ECUADOR ELIPSOIDAL

Cálculosde

PosicionamientoGeodésico

INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICAGEOGRAFIA E INFORMATICA

ECUADOR ELIPSOIDAL

Cálculosde

Posicionanniento Geodésico

INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICAGEOGRAFIA E INFORMATICA

NOTA DEL TRADUCTOR

E ste trabajo es parte del esfuerzo que DETEN AL está haciendo

con el propósito de elevar el nivel de lo s conocim ientos geodésicos

dentro y fuera de la Institución. Debe pues, agradecerse la dispo

sición y e l apoyo brindado por las autoridades de DETENAL, parti­

cularmente de aquellas responsables del área de G eodesia, que al

facilitarnos m edios y personal, hicieron posible que éstas notas vie

ran la luz del día.

Debe agradecerse profundamente la gentileza de lo s autores,

Dr, E . J . Krakiwsky y D r. D. B . Thom son, de la Universidad de

New Brunswick, al dar su autorización para la traducción y divulga

ción de su obra en español.

E l excelente trabajo de m ecanografiado estuvo a cargo de la

Srita. Concepción Vega Ché de la Oficina de Apoyo B ásico . E l Sr.

Julio Bueyes Oliva, de la Oficina de Apoyo V ertica l, tuvo la respon­

sabilidad de trazar los diagram as y e s cr ib ir las fórm ulas que apare^

cen en éstas notas.

M .C . Rafael Sosa T o rre s .

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P R E F A C I O

El proposito de estas notas es dar la teoría y el uso de algu­nos métodos de cálcu lo de posición geodésica de puntos sobre un e lip so i­de de referencia y sobre el terreno. La justificación por las prim eras - tres seccion es de estas notas de lectura, que tratan el problem a clás ico del "C álculo de posición geodésica sobre la superficie de un elipsoide", no^es fá cil de determ inar. Solamente puede ser establecido que la inten cion ha sido producir un paquete independíente que contenga el desarrollo com pleto de algunos métodos representativos que existen en la literatura La última sección es una introducción a los métodos de cá lcu lo tridim en­sionales y es ofrecida com o una alternativa al método c lá s ico . Muchos - problem as y su respectiva solución son presentados.

El enfoque que se da aquí es realizar derivaciones com pletas, esto es , alejado de la practica de dar una lista de fórm ulas a usarse en - la solución de un problem a. Se espera que este enfoque dará el lector - una apreciación para el fundamento en que están basadas las fórm ulas y al final, la s fórm ulas m ism as.

Las notas se desarrollaron de las conferencias preparadas - por E.J. Krakiwski y del trabajo de investigación realizado por D .B . - - Thomson en años recientes en U.N.33. L os autores reconocen el uso - de ideas contenidas en las conferencias de los p ro fesores IJrho A . Uotila y Richard H. Rapp. del Departamento de Ciencia G eodésica de la Univer sidad del Estado de Ohio, Columbus, Ohio. Otras fuentes usadas para ~ detalles importantes están referidas dentro del texto.

L os autores desean recon ocer la contribución hecha por los estudiantes de post grado de Ingeniería T opográfica de 1975, para el m e­joram iento de estas notas por el descubrim iento de e rro re s topográficos.

M r. C. Chamberlaín es particularmente reconocido por su - cr ítica constructiva y su asistencia en la preparación de este manuscrito para su publicación.

E . J. Krakiwsky D, B .Thom son

F ebrero 14 de 19“ 4.

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TABLA. DE CONTENIDOS

PáginaP r e fa c io ------------------------------------------------------------------------------------------------ -------iL ista de ilu s tra c io n e s ------------------------------------------------------------------------ ------- üIntroducción ------------------------------------------------------ -------------------------------- * 11Sección I: Geom etría E lip soida l--------------------------------------------------------- 121 . - El Elipsoide de Revolución ------------- ------- -------------------- ----------------- 12

1 .1 . - Parám etros E lipsoidales ---------------------- ----------------- 121.2 .-- Radio de C u rvatu ra— ---------------------------------------------— .. 141 .2 . 1. - Radio de Curvatura del M e r id ia n o ------ --------------------------- 151 .2 .2 . - Radio de Curvatura del P rim er V ertica l 181. 2. 3. - Radio de Curvatura en cualquier A zim ut------------------------- 201 .3 . - Curvas sobre la superficie de un Elipsoide --------------- ------ 241 .3 .1 . - La Sección Normal ----------------------------------- ---------------------- 241 .3 .2 . - La G e o d é s ica 2 6

Sección II. - Reducción de O bservaciones G eodésicas T errestres — 302.-- Reducción a la Superficie del Elipsoide de Referencia -------------- 30

2. 1. Reducción de D irecciónes Horizontales (o ángulos) - 312 .1 .1 . - E fectos G e o m é tr ic o s ----------- — 312 .1 .2 . - E fectos G ravim étricos - —------------- — 352 .2 . - --Distancias Z e n ita le s ---------- ------------------------------------ - 352 . 3 . - Distancias E s p a c ia le s ------ ------------------------------------ 362 .4 . - Reducción de Cantidades G eodésicas calculadas al terreno 37

Sección III .- Cálculos de Posiciones G eodésicas sobre el Elipsoidede Referencia. -------------------------- -------------------------------------- 37

3 . - Fórm ula de Puissant. - Líneas C o r ta s -------------------------- ------------ 393. 1. - In trod u cción ------------------------------------•- 393 .2 . - Problem a d ir e c t o ----------------------------------------------------------------- 393 .3 . - Problem a In verso ---------------- ------- ------------------------------------------- 423. 4. - Resumen de Ecuaciones para la solución de Problem as Di­

rectos e in versos usando la Fórm ula de P uissant. 453. 5. - Fórm ula de G auss: Latitud M e d ia ------------------------------------- 463 .6 . - Otras fórm ulas de linea c o r t a - - - ------ - 46

4 . - Fórm ula de B e s s e l .- Líneas Largas ---------------------- ----------------- 474. 1. - Introducción ------------- - 474 .2 . - Relaciones Fundamentales — — ------------- -------------------------- 474. 3. - Solución de la integral E líptica — ----------------- 524 .4 . - Problem a D ir e c to 5 84. 5. - Problem a In v e rs o ------------------------------------- *--------------------------- 594. 6, - Otras fórm ulas para líneas Largas - ----------------------------------

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TABLA DE CONTENIDO (CONT)

PáginaSección IV . - Cálculo de P osiciones G eodésicas en T res

D im ensiones-*--------------- — - - —--------------- — ------------- 615, - Problem as D irecto e Inverso en T re s Dimensiones - - ------ -----6 2

5 . 1 . -P rob lem a D ir e c to — ■— ------------------------------- -----------------625. 2 . -P rob lem a In v e r s o ------------------------------ ---------------------------6 6

6, - P roblem as de Intersección en T re s D im ensiones------------ ----- 676 . 1 . - --Intersección Azimutal — -----------------— ---- -----------------676 . 2 . - Intersección en las Distancias E sp a c ia le s ---------- ----- 73

7, - A manera de conclusión ---------------------------------------------------- ----- 75Referencias ------------------------ -------------------------- ■ - -------------— - 77

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LISTA DE ILUSTRACIONES

FIG. No. P A jINA1 E l E lipsoide de Revolución 1 3

2 Sección Normal Meridiana Mostrando e l ~radio de curvatura del m eridiano (M) . 1 5

3 Sección Normal al p rim er vertica l m os -trando la curvatura del p rim er vertica l (N) 16

4 Radio de curvatura del m eridiano (M) 1 7

5 Radio de curvatura del prim er vertica l (N) 1 9

6 Sección normal en un Azimut Cualquiera a 2 !

7 Indicatríz para la solución de R a 21

8 Sección a través de PP ’ (a ) para la solu -ción de Ra 22

9 Solución de Z para solucionar Rq 23

10 Secciones con norm ales recíprocas 24

11 Sección Triangular con norm al recíproca 25

12 Separación Angular entre seccion es con Ñormal R ecíproca . 26

13 G eodésica 27

14 Ecuación D iferencial de una G eodésica sobrela superficie de un Elipsoide de Revolución. 29

15 Separación entre Sección Normal y G eodésica 30

16 C orrección por Normal Oblicua 32

17 C orrección por Desviación de la V ertical 34

18 Reducción de Distancia Espacial 36

19 Fórm ula de Puissant para Problem a D irecto. 39

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FIG. No. PAGINA

20 Fórm ula de Puissant para Problem a Inverso 44

21 R elaciones fundamentales para el d esarrollode la fórm ula de B esse l. 49

22 E sfera Reducida y E lipsoide. 4g

23 Solución de 52d cr

24 Solución de dl/dX 5?

25 Solución de Longitud de A rco a 59

28 Problem a D irecto {G eodésico L oca l) 63

27 Problem a D irecto (A stronóm ico L oca l) 65

28 V ectores Unitarios en e l Sistema G eodési­co L oca l 68

29 Intersección Azimutal en T re s Dim ensiones. 70

30 Intersección de Distancia Espacial en T res D im ensiones. 74

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I N T R O D U C C I O N

Las prim eras tres seccion es de estas notas tratan del cálcu lo de posiciones geodésicas sobre tai elipsoide- En el prim er cap i­tulo, se da una revisión a la geom etría elipsoidal ya que en e l desa r ro llo de fórm ulas posteriores puede ser muy útil. Común a to - dos lo s cá lcu los elipsoidales c lá s icos es la necesidad de reducir la s observaciones geodésicas al elipsoide, por lo tanto un capítu­lo com pleto e s em pleado en éste tópico.

Dos c lá s ico s problem as de cá lcu lo de geodesia geom étrica - son tratados; E llos son lo s llam ados problem as geodésicos "D i - r e c to ” e " in v e rs o " ,

Hay va rios métodos que pueden adoptarse para la solución de estos problem as. Generalmente están clasificados en térm ino de fórm ula de línea "C orta" "m ediana" o "L a rg a ", Cada uno de - e llo s involucra aproxim aciones diferentes que restringen la d is­tancia entre estaciones sobre la s que algunas fórm ulas son muy - útiles para una exactitud dada.

L a última sección de las notas trata de lo s cá lcu los de posi - ciones geodésicas en tres dim ensiones. P rim ero son desarrolla dos lo s problem as d irecto e inverso y luego dos problem as espe­c ia les (am bos de in tersección de Azimut y de distancia espacial ) son tratados . Estas soluciones ofrecen una alternativa a lo s mé todos c lá s icos de cálcu los de posición geodésica .

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SECCION I; GEOMETRÍA ELIPSOIDAL.

I , - El E lipsoide de Revolución.

Ya que un elipsoide de revolución (E lipsoide de Re­ferencia) es generalmente considerado com o la m ejor aproxim a­ción al tamaño y a la form a de la tierra , es usado com o la super­fic ie sobre la cual se hacen lo s cá lcu los, inmediatamente des - pués estudiamos muchas propiedades geom étricas de un elipsoide de revolución que son de especial interés para los geodestas.

En particular, el radio de curvatura de puntos sobre la superficie del elipsoide y algunas curvas sobre su superficie, son d escritos .

La figura 1 m uestra un elipsoide de revolución. L os pa rám etros de un elipsoide de referencia que describen su tamaño y su form a son:

de un plano m eridiano con la superficie del elipsoide) e s : (V er -

1. L - Parám etros E lipsoidales.

i) El sem ieje m ayor (a) ii) El sem ieje m enor (b>

La ecuación de cualquier curva meridiana (Intersección

Fig. 1).

1

La superficie de un elipsoide de revolución está dada -por;

+ laa',2

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FIGURA 1

" EL ELIPSOIDE DE REVOLUCION "

L os puntos F y F ’ en la figura 1 son los focos de la elipse meridiana que pasa por los puntos P, E' , P \ E . Los focos son equidistantes del centro geom étrico (ó ) de la elipse . Las distancias PF y PF f son igual al Semi eje m ayor (a). Es ta in form ación es usada ahora para ayudar a d escrib ir propie - dades posteriores de un elipsoide.

E l achatamiento elipsoidal (P o la r) está dado por:

f = ...........2

Otras dos importantes propiedades que son descritas para una sección meridiana de un elipsoide son; L a prim era - excentricidad.

*. ----------- 3a*

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Y la segunda excentricidad:

Com o un ejem plo de las magnitudes de éstos parám e­tros para un elipsoide de referencia geodésico, presentam os - - aqui lo s va lores del E lipsoide de Clarke de 1866 que es usado en el presente para la m ayoría de lo s cá lcu los de posición geodési­ca en Norte A m érica . (Bom ford 1971, p 450):

a = 6378206 4m b = 6356583 8m

Usando 2f= 0.00339006

E l cual es dado a menudo en la form a de , que en - este caso es l^= 294 97869 ^

Usando 3 y 4 respectivam ente, tenem os:

e2 = 000676865

e'z= 0.00681478------

L os cuatro parám etros a, b , e , ( o e 1 ) y f ; y las r e ­laciones entre e llos son los principales usados en e l desarrollo de más fórm ulas geodésicas.

