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ii
CON UN ENFOQUE QUÍMICO BIOLÓGICO
P r i m e r a e d i c i ó n
Vol. II
Pablo Flores Jacinto
María Catalina Cárdenas Ascención
Enrique García Leal
Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios Superiores Zaragoza
MATEMÁTICAS 1
iii
Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios Superiores Zaragoza
Datos para catalogación bibliográfica
Autores: Pablo Flores Jacinto, María Catalina Cárdenas Ascención, Enrique García Leal
Matemáticas 1 con un enfoque químico biológico
UNAM, FES Zaragoza, diciembre 2018. Volumen II, 222 pp.
ISBN de la Colección: 978-607-30-1148-8 ISBN individual: 978-607-30-1150-1
Diseño de portada y gráficos: Pablo Flores Jacinto.
Proyecto Papime PE100818
DERECHOS RESERVADOS Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del texto o las ilustraciones de
la presente obra bajo cualesquiera formas, electrónicas o mecánicas, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en algún sistema de recuperación de información, dispositivo de memoria
digital o grabado sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Matemáticas 1 con un enfoque químico biológico
D.R. © Universidad Nacional Autónoma de México Av. Universidad # 3000, Col. Universidad Nacional Autónoma de México, C.U.
Delegación Coyoacán, C.P. 04510, Ciudad de México.
Facultad de Estudios Superiores Zaragoza, Campus II Batalla 5 de mayo s/n esquina Fuerte de Loreto, Col. Ejército de Oriente
Delegación Iztapalapa, C.P. 09230, Ciudad de México
iv
Índice
Primera parte: Cálculo diferencial para una variable
Página
9. Límites y continuidad 1
9.1 Definición y propiedades de límites. 2 9.2 Definición y propiedades de continuidad. 14
10. La derivada 23
10.1 Definición y propiedades de la derivada. 24 10.2 Reglas de derivación. 29 10.3 Derivadas de orden superior. 67
11. Derivada implícita 79
11.1 Definición de función implícita. 80 11.2 Métodos de derivación implícita. 83
12. Máximos y mínimos 97
12.1 Concepto de máximos y mínimos y puntos de inflexión. 98 12.2 Criterios de la primera y segunda derivada para
determinar máximos y mínimos. 12.3 Aplicaciones de máximos y mínimos.
101
108
13. Razón de cambio y diferenciales 117
13.1 Razón de cambio y diferenciales. 118 13.2 Aplicaciones de razón de cambio y diferenciales. 118
v
Segunda parte: Ecuaciones diferenciales de varias variables
Página
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
135
14.1 Concepto de una función con dos o más variables independientes.
136
14.2 Dominio de una función con dos o más variables. 14.3 Curvas de nivel.
144 157
15. Límites para dos o más variables reales 163
15.1 Definición y propiedades de límite para una función con dos o más variables.
164
15.2 Cálculo de límites. 165
16. Derivadas parciales 175
16.1 Definición y propiedades de las derivadas parciales de una función con dos o más variables independientes.
176
16.2 Regla de la cadena para derivadas parciales. 184 16.3 Diferencial total. 185 16.4 Derivadas de orden superior.
16.5 Máximo y mínimos 16.6 Multiplicadores de Lagrange.
188 190 196
Respuestas a los problemas de número impar 206
Referencias Índice alfabético
211 214
vi
Prefacio
Los autores de la presente obra se dieron a la tarea de crear un
libro de Matemáticas con un claro objetivo; que los alumnos de
carreras afines a las ciencias químico, biológicas y de la salud,
puedan apreciar la aplicación del cálculo diferencial para una y
varias variables en sus respectivas áreas con el uso de ejemplos
sencillos pero muy claros de las aplicaciones de las matemáticas en
estas áreas además del uso de pictogramas que hacen ameno y
didáctico el manejo del presente libro.
Este volumen II llamado “Matemáticas 1 con un enfoque químico
biológico”, el cual se divide en dos partes; en la primera se aborda
el cálculo diferencial de una variable, mientras que en la segunda se
estudia el cálculo diferencial para dos o más variables.
En el capítulo 10 se da a conocer las bases de lo que es el cálculo
diferencial en general definiendo sus bases como lo es el concepto
de límite y el de continuidad, lo cual nos da la entrada al capítulo 11
titulado derivada, en este capítulo los autores explican de forma
muy sencilla a través del uso de los límites el concepto de derivada
y de igual manera nos van guiando de manera sencilla en la
resolución de problemas y nos van demostrando el uso de cada una
de las reglas que se aplican para la derivada, pasando desde
derivadas sencillas de monomios y polinomios, derivadas
trigonométricas, el uso de cambios de variables para la solución de
problemas y la aplicación de las reglas de la cadena, en el capítulo
12 se explica y se define lo que es la derivación implícita, en los
capítulos 13 y 14, se enseñan algunas de las aplicaciones de las
derivadas tales como máximos y mínimos donde se busca muchas
veces maximizar una reacción o la manera de hacerla más eficiente
vii
o bien el poder reducir el consumo de algún reactivo, mientras que
la razón de cambio nos ofrece una gran versatilidad para ver el
comportamiento de cierta variable de estudio con respecto al
tiempo.
En las siguiente sección se ve el cálculo diferencial para dos o más
variables iniciando con el capítulo 15 el cual nos enseña el concepto
de dominio de la función y éste nos lleva al manejo de gráficos en
3D y el uso de éstas en un plano bidimensional denominado curvas
de nivel, posteriormente en el capítulo 16 definimos el concepto de
límite para varias variables y retomamos algunas propiedades de
límite de una variable las cuales las extrapolamos al uso de dos o
más variables, finalmente en el capítulo 17 vemos el concepto de
derivadas parciales con el uso de más de una variable
independiente.
Cabe destacar que al igual que el volumen I, es un libro que ilustra y explica de manera muy sencilla el uso de las matemáticas y que nos lleva a dar un paseo por el mundo de las matemáticas aplicadas específicamente en el cálculo diferencial de una y varias variables amalgamando de manera creativa los fascinantes mundos de la química, las ciencias biológicas y de la salud, esperamos que esta obra sea de su agrado como lo es para nosotros.
viii
Agradecimientos
Los autores desean expresar su agradecimiento a quienes han colaborado para enriquecer este material:
QFB Georgina Cecilia Rosales Rivera
QFB. Víctor Hugo Becerra López.
M en D.I.I.E. María Isabel Garduño Pozadas.
Ing. Miguel Ángel Cuevas Hernández.
M. en C. Armando Cervantes Sandoval.
Y al laboratorio de análisis de fármacos y materias primas de FES Zaragoza de la UNAM.
Los autores
Pablo Flores Jacinto
Ingeniero Químico de la Facultad de Química de la UNAM, posgrado en Ingeniería Ambiental del IPN.
María Catalina Cárdenas Ascención
Química de Alimentos de la Facultad de Química de la UNAM, posgrado en Ciencias Bioquímicas de la UNAM.
Enrique García Leal
Ingeniero Químico de la Facultad de Química de la UNAM, posgrado en Ingeniería de Materiales en la UNAM.
ix
Los iconos que se utilizan en el
libro, para desarrollar los
conocimientos de matemáticas
son:
Definición
Recuerda
conceptos
Aplicación
Ejercicios
de refuerzo
INTENCIÓN COMPRENDER del libro para aprender
Este segundo volumen tiene la
intención de llegar a los alumnos
de las áreas de química biológicas
especialmente para fortalecer el
cálculo diferencial de una y varias
variables, con la misma
perspectiva de que puedan
observar a detalle los ejercicios
con un grado de dificultad
prometedor, que conlleve a un
conocimiento más sistemático de
la resolución de ejercicios con
aplicaciones a la química.
Cada capítulo también es
acompañado por una variedad de
ejercicios resueltos en forma
extensiva y al final de éstos se
tiene la serie de ejercicios que
pretende reforzar el
conocimiento.
De igual forma los ejercicios que
requieren el uso de herramientas
anteriores a este curso se
encuentra en el icono de
“Recuerda conceptos”.
1
Primera parte: Cálculo diferencial para
una variable
Capítulo nueve
Límite y continuidad
𝑥 − 𝑥0 < 𝛿 → 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀
La idea de límite surge con H. E. Heine (1821-
1881); discípulo de Cauchy, quien lo definió
como:
La función 𝑓 𝑥 tiene límite 𝐿 en 𝑥 = 𝑥0 si
dado 휀 > 0 existe un 𝛿 tal que para toda 𝑥 en
el intervalo
Los límites
establecen en la
industria los costos
menores para una
mayor ganancia.
“Las frases de “infinitesimal”, “variable que se acerca a”, o “tan pequeña como uno quiera” desaparecen cuando nacen los famosos "휀" y "𝛿", utilizados en el lenguaje moderno para
definir el límite y la continuidad
Ángel Ruíz
9. Límite y continuidad
2
9.1 Definición y propiedades de límites
Una vez que se asigna un valor a la función se evalúa y se obtiene una estimación de
ésta, pero si por alguna razón se pretende llegar a un valor con la mayor proximidad
sin tocarlo se dice que se está calculando el límite de la función.
La primera intuición del cálculo de un límite es
acercarse lo más posible sin llegar a tocarlo,
como el hombre que está a punto de caerse por
llegar al “límite” del risco.
Uno de los argumentos más recurrente del por
qué no se puede tocar un valor, es debido a la
división entre cero, por ejemplo, en la siguiente
función:
= −
−
El valor que no puede tomar en el
denominador es:
=
Definición Se define el límite como lim𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝐿, cuando 𝑥 se acerca mucho al valor de 𝑐,
se dice que “𝑥 tiende a 𝑐” con lo que se puede encontrar el valor de C.
9. Límite y continuidad
3
Debido a que el 1 conduce directamente a una división entre cero, el valor de la
función se obtiene acercándose alrededor del 1. Se puede tabular y ver el
comportamiento en la Figura 9.1.
Otro ejemplo, es aproximar el valor de una variable para obtener el área de un
circulo por el método de agotamiento, que consiste en inscribir polígonos dentro
del círculo, a medida que aumente el número de lados del polígono; la diferencia de
áreas disminuye (ver Figura 9.2).
Figura 9.2 Diferencia de áreas entre un círculo y un polígono
= −
−
0.8 -1.8
0.9 -1.9
0.99 -1.99
0.999 -1.999
1.00
-2.0
1.001 -2.001
1.01 -2.01
1.1 -2.1
1.2 -2.2
Figura 9.1 Límite de una función
9. Límite y continuidad
4
Se puede establecer que el área de un círculo es el límite del área del polígono
inscrito, cuando el número de lados tiende hacia el infinito, es decir:
= lim →
Donde es el número de lados o caras del polígono.
Para determinar el área de una curva delimitada por el eje , se pueden utilizar
también la aproximación de áreas de rectángulos (que es muy importante en el
cálculo integral), por ejemplo en la Figura 9.3 se ilustra la obtención del área debajo
de la curva de la función = √ , en un intervalo de [0 ], en el inciso a) sólo se
utilizaron 3 rectángulos mientras que en el inciso b) se emplearon 6 rectángulos.
Figura 9.3 Cálculo del área bajo la curva utilizando áreas de rectángulos.
Recuerda que…
El área de un círculo es 𝜋𝑟 , pero los griegos no recurrieron a los límites para
encontrar esta ecuación, sino al método de agotamiento.
9. Límite y continuidad
5
Se puede apreciar en la Figura 9.3 que a medida que aumenta el número de
rectángulos y estos tienden al infinito el error del cálculo del área bajo la curva
disminuye, es decir:
= lim →
Donde es el número de rectángulos empleados.
El estudio de límites ha revolucionado muchas áreas de las ciencias ya que tiene que
ver con el modelaje de fenómenos, debido a que manifiesta una razón de cambio,
por ejemplo, en una velocidad de reacción de orden , el cálculo de un reactor
químico, la superficie de reacción en un catalizador, etc.
9.1.1 Límites de una función
Una función puede tener límite, por lo que es importante primero analizar cuando
está o no definida, se puede observar en la Figura 9.4 que cuando está cerca de ,
es decir:lim → = , puede ser que el límite exista (a); que el límite no esté
definido (b) o bien que no exista (c).
Figura 9.4 Límite cuando x tiende a
9. Límite y continuidad
6
Ejemplo 1 Escriba el límite, si es que existe, de la
siguiente figura:
Solución
lim → = −
lim → =
Ejemplo 2
Encuentre el límite del polinomio = − , cuando se acerca a 1.
Solución
Primero se utiliza la definición anterior.
lim → − =
lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝐿
Definición Para encontrar el límite de una función polinomial se utiliza la siguiente regla:
9. Límite y continuidad
7
Se evalúa la función en 1.
= − =
Por lo tanto, el límite de:
lim → − =
Gráficamente se tiene lo siguiente:
Ahora para una función racional al igual que en el caso anterior se usará la definición
del límite de un polinomio, pero teniendo cuidado de que el valor del denominador
no conduzca a cero.
Ejemplo 3 Encuentre el límite de la función:
lim →
−
Solución
lim →
− =
lim →
− = −
9. Límite y continuidad
8
Ejemplo 4 Encuentre el límite de la función:
lim →
Solución
Primero se realiza la factorización del numerador y del denominador, debido a que
la función no está definida en -2.
lim →
= lim
→
Se suprime , quedando:
lim →
Finalmente se evalúa la función en -2
lim →
= −
− = −
=
Definición Para encontrar el límite de una función racional se debe de factorizar el polinomio
del numerador y denominador; para evitar la división entre cero, a este
procedimiento se le conoce como método analítico.
9. Límite y continuidad
9
Ejemplo 5
La velocidad de reacción en un reactor está definida por la siguiente ecuación:
=
−
Dónde:
Es la velocidad de reacción(
).
Es el tiempo en minutos ( ).
Es la constante de equilibrio y tiene un valor de 10
.
Calcule la velocidad de reacción a los 5 minutos.
Solución
Debido a que la reacción no está definida a los 5 minutos se toma como límite a este
tiempo y se realiza el método analítico.
lim → −
−
lim → − −
−
lim → − =
= 0 −
= 0
La velocidad de reacción es:
9. Límite y continuidad
10
9.1.2 Límites al infinito
Las funciones que tienen el límite que tiende al infinito se encuentran en gráficas que presentan asíntotas verticales u horizontales. Por ejemplo, si se gráfica la función:
= −
Lo que se tiene es que cuando tiende a -1, es evidente que el límite en ese punto es inexistente, es decir:
lim →
−
En la gráfica se puede ver lo que ocurre cuando se acerca por la derecha y por la izquierda a -1, se genera una asíntota vertical (ver Figura 9.5).
Figura 9.5 Límite con una asíntota vertical ubicada en = −
En general se puede decir si se acerca por la izquierda:
lim →
−
=
9. Límite y continuidad
11
Se puede generalizar lo que ocurre en los límites cuando existen asíntotas verticales (ver Figura 9.6).
Figura 9.6 Límites cuando se presentan asíntotas en las funciones
También existen funciones que presentan asíntotas horizontales, normalmente se presentan en ecuaciones de tipo exponencial, aunque también existen de tipo polinomial y potencial.
9. Límite y continuidad
12
9.1.3 Propiedades de los límites
Para establecer las propiedades de los límites debe considerarse que los límites de y existen, por lo que se tiene:
Tabla 10.1 Límites cuando se presentan asíntotas en las funciones
Propiedad Regla
1. Polinomio lim → [ ] =
2. Constante lim → [ ] = lim
→
3. Suma y Diferencia
lim → [ ] = lim
→ lim
→
4. Producto lim → [ ] = lim
→ lim
→
5. Cociente lim → *
+ =lim →
lim → 0
6. Potencia lim → [ ] = *lim
→ +
7. Raíz lim → [ √
] = √lim → √lim
→ =
9. Límite y continuidad
13
Ejemplo 5
Use las propiedades de los límites y resuelva las siguientes funciones:
lim → −
lim → ( −
)
Solución
Utilizando las propiedades de los límites indicados en la tabla 10.1 se tiene:
lim → − − = lim
→ − lim
→ − lim
→
lim → − − = lim
→ − lim
→ − lim
→
lim → − − = *lim
→ +
−*lim → +
− lim →
lim → − − = − −
lim → − − =
Para este inciso se puede aplicar varias propiedades de los límites en un solo paso:
lim → ( −
) =* lim → +
− lim →
lim → lim
→
lim → ( −
) = − − −
− = −
9. Límite y continuidad
14
9.2 Definición y propiedades de continuidad
La continuidad de una función tiene que ver con que la curva de una gráfica no sufra algún salto o ruptura. Para ejemplificar esta situación imagine que trazará una gráfica y se dice que es continua cuando se dibuja la curva sin despegar el lápiz del papel. Ésta característica puede aplicarse a solo una sección de la gráfica, por lo que puede presentar continuidad en cierto intervalo.
Para demostrar la inexistencia de la continuidad se puede visualizar que las tres reglas no se cumplen. i) no existe la función en un punto, ii) después existe un salto y iii) finalmente la función cuando se acerca a un punto el límite no existe (ver Figura 9.7).
Figura 9.7 Continuidad de una función
9. Límite y continuidad
15
Ejemplo 6
Determine si las siguientes funciones son continuas.
= −
=
= ‖ ‖
Solución
Para verificar si las funciones son o no continuas, las gráficas de cada una son:
Para a) la función no está definida en x=-1, para b) la función no está definida cuando = 0, se convierte en una asíntota y para c) tiene discontinuidades en todos los enteros.
También se pueden establecer las condiciones de continuidad cuando se presenta una gráfica.
