.10 Función. f es una función de A en B si y solo si f es un subconjunto de A×Bque satisface las siguientes condiciones de existencia y unicidad:

∀a ∈ A, ∃b ∈ B |(a, b) ∈ f

Si (a, b) ∈ f ∧ (a, c) ∈ f ⇔ b = c

Si (a, b) ∈ f , b es el correspondiente o imagen de a, se denota por f :

b = f(a) 'b es función de a'Una cantidad y es función de otra x, si cada valor de x tiene un valor único de y relacionado

con él. Se dice que y es el valor de la función o la variable dependiente y es el argumento o variableindependiente:

y = f(x)

El dominio de una función es un conjunto de posibles valores de la variable independiente y elrango es el conjunto correspondiente de los valores de la variable dependiente.

1.12.1. Diversas Formas de Expresión de una Función

a) Funciones dadas en forma tabularPor ejemplo la temperatura dada por un centro meteorológicot 0 1 2 3 4 5 6 . . . 8 9 10 12 13 HorasT 5 5 4 3 3 2 2 . . . 5 6 15 17 17 Grados

b) Representación Grá�ca de funcionesSe llama grá�ca de una función al conjunto de puntos del plano xy cuyas abscisas son los valoresde la variable independiente y las ordenadas, las correspondientes de la función.En la Fig. (1.6), se muestra la grá�ca de la función.

c) Representación Analítica de funcionesLas funciones, también se pueden representar mediante expresiones matemáticas de la forma:


Figura 1.6: Grá�ca de una función

y = x4 − 2

y =√

1− x2

y =3x3 + x2 + 4x+ 5

4x5 + x3 + 3x+ 220 sin(x+ 2)

1.12.2. Funciones Elementales

a) Función Potencial y = xa ; a es número real

1 a es entero positivoEn la Fig. (1.7), se muestra las grá�cas de la función potencial para a = 1, 2, 3.

2 a es entero negativoEn la Fig. (1.8), se muestra las grá�cas de la función potencial para a = −1,−2,−3.

3 a es un número racional fraccionario positivoEn la Fig. (1.9), se muestra las grá�cas de la función potencial para a = 1/2, 1/3 y a = 4/3.

4 a es un número racional fraccionario negativoEn la Fig. (1.10), se muestra las grá�cas de la función potencial para a = −1/3 y a = −8/5.

b) Función Exponencialy = ax; a > 0; a 6= 1

En la Fig. (1.11), se muestra las grá�cas de la función exponencial para a = 2, 5 y a = 1/2, 1/5.

1.12. FUNCIONES 11

Figura 1.7: Grá�cas de la función potencial

Figura 1.8: Grá�cas de la función potencial: a < 0; a ∈ Z−

c) Función Logaritmo y = logax; a > 0; a 6= 0

En la Fig. (1.12), se muestra las grá�cas de la función logaritmo: a = 10 y a = e. Las que sedenominan: logaritmo decimal y logaritmo neperiano.

d) Función Trigonométrica Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, que se repitencada periodo T .

De�nición 1.11 Función Periódica: Sea f una función de�nida en R, se dice que f es unafunción periódica de periodo T (T ∈ R\{0}) si para cada x ∈ R se cumple f(x+T ) = f(x) (sugrá�ca se puede obtener por traslación reiterada de la grá�ca en cualquier intervalo de longitud|T|).

1 Función Senoy = a · sen(bx+ c)


Figura 1.9: Grá�cas de la función potencial: a fraccionario positivo

Figura 1.10: Grá�cas de la función potencial: a fraccionario negativo

donde:a Amplitudb Determina el periodo: T = 2π

bc DesfaseEn la Fig. (1.13), se muestra las grá�cas de la función seno.

2 Función Cosenoy = a · cos(bx+ c)

En la Fig. (1.14), se muestra las grá�cas de la función coseno.3 Función Tangente

y = a · tan(bx+ c)

En la Fig. (1.15), se muestra las grá�cas de la función tangente.

1.12. FUNCIONES 13

Figura 1.11: Grá�cas de la función exponencial

Figura 1.12: Grá�cas de la función logaritmo

Figura 1.13: Grá�cas de función seno


Figura 1.14: Grá�cas de función coseno

Figura 1.15: Grá�cas de función tangente

e) Familia de funciones lineales

y = ax+ b

En la Fig. (1.16), se muestra las grá�cas de la función y = ax+ b con b = 0. En la Fig. (1.17),se muestra las grá�cas de la función y = ax+ b con a = m = 1.

f) Funciones algebraicas (funciones no lineales)

1 Función cuadráticay = ax2 + bx+ c

En la Fig. (1.18), se muestra las grá�cas de la función cuadrática y = 2x2 + x− 1.En la Fig. (1.19), se muestra las grá�cas de la función cuadrática y = 2x2 − 2x+ 6.En la Fig. (1.20), se muestra las grá�cas de la función cuadrática y = −3x2 − 3

2x+ 32 .

2 Función de tercer gradoy = ax3 + bx2 + cx+ d

1.12. FUNCIONES 15

Figura 1.16: Familia de rectas con b=0

Figura 1.17: Familia de rectas con m=1

3 Funciones racionalesy =

anxn + an−1x

n−1 + . . . + a1x+ a0

bmxm + bm−1xm−1 + . . . + b1x+ b0

4 Funciones Irracionales

y =ax

n

m + bx

l

p

cx

r

s + dx

q

t

donde: n, m, l, p, ,r, t son enteros.


Figura 1.18: Grá�ca de la función cuadrática, a > 0, raíces reales

Figura 1.19: Grá�ca de la función cuadrática, a > 0, raíces complejas

g) Funciones pares e impares

De�nición 1.12 Función Par: Sea f una función de�nida en R, se dice que f es una funciónpar, si para cada x ∈ R se cumple f(−x) = f(x) (su grá�ca, es simétrica respecto al eje deordenadas).

De�nición 1.13 Función Impar: Sea f una función de�nida en R, se dice que f es unafunción impar, si para cada x ∈ R se cumple f(−x) = −f(x) (su grá�ca, es simétrica respectoal origen de ordenadas).

h) Función constante

1.12. FUNCIONES 17

Figura 1.20: Grá�ca de la función cuadrática, a < 0, raíces reales

Figura 1.21: Grá�ca de la función cuadrática, a < 0, raíces complejas

y = c

1.12.3. Funciones Especiales

1.12.3.1. Valor AbsolutoDe�nición 1.14 El valor absoluto de cualquier número real es positivo.

|x| ={

+x : x ≥ 0−x : x < 0

Interpretación geométrica: El valor absoluto de x es la distancia del punto x de la recta alorigen. La distancia entre dos números reales a y b, es |a− b| = |b− a|, denominado también comomódulo ó tamaño. En la Fig. (1.27), se muestra la grá�ca de la función valor absoluto.


Figura 1.22: Grá�ca función cúbica a > 0

Figura 1.23: Grá�ca función cúbica a < 0

1.12.3.2. Función parte EnteraDe�nición 1.15 Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero in-mediatamente inferior.

En la Fig. (1.28), se muestra la grá�ca de la función parte entera.

1.12.3.3. Función signo

f(x) =

1 si x > 00 si x = 0−1 si x < 0

En la Fig. (1.29), se muestra la grá�ca de la función signo.

1.12. FUNCIONES 19

Figura 1.24: Grá�ca función par

Figura 1.25: Grá�ca función impar

1.12.4. Composición de Funciones

Sea f una función de A en B y sea g una función de B (el codominio de f) en C.La composición de las funciones f : A → B y g : B → C es la función g ◦ f : A → C de�nida

por (g ◦ f)(x) = g[f(x)];∀x ∈ Ag ◦ f denota la función compuesta de f con g

Ejemplo 1.3 Sean A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d}, C = {5, 6} y las funciones f : A→ B y g : B → Cde�nida por:

f = {(1, a), (2, b), (3, d)}; a = f(1), b = f(2), d = f(3)g = {(a, 5), (b, 5), (c, 5), (d, 6)}; 5 = g(a), 5 = g(b), 5 = g(c), 6 = g(d)La función compuesta, es:


Figura 1.26: Grá�ca función constante

Figura 1.27: Grá�ca de la función valor absoluto

Figura 1.28: Grá�ca de la función parte entera

Figura 1.29: Grá�ca de la función signo

g ◦ f = {(1, 5), (2, 5), (3, 6)}

1.12. FUNCIONES 21

El diagrama de Venn correspondiente:

Figura 1.30: Grá�ca de la composición de funciones: g ◦ f

En la Fig. (1.30), se muestra los diagramas de Venn de la composición de funciones.

Ejemplo 1.4 Sean f : R → R; tal que f(x) = 2x y g : R → R ; tal que g(x) = x2

Entonces1. g ◦ f : R → R de�nido por (g ◦ f)(x) = g[f(x)] = g(2x) = (2x)2 = 4x2

2. f ◦ g : R → R de�nido por (f ◦ g)(x) = f [g(x)] = f(x2) = 2x2

en general g ◦ f 6= f ◦ g , es decir la composición de funciones no es conmutativa.

1.12.5. Función Inversa

1.12.5.1. Función InyectivaSea f una aplicación de A en B. Entonces f se dice inyectiva si elementos distintos de B

corresponden a elementos de A, es decir, si dos elementos distintos de A tienen imágenes distintas.Si a = a′ implica que f(a) = f(a′)

1.12.5.2. Función SobreyectivaSea f una función de A en B. El dominio de imágenes f(A) de la función f es un subconjunto

de B esto es, f(A) ⊂ B, si f(A) = B, es decir, si todo elemento de B es imagen de al menos de unelemento de A, se dice entonces que "f es una función sobreyectiva de A en B".

Toda función f : A→ B es una relación, ¾la relación inversa es una función?.Cuando f : A→ B , es una función inyectiva y sobreyectiva,f−1 : B → A , se llama la función inversa (recíproca) de la f

1.12.5.3. Función BiyectivaSi f es inyectiva y sobreyectiva, se denomina biyectiva.

De�nición 1.16 Función Inversa Dada una función biyectiva f : A → B, se llama funcióninversa de f a la función f−1 : f(A) → A, tal que f−1(y) = x, si y solo si f(x) = y.


1.13. Clases de Funciones

Existen clases particulares de funciones que aparecen frecuentemente.

De�nición 1.17 Una función f se dice monótona no creciente si dados cualesquiera x, y ∈ domf con x < y, es f(x) ≥ f(y).

De�nición 1.18 Una función f se dice monótona no decreciente si dados cualesquiera x, y ∈dom f con x < y, es f(x) ≤ f(y).

De�nición 1.19 Una función f se dicemonótona estrictamente creciente si dados cualesquierax, y ∈ dom f con x < y, es f(x) < f(y).

De�nición 1.20 Una función f se dice monótona estrictamente decreciente si dados cua-lesquiera x, y ∈ dom f con x < y, es f(x) > f(y).

La monotonía no es una propiedad puntual de la función, es una propiedad g lobal.

1.14. Funciones Acotadas

De�nición 1.21 Una función f está acotada superiormente si su conjunto imagen está acotadosuperiormente. Dicho de otro modo, si existe un número �jo M ∈ R tal que, simultáneamente paratodos los x ∈ dom f , se tenga f(x) ≤M (f está acotada superiormente por M).

Una función f está acotada inferiormente si su conjunto imagen está acotado inferiormente.Dicho de otro modo, si existe un número �jo m ∈ R tal que, simultáneamente para todos losx ∈ dom f , se tenga f(x) ≥ m (f está acotada inferiormente por m).

Finalmente, una función acotada es aquella que está acotada superior e inferiormente, es decir,aquella cuyo conjunto imagen está acotado, de manera que existen constantes m,M ∈ R, tales quepara cada x ∈ domf se tiene que m ≤ f(x) ≤M .

1.14.1. Operaciones Algebraicas con Funciones

Las operaciones algebraicas con números reales se pueden extender a las funciones entre sub-conjuntos de R de forma natural. Si f : R → R y g : R → R son funciones, se de�ne las funcionessiguientes:

f + g : R → R

fg : R → Rf

g= f/g : R → R

como sigue:(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(fg)(x) = f(x) · g(x)(f

g

)(x) =

f(x)g(x)

1.15. SISTEMA DE COORDENADAS 23

El dominio de estas funciones, son:dom(f + g) = dom(fg) = domf ∩ domg

dom

(f

g

)= (domf ∩ domg) \ {x ∈ domg : g(x) = 0}

Las operaciones más comunes, son:1. cf(x)

La grá�ca se expande en forma vertical si c > 0, se contrae si 0 < c < 1 y la grá�ca se invierteverticalmente si c < 0.

2. f(x)c

La grá�ca se contrae en forma vertical si c > 1, se expande si 0 < c < 1 y la grá�ca se invierteverticalmente si c < 0.

3. c+ f(x)

La grá�ca se desplaza verticalmente en c unidades.4. f(cx)

La grá�ca se expande horizontalmente si c > 0 y se re�eja horizontalmente si c < 0.

5. f(xc

)La grá�ca se contrae horizontalmente si c > 0 y se re�eja horizontalmente si c < 0.

6. f(x+ c)

La grá�ca se traslada horizontalmente si c > 0 hacia la izquierda en −c unidades y si c < 0hacia la derecha en c unidades.

1.15. Sistema de Coordenadas

Para especi�car la localización de un punto o un objeto es necesario de�nir un sistema dereferencia. Si a la referencia se asocia un sistema de coordenadas, se tienen unos ejes de coordenadas.

1.15.1. Sistema Rectangular de Coordenadas

En el plano de�nido por el producto cartesiano P = R×R = {(x, y)| x, y ∈ R}, se escoge unapar de rectas perpendiculares, una horizontal y otra vertical. La horizontal se denomina el eje x yla vertical el eje y.

Si se toma un sistema lineal de coordenadas sobre cada una de ellas. Se establece una corres-pondencia entre los puntos del plano P y los pares de números reales.

1.15.1.1. Distancia entre dos puntosLa distancia entre dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) está dado por:

d =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2


1.15.1.2. Punto medioEl punto medio M(x, y) está en el centro del segmento que une los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

y tiene coordenadas: x1 + x22 ; y1 + y2

2

1.15.2. Sistema de Coordenadas Polares

Un punto del plano se puede localizar mediante sus coordenadas rectangulares. En muchas oca-siones, sin embargo, es más conveniente localizar los puntos por medio de un sistema de coordenadas(r, φ) llamadas coordenadas polares.

En coordenadas polares un punto está determinado por una distancia y un ángulo:

P (r, φ) = P (r, φ+ k360◦)

1.15.3. Transformación de Coordenadas

Se tienen dos conjuntos de coordenadas para localizar los puntos del plano:

a) Coordenadas rectangulares (x, y)

b) Coordenadas polares (r, φ)

Las relaciones de transformación, son:1. Transformación de coordenadas cartesianas a coordenadas polares

r =√x2 + y2

tanφ =y

x

φ = arctany

x

2. Transformación de coordenadas polares a coordenadas cartesianas

x = r cosφ

y = r senφ

Distancia entre puntos:

1. En coordenadas cartesianas

d2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

2. En coordenadas cartesianas

d2 = r21 + r22 − 2r1r2 cos(φ2 − φ1)

1.16. LÍNEA RECTA 25

1.16. Línea Recta

La línea recta, analíticamente, es una ecuación lineal. La representación grá�ca del lugar geo-métrico de una ecuación de primer grado de dos variables, es una recta.

Una recta queda completamente de�nida, si se conocen dos condiciones: dos puntos ó un puntoy su dirección.

1.16.1. Formas de la Ecuación de la Recta

a) Punto-Pendiente. La ecuación que pasa por el punto P1(x1, y1) y cuya pendiente sea m, es:

y − y1 = m(x− x1)

b) Pendiente-Ordenada en el origen. La ecuación de la recta de pendiente m y que corta al ejey en el punto (0, b) - siendo b, la ordenada en el origen- es:

y = mx+ b

c) Cartesiana. La ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es:

y − y1

x− x1=y2 − y1

x2 − x1

tanα = m =y2 − y1

x2 − x1

d) Reducida ó abscisa y ordenada en el origen. La ecuación de la recta que corta a los ejescoordenados x e y en los puntos (a, 0) - siendo a la abscisa en el origen- y (0, b) -siendo b laordenada en el origen-, respectivamente, es:

x

a+y

b= 1

e) General. Una ecuación lineal ó de primer grado en las variables x e y es la forma: Ax+By+C = 0, en donde A,B y C son constantes arbitrarias. La pendiente de la recta, es: m = −AB y suordenada en el origen, es: b = −CB

f) Normal. Una recta también queda determinada si se conocen la longitud de la perpendiculara ella trazada desde el origen (0, 0) y el ángulo que dicha perpendicular forma con el eje x. Ladistancia P de 0 a AB se considera siempre positiva.Sean (x1, y1) las coordenadas del punto C, en esas condiciones:

x1 = P cosω

y1 = P senω

y la pendiente de AB: m = − 1tgω = − cotgω = − cosω

senωEn la Fig. (1.31), se muestra la recta normal de la recta AB.


Figura 1.31: Ecuación normal de la recta

Denominando (x, y) otro punto cualquiera de AB, se tiene:

y − y1 = m(x− x1) = − cotgω(x− x1)

y − Psenω = − cosωsenω

(x− Pcosω)

y senω = P sen2 ω − x cosω + P cos2 ω

x cosω + y senω − P = 0

1.16.1.1. Reducción de la forma general a normal

Sean Ax + By + C = 0 y xcosω + ysenω − P = 0, las ecuaciones de la misma recta. Para quesean iguales, los coe�cientes de ambas ecuaciones deben ser iguales o proporcionales:

cosωA

=senωB

=−PC

= k

k es una constante de proporcionalidad.Entonces: cosω = kA; senω = kB y −P = kC

cos2 ω + sen2 ω = k2(A2 +B2) = 1

de donde: k = 1±

√A2 +B2

, entonces:

cosω = A

±√A2 +B2

; senω = B

±√A2 +B2

; −P = C

±√A2 +B2

La forma normal de la recta Ax+By + C = 0, es:Ax

±√A2 +B2

+Bx

±√A2 +B2

+C

±√A2 +B2

= 0

1.17. SECCIONES CÓNICAS 27

Se debe considerar, el signo del radical opuesto al de C. Si C = 0, el signo del radical se consideraigual al de B.

1.16.2. Distancia de un Punto a una Recta

Para hallar la distancia d de un punto (x1, y1) a una recta L, se traza la recta L1, paralela a Ly que pase por (x1, y1).

Figura 1.32: Distancia del punto P1(x1, y1) a la recta L

En la Fig. (1.32), se muestra la distancia del punto P1(x1, y1) a la recta L.La ecuación de L es x cosω+y senω−P = 0 y la ecuación de L1 es x cosω+y senω−(P+d) = 0Las coordenadas del punto P1(x1, y1) satisfacen la ecuación de L1:

x1 cosω + y1 senω − (P + d) = 0

y despejando d, se tiene:d = x1 cosω + y1 senω − P (1.1)

Otra alternativa, es emplear la siguiente expresión:

d = |Ax1 +By1 + C√A2 +B2

|

que se puede deducir de la ecuación 1.1 al reemplazar cosω, senω y −P .

1.17. Secciones Cónicas

Sea la ecuación:

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

Es una ecuación de segundo grado. El conjunto total de puntos correspondientes a los pares or-denados (x, y) que veri�can la ecuación se llama sección cónica. La razón de este nombre es quegeométricamente, se puede obtener la curva mediante la intersección de un plano con un cono.


1.17.1. Circunferencia

Una Circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos P cuya distancia a un punto �joes constante.

Sea C(h, k) un punto �jo, el punto P (x, y) estará a r unidades de C si y solamente si la distanciaPC es igual a r.

r =√

(x− h)2 + (y − k)2

r2 = (x− h)2 + (y − k)2

desarrollando

x2 + y2 − 2hx− 2ky + h2 + k2 − r2 = 0

La ecuación x2 + y2 = r2 corresponde a una circunferencia de radio r y con centro en el origen.

Figura 1.33: Circunferencia con centro en C(h, k)

En la Fig. (1.33), se muestra la circunferencia con centro en C(h, k).La circunferencia resulta la �gura de intersección entre un cono y un plano horizontal.

1.17.2. Parábola

Una Parábola es el lugar geométrico de todos los puntos P , tales que la distancia de P a unpunto �jo es siempre igual a la distancia de P a un recta �ja (denominada recta directriz). UnaParábola es el lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias aun punto �jo y una recta�ja es constante y se denomina sección cónica. El punto �jo se llama foco, la recta �ja directriz yla relación constante excentricidad, e:

e =PF

MP= 1

La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz, se llama eje de la parábola.En la Fig. (1.34), se muestra la parábola con vértice en el origen.

