Dibujo I, Geometría

Tema 7

Cónicas

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Objetivos

Recordar las propiedades de estas curvas

Aplicar estas propiedades para resolver problemas de construcción de cónicas

Aprender nuevas propiedades sobre estas curvas

Con este objeto de aprendizaje conseguirás:

Contenidos 1

Definición y generación

Teorema de Dandelin

Excentricidad de una cónica

Elipse: elementos y trazado, circunferencias focales y principal, trazado de tangentes, diámetros conjugados

Parábola: elementos y trazado, circunferencia y recta principal, tangentes, segmentos sub-tgt y sub-nm

Hipérbola: elementos y trazado, circunferencias focales y principal, tangentes, asíntotas

Circunferencia de Monge

Propiedades ópticas

Contenidos 2

Ampliación

Elipse: teoremas de Apolonio

Parábola: teoremas de Lambert y Steiner

Hipérbola: propiedades de las asíntotas

Hipérbola: hipérbola equilátera

Teoremas de Poncelet

Definición y generación

Generación de las cónicas a partir seccionar un cono por un plano

Distintos tipos de cónicas dependiendo del ángulo del corte

Con ayuda de la web, aprende sobre

Numerosos fenómenos físicos como la trayectoria de los planetas, caída de un objeto … se basan en las cónicas.

Numerosos fenómenos físicos como la trayectoria de los planetas, caída de un objeto … se basan en las cónicas.

Teorema de Dandelin

Definición del teorema común a las tres cónicas

Origen de focos y directrices para las tres cónicas

Origen de las propiedades como lugares geométricos

Con ayuda de la web, aprende sobre

Existen otras cónicas denominadas degeneradas: recta y punto doble si el plano pasa por el vértice o por el eje de la superficie cónica

Existen otras cónicas denominadas degeneradas: recta y punto doble si el plano pasa por el vértice o por el eje de la superficie cónica

Excentricidad de una cónica

Concepto común a las tres cónicas

Aspecto de una cónica en función de su excentricidad

Con ayuda de la web, aprende

La trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es una elipse de excentricidad 0.0167

La trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es una elipse de excentricidad 0.0167

Elipse

Sus elementos y como dibujarla

Propiedades de sus circunferencias focal y principal

Trazado de tangentes

Dibujar sus diámetros principales a partir de los conjugados

Con ayuda de la web, aprende

Una circunferencia se ve como una elipse en perspectiva isométrica

Una circunferencia se ve como una elipse en perspectiva isométrica

Usando diámetros conjugados es posible dibujar cualquier posición de una circunferencia o elipse en isométrica

Usando diámetros conjugados es posible dibujar cualquier posición de una circunferencia o elipse en isométrica

Parábola

Sus elementos y como dibujarla

Analogía de la directriz con la circunferencias focal y principal

Trazado de tangentes

Propiedades de los segmentos bajo la tangente y bajo la normal

Con ayuda de la web, aprende

Una parábola es una elipse con un foco en el infinito. Entiende la analogía con el teorema de Dandelin

Una parábola es una elipse con un foco en el infinito. Entiende la analogía con el teorema de Dandelin

Hipérbola

Sus elementos y como dibujarla

Propiedades de sus circunferencias focal y principal

Trazado de tangentes

Dibujo de sus asíntotas

Con ayuda de la web, aprende

Observa como el trazado de tangentes es similar al caso de la elipse

Observa como el trazado de tangentes es similar al caso de la elipse

Circunferencia de Monge

Sus propiedades comunes a las tres cónicas

Dibujarla para cada una de las tres cónicas

Con ayuda de la web, aprende

Un rectángulo que “envolviera” a una elipse, tendría sus vértices en la circunferencia de Monge

Un rectángulo que “envolviera” a una elipse, tendría sus vértices en la circunferencia de Monge

Propiedades ópticas

Sus propiedades ópticas basadas en la reflexión

Compara estas propiedades con las “curvas de billar” de triángulos y cuadriláteros

