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1
Università degli Studi di PadovaUniversità degli Studi di PadovaDipartimento di Costruzioni e TrasportiDipartimento di Costruzioni e Trasporti
Docente: Ing. Roberto ScottaDocente: Ing. Roberto Scotta
CORSO DI TECNICA DELLE COSTRUZIONICORSO DI TECNICA DELLE COSTRUZIONIanno accademico 2009anno accademico 2009--1010
PadovaPadova –– 12/01/1012/01/10
COMPORTAMENTO, VERIFICA E PROGETTOCOMPORTAMENTO, VERIFICA E PROGETTODIDI STRUTTURE IN C.A.STRUTTURE IN C.A.
VERIFICHE SLU A PRESSOFLESSIONE
Leggi costitutive del calcestruzzo(utili solamente ai fini del calcolo della resistenza di sezioni)
2
Leggi costitutive del calcestruzzo(utili solamente ai fini del calcolo della resistenza di sezioni)
Leggi costitutive dell’acciaio
VERIFICHE SLU A PRESSOFLESSIONE
Costruzione del campo resistente a presso flessione
Nelle NTC08 questo limite èstato rimosso, ma non cambiail risultato in termini diresistenza
VERIFICHE SLU A PRESSOFLESSIONE
3
Il campo resistente della sezione di c.a. può essere visto come quello dellasezione di solo calcestruzzo, cui si somma la resistenza dell’acciaio. Ad esempioper sezione simmetrica:
…. svolgimento alla lavagna ….
VERIFICHE SLU A PRESSOFLESSIONE
Vi sono poche differenze fra l’adozione stress-block o la parabolarettangolo:
sezione c.a. - b=100 h=30 c=4 - 4+4#18
-
50
100
150
200
250
300
-6000
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
-
1000
2000
Nr (kN)
Mr(
kN
m)
Parabola rettangolo
Stress -block
Esempio: costruzione_campi.xls
VERIFICHE SLU A PRESSOFLESSIONE
4
Verifica diretta di resistenza agli SLU di pressoVerifica diretta di resistenza agli SLU di presso--flessioneflessione
Supposto che sia completamente nota la sezione, la verifica di resistenza diretta si scrive:
Dalla condizione di equilibrio asforzo normale si trova la posizione
di asse neutro (iterativamente):
8.0
kk
fdb8.0
NfkAfkA
fkAfkAfdb8.0ZZCNN
s''
cd
Syd''
syds
yd''
sydscd'
RS
cd2S
Scd
2R
RSRfdb
M
fdb
MovveroMM Quindi si effettua la verifica di
resistenza:
A’s
As
Gd=
h-c
ch
b
MS
x=
d
c=-0,35%
s=8
0,8
x
fcd
fyd
C
Zh/2
-c
’s
Z’
x-c
cNS
h/2
-0.4
x
h/2
-c
Una volta nota la posizione dell’asseneutro si determina il momento
resistente corrispondente:
c
2
hZZx4.0
2
hCM '
R
SemiSemi--progetto per SLU di pressoprogetto per SLU di presso--flessioneflessione
A’s
As
Gd=
h-c
ch
b
NS
MS
1) Progetto dell’armatura date le sollecitazioni(si danno per note le dimensioni)
A’s
As
Gd=
h-c
ch
b
NS
MS
NS=NS
M*S=MS-NS*(h/2-c)
2) Si trasportano le sollecitazioni rispettoalla posizione di armatura tesa
A’s
As
Gd=
h-c
ch
b
NS
M*S
=
3) Si scompone il problema in due sottoproblemi semplici (flessione+trazione)
A’s (eventuale)
AMs
G
NS
M*S
+
ANs
G
La sovrapposizioneè ammessa posto
che le deformazionidell’acciaio inferioresono le medesimenei due problemi:
As=AMs+AN
s
5
Il problema di trazione semplice:
NSANs
G
yd
Ss
N
f
NA
oppure in termini adimensionalizzati:
Scd
S
cd
ydNsN
fdb
N
fdb
fA
Ipotesi: acciaio sempre snervato
8.0fdb8.0
fA
d
xZC
M
cd
ydMs
Se la quantità di armatura tesa è grande rispetto all’area di calcestruzzo risultauna eccessiva profondità di asse neutro (problemi di rottura fragile)
Verifica: x xlim ?
Il problema di flessione semplice:si inizia ipotizzando che non sia necessario disporre armatura in zona compressa
A’s
AMs
Gd=
h-c
ch
b
M*S x=
d
c=-0,35%
s=8
0,8
x
fcd
fyd
C
Z~
0,9
d
0,4 xyd
*S
sM
fd9.0
MA
ydMscd fAZfxb8.0C
SemiSemi--progetto per SLU di pressoprogetto per SLU di presso--flessioneflessione
Per limitare la profondità di asse neutro:- diminuire la quantità di armatura tesa (contrasta con la esigenza di resistenza a flessione)- aumentare la sezione di calcestruzzo (nuova ipotesi di dimensioni)- aumentare la classe di resistenza del calcestruzzo- inserire armatura compressa (aumenta la duttilità della sezione)
x=x/d=3.5/(10+3.5)=0.259
x=x/d=3.5/(1.9+3.5)=0.65
Limitazioni alla profondità di asse neutro:
- nelle travi continue: x/d 0.45 se fck35 MPa
x/d 0.35 se fck>35 MPa
- se si opera analisi lineare con ridistribuzione:
25.1
44.0
d
xlimlim
per ecu=0.35% e
fck50 MPa
SemiSemi--progetto per SLU di pressoprogetto per SLU di presso--flessioneflessione
6
Se x > xlim sarà necessario disporre armatura in zona compressa.