MP = PF


Figura 1.34: Parábola con vértice en el origen

√(x− (−a))2 + (y − y)2 =

√(x− a)2 + (y − 0)2

(x+ a) =√

(x− a)2 + (y − 0)2

Elevando al cuadrado miembro a miembro, se tiene:

(x+ a)2 = (√

(x− a)2 + (y − 0)2)2

x2 + 2ax+ a2 = x2 − 2ax+ a2 + y2

Cancelando términos idénticos, se tiene:

y2 = 4ax

La ecuación de la recta directriz, es:x+ a = 0

La longitud del segmento c′c, denominada latus rectum = 4a, es el coe�ciente del término de1er grado.

Otras formas, son:y2 = −4ax

, cuya recta directriz está a la derecha del vértice: x = a

x2 = 4ay

, el eje de la parábola es el eje y cuya recta directriz está por debajo del vértice: y = −a

x2 = −4ay

, el eje de la parábola es el eje y cuya recta directriz está por encima del vértice: y = a


Las ecuaciones de las parábolas con vértice en punto V(h,k)y sus rectas directrices, son:(y − k)2 = 4a(x− h); x=-a+h(y − k)2 = −4a(x− h); x=a+h(x− h)2 = 4a(y − k); y=-a+k(x− h)2 = −4a(y − k); y=a+kLas otras formas son:

x = ay2 + by + c

y = ax2 + bx+ c

La parábola resulta la �gura de intersección entre un cono y un plano vertical.

1.17.3. Elipse

Una Elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos �jos esconstante. Los puntos �jos se llaman focos.

Figura 1.35: Elipse con centro en el origen

En la Fig. (1.35), se muestra la elipse con centro en el origen.Sea 2a la suma de distancias, (a > c) considerando un punto genérico P (x, y) que pertenezca al

lugar, entonces:F ′P + PF = 2a√

(x+ c)2 + (y − 0)2 +√

(x− c)2 + (y − 0)2 = 2a

Despejando la 1ra raíz cuadrada, se tiene:√(x+ c)2 + y2 = 2a−

√(x− c)2 + y2

elevando al cuadrado miembro a miembro y desarrollando, se tiene:

x2 + 2cx+ c2 + y2 = 4a2 − 4a√

(x− c)2 + y2 + x2 − 2cx+ c2 + y2


4cx− 4a2 = −4a√

(x− c)2 + y2


elevando al cuadrado miembro a miembro nuevamente, se tiene:

c2x2 + a4 − 2a2cx = a2(x − 2cx+ c2 + y2)

x2(a2 − c2) + a2y2 = a4 − a2c2 = a2(a2 − c2)

Sea a2 − c2 = b2, como a > c, entonces a2 > c2; a2 − c2 > 0, reemplazando y dividiendo por a2b2,se tiene la ecuación de la elipse:

x2

a2+y2

b2= 1

Si los focos fueran los puntos de coordenadas (0, c) y (0,−c), el eje mayor está sobre el eje y, Laecuación de la elipse, es:

x2

b2+y2

a2= 1

La excentricidad e = ca =

√a2 − b2a < 1. La elipse, tiene dos focos, entonces tiene dos rectas

directrices, cuyas ecuaciones son:x+

a

e= 0; x− a

e= 0

Si los focos estuvieran en el eje y, las directrices serían:

y +a

e= 0; y − a

e= 0

La longitud del latus rectum de la elipse, C ′C = 2b2a

Si el centro de la elipse es el punto (h, k) y el eje mayor tiene la dirección x. La ecuación de laelipse, es:

(x− h)2

a2+

(y − k)2

b2= 1

ó(x− h)2

b2+

(y − k)2

a2= 1

si el eje mayor fuera paralelo al eje y.La forma general de la ecuación de la elipse, es:

Ax2 +By2 +Dx+ Ey + F = 0

siempre que A y B sean del mismo signo.La elipse resulta la �gura de intersección entre un cono y un plano inclinado.

1.17.4. Hipérbola

Una Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los puntos�jos F (c, 0) y F ′(−c, 0) es constante e igual a 2a.

En la Fig. (1.36), se muestra la hipérbola con centro en el origen.Sea P (x, y) un punto genérico cualquiera de la curva. Por de�nición:

F ′P − PF = 2a


Figura 1.36: Hipérbola con centro en el origen

√(x− (−c))2 + (y − 0)2 −

√(x− c)2 + (y − 0)2 = 2a

Despejando la 1ra raíz, se tiene:√(x+ c)2 + y2 = 2a+

√(x− c)2 + y2

elevando al cuadrado miembro a miembro, se tiene:

x2 + 2cx+ c2 + y2 = 4a2 + 4a√

(x− c)2 + y2 + x2 − 2cx+ c2 + y2


4cx− 4a2 = 4a√

(x− c)2 + y2

nuevamente elevando al cuadrado miembro a miembro, se tiene:

c2x2 + a4 − 2a2cx = a2(x − 2cx+ c2 + y2)

x2(c2 − a2)− a2y2 = −a4 + a2c2 = a2(c2 − a2)

Sea c2 − a2 = b2, como c > a, entonces c2 > a2; c2 − a2 > 0, reemplazando y dividiendo por a2b2,se tiene la ecuación de la hipérbola:

x2

a2− y2

b2= 1

es una hipérbola con centro en el origen y focos sobre el eje x.Si los focos fueran (0, c) y (0,−c), la ecuación de la hipérbola, sería:

y2

a2− x2

b2= 1

La excentricidad e = ca =

√a2 + b2a > 1

Las ecuaciones de las directrices D y D′, son:


x = ±ae cuando los focos están en el eje x.y = ±ae cuando los focos están en el eje y.Las ecuaciones de la asíntotas, son:y = ± bax cuando los focos están en el eje x.y = ±a

bx cuando los focos están en el eje y.

La longitud del latus rectum de la hipérbola, C ′C = 2b2a

Si el centro de la hipérbola es el punto (h, k) y el eje real es paralelo al eje x, la ecuación de lahipérbola, es:

(x− h)2

a2− (y − k)2

b2= 1

Si el eje real es paralelo al eje y, la ecuación es:

(y − k)2

a2− (x− h)2

b2= 1

si el eje mayor fuera paralelo al eje yLas ecuaciones de la asíntotas, son:y − k = ± ba(x− h) si el eje real el paralelo al eje x.y − k = ±a

b(x− h) si el eje real el paralelo al eje y.

La longitud del eje real, A′A = 2aLa forma general de l ecuación de la hipérbola de ejes paralelos a los de coordenadas x e y, es:

Ax2 −By2 +Dx+ Ey + F = 0

Siendo A y B de signos iguales.La hipérbola resulta la �gura de intersección entre dos conos opuestos unidos por el vértice y

un plano vertical.

1.17.5. Transformación de Coordenadas

a) Traslación de ejesx = MP = MM ′ +M ′P = h+ x′

y = NP = NN ′ +N ′P = k + y′

En la Fig. (1.37), se muestra la traslación de ejes.La ecuación para la traslación de ejes, es:

x = x′ + h

y = y′ + k


Figura 1.37: Traslado de ejes

b) Rotación de ejes

x = OM = ON −MN

x = x′cosφ− y′senφ

y = MP = MM ′ +M ′P = NN ′ +M ′P

y = x′senφ+ y′cosφ

Figura 1.38: Rotación de ejes

En la Fig. (1.38), se muestra la rotación de ejes.Las fórmulas de rotación φ de los ejes coordenados, son:

1.18. LECTURA RECOMENDADA 35

x = x′cosφ− y′senφ

y = x′senφ+ y′cosφ

Las nuevas coordenadas en función de la antiguas, son:

x′ = xcosφ+ ysenφ

y′ = −xsenφ+ ycosφ

1.18. Lectura recomendada

En el cálculo, se manejan conceptos para facilitar la comprensión de otros conceptos.De�nición 1.22 Proposición: Es un enunciado de una hipótesis o suposición, y de una tesis oconclusión, que es consecuencia de la hipótesis.

De�nición 1.23 Axioma: Es una proposición evidente en sí misma y por lo tanto, no necesitademostración.

De�nición 1.24 Teorema: Es una proposición que para ser evidente necesita demostración.

De�nición 1.25 Postulado: Es una proposición que se admite sin demostración, aunque sin laevidencia del axioma.

De�nición 1.26 Lema: Es un teorema preliminar que sirve de base para demostrar otras proposi-ciones.

De�nición 1.27 Corolario o consecuencia: Es un teorema, la verdad del cual se deduce simple-mente de otro ya demostrado.

De�nición 1.28 Escolio: Es una advertencia o nota que se hace a �n de aclarar, ampliar o res-tringir proposiciones anteriores.

De�nición 1.29 Problema : Es una cuestión que se propone con la �nalidad y ánimo de aclararlao resolverla utilizando una metodología determinada.

1.18.1. Axiomas de Cuerpo

De�niciones básicas:De�nición 1.30 Anillo: Sea un conjunto no vacío A y dos funciones ∗ y ◦. La terna (A, ∗, ◦) esun anillo si y solo si: El conjunto con la primera ley es un grupo. El conjunto con la segunda ley esun semigrupo. La segunda ley es doblemente distributiva respecto a la primera.

De�nición 1.31 Grupo: Sea un conjunto no vacío G, y una función ∗. El par (G, ∗) es un gruposi y solo si ∗ es una ley interna en G, es asociativa, con neutro, y tal que todo elemento de G admiteinverso respecto de ∗.


De�nición 1.32 Semigrupo: El par (A, ∗), donde A y ∗ es una función, es un semigrupo si ysolo si ∗ es una ley interna y asociativa en A.

De�nición 1.33 Cuerpo: Un anillo con unidad cuyo elementos no nulos son inversibles, se llamaanillo de división.

De�nición 1.34 Anillo conmutativo:Todo anillo conmutativo es un cuerpo. La terna (K, +, ◦)es un cuerpo si y solo si es un anillo conmutativo, con unidad, cuyos elementos no nulos admiteninverso multiplicativo.

1.18.2. Relación, Función, Aplicación

Una relación binaria R entre los elementos A y B es un subconjunto de A×B.Mientras que una función o aplicación f de A en B y es una relación entre A y B, es un

subconjunto f de A×B tal que:Para todo x ∈ A existe un único elemento y de B tal que (x, y) pertenece a f y se denota por

y = f(x).Como se puede ver toda función es una relación sin embargo no toda relación es una función

porque la función tiene la fuerte restricción de que para cada elemento x de A exista un únicoelemento y de B tal que (x, y) pertenezca a f .

Tiene sentido decir que (x, y) pertenezca a f pues f es un subconjunto del producto cartesianoA×B y los elementos de este último conjunto son pares ordenados.

Así a groso modo una relación entre dos conjuntos es simplemente un subconjunto del productocartesiano de dichos conjuntos.

El concepto de función, es idéntico al concepto de aplicación, sin embargo se pre�ere la palabrafunción cuando se trata con números reales. Mientras que la palabra aplicación se reserva para casosdonde los conjuntos A y B no siempre son números reales.

Capítulo 2

Límites y Continuidad de las Funciones

2.1. Introducción

En éste capítulo, se presentan las de�niciones de sucesión y límites para una sucesión y función,y la condición necesaria y su�ciente para la continuidad de una función en un punto.

2.2. Sucesión

La idea de sucesión en R, es la de una lista de puntos de R. Son ejemplos de sucesiones:

2, 4, 6, 8, 10, · · ·

1, 1/2, 1/3, 1/4, · · ·

De�nición 2.1 Sucesión. Una sucesión (de números reales) es una función a : N → R. Es unafunción discreta.

Sea a : N → A

donde A ⊂ Ran = a(n)

La función a(n) se denomina término n-ésimo de la sucesión:

{an} = {a1, a2, . . . , an}

donde an = a(n), es el término n-ésimo de la sucesión.

Ejemplo 2.1 La suma de los primeros n enterosS(n) = 1 + 2 + 3 + . . . + n = n(n+ 1)

2es una función de nS = {1, 3, 6, 10, 15, . . . }En la Fig. (2.1), se representa la sucesión.

37

38 CAPÍTULO 2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES

Figura 2.1: Límite de una función

2.3. Límite de una Sucesión

Sea an = 1n , la sucesión es S = {1, 1

2 ,13 ,

14 , . . . ,

1n} ningún elemento de esta sucesión es cero,

pero conforme n crece, an se aproxima a cero.Sea an = (−1)n−1

n , la sucesión es S = {1, −12 ,

13 , −

14 , . . . ,

(−1)n−1

n } los an tienden a cerocuando n crece, pero los an son a veces mayores y a veces menores que cero, la sucesión oscila entorno al límite cero. En el caso considerando, la sucesión tiende al límite oscilando alrededor de él.De�nición 2.2 Límite de una sucesión. La constante a se llama límite de la sucesión {an}, sipara un número pequeño, ε > 0, tan pequeño como se quiera, se puede encontrar un valor de lasucesión, a partir del cual todos los valores consecuentes de la misma satisfacen la desigualdad:

|an − a| < ε

Entonceslım

n→∞an = a

Ejemplo 2.2 Sea an = 1 + 1n . Demostrar que su límite es la unidad.

En la Fig. (2.2), se representa la sucesión y se muestra que la sucesión tiende a 1 cuando ntiende a in�nito.

Demostración, como |an − a| = |(1 + 1n)− 1| = | 1n | =

1n

Para cualquier ε todos los valores consecuentes de la sucesión, a partir de n, donde 1n < ε ó

n > 1ε , satisfacen la desigualdad

|an − a| < ε

Sea ε = 0,001, entonces para n > 1000 satisface la desigualdad.Entonces: lımn→∞(1 + 1

n) = 1

2.3. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN 39


Ejemplo 2.3 Demostrar:

lımn→∞

(1 +(−1)n−1

2n ) = 1

Demostración, como: |an − a| = |(1 + (−1)n−1

2n )− 1| = |(−1)n−1

2n | = |(−1)n−1||2n| = 1

2n < ε

Para cualquier ε todos los valores consecuentes de la sucesión, a partir de n, donde 12n < ε ó

n >ln

1ε

ln2 , satisfacen la desigualdad|an − a| < ε

Entonces a partir del 9no término, la sucesión tiende a 1 con un error menor a 0.001.

Ejemplo 2.4 Sea an = (−1)nn

S = {−1, 2, −3, 4, . . . (−1)nn}

Sea M el límite |an −M | = |(−1)nn−M | < ε no se satisface, el límite es in�nitamente grande.

De�nición 2.3 La sucesión an tiende al in�nito si, para cualquier número positivo dado, M , sepuede elegir un valor de an a partir de la cual todos los valores consecuentes de la sucesión satisfacenla desigualdad

|an| > M

lımn→∞

(−1)nn = +∞

lımn→∞

|(−1)nn| = +∞


2.4. Límite de una Función

De�nición 2.4 Sea la función y = f(x), está de�nida en un determinado entorno del punto a, oen ciertos puntos del mismo. La función y = f(x) tiende al límite b (y → b) cuando x tiene a a(x→ a), si para cada número positivo, ε, por pequeño que sea, es posible hallar un número positivo,δ, tal que para todos los valores de x, diferentes de a y que satisfagan la desigualdad |x− a| < δ, severi�ca la desigualdad

|f(x)− b| < ε


En la Fig. (2.3), se muestra grá�camente el límite de la función f(x) cuando x→ a, cuyo límitees b.

Si b es el límite de la función f(x), cuando x tiende a a, su notación es:

lımx→a

f(x) = b

Ejemplo 2.5 Demostrar que:lımx→1

(4x+ 7) = 11

Sea ε > 0 un número pequeño dado arbitrariamente; para que se veri�que la desigualdad:|(4x+ 7)− 11| < ε es necesario que sea satisfecha:|x− a| < δ

|(4x+ 7)− 11| = |4x+ 7− 11| = |4x− 4| = 4|x− 1| < ε

|x− 1| < ε

4= δ

Ejemplo 2.6 Sea la función f(x) de�nida por f(x) = x2. Demostrar que:

lımx→a

x2 = a2

cualquiera que sea a ∈ R. Nótese que domf = R, luego todo número a es un punto de acumulaciónde domf . Si ε > 0, se supone que 0 < |x − a| < δ y se verá cómo hay que tomar δ para que ladesigualdad anterior implique que |x2 − a2| < ε. Para ello, obsérvese que:

|x2 − a2| = |x− a||x+ a| ≤ δ|x+ a|

2.4. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 41

El problema se reduce a probar que |x+ a| no puede ser muy grande si 0 < |x− a| < δ. En efecto:

|x+ a| = |(x− a) + 2a| ≤ |x− a|+ 2|a| < δ + 2|a|

Luego0 < |x− a| < δ =⇒ |x2 − a2| < δ(δ + 2|a|)

Se debe tomar δ > 0 tal queδ(δ + 2|a|) ≤ ε

Pero esto siempre es posible. En efecto, si se toma 0 < δ < 1 entonces δ2 ≤ δ y por tanto:

δ(δ + 2|a|) = δ2 + 2|a|δ ≤ δ(2|a|+ 1) ≤ ε

si δ ≤ ε2|a|+ 1

En resumen, cualquiera sea ε > 0, si se toma δ = min{1, ε2|a|+ 1}

Entonces0 < |x− a| < δ =⇒ |x2 − a2| < ε

como se quería demostrar.

Observación 2.1 No hace falta conseguir el valor óptimo (es decir mayor) de δ para el cual|f(x)− b| < ε si 0 < |x− a| < δ y x ∈ domf . Por ejemplo, en esta caso el mayor δ para el que secumple es δ =

√ε+ a2 − |a|.

Ejemplo 2.7 Demostrar quelımx→3

x2 − 9x− 3

= 6

Es necesario demostrar que para todo ε, se puede tomar un δ tal que satisfaga la desigualdad:

|x2 − 9x− 3

− 6| < ε

siempre que |x − 3| < δ. En x = 3, la función no está de�nido, pero cuando x 6= 3, la desigualdades equivalente a:

|(x− 3)(x+ 3)(x− 3)

− 6| = |x+ 3− 6| = |x− 3| < ε

Si se toma δ = ε, la función tiene por límite 6 cuando x→ 3.

2.4.1. Límites Laterales

Si f(x) tiene al límite b1, cuando x tiende a cierto número a sin tomar mas que valores inferioresa a, su notación es lım

x→a−f(x) = b1, siendo b1 el límite a la izquierda de la función en el punto a. En

caso de que x tome solo valores de que a, la notación será lımx→a+

f(x) = b2, siendo b2 el límite a laderecha de la función en el punto a.

En la Fig. (2.4), se muestra grá�camente los límites laterales de la función f(x).


Figura 2.4: Límites laterales de una función

2.4.2. Límite de la función cuando x →∞

De�nición 2.5 La función f(x) tiende al límite b cuando x → ∞, si para un número positivo, ε,por pequeño que sea, se puede encontrar un número positivo, N , tal que, para todos los valores de xque satisfagan la desigualdad |x| > N , se cumple la desigualdad

|f(x)− b| < ε

Demostrar:

lımx→∞

x+ 2x

= 1

es decir

lımx→∞

1 +2x

= 1

|(1 +2x

)− 1| =< ε

|2x| =< ε

siempre que |x| > N , dependiendo N de la elección de ε, 1x <

ε2 ; |x| > 2

ε

lımx→∞

f(x) = lımx→∞

x+ 2x

= 1

lımx→−∞

f(x) = lımx→−∞

x+ 2x

= 1

2.5. INFINITÉSIMOS 43

2.5. In�nitésimos

De�nición 2.6 La función α = α(x) se denomina in�nitésimo cuando x→ a ó cuando x→∞, silımx→a = 0 ó lımx→∞ = 0

Ejemplo 2.8 Sea α(x) = (x− 2)3, es un in�nitésimo cuando x→ 2, ya que limx→2(x− 2)3 = 0

Teorema 2.1 Si la función y = f(x) puede expresarse como suma de un número b y de un in-�nitésimo α:

y = b+ α

Entonces: lım y = b (cuando x→ a ó x→∞)

Teorema 2.2 Si α = α(x) tiende a cero, cuando x→ a (ó cuando x→∞), sin anularse, entoncesy = 1

α tiende a in�nito.

Teorema 2.3 La suma algebraica de un número �nito de in�nitésimos es un in�nitésimo.

Teorema 2.4 El producto de un in�nitésimo α(x) por una función acotada z = z(x), es un in-�nitésimo cuando x→ a (ó cuando x→∞).

Teorema 2.5 El cociente α(x)z(x) de un in�nitésimo, α(x) y una función cuyo límite es distinto de

cero, es un in�nitésimo.

