Sistemas Mecnicos

Problemas iniciales de repaso

Curso 2012-2013

Fecha de entrega: semana del 23 al 29 de septiembre Forma de entrega: la indicada por el profesor de cada grupo

Juan Velzquez Miquel Serra Francisco Quintilla Vega Prez-Gracia Carlos Arregui

Sistemas Mecnicos. Problemas de repaso Carlos Arregui 2

TEMA 1. INTEGRACIN

Sistemas Mecnicos. Problemas de repaso Carlos Arregui 3

Problemas iniciales de Sistemas Mecnicos Juan Velzquez Ameijide 4

TEMA 2. ESTTICA Y COMPONENTES VECTORIALES

Problema 1. En la figura1 los cables AB y AC ayudan a soportar el techo en voladizo de un estadio deportivo. Las fuerzas que los cables ejercen sobre el soporte CB al que estn unidos se representan por los vectores FAB y FAC. Las magnitudes de las fuerzas | FAB |= 100 kN y | FAC |= 60 kN. Determinar la magnitud y direccin de la suma de las fuerzas ejercidas sobre el pilar por los cables (a) grficamente y (b) trigonomtricamente.

Problema2. Para la figura2 determinar grficamente la magnitud y direccin de la suma de las fuerzas ejercidas sobre el gancho para las siguientes situaciones:

(a) |FA| = 80 N, |FA + FB| = 120 N, |FC| = 0 N y = 65

(b) |FA| = 40 N, |FB| = 50 N, |FC| = 40 N, = 65 y = 80

(c) Si |FA| = |FB| =|FC| = 100 N y = 30, determinar el valor de para el cual|FA + FB + FC| es mnimo.

Problema3.-

Un depsito de almacenamiento esfrico est soportado por cables, figura3. El depsito est sometido a tres fueras: las fuerzas FA y FB ejercidas por los cables y el peso W. El peso del tanque es |W| = 600 kN. La suma vectorial de las fuerzas que actan sobre el depsito es igual a cero. Determinar la magnitud de FA y FB (a) grficamente y (b) trigonomtricamente.

Figura 3

Figura 2

Figura 1

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Problema 4. Un pez ejerce una fuerza F de 200 N sobre la caa de pescar, figua4. Descomponer dicha fuerza en sus componentes cartesiana sobre los ejes de referencia mostrados.

Problema 5. El cable entre los puntos A y B ejerce una fuerza F de 800N sobre la parte superior de la torre de televisin mostrada en la figura5. Determinar las componentes cartesianas de la fuerza F.

Problema 6. Un topgrafo determina que la distancia horizontal del punto A al B de la figura6 es de 400 m y que la distancia horizontal de A al C es de 600 m. Determinar la magnitud del vector horizontal rAC de B a C y el ngulo , FB (a) grficamente y (b) trigonomtricamente.

Figura 4

Figura 5

Figura 6

Problemas iniciales de Sistemas Mecnicos Juan Velzquez Ameijide 6

Problema 7.-

Las magnitudes de las fuerza ejercidas por los cables, figura7, son |T1| = 2800 N, |T2| = 3200 N, |T3| = 4000 N y |T4| = 5000 N. Determinar la magnitud de la fuerza total ejercida sobre el anclaje.

Problema 8.-

Seis fuerzas actan sobre la viga mostrada en la figura8, estas representan la carga del forjado sobre la viga que lo soporta. La suma vectorial de las fuerza es igual a cero dado que el edificio se encuentra en equilibrio. |FB| = |FE| = 20 kN, |FC| = 16 kN y |FD| = 9 kN. Determinar las magnitudes de FA y FG.

Problema 9. El peso total de un hombre y su paracadas es |W| = 1023 N, figura9. La fuerza D de arrastre es perpendicular a la fuerza L de sustentacin. Si la suma vectorial de las tres fuerzas es igual a cero, cules son las magnitudes de L y D?

Figura 8

Figura 7

Figura 9

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Problema 10. El cable del globo de la figura10 ejerce una fuerza F de 800 N sobre el gancho en O. La lnea vertical AB interseca en el plano x-z en el punto A. El ngulo entre el eje z y la lnea OA es de 60 y el ngulo entre la lnea AO y F es de 45. Exprese F en funcin de sus componentes escales (i,j,k).