Si impone x = xlim
A’s
AMs
Gd=
h-c
ch
b
M*S
x=lim d
c=-0,35%
s=8
0,8
x
fcd
fyd
C
Z
~0
,9d
0,4 x’s
Z’
x-c
c
Momento resistente limite inarmatura semplice:
limlim,Rcdlim 4.01dCMfdb8.0C
's
lim,R*S
s'
)cd(
MMA
Quantità di acciaio compresso
necessario:
Tensione sull’acciaio compresso 1kffkfx
cx%35.0 '
ydyd'
ydyd
's'
s's
SemiSemi--progetto per SLU di pressoprogetto per SLU di presso--flessioneflessione
Esempio: progetto della trave agli SLUEsempio: progetto della trave agli SLU
Ms = -170.4 kNm
b=60 cm d=24-4=20 cm fyd=390 MPa fcd=18.8 MPa
AMs=170.4 / (0.9 0.2 390) * 10 = 24.27 cmq As= 4f16+6f20 = 26.8 cmq
x = 26.8 * 390 / (60x20x18.8) = 0.464 > xlim = 0.35
devo inserire armatura compressa:
xlim = 0.35 x=0.35*20= 7 cm
MR,lim = 0.8x18.8x0.35x60x202x(1-0.4*0.35) = 108.7 kNm
MS- MR,lim = 170.4-108.7= 61.7 kNm
A’s = 61.7 / (20-4) / 390 * 103 = 16.09 cmq A’s= 4f16+3f20 = 17.45 cmq
7
Verifica della trave a SLU di flessioneVerifica della trave a SLU di flessione
NS=NR=0 MR=-175.8 > Ms = -170.4 kNm
Verifica della trave a SLU di flessioneVerifica della trave a SLU di flessione
NS=NR=0 MR=-175.8 > Ms = -170.4 kNm
con foglio excel
-250
-200
-150
-100
-50
-
50
100
150
200
250
-50
00
-40
00
-30
00
-20
00
-10
00
-
10
00
20
00
30
00
Nr (kN)
Mr(
kN
m)
.
8
Verifica di resistenza SLU dei pilastriVerifica di resistenza SLU dei pilastri
Per la verifica di stabilità dell’equilibrio della singola colonna si puòutilizzare il METODO DELLA COLONNA MODELLO
Considerando che spesso i pilastri hanno sezione e armatura costante, la verifica di resistenza può essere
agevolmente controllando che il relativo campo di resistenza contenga tutti i punti di sollecitazione dei
pilastri aventi tale sezione (al piede e sommità di ogni pilastro, in ogni combinazione di carico)
Rck Ec fcd Acciaio fyd Es eps-sy b h c d
MPa (MPa) MPa tipo MPa (MPA) cm cm cm cm
40 33643 18.81 B450C 390 206000 1.89 30 30 4 26390
Armatura superiore Armatura inferiore
f14 0 1.54 f14 0 1.54
f18 2 2.54 f18 2 2.54
f20 0 3.14 f20 0 3.14
f22 3.80 f22 3.80
Asup 5.09 Ainf 5.09
Campo resistente di tutti i pilastri
-150
-100
-50
-
50
100
150
-25
00
-20
00
-15
00
-10
00
-50
0
-50
0
10
00
Nr (kN)
Mr
(kN
m)
.
In caso di presso flessione deviata si utilizzano domini di resistenza Mx-My-N,
ovvero domini di resistenza Mx-My a sforzo normale fissato NR=NS
Progetto a SLU di pilastri (Progetto a SLU di pilastri (pressopresso--flessione con piccola eccentricità)flessione con piccola eccentricità)
In condizioni di piccola eccentricità, ovvero con acciaio teso poco impegnato o addirittura compresso
(campi di lavoro 4, 5 e 6), cioè nel caso di pilastri con armatura generalmente simmetrica è facile eseguire
la progettazione utilizzando un approccio adimensionalizzato:
nS=0.146 ; mS=0.128
w=0.20
cmq08.10184:armaturadiscelta
cmq68.8390
8.18x30x3020.0
f
fhbA
yd
cdS
Pilastro più sollecitato(il più vicino al limite del campo resistente)
128.01000x8.18x30x30
65
fhb
M
146.010x8.18x30x30
247
fhb
N
)kN247N;kNm65M(
cd2S
S
cd
SS
SS
9
Effetto arco
VERIFICHE DI RESISTENZA A TAGLIO secondo NTC08VERIFICHE DI RESISTENZA A TAGLIO secondo NTC08
ELEMENTI PRIVI DI ARMATURA TRASVERSALEla resistenza è dovuta ai meccanismi secondari di resistenza a taglio
V’
apertura della fessura
staffe di cuciturafessura
Effetto corrente compresso
Effetto bietta
Effetto ingranamento
VERIFICHE DI RESISTENZA A TAGLIO secondo NTC08VERIFICHE DI RESISTENZA A TAGLIO secondo NTC08
ELEMENTI PRIVI DI ARMATURA TRASVERSALEla resistenza è dovuta ai meccanismi secondari di resistenza a taglio
V’
apertura della fessura
staffe di cuciturafessura
Effetto corrente compresso
Effetto bietta
Effetto ingranamento
Effetto pettine
10
VERIFICHE DI RESISTENZA A TAGLIO secondo NTC08VERIFICHE DI RESISTENZA A TAGLIO secondo NTC08
ELEMENTI PRIVI DI ARMATURA TRASVERSALEla resistenza è dovuta ai meccanismi secondari di resistenza a taglio