2.6. Teoremas Fundamentales sobre Límites

Sealımx→a

f(x) = F

ylımx→a

g(x) = G

Teorema 2.6 El límite de la suma algebraica de funciones, es igual a la suma algebraica de loslímites:

lımx→a

(f(x) + g(x)) = lımx→a

f(x) + lımx→a

g(x) = F +G

Teorema 2.7 El límite del producto de funciones es igual al producto de sus límites:

lımx→a

(f(x)g(x)) = lımx→a

f(x) lımx→a

g(x) = FG

Teorema 2.8 El límite del producto de una constante por una función es igual al producto de laconstante y su límite:

lımx→a

cf(x) = c lımx→a

f(x) = cF


Teorema 2.9 El límite del recíproco de una función es igual al recíproco de su límite:

lımx→a

1g(x)

=1

lımx→a

g(x)=

1G

con G 6= 0

Teorema 2.10 El límite del cociente de funciones, es igual al cociente de los límites, siempre queel límite del denominador sea distinto de cero:

lımx→a

f(x)g(x)

=lımx→a

f(x)

lımx→a

g(x)=F

G

con G 6= 0Si F = 0 y G = 0, se debe anular el factor (x− a) tanto del numerador y denominador.

Teorema 2.11 El límite de la raíz n-ésima de una función es igual a la raíz n-ésima de su límite:

lıma→a

n√f(x) = n

√lımx→a

f(x) = n√F

Teorema 2.12 El límite del valor absoluto de una función, es el valor absoluto de su límite:

lımx→a

|f(x)| = | lımx→a

f(x)| = |F |

Teorema 2.13 El límite de la potencia de un función es igual a la potencia de sus límites:

lımx→a

[f(x)]g(x) = [ lımx→a

f(x)]lımx→a

g(x)= FG

Si F = 1 y G = ∞, es una indeterminación, en este caso la función f(x) se reemplaza por sulímite más un in�nitésimo: f(x) = 1 + α(x), entonces:

lımx→a

[(1 + α(x))1

α(x) ]α(x)g(x) = elımx→a

α(x)g(x)= e

lımx→a

(f(x)− 1)g(x)

Teorema 2.14 El límite de la función logaritmo, es igual al logaritmo del límite:

lımx→a

[lnf(x)] = ln[ lımx→a

f(x)] = ln|F |

2.7. Límites Especiales

a) Límite de sen(x)x , cuando x tiende a cero.

En la Fig. (2.5), se muestra grá�camente la deducción del límite de sen(x)x .

La función está indeterminada en x, toma la forma 00

Para 0 < x < π2 , se veri�ca:

Área 4MOA < área del sector MOA < área 4COA

2.7. LÍMITES ESPECIALES 45

Figura 2.5: La función senx

Siendo:Área 4 MOA

=12Base·Altura =

12OA ·BM =

12senx

Área del sector MOA

=12OA·AM =

12x

Área 4 COA

=12OA ·AC =

12tanx

12senx <

12x <

12tanx

suprimiendo el factor 12 , la desigualdad se convierte en:

senx < x < tanx

Dividiendo por senx todos los miembros de la desigualdad, se tiene:

1 <x

senx<

1cosx

Escrito de otra forma, se tiene:1 >

senx

x> cosx

Determinado el límite cuando x tiende a 0, se tiene:

lımx→0

senx

x= 1


b) Límite elım

x→∞(1 +

k

x)x = ek

lımx→ 0

(1 + kx)1x = ek

2.8. Continuidad de Funciones

De�nición 2.7 Continuidad: La función f(x), se llama continua para x = ξ (ó en el punto ξ),si :

1. Dicha función está determinada en el punto ξ, es decir, existe el número f(ξ);2. Existe y es �nito el límite lım

x→ξf(x),

3. El límite es igual al valor de la función en el punto ξ:

lımx→ξ

f(x) = f(ξ)

2.8.1. Puntos de Discontinuidad de una Función

1. Se dice que una función es discontinua en el punto x0, si en ese punto no se veri�ca la condiciónde continuidad.

2. Si la función tiene límites �nitos:

lımx→ x−0

f(x) = f(x−0 )

lımx→ x+

0

f(x) = f(x+0 )

pero los tres números f(x0), f(x+0 ), f(x−0 ) no son iguales, entonces x0 recibe el nombre de

punto de discontinuidad de 1ra especie (no in�nitos)3. Si f(x+

0 ) = f(x−0 ), x0 se llama punto de discontinuidad evitable.

Capítulo 3

Derivadas y Diferenciales

3.1. Introducción

Existen dos formas básicas para la de�nición del concepto de derivada y están relacionadas conlos grandes matemáticos: Newton y Leibniz.

3.2. De�nición de la Derivada

Sea y = f(x) una función continua, si la variable independiente x se incrementa en ∆x, entonces,la variable dependiente y se incrementa en ∆y. Es decir, para

x+ ∆x

le corresponde uny + ∆y = f(x+ ∆x)

de donde:∆y = f(x+ ∆x)− y = f(x+ ∆x)− f(x)

La razón del incremento de la función al incremento del argumento, se tiene:∆y∆x

=f(x+ ∆x)− f(x)

∆xSi existe el límite:

lım∆x→0

∆y∆x

= lım∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)∆x

se denomina la derivada de f(x)

df(x)dx

= y′ = lım∆x→0

∆y∆x

= lım∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)∆x

De�nición 3.1 Sea f(x) una función de�nida en un intervalo abierto (b, c), y sea a un punto delintervalo. Se dice que f(x) es derivable en a si existe el límite del 'cociente de incrementos' o'cociente de diferencias':

lımx→a

f(x)− f(a)x− a

47

48 CAPÍTULO 3. DERIVADAS Y DIFERENCIALES

Cuando f(x) es derivable en a, el valor del límite anterior recibe el nombre de derivada de f(x)en a y se denota por f ′(a), es decir:

f ′(a) = lımx→a

f(x)− f(a)x− a

si tal límite existe y es �nito.También, se usan otras notaciones: d

dxf(a), df

dx

∣∣∣x=a

, dydx

, y′, etc.

De�nición 3.2 Sea f : D ⊆ R → R una función derivable en algún punto, y sea S el subconjuntode puntos de D en los que f es derivable (naturalmente, puede ser S 6= D). La función derivadade f se de�ne haciendo corresponder a cada x ∈ S el valor de la derivada de f en el punto x. Porrazones obvias, esta función suele denotarse por f ′, de manera que

f ′ : x ∈ S → f ′(x) = lımy→x

f(y)− f(x)y − x

∈ R

Ejemplo 3.1 Hallar la derivada de la funcióny = 2x2 + 4x+ 7

El incremento de la variable dependiente es:y + ∆y = 2(x+ ∆x)2 + 4(x+ ∆x) + 7 = 2x2 + 4x∆x+ 2∆x2 + 4x+ 4∆x+ 7

Despejando ∆y, se tiene:∆y = 4x∆x+ 2∆x2 + 4∆x

La razón de incrementos; es:∆y∆x

=4x∆x+ 2∆x2 + 4∆x

∆x=

∆x(4x+ 2∆x+ 4)∆x

= 4x+ 2∆x+ 4

entonces el límite de la razón de incrementos, es:

y′ = lım∆x→0

∆y∆x

= lım∆x→0

(4x+ 2∆x+ 4) = 4x+ 4

Ejemplo 3.2 Hallar la derivada de la funcióny = sen(x)

∆y = sen(x+ ∆x)− sen(x)

∆y = sen(x) cos(∆x) + cos(x) sen(∆x)− sen(x)

y′ =dy

dx= lım

∆x→0

∆y∆x

= lım∆x→0

sen(x) cos(∆x) + cos(x) sen(∆x)− sen(x)∆x

y′ = lım∆x→0

cos(x) sen(∆x)∆x

= cos(x) lım∆x→0

sen(∆x)∆x

= cos(x)

ya quelım

∆x→0cos(∆x) = 1

3.2. DEFINICIÓN DE LA DERIVADA 49

Ejemplo 3.3 Hallar la derivada de la función

y =2x

∆y =2

x+ ∆x− 2x

= 2x− (x+ ∆x)(x+ ∆x)x

= − 2∆x(x+ ∆x)x

y′ = lım∆x→0

∆y∆x

= lım∆x→0

− 2∆x∆x(x+ ∆x)x

= lım∆x→0

− 2(x+ ∆x)x

= − 2x2

Ejemplo 3.4 Hallar la derivada de la función

y =13√x

∆y =1

3√x+ ∆x

− 13√x

Considerando que: a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2), se tiene:

∆y =1

3√x+ ∆x

− 13√x

= (1

3√x+ ∆x

− 13√x

)(

13√x+ ∆x

)2 +1

3√x+ ∆x

13√x

+ (13√x

)2

(1

3√x+ ∆x

)2 +1

3√x+ ∆x

13√x

+ (13√x

)2

∆y =(

13√x+ ∆x

)3 − (13√x

)3

(1

3√x+ ∆x

)2 +1

3√x+ ∆x

13√x

+ (13√x

)2=

1x+ ∆x

− 1x

(1

3√x+ ∆x

)2 +1

3√x+ ∆x

13√x

+ (13√x

)2

∆y =

x− (x+ ∆x)x(x+ ∆x)

(1

3√x+ ∆x

)2 +1

3√x+ ∆x

13√x

+ (13√x

)2=

−∆x(x+ ∆x)x

(1

3√x+ ∆x

)2 +1

3√x+ ∆x

13√x

+ (13√x

)2

∆y = − ∆x

x(x+ ∆x)[(1

3√x+ ∆x

)2 +1

3√x+ ∆x

13√x

+ (13√x

)2]

y′ = lım∆x→0

∆y∆x

= lım∆x→0

− ∆x

∆x(x+ ∆x)x[(1

3√x+ ∆x

)2 +1

3√x+ ∆x

13√x

+ (13√x

)2]

y′ = − lım∆x→0

1

(x+ ∆x)x[(1

3√x+ ∆x

)2 +1

3√x+ ∆x

13√x

+ (13√x

)2]= − 1

x23(13√x

)2= − 1

3 3√x4


3.3. Interpretación Geométrica de la Derivada

La derivada, se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a la grá�ca de lafunción.

y′ = lım∆x→0

∆y∆x

= m

Donde: m es la pendiente de la recta tangente en P a la curva y = f(x)

Figura 3.1: Interpretación geométrica

En la Fig. (3.1), se muestra la interpretación geométrica de la derivada.

3.4. Velocidad del Movimiento

La distancia, s, recorrida por un móvil calculada a partir de cierta posición inicial, M0, dependedel tiempo t:

s = f(t)

Supóngase que el móvil, en el instante t, se encuentra a la distancia s de la posición inicial, M0 yen el instante t + ∆t se encuentra en la posición M1, a la distancia s + ∆s de la posición inicial.Durante el intervalo de tiempo ∆t, la distancia s se incrementó en ∆s, la razón ∆s

∆t es la velocidadmedia:vm =

∆s∆t

y la derivada de s respecto a t, es decir:ds

dt= v = lım

∆x→0

∆s∆t

= lım∆x→0

f(t+ ∆t)− f(t)∆t

es la velocidad instantánea de un movimiento no uniforme.

Figura 3.2: Velocidad instantánea

En la Fig. (3.2), se muestra la interpretación de la derivada como velocidad instantánea de unmóvil.

3.5. REGLAS DE DERIVACIÓN 51

3.5. Reglas de Derivación

La derivación es el proceso de calcular la derivada de una función.Sean u, v, w funciones diferenciables de x y a, c, m son constantes.Una función es diferenciable (ó derivable) en x = x0, si existe f ′(x0)

1. ddx

(c) = 0

2. ddx

(x) = 1

3. ddx

(u+ v − w + . . . ) = ddx

(u) + ddx

(v)− ddx

(w) + . . .

4. ddx

(cu) = c ddx

(u)

5. ddx

(uv) = u ddx

(v) + v ddx

(u) = uv′ + vu′

6. ddx

(uvw) = uv ddx

(w) + uw ddx

(v) + vw ddx

(u)

7. ddx

(uc ) = ddx

(1cu) = 1cddx

(u); c 6= 0

8. ddx

( cu) = c ddx

( 1u) = − c

u2ddx

(u); u 6= 0

9. ddx

(uv ) =vd

dx(u)− u

d

dx(v)

v2 ; v 6= 0

10. ddx

(xm) = mxm−1

11. ddx

(um) = mum−1 ddx

(u)

12. ddx

(eu) = eu ddx

(u)

13. ddx

(au) = aulna ddx

(u)

14. ddx

(lnu) = 1uddx

(u); u 6= 0

15. ddx

(loga u) = 1u

1ln a

ddx

(u) = 1u loga e

ddx

(u); u 6= 0

16. ddx

(uv) = uv(lnu ddx

(v) + vuddx

(u)); u 6= 0

17. ddx

(senu) = cosu ddx

(u)

18. ddx

(cosu) = − senu ddx

(u)

19. ddx

(tanu) = sec2 u ddx

(u) = (1 + tan2 u) ddx

(u)


20. ddx

(arc senu) = 1√1− u2

ddx

(u)

21. ddx

(arc cosu) = − 1√1− u2

ddx

(u)

22. ddx

(arctanu) = 11 + u2

ddx

(u)

23. ddx

(senhu) = coshu ddx

(u)

24. ddx

(coshu) = senhu ddx

(u)

25. ddx

(tanhu) = sech2u ddx

(u) = (1 + tanh2 u) ddx

(u)

26. ddx

(arcsenhu) = 1√1 + u2

ddx

(u)

27. ddx

(arccoshu) = − 1√1 + u2

ddx

(u)

28. ddx

(arctanhu) = 11− u2

ddx

(u)

3.6. Derivada de Funciones Compuestas: Regla de la Cadena

Teorema 3.1 Sean g : D → R y f : E → R tales que g(D) ⊆ E y suponiendo que g es derivableen un punto a y que f es derivable en g(a). Entonces la función compuesta f ◦ g es derivable en ay su derivada en este punto viene dada por la regla de la cadena:

(f ◦ g)′(a) = f ′(g(a))g′(a)

Esta regla expresada en forma más sencilla, sería:Sea y = f(u);u = g(x)y = f(u) = f(g(x));entonces:

dy

dx=dy

du

du

dx

3.7. Derivada de Funciones Inversas

Proposición 3.1 (Condición Necesaria para la Derivabilidad de la Función Inversa). Sif es una función inyectiva, derivable en un punto c, y su función inversa f−1 es asimismo derivableen b = f(c), necesariamente se tiene f ′(c) 6= 0. Además:

(f−1)′(b) =1

f ′(c)

3.8. DERIVADA DE FUNCIONES PARAMÉTRICAS 53

Si para la función y = f(x), existe una función inversa x = φ(y), tal que en un punto y dadotenga una derivada x = φ′(y) distinta de cero, entonces la función tiene en el punto correspondiente,x, una derivada f ′(x) igual a 1

φ′(y), es decir:

f ′(x) =1

φ′(y)

Ejemplo 3.5 Sea y = arcsen(x):La función inversa es:x = sen(y),la derivada es:dxdy

= cosy = y′ = 1x′

= 1cosy como cos2x+ sen2y = 1, se tiene: cos2y = 1− sen2y y por tanto

cosy =√

1− sen2y =√

1− x2, �nalmente, se tiene:

y′ =dy

dx=

1√1− x2

3.8. Derivada de Funciones Paramétricas

Sean las funciones unívocas:x = ϕ(t)y = ψ(t)

}ecuaciones paramétricas

a cada valor de t ∈ [T1, T2] le corresponde dos valores uno de x, y otro y, considerando que x, yson las coordenadas de un punto en el plano 0xy, describe una cierta curva en el plano xy cuandovaría t de T1 a T2.

Si de la función x = ϕ(t) se despeja la variable t = φ(x), φ es la función inversa de ϕ, por tanto,se puede escribir: y = ψ(φ(x)). Resulta que t es una variable intermedia.

Sean ϕ, ψ y φ funciones continuas y derivables. Se tiene: y = ψ(t); t = φ(x), aplicando la reglade la cadena, resulta:

dy

dx=

d

dt(φ(t))

d

dx(φ(x)) =

d

dt(φ(t))

d

dx(t)

dy

dx=dy

dt

dt

dx=

dy

dtdx

dt

3.9. Derivada de una Función Implícita

Cuando la variable y no es posible despejar, es decir, la función y = f(x) no es sencilla. Ladependencia entre x y y viene dado por la forma implícita:

F (x, y) = 0

Para determinar y′, se deriva miembro a miembro respecto a x y se despeja y′:d

dxF (x, y) = 0


Ejemplo 3.6 Hallar la derivada y′ de la función implícita:F (x, y) = x3 + y3 − 3axy + y2 = 0

Se deriva todos los términos respecto a x, se tiene:3x2 + 3y2y′ − 3a(y + xy′) + 2yy′ = 0

Despejando y', se tiene:y′ =

3(ay − x2)3y2 + 2y − 3ax

3.10. Derivada de Funciones Hiperbólicas

En muchas aplicaciones se tienen funciones de la forma:

y =12(ex − e−x)

y =12(ex + e−x)

y se denomina seno y coseno hiperbólico respectivamente.

senhx =12(ex − e−x)

coshx =12(ex + e−x)

tanhx =senhxcoshx

La derivada de coshx, es:d

dxcoshx =

d

dx(12(ex + e−x)) =

12(ex − e−x) = senhx

3.11. Diferencial de una Función

Sea y = f(x), derivable en el intervalo [a, b], es decir: lım∆→0

∆y∆x

= f ′(x), cuando ∆x → 0, larazón ∆y

∆x tiende a un número determinado f ′(x) y por tanto se diferencia de la derivada f ′(x) enun in�nitésimo, es decir:

∆y∆x

= f ′(x) + α(x)

donde α(x) → 0 cuando ∆x→ 0, despejando ∆y, se tiene:∆y = f ′(x)∆x+ α(x)∆x

Si ∆x→ 0f ′(x)∆x es un in�nitésimo de primer ordenα(x)∆x es un in�nitésimo de orden superiorEl termino f ′(x)∆x, es la diferencial de la función f(x)

3.12. DERIVADA DE ÓRDENES SUPERIORES 55

3.12. Derivada de Órdenes Superiores

a) Derivada de Segundo Orden, denominada también como derivada segunda de una función y =f(x), se llama a la derivada de su derivada, es decir:

y′′ = (y′)′ = f ′′(x) = (f ′(x))′

d2y

dx2 =dy′

dx=

d

dxf ′(x) =

d2f(x)dx2

b) Derivada de Orden n-ésimo, la derivada n-ésima de y = f(x), es la derivada de orden (n-1):

y(n) =dny

dxn = f (n)(x) =d

dxy(n−1)

c) Derivada de ordenes superiores de funciones dadas en forma paramétricaSea x = ϕ(t); y = ψ(t)

dy

dx=

dy

dtdxdt

=dy

dt

dt

dx

y′x =y′tx′t

y′′xx = (y′x)′x =(y′x)′tx′t

y′′′xx = (y′′xx)′x =(y′′xx)′tx′t

3.12.1. Fórmula de Leibniz

La fórmula de Leibniz para la n-ésima derivada de un producto, es:

(d

dx)n[f(x)g(x)] =

n∑k=0

(n

k

)[(d

dx)kf(x)][(

d

dx)n−kg(x)]

donde: (n

k

)=

n!(n− k)!k!

se llama coe�ciente binomial.


3.13. Fórmula de Taylor

Si una función f(x) es continua y tiene derivadas continuas hasta de grado (n− 1) inclusive, enel segmento a ≤ x ≤ b y para cada punto interior del mismo, existe una derivada �nita f (n)(x), eneste segmento se veri�ca la fórmula de Taylor.

f(x) = f(a) + (x− a)f ′(a) + (x−a)2

2! f ′′(a) + (x−a)3

3! f ′′′(a) + . . .

+ (x−a)n−1

(n−1)! f(n)(a) + (x−a)n

n! f (n)(ξ)

donde ξ = a+ θ(x− a); 0 < θ < 1Si a = 0, Fórmula de MacLaurin

f(x) = f(0) + xf ′(0) +x2

2!f ′′(0) +

x3

3!f ′′′(0) . . .+

xn−1

(n− 1)!f (n)(0) +

xn

n!f (n)(ξ)

donde ξ = θx; 0 < θ < 1

3.14. Regla de L'Hôpital-Bernoulli

a) Límites indeterminados de la forma 00 y ∞

∞

Sea f(x), g(x) funciones derivables para 0 < |x− a| < h sin que g′(x) sea cero.

lımx→a

f(x)g(x)

= lımx→a

f ′(x)g′(x)

Si el límite sigue indeterminado, se aplica nuevamente la regla.b) Límites indeterminados de la forma 0∞

Se debe convertir a la forma 00 ó ∞∞

La expresión f(x)g(x) = f(x)1

g(x)

c) Límites indeterminados de la forma ∞−∞

Se debe convertir a la forma 00 ó ∞∞

f(x)− g(x) = f(x)(1− g(x)f(x)) =

1− g(x)f(x)1

f(x)

3.15. Aplicaciones Geométricas de la Derivada

a) Ecuación de la recta tangenteLa ecuación de la recta tangente a la grá�ca de la función y = f(x) en el punto M(x0, y0) es:

y − y0 = y′(x0, y0)(x− x0)

donde y′(x0, y0) es la derivada y′ evaluada en M(x0, y0)

3.15. APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA DERIVADA 57

b) Ecuación de la recta normalLa recta perpendicular a la recta tangente, que pasa por el punto contacto es:

y − y0 = − 1y′(x0, y0)

(x− x0)

x− x0 = −y′(x0, y0)(y − y0)

c) Ángulo entre curvasEs el ángulo formado por las curvas y = f(x) y y = g(x) en el punto de contacto M(x0, y0).Sean φ1 y φ2, los ángulos de las rectas tangentes respectivamente.ω es al ángulo que forman las rectas tangentes:

ω = φ1 − φ2

tanω =g′(x0)− f ′(x0)1 + f ′(x0)g′(x0)

Ejemplo 3.7 Hallar la recta tangente y la recta normal a la grá�ca de la función: y = f(x) =x3 − 3x2 − 6x+ 12, en el punto x0 = 2.