9. Límite y continuidad
16
Ejemplo 7
Cuáles son las condiciones de continuidad que no se cumplen para la siguiente función:
Solución
Esta curva se puede representar por una función
de la forma √ , por lo que:
= {√ =
Eje Ejemplo 8 Cuando se aproxima por la derecha (+) y la izquierda (-), diga si las aseveraciones son verdaderas o falsas de la siguiente gráfica:
Solución
lim →0 =
lim → =
lim → =
lim → =
17
Ejercicios de refuerzo UNIDAD 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD
I. Encuentre los límites de las siguientes funciones.
lim → −
lim → −
lim → √
lim →
−
lim → −
lim → √
lim → √ −
lim → ln (
)
lim → ln (
)
0 lim →
(
)
9. Límite y continuidad
18
II. Use las propiedades de los límites para encontrar los límites que se
piden en cada figura.
lim →
lim →
lim →0
lim →
lim →
lim →
lim →
lim →
lim →
lim →
lim →0
lim →
9. Límite y continuidad
19
III. Utilice las propiedades de los límites para resolver las siguientes funciones.
lim →
lim → −
lim → (
− )
lim → √ −
lim → −
0 lim →
lim → [ (
)
]
lim →
−
lim → √(
− )
lim
→
lim → (
lo )
IV. Utilice el método analítico para encontrar los límites de las siguientes
funciones.
lim → ( −
− )
lim → ( −
− )
lim →0 (
−
)
lim → ( −
√ − )
0 lim → ( −
− )
lim → ( −
)
lim → ( −
− )
lim → ( −
)
lim → ( −
− )
lim → ( −
− )
9. Límite y continuidad
20
V. Describa las siguientes gráficas utilizando la definición de continuidad.
9. Límite y continuidad
21
VI. Verifique si las siguientes funciones son continuas en 4, si no, ¿Explique por qué?
0 = = −
=
−
= √ −
= −
−
= −
√ −
VII. Verifique en ¿Cuáles puntos hay continuidad?
=
= −
=
−
= ( −
− )
VIII. De la siguiente gráfica indique si las aseveraciones son verdaderas o falsas:
0 lim →− −
=
lim →−
=
lim →0 = 0
lim →0− =
lim → =
lim → − =
9. Límite y continuidad
22
23
La derivada tiene
diversas aplicaciones
en la química como en
la determinación de la
concentración, el pH, la
cantidad de sustancia,
índice de crecimiento
de un microorganismo,
índice de solución, etc.
Capítulo diez
La derivada
“Los cambios indudablemente por pequeños que sean, pueden ser descritos por una
ecuación”
Cuando se quiere conocer un cambio de algún parámetro es común utilizar el concepto de derivada.
La derivada se puede entender como una “tasa de cambio”, es decir de una función f(x) de la cual se puede conocer ¿Cómo varía respecto al cambio de “x” en un momento instantáneo? Esta tasa de cambio instantáneo se llama derivada.
10. La derivada
24
Gottfried Leibniz.
Alemán que es
considerado como uno
de los últimos genios, a
él se le atribuye el
cálculo diferencial.
10.1 Definición y propiedades de la derivada
Si el límite de existe decimos que es diferenciable en ese punto. Por lo que encontrar la derivada se le conoce como derivación. La rama de las matemáticas asociada a la derivada se conoce cómo cálculo diferencial.
Normalmente la derivada es relacionada con la velocidad, debido a que es el cambio de la posición respecto al tiempo, como se ilustra en la escena del “Correcaminos y el coyote”.
La explicación matemática de la derivada parte de la recta tangente, cuya definición se le atribuye a Leibniz (ver Figura 10.1).
Figura 10.1 Gottfried Leibniz
10. La derivada
25
Definición La derivada de una función 𝑓 𝑥 es otra función 𝑓 ´ 𝑥 (léase como efe prima de
equis) cuyo valor de x evaluado en “A” está dado por:
Siempre que el límite exista.
𝑓 ´ 𝐴 = limℎ→0
𝑓 𝐴 ℎ − 𝑓 𝐴
ℎ
La derivada se obtiene moviendo la recta secante a una curva, hasta obtener una tangente; esto lo observamos en la Figura 10.2, en donde (a) las coordenadas de la recta secante de P son ℎ y de Q son ℎ − , (b) moviendo el punto Q, hacia P a lo largo de la curva, la distancia que los separa se acorta hasta llegar al límite donde los puntos se tocan en este momento decimos que tenemos una tangente.
Figura 10.2 Obtención de la recta tangente a partir de una recta secante
Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente es el límite de la recta secante, por lo que sustituimos el valor del límite de la recta secante, obtenemos que:
10. La derivada
26
Ejemplo 1
Derive la siguiente función = cuando = .
Solución
´ = limℎ→0
[ ℎ] − [ ]
ℎ
´ = limℎ→0
[ ℎ ] − [ ]
ℎ
´ = limℎ→0
[ 0 ℎ ] − [ 0 ]
ℎ
´ = limℎ→0
ℎ
ℎ ´ = lim
ℎ→0 =
Ejemplo 2
Derive la siguiente función = .
Solución
´ = limℎ→0
[ ℎ] − [ ]
ℎ
´ = limℎ→0
[ ℎ ℎ ] − [ ]
ℎ
10. La derivada
27
´ limℎ→0
[ ℎ ℎ ℎ] − [ ]
ℎ= ℎ ℎ ℎ
ℎ
´ = limℎ→0
ℎ ℎ
ℎ= ℎ
Evaluando el valor del límite de h, se tiene: ´ =
Ejemplo 3
Derive la siguiente función =
Solución
´ = limℎ→0
[ ℎ] − [ ]
ℎ
´ = limℎ→0
*
ℎ+ − *
+
ℎ
Se determina un denominador común en la parte superior de la función y se realizan
las operaciones debidas.
´ = limℎ→0
ℎ
ℎ
ℎ
Se realiza el cociente
´ = limℎ→0
− ℎ
ℎ ℎ
10. La derivada
28
´ = limℎ→0
− − ℎ
ℎ ℎ
´ = limℎ→0
−ℎ
ℎ ℎ
´ = limℎ→0
−
ℎ
´ = limℎ→0
−
ℎ
Evaluando el valor del límite de ℎ se tiene:
´ = −
Ejemplo 4
En México, en 2009 se presentó la pandemia de la gripe A(H1N1) conocida como “gripe porcina” (ver Figura 10.3). La estimación oficial de personas enfermas de gripe a días después del comienzo está dada por la siguiente aproximación:
= − −
¿Cuál es el índice de difusión de la enfermedad a la tercera semana?
Fuente: wikimedia.org
Figura 10.3 Virus H1N1
10. La derivada
29
Solución
Para 3 semanas
Se deriva la función = − − y se evalúa en la 3ra semana.
´ = limℎ→0
[ ℎ] − [ ]
ℎ
´ = limℎ→0
[− [ ℎ ] ℎ − ] − [− − ]
ℎ
´ = limℎ→0
[− ℎ ℎ ℎ − ] − [− − ]
ℎ
´ = limℎ→0
− ℎ ℎ ℎ
ℎ
Factorizando y evaluando el valor límite de h se obtiene:
´ = limℎ→0− ℎ = − − ℎ =
A la tercera semana se tuvieron 191 casos.
10.2 Reglas de derivación
El proceso para calcular la derivada de una función es un poco bromoso debido al arduo uso del álgebra, por ello se establecen las siguientes reglas para obtener de forma directa la derivada de una función. En primer lugar, se analizarán las algebraicas.
10. La derivada
30
10.2.1 REGLAS DE DERIVADAS ALGEBRAICAS
Estas reglas se aplican de manera general a los monomios, polinomios y cocientes de polinomios (ver Tabla 10.1).
Tabla 10.1 Reglas para derivadas algebraicas
Función Regla
Constante = 0
Potencia =
Múltiplo constante [ ] =
Suma y diferencia [ ] =
Producto
[ ] =
Cociente *
+ = −
𝑑
𝑑𝑥 𝐷 𝑓 ´ 𝑥 𝑦´
Recuerda que… Las formas de expresar la operación de derivación son:
10. La derivada
31
La obtención de la derivada de
una función nos genera otra
función. Pensemos en un proceso
químico donde se debe
acondicionar la materia prima para
ingresarla a un reactor químico
donde se llevará cabo la reacción
(ver Figura 10.4). Veamos
gráficamente (ver Figura 10.5),
que la derivada de una constante
es cero, mientras que para la
función identidad es 1, esto como
ya se revisó es el valor de la
pendiente de la función tangente a
nuestra recta.
Figura 10.5 Pendiente de una función constante y de una función identidad
Figura 10.4 Reactor químico, como un
símil del proceso de derivación
10. La derivada
32
Ejemplo 5
Utilice las reglas de la tabla 10.1 para derivar las siguientes funciones:
=
= −
= −
= −
=
Solución
=
Se utiliza la regla del múltiplo constante.
=
´ =
Ahora se aplica la regla de la potencia.
´ =
Reacomodando.
´ =
10. La derivada
33
= −
Ahora se utiliza la regla de la suma y diferencia.
´ = −
Se aplica la regla del múltiplo constante y de la constante.
´ = − 0
Se utiliza la regla de la potencia.
´ = −
Finalmente.
´ = −
= −
Primero acomodamos la ecuación utilizando la regla de las potencias.
= −
Ahora utilizamos la regla del término constante y de la potencia.
´ = − −
´ =
Reacomodando la ecuación.
´ =
10. La derivada
34
= −
Para derivar este cociente, derivamos primero el numerador y denominador.
= − ´ = −
= ´ =
Aplicando la regla del cociente:
*
+ = −
´ =[ ] − [ − ]
Se realiza el desarrollo de las operaciones indicadas para llegar a la mínima expresión.
´ =[ ] − [ − ]
´ =[ − − ]
´ =− −
10. La derivada
35
=
Primero se utiliza la regla de suma y diferencia.
´ =
Para el primer término se utiliza la regla del cociente y para el segundo la regla de la potencia.
Primer término
*
+ = −
= ´ = 0
= ´ =
´ =[ 0 ] − [ ]
´ =
Segundo término
=
´ =
Se unen los dos términos
´ = −
Reacomodando:
´ =
−
10. La derivada
36
10.2.2 REGLAS DE DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
Primero se realizará la demostración de la función seno con la forma básica de la derivada.
´ = limℎ→0
ℎ −
ℎ
=
´ = limℎ→0
ℎ −
ℎ
Utilizando la identidad trigonométrica =
´ = limℎ→0
ℎ ℎ −
ℎ
Se agrupan términos semejantes
´ = limℎ→0
ℎ − ℎ
ℎ
´ = limℎ→0
ℎ −
ℎ ℎ
ℎ
Reordenando
´ = limℎ→0
ℎ
ℎ− limℎ→0
− ℎ
ℎ
Como y no varía en función de ℎ, lo consideramos como constante.
´ = limℎ→0
ℎ
ℎ− lim
ℎ→0
− ℎ
ℎ
Recordemos que:limℎ→0 ℎ
ℎ= lim
ℎ→0
ℎ
ℎ= 0
´ =
10. La derivada
37
La generalización de este procedimiento da lugar a las reglas de las derivadas de las funciones trigonométricas (ver Tabla 10.2).
Tabla 10.2 Reglas para derivadas trigonométricas
Función Regla
Seno =
Coseno = −
Tangente =
Cotangente = −
Secante =
Cosecante = −
Ejemplo 6
Encuentre la derivada de = −
Solución
Se utiliza la regla de suma y diferencia y múltiplo constante.
´ = −
Se usa la regla de la derivada.
´ = − −
´ =
10. La derivada
38
Para realizar derivadas trigonométricas, muchas veces es necesario recurrir a identidades que facilitan su desarrollo (ver Tabla 10.3).
Tabla 10.3 Identidades trigonométricas
Identidades trigonométricas fundamentales
=
=
=
=
= = =
Ángulos dobles
= =
−
= −
= −
= −
Medio ángulo
= −
=
Suma y resta de ángulos
= o = −
− = − o =
=
− − =
−
10. La derivada
39
Ejemplo 7
Encuentre la derivada de =
Solución
Se utiliza la regla del producto.
[ ] =
Se realizan las derivadas:
= ´ =
= ´ = −
Se forma la derivada:
´ = −
´ = −
Se factoriza la expresión.
´ = −
10. La derivada
40
Eje Ejemplo 8
Encuentre la derivada de:
=
Solución
Utilizando la regla del cociente.
*
+ = −
= ´ =
= ´ = −
´ = − −
´ = −
Agrupando términos semejantes.
´ = −
´ =
Recordemos que =
´ =
10. La derivada
41
Ejemplo 9
Encuentre la derivada de
=
Solución
Se utiliza la regla del cociente, regla del producto e identidad trigonométrica de ángulo doble:
*
+ = −
[ ] =
=
a) Derivada de la función del ángulo doble.
=
Se utiliza la identidad trigonométrica.
= =
Se aplica la regla del producto.
=
10. La derivada
42
´ = [ − ]
´ = [− ]
Se emplea la identidad trigonométrica.
= −
´ = [ − ]
´ = [ ]
´ =
b) La derivada del denominador = , también utilizando la regla del producto.
Aplicando la regla queda:
´ =
c) Finalmente se utiliza la regla del cociente:
*
+ = −
= ´ =
= ´ =
10. La derivada
43
´ = −
Empleando álgebra:
´ = −
´ = − −
Separando en términos:
´ =
−
−
´ =
−
−
Se aplica la identidad = = −
´ = −
−
−
´ =
*
−
+ −
[
] −
*
+
´ =
*
−
+ −
[
] −
*
+
10. La derivada
44
Se suprimen los valores que dan la unidad.
´ =
*
− + −
*
+ −
*
+
Se emplea la identidad trigonométrica de cotangente =
´ =
*
− + −
*
+ −
*
+
´ =
[ − ] −
[ ] −
*
+
Se restan.
´ =
[ ] −
[ ] −
[ ] −
*
+
´ = −
[ ] −
*
+
Se factoriza.
´ = −
(
)
10. La derivada
45
10.2.3 REGLAS DE DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS CON CAMBIO DE VARIABLE
Muchas veces las derivadas trigonométricas involucran algún exponente o algún ángulo doble como se muestra en la siguiente función.
Intentemos derivar
=
No existe alguna identidad que nos facilite la operación por lo que en su lugar se define al ángulo como otra variable que se llamará = , esta nueva variable está en función de x, por lo que es necesario derivar esta nueva variable como du/dx, por lo que la derivada es:
´ = −
Y la parte du/dx
=
=
Se sustituye y
´ = −
Se reacomoda y se tiene:
´ = −
10. La derivada
46
Eje Ejemplo 10
Encuentre la derivada de = .
Solución
Aplicando la regla del producto se tiene:
[ ] =
Primero se deriva , teniendo a = , por lo tanto =
=
´ = −
Sustituyendo el valor de u y de
´ = −
Reacomodando.
´ = −
Se establece que:
= ´ =
= ´ = −
Finalmente se tiene:
´ = −
Se reorganiza
´ = −
10. La derivada
47
Ejemplo 11
Encuentre la derivada de =
Solución
Primero se expresa la potencia de la función trigonométrica para cambiar la variable.
= [ ]
Se cambia la variable por = quedando como:
=
Se deriva la nueva función y se tiene:
´ =
Ahora se deriva = :
=
Se sustituye la variable y en la derivada:
´ =
Finalmente queda:
´ =
𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒏 = 𝒔𝒆𝒏𝒏𝒙
Recuerda que… En una función trigonométrica la potencia se puede escribir de la siguiente forma:
10. La derivada
48
También se puede realizar cambio de variable más de una vez.
Ejemplo 12
Encuentre la derivada de:
= (
)
Solución
Primero se designa =
por lo tanto, en primera instancia nuestra ecuación es:
= La derivada es:
´ =
Ahora se debe de encontrar , para ello se utiliza la regla del cociente:
*
+ = −
La derivada de , requiere nuevamente cambio de variable, por lo que = .
=
Se deriva
´ = −
Se obtiene , si = , entonces:
10. La derivada
49
=
Se especifica la derivada de en términos de x, si = y = .
´ = −
´ = −
´ = −
Ahora se arma la derivada utilizando la regla del cociente con:
= −
= ´ =
= ´ = −
=[ ] − [ − ]
=
Se sustituye el valor de y
´ =
´ = (
)
[
]
10. La derivada
50
10.2.4 REGLAS DE DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Antes de presentar las reglas de las derivadas trigonométricas inversas primero presentaremos el teorema de la función inversa.
La explicación de este teorema es que:
=
Con la relación de un triángulo rectángulo, las funciones trigonométricas y el teorema presentado anteriormente, tenemos las siguientes reglas de derivación:
𝟏 𝑫𝒔𝒆𝒏 𝟏𝒙 =𝟏
√𝟏 − 𝒙𝟐 − 𝟏 < 𝑥 <
𝟐 𝑫𝒄𝒐𝒔 𝟏𝒙 =−𝟏
√𝟏− 𝒙𝟐 − 𝟏 < 𝑥 <
𝟑 𝑫𝒕𝒂𝒏 𝟏𝒙 =𝟏
𝟏 𝒙𝟐
𝟒 𝑫𝒔𝒆𝒄 𝟏𝒙 =𝟏
𝒙 √𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙 >
Definición
𝒇 𝟏 𝒚 =𝟏
𝒇´ 𝒙
Definición Para una función derivable, cumpliendo que 𝑓 ´ 𝑥 0 en un punto donde 𝑦 = 𝑓 𝑥 :
10. La derivada
51
Ejemplo 13
Encuentre la derivada de:
= n √
Solución
Primero se designa = √ por lo tanto, en primera instancia nuestra ecuación es:
= La derivada es:
´ =
Ahora se debe de encontrar , para ello se utiliza la regla de la potencia:
=
=
=
√
Se sustituye el valor de y .
´ =
√
Finalmente:
´ =
√
10. La derivada
52
10.2.5 REGLA PARA LA DERIVADA DE LOGARITMO NATURAL
Esta regla puede combinarse también con cambio de variable cuando se necesite y combinarse con funciones trigonométricas.
Ejemplo 14
Encuentre la derivada de = √
Solución
Se cambia la variable por = √ , por lo tanto, la derivada a resolver es ´ = Aplicando la regla de la derivada de un logaritmo natural se obtiene:
´ =
Ahora la derivada de
=
=
Se sustituye el valor de y
´ =
√ (
) =
√ (
√ )
´ =
𝑫𝒍𝒏𝒙 =𝟏
𝒙
Definición La derivada de un logaritmo natural (𝑙𝑛), considerando que 𝑥 > 0 es:
10. La derivada
53
Ejemplo 15
Encuentre la derivada de:
= ln
Solución
Haciendo un cambio de variable por = , la derivada a resolver es:
= ln .