VERIFICHE DI RESISTENZA A TAGLIO secondo NTC08VERIFICHE DI RESISTENZA A TAGLIO secondo NTC08
ELEMENTI PRIVI DI ARMATURA TRASVERSALEesempio per la stessa sezione della trave verificata a flessione
VS = 204 kN
b=60 cm d=24-4=20 cm fck=33.2 MPa
Al= 4f16+6f20 = 26.8 cmq
k=1+(200/200)1/2 = 2
rl=26.8/(60x20)=2.22% l=2%
v=0.18*2*(100*0.02*33.2)1/3 / 1.5 = 0.97 MPa
vmin = 0.035 * 23/2 * 33.21/2 = 0.57
VRd = 0.97*60*20/10 = 116.62 kN < VS=204 kN (non verificato)
Occorrerà armare la sezione a taglio
Se avessimo utilizzato il metododelle T.A.:
tc0 = 0.4+(Rck-15)/75=0.73 MPav / tc0 = 0.97/0.73 = 1.32
le due verifiche sarebbero risultateabbastanza in linea. Il metodo SLU
è però penalizzante per % diarmatura basse e per travi alte
11
travi prive di armatura a tagliotravi prive di armatura a taglio
RESISTENZAA TAGLIO: confronto tra diverse normativeRESISTENZAA TAGLIO: confronto tra diverse normative
Volendo effettuare un confronto tra la quantità di armatura a taglio imposta dalle diverse normative chesi sono succedute negli ultimi anni si ottengono risultati del tipo di quelli riassunti nei grafici seguenti:
sezioneB60xd20
0.0
20.0
40.0
60.0
80.0
100.0
120.0
0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0%
r
VR
d(k
N)
.
DM92
DM96
EC2
NTC2008
\\
sezioneB20xd60
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
90.0
100.0
0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0%
r
VR
d(k
N)
.
DM92
DM96
EC2
NTC2008
\\
Meccanismo resistente di Mörsch
Resistenza Ultima a TaglioResistenza Ultima a Taglio
12
senA
s
cotcotzV sws
sensensbsenA wcsws
2wc
cot1
cotcotzbV
Armatura d’animaequilibrio traslazione verticale
Bielle di cls compresseequilibrio nodo biella-staffa
Resistenza Ultima a TaglioResistenza Ultima a Taglio
P
Fstaffe
z/2 (cotQ-cota)
Traslazione del diagramma di MomentoTraslazione del diagramma di Momento
Armatura longitudinaleequilibrio attorno a P
cotcot
2
V
z
Mcotcot
2
za
z
VZ
)0x()0x( Vd9.0M
yd
)0x(
yd
)0x()0x(,s
f
V
fd9.0
MA
Armatura all’appoggio(caso Q=45°, a=90° : a1=0.9 d)
1SduSduSdu aVM)V(M Regola di traslazione
2
dcotcotd9.0a
semeglio
cotcot2
da
1
1
13
ELEMENTI CON ARMATURA A TAGLIO
VERIFICHE DI RESISTENZA A TAGLIO secondo NTC08VERIFICHE DI RESISTENZA A TAGLIO secondo NTC08
45°Q 21°,8
VERIFICHE DI RESISTENZA A TAGLIO secondo NTC08VERIFICHE DI RESISTENZA A TAGLIO secondo NTC08
ELEMENTI CON ARMATURA A TAGLIOesempio per la stessa sezione della trave verificata a flessione
b=60 cm d=24-4=20 cm fcd=18.8 MPa staffe a 4 braccia f8 - Ast=2.00 cmq
Poiché la resistenza delle bielle compresse è sempre esuberante cotg(Q)=2.5 VR=350 KN, al variaredella quantità di staffe l’equilbrio si trova per angoli Q variabili:
- passo 15 cm - Q=25°- passo 10 cm - Q=35°- passo 7 cm - Q=45°
Ovviamente la condizione di massimo risparmio si ha in questo caso con cotgQ=2.5
-
100
200
300
400
500
600
20
25
30
35
40
45
50
Theta (°)
V(k
N)
.
Vrd armature d'anima
Vrd bielle compresse
Vsd=204 kN
passo15cm
10
7
14
VERIFICHE DI RESISTENZA A TAGLIO secondo NTC08VERIFICHE DI RESISTENZA A TAGLIO secondo NTC08
ELEMENTI CON ARMATURA A TAGLIO
In generale la condizione ottimale si ha quando, al variare del passo delle staffe, si raggiungel’uguaglianza fra la sollecitazione e le resistenze di armature d’anima e bielle compresse.
-
100
200
300
400
500
60020
25
30
35
40
45
50
Theta (°)
V(k
N)
. Vrd armature d'anima
Vrd bielle compresse
Vsd=204 kN
VS=400 kN - staffe passo 7 cm
Q=27°
travi con armatura a tagliotravi con armatura a taglio
RESISTENZAA TAGLIO: confronto tra diverse normativeRESISTENZAA TAGLIO: confronto tra diverse normative
Volendo effettuare un confronto tra la quantità di armatura a taglio imposta dalle diverse normative chesi sono succedute negli ultimi anni si ottengono risultati del tipo di quelli riassunti nei grafici seguenti:
sezione B20xd60
0
5
10
15
20
25
- 100 200 300 400 500 600
V(kN)
Aw
d/s
(cm
q/m
).