Solución 3.1 Las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto M(x0, y0), son:

y − y0 = y′(x0)(x− x0)

y − y0 = − 1y′(x0)

(x− x0)

Si x0 = 2, entonces y0 = f(x0) = −4. La pendiente de la recta tangente, está dado por:

y′(x0) = f ′(x0) = −6

.La ecuación de la recta tangente, es: y − (−4) = −6(x− 2)

y + 4 = −6(x− 2)

La pendiente de la recta normal, está dado por:

− 1y′(x0)

= − 1f ′(x0)

= − 1−6

=16

.La ecuación de la recta normal, es y − (−4) =

16(x− 2)

y + 4 =16(x− 2)

En la Fig.(3.3), se muestran las grá�cas de la función, y las rectas tangente y normal.


Figura 3.3: Recta tangente y normal

Ejemplo 3.8 Hallar el ángulo formado en el punto de contacto entre las curvas de las funciones:y = f(x) = x2 + 4x− 6 y y = g(x) = −x

2

4+ 4x− 1

Solución 3.2 Sean φ1 y φ2, los ángulos de las rectas tangentes respectivamente y sea ω el ánguloque forman las rectas tangentes:

ω = φ1 − φ2

tanω =g′(x0)− f ′(x0)1 + f ′(x0)g′(x0)

Para determinar los puntos de contacto, es necesario resolver la ecuación: f(x) = g(x), es decir:x2 + 4x− 6 = −x

2

4+ 4x− 1. Las soluciones, son dos: x = 2 y x = −2, y sus ordenadas, son: y = 6

y y = −10 respectivamente.Las derivadas de las funciones, son:

f ′(x) = 2x+ 4

g′(x) = −x2

+ 4

Las pendientes de las rectas tangentes, son:Para x0 = 2, se tiene:

f ′(xo) = f ′(2) = 8

g′(xo) = g′(2) = 3

tanω =g′(2)− f ′(2)1 + f ′(2)g′(2)

=3− 8

1 + 3 · 8= −1

5

w = arctan(−15) = −11,30993247o

Para x0 = −2, se tiene:f ′(xo) = f ′(−2) = 0

3.15. APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA DERIVADA 59

g′(xo) = g′(−2) = 5

tanω =g′(−2)− f ′(−2)1 + f ′(−2)g′(−2)

=5− 0

1 + 0 · 5= 5

w = arctan(5) = 78,69006752o

Figura 3.4: Ángulo entre curvas

En la Fig.(3.4), se muestran los ángulos entre las grá�cas de las funciones.


Capítulo 4

Teorema del Valor Medio, Extremos

4.1. Introducción

En este capítulo, se consideran los teoremas del valor medio, los puntos críticos y de in�exión,se analizan los extremos de una función, las asíntotas y se presentan los pasos para gra�car unafunción.

4.2. Teoremas del Valor Medio

Teorema 4.1 Teorema de Rolle. Si una función es continua en el segmento a ≤ x ≤ b, tieneuna derivada f ′(x) en cada uno de los puntos interiores de este y f(a) = f(b), para su variableindependiente x, existe por lo menos un valor ξ, donde a < ξ < b, es tal que:

f ′(ξ) = 0

Teorema 4.2 Teorema de Lagrange ó teorema de los incrementos. Si una función es con-tinua en el segmento a ≤ x ≤ b, tiene una derivada f ′(x) en cada uno de los puntos interiores deeste, se tiene:

f(b)− f(a) = (b− a)f ′(ξ)

donde a < ξ < b

Teorema 4.3 Teorema de Cauchy. Si dos funciones f(x) y g(x) son continuas en el segmentoa ≤ x ≤ b y tienen en el intervalo a < x < b derivadas que no se anulan simultáneamente, siendog(b) 6= g(a), se tiene:

f(b)− f(a)g(b)− g(a)

=f ′(ξ)g′(ξ)

4.3. Puntos Críticos

Para cualquier función f(x), un punto x en el dominio de f(x) en donde f ′(x) = 0 ó f ′(x) noestá de�nido, se llama punto crítico.

Qué indican los puntos críticos?

61

62 CAPÍTULO 4. TEOREMA DEL VALOR MEDIO, EXTREMOS

1. Geométricamente, en un punto crítico, en donde f ′(x) = 0, la línea tangente a la grá�ca de fen x es horizontal.

2. En un punto crítico, en donde f ′(x) no está de�nido, no hay tangente horizontal a la grá�ca,es decir, o hay una tangente vertical o no hay tangente en absoluto.

Si f ′(x) = 0, entonces los puntos críticos determinan el mínimo o máximo de una función.

4.4. Puntos de In�exión

Sea f ′′(x0) = 0, el punto x0 cambia el sentido de la concavidad de la grá�ca de la función y x0

se llama punto de in�exión, (también se denomina punto crítico de 2a especie).Se veri�ca que:si f ′′(x) < 0 para a < x 0 para a < x 0 tal que para todo x ∈ D con |x− c| < δ es f(x) ≤ f(c) (también se dice que f tieneun máximo local en c).

Se dice que f tiene un máximo relativo estricto en c si existe un δ > 0 tal que para todox→ D con 0 < |x− c| < δ es f(x) < f(c) (también se dice que f tiene un máximo local estricto enc).

Se dice que f tiene un mínimo relativo en c si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ D con|x− c| < δ es f(x) > f(c) (también se dice que f tiene un mínimo local en c).

Se dice que f tiene un mínimo relativo estricto en c si existe un δ > 0 tal que para todox ∈ D con 0 < |x− c| < δ es f(x) > f(c) (también se dice que f tiene un mínimo local estricto enc).

Que f tiene un extremo relativo en c signi�ca que tiene un máximo relativo o un mínimorelativo.

Los extremos de una función permiten determinar las características de una función.

4.6. Asíntotas

a) Asíntotas verticales en x = alımx→a

f(x) = ∞

b) Asíntotas oblicuas Si existen los límites:

lımx→+∞

f(x)x

= k1

ylım

x→+∞[f(x)− k1x] = b1

4.7. FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON 63

La recta y = k1x+ b1, será una recta asíntota (oblicua a la derecha)Si existen los límites:

lımx→−∞

f(x)x

= k2

ylım

x→−∞[f(x)− k2x] = b2

La recta y = k2x+ b2, será una recta asíntota (oblicua a la izquierda)

4.7. Fórmula de Interpolación de Newton

La fórmula de interpolación de Newton, permite resolver ecuaciones de la forma f(x) = 0). Sise traza la recta tangente a la función en x0, se tiene la ecuación:

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) = 0

se tiene la nueva aproximación:

x = x0 −f(x0)f ′(x0)

la formula iterativa, es:

xi+1 = xi −f(xi)f ′(xi)

Ejemplo 4.1 Resolver la ecuación 2x3 + 3x2 + 4x+ 5 = 0

Solución 4.1 Considerando la función y = f(x) = 2x3 + 3x2 + 4x+ 5 y su intersección con el ejeY, es la solución de la ecuación, es decir:

2x3 + 3x2 + 4x+ 5 = 0

.En la Fig. (4.1), se muestra la grá�ca de la función. El análisis de la grá�ca de la función,

determina que se tiene un solo punto de intersección con el eje X, por tanto, se concluye que lafunción tiene una sola raíz real.

Para aplicar la formula de interpolación de Newton para resolver la ecuación, es necesario hallarla función derivada: y′ = f ′(x) = 6x2 + 6x+ 4.

La formula de interpolación es:xi+1 = xi −

f(x)f ′(x)

Considerando el punto de partida: x0 = 1, las iteraciones sucesivas, son:

Iteración inicial, i = 0x0 = 1, f(1) = 2 · 13 + 3 · 12 + 4 · 1 + 5 = 14 y f ′(1) = 6 · 12 + 6 · 1 + 4 = 16.


Figura 4.1: Grá�ca de la función

La nueva aproximación, es:

x1 = x0 −f(x0)f ′(x0)

= 1− 1416

= 0,125

Nueva iteración: i = 1x1 = 0,125; f(0,125) = 2 · (0,125)3 + 3 · (0,125)2 + 4 · (0,125) + 5 = 5,55078125 y f ′(0,125) =

6 · (0,125)2 + 6 · (0,125) + 4 = 4,84375.La nueva aproximación, es:

x2 = x1 −f(x1)f ′(x1)

= 0,125− f(0,125)f ′(0,125)

= 0,125− 5,550781254,84375

= −1,020967742

En el cuadro 4.1, se muestran las aproximaciones sucesivas, después de 7 iteraciones se tiene lasolución con 9 decimales.

Cuadro 4.1: Aproximación sucesiva en cada iteracióni xi+1 xi f(x) f ′(x)0 0,125 1 14 161 -1,020967742 0,125 5,55078125 4,843752 -1,484772387 -1,020967742 1,914791657 4,1284443293 -1,379953881 -1,484772387 -0,871949509 8,3186599264 -1,37119161 -1,379953881 -0,062614424 7,1459129925 -1,371134334 -1,37119161 -0,000404018 7,0538489286 -1,371134331 -1,371134334 -1,71476E-08 7,0532501657 -1,371134331 -1,371134331 0 7,053250139

Observación 4.1 El punto inicial es determinante para el éxito de la solución del problema, puntosmuy alejados de la solución requerirá muchas iteraciones. En algunos casos, la técnica puede fallar.

4.7. FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON 65

Ejemplo 4.2 Resolver la ecuación: x2 − x− sen(x)− 2,75 = 0

Solución 4.2 En la Fig. (4.2), se muestra la grá�ca de la función. El análisis de la grá�ca de lafunción, determina que se tiene dos puntos de intersección con el eje X, por tanto, se concluye quela función tiene dos raíces reales.


Considerando el punto de partida: x0 = 2, las iteraciones sucesivas, son:

Iteración inicial, i = 2x0 = 2, f(2) = −1, 659297427 y f ′(2) = 3, 416146837.La nueva aproximación, es:

x1 = x0 −f(x0)f ′(x0)

= 2− f(2)f ′(2)

= 2− −1, 6592974273, 416146837

= 2, 485721928

Nueva iteración: i = 2x1 = 2, 485721928; f(2, 485721928) = 0, 333242035 y f ′(2, 485721928) = 4, 763961072.La nueva aproximación, es:

x2 = x1−f(x1)f ′(x1)

= 2, 485721928− f(2, 485721928)f ′(2, 485721928)

= 2, 485721928− 0, 3332420354,84375

= 2, 415771307


La ecuación cuadrática, tiene dos soluciones. Para la otra solución, se puede partir desde x0 =−0, 5.



Cuadro 4.2: Aproximación sucesiva. Primera solucióni xi+1 xi f(x) f ′(x)0 2,485721928 2 -1,659297427 3,4161468371 2,415771307 2,485721928 0,333242035 4,7639610722 2,414367287 2,415771307 0,006429704 4,5794971193 2,414366713 2,414367287 2,62583E-06 4,5757564254 2,414366713 2,414366713 4,38427E-13 4,5757548965 2,414366713 2,414366713 0 4,575754896

Cuadro 4.3: Aproximación sucesiva. Segunda solucióni xi+1 xi f(x) f ′(x)0 -1,028420794 -0,5 -1,520574461 -2,8775825621 -0,974529301 -1,028420794 0,192555038 -3,5730136422 -0,974052372 -0,974529301 0,001674315 -3,5106161923 -0,974052334 -0,974052372 1,33367E-07 -3,5100568994 -0,974052334 -0,974052334 0 -3,510056854

4.8. Aplicaciones de la Derivada

4.8.1. Gra�car una Función

4.8.1.1. Pasos para Gra�car una función1. Determinar los puntos de intersección con el eje X. Resolver y = f(x) = 0

2. Determinar los puntos de intersección con el eje Y . Hallar y(0)

3. Determinar los puntos de indeterminación. Puntos donde el denominador (si fuera el caso) dela función, se anula

4. Hallar los puntos críticos xi, tal que: f ′(xi) = 0

5. Hallar los puntos de in�exión xj , tal que: f ′′(xj) = 0

6. Hallar los puntos máximos y mínimos: f ′′(xi) < 0 y f ′′(xi) > 0

7. Hallar las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas

Ejemplo 4.3 Gra�car la función: y = f(x) = x3 − 6x2 − 19x+ 24

Solución 4.3 1. Los puntos de intersección con el eje X, son las raíces de y = 0, es decir:x3 − 6x2 − 19x+ 24 = 0. Las raíces, son: x = 1, x = −3 y x = 8

2. Los puntos de intersección con el eje Y, son: y(0) = 24

3. La función está de�nida para todo número real, es decir, no tiene puntos de indeterminación.

4.8. APLICACIONES DE LA DERIVADA 67

4. Los puntos críticos xi, se calculan resolviendo: f ′(x) = 3x2 − 12x − 19 = 0. Estos puntoscríticos, son: x1 = 2−

√933

= −1,214550253 y x2 = 2 +√

933

= 5,214550253. Sus ordenadas,son: y1 = f(x1) = 36,43403857 y y2 = f(x2) = −96,43403857

5. Los puntos de in�exión, xj, se calculan resolviendo: f ′′(x) = 6x− 12 = 0. Este punto crítico,es: x3 = 2 y su ordenada, es: y3 = f(x3) = −30

6. Los puntos máximos y mínimos, se determina evaluando: f ′′(xi)

f ′′(x1) = −19,28730151 < 0 es un máximo local y f ′′(x2) = 19,28730151 > 0, es un mínimolocal.

7. Las asíntotas:lımx→∞

f(x)x

= lımx→∞

x2 − 6x− 19 +24x

= ∞

No tiene una recta asíntota oblicua hacia la derecha.lımx→−∞

f(x)x

= lımx→−∞

x2 − 6x− 19 +24x

= −∞

No tiene una recta asíntota oblicua hacia la derecha. Por tanto, la función no tiene rectasasíntotas.


En la Fig. (4.3), se muestra la grá�ca de la función f(x), donde se muestran los puntos:máximo, mínimo y de in�exión, asimismo los puntos de intersección con los ejes Y y X.

Ejemplo 4.4 Gra�car la función: y = f(x) =x3 + 12x2 − 5x+ 5

x− 5

Solución 4.4 1. El punto de intersección con el eje X, es: x = −12,4344 y las otras dos soncomplejos conjugados.

2. El punto de intersección con el eje Y, es: y(0) = −1


3. La función no está de�nida en x = 5. El denominador se anula.

4. Los puntos críticos xi, se calculan resolviendo: f ′(x) =2x3 − 3x2 − 120x+ 20

(x− 5)2= 0. Estos

puntos críticos, son: x1 = 0,1660, x2 = 8,4558 y x3 = −7,1218. Sus ordenadas, son: y1 =f(x1) = −0,9320, y2 = f(x2) = 412,4434 y y3 = f(x3) = −23,7614

5. Los puntos de in�exión, xj, se calculan resolviendo: f ′′(x) =2(x3 − 15x2 + 75x+ 280

(x− 5)3= 0.

Este punto crítico, es: x4 = −2,3986 y su ordenada, es: y4 = f(x4) = −9,7631

6. Los puntos máximos y mínimos, se determina evaluando: f ′′(xi)

f ′′(x1) = −5,1710 < 0 es un máximo local,f ′′(x2) = 21,6257 > 0 es un mínimo local yf ′′(x3) = 1,5452 > 0, es un mínimo local.


f(x)x

= lımx→∞

x3 + 12x2 − 5x+ 5x(x− 5)

= ∞

No tiene una recta asíntota oblicua hacia la derecha.lımx→−∞

f(x)x

= lımx→−∞

x3 + 12x2 − 5x+ 5x(x− 5)

= −∞

No tiene una recta asíntota oblicua hacia la derecha. Por tanto, la función no tiene rectasasíntotas oblicuas.En el punto de indeterminación x = 5, tiene una recta asíntota vertical.

lımx→5+x3 + 12x2 − 5x+ 5

x− 5=

4050+

= +∞

lımx→5−x3 + 12x2 − 5x+ 5

x− 5=

4050−

= −∞

En la Fig. (4.4), se muestra la grá�ca de la función f(x), donde se muestran los puntos:máximo, mínimo y de in�exión, asimismo los puntos de intersección con los ejes Y y X.

Ejemplo 4.5 Gra�car la función: y = f(x) =2x2 + 3x− 21

x+ 6

Solución 4.5 1. Los puntos de intersección con el eje X, son: x = 2,5760 y x = −4,0760.

2. El punto de intersección con el eje Y, es: y(0) = −72

3. La función no está de�nida en x = −6. El denominador se anula.

4. Los puntos críticos xi, se calculan resolviendo: f ′(x) =2x2 + 24x+ 39

(x+ 6)2= 0. Estos puntos

críticos, son: x1 = −10,0620 y x2 = −1,9380. Sus ordenadas, son: y1 = f(x1) = −37,2481 yy2 = f(x2) = −4,7519.



5. Los puntos de in�exión, xj, se calculan resolviendo: f ′′(x) =66

(x+ 6)3= 0. Esta ecuación no

tiene una solución para ningún x �nito. Por tanto, no tiene punto de in�exión.6. Los puntos máximos y mínimos, se determina evaluando: f ′′(xi)

f ′′(x1) = −0,9847 < 0 es un máximo local yf ′′(x2) = 0,9847 > 0 es un mínimo local.


f(x)x

= lımx→∞

2x2 + 3x− 21x(x+ 6)

= 2 = k1

lımx→∞[f(x)− k1x] = lımx→∞2x2 + 3x− 21

x+ 6− 2x = lım

x→∞

−9x− 21x+ 6

= −9 = b1

La ecuación de la recta asíntota oblicua hacia la derecha, es:

y = 2x− 9

lımx→−∞f(x)x

= lımx→−∞

2x2 + 3x− 21x(x+ 6)

= 2 = k2

lımx→−∞[f(x)− k2x] = lımx→−∞2x2 + 3x− 21

x+ 6− 2x = lım

x→−∞

−9x− 21x+ 6

= −9 = b2

La ecuación de la recta asíntota oblicua hacia la izquierda, es:

y = 2x− 9

En el punto de indeterminación x = −6, tiene una recta asíntota vertical.


lımx→−6+2x2 + 3x− 21

x+ 6=

330+

= +∞

lımx→−6−2x2 + 3x− 21

x+ 6=

330−

= −∞


En la Fig. (4.5), se muestra la grá�ca de la función f(x), donde se muestran los puntos:máximo y mínimo, intersección con los ejes Y y X, y las rectas asíntotas.

4.8.2. Problemas de Optimización

Una de las aplicaciones más frecuentes de la derivada es determinar los valores máximos ymínimos, por ejemplo: El cálculo del costo mínimo, la utilidad máxima, la tensión máxima, la formaóptima, el tamaño mínimo, la resistencia máxima, la distancia máxima, etc.

Son problemas que se plantean en un determinado contexto. Para resolver este tipo de problemas,es necesario modelar y aplicar las derivadas para calcular los valores extremos.

La estrategia a seguir para obtener la solución, está determinado por los siguientes pasos:

1. De�nir las variables y los datos, y gra�car (o esquematizar) la situación del problema si esposible.

2. Determinar la función que se va a optimizar y plantear la restricción del problema si existe.

3. Hallar los puntos críticos y determinar si corresponden a un máximo o mínimo.

4. Veri�car si los máximos y mínimos están dentro del dominio del problema.

5. Interpretar los resultados y la respuesta.


Ejemplo 4.6 Se debe construir una caja rectangular de latón sin tapa. Se dispone un latón de20 × 16 cm, se le realiza un corte cuadrado en cada esquina y se doblan lo bordes por las líneaspunteadas. ¾Cuál debe ser tamaño de los cuadrados recortados para maximizar el volumen?

Solución 4.6 Los pasos de la solución, son los siguientes:1. Sea x el lado del cuadrado a cortar.

La longitud de la base, es: 16− 2x

La anchura de la base es: 20− 2x yLa altura de la caja, es: x

Figura 4.6: Esquema del problema

En la Fig. (4.6), se muestra el diagrama esquemático del problema.2. El volumen de la caja a optimizar, es: V = (16− 2x)(20− 2x)x = 4x3 − 72x2 + 320x

3. dV

dx= 12x2 − 144x + 320 = 0, los valores de x que anulan V ′, son: x1 = 9,0551 y x2 =

2,9449 con los cuales V ′′(x) =d2V

dx2= 24x − 144, se tiene: V ′′(9,0551) = 16

√21 > 0 es un

mínimo y V ′′(2,9449) = −16√

21 < 0 es un máximo. Los volúmenes que se obtienen, son:V1 = −36,1104cm3 y V2 = 420,1104cm3.