1 ,2 . - Radio de Curvatura.

Sobre la superficie de un elipsoide un número infinito de planos pueden dibujarse a través de un puntos sobre la superficie - que contiene la norm al en ese punto. E stos planos son conocidos com o "P lanos N orm ales". Las curvas de intersección de los pla­nos norm ales y las superficies del elipsoide son llamadas "Seccio nes N orm ales". En cada punto hay dos seccion es norm ales mutua mente perpendiculares cuyas curvaturas son máximas y mínimas y son llamadas las "secc ion es norm ales principales1.1 Estas secc io nes principales son las "Secciónes Norm ales del M eridiano" y del "p r im er vertica l" y sus radios de curvatura son denotados por (M) y (N) respectivam ente (figuras 2 y 3). En la figura 2 puede verse que e l radío de curvatura del meridiano aumenta del ecuador al po­lo y e l radio de curvatura, del prim er vertica l se com porta sim ilar mente (F ig . 3). La razón de esto será visto pronto, una vez que - hayan sido desarrolladas las fórm ulas para (M) y (N).

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1. 2 .1 . - Radio de Curvatura del Meridiano.

Consideram os una sección meridiana de un elipsoide de revolución (Figura 4) dado porj

x* z»o* 4 b* =1 1

E l radio de curvatura de ésta curva en cualquier punto "P lf está dado por:

PLANO TANGENTE

SECCION NORMAL MERIDIANA MOSTRANDO EL RADIO DE CURVATURA DEL MERIDIANO (M).

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FIGURA 3

SECCION NORMAL DEL PRIMER VERTICAL MOSTRANDO E L RADIO DE CURVATURA DEL PRIMER VERTICAL (N).

(P hilips» 1957, pp. (9 4 - 19 7 )

■5d*z d x2

En e l caso de una elipse m eridiana!

dz _ X b*I T " Z a ' 1 5

2 t d* d z _ b , Z-XJT , ----------------7

_ b* . X* bz ,--------= — —— (2 + — o -------- ) ---------7adxz a* z* I az

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De la figura 4, podemos ver tam bién que la pendiente de la tangente en "P " está, dada por:

tan (90° +<¿}= = -c o t d>-------------------- 8T dx ~

Igualando 6 y 8 tenem os:

- cot <fi - -

tan d> = ——r b2 X

9a

Sustituyendo j

b = a t í — ez) ------------------------9b

en 9a; tenem os:

2 = tan <f>----------------------- 10

Entonces, después de sustituir (b) y (Z ) en 1 con 9b y 10 respectivam ente, y de algunas sim ples m anipulacio­

nes nos resulta que:

RADIO DE CURVATURA DEL MERIDIANO (M)

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x =a eos(l-e*sen*<£ ) l/t

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Sustituyendo la expresión anterior para X en la ecuación — 10 , da la fórm ula:

7 . a ( l - e z) sen<¿>_____________(1 -s 2 sen<£)'/2

Finalmente, sustituyendo (X) y (Z ) en <6) y (7a) y colocan do estos va lores en (5) para y -^-§— la expresión para e l radio de - -curvatura del m eridiano se convierte: dx

o(l~e r )m -

f - e* sen*

En la ecuación (13) el único parám etro variable es la latitud geodésica <£ ; p or lo que en el ecuador ( (fi= 0a )»

M = a ( I - o2} --------------13a

y en el polo (<£ = 90°)

M= (j-‘7 )'/t l3b

El radio de curvatura del m eridiano aumenta en longitud a - medida que el punto sobre e l m eridiano se mueve del ecuador al polo.

1 .2 .2 . - Radio de Curvatura del P rim er V ertica l.

De la figura 5 . -

eos t/> - — — --------------— 14

o;

N =eos

14a

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F IG U R A 5

RADIO DE CURVATURA DEL PRIMER VERTICAL (N)

Sustituyendo la expresión para X (11) en (14a), nos da la ex ­presión para e l radio de curvatura del p rim er vertical:

N-- I-e* sen* 15

Com o solamente el parám etro variable en (15) es <£ , N - - variará entonces con (j> . Cuando <£ =0® (ecuador) , N = a; y cuando ■

=90° (polos)

N=q/ 0-eV/í - M........... 15a

Una cantidad importante que es usada muy a menudo en cal culos de geodesia geom étrica es el "R adio Medio Gaussiano de Curvatura" • que está dado por:

R = / MN ------------16V19

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En muchas instancias el radio m edio es suficientemente pre c is o para cá lcu los de posición .

O tro radio de curvatura que puede ser necesitado de vez en cuando, es e l de un paralelo de latitud. Cualquier paralelo de latitud visto - desde el polo norte del elipsoide (e je Z ) describe un c ircu lo . Este radio, - com o puede verse en la F ig . 5, es igual a la coordenada X (en e l sistem a - del plano m eridiano X - Z ). Entonces, de la ecuación (14a) e l radio de cu r­vatura de un paralelo de latitud está dado por:

R = N eos <f> 17

Se ve fácilm ente que cuando <£=0° (ecuador) ; R<£ = N ; P orlo tanto R<£=a ya que N = a para <£>=0°) y en cualquier polo ( <fi = 90°);eos 4> = 0 , y el radío desaparece

1. 2. 3. - Radio de Curvatura en un Azimut Cualquiera.

Com o se m osiró en las seccion es 1 .2 .1 . y 1. 2. 2. El radio de curvatura máximo y mínimo de un punto cualquiera P , sobre la superficie de un elipsoide de revolución está en lo s planos m eridianos y prim er vertica l respectivam ente.

En algunos ca sos , lo s cá lcu los geodésicos requieren e l radio de curvatura en otro plano que no sea e l principal (fig . 6 ) , . L a sección ñor mal en algún azimut a tiene un radio de curvatura en un punto cualquiera - P, designado por Ro: Este se resuelve usando el T eorem a de E uler ( Lips- chutz, 1969 pag. 196) y es llam ado e l "R adio de Curvatura de E uler".

En la fig . 6, e l punto P en e l cual es requerido e l radio Ra , está m ostrado sobre la sección norm al P P / solamente una parte diferencial de la curva de sección normal (ds) e s m ostrada, de manera que e l azimut a de ésta sección pequeña es equivalente al azimut de una sección norm al de - cualquier longitud.

El teorem a de E uler se resuelve com o sigue. En e l punto - P, dibujamos un plano tangente y paralelo a e l, otro plano (fig . 7) que in ter- secta la superficie del elipsoide. El filtimo plano visto a través de la normal que pasa por P, form a una elipse en el plano BB'donde el plano tangente in - tersecta la superficie del elipsoide. Los elem entos de ésta'\ndicatriz" son - m ostrados en la fig . 7. Sí vem os este plano a través del punto P,' en el a z i­mut a , la sección resultante es la F ig. 8, recordam os que la ecuación de ~ una elipse es:

az t>*

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F I G U R A 6 SECCION NORMAL EN UN AZIMUT CUALQUIERA

F I G U R A 7 INDICATRIZ PARA LA SOLUCION DE Ra

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F I G U R A 8 SECCION A LO LARGO DE P P ' ( a )

PARA LA SOLUCION DE R a .

De la F ig. 7.

X = ds sen aY = ds eos a ------------- I?

Entonces (1) se convierte;

ds* sen2 a . ds? cosz um* n*

Usando la F ig. 9, podem os e scr ib ir .

Sen. 8 = — ----------------19C

yí cSen. 0= —=---------------------------- 20afia

De lo que resulta:

C*Z = — -------------------------- 2.2 Ra

De manera que si P P 'es una distancia diferencial muy pequeña entonces C^í ds y podem os e scr ib ir .

2 = - * ! - _______________222Ra

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n*Cuando a 3 0 o ; (S) es igual a (n) y Z ----------- 232 M

Cuando a - 90° (S) e s igual a (m) y z = ---------------------242N

Combinando (22) y (23); y (22) y (24) tenem os:

n*= —15-----m---------------------- 25Ra

m2 = ------N -------------------26Ra

F I G U R A 9 SOLUCION DE Z PARA LA SOLUCION DE

Ra

2 9Sustituyendo n y m - en (18) da:

Ra sen2a Raeos2a• + ---------------= i

N M27

Finalmente después de arreg lar los térm inos de (27), tenem os la expresión para el radio de curvatura de Euler.

M. N—

M ser\z a -f- Neos2 a28

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1 . 3 . - Curvas sobre la Superficie de un E lipsoide.

Hay dos curvas principales sobre la superficie de un E lip - soide, que son de especial in terés en geodesia geom étrica. E llas son La — "Curva de Sección Normal” y la "Curva G eodésica" descritas abajo.

1 . 3 . 1 , - La Sección Norm al.

En la Sección 1. 2 la sección norm al fue definida com o la — Ifnea de in tersección de un plano norm al (en un punto P) y la superficie del- elipsoi'de. C onsidérese dos puntos sobre la superficie de un elipsoide (P i y P 2 ) que están sobre m eridianos diferentes y sobre diferentes latitudes. La S ección Normal de P i a P 2 (Sección Normal D irecta) no coincide con la — sección norm al de P2 a P j (Sección Normal Inversa). F igura 10.

El plano norm al de la Sección Normal D irecta conteniendo - lo s puntos P p n i y P„» contiene la norm al en P j y e l plano norm al in ver­so , P2 n-2 **1* contiene la norm al en P 2 y e l punto P j . Si la s Secciónes — N orm ales P j P2 y P 2 Pi fueran coincidentes, entonces la s norm ales P| n^ y P 2 n „ , en sus respectivos planos m eridianos podría in tersectar el e je m enor en e lm ism o punto.

F I G U R A 10 SECCIONES DE NORMAL RECIPROCA .

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Puede m ostrarse que e l punto de in tersección Zn de cual - quier sección norm al elipsoidal intersecta al ej e menor en;

{ Zacatov., 1 9 5 3 ; . p 39 - 4 0 ) .

Zn =11 - ez sen2 cpa ) \

--------------------29

Si dos puntos tienen longitudes diferentes y Zn0 y las norm ales P, n

4>p• « i - ^P2(F ig. 10) entonces Zn, < Zn y las norm ales P, n, y p n2 no están en e l mismo plano. E llas se d ice que son "N orm ales Sesgacfas". Sin - em bargo, sic£pj, e s igual a ^ P2 , las seccion es norm ales directas e inversas son coincidentes. Para dos puntos sobre e l m ism o m eridiano, la s norm ales elipsoidales no intersectan en el m ism o punto sobre e l e je m enor. E llos e s ­tán, sin em bargo, en e l m ism o plano (el plano m eridiano común), por lo tan­to, la s secciones norm ales P j ? 2 y ? 2 P i son coincidentes.

El resultado de lo predicho, e s que sobre la superficeie del elipsoide, la sección norm al no da una línea única entre dos puntos. P or lo tanto un triángulo elipsoidal no está definido únicamente por las sección es - norm ales. En la F ig. 11, la sección norm al directa de A hacia B , A a B; no es coincidente con la sección norm al inversa B b A . P or lo tanto, e l - - Azimut geodésico aA no se refiere a la m ism a curva de a B . Un proble­ma sim ilar existe para lo s Azimutes A a C , B a C, etc.

Ahora verem os rápidamente a la magnitud de la separación - entre las seccion es norm ales directa e inversa . En la figura 12 ésta separa­ción es m ostrada com o el ángulo A . La fórm ula para la solución de A está dada por: ( Zakatov, 1953 p5i)

A ,= p " ( e2 cr* eos2 <jb„ sen 2 a Pl, 30

T R I A N G U L OF I G U R A 1 1 .

DE S E C C IO N N O R M A L R E C I P R O C A

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F I G U R A 12

SEPARACION ANGULAR ENTRE SECCIONES DE NORMAL RECIPROCAS.

Donde. ------------------ 31

O— SNm

Nm = ----------------------- s ia .

P or ejem plo, una línea P j P 2 con 200 km. de longitud y — condi ciónes máximas ( <Arf 0 o y aM= 45° ); A = 0"36 . Y a q u e mu­chas poligonales o líneas de triangulación son más cortas que ésta y ~ debido a que la situación máxima no siem pre ocu rre , e l valor de A es ge­neralm ente vina cantidad pequeña y en última instancia, prácticam ente des - preciab le.

I . 3 . 2 . - La G eodésica .