DM92
DM96
EC2
NTC2008
sezione B60xd20
0
10
20
30
40
50
60
70
80
- 100 200 300 400 500 600
V(kN)
Aw
d/s
(cm
q/m
).
DM92
DM96
EC2
NTC2008
15
Armatura minima delle traviArmatura minima delle travi
Armatura minima delle traviArmatura minima delle travi
Deriva dalla condizione:
Mcr= fctk*b*h2/6 My0.8*h*As*fyk
ovvero (fctk=0.7*fctm):
As,min0.26* fctm/ fyk*b*h
che per:
- Rck=20 MPa min=0.13%
- Rck=50 MPa min=0.24%
In zona sismica:
As,min1.40/ fyk*b*h=0.3% *b*h
16
Armatura minima dei pilastriArmatura minima dei pilastri
In zona sismica per:
- edifici alta duttilità (A): n=NS/(b*h*fcd)0.55
- edifici bassa duttilità(B): n=NS/(b*h*fcd)0.65
per stato limite di esercizio si intendeil raggiungimento da parte di una struttura o di una sua parte, di una condizione
che rappresenta un limite oltre il quale non sono più garantite certe prestazioni diservizio, senza che per questo essa sia prossima a condizioni di crisi
Limitazione delle tensioni di esercizio(di compressione per il calcestruzzo, di trazione per l’acciaio);
Controllo della fessurazione;
Controllo dell’inflessione.
GLI STATI LIMITEGLI STATI LIMITE DIDI ESERCIZIOESERCIZIO
NEL CALCESTRUZZO ARMATO
stato limite “reversibile”
stato limite “irreversibile”
17
STATI LIMITESTATI LIMITE DIDI ESERCIZIOESERCIZIO
LIMITAZIONE DELLE TENSIONI
CONTROLLO DELLA FESSURAZIONE
CONTROLLO DELL’INFLESSIONE
Calcolo delle sollecitazioni
I coefficienti di sicurezza per le resistenze dei materiali, valgono:
per l’acciaio: gs=1.0
per il calcestruzzo: gc=1.0
Coefficienti di sicurezza
IPO
TE
SI
si utilizza il calcolo elastico lineare, in grado di riprodurre con sufficiente
approssimazione il comportamento della struttura sotto i carichi di
esercizio.
STATO LIMITE DELLE TENSIONI IN ESERCIZIOSTATO LIMITE DELLE TENSIONI IN ESERCIZIO
Secondo NTC 08:
18
STATO LIMITE DELLE TENSIONI IN ESERCIZIOSTATO LIMITE DELLE TENSIONI IN ESERCIZIO
Esempio - Traveb=60 cm d=24-4=20 cm fyk=450 MPa fck=33.2 MPa
As= 4f16+6f20 = 26.8 cmq A’s= 4f16+3f20 = 17.45 cmq
MS,rara = -127 kNm
<0.6*33.2=19.9 MPa
<0.8*450=360 MPa
STATO LIMITE DELLE TENSIONI IN ESERCIZIOSTATO LIMITE DELLE TENSIONI IN ESERCIZIO
Esempio - Traveb=60 cm d=24-4=20 cm fyk=450 MPa fck=33.2 MPa
As= 4f16+6f20 = 26.8 cmq A’s= 4f16+3f20 = 17.45 cmq
MS,q.p. = -110 kNm
> 0.45*33.2=14.9 MPa
Devo aumentare sezioni trave o classe calcestruzzo
19
STATO LIMITE DELLE TENSIONI IN ESERCIZIOSTATO LIMITE DELLE TENSIONI IN ESERCIZIOEsempio - Pilastro con massime tensioni al piano terra - comb. Q.P.
B=H=30 cm fyk=450 MPa fck=33.2 MPa
As= 4f18 = 10.16 cmq
NS,q.p. = -326 kNm MS,q.p. = 40.6 kNm
< 0.45*33.2=14.9 MPa
STATO LIMITESTATO LIMITE DIDI FESSURAZIONEFESSURAZIONE
La fessurazionedeve essere limitata a un livello tale da non pregiudicareil corretto funzionamento o la durabilità della struttura
o da renderne inaccettabile l’aspetto.
La fessurazione è fatto normale nelle strutture di calcestruzzo armatosollecitate per effetto di carichi diretti o deformazioni impedite;
Le fessure possono anche sorgere per altre cause (ritiro plastico oreazioni chimiche espansive all’interno del calcestruzzo indurito). Talifessure possono assumere ampiezze inaccettabili, e la loroprevenzione può richiedere analisi specifiche.