Resolviendo la derivada se tiene:
´ =
Ahora la derivada de .
=
Se sustituye el valor de y .
´ =
Quedando:
´ =
Se utiliza la identidad trigonométrica de cotangente:
´ =
10. La derivada
54
El uso de las propiedades de los logaritmos también se puede aplicar previamente a la derivación.
Ejemplo 16
Encuentre la derivada de:
= √ −
Solución
Se expresa la raíz como una potencia racional.
= ( −
)
Se aplican las propiedades de los logaritmos:
=
ln ( −
) =
[ln − − ]
=
[ln − − ] =
[ln − − ]
En esta última expresión se utiliza la definición de derivada de un logaritmo
´ =
[
− −
]
𝑙𝑛 = 0 𝑙𝑛𝑎𝑏 = 𝑙𝑛𝑎 𝑙𝑛𝑏
𝑙𝑛𝑎
𝑏= 𝑙𝑛𝑎 − 𝑙𝑛𝑏 𝑙𝑛𝑎𝑟 = 𝑟𝑙𝑛𝑎
Recuerda que… Las propiedades de los logaritmos son:
10. La derivada
55
Ejemplo 17
Encuentre la derivada de:
=
Solución
Esta derivada merece que se ejecute en 3 secciones que tendrán su cambio respectivo de variable y finalmente aplicar la regla del cociente.
Paso 1 Desarrollo de las derivadas del numerador.
𝑦´ =
𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑦´ =
𝑥 𝑥
𝑦´ = 𝑥
𝑥
𝒚´ =𝟑
𝒙
a) 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥
Primero se cambia la variable𝑢 =
𝑥 y la derivada de u queda
𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑥 .
La derivada de 𝑦 = 𝑙𝑛𝑢 es:
Se sustituye el valor de u y
du/dx.
Se realiza álgebra
𝑦´ = 𝑢 𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑦´ = 𝑙𝑛𝑥 (
𝑥)
𝒚´ =𝟑 𝒍𝒏𝒙 𝟐
𝒙
b) 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥
Primero se cambia la variable
𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 y la derivada de 𝑢 es
𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑥
La derivada de 𝑦 = 𝑢 es:
Se sustituye el valor de u y
du/dx.
Reacomodando:
10. La derivada
56
Paso 2 Desarrollo de la derivada del denominador.
= Primero se cambia la variable = y la derivada de u es = −
La derivada de =
´ =
Se sustituye el valor de y
´ = −
Se reacomoda
´ = −
Paso 3 Desarrollo de la derivada usando la regla del cociente.
´ = −
= ´ =
= ´ = −
Se arma la derivada
´ =* (
)+ − [ − ]
Se ordena.
´ =* (
)+ [ ]
10. La derivada
57
10.2.6 REGLA PARA LA DERIVADA DE LOGARITMO DE CUALQUIER BASE
Ejemplo 18
Encuentre la derivada de =
Solución Primero se cambia la variable = y la derivada de es = .
La derivada de = queda como:
´ = ⁄
ln
Se sustituye el valor de y
´ =
ln
Se ordena
´ =
𝑫𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 =𝟏
𝒙 𝟏
𝒍𝒏 𝒂
Definición La derivada de un logaritmo base “𝑎”, 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 es:
10. La derivada
58
10.2.7 REGLA PARA LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Se define la función exponencial como la inversa del logaritmo natural, la función exponencial es por tanto derivable.
Al igual que la derivada de logaritmo natural en la exponencial también existe cambio de variable.
Ejemplo 19 Encuentre la derivada de =
Solución Primero se cambia la variable = y la derivada de u es = .
La derivada de = es:
´ =
Se sustituye el valor de y
´ =
Reacomodando
´ =
𝑫𝒆𝒙 = 𝒆𝒙
Definición La derivada de una función exponencial es la propia función exponencial.
10. La derivada
59
Ejemplo 20
Encuentre la derivada de =
Solución
Se aplica la regla del producto y en cada miembro de la función se hace un cambio
de variable.
Se aplica la regla del producto
[ ] =
Acomodando la función se tiene:
´ = [ ] − [ ]
𝑑𝑢 𝑑𝑥 =
𝑓 ´ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑓 ´ 𝑥 = − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
a) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
Primero se cambia la variable𝑢 =
𝑥
La derivada de 𝑢
La derivada de 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑢:
Se sustituye el valor de 𝑢 y 𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥= 𝑙𝑛𝑥
𝑔´ 𝑥 = 𝑒𝑢𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑔´ 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 𝑒 𝑥𝑙𝑛𝑥
b) 𝑔 𝑥 = 𝑒 𝑥𝑙𝑛𝑥
Primero se cambia la variable𝑢 =
𝑥𝑙𝑛𝑥
La derivada de 𝑢
La derivada de 𝑔 𝑥 = 𝑒𝑢:
Se sustituye el valor de 𝑢 y
𝑑𝑢 𝑑𝑥
10. La derivada
60
Eje Ejemplo21
Encuentre la derivada de:
= √ √ Solución
Se usa la regla de la suma, se realizan las dos derivadas por separado y después se
suman.
a) = √
Primero se cambia la variable = √
La derivada de .
=
La derivada de = .
´ =
Se sustituye el valor de y
´ = √ (
)
´ =
√
√
10. La derivada
61
b) = √
Primero se expresa como potencia.
√ =
Se cambia la variable =
Por lo tanto = , la derivada es:
=
Se sustituye el valor de y
´ = [
]
Aplicando las leyes de los exponentes se tiene:
´ =√
Se suman las derivadas.
´ =
√
√ √
Finalmente se obtiene:
´ =
√ [
√ ] =
√ * √
√ +
Finalmente.
´ = √
√ √
10. La derivada
62
10.2.8 REGLA PARA LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIA
Para una función potencia recordemos que la forma es: = y que ésta se puede representar como un logaritmo de la forma:
= =
Ejemplo 22 Encuentre la derivada de:
= (√ )
Solución
Se aplica la regla de la derivada de la función potencia.
= (√ ) √
𝑫𝒂𝒙 = 𝒂𝒙𝒍𝒏𝒂
Definición La derivada de una función potencia es:
10. La derivada
63
10.2.9 REGLA DE LA CADENA
La regla de la cadena es una generalización del procedimiento del cambio de variable aplicado en la derivada. Este método facilita la solución de la derivada, se menciona en algunos textos que su desarrollo fue pensado para derivar polinomios elevados a exponentes muy grandes.
Por ejemplo, la derivada de:
= 0
Alguien podría proponer el desarrollo del polinomio, lo que es difícil en términos de tiempo y de escritura, ya que se debe de multiplicar 120 veces y después derivar el polinomio resultante. Afortunadamente la regla de la cadena ayuda a escribir rápidamente:
´ = 0
𝒅𝒚
𝒅𝒙=𝒅𝒚
𝒅𝒖
𝒅𝒖
𝒅𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙= 𝒇´[𝒈 𝒙 ][𝒈´ 𝒙 ]
Definición La regla de la cadena para una función diferenciable en 𝑥 y en 𝑢.
O bien si 𝑦 = 𝑓 𝑢 y 𝑢 = 𝑔 𝑥 entonces
10. La derivada
64
Ejemplo 23 Encuentre la derivada de:
=
Solución
Se expresa el cociente utilizando las propiedades de los exponentes como:
=
Ahora es , por lo que aplicamos la regla de la cadena:
=
= − 0
Reacomodamos
´ = −
10.2.10 REGLA DE LA CADENA COMPUESTA
La regla de la cadena puede extenderse a más de una variable, por ello se tiene la regla de la cadena compuesta.
𝒅𝒚
𝒅𝒙=𝒅𝒚
𝒅𝒖
𝒅𝒖
𝒅𝒗
𝒅𝒗
𝒅𝒙
Definición La regla de la cadena para una función diferenciable en 𝑥 y en 𝑢.
10. La derivada
65
Ejemplo 24
Encuentre la derivada de:
= Solución
Se utiliza la regla de la cadena compuesta, por lo que utilizamos la siguiente tabla:
Ahora se conforma la derivada.
´ =
Se sustituyen las funciones de y
´ =
Finalmente se reacomoda.
´ =
Otra forma de ver la regla de la cadena compuesta es la siguiente:
Funciones Derivadas
=
=
=
=
=
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙= 𝒇´[𝒈 𝒙 ][𝒈´ 𝒙 ][𝒉´ 𝒙 ]
O bien si 𝑦 = 𝑓 𝑢 , 𝑢 = 𝑔 𝑣 y 𝑣 = ℎ 𝑥 , entonces
10. La derivada
66
10.2.11 DERIVACION EXPLÍCITA
Otra forma de realizar las derivadas de la regla de la cadena compuesta es desarrollarla de forma explícita, para ello se puede hacer este proceso por etapas, indicando las derivadas que faltan al mismo tiempo que se van elaborando.
Ejemplo 25
Encuentre la derivada de:
= Solución
Vamos de afuera hacia adentro derivando:
´ =
Ahora se deriva la función seno:
´ = o
Se deriva entonces el ángulo de la función:
´ = o
Finalmente se reacomoda.
´ =
10. La derivada
67
10.3 Derivadas de orden superior
La derivada de orden superior no es más que seguir realizando el proceso de derivación, es decir encontrar la primera, segunda, tercera, etc. derivada de una función, la siguiente tabla ejemplifica las diferentes notaciones para las derivadas de orden superior (ver Tabla 10.4).
Tabla 10.4 Notaciones para las derivadas de orden superior
Derivada ´ ´
Primera ´ ´
Segunda ´´ ´´
Tercera ´´´ ´´´
Cuarta ´´´´ ´´´´
Quinta
n- ésima
10. La derivada
68
Aunque la notación de Leibniz es más complicada, se prefiere en muchos estudios matemáticos, por ejemplo, para la segunda derivada se escribe:
(
) =
Eje Ejemplo 26
Encuentre la tercera derivada de:
= − − Solución
Se realiza la primera derivada:
´ = −
La segunda derivada.
´´ = −
Y finalmente la tercera derivada
´´´ =
Eje Ejemplo 27
Encuentre la tercera derivada de:
= Solución
Para la primera derivada se tiene:
´ = −
10. La derivada
69
La segunda derivada.
´´ = −
Y finalmente la tercera derivada.
´´´ = −
Esta derivada se puede generalizar como:
´´´ = −
Como se ve, se puede generalizar la derivación implícita. En el siguiente ejercicio veamos cómo se ejecuta con una derivada más complicada.
Eje Ejemplo 28
Encuentre la tercera derivada de la siguiente función:
=
−
Solución
La regla de derivación que se utilizará es la del cociente:
´ = −
Para la primera derivada se tiene:
= ´ =
= − ´ =
10. La derivada
70
´ = − −
−
´ = − − −
−
´ =− − −
−
La segunda derivada.
´´ = −
Se tiene:
= − − − ´ = − −
= − ´ = −
´´ =[ − − − ] − [ − − − − ]
[ − ]
Se factoriza −
´´ = − [ − − − − − − − ]
−
´´ =[ − − − − − − − ]
−
10. La derivada
71
´´ = − −
−
´´ =
−
La tercera derivada.
´´´ = −
Se tiene:
= ´ =
= − ´ = − = −
´´´ =[ − ] − [ − ]
[ − ]
Se factoriza − .
´´´ = − [ − ] − [ ]
−
´´´ =− − − − −
−
72
Ejercicios de refuerzo UNIDAD 10 LA DERIVADA
− = −
− = −
− =
− = √
− =
− =
− =
− =
𝑓 ´ 𝐴 = limℎ→0
𝑓 𝐴 ℎ − 𝑓 𝐴
ℎ
I. Encuentre la derivada que se indican en el punto 𝒙 = 𝟐, utilizando la
definición básica.
10. La derivada
73
− = −
0 − =
√
II. Utilice las reglas de derivación
para las siguientes funciones
algebraicas.
− =
− = √
− =
− = −
− =
− = − − −
− =
− = −
− =
0 − =
−
√
− = − −
− = −
− = − −
− =
− =
−
− = −
−
− =
−
− =
− = −
−
0 − = √
−
III. Utilice las reglas de derivación
para las siguientes funciones
trigonométricas.
− = −
− =
− =
− =
10. La derivada
74
− =
− =
−
− =
− =
− =
0 − = −
− =
− = (
)
− =
− = −
− =
−
− = −
− =
− =√
√
− = √
0 − =
− =
− = √
− =
− =
− =
− = (
)
− = √
− = (
)(√
)
− =
0 − =
10. La derivada
75
IV. Utilice la regla de la cadena para
encontrar la derivada.
− = −
− = −
− = −
− =
√ − −
− = [ ]
− = (
)
− =
− = ( −
)
− = ( −
)
0 − = (
)
− =
−
− = −
−
− = −
−
− =
− = *
√ +
V. Utilice la regla de la cadena
compuesta para encontrar la
derivada de las siguientes
funciones.
− =
− = −
− = (
− )
− =
0 − =
− = [ o ]
10. La derivada
76
− = [ n ]
− = [ n (
)]
VI. Derive las siguientes funciones
logarítmicas.
− = ln −
− = √
− = ln
− =
− =
− = √
0 − =
− ln (
)
− = √
− = ln ( − √ )
− = ln
− = ln (
)
− =
VII. Utilice las propiedades de los
logaritmos para desarrollar las
siguientes derivadas.
− = ln
− = √ −
− =
− = ( −
)
00 − = √ −
√ −
0 − =
0 − = √
10. La derivada
77
VIII. Derive as siguientes
funciones exponenciales.
0 − =
0 − = √
0 − =
0 − =
0 − =
0 − = √ − √
0 − =
0 − = ⁄
− =
− =
− =
− = √
− = √
− =
− =
− =
− =
0 − =
IX. Realice la tercera derivada para
las siguientes funciones.
− = − −
− = −
− =
− =
− =
− =
−
− =
− =
− =
0 − =
10. La derivada
78
11. Derivada implícita
79
Capítulo once
Derivada implícita
Una función implícita puede representar a
funciones de más de una variable
independiente y a más de una función.
Una derivada implícita
se asemeja a una
reacción química
simultánea y paralela,
donde el reactante
participa en varias
reacciones químicas,
en nuestro caso el
reactante representa
la operación de
derivar.
“De una presentación intrincada a una solución sencilla es la sorpresa que entrega
la derivada implícita”.
11. Derivada implícita
80
11.1 Definición de una función implícita
Existen funciones que presentan una gran dificultad para dejarla en términos de una
sola variable; es decir no se puede despejar a una variable de la otra para realizar el
proceso de derivación.
La siguiente ecuación es un ejemplo de una
función explicita:
= −
Donde la función está en términos de , que
es la variable independiente, lo que hace que
la función sea clara y detalla la relación de
estas variables.
Por otro lado, también existen funciones que
no se pueden expresar de esta manera como
la siguiente ecuación:
=
El tratar de despejar cualquiera de las dos variables, no es tan sencilla, debido a que una variable está en función de otra variable y viceversa. La derivada implícita tiene que ver con derivar ambas variables al mismo tiempo, lo que se puede ejemplificar como la ama de casa que realiza dos quehaceres simultáneamente.
𝑓 𝑥 𝑦 = 0
Definición Una función se llama implícita cuando se define de la forma:
11. Derivada implícita
81
Ejemplo 1 De las siguientes funciones indique si son funciones explicitas o implícitas.
= −
=
= √ −
− − − = 0
Solución
= −
Primero se despeja alguna de las variables, se escoge y debido a que es lineal el
exponente.
= −
Se despeja a y.
− =
En esta función se pudo separar la variable en un lado y en otro lado de la
igualdad, por lo tanto es una función explícita.
=
Se divide la ecuación entre .
=
=
11. Derivada implícita
82
Se despeja a
=
Por lo tanto, es una función explícita.
= √ −
Se despeja a .
Se eleva al cuadrado ambos miembros de la función.
(
)
= (√ − )
= −
= −
De cualquier manera, que se trate de despejar a x o y, no se logra expresar la función
en términos de una sola variable, es decir tener a de un lado de la igualdad y a
del otro lado. Por lo tanto, se tiene una función implícita.
− − − = 0
Se agrupan las variables para factorizar.
− = − −
− = − −
Como se aprecia en la ecuación, no se logra establecer la separación de variables.
Por lo tanto, es una función implícita.
11. Derivada implícita
83
Pasos para derivar funciones implícitas:
1. Derivar ambos miembros de la igualdad, aplicando las reglas vistas con
anterioridad.
2. Despejar 𝑑𝑦 𝑑𝑥
Agrupar los términos de la función de acuerdo a su derivada.
Factorizar en el lado izquierdo a 𝑑𝑦 𝑑𝑥
Despejar a 𝑑𝑦 𝑑𝑥
Recuerde, tener cuidado de tratar a la variable dependiente y, exactamente
como una variable.
11.2 Métodos de derivación implícita
Los métodos que se emplean para encontrar la derivada implícita es a través de la separación de términos y del método del cociente.
11.2.1 MÉTODO DE SEPARACIÓN DE TÉRMINOS
Para desarrollar la derivada implícita se deberá de recurrir a las reglas ya vistas (regla
de la potencia, cociente, producto, de la cadena, cambio de variable y
trigonométricas) para derivar ambos miembros de la igualdad y finalmente despejar
a ; que es la derivada de la función , veamos esto en el siguiente recuadro.
11. Derivada implícita
84
Ejemplo 2
Derive la siguiente función − =
Solución
Se derivan ambos miembros de la función.
−
=
Es decir:
−
=
Se factoriza .
− =
Se despeja .
=
−
La derivada es:
´ =
−
Se lleva a la mínima expresión.