La geodésica o linea geodésica entre dos puntos cualquiera sobre la superficie de un elipsiñde es la curva única sobre la superficie en­tre lo s dos putítos. En un punto cualquiera a lo la rg o de la geodésica , el ra dio principal del vector de curvatura es coincidente con la norm al elipsoidal.

L a geodésica (F ig . 13) entre dos puntos P j , P2 es la distan c ia m enor sobre la superficie entre esos dos puntos.

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L a p o s ic ió n de la geodésica respecto de las secciones norm a - le s d irectas e inversas se m uestra en la F ig. 13.

Para d escrib ir matemáticamente la geodésica , desarrollarem os las ecuaciones diferenciales para líneas geodésicas, sobre una superficie de revolución; la diferencial básica geom étrica requerida para esto puede fundamentarse en Phillips 1957 y Lipschuts 1969 . L a ecuación g e ­neral para una superficie de revolución puede ser expresada com o:

fic ie son:

FIGURA 13 GEODESICA

F(X,Y, Z ) = 0 ----------------L as ecuaciones param étricas para una geodésica sobre esta supe£

X= #, (S)í Y* ^ (S), Z=fj(5)............. 33

C os. =

L os cosen os d irectores de la norm al a la su p erfic ie son; <3f ¿)f dFdxo

A = , W5 a . - á £i eos p » = ——------ , C05 p 3 = —=-“ — --------------34D D

Donde 35dx d'í dz

L os cosenos directores de la norm al principal a la curva (33) son:

eos •- 36dS dS dS

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Donde R es el radio principal de curvatura de la superficie . En la definición de la geodésica se estableció que en cualquier punto sobre la curva, la norm al a la superficie y el radio vector principal (norm al princi pal) están siendo coincidentes. Para satisfacer esto, igualamos ( 3 4 ) y ( 36 ) lo que se reduce a:

ÓF ÓF ÓF

■ i ............................dzx d*y dzds2 dsz ds2

Com o estam os tratando con un elipsoide de revolución, la super­fic ie la podemos representar por la ecuación:

X2 + Y2+f (Z)=0---------------- 3fi

Entonces:

dF = 2 X ;4 ^ -= 2 Y ,4 ^ — =f'(Z>--------- 393x ¡3y dz

Las cuales cuando se sustituyen en (37) tenemos:

^ - T i - - * - í r = ° ------------------- «ds2 ds2

Integrando (40) tenem os:

Ydx - Xdy = Cds------------------41Donde C es la constante de integración.

En la F ig. 14, la linea PP ’ representa una parte diferencial de una geodé­s ica sobre la superficie del elipsoide. Teniendo las coordenadas cartesia ­nas de P f X,Y,Z ) podem os ca lcu lar las coordenadas de P ’; { x+dx¡ Y+dy-,

Z+dz ) ya que ds es una distancia muy pequeña. Las coordenadas de A {P royección de P*) (sobre e l plano del paralelo de latitud de P) son en­tonces X*f"dx‘ Y + dy .Z El radio de éste paralelo es sim bolizado por r . E l area del triángulo CPA es:

Area CPA » j (Ydx-Xdy)----------------- 42

y e l área del sector PP” C es:

Area PP ” C B ■— r.ds. san a -------------43

Cuando ds es muy pequeño:

A rea CPA = A rea PP" C:

Entonces;

— (Ydx-Xdy) = -^-r.ds. sen a ------------ 44

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y sustituyendo (41) en (44) tenem os:

z

F I G U R A 14

ECUACION DIFERENCIAL DE UNA GEODESICA SOBRE LA SUPERFICIE DE UN ELIPSOIDE DE REVOLUCION.

Cds = r. sen O ds-------------- 45r sen a = C---------------------- 46

Finalmente, sustituyendo (17) en (46) encontramcB que:-------------------4 7N cosí£ send =C

Para cualquier punto a lo largo de una geodésica sobre la super­fic ie de un elipsoide de revolución . En cálcu los de geodesia geom étrica , es n ecesario definir nuestros azimuts d irecto e inverso respecto a la m is­ma curva sobre la superficie y no respecto a las dos seccion es norm ales- - P or lo tanto necesitam os la separación entre la sección norm al y la s cur - vas geodésicas. La separación, definida aqui sin com probación, está dada por (Z acatov 1953 p .p . 4 1 -5 1 ) .

g . A ------------------------ 4e

Donde 8 es e l ángulo entre la sección de norm al directa y la geo­désica en cualquier punto, y A es el ángulo entre las secciones norm ales recip rocas entre dos puntos. D esarrollos posteriores de esto y la aplica - ción de co rrecc ion es apropiadas son dadas en 2 .1 ,1 .

Luego, la distancia S entre dos puntos sobre la superficie de un elipsoide es diferente si uno usa sección norm al m ayor que la geodésica . La d iferencia está dada por ( Zacatov 1953, p. 51).

A s = a sen* 2 a ,ir^ * 0-9360

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L a qi^e para una línea de 600 km s. en longitud es aproximadamen­te de 9 X 10 m . lo que e s obviamente despreciable para todos los propó

SEPARACION ENTRE LA SECCION NORMAL Y LAGEODESICA.

SECCION II : REDUCCION DE OBSERVACIONES GEODE­SICAS TERRESTRES.

2 . - Reducción a la Superficie del E lipsoide de R eferencia.

M ediciones geodésicas {d irecciones te rrestres , distancias, d is­tancias zenitales) son hechas sobre la superficie de la tierra . L os cálcu ­los de la s posiciones geodésicas son hechas sobre el elipsoide de referen - c ia . P or lo tanto la s m ediciones deben s e r reducidas de la superficie de la t ie rra al elipsoide de referen cia . Cuando se reducen cantidades medidas, hay dos conjuntos de efectos que deben considerarse - e fectos geom étricos y los efectos de la s variaciones en el cam po de gravedad de la tierra .

Debe notarse que la s reducciones desarrolladas aqui pueden apli­ca rse de una menera inversa . E sto e s , calculadas las cantidades geodésicas elipsoidales (distancias, por ejem plo), pueden ser "Reducida" a l a superficie de la tierra ( 2 . 4 . ) .

sitos prácticos.

F I G U R A 15

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2 . 1 . - Reducción de D irecciones Horizontales (o ángulos).

Cuando m edim os d irecciones sobre la superficie de la tierra , ni­velam os e l instrumento hasta asegurar que el eje vertica l sea coincidente - con e l vector de gravedad lo ca l. Sabemos que el v ector de gravedad loca l y la norm al al elipsoide, generalmente no coinciden. Para re fer ir la s d irec­ciones a la norm al elipsoidal, e s necesaria una co rre cc ió n por desviación - de la vertica l.

Otras dos consideraciones son aquellas de la geom etría elipsoidal. P rim ero , la s norm ales en dos puntos sobre un elipsoide son "desviadas" una con respecto a la otra , asi cuando un punto está sobre el elipsoide, este pun to no está en el m ism o plano de la proyección norm al del punto sobre el eli£ soide.

La co rre cc ió n asociada con este fenómeno se llam a corrección de la norm al desviada. Seguidamente deseam os tener las d irecciones geodési - cas y no la s d ireccion es de la s seccion es, norm ales, por lo que se necesita una co rrecc ión geodésica - sección norm al.

2 .1 .1 . - E fectos G eom étricos

La F ig. 16 muestra la situación sobre la superficie de la tierra - de m ediciones de d irecciones, después de que han sido quitados los efectos de gravedad (2 .1 ,2 . ) En ésta figura, P i ' , es la estación de medida, que es ­tá sobre la norm al P- n^. P f 2 e s visado a la altura h sobre el punto elipsoi dal P 2 . Si h.2 - 0, la dirección medida (m ostrada aquí com o un azimut, - -i.e aa = d,2+ Za , donde Z \2 se asume aue es un parám etro de orientación co ­nocida). Será entre lo s planos P, Z n, y P, n, f esto es'fl.\2 » azimut de la sección norm al directa . En la práctica h ¿ 0 , por lo que la d irección medida a j2 debe ser correg ida . L a reducción por éste efecto , llam ada la reducción por'horm al derivada" ó por "altura del punto v isado", debe ser aplicada.

De (29)

n, n2 = o e ( eos <f>m----------------- 50

( ) s _S_cos_giS-------------------------5(z 1 Mm

Donde

M m = -M -L M z2

Tenem os:.e Sn, = a e ---- eos 3 eos cfam -------------- 52Mm

Donde S es e l arco de longitud Pj_ P 2 .

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Ahora para encontrar la reducción Sh procedem os com o sigue: P rim ero calculam os:

CORRECCION POR NORMAL SESGADARn,= n,nz eos <fcz= 0 eos a,-cosz ------ — 53Mm

Donde <£m ha sido sustituida por 4>z . Ya que la diferen­c ia nos da un e fecto despreciab le. Entonces, el ángulo en está dado por:

S eos a |2 cosz d>z----------- --------— L ------------------------------------ 54

la longitud P R con el sem ieje mayor a, (54)

da =Mm • P2 R

Ahora si aproximamos se convierte:

da - e2 r~~ eos a,z eos1 <bg-Mm 55

Ahora, usando (55) calculam os P2 fjj com o:

p p ’ sh2 2 2 Mm

eos a l2 eos2 $ 2- 55a

Entonces para el triángulo P, P2 Pa podemos escrib ir (consideran - do un triángulo p lano).

sen Sh _ F| ? sen(az|-t80 ) S

— 56

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La cual finalmente nos da, después de algunos arreg los , la fórm u­la final para la corrección de la norm al sesgada.

^ , = ^ " í ' i v ¿ r e Z s e n a , z c o s a G 0 0 5 2 & 357

Cuando ^ = 4 5o y h*. = 200m y lOOOm 8h, es igual a o. 00 B" y 0 05 , respectivam ente. Obviamente habrá casos donde e l efecto sea significati­vo y deba ser tomado en cuenta. E sto es particularmente c ierto en traba­jo s de cá lcu lo de posiciones geodésicas de orden superior»».

E l segundo efecto geom étrico a considerar en la reducción de me diciones de d irección es aquel de la diferencia entre la sección norm al, zrC la cual tenem os ahora reducidas nuestras m ediciones, y la geodésica . E s ­ta co rrecc ión , la cual se deriva simplemente por la com binación de las e - cuaciónes (30) y (48), se expresa com o:

g " . " , ez s2 eos2 e¿>m sen 2ag 9 ‘ P 12 NZm

58

Cuando <pm = 0"5 a l2 = 45° y S = 200 Km, 100 Km, 50 KmSg es 0.12"j 0.02" y 0006" » Este efecto podría se r signi­

ficativo y debería tom arse en cuenta para trabajos geodésicos.

Algunos puntos finales de acuerdo a estos efectos geom étricos son d escritos inmediatamente abajo.

1 . - En la ecuación (57) la altura elipsoidal h puede ser sustitui­da por la altura O rtom étrica H sin un efecto significativo sobre Sh.

2 . - En casos extrem os Sh y Sg serán de aproximadamente - - igual magnitud y de signo contrario. E llas deberán calcu larse, sin em bargo, particularmente para cá lcu los de posición geodésica p re ­c isa .

3 . - Las ecuaciones (57) y (58) a menudo son expresadas en otra form a? dando resultados Equivalentes, per o en la s cuales pueden in clu irse aproxim aciones posteriores . C om o un ejem plo, la (57) puede expresarse com o (Bom ford, 1971, No. 122 ) .

hz e' sen 2a,2cos* <pm 2R

■- 59

y la (58) com o (B om ford , 1971, p 1 2 4 ) .

Sg =+0.026 ( S Km100

sen 2 a cosz<£m 60

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CORRECCION POR DESVIACION DE LA VERTICAL.

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2 .1 .2 . - '‘E fectos G rav im étricos".

Un teodolito se nivela respecto al vector de gravedad lo ca l y no a la norm al elipsoidal. Una co rre cc ió n para el ángulo (desviación de la - vertica l) entre el vector de gravedad y la norm al elipsoidal, e s necesaria . L a F ig . 17 describe la co rre cc ió n que debe ser aplicada. Este punto e s - tratado con profundidad en Vanicek, 1972, p .p . 164 - 166 . N osotros solam ente establecem os aqiñ la fórm ula reducida com o:

8^ - - 8 cot 2 = - {£, sen a - 77, eos a iz) eof Z ----------- 61

Donde £ es la componente meridiana de la desviación de la ver tica l Y 7], es la componente del prim er vertica l de la desviación de la ver tica l,- Z es la distancia cenital. E l e fecto de ésta reducción puede va - riar desde una cantidad insignificante (s i 9 = o o ai z s 0 ) a v a l o ­res de magnitud 2" - 3” cuando por ejem plo 9 = 20" y z = 80?