4. El cuadrado máximo que se puede cortar es 162

= 8 una de las soluciones x1 = 9,0551 > 8 portanto, no corresponde al dominio del problema, por lo cual se lo descarta por ser una soluciónno física.

5. La solución del problema corresponde al cortar un cuadrado de x2 = 2,9449 cm. El volumenmáximo de la caja de hojalata es de 420,1104cm3.

Ejemplo 4.7 Una fábrica desea producir un recipiente cilíndrico, es decir, una lata que contenga250cm3 de leche. Determinar las dimensiones que minimizan el costo de la hojalata.

Solución 4.7 1. El área total de la hojalata es igual a la suma de las áreas de: La base, la tapay los lados.En la Fig.(4.7), se muestra el esquema para el problema.


Figura 4.7: Lata de 250cm3

2. El área: A = 2πr2 + 2πrh El volumen: V = πr2h = 250cm3, la altura de la lata, h =250πr2sustituyendo en el área, se tiene:

A = 2πr2 + 2πr250πr2

= 2πr2 +500r

3. La derivada del área, A: A′ = dA

dr= 4πr − 500

r2A′′ =

d2A

dr2= 4π +

1000r3

A′ = 4πr − 500r2

= 0, → 4πr − 500r2

= 0 → 4πr3 − 500 = 0 → r = 3

√5004π

= 3,4139

A′′ = 4π +1000

(3,4139)3= 37,6991 > 0, entonces, se tiene un mínimo.

4. El problema tiene una sola solución, las otras raíces con complejas conjugadas.5. La lata debe tener un radio de r = 3,4139cm y una altura de h = 11,6549cm

Capítulo 5

Integrales

5.1. Introducción

Las integrales y su cálculo son de aplicación permanente en el campo de la ingeniería. En estecapítulo, se presentan: la de�nición de integral inde�nida, los métodos de integración, la integralde�nida, las integrales impropias y aplicaciones.

5.2. Integral Inde�nida

Sea F ′(x) la derivada de F (x), es decir:

f(x) = F ′(x) =dF (x)dx

F (x) se llama la función primitiva de f(x) (se denomina también, integral o antiderivada)De�nición 5.1 Integral Inde�nida

Si F (x) es una función primitiva de f(x), la expresión F (x) + c, se llama integral inde�nida dela función f(x): ∫

f(x)dx = F (x) + c

donde: c es una constante de integración arbitraria.f(x) se llama integrando ó función bajo el signo integral. ∫ signo de integración.f(x)dx elemento de integración.

La integral inde�nida representa una familia de funciones de la forma:

y = F (x) + c

La integración de una función, es el proceso que permite hallar la función primitiva. La inte-gración es un proceso inverso a la derivación.

De�nición 5.2 La derivada de una integral inde�nida es igual al integrando, es decir, si:

F ′(x) = f(x)

73

74 CAPÍTULO 5. INTEGRALES

(∫f(x)dx)′ = (F (x) + c)′ = f(x)

De�nición 5.3 La diferencial de una integral inde�nida es igual al elemento de integración:

d(∫f(x)dx) = f(x)dx

De�nición 5.4 La integral inde�nida de la diferencial de una cierta función es igual a la suma dela función primitiva y una constante arbitraria, denominada constante de integración:∫

dF (x) = F (x) + c

5.3. Reglas Fundamentales de Integración

Sean f, g y u funciones, a, m, c constantes. Las principales reglas de integración, son:

1. ∫ ddx

[f(x)]dx = f(x) + c

2. ∫(f(x)± g(x))dx =

∫f(x)dx±

∫g(x)dx

3. ∫dx = x+ c

4. ∫adx = ax+ c

5. ∫af(x)dx = a

∫f(x)dx

6. ∫xmdx = xm+1

m+ 1 + c; m 6= −1

7. ∫ 1xdx = ln|x|+ c

8. ∫umdu = um+1

m+ 1 + c; m 6= −1

9. ∫ 1udu = ln|u|+ c

10. ∫axdx = ax

ln a+ c; a > 0, a 6= 1

11. ∫exdx = ex + c

12. ∫eudu = eu + c

13. ∫sen(x)dx = − cos(x) + c

14. ∫cos(x)dx = sen(x) + c

15. ∫tan(x)dx =

∫ sen(x)cos(x)dx = −ln| cos(x)|+ c

5.3. REGLAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIÓN 75

16. ∫sen(u)du = − cos(u) + c

17. ∫cos(u)du = sen(u) + c

18. ∫tan(u)du =

∫ sen(u)cos(u)du = −ln| cos(u)|+ c

5.3.1. Método de Sustitución

También, se denomina método del cambio de variable.El método de integración por sustitución, consiste en efectuar un cambio de variable con el

objeto de simpli�car el integrando e integrar directamente.Sea ∫

f(x)dx, realizando un cambio de variable o sustitución

x = g(u) ; dx = g′(u)du

El método de integración por sustitución se basa en la regla de la cadena.∫f(x)dx =

∫f(g(u))g′(u)du

El método se basa en identi�car una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable u,de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Ejemplo 5.1 Calcular la siguiente integral:∫x2 + 2x

3√x3 + 3x2 + 1

dx

Solución 5.1 Sea u = x3 + 3x2 + 1; dudx

= 3x2 + 6x, entonces, dx = du3x2 + 6x

=, por lo tanto:

∫x2 + 2x

3√x3 + 3x2 + 1

dx =∫x2 + 2x

3√u

du

3x2 + 6x=

13

∫13√udu =

13

∫u−1/3du =

13· 32u2/3 + c

5.3.2. Integración por Simple Inspección

Se presentan dos casos:

1. ∫g′(x)[g(x)]rdx = 1

r + 1g(x)r+1 + c; r 6= −1

2. ∫ g′(x)g(x) dx = ln|g(x)|+ c


5.4. Integración por Partes

Cuando u, v son funciones diferenciables de x

d(uv) = udv + vdu

udv = d(uv)− vdu∫udv =

∫d(uv)−

∫vdu = uv −

∫vdu∫

udv = uv −∫vdu

donde se debe tener en cuenta que:

1. La parte escogida como dv ha de ser fácil de integrar2. La ∫

vdu no debe ser más complicado que ∫udv

5.5. Integración de Fracciones Racionales Elementales

Toda función racional se puede expresar en forma de una fracción racional, como cociente dedos polinomios:

f(x) = p(x)q(x) = amx

m + am−1xm−1 + . . .+ a1x+ a0

bnxn + bn−1x

n−1 + . . .+ b1x+ b0Si m < n, se llama fracción racional propia.Si m > n, se llama fracción racional impropia.Si la fracción racional es impropia, es necesario expresar la fracción como un polinomio cociente

y un residuo:p(x)q(x) = c(x) + r(x)

q(x)La integración de polinomios no ofrece problemas. La di�cultad está en la integración de frac-

ciones racionales propias:Fracciones elementales ó simples:

I) Ax− a

II) A(x− a)k ; k entero positivo y k ≥ 2

III) Ax+Bx2 + px+ q

; las raíces del denominador son complejas: p2 − 4q < 0

IV) Ax+B(x2 + px+ q)k ; k ≥ 2 y p2 − 4q < 0

La integración de fracciones elementales, es inmediata:La integral del I) tipo: ∫

A

x− adx = A

∫dx

x− a= Aln|x− a|+ c

5.5. INTEGRACIÓN DE FRACCIONES RACIONALES ELEMENTALES 77

La integral del II) tipo:∫A

(x− a)kdx = A

∫(x− a)−kdx = A

(x− a)−k+1

−k + 1+ c; k 6= 1

La integral del III) tipo:

∫ Ax+Bx2 + px+ q

dx =∫ A

2(2x+ p) + (B − A

2p)

x2 + px+ qdx

= A2

∫ (2x+ p)x2 + px+ q

dx+ (B − A2p)

∫ dxx2 + px+ q

= A2

∫ (2x+ p)x2 + px+ q

dx+ (B − A2p)

∫ dxx2 + px+ q

= A2 ln(x2 + px+ q) + (B − A

2p)1√

q − p2

4

arctanx+

p

2√q − p2

4

+ c

La ultima integral se obtiene completando cuadrados y realizando un cambio de variables, comosigue: ∫

dx

x2 + px+ q=

∫dx(

x+p

2

)2+

(q − p2

4

)Realizando el cambio de variable: t = x+

p

2y m2 = q − p2

4, entonces dt = dx, la integral queda:

∫dx(

x+p

2

)2+

(q − p2

4

) =∫

dt

t2 +m2=

1m

arctant

m=

1√q − p2

4

arctanx+

p

2√q − p2

4

La integral del IV) tipo:

∫ Ax+B(x2 + px+ q)k dx =

∫ A

2(2x+ p) + (B − Ap

2)

(x2 + px+ q)k dx

=A

2

∫(2x+ p)

(x2 + px+ q)kdx+ (B − Ap

2)∫

dx

(x2 + px+ q)k

=A

2

∫(2x+ p)

(x2 + px+ q)kdx+ (B − Ap

2)∫

dx

(x2 + px+ q)k

=A

2(1− k)1

(x2 + px+ q)k−1+ (B − Ap

2)∫

dx

(x2 + px+ q)k

Denominando Ik a la segunda integral y completando cuadrados, se tiene:

Ik =∫

dx

(x2 + px+ q)k=

∫dx[(

x+p

2

)2+

(q − p2

4

)]k=

∫dt

(t2 +m2)k


En la que t = x+p

2, m2 = q − p2

4y dt = dx. Se procede de la siguiente manera:

Ik =∫

dt

(t2 +m2)k=

1m2

∫(t2 +m2)− t2

(t2 +m2)kdt =

1m2

∫1

(t2 +m2)k−1dt− 1

m2

∫t2

(t2 +m2)kdt

Transformada, ésta última integral, se tiene:∫t2

(t2 +m2)kdt =

∫t · tdt

(t2 +m2)k=

12

∫td(t2 +m2)(t2 +m2)k

= − 12(k − 1)

∫td

[ 1(t2 +m2)k−1

]Integrando por partes, se tiene:∫

t2

(t2 +m2)kdt = − 1

2(k − 1)

[t

1(t2 +m2)k−1

−∫

dt

(t2 +m2)k−1

]Reemplazando en Ik, se tiene:

Ik =∫

dt

(t2 +m2)k=

1m2

∫dt

(t2 +m2)k−1+

1m2

12(k − 1)

[t

1(t2 +m2)k−1

−∫

dt

(t2 +m2)k−1

]=

Ik =t

2m2(k − 1)(t2 +m2)k−1+

2k − 32m2(k − 1)

∫dt

(t2 +m2)k−1

La integral del segundo término, Ik−1, es del mismo tipo que Ik cuyo grado del denominador de lafunción a integrar es k − 1, entonces, Ik se expresa en función de Ik−1.

Aplicando sucesivamente este proceso, se llega a la integral conocida:

I1 =∫

dt

t2 +m2=

1m

arctant

m

Ejemplo 5.2 Hallar la integral ∫ 3x+ 4(x2 + 3x+ 5)2

dx

Solución 5.2∫

3x+ 4(x2 + 3x+ 5)2

dx =∫ 3

2(2x+ 3) + (4− 3

23)

(x2 + 3x+ 5)2dx =

32

∫(2x+ 3)dx

(x2 + 3x+ 5)2− 1

2

∫dx

(x2 + 3x+ 5)2

∫3x+ 4

(x2 + 3x+ 5)2dx = −3

21

x2 + 3x+ 5− 1

2

∫dx

(x2 + 3x+ 5)2=

32

1x2 + 3x+ 5

− 12I2

La integral I2,se halla completando cuadrados y realizando el cambio de variable recomendado:

I2 =∫

dx

(x2 + 3x+ 5)2=

∫dx[(

x+ 32

)2+ 11

4

]2 =∫

dt

(t2 + 114 )2

I2 =1114

∫(t2 + 11

4 )− t2

(t2 + 114 )2

dt =1114

∫dt

t2 + 114

− 1114

∫t2dt

(t2 + 114 )2

=1114

I1 −12

1114

∫td(t2 + 11

4 )(t2 + 11

4 )2

5.6. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FRACCIÓN RACIONAL PROPIA EN FRACCIONES SIMPLES 79

Integrando por partes la ultima integral, se tiene:∫td(t2 + 11

4 )(t2 + 11

4 )2= − t

t2 + 114

−∫− dt

t2 + 114

= − t

t2 + 114

+ I1

Como:I1 =∫ dt

t2 + 114

=1√114

arctanx+ 3

2√114

=2√

1111

arctan√

11(2x+ 3)11

Reemplazando en I2 y t = x+ 32 , se tiene:

I2 =∫

dt

(t2 + 114 )2

=1114

I1 −12

1114

∫td(t2 + 11

4 )t2 + 11

4

=1114

I1 −12

1114

[− t

t2 + 114

+ I1

]I2 =

1114

I1 −12

1114

[− t

t2 + 114

+ I1

]=

t

2114 (t2 + 11

4 )+

1211

4

I1 =

I2 =t

2114 (t2 + 11

4 )+

1211

4

I1 =x+ 3

2112 (x2 + 3x+ 5)

+1

2114

2√

1111

arctan√

11(2x+ 3)11

Reemplazando en la integral original, se tiene:∫3x+ 4

(x2 + 3x+ 5)2dx =

32

1x2 + 3x+ 5

− 12I2

∫3x+ 4

(x2 + 3x+ 5)2dx = −3

21

x2 + 3x+ 5− 1

2

[ x+ 32

112 (x2 + 3x+ 5)

+1

2114

2√

1111

arctan√

11(2x+ 3)11

]∫

3x+ 4(x2 + 3x+ 5)2

dx = − x+ 1811(x2 + 3x+ 5)

− 2√

11121

arctan√

11(2x+ 3)11

+ c

5.6. Descomposición de una Fracción Racional Propia en FraccionesSimples

Sean f(x) = p(x)q(x) una fracción racional propia y q(x) = (x−a)α(x−b)β . . . (x2+px+q)µ . . . (x2+

lx+ s)γ .La fracción p(x)

q(x) , se descompone en:p(x)q(x) = A

(x− a)α + A1

x− a)α−1 + A2

(x− a)α−2 +. . .+ Aα−1

(x− a)+ B(x− b)β + B1

(x− b)β−1 + B2

(x− b)β−2 +

. . . +Bβ−1

(x− b) + Mx+N(x2 + px+ q)µ + M1x+N1

(x2 + px+ q)µ−1 + M2x+N2

(x2 + px+ q)µ−2 + . . . + Mµ−1x+Nµ−1

(x2 + px+ q)+

Px+Q(x2 + lx+ s)γ + P1x+Q1

(x2 + lx+ s)γ−1 + P2x+Q2

(x2 + lx+ s)γ−2 + . . .+ Pγ−1x+Qγ−1

(x2 + lx+ s)

Ejemplo 5.3 Descomponer la fracción racional en fracciones parciales:x4 + 4x3 + 6x+ 1x(x− 1)(x+ 2)


Solución 5.3 La fracción racional a descomponer en fracciones parciales, es una fracción racionalimpropia, debido a que el grado del numerador, 4, es mayor al grado del denominador, 3. Pre-viamente, es necesario hallar el polinomio cociente y la fracción racional propia que puede serdescompuesta en fracciones simples.

x4 + 4x3 + 6x+ 1x(x− 1)(x+ 2)

= x+ 3 +−x2 + 6x+ 1x(x− 1)(x+ 2)

La fracción racional propia, se descompone en fracciones simples:

−x2 + 6x+ 1x(x− 1)(x+ 2)

=A

x+

B

x− 1+

C

x+ 2=A(x− 1)(x+ 2) +Bx(x+ 2) + Cx(x− 1)

x(x− 1)(x+ 2)

El denominador de las fracciones deben ser iguales para cualquier valor de x, es decir:

−x2 + 6x+ 1 = A(x− 1)(x+ 2) +Bx(x+ 2) + Cx(x− 1)

Considerando que las raíces del denominador, son reales y simples, se puede aplicar la siguientetécnica para hallar las constantes, A, B y C:

Si x = 0; 1 = −2A, entonces, A = −12Si x = 1; 12 = 3B, entonces, B = 4

Si x = −2; −27 = 6C, entonces, C = −92La descomposición, pedida, es:

x4 + 4x3 + 6x+ 1x(x− 1)(x+ 2)

= x+ 3 +−x2 + 6x+ 1x(x− 1)(x+ 2)

= x+ 3− 12

1x

+4

x− 1+−9

21

x+ 2

Ejemplo 5.4 Descomponer en fracciones parciales, la siguiente fracción racional:3x− 5

2x2 + x− 6

Solución 5.4 En los problemas de descomposición en fracciones parciales, el denominador se debeexpresar en término de factores que contiene sus raíces. El problema radica en hallar las raíces deldenominador, en algunos problemas ayuda la técnica de la regla de Ru�ni si los coe�cientes delpolinomio son números enteros.

En este caso el denominador se puede factorizar, como:

2x2 + x− 6 = (2x− 3)(x+ 2)

Las raíces, son: x =32y x = −2

3x− 52x2 + x− 6

=3x− 5

(2x− 3)(x+ 2)=

A

2x− 3+

B

x+ 2=A(x+ 2) +B(2x− 3)

(2x− 3)(x+ 2)

Considerando los denominadores, se tiene:

3x− 5 = A(x+ 2) +B(2x− 3)


Si x =32; −1

2=

72A; entonces: A = −1

7Si x = −2; −11 = −7B, entonces: B =

117La descomposición en fracciones parciales, es:

3x− 52x2 + x− 6

= −17

12x− 3

+117

1x+ 2

Observación 5.1 Para facilitar la descomposición en fracciones parciales, es preferible expresarel denominador en función de sus raíces. La fracción racional propia del ejemplo anterior quedaexpresado como:

3x− 52x2 + x− 6

=12

3x− 5x2 + 1

2x− 3=

12

3x− 5(x− 3

2)(x+ 2)

Y se procede del mismo modo.