´ =
−
Finalmente:
´ =
−
11. Derivada implícita
85
Demostración
Como ya se mencionó, la derivación implícita se utiliza cuando la variable
dependiente no se puede despejar, pero podemos tener una función explicita
aplicando el método de la derivación implícita, para ver que esto es equivalente.
Encontrar la derivada de la siguiente función.
− = −
Primero se despeja la variable dependiente.
− = −
= −
−
Se deriva utilizando la regla del cociente.
´ = −
Para la primera derivada se tiene:
= − ´ =
= − ´ =
´ = − − −
−
´ = − −
−
´ = −
−
11. Derivada implícita
86
Ahora se desarrolla la derivada implícita.
− = −
Se realiza regla del producto en el lado izquierdo de la ecuación.
− = −
−
=
Se agrupan términos.
−
=
−
Se factoriza
− = −
Se despeja
= −
−
Finalmente, la derivación implícita de la función es:
´ = −
−
Las ecuaciones encontradas lucen diferentes:
Derivación explícita Derivación implícita
´ = −
− ´ = −
−
11. Derivada implícita
87
Para realizar la demostración se utiliza la derivada encontrada por el método
implícito.
´ = −
−
Se sustituye el valor de de la ecuación original y se sustituye en la derivada
encontrada por el método implícito.
´ = − (
)
−
Se realiza álgebra.
´ = − (
)
−
Resolviendo la fracción superior.
´ =
−
´ = − − −
−
´ = − −
−
´ = −
−
Como se ve, se llegó a la misma ecuación encontrada por el método explícito.
11. Derivada implícita
88
Ejemplo 3 Derive la siguiente función − = 0
Solución
Se derivan ambos miembros de la función.
− = 0
Es decir.
−
= 0
−
= 0
Se factoriza
− = 0
Se despeja .
=−
−
Finalmente, la derivada es:
´ =
−
11. Derivada implícita
89
Eje Ejemplo 4
Derive la siguiente función − =
Solución
Se derivan ambos miembros de la función.
− =
1.- Se desarrollan cada una de las derivadas, se inicia con .
=
2.- Ahora se utiliza regla del producto para .
=
=
=
3.- Se continua con la derivada de , primero se deriva la función trigonométrica con cambio de variable.
=
11. Derivada implícita
90
Para derivar el ángulo de se utiliza la regla del producto.
=
=
=
Esta derivada queda como:
= −
Ahora se sustituye y .
= − (
)
4.- Finalmente la derivada de .
= 0
Ahora se unen las derivadas.
− (
) − (
) = 0
−
− −
− = 0
Se reorganiza.
−
− −
− = 0
11. Derivada implícita
91
Se factoriza
− − − − = 0
Se despeja .
=
− −
La derivada queda como:
´ =
− −
11.2.2 MÉTODO DEL COCIENTE
Otra manera de realizar la derivada implícita es mediante el cociente de las
diferenciales, es decir se deriva la función en términos de una variable y después en
función de otra variable y se desarrolla algebraicamente el cociente.
𝑓 ´ 𝑥 = −𝑑𝑓 𝑑𝑥
𝑑𝑓 𝑑𝑦
Definición La derivada implícita mediante el método del cociente es:
11. Derivada implícita
92
Eje Ejemplo 5 Derive la siguiente función utilizando el método del cociente:
= 0
Solución
Primero se deriva la función en términos de , por lo que la variable se considera
una constante, la función se expresa de la siguiente forma:
= (
)
= (
) −
=
−
=
−
Se expresa el cociente con un denominador común
= −
Ahora la función original se deriva en términos de , manteniendo constante .
= (
)
= −
11. Derivada implícita
93
= −
Es decir:
=
−
Se expresa el cociente con un denominador común.
= −
Finalmente se realiza el cociente.
´ = −
´ = −
Se realiza la regla de las fracciones, que es multiplicar los extremos para conformar
el numerador y multiplicar los medios para establecer el denominador.
´ = − −
−
Se realiza.
´ = − −
−
Finalmente se tiene:
´ = − −
−
94
Ejercicios de refuerzo UNIDAD 11 DERIVADA IMPLÍCITA
I. Clasifique las siguientes funciones como explícitas o implícitas
−
− = 0
− − = 0
− − = 0
− = 0
− = 0
− − = 0
− − = 0
= 0
− − = 0
−
− = 0
11. Derivada implícita
95
I. Derive las siguientes
funciones implícitas, por el método
de separación de variables.
=
=
− =
=
− = 0
− = 0
− = 0
√ − = 0
√ − − = 0
0
− √
− = 0
− − = 0
o − − = 0
n − = 0
− − √ = 0
− = 0
− − = 0
− −
− − = 0
0 − √
II. Derive las siguientes
ecuaciones implícitas utilizando el
método del cociente.
− = 0
= 0
= 0
−
− = 0
= 0
= 0
−
= 0
= 0
0
−
= 0
11. Derivada implícita
96
12. Máximos y mínimos
97
Capítulo doce
Máximos y mínimos
En el estudio de máximos y mínimos es
imprescindible el uso de las herramientas del
cálculo diferencial, ya que la derivada es el
primer paso para lograr encontrar estos puntos
La idea matemática de
una curva que presenta
un máximo y un
mínimo, se puede ver
como el consumo de
sustrato por algún
organismo es un
ejemplo de la aplicación
de las derivadas a la
química.
“Los dos extremos como el bien y el mal pueden ser unidos por el cálculo diferencial”
Fotografía de Paul Myers-Bennett.
12. Máximos y mínimos
98
12.1 Concepto de máximos y mínimos y puntos de inflexión
Como se ha visto cuando se calcula la derivada, se está hallando la tangente, ésta representa un cambio en la posición de la variable, como por ejemplo con respecto al tiempo; en química este concepto se aplica a la obtención de productos. A través de la derivación, se puede encontrar el momento donde se halle el punto máximo o el punto mínimo de la función (ver Figura 12.1). Por lo tanto, se puede encontrar el instante en que una reacción química genera la mayor cantidad de producto, así como el momento en que ésta proporciona la mínima cantidad de producto. Este punto se encuentra cuando la pendiente de la línea tangente a la gráfica es cero.
Si tenemos una curva, cuya
función tiene un dominio en S, solo queda preguntarnos por: 1.- ¿La función tiene un punto máximo o mínimo? 2.- ¿Si existe un punto máximo o mínimo, en qué lugar se encuentra?
Figura 12.1 Curva que presenta un máximo y un mínimo
12. Máximos y mínimos
99
Para encontrar un máximo o un mínimo en una función, se debe cumplir la siguiente definición:
Cuando se buscan los puntos máximos y mínimos de una función, debemos
encontrar los puntos críticos (puntos frontera, singulares y estacionarios) ver Figuras
12.2, 12.3, 12.4 y 12.5.
Figura 12.2 Puntos críticos dentro de una función
Puntos frontera
Es el intervalo donde se va a maximizar o a
minimizar una función, estos extremos
pueden ser con intervalos cerrados o
abiertos (ver Figura 12.3).
Puntos críticos
Estacionario Singular Frontera
Definición Sea c, un punto en el dominio S de 𝑓, se dice que:
1. 𝑓 𝑐 es un valor máximo de 𝑓, si 𝑓 𝑐 ≫ 𝑓 𝑥 .
2. 𝑓 𝑐 es un valor mínimo de 𝑓, si 𝑓 𝑐 ≪ 𝑓 𝑥 .
3. 𝑓 𝑐 es un valor extremo de 𝑓 en S, si es un máximo o mínimo.
Con la condición de que la función 𝑓, sea continua en un intervalo cerrado, para la
existencia de máximos o mínimos.
Figura 12.3 Puntos frontera
12. Máximos y mínimos
100
Puntos estacionarios
Son los puntos en donde la tangente
de la gráfica se hace horizontal, es
decir la pendiente es cero (ver Figura
12.4) se puede decir que existe una
inflexión en la curva en este punto.
Puntos singulares
Cuando existe un “salto” en la gráfica o
una tangente a la curva vertical, se le
conoce como punto singular, es raro en
la práctica, pero por ejemplo en una
curva de titulación, al monitorear el pH
en una reacción de neutralización se
puede observar una tangente con
pendiente vertical (ver Figura 12.5).
El uso y conocimiento de los puntos críticos, conduce al siguiente teorema:
Figura 12.4 Puntos estacionarios
Definición Teorema del punto critico
Si f es definida en un intervalo S, que contiene a c, solo podrá ser:
1. Un punto frontero de S.
2. Un punto estacionario de f, que se cumple cuando 𝑓 ´ 𝑐 = 0.
3. Punto singular de 𝑓 en el que 𝑓 ´ 𝑐 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
Figura 12.5 Puntos singulares
12. Máximos y mínimos
101
12.2 Criterios de la primera y segunda derivada para determinar máximos y mínimos
Para determinar si existe un máximo o un mínimo, es necesario encontrar los puntos
críticos de la función esto se estudia con el criterio de la primera derivada.
12.2.1 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
El criterio de la primera derivada sigue los siguientes pasos:
1. Se deriva la función.
2. Se iguala la derivada encontrada a cero.
3. Se despeja el valor de .
4. Se evalúa la función con estos valores y se determina si es máximo o
mínimo.
Eje Ejemplo 1 Encuentre los puntos críticos de la función = − , sobre el intervalo [− ].
Solución
1) Se tiene que los extremos son los primeros puntos críticos, ya que estos son
los puntos frontera.
2) Se deriva la función obteniendo: ´ = −
3) Se iguala a cero la derivada: − = 0
12. Máximos y mínimos
102
Se factoriza y se calculan las raíces de la derivada:
− = 0
= 0 =
Los puntos críticos de la función son:
(− 0
)
Finalmente se evalúa la función en cada punto crítico:
− =
0 = 0
(
) = 0
= −
Se grafican los puntos críticos para construir la gráfica.
El máximo de la función es 5, que se obtiene con = − y el mínimo es − que se
obtiene con = , coincide con los puntos frontera.
12. Máximos y mínimos
103
Figura 12.6 Crecimiento y decrecimiento
de una función
Debido a que la derivada representa la tangente, se puede decir que la derivada
relaciona el crecimiento o decrecimiento de una función.
Considere la siguiente gráfica,
considerando el teorema
anterior, se puede observar que
de la izquierda hacia la derecha
hasta llegar al punto “ ”, la
función decrece, por lo que la
derivada en este intervalo es
menor a cero y del punto “ ”
hacia la derecha la derivada en
este intervalo es creciente.
Recuerda que… Si la pendiente es:
Positiva, la función es creciente. Negativa, la función es decreciente
Definición Teorema de la primera derivada
𝑓 ´ 𝑥 > 0 La función es creciente
𝑓 ´ 𝑥 < 0 La función es decreciente
12. Máximos y mínimos
104
Ejemplo 2 Encuentre donde es creciente y en donde decreciente la función:
=
− −
Solución
Primero se deriva la función:
´ = − 0 −
Ahora se factoriza y se iguala a cero.
− 0 − = 0
− − = 0
− = 0 Se tiene que los puntos − son estacionarios.
Se grafica la función evaluando en
la ecuación original estos puntos.
− =
= −
Al analizar la gráfica se tiene que:
[− − ] Es creciente
− Es decreciente
[ ] Es creciente
12. Máximos y mínimos
105
12.2.2 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Recuerde que la primera derivada, proporciona la pendiente de la recta tangente de
la función, la segunda derivada proporciona la concavidad de una función (ver Figura
12.7).
Figura 12.7 Recorrido que hace la tangente en una gráfica, a) cóncava hacia arriba
y b) cóncava hacia abajo.
Por lo tanto, se puede establecer el teorema de concavidad:
Una vez encontrada la segunda derivada se plantea la desigualdad a la que se le dará
solución.
Definición Teorema de la segunda derivada
𝑓 ´´ 𝑥 > 0 La función es cóncava hacia arriba
𝑓 ´´ 𝑥 < 0 La función es cóncava hacia abajo
12. Máximos y mínimos
106
Ejemplo 3 De la siguiente función, aplique el criterio de la primera y la segunda derivada.
=
− −
Solución
Primero se obtiene la primera derivada.
´ =
− −
Se iguala a cero
− − = 0
Las raíces que dan solución a la ecuación son:
0 − = 0 Los puntos estacionarios son:
−0
Con esto se construye la recta numérica para verificar si es creciente o decreciente,
basta con evaluar con un valor antes de -0.67, otro entre -0.67 y 2 y finalmente un
valor después de 2, por lo que se escoge.
− = 0
−0 =
=
= 0
=
− −0 ] −0 [
Valor de la derivada
Creciente Decreciente creciente
12. Máximos y mínimos
107
Ahora se obtiene la segunda derivada de
´ =
− −
´´ = −
Para ver la concavidad se aplica la desigualdad por lo que es cóncava hacia abajo
para − < 0, por lo que los valores que satisfacen dicha desigualdad son:
<
Es cóncava hacia arriba para − > 0, los valores que satisfacen la desigualdad
son:
>
Finalmente se puede decir que es:
Cóncava hacia abajo en (−
) y n i i n (
).Los valores
críticos, así como la concavidad se presentan en la siguiente figura.
12. Máximos y mínimos
108
12.3 Aplicaciones de los máximos y mínimos
Las aplicaciones para maximizar o minimizar funciones son muy variadas por
ejemplo en química una de sus principales aplicaciones radica principalmente en
encontrar matemáticamente el volumen máximo de un reactor de acuerdo con un
área específica, la conducción de fluidos a través de canales con diferentes
geometrías a la sección transversal de un tubo, los fluidos que ingresan o se eliminan
del cuerpo humano, etc.
Eje Ejemplo 4 Exprese la variación de la concentración de las especies presentes en la siguiente
reacción:
→
Solución
Primero se balancea la reacción
→
El ácido clorhídrico y el hidróxido de aluminio se consumen conforme transcurre el
tiempo para producir cloruro de aluminio y agua. Por lo tanto, se puede escribir el
consumo del ácido clorhídrico respecto al tiempo como:
= [ ]
= [ ]
= [ ]
12. Máximos y mínimos
109
Ejemplo 5
Encuentre la máxima acidez tolerable por una cepa de Lactobacilluscasei (L. casei),
cuyo crecimiento se ajusta a la siguiente ecuación.
= −0 00 − 0 00
Donde
C Número de células de L.casei 0 D Grados Dornic (°D)
Solución
Primero se deriva la función:
= −0 00 − 0 00
´ = −0 0 − 0
Ahora se iguala a cero.
−0 0 − 0 = 0
0 𝑔𝑟 𝑑𝑒 á𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑙á𝑐𝑡𝑖𝑐𝑜
𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎= °𝐷
Recuerda que… El grado Dornic (°D), expresa el contenido de ácido láctico en una muestra.
12. Máximos y mínimos
110
Las raíces que dan solución a la ecuación cuadrática son:
− − 0 = 0 Se tiene que los puntos 0 , son estacionarios.
Se evalúa estos valores críticos en la ecuación original para determinar ¿Cuál es un
máximo? y ¿Cuál es un mínimo?
Para el mínimo:
= − 0
Para el máximo
0 =
Por lo tanto, la máxima acidez tolerable por la bacteria L. casei,es de 102.289 °D.
Finalmente esto es:
0 ° (
0
° ) = 0
á á
En conclusión, después de los 10.2 gr de ácido láctico por litro de disolución,
comienza la fase de muerte celular y la cantidad UFC de L. casei decae.
12. Máximos y mínimos
111
Eje Ejemplo 6 El tiempo de anticoagulación de una serie de fármacos en función del peso
molecular, está definida por la siguiente ecuación:
= 0 − 0 00
Dónde:
Es el tiempo en horas Es el peso molecular en Dalton Encuentre el tiempo mínimo para la acción del anti coagulante y ¿Cuál es el peso
molecular del fármaco?
Solución
Primero se deriva la función para encontrar el mínimo.
´ = 0 − 0 00
Se iguala a cero para conocer el valor del peso molecular del fármaco.
0 − 0 00 = 0
=0 00
0
=
Finalmente se sustituye este valor en la ecuación original y se obtiene el tiempo en
el que el fármaco efectúa la anticoagulación.
= 0 000 − 0 00 000
=
12. Máximos y mínimos
112
Ejercicios de refuerzo UNIDAD 12 MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Resuelva los siguientes ejercicios
1.- La producción de cierta sustancia
química sigue el siguiente modelo
matemático:
=
−
0
Dónde:
Producción (Ton/sem).
Costo (miles de $).
Determine la producción máxima de
la sustancia química.
2.- Una cierta población fue azotada
por una epidemia, cuya dispersión de
la enfermedad puede ser
representada por la siguiente
expresión:
=
Dónde:
Número de pacientes.
Constantes.
Tiempo (días).
Determine la máxima velocidad de
dispersión de la epidemia.
12. Máximos y mínimos
113
3.- Un kilogramo de agua ocupa cierto
volumen; encuentre el máximo
volumen que ocupará, utilizando la
siguiente expresión matemática que
es válida en un intervalo de
temperaturas de 0 a 10 °C:
= 0 0
− 0 Encuentre la temperatura para el volumen mínimo. 4.- Según la INEGI La evapotranspiración real media anual se puede obtener a través de la siguiente ecuación:
=
√0
Dónde: Precipitación (mm/año). Evapotranspiración (mm/año). Indicador de Temperatura
media anual, que se calcula con:
= 00 0 0
Donde es la temperatura media anual (mm/año).
5.- Se sabe que la evapotranspiración es la cantidad de agua que se regresa
a la atmósfera por evaporación y por la transpiración de las plantas; encuentre la cantidad máxima de evapotranspiración para las diferentes localidades de Sonora:
Localidad Temperatura media
anual(°C)
El cajón 21.85
Rayón 22.26
Meresichic 18.97
Curcurpe 19.5
Rancho la Aquituna
20.3
Fuente: Heras Sánchez, 2013
5.- Después de la ingesta de alimento la cantidad de Glucosa en la sangre tiende a elevarse, una aproximación para una persona sana es la siguiente ecuación: = − 0
Dónde: Cantidad de glucosa en la
sangre (mg / 100 mL). Tiempo (horas). Encuentre en qué momento se tiene la mayor cantidad de glucosa en la sangre, después de la ingesta, así como la cantidad.