Para aplicar ésta co rrecc ión y la requerida en 2 .2 , son reque­ridas la s desviaciones de la vertica l en cada punto. Estas pueden obtener­se de varias form as (Vanicek 1971,-VaniOek 1972), pero dos métodos • son usados comunmente llam ados:

1. - Teniendo la s coordenadas astronóm icas ( <t>, A ) en cada es_tación, lo cual puede s e r una taréa d ifíc il.

2 . - Usando una contem poránea técn ica de caLculo del geoide - -(Vanicek y M erry 1973) y calculando £ y r¡ en cada punto.

2 .2 . - Distancias Cenitales. -

E l único e fecto sobre una m edición de distancia cenital está so ­b re la s variaciones en e l cam po de gravedad. E sto e s , las desviaciones de la v ertica l. Com o en 2 . 1 . 3 . , establecerem os solam ente aqui la fórm ula - reducida com o:

ZR= Zm +• (£ , eos a |g+ sen a |Z) -------------62

Donde Zm es el va lor medido de la distancia cenital.

Este tema es discutido en (Vanicek 1972, p . 170 y Heiskanen - and M oritz, 1967 p. 173 - 175) y no será discutido aquí posteriorm ente.

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2 .3 . - Distancias E spacia les.

En ésta secc ión tratarem os la reducción de una distancia espacial medida sobre la superficie de la t ie rra a la superficie del e lipsoide. Des - pues de tener hechas varias correccion es instrum entales y atm osféricas a - la distancia medida electrónicam ente nos quedamos con una distancia espa - cial en línea recta " l " (F ig . 18). E sta distancia espacial es entonces redu­cida al elipsoide . La reducción es lograda com o sigue :

P rim ero se calcula:R= J < L ± ^ ------------ G3

Donde R j y Rp son los radios de curvatura de E uler ( e c . 28 )4 Luego, del triángulo P11, P ’2 , 0 y p or la le y de los cosen os tenem os:

j ?* = (R + h,)* + (R + h j)* - 2(R +h2) eos \f/---------------64

h, = H, +N, •, h2== H2 +Nz-------------------65

Donde

Las cuales son las alturas elipsoidales y son iguales a la suma de sus respectivas alturas ortogm étricas ( H, y H* ) y sus alturas geoida- le s ( N, y Nz ).

en (64)

Sustituyendo.*t'eos i|/ = I- sen2 -----2

y reordenando los térm inos tenem os:

TERRENO

F I G U R A 18 REDUCCION DE LA DISTANCIA ESPACIAL.

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f = (ha - h, )2 + 4R2( I+-ÍÜ- ) (1 +R

------6?

Del triángulo P -^P ^O , la ley de los cosenos y la fórm ula de un sim i-ángulo tenem os:

Entonces usando (71) y (72) podemos reducir una distancia es - pacíal a la superficie del elipsoide. Estas fórm ulas son suficientemente rigurosas para trabajos norm ales de geodesia (Thom son and Vanicek 1973).

Note qie para una reducción rigurosa de distancia la altura geoi- dal N. es necesaria . Hay varios métodos de ca lcu lar N, uno de los cuales está desarrolartdo por U .N .B . (Vanicek and M erry 1973).

No se ha hecho mención aqui de las consideraciones de las lineas base precisas . La razón de esta om isión es que las líneas base precisas no están siendo medidas por nadie más excepto para instrumentos de calibra - ción , EDM, para los cuales no es necesario la reducción al elipsoide.

Finalmente, puede notarse que hay muchas fórm ulas de reducción de distancias en uso, algunas de la s cuales han sido desarrolladas para elip ­soides de referencia esp ecíficos o regiones de paises.

2 .4 . - Reducción al T erren o de Cantidades G eodésicas Calculadas.

La situación ocurre frecuentem ente en la práctica donde la s can­tidades geodésicas calculadas, llam adas distancias y ángulos, pueden ser - - medidas sobre el terreno. Estas no pueden s e r com paradas generalmente - directam ente con lo s valores calculados, ya que estos usualmente son dados sobre la superficie del elipsoide de referencia , entonces e llos pueden s e r "reducidos" al terreno.

í o = 2R ser - y 68

o 68o

poniendohg - h ( - A h 69

(67) se convierte:

f = A ^ ( í + ^ - ) ( , +R Ry rearreglando:

Ahora:

71

72

Para reducir lo s ángulos requeridos uno procede com o sigue:

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P rim ero, calcu le las d irecciones (azimutes) entre los puntos involucrados Luego usando las ecuaciones (57) (58) y (61) calcu lar las cantidades oh ; So y Sg respectivam ente.

Estas co rrecc ion es son entonces aplicadas a la dirección calcula­da a,j 5 con "signos opuestos” a los que fueran usados para la^rpduc - ción al elipsoide para obtener la dirección que deberá s e r medida di; Obviamente uno no seria capaz de m edir esta dirección (ó ángulo) exacta - mente y la medida tomada tendrá algunas desviaciones norm ales. Un p roce ­dimiento sim ila r es usado para reducción de distancia. Un sim ple reorde - namiento de térm inos en la ecuación (72) nos dá.

9 SoKo - 2R sen ------------------------- 72at- R

y sim ilarm ente (71) nos da;

« r f o M - f t - ■ A _________7i o* L Ah2 J

Entonces podem os ca lcu lar la distancia espacial sobre el terreno ( \ ) dando la distancia elipsoidal SQ Rápidamente otra vez, com o con la

d irección , podría se r .

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SECCION III . - CALCU Lo DE POSICIONES GEODESICAS SOBRE EL ELIPSOIDE DE REFERENCIA.

3 . - Fórm ula de Puissant - Lineas C ortas . -

3 .1 . - Introducción.

Estas fórm ulas son llamadas así en honor del m atemático. Fran­cés a quien se acreditó su desarrollo . Su derivación está basada sobre una aproximación es fér ica . Estas fórm ulas generalmente están consideradas con precisión de 1 ppm. en 100 km. más alia de lo cual ellas quiebran hacia abajo rápidamente (40 p .p . m. en 250 kms. cuando = 60° ) (Bom - ford , 1971, p. 134) . P or lo tanto, decim os que la fórm ula de Puissant es una fórm ula de linea "co r ta " .

3 .2 . - Problem a D irecto.

Dadas las cantidades geodésicas s iz y aie (F ig. 19), querem os ca lcu la r la s cantidades <£z X2 y a 2I . En la derivación, ca l­culam os prim ero . Obtenemos, por la aproximación esférica , de la - - trigonom etría e s fé r ica (ley de los cosenos)»

sen d> = sen cb eos ( P P ) + eos ó sen (P P ) eos a --------------- 73' Z 'I 12 ' I 12 ----- 2

Pero F> Pt = <£*=<£,+ dc¿ iV a = ai2 dado que seestipuló que los meridianos están en el m ism o plano.

Entonces:

FORMULA DE PUISSANT PARA PROBLEMA DIRECTO.

sen t <jb, + dc¿ ) = sen <jb, eos +cos sen — • eos a l2 ------

Se requiere ahora conseguir una expresión para d<¿> . ción (74) podem os expresar la parte del lado izquierdo por :sen(c/b, + dcf>) - sen^», eos + ' ..--«ESFERA

- 74

De la ecua

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La fórm ula anterior obviamente no nos dará la solución requerida puesto que ú<p aparece en e l lado derecho de la ecuación. Para com enzar a solucionar este problem a, usam os otra vez la aproxim ación es fér ica y ob tendrem os:

2------- eos o IZ------------------- 8i

Ni

Sustituyendo (82) en (81) nos das

dé> = — eos a l t - | t p - tan eos a l2-f- Sl* . cos'cijjton á , + + ------- 82r Ni 1 2Nr ^ 6N? 2 2N| 18 6

Del (82 ) anterior podem os obtener ahora una aproxim ación más - p recisa para d<¡b (despreciando lo s térm inos m ayores que la segunda poten­c ia nombrada).

Sudtp = ----- eos d,E— ——; tan cp, ( i-cosr a,t ) + ----------------- 83

N( 2N|

La cual puede s im plificarse com o:S S*dtA= — eos a - tan c¿. sen* a ------------------84

r N, 2N f r i 11

Elevando al cuadrado (84) y despreeiaido lo s térm inos m ayores que la te r ­cera potencia nos da:

*• s* sid<£ = —f - eos* a f - —*— eos a^sen* Qi* tan +■------------- 85N, N,

y posteriorm ente.c*d(¿s = cos» a + ----------------os

r N® 11

Finalmente sustituyendo (85) y (86) en (80) y reordenando lo s térm i - nos nos da:

c e* e * c*d<¿ = ------cos a,i - --1* -■ tan ------**t eos a,2+ ■ — ■■ eos2a,,tan -

Ni 2N? 6 N? 2Nf T '

— ——■ eos a.-sen2 aie tan2 <¿ 0 0 5*0 ., + - - - - — 872N f '* Tl N* '*

Resumiendo térm inos nos da:

cEeos alz- —~ tan4>t sen2 a „ - - ¡ ¡ j - eos a „ sen* a,t tan2 <£,

?N 2N?

S12- cos a12 sen2 a „ B8

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Sim plificaciones m ayores son realizadas para obtener:

eos Cti2 sen2 =

89

La cual cuando es colocada en (8 8 ) finalmente nos da:

La ecuación ( 90 ) no es una solución rigurosa puesto, que el - radio de curvatura a través de la sección norm al de Ff a B, se esta tomando com o un valor constante Ni , cuando de hecho, cam bia cari la latitud y M= fe (<£)). (ecuaciones ( 15 ) y ( 13 ) res^pectivam ente).para tom ar en cuentaeste cam bio en curvatura podemos escr ib ir .

rderecho de 90 91

Donde:

92

En tanto no conozcam os debemos usar la aproxim ación.

M2 = M| + dM -9 3

En orden de cálcular Mt . De ( 13 ) calculam os:.

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dX* Siz S¡2 V, id X - — + " - ' l g g --------- — - ) ( » n l t ¡ «K f c - 103

C , \3ó dX = g- - sen a,v sec<pz- '* 3- sen a|zsec <jb2+ — ----------103a2 OIN D

Ahora, de lo s dos prim eros térm inos de (103 a) (despreciando ios tér­minos m ayores a la tercera potencia).

5 CdX = s' sen5 a )Z sec3 + ----------------------104

L o que nos da:

dXV Nz 560 S6C t '" 6 N| U" **'’* “ * S6C* ^ ’J\ ]---------------(05

La cual cuando es colocada en ( i0i ) da la solución para Xz .

Aunque a z| es tam bién una parte del problem a directo, la deri - vación para su solución se da en la sección siguiente.

3 .3 . - Problem a Inverso.

Aquí estam os dando las cantidades X, de I?, y <j>z , Xz de P2 (F ig . 20). Las cantidades requeridas son Sl2 ,a I2 y a2I com enzam os -por determinar q2i . Usando una aproximación esférica .

P‘ P2 ? = 360° a2|----------------106y

JL ( p 'p p 2 + i p ' p p ) : i - (a^-f 360 - a2(} ------------------ 107

a;2- a .2= d o ............. ...........108*o

a '2= da + a lz--------------------- i08a

Donde da es e l térm ino que expresa la convergencia de los m eridia­nos entre los puntos Pj, y P 2 . Usando la figura 20, podem os e scr ib ir :

a2l= o'j + 180°--------------- 109

y sustituyendo aíz por (108 a) nos da:

azl = alz4- da + 180°-----------------(09a

Luego sustituyendo a2l en (107) por (109 a):

y ( * P' P + * P' Pz P) = - j - (a 2+ 360 a f -da - i80°)------------- HO

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La cual se reduce a:dMi _ M 3e? sen <jb, eos _____________defi 1 ( ¡-ezsenz <¡j>( !

La cual ai sustituirla en (92) nos da:

j a +IM.+dMj , ^ -----------------------------2 ' 2

Mm = M, + — -7 — ) -------------------- 96o2 p "

Mm = M, + -j-M , ( _ # 1 , -------- 972 (l-e ?sen cpi } p "

_3 e* sen <¿, eos <¿>, d4>" ,1 _ aa2 (,-e ‘ sen^,) l“ 7 ; J

De(97) — !— = — LMm Mi

La cual cuando la colocam os en (91) nos da. el resultado fínali

i - H,,, Slgcos a „ _ Sit tan <f>, sen2 ag

P ‘ Mi 2 M, N,

_ Sgcos a lgsen; a,jH-3 tan7 <jbi) + j | 3ezsen t&cos 4»,_________ dtft" ___gg6 Mi N? 1‘ 2 {\ -ez sen2cp\) P " -1 ■

Donde d<£ " en el último térm ino de (99) es calculado usando la e - cuación (90) (m ultiplicada por p " ) .