Problema 11. Un topgrafo midi originalmente la altura del Everest con el siguiente procedimiento. Primero midi la distancia entre los puntos A y B de igual altitud que se muestran en la figura11. Supongamos que estn a 10 000 pies sobre el nivel del mar y 32 000 pies separados entre s. Luego us un teodolito para medir los cosenos directores del punto A a la cima P de la montaa y del punto B a P. Suponga que para rAP se obtuvieron los cosenos directores cos x = 0,509, cos y = 0,509, cos z = 0,694 y para rBP los cosenos directores obtenidos fueron cos x = -0,605, cos y = 0,471 y cos z = 0,642. El eje z del sistema coordenado es vertical. Cul es la altura del Monte Everest sobre el nivel del mar?

Problema 12.-

La torre de 70 m de altura mostrada en la figura 12 est arriostrada por tres cables que ejercen sobre ella las fuerzas FAB, FAC y FAD sobre ella. La magnitud de cada fuerza es de 2 kN. Exprese la fuerza total ejercida sobre la torre por los tres cables en funcin de sus componentes escalares.

Figura 10

Figura 11

Figura 12

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TEMA 3. BINOMIO DE NEWTON

Apuntes tericos

El teorema del binomio de Newton establece una frmula general que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio: ( ) Esta frmula general se expresa como: ( ) = 0 1 1 + 2 22 3 33 + 1 1 Siendo:

0 = !! ( ) !

Algunos casos particulares son: ( + )2 = 2 + 2 + 2 ( )2 = 2 + 2 2 ( + )3 = 3 + 3 2 + 3 2 + 3 ( )3 = 3 3 2 + 3 2 3 ( + )4 = 4 + 4 3 + 9 22 + 4 3 + 4 ( )4 = 4 4 3 + 9 22 4 3 + 4

Tngase en cuenta tambin que no es el cuadrado de un binomio la siguiente expresin: (2 2) Que se desarrolla como: (2 2) = ( ) ( + )

Sistemas Mecnicos. Problemas de repaso Vega Prez-Gracia 9

Problemas

Problema 1. Calcule las siguientes potencias:

a) (2 3)2 = b) ( + 5)3 = c) (3 4)5 = Resultados:

a) 4 2 12 + 9 2 ) 3 + 15 2 + 75 2 + 125 3 c) 243 5 1620 4 + 4320 32 5760 23 + 3840 4 1024 5 Problema 2. Descomponga en factores simples los siguientes polinomios:

a) 3

b) 3 + 2 8 12 Resultados:

a) ( + 1) ( 1) b) ( 3) ( + 2) ( + 2) Problema 3. Resuelva las siguientes integrales desarrollando los binomios:

a)

( + )3 0

b) (3 + 6)5 66

Resultados:

a) 4

4+ 2 + 4 + 3

2 2 4

b) 10 450 944

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Problema 4. Un anillo que puede deslizarse sobre una varilla vertical (fotografa de la figura 13) est sujeto a tres fuerzas como las que se muestran en el dibujo (figura 13).

Determine:

a) El valor del ngulo a para el cual la resultante de las tres fuerzas es horizontal.

b) El mdulo de la resultante.

Resultado: = 26.830 ; = 583.5

Problema 5. Una barcaza es arrastrada a lo largo de un canal utilizando cuatro sogas tal como se indica en la figura 14. Si debe seguir una trayectoria rectilnea a lo largo de la va de agua, calcule el ngulo y la fuerza aplicada sobre cada soga si la fuerza total para desplazar la barcaza es de 380 N.

Resultados:

570 = 59.38 = 237.52 = 59.38 = 178.14 = 59.38

Figura 13

Figura 14

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Problema 6. Un bloque de peso 800 N est situado en equilibrio sobre un plano inclinado. Cuando sobre el mismo se aplica una fuerza de 100 N mediante un sistema de poleas, tal como se representa en la figura 15, la fuerza normal (de reaccin sobre el plano inclinado) que se mide es de 600 N. Determine la inclinacin del plano.

Resultado: = 34.780

Problema 7. Calcule la magnitud de la fuerza F para que la resultante aplicada sobre el apoyo de la figura 16 sea la ms pequea posible. Determine tambin el mdulo de dicha resultante.