12. Máximos y mínimos
114
6.- La solubilidad es la cantidad de sustancia que se puede disolver a una temperatura dada en un disolvente (normalmente agua). Encuentre la temperatura máxima para la solubilidad del CuSO4, utilizando la siguiente aproximación matemática:
= −0 0 0 − Dónde: Solubilidad (g/100 ml). Temperatura (°C) 7.- La conductividad térmica es la capacidad que poseen los metales de conducir el calor. Para cierta cantidad de elementos se puede representar la conductividad térmica en función del número atómico, siguiendo la siguiente expresión: = 0 − 0
− Dónde: Número atómico (Número de
protones). Conductividad térmica
(W/mK) Encuentra:
a) ¿Qué elemento presenta la máxima conductividad térmica?
b) ¿Cuál es el valor de la máxima conductividad térmica?
c) ¿Qué elemento tiene la menor conductividad térmica?
d) ¿Cuál es el valor de la máxima conductividad térmica?
8.- La entalpía de atomización se define como la energía que se necesita para producir una mol en estado gaseoso de un elemento en condiciones estándar, la ecuación que se presenta modela algunos elementos de manera aproximada, en donde la entalpía de atomización está en función del número atómico, prediga que elemento necesita más energía para dicho proceso. = −
− Dónde: Número atómico (Número de
protones). Entalpía de atomización
(KJ/mol). 9.- La densidad es la relación que existe entre la masa y el volumen, para algunos elementos de la tabla periódica esta propiedad se puede representar con la siguiente ecuación matemática:
12. Máximos y mínimos
115
= − 0 0 − Dónde: Número atómico (Número de
protones). Densidad del elemento
(kg/m3) Encuentre ¿Qué elemento definido dentro de este modelo tiene mayor densidad? 10.- El crecimiento de la bacteria photobacteriumphosphoreumes responsable del deterioro de algunos productos pesqueros en condiciones anaerobias. La ecuación que representa el crecimiento de esta bacteria como una función de la temperatura es la siguiente:
= 0 00 0 00 0 0 Dónde: µ Crecimiento de
photobacterium en un medio complejo.
Temperatura (°C). Encuentre la temperatura en el que la bacteria tiene un crecimiento máximo.
11.- La incorporación de cloro al agua para realizar la desinfección, es un procedimiento usual; esto hace que reaccione el cloro con las distintas sustancias que tiene el agua como el hierro, manganeso, nitritos, etc una vez que todos han reaccionado, el cloro que queda se le conoce como cloro libre residual, que es el que actúa realmente como desinfectante, un modelo matemático que establece la relación entre el cloro libre residual ( ) en función del cloro aplicado
( ) es: [ ] = 0 0 [
]
− 0 [ ]
0 0[ ]
− 0 [ ]
Dónde: [ ] Cloro libre residual (mg/L). [ ] Cloro aplicado (mg/L). Encuentre la cantidad mínima de cloro en el que se tiene la máxima formación de cloro libre residual.
12. Máximos y mínimos
116
117
Capítulo trece
Razón de cambio y diferenciales
La modificación de una magnitud o cantidad
respecto al tiempo nos indica una razón de
cambio, en la vida cotidiana podemos ver esta
razón de cambio como un crecimiento o
desarrollo respecto al tiempo.
La tasa de cambio de un
producto derivado de
una reacción química, la
podemos ver en
laboratorio en la
formación de algún
precipitado que
aparece, aunque
muchas veces estas
razones de cambio sólo
se logran monitorear
con un cambio
progresivo de pH o de
potencial eléctrico.
“Conocer el cambio, la evolución y modificación es la mansedumbre de las
matemáticas”
13. Razón de cambio y diferenciales
118
13.1 Razón de cambio y diferenciales La derivada es una razón de cambio instantáneo con respecto a la variable ,
en general una razón de cambio indica cuán rápido cambia la cantidad.
Por ejemplo, en la siguiente reacción:
→
Reacciona una molécula de hidróxido de aluminio
[ ] con tres de ácido clorhídrico [ ];
para producir una de cloruro de aluminio[ ] y
tres moléculas de agua. Para el consumo del ácido
clorhídrico se tiene:
= −
Significa que el ácido clorhídrico (reactivo) disminuye o se consume (signo negativo)
a una razón de 3 moles por unidad de tiempo (para el caso de un producto, el signo
de la razón de cambio es positivo).
13.2 Aplicaciones de razón de cambio y diferenciales
Para resolver los problemas que tengan razones de cambio, se debe seguir el
siguiente procedimiento:
´
13. Razón de cambio y diferenciales
119
Eje Ejemplo 1
En una expansión adiabática del aire, la presión y el volumen se relacionan con
= , en cierto momento la presión es de 1500 lb/in2 y el volumen de 60 in3,
encuentre la razón de cambio de la presión en el instante en que el volumen
disminuye a razón de 2 in3/s.
Solución
El desarrollo de los pasos para resolver el ejercicio es:
1. Lea varias veces el problema con cuidado.
2. Identifique las variables del problema y asígnele una letra.
3. Escriba las razones de cambio que se proporcionan y use la derivada de
la razón que se desea encontrar.
4. Escriba una ecuación o función que relacione todas las variables.
5. Diferencie respecto al tiempo.
1. Traducción:
𝑃 − 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖 𝑛 (𝑙𝑏
𝑖𝑛 )
𝑉 − 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑖𝑛
𝑡 − 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑠
2. Identifique las variables del
problema y asígnele una letra.
𝑑𝑉
𝑑𝑡=
𝑖𝑛
𝑠
𝑑𝑃
𝑑𝑡 𝑃= 00 𝑉= 0
=?
3. Escriba las razones de cambio que
se proporcionan y use la derivada
de la razón que se desea encontrar.
𝐾 = 𝑃𝑉
4. Escriba una ecuación o función
que relacione todas las
variables.
13. Razón de cambio y diferenciales
120
5. Diferencie respecto al tiempo.
5.1 Primero se calcula la constante bajo las condiciones de volumen y presión.
=
= 00 0
=
Ahora se despeja la variable P de la ecuación original.
=
5.2 Se diferencia respecto al tiempo.
( = )
=
= (−
)
Acomodando se tiene:
= − (
)
Se sustituyen lo valores.
= − (
)
0
= −
13. Razón de cambio y diferenciales
121
Ejemplo 2
Según estudios de alometría el peso del cerebro de cierta especie de pez, está
relacionada con su peso corporal por la siguiente expresión: = 0 00 y el
peso corporal con la longitud según la ecuación: = 0 , en donde y está
en gramos y L en centímetros. Suponga que la longitud del pez aumentó a una razón
constante desde los 12 cm hasta los 20 cm en un periodo de 25 millones de años. ¿A
qué razón se desarrolló el cerebro del pez, cuando estaba a la mitad del peso
corporal final?
Solución
El desarrollo de los pasos para resolver el ejercicio es:
1.- Leer el ejercicio, con lo que se
plantea el siguiente dibujo:
𝐸 − 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑟𝑒𝑏𝑟𝑜 𝑔𝑟
𝑃 − 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜𝑟𝑎𝑙 𝑔𝑟
𝐿 − 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑐𝑚
𝑡 − 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑚𝑖𝑙𝑙 𝑛 𝑑𝑒 𝑎ñ𝑜𝑠
2.- Identifique las variables del
problema y asígnele una letra.
𝑑𝐿
𝑑𝑡=
𝑐𝑚
𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎ñ𝑜𝑠
𝑑𝐸
𝑑𝑡 𝑃=
𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
=?
3.- Escriba las razones de cambio
que se proporcionan y use la
derivada de la razón que se desea
encontrar. 𝐸 = 0 00 𝑃
𝑃 = 0 𝐿
4. Escriba una ecuación o función
que relacione todas las
variables.
13. Razón de cambio y diferenciales
122
5. Diferencie respecto al tiempo.
5.1 Primero se obtiene el peso corporal final, que es cuando mide 20 cm.
= 0 0 =
5.2 Ahora este peso se divide entre dos de acuerdo con la pregunta y se obtiene
la longitud con este peso obtenido.
=
= 0
La longitud para este peso es:
0 = 0 =
5.3 Se realiza álgebra para sustituir el peso corporal en la ecuación del peso del
cerebro.
= 0 00 0
5.4 Se diferencia respecto al tiempo.
= 0 00
0
Se utiliza regla de la cadena.
= 0 00 (
) (0
)
[0 (
)
]
Se sustituyen lo valores.
= 0 00 (
) (0
)
[0 (
)
(
)]
=
13. Razón de cambio y diferenciales
123
Eje Ejemplo 3
Un mezclador, alimenta un horno para producir un material cerámico (MgAl2O4), los
reactivos son MgO y Al2O3 dispuestos en una tolva cada uno; respecto al Al2O3, se
forma un montículo de forma cónica en donde la base y la altura son iguales, se sabe
que el volumen disminuye a razón de 1m3/min. Calcule la rapidez de variación de la
longitud de sus lados, cuando ésta es de 3 metros. Suponga que las dimensiones de
sus lados se mantienen iguales en todo momento.
Solución
El desarrollo de los pasos para resolver el ejercicio es:
1.- Leer el ejercicio, con lo que se
plantea el siguiente dibujo:
𝑉 − 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑐𝑚
ℎ − 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑐𝑚
𝑟 − 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑐𝑚
𝐿 − 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑐𝑚
𝑡 − 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑚𝑖𝑛
2.- Identifique las variables del
problema y asígnele una letra.
𝑑𝑉
𝑑𝑡= − 𝑚
𝑚𝑖𝑛
𝑑𝐿
𝑑𝑡 𝐿= 𝑚
=?
3.- Escriba las razones de cambio
que se proporcionan y use la
derivada de la razón que se desea
encontrar.
𝑉 =
𝜋𝑟 ℎ
𝑟 =
𝐿
4. Escriba una ecuación o función
que relacione todas las
variables.
13. Razón de cambio y diferenciales
124
5. Diferencie respecto al tiempo.
5.1 Primero se expresa la ecuación del volumen en términos de la longitud,
debido a que es un triángulo equilátero se puede escribir:
=
Ahora se expresa la altura en términos de , utilizando el teorema de
Pitágoras.
= ℎ
= (
)
ℎ
ℎ = − (
)
ℎ = −
ℎ =
ℎ = √
=√
Se sustituye ℎ y en la ecuación de volumen.
=
ℎ
=
(
) √
𝐿
𝑟
ℎ
13. Razón de cambio y diferenciales
125
=
(
) √
=√
Ahora se deriva la ecuación con respecto al tiempo.
=√
(
)
=√
(
)
=√
5.2 Ahora se despeja
=
√
5.3 Se sustituyen lo valores.
] = 00
=
√ ( 00
) ( 00 000
)
] =
=
13. Razón de cambio y diferenciales
126
Ejemplo 4
El derrame de una sustancia química se esparce en un lago en forma de un cilindro,
cuyo volumen es de 250 ft3. Calcula la rapidez de aumento del radio cuando éste es
de 20 ft, considere que el espesor del cilindro disminuye a razón 0.1 ft/min.
Solución
Repetimos los pasos para resolver el ejercicio:
1.- Leer el ejercicio, y traducirlo
con el siguiente dibujo:
𝑉 − 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑐𝑚
ℎ − 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑐𝑚
𝑟 − 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑐𝑚
𝑡 − 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑚𝑖𝑛
2.- Identifique las variables del
problema y asígnele una letra.
𝑑ℎ
𝑑𝑡= −0
𝑓𝑡
𝑚𝑖𝑛
𝑑𝑟
𝑑𝑡 𝑟= 0 𝑓𝑡
=?
3.- Escriba las razones de cambio
que se proporcionan y use la
derivada de la razón que se desea
encontrar.
𝑉 = 𝜋𝑟 ℎ
4. Escriba una ecuación o función
que relacione todas las
variables.
13. Razón de cambio y diferenciales
127
5. Diferencie respecto al tiempo.
5.1 Se despeja el espesor del derrame (h).
ℎ =
5.2 Se sustituye el valor del volumen y se diferencia la ecuación.
ℎ = 0
ℎ
= 0
ℎ
= 0
−
ℎ
= − 00
5.3 Se despeja y se sustituye el valor del ℎ
= −
00
ℎ
] = 0
= − 0
00 −0
] =
=
13. Razón de cambio y diferenciales
128
Ejemplo 5
Para realizar la prueba de ángulo de reposo a cierto fármaco en polvo, se emplea el
siguiente método de medición que consiste en dejar caer el fármaco para formar un
montículo, en este caso se dejó caer a razón de 4 cm3/min, conteste lo siguientes:
a) ¿A qué velocidad está subiendo el vértice, cuando la longitud del lado es de
15 cm y la altura es de 10 cm?
b) ¿Cuál es el radio de la base del cono en ese momento y a qué velocidad está
variando?
c) ¿En este momento obtenga el ángulo de reposo e indique si es necesario
colocar en la tolva de alimentación deslizadores, para ello utilice la siguiente
tabla:
Ángulo de reposo (grados)
Fluidez
Menor a 25 Excelente 26-30 Buena 31-40 Regular *
Mayor a 40 Pobre * A partir de este ángulo se recomienda utilizar deslizantes.
Solución
Repetimos los pasos para resolver el ejercicio:
1.- Leer el ejercicio, y traducirlo con el
siguiente dibujo:
13. Razón de cambio y diferenciales
129
4. Escriba una ecuación o función que relacione todas las variables.
= ℎ
= (
)
5. Diferencie respecto al tiempo.
5.1 Se despeja la altura del cono formado (h).
ℎ =
5.2 Se calcula el radio del cono, utilizando el teorema de Pitágoras.
= ℎ
= − 0 =
𝑉 − 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑐𝑚
ℎ − 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑐𝑚
𝑟 − 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑐𝑚
𝑡 − 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑚𝑖𝑛
𝜃 − Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
2.- Identifique las variables del
problema y asígnele una letra.
𝑑𝑉
𝑑𝑡=
𝑐𝑚
𝑚𝑖𝑛
𝑑ℎ
𝑑𝑡=?
𝑑𝑟
𝑑𝑡=?
3.- Escriba las razones de cambio
que se proporcionan y use la
derivada de la razón que se desea
encontrar.
𝐿 = 𝑐𝑚
𝑟
ℎ = 0 𝑐𝑚
13. Razón de cambio y diferenciales
130
5.3 Se deriva la ecuación y se sustituye el valor de r.
ℎ
=
ℎ
] =
=
ℎ
] =
=
(
)
=
5.4 Para la variación del radio se tiene:
= ℎ
= ℎ
= ℎ
=
ℎ
] = ℎ= 0
=
0
13. Razón de cambio y diferenciales
131
] = =
=
5.4 Para el ángulo de reposo:
Para obtener el ángulo, en este momento se tienen los datos de
=
= 0
= °
De acuerdo con la tabla de ángulo de reposo, este fármaco requiere el uso de
deslizadores en el equipo dispensador.
𝐿 = 𝑐𝑚
𝑟 = 𝑐𝑚
ℎ = 0 𝑐𝑚
132
Ejercicios de refuerzo UNIDAD 13 RAZÓN DE CAMBIO Y DIFERENCIALES
1.- El bambú crece a un ritmo sorprendente en condiciones óptimas; dado que la composición de éste es totalmente de fibras de celulosa (n-glucosas) acomodadas de forma vertical. Considere que la longitud se relaciona con la siguiente ecuación:
= √ . En cierto instante la longitud del bambú es de 15 metros y la longitud de la unidad de la n-glucosa es 0.5 nm.Encuentra el aumento de la longitud del bambú, si la razón de aumento de la longitud
debida a la unión de moléculas de n-glucosa es de 10.4 µm/día. 2.- Según estudios de alometría, el desarrollo de la velocidad en los dinosaurios está relacionado con la siguiente ecuación:
=
Donde es la velocidad del dinosaurio en m/s, es la longitud de la zancada en metros y T es el periodo de la zancada.
13. Razón de cambio y diferenciales
133
La relación del periodo de la zancada con la longitud de la pierna está representada con la siguiente ecuación:
= √ℎ
Donde ℎ es la altura de la extremidad posterior en metros. Suponga que la longitud de la extremidad posterior evoluciona a razón de 1 a 2 metros a lo largo de 90 millones de años ¿Cuál es la velocidad del dinosaurio cuando estaba a la mitad de la longitud de la extremidad posterior? 3.- Los mejillones de barba de hacha (Mytellastrigata) se desarrollan en Sinaloa México, la relación entre la longitud de las valvas y el peso total está especificado por la siguiente ecuación:
= 0 000
Donde W es el peso total del mejillón en gramos y L es la longitud de las valvas en milímetros, la tasa de crecimiento absoluto mínimo es de 0.0096 mm cada día. Donde t es el tiempo en días. Calcule la razón de
cambio del peso respecto al tiempo para una valva de 15 mm. 4.- El mejillón de agua dulce (Anodontitisciconia) desarrolla su peso en gramos respecto a su longitud en centímetros, según la ecuación:
= 0
Encuentre la razón de cambio de la longitud respecto al tiempo para una longitud de 4 cm. 5.- El oxígeno disuelto se puede
relacionar con la presión atmosférica,
para 20 °C, la ecuación es:
= 0 0 − 0 0
La presión disminuye conforme
aumenta la altura a razón de 240 mm
de Hg por cada 10000 ft. Calcule la
razón de cambio del oxígeno disuelto
con respecto a la elevación para 500 ft
y 20 °C.
6.- La generación de Biomasa de un árbol se puede calcular con la siguiente expresión:
= 0 Dónde: B Biomasa (g/cm2)
13. Razón de cambio y diferenciales
134
D Diámetro promedio del árbol (cm).