Finalmente, calculam os <£2 por:

(p2 ~ 4>¡ --------------- — — 100L a longitud de P2 puede calcu larse de :

X2= X,+ dX---------------------------- 101De la F ig. 19 usando una aproximación es fér ica , la ley de los senos nos da:

sen d X _ sen otl2 ___________ |Q2S¡2 sen(90“ -c¿2)sen - - — ■ zNz

ossen d X = sen—12- sen atiz sec <¿2------------------- i02aNa

Ahora, aproximando los térm inos senoidales sobre cada lado de -~ (102 a) por una serie de Taytor, podemos e s cr ib ir (despreciando los térm i­nos m ayores a la tercera potencia).

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F O R M U L A DE PUISSANT PA R A P R O B L E M A INVERSO

--------------- llOa1 | á p ' p P + * P 'P P )= 9 0 °- d02 > • i 2 ■ ’z'i ■ 2

Usando trigonom etría e s fér ica , la ley de las tangentes nos da: „ eos— (90- c¿2}-(90O-<¿,)tan(90o- ^ _ ) = C0}^ _ cos .« r r --------- --------------------------- JM

2 2 cos_ (90-^>2) + (90-<£,)]La cual se reduce a fInvirtiendo arabos lados (III )1

4>¿4z ,dXtan

tan

da _ cos(90° - ^ l

cos y (<£,- 4>z)

da _ Sen T (¿>i +

tan

Enseguida desarrollam os los térm inos tangentes sobre ambos la ­dos de ( 1 1 2 a) que pueden s e r expresados por (despreciando los téráninos m ayores a la tercera potencia).

d (p tan d X

112

112 a

da ltan —— = sen <bm sec2 2

dX

tan da _ da da!2 2 24

La cual nos da la ecuación final.

24

114

■) 113

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da" = p dXsen<¡fc>m sec ^ lsenc >m sec -----senJc£m sec31 2 n5

Donde<£mes la latitud media.

Sustituyendo da en (109 a) por (115) nos da la requerida a2, una vez que tenem os una expresión para . La solución para ctia e s com o s i- -gue. Tomando la ecuación (99) y reordenando térm inos, obtenemos:

S|ZcosSigton sen* a 12 — + ^ ^ sep! j ^

P" 2 M, N,116

y usando (105), un rearreglo de térm inos da:

S1? senal2=dX* Nz sec 4>2p'

+ —— sena 12 sec <p2~6N* 6N| sen a l? sec- 117

Ahora, dividiendo (117) entre (116) da, después de algunas manipulaciones - de térm inos.

117ton ciig— 116

Puesto que a l2 aparece sobre el lado derecho de (118) es necesa - ria la iteración. P rim ero comenzando por obtener valores aproximados pa­ra a,z de (118) usando solamente el prim er térm ino en el numerador y de - nominador y para Sl2 de (116) o (117) usando nuevamente so lo el prim er térm ino del lado derecho de las ecuaciones. Valores mas p recisos de a iz y S|Z son obtenidos usando todos los térm inos en (118) y (116) o (117) re s ­

pectivam ente. Se itera hasta que la s variaciones en a (Z y S,z sean des - preciab les.

3 .4 . - Resumen de Ecuaciones para lo solucion de los problem as D irectos e Inversos usando la fórm ula de Puissant.

El siguiente, es un bosquejo de las etapas requeridas para la solu - ción del problem a directo usando la fórm ula de Puissant.

1 . - Calcule Mi y Nj usando (13) y (15) respectivam ente.2. - Calcule una aproximada usando (90).3 . - Resuelva para d<£" usando (99) y ep? usando (100).4. - Calcular Ng con (15).5 . - R esolver para d\'‘ con (105) y Xz usando (101).6 . - Usando (115), calcu lar da" y finalmente a 2, con (109 a).

Similarmente podernos delinear las etapas requeridas para la solu - ción del problem a inverso com o sigue:

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1 . - Calcule coo (13) y y N2 usaido ( 1 5 ) ;

2 . - Calcule a¡z coa (118).3 . - Calcule da" co i (115), luego a*, usa ido ( 1 0 9 a).4 , - Usando cualquiera (116) o (117) calcu lar SiZ .

3 .5 . - La Fórm ula de la Latitud Media de Gauss.

Estas form ulas se publicaron prim ero en Inglés en 1 8 6 1 . Están ba­sadas sobre una aproxim ación es fér ica de la tierra y solam ente podrá usarse para puntos separados p or me ios de 4 0 km s. y c o i latitudes m enores de 8 0 °

(Alian et al, 1 9 6 8 ) . Las fórm ulas son (A lian et al. 1 9 6 8 )

da" = dX sen <£m -------------- 119

d é " - ( s « cos ( V ) , p* ------------ 120x Mm

dX" = p" ( — — ) ---------------- (2 !Nm eos <pm

Las sim ilitudes de las fórm ulas anteriores con la s fórm ulas de Pui- ssant s o n fácilm ente vistas comparando ( 1 1 9 ) , ( 1 2 0 ) y ( 1 2 1 ) con I o b prim e ros térm inos de ( 1 1 5 ) , ( 9 9 ) y ( 1 0 5 ) respectivam ente.

Para reso lv er el problem a directo con la fórm ula de la latitud me - dia puede ser usado un procedim iento iterativo. P rim ero , d<¿>" puede s e r - aproxim ado usando el azimut medido en lugar de y M j puede se r usado en lugar de Mm .

Luego una prim era aproxim ación de se obtiene usando (100), en tonces da se calcula vía (119). E l p roceso iterativo puede s e r continuado ahora usando valores aproxim ados sucesivos para , da (entonces y cf>m ) hasta que lo s lím ites deseados hayan sido alcanzados. Finalmente -

dX" es calculada para obtener X¡>

El problem a inverso es calcu lar sin iteración ya que <£m es inmedia­tamente aprovechable. Usando (119) da es calculado, luego de (121) divi­dido por (120) uno obtiene. Tan a m , entonces a,z y a z, finalmente la dis - tancia s (2 puede ca lcu larse con cualquiera de ( 1 2 0 ) 0 (1 2 1 ).

3 .6 . - Otras Fórm ulas De Lín eas C ortas.

Hay muchas fórm ulas de líneas cortas en uso. Algunas de ellas son incluidas en (B om ford 1 9 7 1 pp. 1 3 3 , 1 3 9 ) y son llam adas por nom bres ta - le s com o "F órm ula anroximáda de C larke" ( lp p .m en < 1 5 0 km) y - - "F órm ula aproximada de L illy" ( 1 5 m . en 1000 km). Todos estos tipos de fórm ulas directas o inversas (líneas cortas) están basadas sobre aproxima ciones es fé r ica s y no son tan rigurosas com o otras tales com o la fórm ula de B essel para linea larga , desarrollada en 4.

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4 . - Fórm ulas de B essel - Líneas Largas.

4 .1 . - Introducción.

Las fórm ulas para lo s problem as geodésicos d irectos e inversos

desarrollados abajo han sido acreditados a B essel pordon 1962). La deri -

vación está basada en la G eodésica sobre el elipsoide. Este hecho distin -

gue las fórm ulas de B essel de las fórm ulas que están basadas sobre una - -

aproxim ación es fér ica (e j. la de Puissant) o también de las fórm ulas basa­

das elipsoidal mente, pero que usan la curva de sección norm al com o funda­

mento para la derivación (e j. Robbins 1962). La exáctitud de las fórmulas

de B essel no está limitada por la separación entre los dos puntos en cues -

tión ó por la localización de los puntos sobre la tierra . La exáctitud está l i ­

mitada simplemente por e l número de térm inos que uno desee retener en las

ser ies desarrolladas de las diversas expresiones.

Las siguientes derivaciones comienzan por desarrollar la s reía -

ciones entre lo s elem entos correspondientes sobre la esfera y el elipsoide -

(no una aproximación es fér ica , sino un tratamiento riguroso). La solución de

una integral elíptica es entonces realizada. Finalmente son enunciados lo s - -

problem as d irectos e inversos.

4 .2 . - Relación Fundamental.

Com enzam os estableciendo algunas relaciones rigurosas entre los

parám etros sobre la esfera y los parám etros sobre el elipsoide. En la s e c ­

ción ( 1 ,3 .2 . ) desarrollam os la propiedad básica de una geodésica (47) la que

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sobre una esfera puede s e r expresada com o.

cos (3 sen a = eos /So--------------- i22

Donde es la latitud reducida (K rakiw sky and W ells, 1971,

p. 23) y f ío es llam ada la latitud reducida del "Punto de G iro" ( a - 90°).

De la figura 21 a a sobre la es fera reducida es igual a a sobre e l elip -

soide, com o están 0 en la es fera reducida y /3 en el elipsoide entonces

podem os e s cr ib ir para ambas:

cos $ sena = cos {3 o ------------ - 122a

D esarrollam os ahora alguna relación d ifereicia l con la ayuda de -

la F ig. 21b. De lo s triángulos en las figuras es fér ica s podem os e scr ib ir :

a dcr eos a* = a d------------------ 123

y ad<r sen a,2 = a co s fi ' d X

Donde (a) e s e l radio de la esfera reducida (F ig . 22) y (der ) es -

el ángulo subtendido (en e l origen de la esfera ) p or la s norm ales en P y P ',

Similarm ente de los triángulos de la figura elipsoidal podem os e scr ib ir ;

ds cos a l¡? = Mdc£

Y ds sen aiz = N e o s ---------------(24

D ividiendo-(124) entre (123) tenem os;

dS - . : ___ - ... COS (fa’dt __djS COs/3'dX

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De la figura 22 y de la ecuación (17)

N'cos<£'= o eos f3'-

La cual al se r sustituida en (125) da:ds di-------= a —--der d\

POLO

ELIPSOIDE

126

127

F IG U R A 2 1 a

RELACIONES FUNDAMENTALES PARA EL DESARROLLO DE LAS FORMULAS DE BESSEL.

F IG U R A 22

ESFERA REDUCIDA Y ELIPSOIDE

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F I G U R A 2 1 b .

RELACIONES FUNDAMENTALES PARA EL DESARROLLO DE LAS FORMULAS DE BESSEL.

d t I dso ——---- = ----------------------------------i27 ad\ a do-

En la cual, de {125) tenem os:

djt M d <f>d \ ~ a d/Q '27b

Recordando que ( Krakiwsky and W ells 1971, p . 28) .tan ¡H- [\ -é)/z tancp---------------- --- 128

Podem os d iferenciar y obtener:

= --------------------- l29eos* 0 eos z(p

o

<i4> _ I eos2 <¿>d/3 “ (i-e2)'* cos’ jS ' 90

L a cual nos da, cuando la sustituim os en (127b)s

= ------- M.-------- _cosÜ_ __ _ |3QdX a fi-e2)^ cos*/3

Para cualquier punto sobre e l elipsoide.Ahora querem os obtener;

- ^ - = f i/3) dX

Com enzam os por expresar o ex» /3 = — eos <f>-------131

donde v = ( i-ezcos2 (3 1 ------------- 132

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C= — -------------------- 133DElevando al cuadrado {123) y rearreglando los térm inos nos da:

d£ a I

y {la curvatura en el polo - ecuación {5 a ) ).

donde

— ---- = ---------- ----------- 1------------------------ 134dX Ve ( I - ez ) x2

M = — --------------------- 135V3

Una reducción m ayor de (134) usando (133), (3) y 131, finalmente da:J £ -------------------136

d X V a derAntes de p rocesos posteriores, derivarem os (132) de (131).

eos - ( - y - ) V eos /3 --------------13?

La que cuando la elevam os al cuadrado da: cosz<£ = -^-Vzcosz /3 ------- !37a.ZJ, - J?I w2__za

cosztf> = ( l- e 2) V2cos2 , 8 -----------137 b

Sustituyendo (137b) en (137)

V* = [l + e ^ O -e 2 ) V2cos2 jGt]------------138

L o que se reduce a;V* [ j - e '2( l- e 2 } cosz /? j = 1 ----------------138 a

Ahora de la s ecuaciones (3) y (4)

( t-e '2} (! + e2 ) = i -------------------139

y ez= e'2( l-e 2) --------------139a

L a que al s e r sustituida en (138a) da:

Vz(l-e 2 eos2 j3 ) = 1 ----------------- 140

° - '/V= ( l - e 2cosz/3 )2 ------------------- I40o

Retornando a nuestro problem a entre manos. Sustituyendo (140 a) en (136) obtenemos:

y-^4— =(l-e2cos2 ¡B )- ------------141d \

= o ( l-e2 eos2 /3 )/ z -----------142der ^respectivam ente. -

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4. 3. - Solución de la Integral Elíptica.

