Equações Diferenciais

Aula 10

Prof. Onézimo Cardoso

Coeficientes IndeterminadosSuperposição

• Para obtermos a solução geral para uma equação diferencial linear não-homogênea temos que realizar dois procedimentos:

1. Encontrar a função complementar

2. Encontrar qualquer solução particular da equação não-homogênea;

• Consideremos a equação:

• Em que são constantes;

• O método que abordaremos para a solução de (1) requer que:

– Os coeficientes de (1) sejam constantes;

– é uma constantes, uma função polinomial, uma função exponencial , , , ou somas e produtos dessas funções;

(1)

Exemplo• Resolva

• Resolvendo a equação homogênea associada ;

• Pela fórmula quadrática, deduzimos que as raízes da equação

auxiliar são:

• Desse modo, a função complementar é expressa por:

• Agora, já que a função aplicada é um polinômio quadrático,

vamos supor uma solução particular que tenha também a forma

de um polinômio quadrático:

• Devemos determinar coeficientes específicos para os quais seja

uma solução particular para EDO em questão;

• Substituindo então a função e suas derivadas na EDO:

• A partir da última equação temos:

• Ou seja,

• Resolvendo o sistema de equações anterior, concluímos que ;

• Logo, uma solução particular é:

• Temos portanto que a solução geral para a equação dada é:

Exemplo• Encontre uma solução particular para

• Note que a equação é da forma ;

• Mas como derivações sucessivas de produzem e , devemos

buscar uma solução particular da forma:

• Derivando e substituindo os resultados na EDO, temos:

• Temos então que:

• Do sistema resultante de equações, temos:

• Concluímos então que e . Uma solução particular para a equação

é:

Exemplo• Resolva

• Solucionando inicialmente a equação homogênea associada ,

concluímos:

• Para o cálculo da solução particular, perceba que a presença de

indica que deve conter as parcelas ;

• Perceba também que a derivada do produto produz derivadas

da forma e , portanto também deve conter parcelas da forma ;

• Portanto, a equação particular para EDO em questão é da forma:

• Substituindo e suas respectivas derivadas na EDO, concluímos

que:

• Da igualdade acima, decorre que:

• Concluímos então que , , e

• Desse modo, a solução particular é expressa por:

• A solução geral para EDO é então da forma:

Solução Alternativa• Podemos aplicar o princípio da superposição das soluções

particulares visto anteriormente e dividir o problema em

questão em dois mais simples:

–

• Aplicando o método dos coeficientes indeterminados nas duas

equações acima, concluímos que:

• Uma solução particular para a EDO em questão pode ser expressa

então por:

Exemplo• Determine uma solução particular para

• Para esse caso, escolheríamos a solução particular ;

• Porém, pelo fato desse tipo de solução estar presente na

equação complementar:

• Encontraremos a informação contraditória

• Ao substituirmos na EDO;

• Para esse caso, aplicaremos o fato visto anteriormente que se é

solução da EDO então também será;

• Desse modo, para esse caso, aplicaremos a solução particular:

• Então,

• Substituindo as equações acima na EDO obtemos:

• Nesse caso então, a solução particular será expressa por:

Formulação Geral• Podemos então dividir o método dos Coeficientes

Indeterminados por Superposição em dois casos:

CASO 1: Nenhuma função da suposta solução particular é uma

solução para a equação diferencial homogênea associada;

• Nesse caso, aplicamos diretamente a forma da solução

particular na EDO e determinamos

CASO 2: Uma função na solução particular escolhida é também

uma solução para a equação diferencial homogênea associada;

• Nesse caso, suponha que:

• Seja uma superposição de soluções particulares da EDO;

• Se alguma contém termos que duplicam termos em , então esta

tem que ser multiplicada por , em que é o menor inteiro

positivo que elimina essa duplicação;

Exemplo• Encontre uma solução particular para ;

• A função complementar para EDO acima é expressa por:

• Nesse caso, a escolha não funciona, pois ela está presente na

solução complementar;

• Note que a multiplicação de por resulta em que ainda está

presente na solução complementar;

• Devemos portanto considerar:

• Substituindo então e suas respectivas derivadas na EDO, obtemos:

• Logo, uma solução particular é:

Exemplo• Resolva o problema de valor inicial

• A solução da equação homogênea associada é:

• Agora, como é a soma de uma função linear e uma função seno,

nossa escolha normal para seria a soma de e ;

• Há uma clara duplicação dos termos e , desse modo, devemos

multiplicar por :

• Substituindo e suas derivadas na EDO obtemos:

• Resultando em

• Portanto, obtemos:

• A solução da EDO então é expressa por:

• Aplicando as condições iniciais na equação encontrada, obtemos

Equações de Ordem Superior• O método dos coeficientes indeterminados não é restrito a

equações de segunda ordem;

• Pode ser utilizado em equações de ordem superior

• Contanto que consista nos tipos próprios de funções discutidas

anteriormente;

Exemplo• Resolva

• As raízes da equação característica são e ;

• Então, a solução complementar para a equação é:

• Note que , desse modo, devemos ter:

• Perceba que não há nenhuma solução de que coincida com

funções da solução complementar;

• Visto isso, procederemos com a descrita anteriormente;

• Substituindo e suas respectivas derivadas na EDO, obtemos:

• Portanto a solução particular é expressa por:

• Desse modo a solução geral é da forma:

Exemplo• Determine a forma de uma solução particular para

• A função complementar da EDO acima é expressa por:

• A solução particular para esse caso, deveria ser da forma:

• Note que as duplicações entre e são eliminadas quando é

multiplicada por e é multiplicada por ;

• Logo, a escolha correta para uma solução particular é:

Exercícios 4.4• Resolva 4 exercícios dentre as questões 1 à 26;

• Resolva 4 exercícios dentre as questões 29 à 43;