[1]

Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús

MATEMÁTICAS I

Actividades tipo examen-recuperación de Pendientes 1/2

Nombre:__________________________________________________ Fecha de entrega:____________

BLOQUE I: NÚMEROS REALES

Ejercicio nº 1.-

Clasifica los siguientes números según sean naturales, enteros, racionales o reales:

837

144

8

3352,75, 4

Ejercicio nº 2.-

Escribe en forma de potencia de exponente fraccionario y simplifica:

53

4 26 3a) b)a

x xa

2 53 4c) d) :a a x x

Ejercicio nº 3.-

Utilizando la definición de logaritmo, calcula:

32 3 2

132 81a) log log ln

e

3b) 16 4 c) 4xlog log x

Ejercicio nº 4.-

Averigua, escribiendo el resultado en forma de intervalo, qué valores de x son los que cumplen esta

desigualdad:

x 5 2 y x +2

Ejercicio nº 5.-

Calcula y simplifica:

23

23c) 125345b)

125

343

7

5a)

2 22 3d) e) 48 2 12 f)

27 2 3 2

Ejercicio nº 6.-

Sabiendo que ln 2 0,69, calcula el logaritmo neperiano de:

4a) 4 b) 2 c) 8

[2]

Ejercicio nº 7.-

Racionaliza y efectúa, simplificando al máximo la siguiente expresión

1 5 1 5

5 1 5 1

Ejercicio nº 8.-

Demuestra la siguiente igualdad

2 5 2 210 0

2 10 5

Ejercicio nº9.-

Si sabemos que log x 0,85, calcula:

1000100

3 xlogxlog

Ejercicio nº 10.-

Halla y simplifica al máximo:

122

2c) 2432147b)

10

12

45

30a)

BLOQUE II: ÁLGEBRA

Ejercicio nº 1.-

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

)a

3 2

3 2

3 3 1

2

x x x

x x x

)b

5 4 3

3 2

6 9

3

x x x

x x

)c

3

3 23 2

x x

x x x

Ejercicio nº 2.-

Efectúa estas operaciones y simplifica:

) )a b

2

22 2

1 1 3 2 3 1 1

2 1 2 2 41

x x x x

x x x xx

Ejercicio nº 3.-

Resuelve estas ecuaciones:

2

2 4 2 115 3 3a) 3 b) 21 100 0 c) 4 5

4 4 3

x xx xx x x x x

[3]

Ejercicio nº 4.-

Resuelve estas ecuaciones:

22

41

23b) 12163a)

xxxxx

Ejercicio nº 5.-

Resuelve, factorizando previamente:

0652 23 xxx

Ejercicio nº 6.-

Resuelve las ecuaciones que se dan a continuación:

1 1 79

a) 3 b) 3 1 2 4 63 3 9

x

xln x ln ln x

2 1 3c) 2 2 0 d) 2 3 6

4x x log x log x log

Ejercicio nº 7.-

La base de un rectángulo es 3 veces su altura. Si ambas aumentan 1 m, la superficie aumentaría en 9 m2.

Calcula las dimensiones del rectángulo.

Ejercicio nº 8.-

Resuelve analíticamente e interpreta gráficamente el sistema de ecuaciones:

06

22

xy

xxy

Ejercicio nº 9.-

Resuelve el siguiente sistema:

32

03

yx

y

x

x

[4]

Ejercicio nº 10.-

Resuelve:

82

02

2xy

ylogxlog

Ejercicio nº 11.-

Obtén la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

92253

72

zyxzyxzyx

Ejercicio nº 12.-

El área de un triángulo es de 40 cm2. Calcula la longitud de la base sabiendo que la altura excede en 3

cm a la mitad de la base.

Ejercicio nº 13.-

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

162

423

xx

x

Ejercicio nº 14.-

Escribe un polinomio de grado 6 que solo tenga por raíces 1 y 1.

Ejercicio nº 15.-

Encuentra la solución de la siguiente ecuación:

4 1 31

xx x

x

BLOQUE III: TRIÁNGULOS

Ejercicio nº 1.-

Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20 cm, respectivamente, y forman un ángulo de 60. ¿Cuánto

mide la altura del paralelogramo? ¿Y su área?

[5]

Ejercicio nº 2.

Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura

Halla el valor de c y la longitud del cable.

Ejercicio nº 3.-

Calcula las razones trigonométricas de 140 y de 220, sabiendo que:

0,844077;0,4064;0,40 tgcossen

Ejercicio nº 4.-

a) Calcula los lados y los ángulos del siguiente triángulo:

b) Halla los lados y los ángulos del triángulo:

Ejercicio nº 5.-

En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km, son recibidas señales que manda un

barco, B. Si consideramos el triángulo de vértices A, B y C, el ángulo en A es de 65 y el ángulo en C

es de 80. ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio?

Ejercicio nº 6.-

Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura:

a Calcula la altura del árbol.

b ¿A qué distancia está Pablo del árbol?

[6]

Ejercicio nº 7.-

Observa el siguiente triángulo y razona si las igualdades dadas son ciertas o no:

ˆ1) 3)ˆcos

1ˆˆ ˆ2) cos 4) 0ˆ2

ba b senA a

C

asen A C tg A

b tgC

Ejercicio nº 8.-

Desde el suelo vemos el punto más alto de un edificio con un ángulo de 60. Nos alejamos 6 metros en

línea recta y este ángulo es de 50.¿Cuál es la altura del edificio?

Ejercicio nº 9.-

En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm. Calcula la

longitud del otro cateto y la medida de sus ángulos.

BLOQUE IV: FUNCIONES-TRIGONOMÉTRICAS

Ejercicio nº 1.-

5

a) Expresa en grados los siguientes ángulos dados en radianes: y 36

b Expresa en radianes los ángulos: 225 y 100

[7]

Ejercicio nº 2.-

a Escribe la expresión analítica de la función cuya gráfica es la siguiente:

b Representa en estos ejes la siguiente función:

y sen x

Ejercicio nº 3.-

Demuestra que:

)a

1 4 4

1 2 2

senx cosx cosx

cosx senx senx sen x

22 12

xb) cosx sen

)c

21 2

senx cosx cos xsen x

cosx senx

Ejercicio nº 4.-

Resuelve la ecuación:

a) 4 2 1 3cos x cosx

3 3 3b) cos x cosx cosx senx

22 2 1 2c) sen x cos x cos x sen x

Ejercicio nº 5.-

Demuestra que si entonces:2

sen sen cos cos 1 sen 2

Ejercicio nº 6.-

Resuelve los siguientes sistemas dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante:

1

0

sen x cos y

cos x sen y

2

2

sen x cos y

sen x cos y

[8]

Ejercicio nº 7.-

Completa la siguiente tabla:

[1]

Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús

MATEMÁTICAS I

Actividades tipo examen-recuperación de Pendientes 2/2

Nombre:__________________________________________________ Fecha de entrega:____________

BLOQUE IV: VECTORES

Ejercicio nº 1.-

:

2 1

a) Si y son los vectores que muestra la figura, dibuja 2 y3 3

u v u v , u v u v

2b) Si las coordenadas de y son , 3 y 1,3 , obtén las coordenadas de los

5

1 1 vectores: 5 2

5 2

a b

a b; a b; a b

Ejercicio nº 2.-

3

Dados los vectores 2, 1 , 4, 3 y 1, calcula:2

u v w

a) u v

b) 2w v u

c) w v v

Ejercicio nº 3.-

2Dados los vectores , 1 y 5, 3 , calcula , y , .

5u v u v u v

Ejercicio nº 4.-

3 4

Dados los vectores 1, y , :5 5

a x b

a) Calcula para que y sean perpendiculares.x a b

b) Halla un vector unitario perpendicular a .b

[2]

Ejercicio nº 5.-

22 2

Prueba que si es perpendicular a entonces .a b a b a b

Ejercicio nº 6.-

Dados los vectores 3, 5 y 4, 2 calcula un vector de la misma dirección que

y cuyo módulo sea igual a la proyección de sobre .

a b b

a b

Ejercicio nº 7.-

a) Calcula de modo que el producto escalar de 5, y 1, 3 sea igual a 4.k a k b

Ejercicio nº 8.-

Considera dos vectores , 3 e 1, . Halla los valores de y para que e x a y b a b x y

sean perpendiculares y que 5.x

Ejercicio nº 9.-

5

Si 2, 4 e 3, . Calcula:2

x y

a) Un vector unitario con la misma dirección y el mismo sentido que .x

b) El ángulo formado por e .x y

Ejercicio nº 10.-

Halla un vector de módulo 10 y que forme con 1, 2 un ángulo de 45 .v u

BLOQUE V: GEOMETRÍA ANALÍTICA

Ejercicio nº 1.-

a Averigua el punto simétrico de A5, 1) con respecto a B4, 2).

b Halla el punto medio del segmento de extremos A5, 1) y B4, 2).