H Altura del árbol (cm) Considere que el crecimiento del radio promedio desde el centro (médula) por cada 10 anillos es de 1.6 cm. La ecuación que representa la altura de un árbol puede ser:
= − Donde t, es el tiempo en años. Calcule la cantidad de biomasa generada por un árbol a los 15 años, para un diámetro de 30 cm. 7.- Calcule la biomasa que genera un árbol del ejercicio 6, pero ahora utilice la siguiente ecuación base:
= 00 0 0 8.- Se sabe que el diámetro promedio de una arteria es de 4mm, los depósitos grasos (que provocan arteriosclerosis) hacen que disminuya esta sección transversal, si el depósito reduce 15% el diámetro de la arteria en 20 años. Encuentre la razón de cambio de la abertura de la arteria, para un diámetro de 2 mm. 9.-Supongamos que existe un mezclador cónico de laboratorio con doble cámara, la altura del nivel de la
mezcla desciende gracias a un tornillo sin fin a un ritmo de 2 cm/min y el radio también disminuye a un ritmo de 1 cm/min ¿Cuál es la razón de cambio del volumen de la mezcla cuando el radio es de 50 cm? 10. El oxígeno disuelto (OD) es parámetro decisivo en el tipo de vida que sostiene un cuerpo de agua, la cantidad de OD en un cierto rio, se puede encontrar con la siguiente ecuación: = 0 00 − 0
Dónde: OD Oxígeno disuelto (mg/L). T Temperatura del agua (°C). La razón de cambio de la temperatura promedio del río está en función del tiempo (mes), la cual se puede establecer con la siguiente ecuación:
= −0 − 0
Encuentre la razón de cambio de la cantidad de oxígeno disuelto para el mes de octubre y una temperatura de 17 °C.
135
Segunda parte: Ecuaciones diferenciales
de varias variables
Capítulo catorce
Dominios y curvas de nivel para dos o más variables
reales
𝑧 = 𝑓 𝑥 𝑦
Hasta ahora solamente hemos manejado
funciones de una sola variable independiente.
Sin embargo, muchos problemas vienen
planteados en funciones de dos o más
variables, es decir:
Las gráficas de
superficie son muy
utilizadas en cinética
química, fisicoquímica,
termodinámica entre
otras. Por ejemplo, la
influencia de la
concentración y la
temperatura nos
proporciona la velocidad
de reacción.
“La química no está separada de las tres dimensiones, por difícil que parezca esto la
acerca a la realidad.”
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
136
14.1 Concepto de una función con dos o más variables independientes
Las gráficas de funciones de dos variables son
“superficies” como la ecuación =
o es un volumen, por ejemplo una esfera
= (ver Figura 14.1), pero si vemos
desde una vista superior lo que se observa es una
curva de nivel.
Como se ve en la Figura 14.1, se emplean tres rectas reales perpendiculares entre sí (longitud, anchura y profundidad).
Figura 14.1 Volumen obtenido de la ecuación
𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 = 𝒓𝟐
El nombre de los ejes es:
𝒙 Abscisa 𝒚 Ordenada 𝒛 Cota
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
137
Para dos variables la gráfica se puede expresar como: = , Por lo general esta gráfica es una superficie en donde y son las variables independientes y es la variable dependiente. Para una ecuación de segundo grado en tres dimensiones, la gráfica que se obtiene
es una superficie cuadrática (ver Figura 14.2), estas ecuaciones tienen su forma
general de la siguiente forma:
= 0
Esta ecuación general se puede reducir a las siguientes formas:
= 0
ó
= 0
Estas gráficas en tres dimensiones tienen una característica importante y es que son simétricas con respecto a los planos y al origen. Para el trazado de una ecuación en tres dimensiones, se buscan las intersecciones de la superficie con los ejes que forma los planos (estas intersecciones se llaman trazas). Por ejemplo para encontrar las trazas para el plano , el eje se hace cero, ahora bien para las trazas para el plano , se hace cero a y finalmente para el se hace cero el eje . Es importante indicar que cuando no aparece una variable en una ecuación cuadrática en tres dimensiones se trata de un cilindro, por ejemplo, en una ecuación en donde no aparece la variable x se trata de un cilindro paralelo al eje x, cuya ecuación es:
−
=
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
138
Figura 14.2 Superficies de ecuaciones cuadráticas
𝑧 =𝑦
𝑏 −𝑥
𝑎
𝑥
𝑎 −𝑦
𝑏 −𝑧
𝑐 =
𝑥
𝑎 𝑦
𝑏 −𝑧
𝑐 =
𝑥
𝑎 𝑦
𝑏 −𝑧
𝑐 = 0
𝑧 =𝑥
𝑎 𝑦
𝑏
𝑥
𝑎 𝑦
𝑏 𝑧
𝑐 =
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
139
Ejemplo 1
Trace la gráfica de =
√ − − .
Solución
Debido a que la función es una raíz, la gráfica está sujeta a que 0, para este ejercicio se eleva al cuadrado ambos miembros y se acomoda de la forma = .
=
√ − −
= √ − −
= − −
= Primero dibujamos la figura en el plano , es decir cuando = 0.
= Los puntos de cruce son cuando = 0 y = 0. Cruce en , cuando = 0. Cruce en , cuando = 0.
= = = =
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
140
Ahora para el cruce de la cota, hacemos y es igual a cero.
= =
Sólo utilizamos el valor positivo de la cota, ya que 0.
Para el trazado de gráficos en tres dimensiones podemos apoyarnos con el uso de software o aplicaciones especializadas tales como: Matlab®, Maple®, Geogebra® y Wolfram® así como con el uso de páginas en líneas; entre las cuales se pueden mencionar: online 3-D Function Grafer, Mathstools, Archimy, entre otros.
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
141
Ejemplo 2
Utilizando la gráfica 15.2 deduzca el tipo de gráfica de las siguientes superficies cuadráticas:
a) − = 0 b) − = 0 c) − = d) − = 0
Solución
a) Se divide entre -324 para encontrar la siguiente forma:
−
=
Su gráfica corresponde a un paraboloide de dos hojas.
b) No aparece la variable , por lo que se trata de un cilindro paralelo al eje . c) Se divide entre 16 la ecuación para obtener:
−
=
Lo cual corresponde a un hiperboloide de una hoja.
d) La ecuación se puede escribir como:
=
Lo cual corresponde a un paraboloide elíptico con simetría al eje .
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
142
Actualmente el graficar en 3D está al alcance de todos ya que las aplicaciones previamente mencionadas se pueden utilizar en cualquier dispositivo móvil de forma gratuita, con la ventaja de una visualización con rotación en tiempo real desde cualquier ángulo.
Ejemplo 3
Desde un móvil, con el software previamente cargado de calculadora 3d de Geogebra®, grafique las siguientes funciones:
a) = c) = o
b) = d) = 0
Solución
Las gráficas que se obtienen en el móvil son las siguientes:
a) = b) =
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
143
c) = o d) = 0
En las ciencias es muy frecuente que tengamos interés en poder expresar una
variable (variable de respuesta o variable dependiente) en función de dos o más
variables (variables explicitas o variables independientes).
Por ejemplo:
El volumen de un cilindro recto:
ℎ = ℎ
La velocidad de absorción de un fármaco en función del peso y edad del
individuo.
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
144
El peso de las aves en función de su envergadura y su longitud.
El nivel medio de contaminación en una región en función de las
precipitaciones medias anuales y de su índice de industrialización.
La presión atmosférica en un determinado lugar en función de su longitud y
de su latitud.
El modelo matemático adecuado para expresar una variable en términos de otras
variables es la función de varias variables. Al igual que con las funciones de una
variable, algunas de las herramientas asociadas a este modelo nos permiten abordar
y expresar muchos aspectos interesantes de la relación existente.
Lo que hace fascinante al cálculo de varias variables es que al visualizar las funciones
con todo el nuevo cálculo que veremos en este capítulo, involucra espacios en varias
dimensiones.
El uso de estas gráficas en 3D se tiene por ejemplo en termodinámica, fisicoquímica y microbiología por mencionar algunas. El caso de los diagramas de fases se utiliza las variables de temperatura-composición con variación de la presión, o el diagrama de presión-composición variando la temperatura, arrojan volúmenes. En termodinámica el manejo de diagramas ternarios utilizando triángulos (conocido como triángulos de Gibbs) para encontrar composiciones de mezclas parcialmente miscibles. Lo más usual en termodinámica es la representación de los estados de agregación de una sustancia con volumen, temperatura y como cota la presión, generado superficies de áreas de estado líquido, vapor, sólido, líquido-vapor, sólido vapor y el punto crítico que es donde coexisten los tres estados de agregación.
14.2 Dominio de una función con dos o más variables El dominio de una función con dos o más variables reales (D) de una función es aquel conjunto de valores reales independientes donde la función está definida. Es decir, son todos aquellos valores de entrada a la función.
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
145
Recordemos que una función f es como una “máquina” que le damos valores de
entrada x, a estos valores se les nombra dominio ( ) y produce un valor de
salida f(x), a estos se les nombra rango de la función ( .
Por lo tanto, para una función de dos variables donde a cada par ordenado se le
asigna un par de números reales (x, y), éste devuelve sólo un número z en el
conjunto de los números reales.
Figura 14.3 Representación gráfica de una función de una variable (a) y de varias
variables (b).
Vemos que la gráfica en 14.3 (a) de una = (es de una variable de entrada x y una variable de salida y la 14.3 b) es una gráfica de una = (de dos variables de entrada (x, y) y una de salida (z)). Este tipo de gráfica es utilizada en muchas áreas de la química. Un ejemplo lo tenemos en una de las aplicaciones en el laboratorio de análisis en donde se realizan una diversidad de determinaciones en donde la variable de respuesta es la fluorescencia (z) y las variables independientes son la emisión (SC) y la excitación (NB) (ver Figura 14.4). Los datos reportados para cierta sustancia son las siguientes:
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
146
Tabla 14.1 Datos de fluorescencia de una muestra
SC (nm) NB (nm)
360 405 440 490 540
415 82 14 2 2 0
515 54 11 2 19 3
535 25 6 1 10 1
585 8 2 0 3 1
665 1 0 0 0 0 Cortesía del QFB Víctor Herrera del laboratorio de análisis de fármacos y materias primas, FES Zaragoza, UNAM,
2018.
Figura 14.4 Representación gráfica de la Fluorescencia
La fluorescencia es la capacidad que tiene algunas sustancias de absorber energía a
una determinada longitud de onda para luego liberarse de ella, emitiendo parte de
esta energía en una longitud de onda más larga y otra parte disipada en forma de
calor. Por lo que la fluorescencia es la propiedad de algunos cuerpos de emitir luz
cuando están expuestos ciertos rayos del espectro. El fenómeno de fluorescencia
posee numerosas aplicaciones prácticas, entre las que se encuentran por ejemplo
sensores químicos, detectores biológicos, espectroscopía fluorescente, entre otros.
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
147
A continuación, se muestran algunos ejemplos de gráficas con su respectiva
ecuación.
Figura 14.5 Ejemplos de algunas gráficas en tres dimensiones
= − − =
= = − √‖ ‖
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
148
Figura 14.5 Ejemplos de algunas gráficas en tres dimensiones. Continuación
= √ = √ o (√ )
= =
= o
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
149
Por ejemplo, para una función donde se estudia la viabilidad de un suero de leche en
función de la temperatura de fermentación y la cantidad de los sólidos disueltos (ver
Figura 14.6). El dominio son los valores que se requieren para calcular la viabilidad
del suero de leche, los cuales son: temperatura y cantidad de sólidos disueltos, por
lo tanto, el dominio para este ejemplo es un área que forma la “sombra” de la
gráfica.
Figura 14.6 Dominio de la viabilidad de un suero de leche
De forma general supongamos que D es un conjunto de números reales (x1, x2, x3, …,
xn), para una función f donde por regla se asigna un único número o valor real a cada
elemento en D. Por lo tanto, D es el dominio de la función.
=
Mientras que el conjunto de valores de w son aquellos valores transformados por f y
se conoce como el rango de la función. Donde w es la variable dependiente de f y se
dice que f es una función de las n variables independientes x1…xn. la xi son las
variables de entrada de la función y w proporciona los valores de las variables de
salida de la función.
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
150
Esta ecuación, nos muestra la forma general de expresar el dominio de una función para varias variables.
Ejemplo 4
Encontrar el dominio de la siguiente función:
= ln −
Solución
Si examinamos la función se trata de un logaritmo, de este análisis se deducen las
siguientes restricciones. La primera es que un logaritmo no puede valer cero ya que
este no se encuentra definido. La segunda es que un número negativo no está
definido para el logaritmo.
Por lo tanto, se tiene la siguiente condición:
− > 0
De esta condición se plantea el siguiente argumento para el dominio de la función.
ℎ = { − > 0}
Definición El dominio de una función de dos o más variables está dado por el conjunto de
parejas, triadas, cuartetas o n-adas de números reales. Mientras que el rango (o
imagen) son conjuntos de números reales del mismo tipo a los que se obtienen en
función de una variable.
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
151
Grafiquemos en Geogebra®, para ver el dominio.
a) b)
La figura (a) muestra la gráfica en 3d y la (b) muestra el dominio de la función −
> 0.
Ejemplo 5 Hallar el dominio de la siguiente función:
= ln − −
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
152
Solución
Al igual que en el caso anterior se trata de un logaritmo por lo que debe de cumplir
con las mismas restricciones del ejemplo 3.
Por lo que tenemos la siguiente condición:
− − > 0
Despejemos y de la ecuación anterior e igualando con el término independiente,
para hacer manejable la ecuación. Aunque al final hay que evaluar en qué intervalo
se encuentra el dominio de nuestra función.
=
Dividiendo toda la ecuación entre 25 obtenemos la siguiente expresión.
=
La expresión obtenida representa la ecuación de la elipse con una apertura en el eje
(abscisas) a 5 unidades, las cuales corresponden a la raíz cuadrada de 25 y una
amplitud a 1 en el eje de las ordenadas.
a) b)
En la figura (a) tenemos la gráfica de la función en tres dimensiones y en (b) el
dominio de la función = ln − − .
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
153
Ahora bien, recordemos que nuestra condición indica que el dominio son todos
aquellos valores mayores a cero. Para saber dónde se encuentran estos valores
evaluemos la función dando valores dentro de la elipse, fuera de ésta y en la
frontera.
Dentro de la elipse (0,0)
0 0 = − 0 − 0 = > 0
1) Por encima de la elipse (6,2)
= − − = − <0 =
2) En la frontera (0,-1)
0 − = − 0 − − = 0 =
Por lo tanto, el dominio de la función esta dado de la siguiente manera;
= { − − > 0}
Ejemplo 6 Encontrar el dominio de la siguiente función:
= −
√ −
Solución
Empleando la misma técnica para el cálculo de una variable, vemos que la función es
una fracción donde el denominador está formado por un radical. Sabemos que el
radical debe cumplir con la siguiente condición:
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
154
√ > 0
Por lo tanto, de nuestra ecuación tenemos la siguiente igualdad
√ − > 0
Despejando la raíz de la función nos queda
− > 0
Despejando nos queda de la siguiente manera
>
Por lo tanto, el dominio de la función es el siguiente: = { > }
Vemos claramente que el valor de debe ser siempre mayor al valor de . Para
visualizar esta gráfica en tres dimensiones y corroborar lo que se encontró, veamos
las siguientes figuras generadas en Goegebra®.
a) b)
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
155
c) d)
b)
Secuencia de rotación desde (a) hasta (d), para visualizar el dominio que
corresponde a la vista superior de la función. La figura del inciso (d) representa el
dominio de la función =
√ .
Veamos si nuestro argumento del dominio para esta función es válido. Si evaluamos
en un punto fuera de la gráfica como en f (0,-5) nos damos cuenta de que la función
se indetermina.
= 0 − −
√− − 0 =−
√−
Ahora si evaluamos la función con un punto dentro de la gráfica como f (0,5)
tendremos el siguiente valor dentro del dominio de la función.
= 0 −
√ − 0 =−
√
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
156
Al igual que ocurría con las funciones de una variable, podemos aprender mucho
sobre una función de dos variables trazando su gráfico.
Donde la gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos ( , , )
en el plano que satisfacen a con ( , ) en el dominio de f
=
Figura 14.7 Dominio por debajo de la función
Definición Por lo tanto, la gráfica de una función de dos variables es una superficie S. Puede
representarse la gráfica de S de f directamente encima o debajo (Figura 14.7) de su
dominio Dom f (𝑥, 𝑦).
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
157
14.3 Curvas de nivel Una forma de hacer una representación completa de una función = en
tres dimensiones es tomada de los cartógrafos, los cuales emplean los mapas de
curvas de nivel, donde puntos de elevación iguales se unen para formar curvas o
líneas de contorno, también conocidas como curvas de nivel. Ya que las curvas de
nivel son sencillas de interpretar y mucho más fáciles de trazar.
La palabra nivel proviene del hecho de que podemos interpretar = como la
proyección sobre el plano , de la curva de intersección de = y el plano
(horizontal o de nivel) = .
Figura 14.8 Corte con el plano “C” para una curva de nivel
Definición En general si se dispone de una función de dos variables f(𝑥, 𝑦), en un espacio
tridimensional y la función f la cortamos “desde la base” en planos paralelos al eje 𝑥
y proyectamos estas líneas de corte, el resultado son las curvas de nivel de la
función f.
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
158
La Figura 14.9 muestra el uso de las curvas de nivel en medicina, cada corte
transversal (Plano ( , )) representa una imagen o proyección del cerebro.Para
química estas curvas de nivel se utilizan en radio-farmacia mediante el uso de
hexametil-propileno-aminooxima (HMPAO) en la detección de trastornos cerebrales.
Figura 14.9 Imagen obtenida por resonancia magnética nuclear del cerebro
humano
Imagen tomada de: www.siemens.com
La resonancia Magnética Nuclear (RMN) es una técnica espectroscópica no destructiva, basada en las propiedades magnéticas de la materia. Se aplica una radiación electromagnética de frecuencia adecuada (ondas de radio) que consigue promocionar los núcleos desde el nivel de energía inferior, a un nivel de energía superior. Cuando la radiación electromagnética y la precesión del núcleo entran en resonancia se produce la absorción. Se calcula la frecuencia de resonancia (frecuencia de Larmor) mediante la ecuación de Planck. Algunas de sus aplicaciones son: elucidación estructural, determinación conformacional, establecimiento de equilibrios químicos, cinéticas químicas, cuantificación de mezclas, control de calidad, análisis conformacionales y estereoquímicos, por mencionar algunos.