Si può permettere la formazione delle fessure senza nessun tentativo diverifica dell’ampiezza, se non è pregiudicato il funzionamento dellastruttura (secondo EC2);
20
STATO LIMITESTATO LIMITE DIDI FESSURAZIONEFESSURAZIONE
Valori limite wmax raccomandati (in assenza di requisiti specifici)
Un metodo alternativo semplificato consiste nel limitare il diametro dellebarre e la loro spaziatura
(verifica senza calcolo diretto dell’apertura di fessura)
Si raccomanda di fissare un’ampiezza limite di progetto delle fessure,wmax, tenuto conto della funzione, della natura della struttura e dei costi
Per iniziare … Il meccanismo di formazione delle fessure
sIIs = N/As
eIIs = sII
s/Es > eIs
v0 tratto a cavallo dellafessura in cui l’aderenza ècompletamente persa
prima fessura:le tensioni sul cls siannullano mentre quellesull’acciaio aumentano
le lunghezza diintroduzione: tratto in cuisi sviluppano le forze diaderenza
21
CALCOLO DELLA DISTANZA TRA LE FESSURECALCOLO DELLA DISTANZA TRA LE FESSURE
Indipendentemente dal tipo disollecitazione agente la distanzaminima teorica fra due fessuresuccessive è pari a:
e0min,rm lv2
1s
Distanza minima teorica
Srm,min viene raggiunta solo per livelli di carico per cui il quadro fessurativo è completamente sviluppato.
Per valori di carico correnti le fessure si formano a distanze superiori a tale distanza minima
v0 tratto a cavallo della fessura in cuil’aderenza è completamente persa
le lunghezza di introduzione: tratto in cui sisviluppano le forze di aderenza
SrmSrm,min
Srm,min
DISTANZA TRA LE FESSURE: lunghezza di introduzione lDISTANZA TRA LE FESSURE: lunghezza di introduzione lee
La distanza media alla quale due fessure successive si formano dipende da vari fattori:distribuzione delle tensioni sulla sezione, qualità dei materiali, aderenza fra acciaio ecalcestruzzo, forma e dimensioni della sezione, quantità e distribuzione dell’armatura
per l’asta in trazione semplice avente area in calcestruzzo Ac, armata con N barre diarmatura di diametro f, la lunghezza d’introduzione può stimarsi con la relazione
Asta in trazione
bm
cctmN,e
Afl
Ndove tbm il valore medio delle tensionidi aderenza sul tratto le
c
sr
bm
ctmr
2
sA
A;
fk;
4A
Nposto l
kke N
r
rr
r, .
40 25
Nel caso di flessione semplice nella posizione di armatura vicina al baricentro del triangolodelle tensioni di trazione (cioè in sezioni con altezza utile bassa) si ottiene invece
Asta in flessione
r
r
bm
Iccfm
M,e k189.0Af
63.0l
N
avendo posto AIc l’area di calcestruzzo
nella zona tenso-inflessa nello stato I.
22
DISTANZA TRA LE FESSUREDISTANZA TRA LE FESSURE
a parità di percentuale di armatura la distanza media fra le fessure,e conseguentemente la loro ampiezza, aumenta all’aumentare del diametro delle barre e al
diminuire del numero di barre di armatura
rrm aaleproporzionèS
AMPIEZZA DELLE FESSUREAMPIEZZA DELLE FESSURE –– Deformazione mediaDeformazione media
trascurando le tensioni trasmesse per aderenza, nel tratto di lunghezza Sr m l’armaturasi allunga mentre il calcestruzzo tra le fessure è scarico
Indicando con σs la tensione nell’acciaiodopo la formazione della fessura si ha:
Ipotesi semplificativa
l’ampiezza della fessura in questo caso risulta pari a:
sss E/
rms sw
Tale soluzione è ovviamente conservativa e a favore di sicurezza in quanto trascura ladeformazione di allungamento del calcestruzzo fra due fessure successive.
23
Fino a quando il calcestruzzo non si è fessurato la deformazione dell’acciaio equella del calcestruzzo sono entrambe pari a:
scc1c1s
nAAE
N
I Stadio
Superato lo sforzo normale di fessurazione si ha: 02c
II Stadio
ss2s
AE
N
Nfes
In questa ipotesi si ha,quindi, un salto brusco incorrispondenza di Nfes
AMPIEZZA DELLE FESSUREAMPIEZZA DELLE FESSURE –– Deformazione mediaDeformazione media
All’aumentare del carico diminuisce ladistanza fra le fessure e la tensionesull’acciaio assume un valore medio piùelevato, avvicinandosi alcomportamento della trave ideale instato II per tutta la sua lunghezza.
asta in c.a. sottoposta a trazione
RISULTATI SPERIMENTALIRISULTATI SPERIMENTALI
La trave esibisce una rigidezza complessiva superiore a quella ideale data dalsolo calcestruzzo compresso e dall’acciaio teso per la minore deformazione del
corrente teso dovuta all’effetto irrigidente del calcestruzzo ancora integro fra lefessure
24
AMPIEZZA DELLE FESSUREAMPIEZZA DELLE FESSURE -- Effetto delEffetto del TensionTension StiffeningStiffening
L’ampiezza delle fessure è pari alla
differenza tra l’allungamento
dell’acciaio e quello del
calcestruzzo:
cmsmrmm sw Nfe
s
)(sw cmsmmax,rd
Si deve verificare che l’ampiezza di fessura wk rimanga entro i limitiaccettabili.