Ejercicio nº 2.-

Dados los puntos A(2, 3), B(1, 4) y C(x, 3), determina el valor de x para que

A, B y C estén alineados.

[3]

Ejercicio nº 3.-

Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos

P(1, 3) y Q(2, 8).

Ejercicio nº 4.-

Dadas las rectas:

ty

txs

ty

txr

82

24:

46

2:

averigua su posición relativa (si se cortan, di en qué punto).

Ejercicio nº 5.-

Halla el ángulo que forman las rectas:

tytx

:stytx

r61

412432

:

Ejercicio nº 6.-

Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por P(2, 5) y es paralela al vector .

1, 3v

Ejercicio nº 7.-

¿Cuál ha de ser el valor de k para que estas dos rectas sean paralelas?

x + 3y 2 = 0 kx + 2y + 3 = 0

Ejercicio nº 8.-

Halla el valor de k para que la distancia del punto P(2, k) a la recta

.2sea03: yxr

Ejercicio nº 9.-

Dado el triángulo de vértices A(1, 1), B(1, 4) y C(5, 2), halla las ecuaciones de sus tres medianas y

calcula el baricentro punto de intersección de las medianas.

Ejercicio nº 10.-

Dados los puntos A1, 3 y B2, 1 escribe la condición que deben cumplir las coordenadas del

punto Cx, y para que el triángulo ABC sea rectángulo en C.

[4]

Ejercicio nº 11.-

Halla el punto de la recta 3x y 1 0 que forme con los puntos B3, 2 y C2, 0 un triángulo de

área 13.

BLOQUE VI: FUNCIONES

Ejercicio nº 1.-

Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

2

2a)

3

xy

x

1b)

2y

x

2

1c)

9y

x

d) 2y x

Ejercicio nº 2.-

A partir de la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición y su recorrido:

a) b)

Ejercicio nº 3.-

Vamos a considerar todos los rectángulos de 30 cm de perímetro. Si llamamos x a la longitud de la

base, el área será:

xxA 15

¿Cuál es el dominio de definición de esta función?

Ejercicio nº 4.-

Asocia cada una de estas gráficas con su correspondiente ecuación:

2

a) 3

y x

2b) 2 3y x c) 3,5 0,75y x 2d) 4y x

I) II)

[5]

III) IV)

Ejercicio nº 5.-

Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones analíticas:

1a)

4y

x

1b) y x

1

c) 4yx

d) 2y x

I) II)

III) IV)

Ejercicio nº 6.-

Asocia cada gráfica con su correspondiente ecuación:

23a) xy 23b) xy 2c) 3 xlogy xlogy 3d)

I) II)

[6]

III) IV)

Ejercicio nº 7.-

Escribe la ecuación de la siguiente recta:

Ejercicio nº 8.-

Representa la gráfica de la siguiente función:

42 xy

Ejercicio nº 9.-

Dibuja la gráfica de la función:

x xy

x x2

1 /2 si 1

si 1

Ejercicio nº 10.-

Sabiendo que la gráfica de y f(x) es la siguiente:

construye, a partir de ella, las gráficas de:

1a) xfy

1b) xfy

[7]

Ejercicio nº 11.-

La siguiente gráfica corresponde a la función . Representa, a partir de ella, lay f x

función :y f x

Ejercicio nº 12.-

Define como función "a trozos":

2 4a) y x .

3 1

2

xb) y

Ejercicio nº 13.-

, 2Dadas las funciones 2 1 y calcula :f x x g x x

xgf a)

xfg b)

Ejercicio nº 14.-

Con las funciones:

x

xgxxf1

y12

hemos obtenido, por composición, estas otras:

11

y1

122

xxq

xxp

Explica cómo, a partir de f y g, se pueden obtener p y q.

