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COLEGIO PEDAGOGICO DE LOS ANDES

GUIA DE TRIGONOMETRÍA

RECUPERACION PERIODO UNO CECIMO GRADO Los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales y radianes. Un ángulo de 1 radián es aquel cuyo arco

tiene longitud igual al radio.

- 360º = 2 radianes (una vuelta completa) - Un ángulo recto mide 2

radianes (un cuarto de vuelta)

- 180º = radianes (media vuelta) - Como 180º = rad, resulta que 1º = 180

rad

- Un ángulo de 1 radian tiene

180 = 57,29578 grados = 57º 17’ 45”

Para transformar de una unidad a otra, usamos la regla de tres:

º

º180

y

rad

x

ejemplo: 40º a rad

º40

º180

y

rad y =

º180

º40 rad

18

4 rad

9

2 rad

Ejercicios:

Transformar el ángulo de grados a rad:

1) 15º 2) 35º 3) 80º 4) 150º 5) 200º

6) 90º 7) 60º 8) 45º 9) 30º

Transformar el ángulo de rad a grados:

1) rad5

2) rad

10

3) rad 3 4) rad

4

17

Funciones trigonométricas

Utilizaremos un triángulo rectángulo para definir las funciones trigonométricas: seno (sen), coseno (cos),

tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (cosec).

En un triángulo rectángulo, estas funciones se definen como sigue:

sen = hipotenusa

opuestocateto tan =

adyacentecateto

opuestocateto

sec =

adyacentecateto

hipotenusa

cos =hipotenusa

adyacentecateto cot =

opuestocateto

adyacentecateto

cosec =

opuestocateto

hipotenusa

Aquí podemos darnos cuenta que basta con conocer las funciones sen y cos para poder calcular las otras

funciones, veamos por qué:

tan =

cos

sen cot =

cos

sen sec =

cos

1 cosec =

1

sen

Aplica los contenidos de matemática común y calcula los valores de los ángulos de 30º, 45º y 60º

Demostrar que: 1cos22 sen , usa los valores de los ángulos anteriores y después demuéstralo para

cualquier valor del ángulo.

c

a

b

2

Ejemplo:

1) Un ángulo agudo tiene 5

3sen . Halla las restantes razones trigonométricas de este ángulo.

1º método: Usando triángulos

Ahora aplicamos las definiciones de las funciones

trigonometricas y encontramos:

5

3sen

5

4..cos

hip

adc

4

3

..

..tan

adc

opc

3

4

..

..cot

opc

adc

4

5

..sec

adc

hip

3

5

.cos

opc

hipec

2º método: Usando las identidades básicas

Por la identidad 1cos22 sen tenemos que:

22 1cos sen 2

2

5

31cos

25

91cos 2

25

16cos 2

5

4cos

Luego, usando estos dos valores, del seno y coseno,

calculamos todas las demás funciones:

4

3

5

45

3

.cos

.tan

sen

así sucesivamente……

Ejercicios:

1) Si 4

7cos , encuentra las otras funciones. Entrega los valores simplificados y racionalizados.

2) Si 2,0cos , encuentra las otras funciones.

3) Si 9

5tan , encuentra las otras funciones.

Angulos complementarios: En el triángulo rectángulo siguiente:

Ejemplos de uso de las cofunciones:

1) Calcular sen 30º. Sen 30º = sen (90º - 30º) =cos 60º = ½

2) Expresar los siguientes valores de funciones trigonometricas como el valor de la función de un ángulo positivo

menor que 45º. a) sen 72º sen 72º = sen (90º - 72º) = cos 18º

b) cos 46º cos 46º = cos (90º - 46º) = sen 44º

Ejercicios: 1) Expresar el valor de la función trigonométrica en términos de un ángulo no mayor que 45º:

a) sen 60º b) cos 84º c) tan 49,8º d) sen 79,6º

2) Resolver los triángulos rectángulos para los datos dados. Usa calculadora. a) = 24º y c =16.

b) a = 32.46 y b = 25,78 c) = 24º y a =16

d) = 71º , c = 44

e) a = 312,7 ; c = 809

f) b = 4.218 ; c = 6.759

3 5 Por teorema de Pitágoras

buscamos el otro cateto del

triángulo, es que es 4

º90

cos)º90( sensen

sen )º90cos(cos

cot)º90tan(tan

En estas relaciones, se cumplen con dos

ángulos que son complementarios, que

suman 90º, y se dicen que estas funciones

son cofunciones una de la otra.

B

C A

c

a

3

g) = 81º12’ ; a = 43,6

8. Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol justo enfrente. ¿Cuánto

tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a un punto B desde el que se vea el

pino formando un ángulo de 60º con nuestra orilla?

9. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.

b

3

.

4

.

5

.

6

.

7

.

4

16. Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes

quedan a lados opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27

grados y 48 grados. Si la distancia entra las cuñas es de 50 m. ¿cuánto cable se ha gastado?,

¿cuál es la altura a la cual están sujetos los cables?

17. Desde lo alto de una torre de 300 m. de altura se observa un avión con un ángulo de

elevación de 15 grados y un automóvil en la carretera, en el mismo lado que el avión, con un

ángulo de depresión de 30 grados. En ese mismo instante, el conductor del automóvil ve al avión

bajo un ángulo de elevación de 65 grados. Si el avión, el auto y el observador se encuentran en

un mismo plano vertical: calcule la distancia entre el avión y el automóvil, también calcule la

altura a la que vuela el avión en ese instante.

10. 11.

12.

13.

14.

15.