Ampiezza caratteristica delle fessure
sr,max distanza massima fra due
fessure successive
esm deformazione media dell’acciaio
(include “tension stiffening” e def. impresse)
ecm deformazione media del cls tra le
fessure
è pari alla differenza tra l’allungamento dell’acciaio e quello del calcestruzzo
VERIFICA DELLA FESSURAZIONE CON CALCOLO DELL’AMPIEZZAVERIFICA DELLA FESSURAZIONE CON CALCOLO DELL’AMPIEZZA
Coefficiente che fapassare da valori medi a
valori di calcolo
Le NTC 2008 rimandono a normative di comprovata validità per il calcolo dell’ampiezza difessura (DM96). Nella circolare esplicativa si propone il metodo alternativo ripreso da EC2.
smmaxd sw
25
eff4213max kkkcks
DISTANZA MASSIMA FINALE TRA LE FESSUREDISTANZA MASSIMA FINALE TRA LE FESSURE
dipende da v0/2 dipende da le
Se l’ interasse tra l’armatura aderente 5 (c+f/2)
c = copriferro netto
f = diametro delle barre (feq se barre di diametro diverso );
k1 = coefficiente che caratterizza l’aderenza del calcestruzzo all’armatura:
0.8 per barre ad aderenza migliorata (danno minore distanza fra le fessure perché aumenta la tb) e
1.6 per barre lisce
k2 = coefficiente che tiene conto della forma del diagramma delle deformazioni
0.5 per flessione, 1 per trazione pura, (e1+ e2)/(2e1) nel caso di trazione eccentrica, o per singole
parti di sezione, essendo e1 e e2 rispettivamente la massima e minima deformazione di trazione sul
calcestruzzo valutata in STATO II (sez. fessurata)
k3 = 3.4 k4=0.425 reff = As/Ac,eff
As = area dell’armatura lenta (e di precompressione aderente) posta entro Ac,eff (area di cls efficace).
Se l’ interasse tra l’armatura aderente > 5 (c+f/2)
)xh(3.1smax
area di calcestruzzo che può essereconsiderata collaborante con
l’armatura in trazione.
ef,ceffeff,c hbA
Area di cls efficace
2
h;
3
xh;h-d5.2minh ef,c
dove:
Trave
Piastra
Elementoin trazione
26
DILATAZIONE MEDIA TRA DUE FESSUREDILATAZIONE MEDIA TRA DUE FESSURE
s
s
s
effeeff
ctmts
smE
6.0E
)1(fk
s = tensione nell’acciaio calcolata• nella sezione fessurata (STADIO II) e = Es/Ecm
• kt = fattore che considera la durata del carico• (= 0.6 per carichi di breve durata;• = 0.4 per carichi di lunga durata o ripetuti).•
• reff = As /Ac,eff già esplicitato
•Nf
es
STATO LIMITESTATO LIMITE DIDI FESSURAZIONEFESSURAZIONE –– Armatura minima secondo EC2Armatura minima secondo EC2
Se è richiesta la verifica a fessurazione,è necessario disporre un quantitativo minimo di armatura aderenteper controllare la fessurazione nelle zone dove è presente la trazione.
EQUILIBRIO al limite di fessurazione
Kc = 1 per trazione pura 0,4 Kc < 1 per tenso-flessione
K = 0,65 - 1 tiene conto della presenza di stati di autotensione distribuiti non uniformemente
As,min ss = Kc K fct,eff Ac,teso
Trazione nel clsall’incipiente fessurazionecon fct.eff = fctm(t)
Trazione nell’armaturacon ss ≤ fyk
As,min ≥ Kc K fct,eff Ac,teso/ss
Kc tiene conto del tipo di distribuzione delle tensioni nella sezione immediatamente prima dellafessurazione e della variazione del braccio di leva
Per controllo fessurazione e non fragilità
27
Non serve calcolo diretto:
per piastre di c.a. o c.a.p. di edifici (solai), soggette a flessione con trazione assiale trascurabile, purchéaltezza h200 mm e siano applicate le disposizioni relative alle piastre
in caso di fessurazione dovuta a deformazioni impresse impedite,
se e’ rispettata l’armatura minima e SE NON SONO SUPERATI I DIAMETRI MASSIMI indicati in
Tabella
Tensione calcolata consezione fessurata e con lacombinazione di caricopertinente
VERIFICA DELLA FESSURAZIONE SENZA CALCOLO DIRETTOVERIFICA DELLA FESSURAZIONE SENZA CALCOLO DIRETTO
se e’ rispettata l’armatura minima, e se sono rispettati:
In caso di fessurazione dovuta principalmente a carichi,
I DIAMETRIMASSIMI ...
…e laSPAZIATURAMASSIMA tra
le BARRE
VERIFICA DELLA FESSURAZIONE SENZA CALCOLO DIRETTOVERIFICA DELLA FESSURAZIONE SENZA CALCOLO DIRETTO
28
Nelle travi di altezza totale h 1 000 mm si raccomandaun’armatura aggiuntiva di pelle per il controllo della fessurazione sullefacce laterali della trave. L’armatura deve essere distribuita uniformementetra il livello dell’armatura principale tesa e l’asse neutro e posta all’internodelle staffe.
Esiste un rischio particolare di formazione di ampie fessure in corrispondenzadi sezioni dove si hanno improvvise variazioni di tensione, p.e.:
- in corrispondenza di cambi di sezione;- vicino a carichi concentrati;- dove barre sono interrotte;- in zone di elevate tensioni di aderenza, (estremità delle sovrapposizioni).