Resultado: Fuerza necesaria para que la resultante sea mnima: = 18.36 Mdulo de la resultante: = 0.3066

Problema 8. Calcule el rea comprendida por la curva = ( 1)2 y las rectas = 1 y = 4 (figura 17).

Resultado: = 9 2

Figura 15

Figura 16

Figura 17

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Problema 9. Simplifique al mximo la siguiente expresin:

4 + 4 3 + 3 2 4 42 + 3 + 2

Resultado: ( + 2) ( 1)

Problema 10. Dados dos sistemas de coordenadas que se han desplazado el uno respecto del otro una cierta distancia, tal como se indica en la figura 18, deduzca la relacin existente entre las coordenadas radiales de un punto A referidas a uno y otro sistema de referencia. Escriba la distancia r2 referida al sistema de coordenadas 2, en funcin de las coordenadas referidas al sistema 1 y de las distancias entre ambos sistemas de referencia. Considere conocida la distancia entre los ejes verticales y horizontales de los dos sistemas de referencia (x0 e y0) y entre los dos polos de ambos sistemas (r0).

Resultado: 22 = 12 + 02 + 2 (1 0 + 1 0)Figura 17

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TEMA 4. RECTAS EN 2D Y EN 3D

Apuntes tericos

Formulario de geometra plana, obtenido del libro Manual de Frmulas Tcnicas (Giek)

Problemas iniciales de Sistemas Mecnicos Francisco Quintilla 14

Problemas sobre rectas en 2D

Problema 1. Escriba la ecuacin de la recta que pasa por el punto (1,-3) y es paralela a la recta y=7-2x. Asimismo trace su perpendicular por dicho punto.

Problema 2. Halle la ecuacin de la recta formada por los puntos que equidistan de (5,-2) y de (2,1). Asimismo encuentre el punto de dicha recta que se encuentra a menor distancia de estos.

Problema 3. Halle las rectas tangentes a la curva 2 4 3y x x= + y que pasen por el punto (0,-5). Determine los puntos de tangencia.

Problema 4. Escriba la ecuacin de la recta que pasa por los puntos medios de los segmentos AB y CD, siendo A=(5,2), B=(3,2), C=(0,2) y D=(2,4)

Problema 5. Sean las rectas:

1 31: 2 02 4

2 1 22 : 03 6 5

1 33: 3 03 4

r x y

r x y

r x y

+ =

+ =

+ + =

a) Determine la distancia entre la recta r1 y r2. b) Determine el punto de corte de la recta r2 y r3, y el ngulo que forman entre ellas.

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Apuntes tericos

Formulario de geometra analtica del Espacio, obtenido del libro Formulas y Tablas de Matemtica Aplicada de la Serie Schaum

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Problemas sobre rectas en 3D

Problema 6. Dado el tringulo de vrtices A(2, 3, 4), B(1, 1, 5) y C(5, 5, 4), halle:

a) Las ecuaciones de las medianas del tringulo. b) Las coordenadas del baricentro del tringulo. c) Las coordenadas del baricentro del tringulo cuyos vrtices son los puntos medios de los lados del

tringulo anterior.

Problema 7. Halle una ecuacin continua de la recta que es paralela a los planos:

Plano 1: x 3y + z = 0

Plano 2: 2x y + 3z 5 = 0,

Y pasa por el punto (2, 1, 5).

Problema 8. Halle la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A (2, 3, 4) y B(8, 2, 3). Estudie si el punto C(2, 1, 3) est alineado con A y B. Si no lo estuviera, determine la recta que pasa por C y que corta a la recta definida por A y B

Problema 9. Sea el plano x+y+z= 0 y el punto P(1,2,4). Determine su punto simtrico respecto a este plano.

Problema 10. Sea el plano x-2y=0. Sea la recta definida por los puntos A(1,1,1) y B(2,4,0). Determine el ngulo que forma esta recta por el plano.

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TEMA 5. LEY DE LOS SENOS Y LEY DE LOS COSENOS

Apuntes tericos

Problemas

Problema 1.

Problema 2.

Problemas iniciales de Sistemas Mecnicos Miquel Serra 18

Problema 3.

Problema 4.

Problema 5.

Sistemas Mecnicos. Problemas de repaso Miquel Serra 19

Problema 6.

Problema 7.