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
159
Ejemplo 7
Proyecte las curvas de nivel de la ecuación = √ − − , para valores de
igual a: 0.66, 1.32, 1.98, 2.64 y 3.3.
Solución
En la siguiente figura se observa, un conjunto de circunferencias de distintos
diámetros localizados a diferentes distancias desde la más grande ubicada muy cerca
de la base, hasta la más pequeña (parte más alta del casco de la esfera) a estas
distancias se les conoce como alturas reportadas en el eje de las z, este eje nos
indica la altura en la que se encuentra cada una de las curvas de nivel de h ( , ), de
igual manera observamos del lado derecho las mismas 5 curvas de nivel, pero
representadas sobre la imagen bidimensional de la función h. Se ve claramente
como cada una de estas curvas de nivel describe parte de la geometría de la función
a estudiar.
Representación de las curvas de nivel para ℎ = √ − − .
160
Ejercicios de refuerzo UNIDAD 14 DOMINIOS Y CURVAS DE NIVEL PARA DOS O MÁS
VARIABLES REALES
Resuelve los siguientes ejercicios.
I. Trace las siguientes gráficas
1.- = √ − −
2.- = √ − − 3.- = − − 4.- = − − 5.- = − −
II. Deduzca el tipo de gráfica de las siguientes superficies cuadráticas.
15 = 00
16 = 17 =
18 − =
19 − = 0
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
161
20 ¿Cuál es la ecuación de la superficie que resulta al graficarse:
= ¿Alrededor del eje ?
21 ¿Cuál es la ecuación de la superficie que resulta al graficarse:
− = ¿Alrededor del eje ?
III. Desde su móvil, una vez instalada la aplicación gratuita de geogebra “Calculadora 3D” grafique las siguientes funciones:
=
=
√ −
=
=
= − −
=
= ln 0 =
IV. Determinar las curvas de nivel de
las siguientes funciones cuando
f(x,y,z)=0
= 0
= −
=
= −
= −
= −
14. Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
162
163
Capítulo quince
Límites para dos o más variables reales
En este capítulo usaremos el mismo concepto
de límite, para una función donde se involucran
2 o más variables, es un concepto más
profundo, ya que debemos tomar en cuenta
todas las posibilidades de (𝑥, 𝑦) para
aproximarse a un punto (a, b).
Las gráficas de superficie
con máximos y mínimos
son utilizadas en
dicroísmo circular, que se
refiere a la capacidad que
tienen algunos materiales
de dividir un haz de luz
policromática, lo cual ha
sido aplicado en la
determinación de la
estructura secundaria de
una proteína, la
interacción proteína-
proteína, entre otras
aplicaciones.
“Independientemente del camino que sigamos para llegar a un punto termodinámico, el
trabajo debe ser el mismo.”
15. Límites para dos o más variables reales
164
15.1 Definición y propiedades de límites para una función con dos o más variables
En la sección anterior definimos el significado de límite, el cual se basa en la aproximación en específico para una sola variable. Por intuición sabemos que la función f ( , ) tiene un límite L cuanto más se acerque (a, b). El problema es que ( , ) puede tender a (a, b) por una infinidad de caminos distintos (ver Figura 15.1).
Figura 15.1 Límite de una función de dos variables
Por lo tanto, tenemos que:
lim →
=
Para que este límite exista se requiere
que f( , ) se aproxime a L a lo largo de
cualquier trayectoria o curva posible
que pase por (a, b); como la imagen que
indica que “Todos los caminos llegan al
tesoro”. De lo contrario “Si f (x, y) no se aproxima a L por dos trayectorias distintas a
(a, b), entonces lim → = no existe”.
De una manera más sencilla podemos expresar el límite de una función de dos
variables de la siguiente manera.
15. Límites para dos o más variables reales
165
15.2 Cálculo de límites Algunas de las propiedades que se vieron en el cálculo de límites de una variable son aplicables para el cálculo de límite de dos o más variables.
Definición El límite de la función lim → 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑦 = 𝐿 existe si y solo si, al evaluar la
función por todos los caminos posibles hacia los puntos (a, b) coinciden con el valor
de L.
Teorema 1. Límites fundamentales i. 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑦 → 𝑎 𝑏 𝑐 = 𝑐 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
ii. 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑦 → 𝑎 𝑏 𝑥 = 𝑎
iii. 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑦 → 𝑎 𝑏 𝑦 = 𝑏
iv. 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑦 → 𝑎 𝑏 𝑐𝑓 𝑥 𝑦 = 𝑐 𝑓 𝑥 𝑦
Teorema 2. Límites de operaciones Consideremos la existencia del límite de las siguientes funciones f x y y x y .
Donde lim → a b f x y = L y lim → a b x y = L
i. 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑦 → 𝑎 𝑏 [𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 𝑦 ] = 𝐿 𝐿
ii. 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑦 → 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 𝑦 = 𝐿 𝐿
iii. 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑦 → 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑦
𝑔 𝑥 𝑦 =
𝐿
𝐿
15. Límites para dos o más variables reales
166
Ejemplo 1 Encuentre el límite de la siguiente función:
lim →
Solución
Haciendo uso del inciso (b) y (c) tenemos lo siguiente:
= lim →
= = lim →
=
Ahora aplicando el inciso (d) del teorema 1 para ambos casos obtenemos:
lim →
= lim →
= 0
Aplicando el inciso (e) del teorema tenemos la suma de dos funciones:
= lim →
= lim →
lim →
lim →
lim →
= lim →
=
15. Límites para dos o más variables reales
167
Ejemplo 2
Calcular el límite de la siguiente función:
lim →
− −
Solución
De igual manera que en el ejemplo anterior primero definiremos los valores del
límite para , , y de 4 (constante), empleando los incisos a, b y c, encontramos lo
siguiente:
= lim →
= = lim →
= lim →
=
Aplicando simultáneamente al numerador y denominador de nuestra función el
inciso (e) del teorema 2 y evaluando obtenemos.
lim → −
− = − − = (numerador)
lim →
= = (denominador)
lim →
− −
=
=
Como podemos apreciar en este caso lo único que hemos hecho ha sido sustituir los
valores límites para cada una de las variables, haciendo uso de los teoremas para su
solución. A este método se le conoce como método de sustitución.
15. Límites para dos o más variables reales
168
Hay que recordar que muchas veces el evaluar o encontrar los límites de una función
no es tan sencillo y se requiere del uso de métodos algebraicos para facilitar el
cálculo del límite de la función. A continuación, veremos un ejemplo de este tipo.
Ejemplo 3
Calcular el límite de la siguiente función:
lim →
−
−
Solución
Se puede apreciar a simple vista que si se intenta evaluar el límite de esta función
por sustitución se encuentra indeterminada.
Factorizando la parte del numerador, este nos queda de la siguiente manera.
− = −
Ahora sustituyamos esta nueva expresión en (1).
−
− =
Como se observa en la ecuación (3) se elimina el factor de − , ahora es fácil
calcular el límite de la función a partir de la ecuación (3) mediante la sustitución de
los límites de x, y.
lim →
= =
15. Límites para dos o más variables reales
169
Como mencionamos al inicio de este capítulo la aproximación de los límites ahora se
hace en todos sentidos. Sin embargo, siguiendo las siguientes reglas es bastante
sencillo el poder demostrar la existencia del límite de la función.
lim𝑥→0
𝑓 𝑥 𝑦 = lim𝑦→0
𝑓 𝑥 𝑦
Reglas para el cálculo de los límites de dos variables
Prueba 1
i) Evaluar la función cuando 𝑥 → 0
ii) Evaluar la función cuando 𝑦 → 0
Una vez evaluadas se comparan, si ambas son iguales es decir que:
Se procede a la prueba 2
iii) Se evalúa la función cuando 𝑥 → 𝑦
iv) Se evalúa la función cuando 𝑦 → 𝑚𝑥
Al igual que en la prueba 1 se comparan ambos resultados y si estos son iguales
se puede decir que la función presenta un valor límite evaluado en (a, b).
De lo contrario no existe el límite de la función.
15. Límites para dos o más variables reales
170
Ejemplo 4 Calcular el límite de la siguiente función.
lim → 0 0
x − y
x y
Solución
Para resolver el límite de la siguiente función evaluaremos primero el límite de x y y
cuando son cero.
lim →0
x − y
x y = 0 − y
0 y = −
y
lim →0
x − y
x y = x − 0
x 0 =
De acuerdo con los criterios
antes dichos el límite de la
función no existe en el punto
(0,0). Con ayuda de un software
(Geogebra®) podemos apreciar
que efectivamente cómo la
función muestra una
discontinuidad en la
coordenada (0,0).
15. Límites para dos o más variables reales
171
Ejemplo 5 Calcular el límite de la siguiente función.
lim → 0 0
nxy
x y
Solución
Comencemos por evaluar los límites de x, y cuando estos son igual a cero.
lim →0
nxy
x y = n0y
0 y = n0
y = 0
y = 0
lim →0
nxy
x y = nx0
x 0 = n0
x = 0
x = 0
Como se aprecia ambos límites son iguales, ahora evaluaremos a x = y así
comoy = mx.
lim →
nxy
x y = nyy
y y = ny
y
lim →
nxy
x y = nxmx
x mx = nmx
x m x
lim →
nxy
x y = nmx
x m
Se puede observar que ambos límites no son
iguales por lo tanto el límite de la función en
las coordenadas (0,0) no existe. Como
podemos observar en la siguiente figura.
15. Límites para dos o más variables reales
172
El concepto de continuidad es muy sencillo supongamos que tenemos una función
= , esta función es continua en las coordenadas (a, b), por lo tanto, f (a, b)
está definida, lo cual quiere decir que lim → sí existe.
lim →
=
Ahora en el caso de que f ( , ) no fuera continua en las coordenadas (a, b) se afirma
que la función es discontinua, por lo tanto lim → no existe.
Como se aprecia en los ejemplos 4 y 5 cada una de ellas muestra un “vacío o
quiebre” en la región donde el límite de la función no existe.
Ejemplo 6
Con ayuda de Geogebra® identifique si existe discontinuidad en la siguiente
ecuación:
.
Solución
Graficando en Geogebra® se obtiene la
siguiente imagen y se observa que en el
punto (0,0), no está definida, por lo tanto,
es discontinua en este punto.
173
Ejercicios de refuerzo UNIDAD 15 LÍMITES PARA DOS O MÁS VARIABLES REALES
Resuelve los siguientes ejercicios.
I. Encuentre el límite de las
siguientes funciones:
− lim →
− lim →
− lim →
−
− lim →
−
− lim →
−
− lim →
√ −
− lim →
√
√
− lim →
√ √
− lim →
0 − lim →
√
− √
√
15. Límites para dos o más variables
174
II. Calcular el límite de la siguiente
función, utilizando la
factorización:
lim →
−
−
lim →
−
lim →
−
−
lim →
− −
−
lim →
− −
lim →
−
−
lim →
−
−
lim →
0 −
−
lim →
−
−
0 lim →
√ −
− √
III. Demuestre la existencia del límite
de las siguientes funciones:
lim → 0 0
x − y
x y
lim → 0 0
− y
x y
lim → 0 0
x − y
x y
lim → 0 0
o xy
x y
lim → 0 0
nx o y
x y
175
Capítulo dieciséis
Derivadas parciales
Como hemos visto muchas funciones dependen
de más de una variable independiente tal es el
caso por ejemplo del suministro de un
antibiótico (A) donde se debe conocer el peso
(𝑥) y la talla (𝑦) del paciente para administrar la
dosis correcta del medicamento, lo cual
podemos expresarlo como 𝐴 = 𝑓 𝑥 𝑦
Las derivadas parciales
en fisicoquímica nos
permiten conocer las
relaciones de algún
parámetro en función
de otras, como el caso
del cambio de volumen
respecto a la
temperatura
manteniendo constante
la presión. Una de las
ecuaciones más
conocidas es la de Van
der Waals.
“Como en el caminar, una constante y otra en movimiento nuestras extremidades van
derivando parcialmente el camino de nuestras vidas”.
16. Derivadas parciales
176
16.1 Definición de las derivadas parciales de una función de dos o más variables independientes
Ahora bien, podemos preguntarnos ¿Cómo es
que la función cambia cuando una de las
variables se hace independiente y se fijan las
demás? Para dar respuesta a esta pregunta
haremos uso del concepto de derivada de una
variable, pero este concepto debemos
extenderlo hacia cada una de las variables
presentes en la función.
Supongamos que f es una función de dos
variables ( , ). Si mantenemos constante o
fija a “ ”es decir “ = b”, entonces por
lo tanto es una función de la variable
independiente “ ” (lo mismo ocurre cuando se
pesca utilizando red de mariposa).
La derivada en “ ” en el punto ( ,b) es la derivada parcial de f respecto a “ ”en el
punto ( ,b) y se escribe como ó
.
La Figura 16.1 muestra la superficie de la función = en el punto (a, b). Se
aprecia en la Figura 16.1 a) cuando “ ” es constante es decir “ =b”, este plano “ ”
(curva “C”), corta la superficie de = . Trazando una pendiente secante a
través de los puntos (P,R) donde las coordenadas de los puntos son P(x, b, f(x, b)) y
R(x+h, b, f(x+h, b)).
16. Derivadas parciales
177
a)
b)
Figura 16.1 Representación gráfica de las derivadas parciales de
,
Dado que “ ” es constante su lugar lo toma la coordenada “ ”, obtenemos la
siguiente función.
ℎ −
ℎ − = ℎ −
ℎ
16. Derivadas parciales
178
Por lo tanto, tenemos
= lim
ℎ→0
ℎ −
ℎ
Como podemos apreciar es posible definir la
como la pendiente de la recta
tangente al punto P (donde el límite sí existe) sobre la curva “C”.
De manera similar empleando la Figura 17.1 b) es posible descubrir que
es la
recta tangente a P en el plano = sobre la curva “C”, de la superficie = .
Para llevar a cabo la diferenciación parcial sigue estos pasos:
1) Para la
se mantiene constante “ ” y se emplean las reglas de derivación
ordinaria.
2) Para la
se mantiene constante “ ” y se emplean las reglas de derivación
ordinaria.
∂z
∂x= limh→0
f x − f x
∂z
∂y= limh→0
f y − f y
Definición Sea una función de dos variables z = f x y , y se desea obtener la derivada parcial
de 𝐱 en el punto (a, b) se tiene la siguiente expresión:
Y la derivada parcial con respecto a y es:
Siempre y cuando existan los límites.
16. Derivadas parciales
179
Ejemplo 1
Utilice cambio de variable y de la cadena para obtener
y
de:
= (
)
Solución
Para llevar a cabo la solución de las derivadas haremos uso de cambio de variable.
1. Determinando la
=
=
Por lo tanto, la función queda.
=
= (
) =
Sustituyendo los valores de “ ” obtenemos.
= (
(
)) =
(
)=
(
)
=
(
)
16. Derivadas parciales
180
2. Ahora calculamos la derivada parcial de “ ”
, Haciendo un cambio de variable.
=
=
=
Por lo tanto, la función queda de la siguiente manera:
=
= (
) =
Sustituyendo los valores de obtenemos:
= (
(
))
=
(
)=
(
)
=
(
)
Las derivadas parciales se pueden expresar de diferentes formas, sea f = (x, y) se
tiene:
=
= = y
=
= =
16. Derivadas parciales
181
Ejemplo 2 Aplique la regla del cociente para la ecuación:
=
Solución
Calculando s se tiene:
=
Haciendo uso de la regla de la derivada de un cociente tenemos lo siguiente:
= −
Sí = por lo tanto =
Ahora = , recordemos que la otra variable independiente (“ ”) se toma
como una constante, por lo que se tiene = 0 =
=( ) − 0
=
−
=
−
16. Derivadas parciales
182
Ejemplo 3 Derive la siguiente función aplicando la regla del producto:
=
Solución
Aplicando la regla del producto: = .
=
= 0
=
Haciendo un cambio de variable en el argumento de seno, es decir
= :
=
= =
Aplicando la regla del cociente:
= −
=
= =
= 0
= − 0
=
Se tiene que:
= = (
)
16. Derivadas parciales
183
Sustituyendo las variables por los valores reales se tiene:
= [
0] *
+
Por lo tanto, el resultado de
=
Ahora calcularemos la
:
Aplicando la regla del producto: =
=
=
=
Aplicando la regla del cociente a v:
=
=
= 0
=
= −
= 0 −
=−
Sustituyendo las variables por los valores reales el resultado de
=
[ [−
]] =
−
Podemos apreciar que en la determinación de las derivadas parciales de una función
se emplean las mismas reglas que las usadas para la derivación ordinaria.
16. Derivadas parciales
184
16.2 Regla de la cadena para derivadas parciales Así como hemos venido empleando las diferentes reglas de las derivadas ordinarias
para derivadas parciales, de manera similar se emplea el concepto de regla de la
cadena, para este caso el concepto se amplia para facilitar la solución a un sistema
de 2 o más variables dependiendo de la función.
En el caso de derivadas ordinarias o de una sola variable tenemos lo siguiente
= , esta es una función diferenciable en , pero = ℎ es decir que es
diferenciable en , por lo tanto, la derivada de la función compuesta = ℎ se
puede expresar de la siguiente, manera.
=
Algo similar sucede para las derivadas parciales, la única diferencia es que este
concepto se aplica para cada una de las variables presentes en la función.
Sea = donde esta función es diferenciable en ( ) y = ℎ e
= por lo tanto ( ) son diferenciables en ( ) la función combinada
quedaría de la siguiente manera.