Ridurre al minimo le variazioni di tensione in tali zone;Rispetto regole di dettaglio
VERIFICA DELLA FESSURAZIONE SENZA CALCOLO DIRETTOVERIFICA DELLA FESSURAZIONE SENZA CALCOLO DIRETTO
ESEMPIO: VERIFICAESEMPIO: VERIFICA DIDI FESSURAZIONE PER LA TRAVE DEL TELAIOFESSURAZIONE PER LA TRAVE DEL TELAIO
Comb. Quasi Permanente
Comb. Frequente
=0.4 mm
=0.3 mm
fyk=450 MPa fck=33.2 MPa
b=60 cm d=24-4=20 cm
As= 4f16+6f20 = 26.8 cmq feq=18.6 mm ref=26.8/288=9.33%
A’s= 4f16+3f20 = 17.45 cmq
c=40-18.6/2=31 mm x=9.6 cm (esatto) ~ 0.4 h
cmq2888.460hbA ef,ceffeff,c
cm8.42
24;
3
246.0;45.2min
2
h;
3
xh;h-d5.2minh ef,c
MS=-110.37 kNm
MS=-115.18 kNm
29
ESEMPIO: VERIFICAESEMPIO: VERIFICA DIDI FESSURAZIONE PER LA TRAVE DEL TELAIOFESSURAZIONE PER LA TRAVE DEL TELAIO
mm139%33.9
6.18425.05.08.0314.3kkkcks
eff
eq4213max
Distanza massima fra le fessure:
Combinazione quasi permanente:
)MPa248esatto(MPa228108.26209.0
37.110
Ad9.0
M 3
ss
%066.0206000
2286.0
E6.0%101.0
206000
%33.933642
2060001
%33.9
10.34.0228
E
)1(fk
s
s
s
effeeff
ctmts
sm
mm3.0Wmm14.0%101.0139sW 2smmaxd
Combinazione frequente:
MPa238108.26209.0
18.115
Ad9.0
M 3
ss
%069.0206000
2386.0
E6.0%105.0
206000
%33.933642
2060001
%33.9
10.34.0238
E
)1(fk
s
s
s
effeeff
ctmts
sm
mm4.0Wmm15.0%105.0139sW 3smmaxd
20.9 MPa
I DIAMETRIMASSIMI ...
…e laSPAZIATURAMASSIMA tra
le BARRE
VERIFICA DELLA FESSURAZIONE SENZA CALCOLO DIRETTOVERIFICA DELLA FESSURAZIONE SENZA CALCOLO DIRETTO
In condizione quasi permanente (la più restrittiva):
18.6
58
228248
30
STATO LIMITESTATO LIMITE DIDI DEFORMAZIONEDEFORMAZIONE
Il controllo dell’inflessione ha lo scopo di evitare:
• danni agli elementi collegati (murature, vetrate, tamponamenti, tubazioni, ecc.)
• che vengano meno le condizioni di utilizzazione della struttura (inclinazione dei solai,
inversione delle pendenze, funzionamento di macchinari, ecc.)
L’inflessione di un elemento o di una struttura deve essere tale da non
comprometterne la FUNZIONALITA’ o ASPETTO ESTETICO
LIMITI da ISO 4356
per travi, solai, sbalzi in combinazione di carichi quasi permanente
Limite assoluto f ≤ L/250
Limite relativo
(dopo la costruzione)f ≤ L/500
Funzionalità,
aspetto estetico
Salvaguardia
elementi portati
L’inflessione di travi e solai si calcola per doppia integrazione della curvatura delle sezioni,
tenendo conto di:
• effetti di viscosità (e eventualmente di ritiro)
• eventuale fessurazione del cls e dell’ effetto di tension-stiffening.
CONTROLLO DELL’INFLESSIONECONTROLLO DELL’INFLESSIONE
Calcolo teorico della deformazione
dEJ
M
r
1 cs curvatura dell’asse di una trave in c.a. soggetta a presso-flessione
Nota la distribuzione delle curvature lungo tutta la lunghezza della trave è possibiledeterminare in ogni sua sezione la rotazione j(x) e la curva di inflessione f(x) attraverso
l’integrazione e, rispettivamente, la doppia integrazione di 1/r(x), con le costanti diintegrazione che derivano dai vincoli applicati alla struttura
La verifica può essere effettuata:
Limitando il rapporto Luce/altezza utile
Confrontando valore calcolato con valore limite
METODO SEMPLIFICATO
CALCOLO TEORICO
0L
0L
fdxxfdxr
1x
31
La difficoltà nel calcolo delle deformazioni di travi in c.a. è insita nella valutazionedella rigidezza flessionale EJ che risulta avere forti variabilità da punto a punto.