5.6.1. Casos de Descomposición en Fracciones Parciales

En la descomposición de fracciones racionales propias en fracciones parciales, se presentan varioscasos:1. Caso: Raíces reales simples

Ejemplo 5.5 Descomponer en fracciones parciales, la siguiente fracción racional:22 + 3x+ 4

(x− 1)(x+ 2)(x− 3)

Solución 5.522 + 3x+ 4

(x− 1)(x+ 2)(x− 3)=

A

x− 1+

B

x+ 2+

C

x− 3

=A(x+ 2)(x− 3) +B(x− 1)(x− 3) + C(x− 1)(x+ 2)

(x− 1)(x+ 2)(x− 3)

Considerando los denominadores, se tiene:22 + 3x+ 4 = A(x+ 2)(x− 3) +B(x− 1)(x− 3) + C(x− 1)(x+ 2)

Las raíces del denominador, son: x = 1, x = −2 y x = 3, las cuales son reales diferentes.Si x = 1; 9 = −6A, entonces, A = −3

2

Si x = −2; 6 = 5B, entonces, B =25

Si x = 3; 31 = 10C, entonces, C =3110

La descomposición de la fracción racional propia en fracciones simples, resulta:22 + 3x+ 4

(x− 1)(x+ 2)(x− 3)= −3

21

x− 1+

25

1x+ 2

+3110

1x− 3


2. Caso: Raíces reales multiples

Ejemplo 5.6 Descomponer en fracciones parciales, la siguiente fracción racional:3x+ 6

x2(x+ 1)3

Solución 5.63x+ 6

x2(x+ 1)3=

A

x2+A1

x+

B

(x+ 1)3+

B1

(x+ 1)2+

B2

x+ 1

=A(x+ 1)3 +A1x(x+ 1)3 +Bx2 +B1x

2(x+ 1) +B2x2(x+ 1)2

x2(x+ 1)3

=A(x3 + 3x2 + 3x+ 1) +A1(x4 + 3x3 + 3x2 + x) +Bx2

x2(x+ 1)3

+B1(x3 + x2) +B2(x4 + 2x3 + x2)

x2(x+ 1)3

=(A1 +B2)x4 + (A+ 3A1 +B1 + 2B2)x3+

x2(x+ 1)3

+(3A+ 3A1 +B +B1 +B2)x2 + (3A+A1)x+A

x2(x+ 1)3


3x+6 = (A1 +B2)x4 +(A+3A1 +B1 +2B2)x3 +(3A+3A1 +B+B1 +B2)x2 +(3A+A1)x+A

Igualando los coe�cientes de los monomios de cada miembro, se tiene el siguiente sistema deecuaciones:

x4 A1 +B2 = 0x3 A+ 3A1 +B1 + 2B2 = 0x2 3A+ 3A1 +B +B1 +B2 = 0x1 3A+A1 = 3x0 A = 6

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se tiene: A = 6, A1 = −15, B = 3, B1 = 9 y B2 = 15.La descomposición en fracciones parciales, es:

3x+ 6x2(x+ 1)3

=6x2− 15

x+

3(x+ 1)3

+9

(x+ 1)2+

15x+ 1

3. Caso: Raíz real y Raíces complejas

Ejemplo 5.7 Descomponer en fracciones parciales, la siguiente fracción racional:4x+ 3

x(x2 + x+ 1)


Solución 5.7 El trinomio cuadrático tiene raíces complejas, entonces la descomposición, es:

4x+ 3x(x2 + x+ 1)

=A

x+

Mx+N

x2 + x+ 1

=A(x2 + x+ 1) + (Mx+N)x

x(x2 + x+ 1)=

(A+M)x2 + (A+N)x+A

x(x2 + x+ 1)


x2 A+M = 0x1 A+N = 4x0 A = 3

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se tiene: A = 3, M = −3 y N = 1.La descomposición en fracciones parciales, es:

4x+ 3x(x2 + x+ 1)

=3x

+−3x+ 1x2 + x+ 1

4. Caso: Raíz real multiple y Raíces complejas

Ejemplo 5.8 Descomponer la fracción racional propia en fracciones simples:

2x3 + 4x2 + x+ 2(x− 1)2(x2 + x+ 1)

Solución 5.8 La fracción racional es una fracción racional propia, la descomposición esdirecta. El denominador tiene un trinomio cuadrático con raíces complejas, pero, tiene unaraíz real doble, la aplicación del método anterior no es efectivo. Para la descomposición enfracciones simples, se procede de la siguiente forma:

2x3 + 4x2 + x+ 2(x− 1)2(x2 + x+ 1)

=A

(x− 1)2+

A1

(x− 1)+

Mx+N

(x2 + x+ 1)

Reduciendo la igualdad al denominador común, se tiene:

2x3 + 4x2 + x+ 2(x− 1)2(x2 + x+ 1)

=A(x2 + x+ 1) +A1(x− 1)(x2 + x+ 1) + (Mx+N)(x− 1)2

(x− 1)2(x2 + x+ 1)

2x3 + 4x2 + x+ 2(x− 1)2(x2 + x+ 1)

=(A1 +M)x3 + (A− 2M +N)x2 + (A+M − 2N)x+ (A−A1 +N)

(x− 1)2(x2 + x+ 1)


Comparando los coe�cientes de los monomios x3, x2, x, x0, se tiene el siguiente sistema deecuaciones:

x3 A1 +M = 2x2 A− 2M +N = 4x1 A+M − 2N = 1x0 A−A1 +N = 2

Resolviendo el sistema, se tiene: A = 3, A1 = 2,M = 0, N = 1

La descomposición de la fracción racional propia, es:2x3 + 4x2 + x+ 2

(x− 1)2(x2 + x+ 1)= 3

(x− 1)2+ 2

(x− 1) + 1(x2 + x+ 1)

5. Caso: Raíces reales y complejas multiples

Ejemplo 5.9 Descomponer en fracciones parciales, la siguiente fracción racional:

4x3 + 6x2 + 3x+ 5(x+ 4)2(x2 + 3x+ 4)2

Solución 5.9 El denominador tiene un trinomio cuadrático con raíces complejas dobles y unaraíz doble, la descomposición de la fracción racional propia, es:

4x3 + 6x2 + 3x+ 5(x+ 4)2(x2 + 3x+ 4)2

=A

(x+ 4)2+

A1

x+ 4+

Mx+N

(x2 + 3x+ 4)2+

M1x+N1

x2 + 3x+ 4

=A(x2 + 3x+ 4)2 +A1(x+ 4)(x2 + 3x+ 4)2

(x+ 4)2(x2 + 3x+ 4)2

+(Mx+N)(x+ 4)2 + (M1x+N1)(x+ 4)2(x2 + 3x+ 4)

(x+ 4)2(x2 + 3x+ 4)2


4x3 + 6x2 + 3x+ 5 = (A1 +M1)x5 + (A+ 10A1 + 11M1 +N1)x4

+(6A+ 41A1 +M + 44M1 + 11N1)x3

+(17A+ 92A1 + 8M +N + 80M1 + 44N1)x2

+(24A+ 112A1 + 2M +N + 8M1 + 10N1)x+16A+ 64A1 +N + 4N1



x5 A1 +M1 = 0x4 A+ 10A1 + 11M1 +N1 = 0x3 6A+ 41A1 +M + 44M1 + 11N1 = 4x2 17A+ 92A1 + 8M +N + 80M1 + 44N1 = 6x1 24A+ 112A1 + 2M +N + 8M1 + 10N1 = 3x0 16A+ 64A1 +N + 4N1 = 5

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se tiene: A = −16764

, A1 = −247256

, M = −8564

, N =1364

,M1 =

247256

y N1 =421256

.La descomposición en fracciones parciales, es:

4x3 + 6x2 + 3x+ 5(x+ 4)2(x2 + 3x+ 4)2

= −16764

1(x+ 4)2

− 247256

1x+ 4

+−85

64x+

1364

(x2 + 3x+ 4)2+

247256

x+421256

x2 + 3x+ 4

6. Caso: Raíces complejas multiples

Ejemplo 5.10 Descomponer en fracciones parciales, la siguiente fracción racional:

3x3 + x2 + 10x+ 1(x2 + x+ 1)2(x2 + 2x+ 3)2

Solución 5.10 El denominador tiene trinomios cuadráticos con raíces complejas, la descom-posición de la fracción racional propia, es:

3x3 + x2 + 10x+ 1(x2 + x+ 1)2(x2 + 2x+ 3)2

=Mx+N

(x2 + x+ 1)2+M1x+N1

x2 + x+ 1+

Px+Q

(x2 + 2x+ 3)2+

P1x+Q1

x2 + 2x+ 3

Operando las fracciones e igualando los polinomios del numerador, se tiene:

3x3 + x2 + 10x+ 1 = (M1 + P1)x7 + (5M1 +N1 + 4P1 +Q1)x6

+(M + P + 15M1 + +5N1 + 10P1 + 4Q1)x5

+(4M +N + 2P +Q+ 26M1 + 15N1 + 14P1 + 10Q1)x4

+(10M + 4N + 3P + 2Q+ 31M1 + 26N1 + 14P1 + 14Q1)x3

+(12M + 10N + 2P + 3Q+ 21M1 + 31N1 + 8P1 + 14Q1)x2

+(9M + 12N + P + 2Q+ 9M1 + 21N1 + 3P1 + 8Q1)x+9N +Q+ 9N1 + 3Q1



x7 M1 + P1 = 0x6 5M1 +N1 + 4P1 +Q1 = 0x5 M + P + 15M1 + +5N1 + 10P1 + 4Q1 = 0x4 4M +N + 2P +Q+ 26M1 + 15N1 + 14P1 + 10Q1 = 0x3 10M + 4N + 3P + 2Q+ 31M1 + 26N1 + 14P1 + 14Q1 = 3x2 12M + 10N + 2P + 3Q+ 21M1 + 31N1 + 8P1 + 14Q1 = 1x1 9M + 12N + P + 2Q+ 9M1 + 21N1 + 3P1 + 8Q1 = 10x0 9N +Q+ 9N1 + 3Q1 = 1

Resolviendo el sistema, se tiene: M = 2, N = 3, P = −73, Q = 2, M1 =

103, N1 = −3,

P1 = −103, Q1 = −1

3La descomposición de la fracción racional propia, es:

3x3 + x2 + 10x+ 1(x2 + x+ 1)2(x2 + 2x+ 3)2

=2x+ 3

(x2 + x+ 1)2+

103 x− 3

x2 + x+ 1+

−73x+ 2

(x2 + 2x+ 3)2+

−103 x−

13

x2 + 2x+ 3

5.7. Integración de Fracciones Irracionales

1. ∫R(x, x

mn , . . . , x

rs )dx, donde R es una función real de sus variables.

sea k el máximo común denominador de las fracciones mn , . . . , rs , entonces el cambio de variablerecomendado es: x = tk; dx = ktk−1dt

2. ∫R[x, (ax+ b

cx+ b)mn , . . . , (ax+ b

cx+ b)rs ]dx

La integral se reduce a la de una función racional mediante la sustitución:ax+ b

cx+ b= tk

donde k es el máximo común denominador de las fracciones: mn , . . . , rsEjemplo 5.11 Integrar la función irracional:∫ √

x4√x3 + 1

dx

Solución 5.11 El máximo común denominador de las fracciones 12 y 3

4 , es: 4El cambio de variable recomendado, es: x = t4, entonces, dx = 4t3dt, reemplazando en la integral,

se tiene: ∫ √x

4√x3 + 1

dx =∫ √

t4

4√

(t4)3 + 14t3dt =

∫4t5

t3 + 1dt

El integrando es una fracción racional impropia, no se puede descomponer directamente en frac-ciones parciales.

5.7. INTEGRACIÓN DE FRACCIONES IRRACIONALES 87

El integrando, se puede escribir como:

4t5

t3 + 1= 4t2 − 4t2

t3 + 1

El denominador, se puede escribir como: (t+ 1)(t2 − t+ 1).Por tanto la fracción racional propia, se puede expandir en fracciones parciales:

−4t2

(t+ 1)(t2 − t+ 1)=

A

t+ 1+

Mt+N

(t2 − t+ 1)

Operando, se tiene:

−4t2

(t+ 1)(t2 − t+ 1)=A(t2 − t+ 1) + (Mt+N)(t+ 1)

(t+ 1)(t2 − t+ 1)

=(A+M)t2 + (−A+M +N)t+ (A+N)

(t+ 1)(t2 − t+ 1)

Comparando los coe�cientes de los monomios t2, t, t0, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

A+M = −4−A+M +N = 0

A+N = 0

Resolviendo el sistema, se tiene: A = −43 ,M = −8

3 , N = 43Integrando, se tiene:∫

4t5

t3 + 1dt =

∫(4t2 − 4t2

t3 + 1)dt =

∫4t2dt+

∫ (− 4

31

t+ 1+−8

3 t+ 43

t2 − t+ 1

)dt

=∫

4t2dt+∫ (

− 43

1t+ 1

− 43

2t− 1t2 − t+ 1

)dt =

43t3 − 4

3ln|t+ 1| − 4

3ln|t2 − t+ 1|+ c

Reemplazando t = 4√x, se tiene:∫ √

x4√x3 + 1

dx =43

4√x3 − 4

3ln| 4√x+ 1| − 4

3ln| 4√x2 − 4

√x+ 1|+ c

Ejemplo 5.12 Hallar ∫ 3√

(x+ 2)2√x+ 2− 1

dx

Solución 5.12 La integral se puede expresar como: ∫ 3√

(x+ 2)2√x+ 2− 1

dx =∫

(x+ 2)32

(x+ 2)12 − 1

dx

El común de nominador de las fracciones: 23, 1

2, es 6. La sustitución adecuada, es: x + 2 = t6,

dx = 6t5dt; entonces:


∫(x+ 2)

32

(x+ 2)12 − 1

dx = 6∫

t4

t3 − 1t5dt = 6

∫t9

t3 − 1dt =

∫(t6 + t3 + 1 +

1t3 − 1

)dt

Descomponiendo en fracciones parciales el último término, se tiene:

1t3 − 1

=1

(t− 1)(t2 + t+ 1)=

A

t− 1+

Mt+N

t2 + t+ 1=A(t2 + t+ 1) + (Mt+N)(t− 1)

(t− 1)(t2 + t+ 1)

1 = A(t2 + t+ 1) + (Mt+N)(t− 1)

Si t = 1; 1 = 3A, entonces: A =13

Si t = 0; 1 = A−N , entonces: N = −23

Si t = 2; 1 = 7A+ 2M +N , entonces: M = −13

6∫ t9

t3 − 1dt = 6

∫(t6 + t3 + 1 +

13

1t− 1

− 13

t+ 2t2 + t+ 1

)dt

= 6∫

(t6 + t3 + 1 +13

1t− 1

− 13

[12

2t+ 1t2 + t+ 1

+32

1(t+ 1

2)2 + 34

])dt

=67t7 +

32t4 + 6t+ 2 ln |t− 1| − ln |t2 + t+ 1| − 2

√3 arctan

√3(2t+ 1)

3+ c

=67(x+ 2)

76 +

32(x+ 2)

23 + 6(x+ 2)

16 + 2 ln |(x+ 2)

16 − 1|

− ln |(x+ 2)13 + (x+ 2)

16 + 1| − 2

√3 arctan

√3(2(x+ 2)

16 + 1)

3+ c

en donde: t = (x+ 2)16

5.8. Integración de Integrales Binomias∫xm(a+ bxn)pdx

donde m, n, p, a , b, son constantes.Condiciones de Chebyshev. Si m, p, n son números racionales, la integral se puede reducir

solamente en los siguientes tres casos:

1. p ε Z. Corresponde al 1er caso de integración de fracciones irracionales.

2. m+ 1n ε Z. Realizar la sustitución: a+ bxn = zs, donde s es el denominador de p.

3. m+ 1n + p ε Z. Realizar la sustitución: ax−n + b = zs.

Ejemplo 5.13 Hallar ∫x3(1 + 3x2)−

32dx

5.8. INTEGRACIÓN DE INTEGRALES BINOMIAS 89

Solución 5.13 m = 3, n = 2 y p =−32, m+ 1

n= 2. Corresponde al caso 2.

Sea la sustitución: 1+3x2 = z2, por tanto: x =√

33

√z2 − 1 =

√3

3(z2−1)−

12 ; dx =

√3

3zdz

(z2 − 1)12

√dz.

Reemplazando en la integral, se tiene:∫x3(1 + 3x2)−

32 =

19

∫z2 − 1z2

dz =19

∫(1− 1

z2)dz =

19(z +

1z) + c =

=19(√

1 + 3x2 +1√

1 + 3x2) + c =

19

2 + 3x2

√1 + 3x2

+ c

en donde: z =√

1 + 3x2.Ejemplo 5.14 Hallar ∫

x2(1 + x2)−32dx

Solución 5.14 m = 2, n = 2 y p =−32, m+ 1

n+ p = 0. Corresponde al caso 3.

Sea la sustitución: x−2 + 1 = z2, por tanto: x =1√

z2 − 1= (z2 − 1)−

12 ; dx = − zdz

(z2 − 1)32

Reemplazando en la integral, se tiene:∫x2(1 + x2)−

32dx = −

∫dz

z2(z2 − 1)=

∫−1

z2(z − 1)(z + 1)dz

Descomponiendo en fracciones parciales la función bajo el signo integral, se tiene:−1

z2(z − 1)(z + 1)=A

z2+A1

z+

B

z − 1+

C

z + 1

−1 = A(z − 1)(z + 1) +A1z(z − 1)(z + 1) +Bz2(z + 1) + Cz2(z − 1)

Si z = 0, −1 = −A; A = 1

Si z = 1, −1 = 2B; B = −12

Si z = −1, −1 = −2C; C =12Si z = 2, −1 = 3A+ 6A1 − 12B − 4C; A1 = 0

Integrando, se tiene:∫x2(1+x2)−

32dx =

∫−dz

z2(z − 1)(z + 1)=

∫(

1z2−1

21

z − 1+

12

1z + 1

)dz = −1z−1

2ln |z−1|+1

2ln |z−1|+c =

= − x√1 + x2

− 12

ln∣∣∣√1 + x2

x−1

∣∣∣+ 12

ln∣∣∣√1 + x2

x+1

∣∣∣+ c = − x√1 + x2

+12

ln

∣∣∣∣∣√

1 + x2

x+ 1

√1 + x2

x− 1

∣∣∣∣∣+ c =

= − x√1 + x2

+12

ln

∣∣∣∣∣√

1 + x2 + x√1 + x2 − x

∣∣∣∣∣ + c = − x√1 + x2

+ ln∣∣∣√1 + x2 + x

∣∣∣ + c

en donde: z =√

1 + x2

x.


5.9. Integración por Sustitución de Euler

1. Primera sustitución de Euler, si a > 0√ax2 + bx+ c = ±

√a x+ t

Tomando el signo positivo y elevando al cuadrado miembro a miembro y despejando x, setiene: x = t2 − c

b− 2√a t

√ax2 + bx+ c =

√a t2 − cb− 2

√a t

+ t

2. Segunda sustitución de Euler, si c > 0√ax2 + bx+ c = xt±

√c

Tomando el signo positivo y elevando al cuadrado miembro a miembro y despejando x, setiene: x = 2t

√c − b

a− t2

entonces√ax2 + bx+ c = 2t

√c − b

a− t2t+

√c

3. Tercera sustitución de Euler, si a > 0 ó a < 0

Sean α y β las raíces reales de√ax2 + bx+ c√

a(x− α)(x− β) = (x− α)t

elevando al cuadrado miembro a miembro, simpli�cando y despejando x, se tienex = aβ − αt2

a− t2

5.10. Integrales trigonométricas

En esta sección, se emplea identidades trigonométricas para integrar funciones trigonométricasy sus combinaciones.

5.10.1. Estrategia para calcular∫

cosn xdx

a) Si la potencia del coseno es impar n = 2k+1, conservar el factor coseno y usar cos2 x = 1−sen2 xpara expresar el factor restante en términos de seno:∫

cos2k+1 xdx =∫

(cos2 x)k cosxdx=

∫(1− sen2 x)k cosxdx

Realizar el cambio de variable u = senx.

b) Si la potencia del coseno es par (n = 2k), usar cos2 x =1 + cos 2x

2y convertir el factor remanente

en términos de coseno del ángulo doble, cuádruple, sextuple, etc.:∫cos2k xdx =

∫(cos2 x)kdx

=∫ (1 + cos 2x

2

)kdx

5.10. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS 91


senm xdx

a) Si la potencia del seno es impar (m = 2k+1), conservar el factor seno y usar sen2 x = 1− cos2 xpara expresar el factor restante en términos de coseno:∫

sen2k+1 xdx =∫

(sen2 x)k senxdx=

∫(1− cos2 x)k senxdx

Realizar el cambio de variable u = cosx.

b) Si la potencia del seno es par (m = 2k), usar sen2 x =1− cos 2x

2y convertir el factor remanente

en términos de coseno del ángulo doble, cuádruple, sextuple, etc.:∫sen2k xdx =

∫(sen2 x)kdx

=∫ (1− cos 2x

2

)kdx

Ejemplo 5.15 Hallar ∫cos5 xdx.

Solución 5.15 La integral, se calcula al sustituir cos2 x = 1 − sen2 x y u = senx, ya que du =cosxdx:

∫cos5 xdx =

∫(cos4 x) · cosxdx =

∫(cos2 x)2 cosxdx =

∫(1− sen2 x)2 cosxdx

=∫

(1− 2 sen2 x+ sen4 x) cosxdx =∫

(1− 2u2 + u4)du = u− 23u3 +

15u5 + c

= senx− 23

sen3 x+15

sen5 x+ c

Considerando las identidades trigonométricas, tal como: sen2 x = 1 − cos2 x, el resultado también,se puede expresar como:∫

cos5 xdx =815

senx+415

senx cos2 x+15

senx cos4x+ c

Ejemplo 5.16 Hallar ∫cos4 xdx.

Solución 5.16 La integral, se calcula al sustituir cos2 x =1 + cos 2x

2y cos2 2x =

1 + cos 4x2

:

∫cos4 xdx =

∫(cos2 x)2dx =

∫ (1 + cos 2x2

)2dx

=14

∫(1 + 2 cos 2x+ cos2 2x)dx =

14

∫ (1 + 2 cos 2x+

1 + cos 4x2

)dx

=14

∫ (32

+ 2 cos 2x+cos 4x

2

)dx =

38x+

14

sen 2x+132

sen 4x+ c

Considerando las identidades trigonométricas, tales como:sen 2x = 2 senx cosxcos 2x = 2 cos2−1sen 4x = 2 sen 2x cos 2x = 4 senx cosx(2 cos2−1)

= 8 senx cos3−4 senx cosx


el resultado también, se puede expresar como:

∫cos4 xdx =

38x+

38

senx cosx+14

senx cos3 x+ c

Ejemplo 5.17 Hallar ∫sen5 xdx.

Solución 5.17 La integral, se calcula al sustituir sen2 x = 1 − cos2 x y u = cosx, ya que du =− senxdx:

∫sen5 xdx =

∫(sen4 x) · senxdx =

∫(sen2 x)2 senxdx =

∫(1− cos2 x)2 senxdx

=∫

(1− 2 cos2 x+ cos4 x) senxdx = −∫

(1− 2u2 + u4)du = −u+23u3 − 1

5u5 + c

= − cosx+23

cos3 x− 15

cos5 x+ c

Considerando las identidades trigonométricas, tal como: cos2 x = 1 − sen2 x, el resultado también,se puede expresar como:

∫sen5 xdx = − 8

15cosx− 4

15cosx sen2 x− 1

5cosx sen4x+ c

Ejemplo 5.18 Hallar ∫sen4 xdx.