Enseguida resolvem os (141) y (142) y lo hacem os así com o por integración. Com enzam os por resolver (142) para obtener una solución - para d s / d a . De la F íg. 23, usam os la ley de lo s senos de la trigonom e - tría e s fér ica y obtenem os.

sen o!2 _ sen 90° ________ _ __ ^

sen (90°-/3o) sen(9Q°~/3i)o

cos (3o - sen cincos p i ----------------— ------- 143aL a propiedad fundamental de una geodésica y de un c írcu lo prin

cipa l. Posteriorm ente usando la regla de Napíers de partes c ircu la res :

SOLUCION DE dsdT

cos Olz = coten ton / 3 i ----------------- 144

fan a . J a n g i----------------------,44acos a ,E

y otra relación requerida.sen =sen (or+ a^} sen I30 ---------------145

Generalizam os (145) por propósitos de integración (entre lo s puntos P j y P2 Fig. 23) com o:

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De modo que sí a es variable, medida desde P j . Note que c u a ’do cr= o, ; /3=/32 y cuaido cr= o, /3=/3,D escribie ido (142) com o:

ds = a ( I - e8 eos* /3 Z2 der----------------- 146

y reso lv ie id o e itonces para eosz (3 de (145a) por:

eos2/3-l-sen2(o;fcr) sen2/30 -------------- i 4?en la que sustituimos oj - a y X=crt +cr (una nueva variable para integra­ción) e 'ito 'ices dx = d<r y reescrib im os (147) com o:

eos2 /?= I ~ sen2 X sen2 /3o------------------- 147aLa que finalmente da:

ds = a ( l-e2+e* sen2 /3o sen2 X) 2 d x ---- -- 148de (3) y (4)

sen ¡3 = sen (cr, + cr ) sen (3a ----------------------- 145a

e2= * - y l~e* = I 149lfe '‘ !-e'

L os que cuando se sustituyen en (148) da:

ds =aí-e ,z +

i + e'sen2 /3o sen2 X dx

ods =

,\+e'eVvz

Z 2( i + e/2sen2 (3e sen2 X) dx

I48a

149o

Puesto que{J+e- )

y obteniendo; kz = e/Z sen2 /3,

- 150

15!

(149) se convierte finalmente: ds = b (! + k2sen2 XP d x ------------ )S2

Esta expresión es integrada ahora y evaluada para nuestros parámetros particulares, lo s que:

x =cr+qL.í ' xí

S - b j ( f + kz sen2 XI 2 d x -------------- 153x=o¡

En matemáticas ésta es conocida com o una integral elíptica (&bramowitz and ¿egun, 1968, p. 589)

Los lím ites sobre X(o* + ct.) son: 0< <r<oy--------154

Entonces cuando: <r = 0¡ X = a ¡ --------------- 154a

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R esolv ién dola ecuación (153), sabem os que debido a que k es pequeña entonces. (

U+ k2ser>2 x / 2 = 1 + — k2sensX — k4sen4 X + ~~ sen6 X -----------¡552 8 16Usando las identidades trigonom étricas:

senz X = (I - eos 2 X) sen* X =------etc-----------156y sustituyendo en (155) da:

( I + k"sen' X )4 = [ l , - J L k‘ + — - ] 4 [ - - i - „ * + - I - k> + --------- ] eos X -

y cuando cr = o^.; X = cr + cr^------------- 154 b

k4eos 4 X + ----------------i55a

R ecolocando:

A= l+ —---------— k4+------------ (574 64

B= — k* ¡^~ k4 + .570

C= - + --------------------------157b64

0 = --------------------------------------------157c

En (153) da;

s . r * +at r ^ +°v f ^ +crT—— : A J dx - B J eos 2Xdx - C J eos 4 x d x --------------------158o¡ <r, a\

Antes de obtener la integración actual de (157) considerarem os la solución de la integral general.

I +crT | a\ + a yI eos n xdx= —-sen nx 1 ---------159/ —. n «-*•

1 1 = j .n.

sen(of+aT ) -sen n o ¡J----------------159oOtra sustitución da una form a m ejor, nombrada:

sen nx - sen ny = 2 eos -j- IX -t Y ) sen ( X -Y ) -------------160

La que cuando la s asociam os con nuestro problem a tenem os;

X -cr +crT , Y = < t ----------------- 161l T I

entonces

y

Ahora, en (159a) e l lado derecho se convierte:

X + Y = 2at +crT -------------------- I6la

X - Y = oij.

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Esta representa La integración de la distancia sobre el elipsoide respecto a la distancia sobre la esfera.

j CAhora regresam os nuestra atención a la solucion de

(141) . Reescribiendo (141) obtenemos: a^

d i = ( l - e ? eos2 /3 )<2 d X -------------- i4 i□

De la F ig. 24.

d X eos ,8 - der sen a,z --------- -- — 167

dX = Sen _01-2- • d e r ------------------I67aeos p

Aplicando la ley de lo s senos (Trigonom etría E sférica ).

sen ct,z sen 90°---------- ¡68

sen(90«/?o) sen (90o- /3 )o

eos /3qsen a ¿ ------—— ----------------- 168oeos /3

La que cuando es sustituida en (167a) da:

d X = C°S : ° der----------------- 167 beos p

Sustituyendo para dX en (141a) obtenemos:

di =fl-ez cos2 /3 ) z d t r ----------------l69eos' p

Enseguida tom am os dj! menos (167b) lo que nos da:

( i -e Eeos2 Ü I/z ídj¡ - d X = eos (Ba

0 eos2 /3der----------)70

, eos4, p eos*Desarrollando ( l-e 2eos8 ¡3 ) >z en una serie nos da:

i -e 2 eos2 ¡3 )'z = 1 - 4 - eos2 /3 - ~ — eos* (3 -----— eos6 /3 ------------ 171¿ b Ib

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sen n jtr+oy 1 - sen n <r = 2cos ( 2 a + o y ) sen oy- 162

Ahora evaluando (158) obtenemos. -o ¡ +ov/ cfx = cr-------------- 163Jo;

r°^+crTI eos 2 Xdx = eos (2o; +crT> sen o í ------------------ i63a°i

r ° w ,Jg. COS 4XdK = y eos (4cr+2crT) sen 2 ----------163b

Poniendo.

Entonces:

etc.

crT =cr2 -c^ ---------------- 164

2 o i+ c rr = 2o¡ 4 cr2 - o-,------------------f64a

2cr + ctt = cr +a2 --------------------------I64b

ex + a 92crm = ------2------------------------------------- 164 c

o

2om = 2a¡ +°t ------------------------- I64d

Cuando sustituimos en (163 la solución para (158) es :

j C D -----------I = A °t ~ B eos crm sen<rT - — eos 4 ^ sen 2<rr - — eos 60^ sen 3 crT

De (164) obtenemos una solución para cr. com o:S 0 c

^ " Ab + “ a " C0S 2oi¡n 5en + "2A~ C0S 4 S8n ------------------ 166Donde:

A = 1 + —--------- k4 +4 64

B = ~ k? - - ~ - k 4 +4 16

C = —1— k4-*- 64

D =

E = ----------------- k*655361 z , z * o k = e sen fia ,

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F IG U R A 2 4

SOLUCION DE d?dX

L a que cuando la dividim os por eos2 f í da:

I = I ® ® Z/0--------------- cos p -eos2 fí 2 8 16

cos fí - |7| Q

La ecuación (170) es ahora:

d X = d X - cos /So c2

eos3 0 + -~ r eos4 f í + -----------8 16

d<r - ----- 172

0

d i = d X --~ -c o s f í o I + eos2 fí +■ - | - cos4/3 + ------- der-------- - - I72a

P a ra la solución de (172a) sustituimos eos2 f í , eos4 f í , etc,

par eos2 (3 - i - sen2 fío sen2 X --------------- 173

yeos4 (3 - I - 2 sen2fío sen2 X + sen4 fío sen4 X -- I73a

(X está definida en la pag. 43 ), lo s que cuando son sustituidos en (172a) nos da:

z r 2 + d | =dX---- |-cos f í o (l+ -j- (t-sen^sen2 X>+ 1-2 sen2/3C sen2 X + sen4f í o sen4X) + ----- dx-

La expresión anterior e s sim plificada y adecuada para integración en mucho de la m ism a manera com o fué hecho para la solución de ds/der L os resultados son com o sigue. La diferencia de longitud sobre e l elipsoi de , está dada por:

f L*L- J --------------- ,75

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y sobre la es fera por:,X2

Entonces:g

L = X — —- eos

X - / d X ------------------I75a'X.

« r ñ 40V i/So I (A '+a 'cos2X + C 'c o s 4 x + -------- ) dx -------------- 176J

Donde:A = 1 + — +•—-------— sen2/3o-------— sen2/3o + - — e4 sen4 Ba + ---------------177

4 8 8 8 64

8'= — sen2 0o + — sen2 (3o — 8 8 ¡6 sen■4& 17 7a

C'~ &4 sen4 0o + 177 b

D'=E l resultado es dado entonces por:

L = X--|-cos0>[A'cr + B'sencrc(»2cr[T)+ - y sen 2crrcos4crm+ -^-sen 3cr eos 6crm+-

X-L = eos /30[ a'ct. + B'sen C' D’ afas2crm + ~ sen 2cr eos 4crm+ — sen 3o- eos 6 o^-f-----

— 178

--------179

Ahora con todas las relaciones necesarias desarrolladas, retornam os nues_ tra atención a lo s problem as directos e inversos.

4 . 4 . - Problem a D ire c to .-

R ecordam os que para el problem a d irecto debem os con ocer las coordenadas geodésicas <£, , X, del p rim er punto P 1 y la distancia geo­désica S12 y e l azimut a,2 al otro punto 1*2 . entonces resolvem os - para <¡b2 , X2 de P2 y a z¡ . Las etapas en la solución son com o sigue;

1 . - Calcule la latitud reducida ■ usando (128),2. - Calcule el Azimut de la geodésica en e l ecuador que es:

sen a ~ sen a>2 eos --------------- '22a

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3. - Calcule el arco es fé r ico aproxim ado cr0 de (166) usando solamenteel prim er térm ino, (e .g . c = _ ' ) luego calcule cr¡+1 por:

0cr. = Ob + ~-r— eos 2 cr sen o» + ------------

i+ l A m i

Donde la prim era iteración o¡ = oh y recordando que:

2a = 2o¡ +<7--------m I iEn la que a \ es resuelta por (142a) ésta etapa se repite hasta decir

ce - ex I ár 0.00001" i+l 114 . - Calcule /3Z por (145) donde A> es calculado usando (143a).5 . - Caleule<£z usando (128)6. - Calcule la diferencia de longitud es fér ica X usando la ley de los senos

(F ig . 24), la que da:sen cr sen a IZ IBO

eos ¡3Z

Luego usando X de ( i 80), calcu lar a , cos 2 a m t co s 4 °m ; cos 6 a m; Usando(184), (185), (185a) (185b) respectivam ente; Usando (179) reso lver pa ra ( X -L ): esta etapa es entonces repetida, con L=X - ( X -L ) (186) has­ta digamos . I I X — L1 — 1 X-L.) I ¿ 0 .0 0 0 0 1 '; finalmente:

K = x . + L

7. - E l azimut inverso es entonces calculado vía (186á) o (187a)

F I G U R A 2 5 SOLUCION DE LA LONGITUD DE ARCO o .

4 .5 .— Problem a In v erso .-

En éste problem a estam os dando P ( <j>¡ X( ) y Pz ( X2 ) de lo s cuales calculam os S,2 ; a 12 y azl

L a prim era etapa es calcu lar A y A (latitudes reducidas) usando 128. Luego de la esfera reducida (F ig . 25) podem os ca lcu la r la longitud de arco ( cr =crT ) usando la ley de lo s cosenos de la trigonom etría esfé - r ica com o.

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íBl

o

eos cr = sen /3 , sen f3¿ 4 eos /3, eos /32 eos X

i X eos /3Z )?4 ( sen ¡3Z eos /3¡ - sen /3, eos /3Z eos X f]sencr = [sen

Ya que éste es un problem a iterativo, (181) se resuelve prim ero X = L en la prim era aproxim ación calculam os entonces:

sen X eos /3¡>sen cz 12 :

---------181 a

usando

sen cr182

Para ca lcu lar e l azimut de la geodésica en el ecuador a , com binam os (143a) y (182) lo que nos da;

sen a|Ecos /3, = sen a eos 0o --------------- 183o

L o que

tí i Sef1 0sen a = ------ ^--------- ------------i83a'2 eos p t

cuando es sustituida en (182) da:eos/3 , eos & sen X______________)g4

sen a =

Otra vez, sen a es

Luego calcule:

sen cr

solamente tina prim era aproxim ación ya que X=L .