Calcolo teorico
Andamento delle rigidezzeflessionali e delle curvaturelungo una trave in funzionedel diagramma dei momenti
Si individuano campicon rigidezze
differenti
– calcolo teorico
32
IcI JE
M
r
1curvatura in I stadio
M ≤ Mfes
IIcII JE
M
r
1curvatura in II stadio
M ≥ Mfes
contributo del calcestruzzo(tension stiffening) M=Mfes
fes
I
fes
II
fes Mr
1M
r
1βM
r
1Δ
)(Mr
1)(M
r
1fes
Ifes
II
M
1/r
– calcolo teorico
b =1
b =0
M
MM
r
1M
r
1 β M
r
1 fesfes
Ifes
II
Mr
1Δ
contributo del calcestruzzo
Al crescere di M il comportamento tende asintoticamente a quello del IIstadio perché il contributo del calcestruzzo diviene sempre menorilevante
2
fes
III M
MM
r
1M
r
1
r
1
essendo
M
MM
r
1M
r
1 β
r
1 fesfes
Ifes
II
M
Mr
1M
r
1
M
Mr
1M
r
1
III
fes
fesI
fesII
– calcolo teorico
)N()N( fes1sfes2s
M
1/r
r
1Δ
r
1
(M)r
1
I (M)r
1
II
M>Mfes
33
2
fes
III M
MM
r
1M
r
1
r
1
2
fes
IIIII M
M
r
1
r
1
r
1
r
1
M>Mfe
s
Per il comportamento lineare dei materiali:2
s
sr
2
fes
M
M
2
s
sr
I
2
s
sr
II r
11
r
1
r
1
ssr tensione nell’acciaio in Stadio II per M=Mfes
ss tensione nell’acciaio in Stadio II per M
– calcolo teorico
)N()N( fes1sfes2s
M
1/r
r
1Δ
r
1
(M)r
1
I (M)r
1
II
M>Mfes
Effetto del Tension Stiffening –Contributo del calcestruzzo
2
s
sr
I
2
s
sr
II r
11
r
1
r
1
Eurocodice 2 e DM08
2
fes
2
M
M11
s
sr
Con:
b che dipende durata e ripetitività del carico:=1 carico singolo breve durata=0,5 lunga durata o ripetuti
III r
1)1(
r
1
r
1
Essendo:
)N()N( fes1sfes2s
M
1/r
M>Mfes
r
1
– calcolo teorico
b =1
b =0
34
– calcolo teorico
Per carichi di durata tale da produrre effetti viscosi, la deformazione totale,comprensiva dell’effetto della viscosità, può essere calcolata utilizzando unmodulo di elasticità efficace del calcestruzzo
))t,(1(EE 0m,ceff,c
Le curvature indotte dal ritiro possono essere valutate:
dove:
- Ss è il momento statico dell’armatura rispetto al baricentro della sezione ideale
- Iid è il momento d’inerzia della sezione ideale (valutata in Stadio I)
METODO RIGOROSO:
Calcolata la curvatura in più sezioni, si determina l’inflessione mediante
integrazione numerica
METODO APPROSSIMATO (applicabile nella maggioranza dei casi):
Si calcola l’inflessione vI nell’ipotesi che l’intero elemento sia in STADIO I,
l’inflessione vII nell’ipotesi che l’intero elemento sia in STADIO II,l’inflessione reale” è pari a : III v)1(vv
id
s
cm
scs
cs I
S
E
E
r
1
CONTROLLO DELL’INFLESSIONECONTROLLO DELL’INFLESSIONE –– calcolo semplificatocalcolo semplificatoIn genere non è necessario calcolare esplicitamente le inflessioni poiché possono essereformulate regole semplici (come la limitazione luce/altezza).
La curvatura in stato II fessurato, può essere valutata come:
Nella sezione più sollecitata della trave, si sovrastima la curvatura con la relazione:
la freccia della trave si può calcolare con relazione del tipo:
(es.: c=1/8 x trave semplice appoggio soggetta a flessione costante; c=40/384 per travesemplice appoggio soggetta a carico uniforme, …). E infine:
che giustifica la limitazione di L/d come metodo di controllo della freccia.
xdEJ
M
r
1 s
II
1dE
f
xdE
f
xdEJ
M
r
1
s
yk
s
yksy
II
max
max,II
2
s
yk2
max,II
L1dE
fcL
r
1cf
d
LKL
1dE
fc
L
f
s
yk
35
CONTROLLO DELL’INFLESSIONECONTROLLO DELL’INFLESSIONE –– calcolo semplificatocalcolo semplificatoSecondo NTC2008:
il RAPPORTO LIMITE LUCE/ALTEZZA può essere limitatocosì:
CONTROLLO DELL’INFLESSIONECONTROLLO DELL’INFLESSIONE –– calcolo semplificatocalcolo semplificato
36
ESEMPIO: VERIFICAESEMPIO: VERIFICA DIDI DEFORMAZIONE PER LA TRAVE DEL TELAIODEFORMAZIONE PER LA TRAVE DEL TELAIO
9.41%45.1%24.2
2.330015.0114.0
Af
A500f0015.011K8.9
24
235
h
L
calc,syk
eff,sck
VERIFICA SEMPLIFICATA - mensola a sbalzo L=235 cm
K=0.4 per mensoler=26.8/(60x20)=2.24%r’=17.4/(60x20)=1.45%fck=33.2 MPa
Il valore approssimato massimo di snellezza suggerito databella (per Rck=30 MPa e r=1.5%) è pari a 6.
La verifica non è soddisfatta!SI PROVA A CALCOLARE LA CURVATURA CON METODO APPROSSIMATO
In combinazione di carico rara, da modello numerico:- con EJI= 33600*(600*2403/12) fI=13.8 mm- con EJI/EJII =2.43 fII=fI*2.43=33.6 mm
(sezione fessurata + effetti viscosi con 1+f=2.5)
- Mf fcfm*(b*h2/6)=21.5 kNm- b = Mf/MS,rara = 21.5/122 = 0.175 c=0.5 z=1-cb2=0.98- f = z*fII+(1-z)*fI = fII = 33.6 mm- L/fII = 2*235/3.36 = 140 < 250
La mensola si conferma eccessivamente deformabile!
fmax=13.8 mm