Solución 5.18 La integral, se calcula al sustituir sen2 x =1− cos 2x

2y cos2 2x =

1 + cos 4x2

:

∫sen4 xdx =

∫(sen2 x)2dx =

∫ (1− cos 2x2

)2dx

=14

∫(1− 2 cos 2x+ cos2 2x)dx =

14

∫ (1 + 2 cos 2x+

1 + cos 4x2

)dx

=14

∫ (32− 2 cos 2x+

cos 4x2

)dx =

38x− 1

4sen 2x+

132

sen 4x+ c

Considerando las identidades trigonométricas, tales como:

sen 2x = 2 senx cosxcos 2x = 1− 2 sen2 xsen 4x = 2 sen 2x cos 2x = 4 senx cosx(2 cos2−1)

= 4 cosx senx− 8 cosx sen3 x

el resultado también, se puede expresar como:

∫cos4 xdx =

38x− 3

8cosx senx− 1

4cosx sen3 x+ c

5.10. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS 93


senm x cosn xdx

a) Si la potencia del coseno es impar (n = 2k+1), conservar el factor coseno y usar cos2 x = 1−sen2 xpara expresar lo factores restantes en términos de seno:∫

senm x cos2k+1 xdx =∫

senm x(cos2 x)k cosxdx=

∫senm x(1− sen2 x)k cosxdx

Realizar el cambio de variable u = senx.

b) Si la potencia del seno es impar (m = 2k+1), conservar el factor seno y usar sen2 x = 1− cos2 xpara expresar lo factores restantes en términos de coseno:∫

sen2k+1 x cosn xdx =∫

(sen2 x)k(cosn x)k senxdx=

∫(1− cos2 x)k cosn x senxdx

Realizar el cambio de variable u = cosx. Si las potencias de seno y coseno son impares, empleara) o b).

c) Si las potencias tanto del seno y coseno son pares, emplear las identidades del ángulo mitad:

sen2 x = 12(1− cos 2x)

cos2 x = 12(1 + cos 2x)

También ayuda la identidad:senx cosx =

12

sen 2x


tanm x secn xdx

a) Si la potencia del secante es par (n = 2k, k ≥ 2) conservar el factor sec2 x y utilizar sec2 x =1 + tan2 x para expresar los factores restantes en términos de tanx:∫

tanm x sec2k xdx =∫

tanm x(sec2 x)k−1 sec2 xdx=

∫tanm x(1 + tan2 x)k−1 sec2 xdx

= senx− 13 sen3 x+ c

Utilizar el siguiente cambio de variables u = tanx.

b) Si la potencia del secante es impar (m = 2k+1) conservar el factor secx tanx y utilizar tan2 x =sec2 x− 1 para expresar los factores restantes en términos de secx:∫

tan2k+1 x secn xdx =∫

(tan2 x)k(secn−1 x) secx tanxdx=

∫(sec2 x− 1)k secn−1 x secx tanxdx

y utilizar la sustitución u = secx


5.10.5. Estrategia para calcular a)∫

sen mx cos nxdx, b)∫

sen mx sen nxdxo c)

∫cos mx cos nxdx

Se debe usar las siguientes identidades correspondientes:a) senA cosB = 1

2[ sen(A−B) + sen(A+B)]

b) senA senB = 12[ cos(A−B)− cos(A+B)]

c) cosA cosB = 12[ cos(A−B) + cos(A+B)]

5.10.6. Substituciones trigonométricas

Las sustituciones trigonométricas recomendadas, se muestran en el cuadro (5.1).

Cuadro 5.1: Sustituciones trigonométricas

Expresión Sustitución Identidad√a2 − x2 x = a sen θ, −π

2 ≤ θ ≤ π2 1− sen2 θ = cos2 θ√

a2 + x2 x = a tan θ, −π2 ≤ θ ≤ π

2 1 + tan2 θ = sec2 θ√x2 − a2 x = a sec θ, 0 ≤ θ ≤ π

2 o π ≤ θ ≤ 3π2 sec2 θ − 1 = tan2 θ

5.11. Integral De�nida

La integral de�nida, entendida como suma de partes, fue conocida por Arquímedes (250 aC),quien conocía el método de acotar el área de una región por un conjunto de rectangulares inscritosy circunscritos que cubría justamente el área.

5.11.1. Integral de Reimann

Reimann (1826-1866) basa su de�nición de la integral sobre la idea de Arquímedes.

De�nición 5.5 (Integral De�nida)Sea un área encerrada por la curva y = f(x), el eje x, y las ordenadas trazadas en x = a, x = b.

Ver la Fig. (5.1).Si se subdivide el intervalo [a, b] en n subintervalos mediante los puntos x1, x2, . . . , xn−1, elegi-

dos arbitrariamente, y se escoge en cada uno de los nuevos intervalos (a, x1), (x1, x2), . . . , (xn−1, b)puntos ξ1, ξ2, ξ3, . . . , ξn arbitrariamente y formándose la suma:

f(ξ1)(x1 − a) + f(ξ2)(x2 − x1) + . . .+ f(ξn)(b− xn−1)

Sea: x0 = a, xn = b y xk − xk−1 = 4xk

Se tiene:n∑

k=1

f(ξk)(xk − xk−1) =n∑

k=1

f(ξk)4xk

5.11. INTEGRAL DEFINIDA 95

Figura 5.1: Área bajo la curva

Pasando al límite:S = lım

n→∞

n∑k=1

f(ξk)4xk =∫ b

af(x)dx

∫ ba f(x)dx, se denomina, la integral de�nida de f(x) entre a y b y [a, b] se denomina rango de

integración, a y b, son los límites inferior y superior.Si a < c < b, se veri�ca: ∫ b

af(x)dx =

∫ c

af(x)dx+

∫ b

cf(x)dx

Sea F (x) la primitiva de la función continua f(x), se veri�ca:∫ b

af(x)dx = F (x)

∣∣∣x=b

x=a= F (b)− F (a)

5.11.2. Cambio de Variable en una Integral De�nida

Sea la integral:b∫af(x)dx y sea x = φ(t), si:

1. φ(α) = a

φ(β) = b

2. φ(t), φ′(t) son continuas en el intervalo [α, β]

3. f(φ(t)) está de�nida y en continua en [α, β]


Entonces, se veri�ca que:b∫af(x)dx =

β∫αf(φ(t))φ′(t)dt

5.12. Integrales Impropias

De�nición 5.6 Sea A ⊆ R, se dice que una función f : A→ R es localmente integrable en Asi es integrable en cada intervalo cerrado y acotado contenido en A.

Si se considera funciones de�nidas en intervalos del tipo [a, b), donde b es �nito ó +∞.De�nición 5.7 Dada una función f : [a, b) → R localmente integrable, −∞ < a < b ≤ +∞, siexiste el límite:

lımx→b−

∫ x

af(t)dt

y es �nito, se dice que la integral impropia∫ ba fdt es convergente, y al valor de dicho límite se

denomina integral impropia de f en el intervalo [a,b). Si el límite anterior existe, pero es +∞ ó−∞, se dice que la integral impropia diverge a +∞ ó −∞, y si no existe el límite, se dice quela integral impropia no existe, o que no tiene sentido, o que es oscilante.

Una de�nición análoga se puede establecer para funciones de�nidas en un intervalo (a, b], −∞ ≤a < b < +∞.

La de�nición de la integral impropia de funciones localmente integrables en intervalos abiertos:

De�nición 5.8 Dada una función f : (a, b) → R localmente integrable, −∞ ≤ a < b ≤ +∞, sedice que la integral impropia

∫ ba f(t)dt es convergente si existe un c ∈ (a, b) tal que ∫ c

a f(t)dt y∫ bc f(t)dt son ambos convergentes; en tal caso, se de�ne:∫ b

af(t)dt =

∫ c

af(t)dt+

∫ b

cf(t)dt

Proposición 5.1 Sea f : [a, b) → R una función localmente integrable y sea a < c < b. La funciónf es integrable en sentido impropio en [a, b) si y solo si es integrable en sentido impropio en [c, b),en cuyo caso se tiene: ∫ b

af(t)dt =

∫ c

af(t)dt+

∫ b

cf(t)dt

Demostración. Basta tener en cuenta que para cada x ∈ (c, b) es:∫ x

af(t)dt =

∫ c

af(t)dt+

∫ x

cf(t)dt

Por tanto, el límite cuando x→ b− de la primera integral existe si y solo si existe el límite de latercera integral, y cuando esto suceda, pasando al límite se obtiene la relación del enunciado.

5.13. Aplicaciones de la Integral

Las aplicaciones de la integral de�nida en ciencias de la ingeniería, es muy importante.

5.13. APLICACIONES DE LA INTEGRAL 97

5.13.1. Cálculo de Áreas

El diferencial de área, dA, puede elegirse de dos formas:dA = altura dx = hdx donde la altura h, es la diferencia de ordenada de la grá�ca de la función

f(x)

b∫a

f(x)dx = F (b)− F (a)

Figura 5.2: Rectángulo vertical

En la Fig. (5.2), se muestra el diferencial de área que es un rectángulo vertical.dA = base dy = bdy donde la base b, es la diferencia de abscisas de la grá�ca de la función

f−1(y)

d∫c

f−1(y)dy = F−1(d)− F−1(c)

En la Fig. (5.3), se muestra el diferencial de área que es un rectángulo horizontal.

5.13.2. Pasos para el Cálculo de áreas

En general, para calcular el área de una región plana:

1. Esbozar la grá�ca de la área bajo consideración.

2. El área, se divide en rectángulos, in�nitamente estrechas, de manera vertical o horizontal.

3. Se supone que las franjas son rectángulos, con lo cual su área se obtendrá como el productode la base por la altura, es decir, dA = hdx, para el caso de rectángulos verticales o bien,dA = bdy para el caso de rectángulos horizontales


Figura 5.3: Rectángulo horizontal

4. Se calcula el área total como la suma de las áreas de los in�nitos rectángulos:

A =∫ b

adA

Los límites de integración se determinan estudiando el recorrido del diferencial correspondien-te.

5. Si las curvas se cortan dentro del intervalo de integración, entonces habrá que descomponerla integral en dichos puntos y calcular las áreas por separado.

Proposición 5.2 (Área bajo una curva). El área del trapecio curvilíneo limitado por la curvay = f(x), siendo f(x) ≥ 0, por las rectas verticales x = a y x = b y por el segmento [a, b] del ejeOx viene de�nido por la integral:

A =∫ b

af(x)dx

Proposición 5.3 (Área entre dos curvas).El área de la región limitada por las curvas y = f(x)e y = g(x), siendo f(x) ≥ g(x), y por las rectas x = a y x = b viene de�nida por la integral:

A =∫ b

a[f(x)− g(x)]dx

Ejemplo 5.19 Hallar el área de la región comprendida entre la parábola y = x2 +1 y la recta y = 3Solución

a) Rectángulos verticalesLos puntos de intersección de ambas grá�cas, son:y = 3 → 3 = x2 + 1 → x = ±

√2 → (±

√2, 3)


El diferencial de área, está de�nido por:

dA = hdx = (3− (x2 + 1))dx = (2− x2)dx

Entonces, el área total, será:

A =∫ √

2

−√

2(2− x2)dx = 2

∫ √2

0(2− x2)dx = 2

[2x− x3

3

]√2

0= 2

(2√

2− 2√

23

)=

8√

23

b) Rectángulos horizontalesEn esta caso los límites de integración, son:

y1 = 1 y y2 = 3

El diferencial de área, esta de�nido por:

dA = bdy = 2xdy = 2√y − 1dy = 2(y − 1)1/2dy

Entonces, el área total, será:

A = 2∫ 3

1(y − 1)1/2dy = 2

[23(y − 1)3/2

]3

1= 2

(232√

2− 0)

=8√

23

Ejemplo 5.20 Calcular el área de la región comprendida entre las parábolas x = y2+1 y x = 3−y2.En este caso, conviene dividir el área en rectángulos horizontales. Los puntos de intersección de

ambas grá�cas se obtiene por igualación:

y2 + 1 = 3− y2 → 2y2 = 2 → y = ±1

El diferencial de área, está de�nido por:

dA = bdy = [(3− y2)− (y2 + 1)]dy = 2(1− y2)dy

Entonces el área total, es:

A =∫ 1

−1dA = 2

∫ 1

0dA = 2

∫ 1

−12(1− y2)dy = 4

[y − 1

3y3

]1

0= 4(1− 1

3) =

83

5.13.3. Cálculo de Volúmenes

En general para calcular el volumen de un cuerpo:1. Se divide en secciones, rebanadas in�nitamente estrechas, mediante cortes con planos perpen-

diculares a una dirección determinada (ya sea a uno de los ejes de coordenadas o una rectaparalelo a uno de ellos)

2. Se supone que las secciones son cilíndricas, con lo cual su volumen se obtiene como productodel área de la base por la altura, es decir: dV = S(x)dx o dV = S(y)dy.


3. Se determina el volumen total como la suma de los volúmenes de las in�nitas secciones:

V =∫ b

adV

Los límites de integración se determinan estudiando el recorrido del diferencial correspondien-te.

Proposición 5.4 (Método de las secciones). Si el área de la sección de un cuerpo por unplano perpendicular al eje Ox puede expresarse en función de x, es decir, S = S(x), siendo a ≤x ≤ b, entonces el volumen de la parte del cuerpo comprendida entre los plano x = a y y = b,perpendiculares al eje Ox viene de�nido por:

V =∫ b

aS(x)dx

5.13.4. Volumen de un sólido de revolución: Método de discos

Al cortar un sólido mediante plano perpendiculares al eje de giro, las secciones que se obtienenson discos, con lo cual su volumen viene determinado por dV = πr2dx o bien dV = πr2dy, si el ejede giro es la frontera a la región que gira; y por dV = π(r22 − r21)dx, o bien, dV = π(r22 − r21)dy, siel eje de giro es exterior a la región que gira.

Proposición 5.5 (Giro de trapecio curvilíneo). Si un trapecio curvilíneo limitado por la curvay = f(x), el eje Ox y las verticales por los puntos x = a y x = b gira alrededor del eje Ox, entoncesel volumen del cuerpo de revolución que se engendra viene de�nido por:

V = π

∫ b

ay2dx

Proposición 5.6 (Giro de región entre dos curvas). Si la región limitada por las curvas y1 =f1(x), e y2 = f2(x), siendo 0 ≤ f1(x) ≤ f2(x), y las verticales por los puntos x = a y x = b giraalrededor del eje Ox, entonces el volumen del cuerpo de revolución que se engendra viene de�nidopor:

V = π

∫ b

a(y2

2 − y21)dx

5.13.5. Volumen de un sólido de revolución: Método de los cilindros

Este método también se llama de capas.Si se divide un sólido de revolución mediante cilindros concéntricos con el eje de giro, cada

cilindro con un espesor in�nitesimal. El volumen de cada uno de estos cilindros está determinadopor: dV = 2πrhdx, o bien dv = 2πrhdy.

La región generatriz deberá estar a un solo lado del eje de giro, en caso contrario se tiene quedescomponer la integral y hacer los volúmenes por separado. También se tiene que descomponerla integral si la región viene determinada por dos curvas que se cortan dentro del intervalo deintegración.


Ejemplo 5.21 Hallar por el método de discos y por el de capas el volumen de sólido generado algirar la región comprendida entre la parábola y = x2 +1 y la recta y = 3 alrededor de la recta y = 3.

a) Método de discosEl diferencial de volumen de un disco elemental dV , es:

dV = πr2dx = π(3− y)2dx = π(3− (x2 + 1))2dx = π(2− x2)2dx

Los límites de integración para la variable x, son:

y = 3 → 3 = x2 + 1 → x = ±√

2

El volumen total al ser simétrico, es:

V =∫ √

2

−√

2dV = 2

∫ √2

0dV = 2π

∫ √2

0(2− x2)2dx = 2π

∫ √2

0(4− 4x2 + x4)dx

V = 2π[4x− 4

3x3 +

15x5

]√2

0= 2π(4

√2− 8

3

√2 +

45

√2) =

64π√

215

b) Método de capasEl volumen diferencial de un cilindro elemental dV , es:

dV = 2πrbdy = 2π(3− y)(2x)dy = 2π(3− y)√y − 1dy

El volumen total, esta dado por:

V =∫ 3

1dV = 4π

∫ 3

1(3− y)

√y − 1dy

Para facilitar la integración, se realiza el cambio de variable:

y − 1 = t2 → y = t2 + 1 → dx = 2tdt

y0 = 1 → t0 = 0; y1 = 3 → t1 =√

2

Reemplazando, se tiene:

V = 4π∫ √

2

0(3− t2 − 1)t2tdt = 8π

∫ √2

0(2− t2)t2dt = 8π

∫ √2

0(2t2 − t4)dt

V = 8π[23t3 − 1

5t5

]√2

0= 8π(

23

√23 − 1

5

√25) = 8π(

43

√2− 4

5

√2) =

64π√

215

Ejemplo 5.22 Calcular el volumen generado al girar la región comprendida entre las parábolasy = x2 + 1 y y = 3− x2, alrededor del eje Ox, aplicando el método de discos y el de capas.


a) Método de discosLos puntos de intersección de las grá�cas de ambas funciones, se obtiene por igualación:

x2 + 1 = 3− x2 → 2y2 = 2 → y = ±1

El volumen de un disco diferencial dV , es:

dV = π(r22 − r21)dx = π[(3− x2)2 − (x2 + 1)2]dx = 8π(1− x2)dx

Los límites de integración para la variable x son: y = ±1, el volumen es simétrico:

V = 2∫ 1

08π(1− x2)dx = 16π

[x− 1

3x3

]1

0= 16π

[1− 1

3

]=

323π

b) Método de capasEl volumen de un cilindro elemental dV , es:

dV = 2πrbdy = 2πy(2x)dy = 4πyxdy

El valor de x cambia a partir de x = 2, por tanto, la integral se descompone en ese punto:

V =∫ 2

1dV1 +

∫ 3

2dV2 = 4π

∫ 2

1y√y − 1dy + 4π

∫ 3

2y√

3− ydy = 4π1615

+ 4π85

=32π3

c) Método de discos (Giro de región entre dos curvas):El volumen de un cilindro elemental dV , es:

V = π(y22 − y2

1)dx

El volumen total, esta dado por:

V =∫ 1

−1π(y2

2 − y21)dx = π

∫ 1

−1[(3− x2)2 − (x2 + 1)2]dx = 2π

∫ 1

0(8− 8x2)dx

V = 16π∫ 1

0(1− x2)dx = 16π

[x− 1

3x3

]1

0= 16π

[1− 1

3

]=

323π

5.13.6. Cálculo de Longitud de Arco

En la Fig. (5.4), se muestra la aproximación del arco por diferenciales de arco.dl =

√(dx)2 + (dy)2 =

√1 +

(dydx

)2dx

Ejemplo 5.23 Determinar la longitud de arco de la parábola y = 2x2, desde x = 0 a x = 1.


Figura 5.4: Aproximación de arco por diferenciales de arco

Solución 5.19

L =

1∫0

√1 + (

dy

dx)2 =

1∫0

√1 + (4x)2dx =

14

4∫0

√1 + u2du =

14

[12u√

1 + u2 +12ln(u+

√1 + u2)

]4

0

=12

√17− 1

8ln(−4 +

√17) = 2,3234

5.13.7. Cálculo de Centros de Gravedad

Sean x, y las coordenadas del centro de gravedad, las cuales se determina mediante las siguientesexpresiones.

x =

∫xdA∫dA

Para lo cual, se toma como elemento diferencial de área un rectángulo vertical. En la Fig.(5.5), semuestra el esquema para determinar la abscisa del centro de gravedad.

y =

∫ydA∫dA

Para lo cual, se toma como elemento diferencial de área un rectángulo horizontal. En la Fig.(5.6),se muestra el esquema para determinar la ordenada del centro de gravedad.

Ejemplo 5.24 Determinar las coordenadas del centro de gravedad de la �gura limitada por la fun-ción y = f(x) = 2x2, y = 2 y el eje Y .

Solución 5.20 En la Fig. (5.7), se muestra la �gura del problema. En la Fig.(5.7a) se muestra eldiferencial de área para calcular la coordenada x y en la Fig.(5.7b) se muestra el diferencial de áreapara calcular la coordenada y.


Figura 5.5: Diferencial de área: Rectángulo vertical

Figura 5.6: Diferencial de área: Rectángulo horizontal

Las coordenadas del centro de gravedad, se calcula mediante las siguientes expresiones:

x =

∫xdA∫dA

y =

∫ydA∫dA


Figura 5.7: Centro de gravedad

El área de la �gura, es:

A =∫dA =

∫altura · dx =

1∫0

(2− y)dx =

1∫0

(2− 2x2)dx = 2x− 23x3

∣∣∣10

=43

unidades de área

Para calcular la integral ∫xdA, el diferencial de área, se toma como:

dA = altura · dx = (2− y)dx = (2− 2x2)dx

∫xdA =

1∫0

x(2− 2x2)dx =1∫0

(2x− 2x3)dx = x2 − 12x3

∣∣∣10

=12

Para calcular la integral ∫ydA, el diferencial de área, se toma como:

dA = base · dy = xdy =√y

2dy

donde x = f−1(y) =√y

2, es la función inversa de y = f(x) = 2x2.