2 sen B , sen &cos2a

eos 2crm = c o s a ­

cos 40^ = 2eos2 2 <%,- i

cos6cr a 4 eos3 2 cr - 3 eos 2 cr - m m m

--------185

l85a

■ 105 b

Usamos entonces (179) para ca lcu lar ( X -L )• Después de com pletar esta etapa, calculam os:

X=l_4 (X-L) 186y regresam os a (181) y recalculam os la s cantidades cr>a , 2 a m ,

4crm , 6crm , usando (181), {184), (185), (185a) y ( 185b) respectiva­mente. Después de reca lcu lar ( X-L) Usando (179) ensayam os |(X-L)<+,- ( < 0 .00001". Cuando esta prueba pasa, ¡ 4 | procedem os a caLcula r a l2»oZ! y S,z * azimut de adelante e s calculado usando -(183a) que es reescr ita aquí com o:

™ n - sen asen a l2 -eos P|

- 186

sen o a = sen aeos A .

Alternativamente lo s azimutes pueden calcu larse por:

fiO

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- 187

187 a

Para com pletar el problem a, la distancia S1 2 es calculada usando (165)

4 . 6 . - "O tras Fórm ulas para Lineas L argas".

Muchos métodos para la solución de los problem as d irectos e in­versos para puntos ampliamente separados sobre un elipsoide de referen c ia , están disponibles en la literatura. Como con la s form ulas de lineas "co r ta s ” y "m ed ia s", ellas generalmente dan lo s nom bres de sus descu b r id ores . Dos de éstas, que han sido usadas por lo s autores, son los - métodos de Rainsford (Rainsford, 1955) y Sodano (Sodano 1963), Las fórm ulas de Rainsford están desarrolladas sobre lo s m ism os principios que la s de B esse l. La diferencia m ayor es que los coeficientes de la di - ferencia de longitud (179) están desarrollados en térm inos de (f) ya que - e llos convergen más rápidamente que cuando son dados en función de - (e " ) . La diferencia principal entre e l Método de Sodano y éstos de Be - ssel y Rainsford es que tanto el problem a d irecto com o el inverso pueden reso lv erse en una manera no iterativa.

SECCION I V .- CALCULO DE POSICIONES GEODESICAS ENTRES DIMENSIONES.

L a posición geodésica de un punto del terreno puede describ irse - matemáticamente en térm inos de una triada de coordenadas cartesianas (X , Y, Z , ) referidas a lo s sistem as de coordenadas terrestre prom edio, geodésico, geodésico loca l, o astronóm ico loca l o por latitud geodésica ( ), longitud ( X ) y altura elipsoidal ( h ) referidas a algún elipsoide de referen cia . En la s secciónes previas en las qre fueron presentados lo s - cá lcu los c lá s icos de posícionam iento bidim ensional, la s posiciones geodé s icas fuéron descritas solamente por dos coordenadas, llam adas la lati - tud y la longitud geodésicas. L a tercera componente- altura elipsoidal, - fue usada solamente para la reducción de m ediciones terrestres al elipso£ de de referencia .

L os cálculos de posiciones geodésicas en tres dim ensiones difiere del c lá s ico p roceso bi dimensional en dos form as significativas: La prime ra es que éste último se basa en la geom etría elipsoidal m ientras que el prim ero se basa sobre los principios Euclidianos Tridim ensionales y em ­plea e l algebra vectorial y m atricial. La segunda es que el método c lá s i­c o requiere e l uso de distancias geodésicas y azimutes para cálcu los rigu

sen X eos /32ton a l2= — ------- -— --------------------------------

sen ¡3 eos & — eos X sen ¡3 eos ¡3

tan a = sen X eos p,21 sen ¡3zcosyS, eos X - sen /3 eos f i2

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rosos m ientras que distancias espacia les en linea recta (cuerdas)y azimuts tridim ensionales de la sección norm al son usados en cálcu los tridim ensio­nales. Considerando el azimut aquí usado, deberá notarse que se re fie re a la sección norm al que pasa a través de los puntos del terreno en cuestión - y no de la sección que pasa a través de los puntos proyectados sobre del e lipsoide. En vista del tratamiento diferente de las observaciones en cálcu lo de posición tridim ensional, no se considera un capítulo especial para pre sentarlas. En su lugar, son dadas explicaciones a fondo, donde se req u ie ­ran, dentro del contexto del d esarrollo de los prcblem as d irecto, inverso, - in tersección azimutal e in tersección en la distancia espacial,

5. - PROBLEMAS DIRECTO E INVERSO EN TRES DIMENSIONES.

5 .1 . - Problem a directo.

E l problem a d irecto puede definirse com o; Dadas la s coordenadas (X i, Y i, Z i) o ( <fi. , X. , h. ) de un punto (i) y la distancia espacial te rre £ tre , azimut y ángulo vertica l (o diferencia de altura) a un segundo punto - (j) ca lcu lar las coordenadas (X j, Y j, Z j , ) o ( (£. , Xj , h- ) . Dos casos - del problem a d irecto pueden surgir, dependiendo de que el azimut y el ángu lo vertica l sean referidos al sistem a de coordenadas geodésico loca l (ñor - mal elipsoidal) al astronóm ico loca l (vertical de la gravedad). Entonces - denotando los azimutes y los ángulos vertica les en e l sistem a geodésico l o ­ca l por ( a ) y (a) y de la m ism a manera en el sistem a astronóm ico local por ( A ) y ( V ) respectivam ente. (F ig . 26).

E l método mas sim ple de solución de problem as tridim ensionales es usar coordenadas cartesianas. Si la s coordenadas que se requieren en los cá lcu los son dadas por ( <fi, X,h ) una sim ple transform ación de coord e ­nadas (krakiwsky and W ells, 1971) da las coordenadas cartesianas. S im i­larm ente si el resultado requerido es e l de latitud, longitud y altura elip - soidal, entonces las coordenadas cartesianas son transform adas a ( después de que lo s cá lcu los de posición son com pletados (Krakiwsky and - W ells, 1971).

E l vector entre dos puntos terrestres en un sistem a de coordena­das geodésicas está dado por la expresión.

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35CO

a).

F I G U R A 2ñ

P R O B L E M A D I R E C T O ( G E O D E S I C O L O C A L ) .

- Sistema G eodésico y Sistema G eodésico L oca l, b ). - Distancia Espacial < d¿j )— - Azimut ( a ¡} ) y Angulo Vertical

(a ¡j) en el Sistema G eodésico Local,

Z ul <N O R M A L E L IP S O ID A L )

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Ahora el vector de posición de un punto (J) en el sistem a geodésico loca l en (i)(F ig . 26) está dada por:

djj C05 0 ¡j COSQ|j

ñj }GL= d'J COSQij sen a¡j 189

sen a y

y (r ij)^ puede escr ib irse

La m atriz de reflexión P2 y dos m atrices rotacionales R2 y R3 transform an el vector topocéntrico del sistem a geodésico lo ca l al s is te ­ma geodésico . El vector de posición del segundo punto (J) es obtenido - por suma vectoria l com o:

Donde (r ij) está dado por (190) y (ri)Q es el vector de posición del punto dado {i) . Com o se m encionó previamente, las coordenadas geodé­s ica s { <£¡ Xj hj ) pueden obtenerse via, una sim ple transform ación de - coordenadas.

E l procedim iento para el cá lcu lo del problem a directo cuando el - azimut y e l ángulo vertica l son dados en el sistem a astronóm ico lo ca l - (F ig , 27) es completamente análogo al descrito con respecto al sistem a geodésico loca l anterior. La única diferencia es en la expresión usada para calcu lar e l vector de posición topocéntrico r ij. En éste caso , está dada por;

< V g = R3U 8 0 - A ¡ ) RzOO - <^¡)P (Fjj )A L -----------------192- 192

dado, y.Donde <£. y A ¡ son la latitud y longitud astronóm icas del punto

193d¡j senVjj

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Zo

a ) . - Sistem as G eodésico y A stronóm ico b ) . - Distancia E spacial (dij) Azimut (Ai])L oca l. y ángulo vertica l (V ij) en el Sistema

A stronóm ico L oca l.

F I G U R A 27

PROBLEMA DIRECTO (ASTRONOMICO LOCAL)

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Note que en éste caso (192) el vector de posición está girado directa­mente del sistem a astronóm ico loca l al sistem a geodésico . Una trans­form ación alternativa es posible vía e l sistem a geodésico loca l usando - la expresión:

5 = RjlBO - ] Rj ( 90 - 1 P R , A¡¡ - C U R J -Í ¡ I R¡[ % I |í¡ I fl j_ --------------- 194

En la expresión anterior (194), Aij y a ij son los azimutes astronó m ico y geodésico respectivam ente y las cantidades í ¡ y r?. son i as doa componentes de la desviación de la vertica l en el punto i .

5 . 2 . - Problem a Inverso. -

En éste caso , la s triadas de coordenadas ( <£, X , h ) ó ( X, Y, Z ) están dadas por dos puntos en el terreno. Son requeridas la distancia - espacial (d ij) lo s azim utes directos (d íj) e inverso ( a¡¡ ) y lo s ángulos - vertica les (a ij) y (a jí).

L os vectores de posición de los dos puntos (i) y (j) en el sistem a - geodésico están dados por:

~X¡ ( N¡ + hj) eos <£¡ COS Xj

= Y¡ - (N¡ +hj) cos<¡£t¡ sen X¡

_2i (N¡( i-e2) +-h¡)sen 4>iG —

y

" x i" (Nj + hj) eos eos

= Y) = (Nj + hj! eos efij sen Xj

_ZL (N j(l-ez) + hj) sen <p¡G

P rim ero, e l vector diferencia r ij en e l sistem a geodésico está deter­minado por:

1 ri] *G = 1 rj *G tr¡ lG =

X, X¡V Yi

AX, j

AY-j* Z-J

------------------- 197

Enseguida, el vector diferencia anterior e s girado al sistem a de co o r ­denadas geodésico loca l vía una expresión que es inversa de (190) y está dada por:

V gL=£ - 9 0 ! R I X - ,80) (7 >G 198

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Ahora, para determinar la distancia espacial, el azimut y e l ángulo vertica l en (i) usamos las componentes del vector {rijh-, en las expreVsJ » l_j —siones:

199

200

20!

Las expresiones correspondientes para determ inar e l azimut a jj y el ángulo vertica l a- en e l sistem a geodésico loca l en ( j ) son:

(V gl= p* rz( V 90) R8(Xr ,80> V e - -------------202

--------------------203

---------------------- 204

6 .~ Problem as de Intersección en T re s Dim ensiones. -

E l problem a de determ inar la s coordenadas de un punto sobre un plano usando una in tersección de dos azimutes o distancias de dos puntos (coor denados) conocidos, es un p roceso d irecto (F aig , 1972) . E ste tipo de problem as no es tratado genralmente para cálculos sobre un elipsoide de re ferencia . E l problem a de in tersección para la determ inación de la s — coordenadas geodésicas ( <£, X ) puede s e r tratado con harta sim pleza usando e l álgebra vectoria l. Son presentados aquí dos ca sos , cada una - requiere en form ación sim ila r a la que se requeriría para dos cá lcu los di_ m ensionales r igu rosos.

6 .1 . - Intersección Azimutal. -

E l problem a es definido com o: Dadas la s triadas de coordenadas ( —( <£p X., h¡ ) y ( , X j , h j ) para dos puntos en e l terreno(i) y (]) y lo s azimutes de la sección norm al del terren o a¡k y a-^ de lo s puntos conocidos al punto desconocido (k) ca lcu lar la s coordenadas — geodésicas y X* del punto desconocido k. Note que la altura -elipsoidal aproximada h^ es requerida para lo s cá lcu los.

Para com enzar la solucion es n ecesario definir un vector unitario en - un azimut cualquiera. Este vector es denotado 'a y se expresa en té r - minos de lo s vectores unitarios y ¡¿y que son respectivam ente las d irecciones Norte y Este del sistem a geodésico lo ca l. (F ig . 28)

v K + A Y ¡i + a z 3 í 4

a - t o n - í ¿Y|j 1i¿ ran'* L AXi j

% =se" í d ü 1 ]

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F I G U R A 2 8

VECTORES UNITARIOS EN EL SISTEMA GEODESICOLOCAL.