[8]

Ejercicio nº 15.-

Dada la gráfica de la función y = f (x):

1 1a) Calcula 1 y 0 .f f

1b) Representa gráficamente en los mismos ejes , a partir de la gráfica de .f x f x

Ejercicio nº 16.-

Obtén la función inversa de:

4

32 xxf

Ejercicio nº 17.-

El precio del metro cuadrado de cierto material plástico depende de la cantidad comprada, x, y viene

definida por la siguiente función:

15 0,10 si 0 30

12 0,05 30 si 30 100

8,5 0,02 100 si 100 300

x x

f x x x

x x

a Representa gráficamente la función.

b Si se compran 200 m2, ¿Cuál será el precio que se paga por metro cuadrado?

c Para conseguir un precio inferior a 9 € /m2, ¿cuántos metros, como mínimo, se han de comprar?

BLOQUE VII: LÍMITES Y CONTINUIDAD

Ejercicio nº 1.-

A partir de la gráfica de f(x), calcula:

4

6

8

Y

X

2

6 824 28 62

4

6

4

xflim x

a)

xflimx

b)

xflimx 1

c)

xflimx 1

d)

xflimx 5

e)

[9]

Ejercicio nº 2.-

Representa los siguientes límites:

xflimxflimxx 22

Ejercicio nº 3.-

4

Calcula el límite de la función en 1 y en 3.3 2

x xf x x x

Ejercicio nº 4.-

Calcula el límite de la siguiente función en el punto x 3 y estudia su comportamiento por la izquierda

y por la derecha:

3

1

xxf

Ejercicio nº 5.-

Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:

42

42

2

x

xlimx

Ejercicio nº 6.-

Calcula el límite cuando y cuando de la siguiente funciónx x

y representa la información que obtengas:

3

421 2 xxxf

Ejercicio nº 7.-

Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:

x

xlimx 35

3a)

x

xlimx 35

3b)

[10]

Ejercicio nº 8.-

:xf función la de gráfica la es Esta

4

6

8

2

6 82 44 28 62

4

6

Y

X

a) ¿Es continua en x = 2?

b) ¿Y en x 0?

Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.

Ejercicio nº 9.-

a) Estudia la continuidad de la función:

0si2

20si12 2

xx

xxxf

b) Halla el valor de para que sea continua en 1:k f x x

1si1si12

xkxx

xf

Ejercicio nº 10.-

Dada la función:

12

12

xx

xf

halla sus asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas.

Ejercicio nº 11.-

los representa yfunciones siguientes las decuando infinitas, ramas las Halla ,x

resultados que obtengas:

31a) xxf

xxxf 2b)

[11]

Ejercicio nº 12.-

yfunción siguiente la de cuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x

representa los resultados que obtengas:

1

22

4

x

xxxf

Ejercicio nº 13.-

yfunción siguiente la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x

representa los resultados que obtengas:

1

122

2

x

xxf

BLOQUE VIII: INICIACIÓN A LAS DERIVADAS

Ejercicio nº 1.- Calcula la tasa de variación media de esta función, f(x), en los intervalos siguientes e indica si la función crece o decrece en cada uno de dichos intervalos:

0,1 a)

2,1 b)

Ejercicio nº 2.-

.3

1 función la para(1)derivada, de definición la utilizando Calcula,

xxff´

Ejercicio nº 3.-

., derivada de definición la aplicando2 función la de derivada la Halla 2xxf

Ejercicio nº 4.- Halla la función derivada de las siguientes funciones:

52

a)5 3

x xf x

b) f x sen x + arctg x

3 23 1c)

3 2 5

x xf x

d) f x cos x ln x

3 22

e) 13 2

x xf x

f) 5f x ln x

[12]

Ejercicio nº 5.- Calcula la derivada de las funciones siguientes:

2

3 1a)

2

xf x

x

4b) cosf x x x

c) f x x log x

3 1

d)x

xf x

e

21e)

3

xf x

x

3 2f) f x x ln x

Ejercicio nº 6.- Calcula la función derivada de:

1

2 3

xa) f x sen

x

34 2x xb) f x e cos x

4

23 1

xc) f x

x

Ejercicio nº 7.-

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva fx x3 2x en el punto de abscisa x 2.