= ℎ
De manera análoga al caso anterior, debería aparecer una ecuación para cada una
de las variables, es decir:
=
=
16. Derivadas parciales
185
16.3 Diferencial total
Hasta ahora hemos estudiado las derivadas parciales las cuales nos proporcionan la
razón de cambio de la función en la dirección de una de las variables. En esta sección
veremos lo que le pasa cuando todas las variables independientes de la función
cambian al mismo tiempo. Este tipo de diferenciales se les llama diferenciales
totales.
Ejemplo 4
Hallar la derivada total de la siguiente función
= − y
Solución
Encontremos primero las derivadas parciales para cada una de las variables y
aplicamos la regla del producto.
𝑑𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑑𝑥 𝑓𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑑𝑦 = 𝜕𝑧
𝜕𝑥𝑑𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦𝑑𝑦
Definición Es decir, si 𝑧 = 𝑓 𝑥 𝑦 y 𝑥 y 𝑦 son los incrementos en las variables
independientes donde las primeras derivadas parciales 𝑥 y 𝑦 existen.
Entonces las diferenciales de 𝑥, 𝑦 son 𝑑𝑥 = 𝑥y 𝑑𝑦 = 𝑦. La diferencial de
𝑧 será, por lo tanto;
También conocida como diferencial total de 𝒛.
16. Derivadas parciales
186
Tenemos las siguientes diferenciales:
= −
= −
Aplicando el concepto de diferencial total tenemos:
= ( − ) ( − )
Ejemplo 5
Hallar la derivada total de la siguiente función:
=
Solución
Aplicando la regla del cociente obtenemos los siguientes resultados:
=
0=
=
0=
=−
0=−
La derivada total de la función es la siguiente:
=
−
16. Derivadas parciales
187
Algunas aplicaciones de la diferencial total son la estimación del error porcentual,
cambios de volumen, cambios de temperatura, etc., veamos su aplicación a través
de un ejemplo.
Ejemplo 6
La presión P de un gas ideal encerrado está dado por =
, donde k, es una
constante, T es la temperatura y V es el volumen. Dado que el error porcentual al
medir la temperatura y el volumen son aproximadamente de 0.7% y 0.9%,
respectivamente, ¿Cuál será el error en porciento máximo aproximado de la
presión?
Solución
Podemos ver que la presión depende directamente de dos variables que son T y V,
para saber el error máximo que se tiene por las mediciones de ambas variables hay
que obtener la diferencial total, tal y como lo hicimos en los ejemplos anteriores.
=
Aplicando la regla del cociente tenemos:
=
=
=−
La derivada total para la función es:
=
−−
Del problema sabemos que el valor de = 0 00 y la = 0 00
16. Derivadas parciales
188
Evaluando en la diferencial total tenemos:
=
0 00 −
0 00 =
0 00
−0 00
= =−0 00
16.4 Derivadas de orden superior
Como sucede en las derivadas ordinarias, es posible determinar la segunda, la
tercera y la n-ésima derivada parcial de una función de varias variables, siempre y
cuando tales derivadas existan.
Para llevar a cabo las derivadas parciales de segundo orden hay que seguir estos
sencillos pasos.
1) Derivar dos veces con respecto a
(
) =
2) Derivar dos veces con respecto a
(
) =
3) Derivar primero con respecto a y después con respecto a
(
) =
4) Derivar primero con respecto a y después con respecto a .
(
) =
16. Derivadas parciales
189
Se puede apreciar que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales
(
) =
(
)
Para el caso de derivadas parciales de 3 y de orden superior se les denomina
derivadas parciales mixtas.
Ejemplo 7
Hallar la segunda derivada de las siguientes funciones: = y =
Solución
a) =
= = {
(
) = 0
(
) =
= =
{
(
) =
(
) =
b) = −
=
− =
{
(
) = −
−
(
) =
−
= −
− =
{
(
) = −
−
(
) =
−
16. Derivadas parciales
190
Definición Sea 𝑃0 un punto en S en el dominio de 𝑓 se debe cumplir:
𝒇 𝑃0 Es un máximo global, cuando 𝒇 𝑃0 𝒇 𝑃 para toda 𝑃 en 𝑆.
𝒇 𝑃0 Es un mínimo global, cuando 𝒇 𝑃0 ≤ 𝒇 𝑃 para toda 𝑃 en 𝑆.
𝒇 𝑃0 Es un valor extremo global, cuando 𝒇 en 𝑆 es un valor máximo o mínimo
global.
Las definiciones de los puntos 1 y 2 son válidas para puntos mínimos o máximos
globales si 𝑁 ∩ 𝑆, donde 𝑁 es alguna vecindad.
16.5 Máximos y mínimos
Para entender la noción de máximos y mínimos para varias variables (ver Figura
16.2), la definición es la misma que la de una variable, sólo se extiende a dos
variables. Ahora sea = y 0 = 0 0 un punto variable y uno fijo
respectivamente.
Figura 16.2 Representación gráfica de máximos y mínimos para dos variables
16. Derivadas parciales
191
Ejemplo 8
Encuentre el máximo o mínimo de la función: = −
Solución
Primero derivamos parcialmente para encontrar los puntos críticos.
= −
=
Se igualan a cero:
− = 0
= 0
De la ecuación ① se tiene que:
=
De la ecuación ②:
= 0
Ahora se evalúa la función en (1/2, 0)
(
0) = (
)
− (
)
0
= −
Tenemos un mínimo como se observa en la Figura 16.3.
Figura 16.3 Gráfica de la ecuación
𝒛 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝟏
𝟐𝒚𝟑
16. Derivadas parciales
192
Ejemplo 9
Encuentre el máximo o mínimo de la función: = −
Solución
Primero derivamos parcialmente para encontrar los puntos críticos.
= −
=
Se igualan a cero:
− = 0
= 0
De la ecuación ① se tiene que:
− = 0
Una raíz es = 0, las otras raíces se encuentran con:
(
) ( −
) = 0
por lo tanto, las raíces de son:
= 0 =
=
De la ecuación ② se tiene que:
= −
Los puntos críticos son:
0 − (
− ) (−
− )
16. Derivadas parciales
193
Se evalúa la función es estos 3 puntos:
0 − = 0 − 0 − − = −
(
− ) = (
)
− (
)
− − = −
(−
− ) = (−
)
− (−
)
− − = −
Se obtienen dos mínimos y un punto de inflexión (que se conoce como punto de
silla), veamos la gráfica en la Figura 16.4.
Figura 16.4 Gráfica de la ecuación = −
Mínimo Punto de silla Mínimo
(
− −
) 0 − − (−
− −
)
16. Derivadas parciales
194
Ejemplo 10
Encuentre el máximo o mínimo de la función: =
Solución
Primero derivamos parcialmente para encontrar los puntos críticos.
= −
= −
Se igualan a cero:
−
= 0
− = 0
Realizamos álgebra en la ecuación ①.
− = 0
Por lo tanto:
− = 0
=
√
Realizamos álgebra en la ecuación ②.
− = 0
La única solución para esta igualdad es que = 0
Los puntos críticos son:
(
√ 0) y (−
√ 0)
16. Derivadas parciales
195
Se evalúa la función es estos 2 puntos:
(
√ 0) =
√
√ = 0
(−
√ 0) = −
√
√ = −0
Se obtiene un máximo y un mínimo, veamos la Figura 16.5.
Figura 16.5 Gráfica de la ecuación =
Máximo
Mínimo
16. Derivadas parciales
196
Figura 16.7 Recta tangente a una restricción
16.6 Multiplicadores de Lagrange
Los multiplicadores de Lagrange se utilizan para “maximizar o minimizar” funciones
sujetas a restricciones, por ejemplo, en la industria química se desea obtener la
mayor cantidad de un producto y muy probablemente la limitante sea la cantidad de
reactores, catalizadores entre otros, estos problemas se le conocen como “Extremo
restringido”. En la figura 16.6 a) se puede observar una restricción a las curvas de
nivel de la gráfica 16.6 b) que se presenta en 3D.
Figura 16.6 Restricción para una función
a) b)
El máximo se encuentra en 0( 0 0) y
el mínimo en ( 0 0) dentro de la
restricción (ver Figura 17.7). En el
punto en donde se cruza la curva de
nivel y la restricción se encuentra una
recta tangente común.
16. Derivadas parciales
197
Figura 16.8 Recta tangente a una restricción
En cualquier punto de la curva de nivel, el vector gradiente es perpendicular a la
curva de nivel y es perpendicular a la restricción. Por lo tanto y son
perpendiculares, cumpliendo que 0y son paralelas, por lo tanto:
0 = 0
=
Esto funciona bien para maximizar o
minimizar sujeto a la restricción
= 0 (ver Figura 16.8).
Simplemente consideremos superficies de
nivel en lugar de curvas de nivel.
𝑓 𝑃 = 𝜆 𝑔 𝑃
𝑔 𝑃 = 0
Definición Para maximizar o minimizar 𝑓 𝑃 sujeta a 𝑔 𝑃 = 0, se resuelve el sistema de
ecuaciones:
Donde
𝜆 Es el multiplicador de Lagrange.
𝑓 Es el vector compuesto por 𝑓 = 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓𝑦 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓𝑧 𝑥 𝑦 𝑧
16. Derivadas parciales
198
Ejemplo 11
Encuentre el máximo o mínimo de la función: = , cuyas
restricciones son la elipse − = 0 y el plano =
Solución
1. Determinamos de
la función:
=
=
=
=
2. Ahora de la primera
restricción con la
función:
= −
=
=
= 0
3. Finalmente ℎ de la
segunda restricción con
la función:
ℎ = −
ℎ = 0
ℎ =
ℎ =
4.- Se establecen las ecuaciones de Lagrange, (relacionando la misma variable) y
escribiendo al final las dos restricciones:
= ①
= ②
= ③
− = 0 ④
= ⑤
Se tiene un sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas
16. Derivadas parciales
199
De la ecuación ③ ya se tiene el valor de =
De la ecuación ① el valor de es:
=
Con la ecuación ② y ③ se despeja a
=
= −
Con la ecuación ⑥ y ⑦ se sustituye en ④ y se tiene:
(
)
(−
)
− = 0
De esta última ecuación se despeja a :
=
Se hace álgebra:
=
=
= √
=
√
16. Derivadas parciales
200
5.- El punto crítico se encuentra en:
=
=
√
= √
Esto es igual a:
= √
= √
Para es la misma secuencia de cálculo:
= √
Para de la ecuación⑤
= −
= √
Se evalúa en la función = y se encuentran el máximo y
mínimo.
(√ √ √ ) = Máximo
(−√ −√ − √ ) = − Mínimo
201
Ejercicios de refuerzo UNIDAD 16 DERIVADAS PARCIALES
I. Encuentre las derivadas parciales
respecto de cada una de las variables.
=
= (
)
= ln n
=
=
= −
= √ −
= −
=
0 = o
= (
)
= √
−
16. Derivadas parciales
202
=
=
= − √
= (
)
= √
=
= √ o
0 = ln (
)
II. Resuelva los siguientes ejercicios utilizando las derivadas parciales.
21. La temperatura en Celsius de una placa metálica (localizada en el plano ) se representa con la siguiente ecuación: = , encuentre la razón de cambio de la temperatura respecto a la distancia en ft (eje ) si la placa se mueve del punto (2, 4) hacia la derecha. 22. De acuerdo a la ley de los gases perfectos ( = ), Encuentre la razón de cambio de la presión a la temperatura cuando la temperatura es 40 Celsius y 50 .
23. El aumento del grosor de una capa de hielo en un lago debido a la solidificación del agua se describe mediante la función:
= 0 0 ( 0
− 0 )
Donde: Es el espesor del hielo. Es la temperatura en Celsius. Es tiempo en días. Calcule el cambio parcial de la temperatura respecto al tiempo, cuando el espesor del hielo es de 10 cm para un lapso de 30 días. III. Resuelva los siguientes ejercicios
utilizando las derivadas parciales con regla de la cadena.
= = =
= √ = = = − = =
= ln (
)
= =
= ( √ )
= = =
16. Derivadas parciales
203
= = = − = −
0 = − = =
IV. Calcule en los siguientes ejercicios
la parcial:
= = = − = −
=
= √
=
= =
= √ = n = o =
= √ = − = =
Calcule el máximo o mínimo local de las siguientes funciones:
= −
= √ − −
= − − −
= − −
0 = −
−
V. En las siguientes funciones
localizar los extremos relativos y los puntos de silla.
=
ℎ = 0 0 − −
= − − −
=
−
=
= √
=
=
=
0 =
=
ℎ =
= ( )
16. Derivadas parciales
204
=
ℎ = 0
ℎ =
= √ − − − = − −
= − −
0 = √
VI. En los siguientes problemas según sea el caso determinar los máximos y mínimos relativos y así como los puntos críticos y puntos de silla.
61. Una cápsula de vitamina E tiene un cuerpo de forma cilíndrica y tapas semiesféricas. La cápsula debe almacenar 437 l de vitamina E. a) Realice un esquema de la geometría de la cápsula, b) Determinar el radio r y la longitud l que minimizan la cantidad de material utilizado para la fabricación de la cápsula. 62. Un parrillero tiene un comal circular de radio 50 cm para asar carne. La temperatura del comal sobre cualquier punto está dada por la siguiente función = − 0. a)
Dibujar las isotermas = 0, b) Hallar la zona de mayor temperatura y la de menor temperatura en el comal. La ecuación del comal está dada por ≤ 0. 63.La propagación de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 100 y viene dada por la siguiente expresión
= 0 −
. De manera simultánea se viene probando la acción de un fármaco sobre dicha bacteria obteniendo la siguiente
función = 0 − 0
00 000, donde t es el tiempo en (horas) donde t1 es el tiempo de propagación de las bacterias y t2es el tiempo de acción del fármaco sobre la bacteria, P es propagación de la bacteria y N efecto del fármaco sobre la bacteria, tomando en cuenta desde que inicia el estudio con una t=0 indicar los tiempos de máxima y mínima propagación durante las primeras 10 horas y los intervalos en la que esta crece y decrece. 64. Se requiere producir un nuevo medicamento compuesto por dos sustancias activas, las cuales tienen las siguientes funciones farmacocinéticas: = 0 0
00 = 0 0
16. Derivadas parciales
205
Donde F1 denota la sustancia activa 1 y 2respectivamente mientras que Ci se refiere a la composición de cada uno. Así mismo se ha establecido una función que marca la dosis recomendada de dicho fármaco. = − −
Calcular la dosis máxima recomendada para la administración de dicho fármaco. VII. Calcule el máximo o mínimo
local de las siguientes funciones utilizando multiplicadores de Lagrange:
=
Sujeto a = − − = −
Sujeto a = − = −
Sujeto a: = − − = 0 = − −
Sujeto a: = = 0 = −
Sujeto a: = − = 0
206
Respuesta a los problemas de número impar
Capítulo 9 Límites y continuidad
− √ − −
−
√
− − − − ]
− [ − − ] ] ]
[
Capítulo 10 La Derivada
−
− √ −
−
−
− − − − −
−
207
− −
− − −
−
−
−
−
− −
√ −
− √ (
)
( ) −
√ −
( − ) − −
− (
−
)
(
) − ( − )
√ − −
−
(
−
)
−
−
− [− − ]
−
√ −
√
− − − ( )( )
[ ][ ]
(
) (
)
√
−
− −
− 0
− 0 0
0 −
0
−
( ⁄ )
√
√
−
−
( )
( )
−
.
208
Capítulo 11 Derivada implícita
−
−
−
− −
√
√
−
− [ ]
− − ( ) −
−
√
−
−
− −
−
−
Capítulo 12 Máximos y mínimos
Cloro mínimo aplicado 1.56 mg/L, Cloro libre residual máximo 0.19 mg/L.
Capítulo 13 Razón de cambio y diferenciales
=
=
Capítulo 14 Dominios y curvas de nivel para dos o más variables reales
.
209
Capítulo 15 Límites para dos o más variables reales
− −
− −
Capítulo 16 Derivadas parciales
= ( ) ( )
= ( )
= ( )
= ( )
210
=
[ − ]
= −
[
− ]
= √ −
= −
√ −
= ( )
= − ( )
= −
√(
)
= −
√(
)
=
=
=
− √
( − √ )
=
√ ( − √ )
= −
( )
√
= ( ) − ( )
√
= − √
= √
°
=
√ −
− − − − −
− − = = −
− = − −
á − −
á −
á á
á − − á
á = =
á á á
= −
=
á = á
211
REFERENCIAS
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Solucionador de ecuación cúbica en línea.
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de marzo de 2018. Tema: Oxígeno disuelto.
https://grupos.unican.es/acanto/aep/bolpas/pasclima.htm, visitada el 01 de marzo
de 2018. Tema: Temperatura media anual.
214
ÍNDICE ALFABÉTICO
Página I Identidades trigonométricas 38 Cambio de variables 45 L Lagrange multiplicadores Limite
196
Asíntota 11 Dos variables
Función de una 164 5
Infinito 10 Propiedades 3, 12 Polinomial 6 Propiedades
Racional Dos o más variables
54 8 164
M Máximo y mínimo Método de agotamiento
96,98, 190 3
P Pendiente
Punto de inflexión 103 97
Puntos críticos Puntos singulares Primera derivada
98, 99 99 102
R Razón de cambio
Regla de la cadena Regla cálculo de límites de dos variables Resonancia magnética
118 63 169 158
S Segunda derivada 105 Superficie cuadrática 137, 138
Página A Ángulo de reposo Aplicaciones
128
C
Cambio de variable Función trigonométrica Continuidad
4 45
Cociente Concavidad Creciente función Criterio primera y segunda derivada Curva de nivel
91 105 103, 107 101 136, 157
D Decreciente función Derivada
107 24
Algebraica Definición Exponencial Implícita Logaritmo natural Logaritmo de cualquier base
30 58 25 81 52 57
Potencia función Reglas Trigonometría inversa Orden superior Parciales Regla de la cadena Derivación explícita Diferencial total Dominio de una función Dornic grados
62 29 50 67, 188 176,180 184 66 185 144-149 109
F Función implícita 82 Método de derivación 83 Método del cociente 91 Función con dos o más variables 136 Fluorescencia 146