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Este está dado por la ecuación.

donde:

A A Ata - eos a + sen 3 --------------205

A

-sen^b eos X — sen <p sen X

eos <fi1 G.L

A

206

-sen X eos XO

207— Si­

ta com o:Usando las expresiones para f i x y fj.v , (205) puede s e r re e scr i-

tx -sen cos X cosa - ser. X sen aAfy = - sen <p senX cosa +-casX sena

cos <p cos ai-

G-L — '

208

6-L

finido por:

O'U ~Ahora un vector unitario perpendicular al azimut a

------------ 209

e s d e -

fa+90=/xx cos {a +9° 5 + sen (a +9° 1----------Para resolver para <£k y Xk , deben s e r form uladas dos

ecuaciones donde aparezcan explícitamente estas dos cantidades.

P rim ero , dos productosescaLaresson form ados, cada uno involu­c ra un vector en un plano definido por un par de puntos en el terreno y el o - rigen del sistem a coordenado, y un segundo vector que está en un azimut a 90° de éste plano, (F ig . 29). L os dos productos básicos son:

( rk - T i )- ta ik + 90c = 0 2)0

(rk -r jl • tajk + 90° = 0 ------------------ 211

donde:t +90°::a¡k

J +0 0°= ’ajk

- sen cosXj cos(a jk +90 ) -sen X¡ sen{a¡k+90>

-sen<£¡ senXj cosícij^ +90 )+eos \ ¡ sen (a jk +90 )

cos <JÍ>j eos (a ¡k +90 )

- senc j cos X- eos (Cf- +90 } - sen X senla^ +90 )

- sen <f>j sen Xj cos + 9 0 ) +cos Xj sen (Qtjk + 9 0 )

eosc^j co s ía n +-90 ]

------------- 2¡2

------------ 213

Xk - Xi AXik

l - r . ) = Yk - Yi s AYikK 1

Z k - Zi AZik214

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INTERSECCION AZIMUTAL EN TRES DIMENSIONES.

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"xk - Xi AX|kr. ) = )

Yk - Y, = AYjk -Zk - z j AZjk

En las ecuaciones (214) y (215) las coordenadas para (i) y ( j ) son - consideradas constantes, m ientras que aquellas para (k) son consideradas dadas por tre s funciones desconocidas (Krakiwsky and W ells, 1971 ).

’k ="xíT a cos /3k cos Xk + hk cos <f> k cos Xk

= Yk = a cos/3k senXk+bk a>s<£k senXk --------------216Zk b sen /3k 4- hk sen <£k

P rim eros térm inos de (216) dan las coordenadas de (k) sobre la su­perficie del elipsoide (definido por lo s sem ie jes m ayor y menor (a) y (b )- respectivam ente) en térm inos de la latitud reducida < /3k ) y la longitud geo désica ( Xk ). L os segundos térm inos se tom a en cuenta el hecho de - que e l punto (k) sobre e l terren o está loca lizado en una altura elipsoidal - ( hk ) sobre el elipsoide de referencia , y están expresados en térm inos de la latitud geodésica c£k y longitud Xk

Ahora la s ecuaciones (210) y (211) pueden reescr ib irse com o;

f = AX., 1 . + AY., t . + AZ , t . = 0 ---------------- 217i ik xi tk yi tk^ *W aV y i + ¿z jk V 0 -------- 218Las cantidades desconocidas en la s ecuaciones anteriores son las -

coordenadas de k y en térm inos de estas (217) y (218) son no lin ea les.- La siguiente etapa en la solución es aproxim ar las ecuaciones (217) y - (218) p or una serie lineal de T aylor usando valores aproximados para la latitud reducida y longitud denotadas por ¡3°k y \ck respectivamente, entonces:

f! = f,° + d /3 k+ ~577' dXk + ----------- = 0 ------------------ 219dfík dXk

Donde

d f - dXk +■------------ =0 --------------2202 a/3k dXk

f°= AX* t + AY* t + A2o t -------------------221i ¡k xi ik yt ik zi

f;=AX*ktxj+ A Y ^ ty j+ A ^ t2j----------------222

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o —

X <1 = a cos ¡3°n cos X® + h® cos cos X® - k k k X --------i - - 223

" S = a cos /3“ sen X°k +h® cos c£k sen X°k - Y .------------ -224

< = bsen (3 ° + h®sen $ 1 Z ¡- — — 225AX? = a cos ¡3 ° cos Xo +- h° cos ó * cos Xo - X ---------- — 226

ik k k k 1 k k iñVj°K= a cos ¡3 ° sen X°k + h® costasen X® - Yf — - - - 227

= b sen (3 oK+ h*Mné8 - Z . --------------K “ k j. — — — — —. — 228

df, = txj ( - a sen /3£ cos X°k - hk sen <££ cos x®k ) +

-+• ty¡(- a sen /3£ sen >?k - h k sen sen Xk ) +

+ t2¡ l b cos (3° + h® cos <£® ) ---------------------------229

| ^ =tx¡ l~ a c o s a s e n X *-h ° coscasen X®k > 4-

+ ty) ( acos/3k cos Xk + h£ cos <££ cos X®k ) - - .........230

Ahora reescribiendo (229) y (230) com o:

dh

du

;tx, x/3 + V Y/3+ 'zi z/3

= t* ,X\ + tyi V

23!

232

- 233

- - 234

y aXk^ - = t XJx/3 + tyi + 1zj Z p

X\ + tyj Yx - - -

Se notará que tomando derivadas parcia les, la latitud geodésica <£k fue considerada sinónima a la latitud reducida /3k . No hay pérdida en - exactitud en cálcu los subsecuentes debido a ésta consideración . Adicion­almente, un va lor aproximado de hk que es dentro de IQOm del valor - - verdadero es suficiente.

R eescribiendo (217) y (218) obtenem os.

T HXfife H -»6 V ¡+ ^ i 'a/jk + lxXl,1i t V y i la>-k=0r + :W W W d^ +w x V W dV °

-----------235

-----------236

L as ecuaciones (235) y (236) son resueltas en un p roceso iterativohasta que las co rrecc ion es a /3k y Xk sean despreciables ( < 0 ,00 0 1"). E l valor de la latitud geodésica <j>. es entonces resuelta por ( Krakiwsky and W ells, 1971) r .

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6 . 2 . - Intersección en la Distancia E spacial. -

La determinación de la latitud geodésica ( c£k ) y la longitud { Xk ) de un punto en el terreno usando dos distancias espacíales terrestres , - se resuelve de una manera sim ilar a la usada para una in tersección azi mutal ( 6 . 1 ). Son dadas las dos triadas de coordenadas ( <>¡ , X , h y ( ipi , Xj . hj ) y dos distancias espaciales terrestres rjk y r- de lo s puntos conocidos al punto desconocido ( k ). Además, una altura elipsoidal aproximada h°k se requiere (Dentro de los 100 ro del va lor de hk es suficiente).

La llave para la solución es la form ación de dos ecuaciones línea - le s que están expresadas en térm inos de lo s parám etros conocidos y des conocidos (F ig . 30). Com enzam os con las relaciones.

f t = [ (Xk - X , ) Z H Y k - Y , ! ^ U h - Z , ) E] /z- r|k = 0 ....... ........... 23B

f, -- K - X / + (Y, - Yj f + (Zk- Z) f ] 4 * rjk : 0 ----------------239

Donde ( Xk , Yk , Z k ) están dadas por (216). Las ecuaciones an­ter iores son no lineales en térm inos de /3k y Xk por lo que son aproxi madas por una serie lineal de T aylor usando va lores aproximados pa ra la latitud reducida, /9° y la loneitud geodésica ^ . La forma" lineal de las ecuaciones (238) y (239) están dadas por:

0 -------------240

= 0 ----------- 241

Donde;

A_ d/3k + df,dXi dV -

d udXi

dX,

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F I G U R A 30

INTERSECCION DE LA DISTANCIA ESPACIAL EN TRES DIMENSIONES.

= rIk " r-k ^ = rjk ~rjk

di, 1d(3k r°kd u 1dXk rikd iz 1d/3k f|kdu I

r;*

f ( X ? - X . ) + (Y ,° - Y.

1 k 1 d/3k k 1

í ( Xf -X. l — +(Y.°-Y.:L k 1 axk k 1

----------- 2 4 2

----------- 2 4 3

dYk -M Z° — YK I¿/3k

/ y ° —Y ) ■ + ( 7 o — Y

a^k * i* dfik * Yi|(x°~x.)I k j

k - x ¡ l # + ^ - v l r ^ ' í 1 i f c ] ------------------247

azkdftk

<?Zk __________dXk J

dZk 'd/3k J

dZk __________

244

245

246

Ahora los térm inos en la s ecuaciones (244) - (247) son derivadas de (216) y están dadas por:

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^ 5 - = - a sen cos\° - h* sen eos Xo = -------------- 248dPk k k k * k P

= - o sen 0 » sen X ; - h° sen sen X^ = Y g ----------------- 249

dZh~ = b cos/3° +h“ cos<£>? = Z © ---------------------------------250<30k K K * Hfíy k— — = - a eos /3“ senXa - h“ eos d>° senX° = X ..--------------- 251axk k k * Y k R xf^Yk

* a eos /3” cosX«k + h° eos í « eos X°k= Y^-------------------252

- É L » __________________________________________________253dXk

Com o en el caso de la in tersección azimutal, .la latitud geodésica , , fué considerada sinónima con l a latitud reducida ¡3% .

Ahora (240) y (241) son ree se ritas para la solución com o:

-------- 254

255

Las correccion es dB* y dX„ se resuelven usando un procedim iento iterativo. Cuando las co rrecc ion es se convierten en despreciables - ( 0 .0001") se obtienen los valores finales de B, y X» , <pt se obtiene usando (237).

7. - A M anera de Conclusión.

A prim era vista, parece que el método c lá s ico de cálcu los de posi­ción geodésica sobre la superficie de un elipsoide de revolución debería se r abandonado en favor del método tridinensional.

Las fórm ulas para este último son mas sim ples de derivar e imple mentar y en el caso de lo s problem as d irecto e inverso, están dadas en form a definida. Además, s i la s coordenadas curvilíneas (problema direc to) o la distancia elipsoidal y azimutes de sección norm al (problem a inveir so) son requeridos, fórm ulas de transform ación rigurosa están disponi - b les para obtenerlas (Krakiwsky and W ells 1971, Sección II).

La dificultad m ayor para usar e l método tridim ensional yace en las observables geodésicas o en su carencia . E sto es particularmente c ierto en el ca so del problema d irecto o en cualquier problem a donde es requeri­do e l ángulo vertica l (90° distancia zenítal). Debido a los problem as de - re fracción , la distancia zenital no puede obtenerse m ejor que + 1" lo -

L¿Xik */J+AYik Y0+AZ¡k2£]d/3k+ 7 -1K

AXikXXtAYfcYxjdXk

A V / 3 * “ ik [ " V x ^ V x H k

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que sobre una línea de 10 km s. da una desviación estandar en altura de 10 cm s. (Heiskanen and M oritz, 196? ) . Este e r ro r obviamente - podría afectar lo s cálcu los de las coordenadas tridim ensionales ( X , Y , Z ) ó ( <£, X , h ) de un punto requerido. E l problem a puede se r su - perado con nivelación geom étrica pero es im probable que éstas observa ciones se hicieran siem pre disponibles.

L os dos problem as de in tersección que han sido presentados mues­tran com o el método tridim ensional puede usarse para reso lv er directa mente la s coordenadas curvilíneas. Seria obvio que si fuera disponible suficiente in form ación observada ( P . e j, distancias triespacia ies) l o s - problem as podrían ser form ulados y resueltos diarectam ente en térm i» nos de la s coordenadas cartesianas tridim ensionales.

Finalmente se notará que una cantidad equivalente de inform ación - observada se requiere para lo s m étodos c lá s icos y tridim ensional. La d iferencia principal es que para los cá lcu los elipsoidales ( £ e¿, proble~ ma d irecto) la altura elipsoidal no necesita s e r conocida en form a tan - p rec isa com o en lo s cálcu los tridim ensionales. Sin em bargo, no im por ta que m étodo se use, transfornaciones rigurosas m ostrarán que lo s re eultados son equivalentes. E sto es , las coordenadas cartesianas (X ,Y, Z ) darán un conjunto < <fc , X , h ) en que la latitud geodésica (<fi ) y la longitud ( X ) son iguales a la s obtenidas por cá lcu los c lá s ico s . Aún más la s distancias espaciales y lo s azimutes de la s seccion es ñor mal del terreno obtenidos de cá lcu los tridim ensionales (P róble - ma inverso) y reducidos rigurosam ente al elipsoide de referencia ,son i - guales a la s distancias elipsoidales y azimutes geodésicos obtenidos del problem a in verso resuelto sobre el elipsoide.

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