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Chomsky Normal Form Or CNF
Any contex-free language without ε is generated by a grammar in which all the productions are of the form of
A BC or A a Here, A, B and C are the variables and a ia a terminal.
Chomsky Normal Form Or CNF
• Consider this grammar
G = ({ S, A, B} {a,b}, P, S)
That has the productions:
S bA|aB
AbAA|aS| a
B aBB|bS|b
Find the equivalent grammar in CNF
Chomsky Normal Form Or CNF
• First the only production in the proper form are A a and B b
• There are no unit production so we may begin by rplacing terminals on the right by variable. Except in the of the production Aa and B b.
S bA -------(1)SaB -------(2)AbAA ----(3)AaS ----(4)A a ----(5)B aBB ----(6)BbS ----(7)Bb ----(8)
• S bA-------(1)
C1 b
S C1A• SaB -------(2)
C2 a
S C2B• AaS ----(4)
A C2S• BbS ----(7)
BC1S• AbAA ----(3)
A C1AA
• B aBB ----(6)
B C2BB
• AbAA ----(3)
D AA
AC1 D
• B aBB ----(6)
EBB BC2E
• A a ----(5)• Bb ----(8) C1 b
S C1A• C2 a
S C2B• A C2S• BC1S
A C1AA
• B aBB ----(6)
B C2BB
Greibach Normal Form
Every context-free language L without ε can be generated by a grammar for which every production is of the form of A aα
Where A is a variable, a is a terminal and α is a (possibly empty) string of variables.
Greibach Normal Form
Convert to Greibach Normal Form to the given grammar
G= ({ A1,A2, A3}, {a,b},P,A1} Where P Consists of following :
A1 A2 A3 ---------(1)
A2 A3 A1 ---------(2)
A3 A1 A2 ---------(3)
A2 b ---------(4)
A3 a ---------(5)
Greibach Normal Form
Step1. Since the right hand side of the productions for A1 and A2 start with the terminals or higher-numbered variables,
So we begin with the production A3 A1 A2
starts and substiute the string A1 A2 A3
The resulting production is:A1 A2 A3 ---------(1)A2 A3 A1 ---------(2)A3 A2 A3 A2 ---------(3)A2 b ---------(4)A3 a ---------(5)
Greibach Normal Form
Since the right side of the production
A3 A2 A3 A2 ---------(3)Begin with the lower-
numbered variable, we substitute A2 , A2 A3 A1 and A2 b
A1 A2 A3 ---------(1)
A2 A3 A1 ---------(2)
A3 A2 A3 A2 ---------(3)
A2 b ---------(4)
A3 a ---------(5)
A3 A2 A3 A2 ---------(3)
A3 A3 A1 A3 A2 -------(3a)
A3 b A3 A2-------------(3b)
Lemma 4.4
Let G =(V,T,P,S) be the context free grammar CFG
Let A Aα1|Aα2|Aα3………….. Aαr be the set of A-productions for which A is the leftmost symbol of the right-hand side.
Let A β1|β2|β3……….|βs be the remaining A-productions.
Let G1= (V Ụ {B}, T,P1,S} be the context free grammar formed by adding the variable B to V and replacing all the A-productions:
1) Aβi
A βiB Where 1 =< i <= s
2) B αi
B αiB where 1 =< i <= r
Then L(G) = L(G1)
Greibach Normal Form
We now apply the Lemma 4.4 to the productions
A3 A3 A1 A3 A2 -------(3a)
A3 b A3 A2-------------(3b)
A3 a ---------(5)We introduce the symbol B the production
A3 A3 A1 A3 A2 -------(3a) is replaced by
A3 b A3 A2 B
A3 a B
B A1 A3 A2
B A1 A3 A2 B
Greibach Normal Form
The resulting set is:
A1 A2 A3 ---------(1)
A2 A3 A1| ---------(2)
A2 b ---------(3)
A3 a ---------(4)
A3 b A3 A2-------(5)
A3 b A3 A2 B-------(6)
A3 a B-------(7)
B A1 A3 A2-------(8)
B A1 A3 A2 B-------(9)
Greibach Normal Form Step 2. Now all the productions
with A3 on the left have right-hand side start with the terminals. These are used to replace A3 in the productions : A2 A3 A1 and the A2 on the right side of the A1 A2 A3
The result is as follows:
A3 a ---------(1)
A3 b A3 A2-------(2)
A3 b A3 A2 B-------(3)
A3 a B-------(4)
A2 aA1-------(5)
A2 b A3 A2 A1-------(6)
A2 b A3 A2 BA1-------(7)
A2 aBA1-------(8)
A2 b-------(9)
Now replace A2 in A1 A2 A3
production
A1 aA1 A3-------(10)
A1 b A3 A2 A1 A3-------(11)
A1 b A3 A2 B A3-------(12)
A1 aBA1 A3-------(13)
A1 b A3-------(14)
Greibach Normal Form
Step 3: The two B productions are converted to the proper form:
B A1 A3 A2-------(8)
B A1 A3 A2 B-------(9)
A1 aA1 A3-------(10)
A1 b A3 A2 A1 A3-------(11)
A1 b A3 A2 B A3-------(12)
A1 aBA1 A3-------(13)
A1 b A3-------(14)
By (8)
B aA1 A3 A3 A2
B b A3 A2 A1 A3 A3 A2
B b A3 A2 B A3 A3 A2
B aBA1 A3 A3 A2
B b A3 A3 A2
Greibach Normal Form
By (9)
B A1 A3 A2 B-------(9)
A1 aA1 A3-------(10)
A1 b A3 A2 A1 A3-------(11)
A1 b A3 A2 B A3-------(12)
A1 aBA1 A3-------(13)
A1 b A3-------(14)
B aA1 A3 A3 A2 B
B b A3 A2 A1 A3 A3 A2 B
B b A3 A2 B A3 A3 A2 B
B aBA1 A3 A3 A2 B
B b A3 A3 A2 B
Greibach Normal Form Step 2. Now all the productions with A3 on the left have right-hand side start with the terminals. These are used to replace A3 in the productions : A2 A3 A1 and the A2 on the right side of the A1 A2 A3
The result is as follows:
A3 a ---------(1)
A3 b A3 A2-------(2)
A3 b A3 A2 B-------(3)
A3 a B-------(4)
A2 aA1-------(5)
A2 b A3 A2 A1-------(6)
A2 b A3 A2 BA1-------(7)
A2 aBA1-------(8)
A2 b-------(9)
Now replace A2 in A1 A2 A3
production
A1 aA1 A3-------(10)
A1 b A3 A2 A1 A3-------(11)
A1 b A3 A2 B A3-------(12)
A1 aBA1 A3-------(13)
A1 b A3-------(14)B aA1 A3 A3 A2
B b A3 A2 A1 A3 A3 A2
B b A3 A2 B A3 A3 A2
B aBA1 A3 A3 A2
B b A3 A3 A2
B aA1 A3 A3 A2 B
B b A3 A2 A1 A3 A3 A2 B
B b A3 A2 B A3 A3 A2 B
B aBA1 A3 A3 A2 B
B b A3 A3 A2 B