∫ydA =

2∫0

y

√y

2dy =

1∫0

√2

2y

32dy =

√2

5y

52

∣∣∣20

=85

Las coordenadas del centro de gravedad, son:

x =

∫xdA∫dA

=

1243

=38

y =

∫ydA∫dA

=

8543

=65


5.13.8. Cálculo de Límites de Sumas

Algunos límites pueden calcularse mediante integrales:Proposición 5.7

lımn→∞

n∑i=1

f( in

)=

∫ 1

0f(x)dx

Capítulo 6

Series

6.1. Introducción

Las series son muy importantes y tienen multitud de aplicaciones en la ingeniería, tales como porejemplo, en el diseño y construcción de equipos musicales en lo concerniente a la armonía musicaly en otras áreas tradicionales de la investigación cientí�ca, como la holografía, la tomografía y laespectroscopía. Se presentan varios ejemplos.

6.2. Sucesión

De�nición 6.1 Una sucesión es un conjunto de números, bien ordenados por una regla �ja.

Por ejemplo:1, 4, 9, 16, 25, 36, . . . , (n+ 1)2, . . .

−x, x2

2,−x

3

3,x4

4,−x

5

5, . . . ,

(−1)nxn

n+ . . .

son sucesiones.

6.3. Serie

De�nición 6.2 Una serie es una sucesión formada por las sumas sucesivas de los términos deuna sucesión.

Por ejemplo:1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + . . .+

−x+x2

2− x3

3+x4

4− x5

5+ . . .+

(−1)nxn

n+ . . .+

Una expresión de la formau1 + u2 + u3 + . . . (6.1)

donde los números un (términos de la serie), dependen de los índices n = 1, 2, . . . , se denominaserie.

107

108 CAPÍTULO 6. SERIES

La serie (6.1) se denota también en la siguiente forma:+∞∑n=1

un =+∞∑1

un

Los números

Sn = u1 + u2 + u3 + . . .+ un; (n = 1, 2, 3, . . .)

son las n-ésimas sumas parciales de la serie ( 6.1 ).

6.4. Algunos Tipos de Series

6.4.1. Serie Geométrica

Una serie geométrica es una serie asociada a una progresión geométrica, cada término de laserie se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. La ecuación generadorade una sucesión o progresión geométrica está dado por:

an = r · an−1

donde r es la razón, es decir, el factor por el cual se multiplica un término para generar el posterior.La serie geométrica, es:

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + . . .+ an = a1(1 + r + r2 + r3 + . . .+ rn−1) =

a1(1− rn)

1− rsi r 6= 1

a1n si r = 1

Por ejemplo: Si r =12

1 +12

+14

+18

+116

+ . . .+ =+∞∑n=0

12n

6.4.2. Serie Armónica

La serie+∞∑n=1

1n

se llama serie armónica. Se veri�ca que, para cada n, su suma parcial n−ésima, denotadahabitualmente por Hn, cumple:

Hn =n∑

k=1

1k≥

n∑k=1

k+1∫k

dx

x=

n+1∫1

dx

x= ln(n+ 1)

luego la serie armónica diverge a +∞ a pesar de que lımn→∞

1n

= 0

6.5. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 109

6.4.3. Serie Telescópica

Sea bn una sucesión numérica. La serie+∞∑n=1

(bn − bn−1)) se denomina serie telescópica.

6.5. Series de Términos Positivos

La serie+∞∑n=1

an se dice que es de términos positivos si an > 0, ∀n ∈ N

6.5.1. Condición Necesaria de Convergencia

Teorema 6.1 (Condición Necesaria) Si una serie+∞∑n=1

an es convergente, entonces lımn→∞

an = 0.

Demostración 6.1 La demostración, se basa en la relación que existe entre el término n−ésimode la serie y la sucesión de sumas parciales:

an = Sn − Sn−1

Como Sn−1 es una subsucesión de Sn que, por hipótesis es convergente, entonces Sn−1 y Sn

tiene el mismo límite y por tanto, lımn→∞

an = 0.

Corolario 6.1 Si lımn→∞

an 6= 0, entonces+∞∑n=1

an es divergente.

6.5.2. Criterios de Convergencia

La convergencia ó divergencia de una serie, depende de la convergencia ó divergencia de lasucesión de las sumas parciales.

Existen varios criterios para determinar la convergencia o divergencia de una serie.

6.5.2.1. Criterio de la Raíz o de CauchySea anuna sucesión tal que an > 0 y sea α = lım

n→∞n√an. Entonces:

1) Si α < 1, la serie+∞∑n=1

an converge.

2) Si α > 1 o α = +∞, la serie+∞∑n=1

an diverge.

3) Si α = 1, el criterio no decide.

Ejemplo 6.1 Determinar la convergencia de la serie:+∞∑n=1

12n


Solución 6.1 Aplicando el criterio, se tiene:

α = lımn→+∞

n√an = lım

n→+∞n

√12n

= lımn→+∞

1n√

2n=

12

Como α =12< 1, la serie

+∞∑n=1

12n

es convergente.

6.5.2.2. Criterio del Cociente o de D'AlembertSea anuna sucesión tal que an > 0 y sea β = lım

n→∞

an+1

an. Entonces:

1) Si β < 1, la serie+∞∑n=1

an converge.

2) Si β > 1 o β = +∞, la serie+∞∑n=1

an diverge.

3) Si β = 1, el criterio no decide.


1n!

Solución 6.2 Aplicando el criterio del cociente, se tiene:

β = lımn→+∞

an+1

an= lım

n→+∞

1(n+ 1)!

1n!

= lımn→+∞

1n+ 1

= 0

Como β = 0 < 1, la serie es convergente.

6.5.2.3. Criterio de Comparación DirectaSean an y bn sucesiones tales que 0 < an < bn para todo n.

1) Si+∞∑n=1

bn converge, entonces+∞∑n=1

an converge.

2) Si+∞∑n=1

bn diverge, entonces+∞∑n=1

an diverge.


1n+ 2n

Solución 6.3 Se veri�ca que: 1n+ 2n

≤ 12n

Como la serie+∞∑n=1

12n

es convergente (es una serie geométrica de razón 12), entonces, la serie

+∞∑n=1

1n+ 2n

es convergente.

6.5. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 111

6.5.2.4. Criterio de Comparación por Paso al Límite

Sean+∞∑n=1

an y+∞∑n=1

bn dos series de términos positivos. Se veri�ca:

1) Si+∞∑n=1

an converge y lımn→∞

bnan

= l ≥ 0, entonces+∞∑n=1

bn converge.

2) Si+∞∑n=1

an diverge y lımn→∞

bnan

= l ≥ 0 ó +∞, entonces+∞∑n=1

bn diverge.


12n − n

Solución 6.4 Comparando el término n-ésimo de la serie+∞∑n=1

12n − n

con el n-ésimo de la serie:+∞∑n=1

12n

, se tiene:

l = lımn→+∞

bnan

= lımn→+∞

12n

12n − n

= lımn→+∞

(1− n

2n) = 1

Como l = 1 y la serie+∞∑n=1

12n

es convergente, entonces, la serie+∞∑n=1

12n − 1

es convergente.

6.5.2.5. Criterio de Pringsheim

Sea+∞∑n=1

an y existe el número p, tal que:

1) lımn→∞

npan = l <∞ y p > 1, entonces,+∞∑n=1

an converge.

2) lımn→∞

npan = l 6= 0 y p ≤ 1, entonces,+∞∑n=1

an diverge.

Observación 6.1 El número p se elige, en general, como la diferencia de grados entre el denomi-nador y el numerador.

Ejemplo 6.5 Determinar el carácter de la serie:+∞∑n=1

n+ 2n3 + 3 senn

Solución 6.5 La función seno está acotada cuando nto+∞. Puesto que el numerador es de grado1 y el denominador es de grado 3, entonces p = 3− 1 = 2.

Aplicando el criterio, se tiene:

l = lımn→+∞

npan = lımn→+∞

np n+ 2n3 + 3 senn

= lımn→+∞

1 +2n

1 + 3sennn3

= 1


Como l = 1 < +∞ y p = 2 > 1, entonces, la serie+∞∑n=1

n+ 2n3 + 3 senn

es convergente.

6.5.2.6. Criterio de Raabe

Sea+∞∑n=1

an una serie de términos positivos y α = lımn→∞

n(1− an

an−1

):

1) Si α > 1, entonces+∞∑n=1

an converge.

2) Si α < 1, entonces+∞∑n=1

an diverge.

Ejemplo 6.6 Determinar la convergencia de la serie: lımn→+∞

1n2

Solución 6.6 Aplicando el criterio, se tiene:

α = lımn→+∞

n(1− an

an−1) = lım

n→+∞n(1−

1n2

1(n− 1)2

)= lım

n→+∞

2n2 − n

n2= 2

Como α = 2 > 1, el criterio de Raabe, determina que la serie lımn→+∞

1n2

converge.

6.5.2.7. Criterio de la IntegralSea f(x) una función positiva y estrictamente decreciente de�nida en [1,+∞) tal que f(n) = an

para todo n natural.La integral

+∞∫1

f(x)dx converge, si y solo si, la serie+∞∑n=1

an converge.

Ejemplo 6.7 Determinar el carácter de la serie:+∞∑n=2

1n · lnn

Solución 6.7 El término general de la serie esta de�nido por f(n) =1

n · lnn,entonces se puede

de�nir la función f(x) =1

x · lnx. Aplicando el criterio de la integral, se tiene:

+∞∫2

1x · lnx

= lımc→+∞

c∫2

1x · lnx

= lımc→+∞

ln lnx∣∣∣c2

= lımc→+∞

ln ln c− ln ln 2 = +∞

Como la integral es divergente, entonces, la serie+∞∑n=2

1n · lnn

es divergente.

6.6. SERIES ALTERNADAS 113

6.6. Series Alternadas

Una serie alternada, es una serie in�nita cuyos términos alternan en signo.Ejemplos:

1− 12

+14− 1

8+− . . .

1− 2 + 3− 4 + 5− 6 +− . . .

1− 12

+13− 1

4+− . . .

6.6.1. Criterio de Leibniz

Sea+∞∑n=1

(−1)nan con an ≥ 0, ∀n ∈ N, una condición su�ciente para que+∞∑n=1

(−1)nan sea conver-gente, es que, se cumpla las condiciones:1) an es decreciente.2) lım

n→∞an = 0

Ejemplo 6.8 Determinar la convergencia de la serie armónica alternada: lımn→+∞

(−1)n

n= lım

n→+∞(−1)nan

Solución 6.8 an es decreciente y lımn→+∞

an = lımn→+∞

1n

= 0, por tanto, la serie armónica alternadaes convergente.

6.6.2. Convergencia Condicional y Absoluta

6.6.2.1. Convergencia Absoluta

La serie alternada∞∑

n=1an, se dice, que es absolutamente convergente si

∞∑n=1

|an| converge.

6.6.2.2. Convergencia Condicional

La serie alternada∞∑

n=1an es convergente, pero no es absolutamente convergente, entonces, se

dice, que es condicionalmente convergente o converge condicionalmente.

6.7. Series de Potencias

De�nición 6.3 Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma:∞∑

n=0

an(x− c)n

donde: an se denomina coe�ciente n-ésimo de la serie de potencias.an(x− c)n es el término n-ésimo de la serie.c es el centro de convergencia de la serie.


6.7.1. Intervalo de Convergencia

Interesa conocer para qué valores de la variable x es convergente la serie de potencia∞∑

n=0an(x−

c)n, es decir, se debe determinar el dominio de la función f(x) =∞∑

n=0an(x − c)n. Este dominio,

coincide con el conjunto de todos los x para los cuales la serie converge. El intervalo de convergencia,R, se determina al aplicar uno de los criterios de convergencia y se tiene:

|x− c| < R

De otro modo la serie diverge.

Ejemplo 6.9 Hallar el intervalo de convergencia de la serie+∞∑n=2

xn

n, estudiando dónde la conver-

gencia es absoluta, y de haberla, dónde es condicional.

Solución 6.9 Aplicando el criterio de convergencia absoluta, se tiene:

lımn→+∞

n

√∣∣∣xn

n

∣∣∣ = lımn→+∞

|x|n√n

= |x|

Donde: lımn→+∞

n√n = 1 Se sabe que para valores de x para los que lım

n→+∞n

√∣∣∣xn

n

∣∣∣ < 1, la serie

será convergente, mientras para aquellos valores de x que hagan lımn→+∞

n

√∣∣∣xn

n

∣∣∣ > 1, la serie será

divergente. Cuando lımn→+∞

n

√∣∣∣xn

n

∣∣∣ = 1, se tendrá que estudiar la serie con otros criterios.Considerando ahora los valores de |x|, se tiene, tres casos:

1. Para |x| < 1, la serie converge absolutamente: lımn→+∞

n

√∣∣∣xn

n

∣∣∣ < 1. El intervalo de convergencia,es: (−1, 1)

2. Cuando |x| > 1, la serie es divergente: lımn→+∞

n

√∣∣∣xn

n

∣∣∣ > 1. Los intervalos de divergencia, son:(−∞,−1) y (1,−∞).

3. Cuando |x| = 1. Las series correspondientes a los valores que hacen |x| = 1, son dos:

a) Para x = 1, se tiene la serie lımn→+∞

1n, conocida serie armónica, que diverge.

b) Para x = −1, se tiene la serie lımn→+∞

(−1)n

n, conocida serie armónica alternada, conver-

gente. Ésta serie es condicionalmente convergente.

El intervalo de convergencia absoluta, es: [-1, 1). Y en x = −1, tiene una convergenciacondicional.

6.7. SERIES DE POTENCIAS 115

6.7.2. Operaciones con Series de Potencias

Sean las series de potencia∞∑

n=0anx

n y∞∑

n=0bnx

n con intervalos de convergencia Ra y Rb respec-tivamente y sea c una constante. Entonces, se tienen las siguientes operaciones:

1. La serie∞∑

n=0(can)xn, tiene un intervalo de convergencia Ra y

∞∑n=0

(can)xn = c

∞∑n=0

anxn

2. La serie∞∑

n=0(an + bn)xn tiene un intervalo de convergencia R ≥ min{Ra, Rb} y

∞∑n=0

(an + bn)xn =∞∑

n=0

anxn +

∞∑n=0

bnxn

6.7.3. Diferenciación e Integración termino a termino de Series de Potencias

Si se parte de la idea de que una serie de potencias es un polinomio, la derivación e integraciónde una serie de potencias resulta sencillo.

Si la serie de potencia∞∑

n=0anx

n converge a la función suma f(x) en el intervalo (−R,R), dondeR > 0, entonces:

1. La serie de potencia f(x) =∞∑

n=0anx

n es diferenciable en (−R,R) y

f ′(x) =∞∑

n=0

nanxn−1

2. La serie de potencia f(x) =∞∑

n=1anx

n es integrable en (−R,R) si |x| < R entonces

x∫0

f(x)dx =∞∑

n=0

an

n+ 1xn+1


Bibliografía

[1] T. M. Apostol, Calculus, Vol I. Ed. Reverté, Barcelona, 1989.[2] N. Piskunov, Cálculo Diferencial e Integral. Ed. Limusa, México, 1994.[3] G. N. Berman, Problemas y Ejercicios de Análisis Matemáticos. Editorial MIR, Moscú,

1977.[4] B. Demidovich, Problemas de Análisis Matemático. Editorial MIR, Moscú.[5] B. Demidovich, 5.000 Problemas de Análisis Matemático. Editorial Paraninfo, Madrid,

1976.[6] W. A. Granville, Elementos de Cálculo Diferencial e Integral . 1961[7] R. Wrede, M. R. Spiegel, Teoría y Problemas de Cálculo Superior. 2da Edición, McGraw-

Hill[8] Joseph H. Kindle, Teoría y Problemas de Geometría Analítica. Mc Graw-Hill, 1977.[9] F. Ayres, E. Mendelsen, Teoría y Problemas de Cálculo Diferencial e Integral, 3ra

Edición, McGraw-Hill, 1962[10] V. Chungara, Calculo Diferencial e Integral. 2001.

117

Índice alfabético

Aplicaciones de la derivada, 66Geométricas, 56Gra�car una función, 66Pasos para gra�car una función, 66

Problemas de optimización, 70Aplicaciones de la integral, 96

Cálculo de centros de gravedad, 103Cálculo de longitud de arco, 102Cálculo de límites de sumas, 106Cálculo de volúmenes, 99Método de discos, 100Método de los cilindros, 100

Cálculo de áreas, 97Pasos para el cálculo de áreas, 97

Asíntotas, 62Axiomas de orden, 5

Clases de funciones, 22Composición de funciones, 19Concepto de cuerpo, 2Continuidad de funciones, 46Coordenadas

Cartesianas, 23Polares, 24

CuerpoNúmeros reales, 3

Derivada, 47Aplicaciones geométricas, 56Funciones hiperbólicas, 54Funciones inversas, 52Funciones paramétricas, 53Función implícita, 53Fórmula de Leibniz, 55Regla de la cadena, 52Reglas de derivación, 51Órdenes superiores, 55

Descomposición en fracciones simples, 79Casos, 81

Desigualdades, 5Reglas, 5

Diferencial de una función, 54Distancia de un punto a una recta, 27Distancia entre dos puntos, 23Diversas formas de expresión de una función,

9

Entorno, 7Reducido, 7

Extremos, 62

Familia de funciones, 14Formas de la ecuación de la recta, 25Funciones, 8Funciones acotadas, 22Funciones elementales, 10Funciones no lineales, 14Función

Constante, 16EspecialesParte entera, 18Signo, 18Valor absoluto, 17

Exponencial, 10Impar, 16Irracional, 15Logaritmo, 11Par, 16Potencial, 10Racional, 15Trigonométrica, 11

Función biyectiva, 21Función inyectiva, 21Función primitiva, 73

118

ÍNDICE ALFABÉTICO 119

Función sobreinyectiva, 21Fórmula de interpolación de Newton, 63Fórmula de Taylor, 56

Inecuaciones, 5In�nitésimos, 43Integración, 73

Fracciones irracionales, 86Fracciones racionales, 76Reglas de integración, 74

IntegralDe�nida, 94Inde�nida, 73

Integral de Reimann, 94Integral de�nida

Cambio de variable, 95Integrales binomias, 88Integrales impropias, 96Integrales trigonométricas, 90Integrando, 73Interpretación de la derivada

Geométrica, 50Velocidad del movimiento, 50

Intervalos, 5Acotados, 6In�nitos, 6

Leyes de la aritmética, 4Límite

Función, 40Sucesión, 38

Límites especiales, 44Límites laterales, 41Línea recta, 25

Métodos de integraciónPor partes, 76Simple inspección, 75Sustitución, 75

NúmerosEnteros, 1Irracionales, 2Naturales, 1Racionales, 1Reales, 1

Operaciones algebraicas con funciones, 22

Punto de acumulación, 7Punto medio, 24Puntos críticos, 61Puntos de discontinuidad de una función, 46Puntos de in�exión, 62

Recta numérica, 2Regla de L'Hôpital-Bernoulli, 56Reglas de límites, 43

Secciones cónicas, 27Circunferencia, 28Elipse, 30Hipérbola, 31Parábola, 28

Serie, 107Alternadas, 113Convergencia absoluta, 113Convergencia condicional, 113Criterio de Leibniz, 113

Armónica, 108Condición necesaria de convergencia, 109Criterios de convergencia, 109Criterio de comparación directa, 110Criterio de comparación por paso al límite,111

Criterio de la integral, 112Criterio de la raíz, 109Criterio de Pringsheim, 111Criterio de Raabe, 112Criterio del cociente, 110

Geométrica, 108Telescópica, 109Términos positivos, 109

Serie de potencias, 113Intervalo de convergencia, 114Operaciones, 115Diferenciación e integración, 115

Sistema de coordenadas, 23Substituciones trigonométricas, 94Sucesión, 37, 107Sustituciones de Euler, 90

Teorema de Cauchy, 61

120 ÍNDICE ALFABÉTICO

Teorema de Lagrange, 61Teorema de Rolle, 61Teoremas del valor medio, 61Teoremas fundamentales sobre límites, 43Transformación de coordenadas, 24, 33

Valor absoluto, 6Propiedades, 6

Vecindad, 7

Documents

Cálculo I - Listado de Páginas Web Docentedocentes.uto.edu.bo/ablancob/wp-content/uploads/Calculo_I_k_2_201… · ... tal vez en la forma de enfocar y presentar los temas. ... Sistema