Con ayuda de la web, aprende

Numerosas antenas, y sistemas de lentes y espejos utilizan estas propiedades

Numerosas antenas, y sistemas de lentes y espejos utilizan estas propiedades

Circunferencias focales,

principal y tangentes

Circunferencias focales,

principal y tangentes

Circunferencia de Monge

Propiedades ópticas

Circunferencia de Monge

Propiedades ópticas

Definición y generación

Definición y generación

Elipse: diám. conjugadosParábola: sub-tg y –nm

Hipérbola: asíntotas

Elipse: diám. conjugadosParábola: sub-tg y –nm

Hipérbola: asíntotas

Resumen

Teorema de Dandelin y

excentricidad

Teorema de Dandelin y

excentricidad

Teoremas de Apolonio

Definición de los teoremas que se aplican a diámetros conjugados

Con ayuda de la web, aprende:

Recuerda que figuras equivalentes aplicados a chapas planas de igual espesor, implica igual peso

Recuerda que figuras equivalentes aplicados a chapas planas de igual espesor, implica igual peso

Recuerda que los diámetros conjugados permiten dibujar circunferencias y elipses en isométrica

Recuerda que los diámetros conjugados permiten dibujar circunferencias y elipses en isométrica

Teoremas de Lambert y Steiner

Definición de los teoremas que se aplican a la construcción de parábolas

Recuerda el teorema de Miquel

Con ayuda de la web, aprende:

Cuatro tangentes formarán un cuadrilátero completoCuatro tangentes formarán un cuadrilátero completo

Se necesitan 5 condiciones para definir una elipse o hipérbola y 4 para una parábola

Se necesitan 5 condiciones para definir una elipse o hipérbola y 4 para una parábola

Propiedades de las asíntotas

Estas propiedades, que se aplican a la construcción de hipérbolas a partir de sus asíntotas

Con ayuda de la web, aprende:

A partir de las asíntotas y de un punto es posible construir una hipérbola

A partir de las asíntotas y de un punto es posible construir una hipérbola

Estas propiedades son útiles para representar una hipérbola en distintas perspectivas

Estas propiedades son útiles para representar una hipérbola en distintas perspectivas

Hipérbola equilátera

Propiedades de la hipérbola equilátera

Su relación con los puntos ortocéntricos

Dibujo de la misma a partir de 4 puntos

Con ayuda de la web, aprende:

Por 4 puntos (no alineados) pasan: infinitas elipses, una sola parábola y una sola hipérbola equilátera

Por 4 puntos (no alineados) pasan: infinitas elipses, una sola parábola y una sola hipérbola equilátera

Teoremas de Poncelet

Los cuatro teoremas de Poncelet

Con ayuda de la web, aprende:

Estos teoremas se utilizan para resolver problemas de construcción de cónicas

Estos teoremas se utilizan para resolver problemas de construcción de cónicas

Elipse: th. ApolonioElipse: th. Apolonio

Resumen ampliación

Parábola: th. Lambert y Steiner

Parábola: th. Lambert y Steiner

Hipérbola: propiedades

asíntotas

Hipérbola: propiedades

asíntotas

Hipérbola: hipérbolaequilátera

Hipérbola: hipérbolaequilátera

Teoremas de Poncelet

Teoremas de Poncelet Construir cónica por

4 puntos ó 4 tangentes

Construir cónica por 4 puntos ó 4

tangentes

Auto evaluación y problemas

¿Obligatorio?

¿Nota?

Preguntas

Puedes realizar en la web unas preguntas de auto evaluación sobre este tema y unos problemas a dibujar en tu papel. Las preguntas puedes revisarlas después para ver tus fallos.

No

No

5

Problemas 4

Aprobado 50%

Siguiente tema …

Fin del temario de la asignatura. La continuación sería con Curvas y después con la geometría proyectiva