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Área: MATEMÁTICAS PERIODO DOS RECUPERACION

Fecha:

Conocimiento: Teorema del seno y del Coseno

Docente: EDUARDO RAMIREZ Alumno:

Teorema o Ley del Seno

En todo triangula ABC, las longitudes de los lados son directamente proporcionales a los Senos de los ángulos opuestos a dichos lados.

Recomendaciones: Para la solución de este tipo de problemas, es recomendable proceder así:

1. Tratar de imaginarse el problema. 2. Realizar un grafico ilustrativo del problema para mejor su comprensión. 3. Ubicar en el gráfico los datos suministrados por el problema. 4. Aplicar la ecuación del la Ley del Seno.

Problema Una antena de radio está sujeta con cables de acero, como se muestra en la figura. Hallar la longitud de los cables.

Solución:

El ángulo en el vértice C, sería de 72º, de modo que podemos plantear la ley del Seno así:

Ahora:

Problemas Propuestos

Sen

c

Sen

b

Se

a

ab

cA B

C

º62 º46A B

C

m80

ab

mSen

Senma

Sen

m

Sen

a3,74

º72

º6280

º72

80

º62

mSen

Senmb

Sen

m

Sen

b5,60

º72

º4680

º72

80

º46

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1. Un incendio es detectado por dos puestos de observación A y B, que están separados 30 km. Si el punto de observación B reporta el incendio en un ángulo ABF de 53°, y el punto A lo reporta con un ángulo BAF de 30°. ¿A qué distancia está el incendio del punto A?

2. Un avión vuela entre dos ciudades A y B, si en determinado instante se halla que el ángulo de elevación

del avión desde la ciudad A es de 60° y desde la ciudad B es de 48°. Además la distancia entre ambas ciudades es de 120 Km. Realiza un esquema y calcula la distancia del avión hasta cada ciudad en ese preciso instante.

3. En las orillas opuesta de un río se sitúan dos puntos A y B. en la orilla donde está situado el punto A,

se determina un segmento de recta AC = 275 m y se miden los ángulos CAB = 125° y ángulo ACB = 48°. Encontrar la longitud de AB.

4. Una diagonal de un paralelogramo tiene 24,8 unidades de longitud y forma ángulos de 42° y 27° con los

lados. Hallar los lados.

5. Dos puntos A y B situados al mismo lado de una carretera distan 30 pies. Un punto C del otro lado de la carretera está situado de manera que el ángulo CAB mide 70° y el ángulo ABC mide 80°. ¿Cuál es el ancho de la carretera?

6. Dos puestos de observación A y B (separados 10 millas) en la costa, vigilan barcos que entran

ilegalmente en un limite de 3 millas. El puesto A reporta un barco S en un ángulo BAS = 37° y el puesto B reporta el mismo barco en un ángulo ABS = 20°. ¿A qué distancia está el barco de la costa?

7. Un asta de bandera que está colocada sobre la parte superior de un edificio tiene 35 pies de altura.

Desde un punto que está en el mismo plano horizontal que la base del edificio, los ángulos de elevación de la parte superior del asta y de la parte inferior de la misma son respectivamente 61° y 56°. Hallar la altura del edificio.

Teorema o Ley del Coseno

En todo triangula ABC, el cuadrado de la longitud de uno de los lados, es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de estos, por el coseno del ángulo comprendido entre dicho lados.

Recomendaciones: Para la solución de este tipo de problemas, es recomendable seguir las mismas instrucciones propuestos en el teorema o ley del Seno. Problema En el triángulo siguiente, se dan las medidas de los lados y el ángulo de 30º. Calcular el lado desconocido a

Solución:

Coscbcba 2222

ab

cA B

C

º30A B

m40

a

º3030402)30()40( 222 Cosmmmma

m30

222 6,4216,421 mama

C

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Problemas Propuestos

1. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 35° y tienen longitudes de de 3 y 8

pies. ¿Cuál es la longitud de la diagonal mas corta del paralelogramo?

2. ISLAS PARADISÍACAS: En el mar de Gera, hay tres islas. Si sabemos que la distancia entre las islas 1 y 2 es de 18 Km., la distancia entre las islas 1 y 3 es de 22 Km. y además se sabe que el ángulo que se forma desde la isla 1 al mirar hacia las demás islas es de 75°. Entonces: a. Calcular la distancia entre las islas 2 y 3. b. Hallar los ángulos B y C de la gráfica. 3. TRENES:

De la estación de tricentenario parten dos trenes, uno hacia el centro con una velocidad de 70 Km. /h y el otro hacia San Javier por la vía de reparaciones con una velocidad de 60 Km. /h. Si se sabe que el ángulo entre las vías es de 35° y que los trenes viajan en línea recta, entonces: a. Realiza un esquema de la situación b. ¿A qué distancia se encontrarán después de media hora de viaje? 4. Y DELE CON LOS TRENES: Dos trenes parten simultáneamente de una estación en diferentes direcciones, uno de ellos viaja a 80 Km. /h y el otro viaja a 100 Km./h. Si se sabe que el ángulo comprendido entre las vías es de 120°. Responde:

a. ¿Qué distancia habrá entre los trenes después de dos horas de viaje? b. ¿Qué distancia habrá entre los trenes después de hora y media de viaje

5. Un solar triangular tiene frentes de 90 pies y 130 pies a dos calles que se cortan en un ángulo de 82°.

Hallar el área del solar. 6. Las longitudes de los lados de un solar triangular son de 240 pies y de 300 pies, y el ángulo opuesto al

lado mayor mide 75°. Hallar el tercer lado. 7. Dos trenes parten simultáneamente de una misma estación, en direcciones tales que forman un ángulo

de 30º. Uno va a 20 Km. /h y el otro va a 30 km./h. después de dos horas de viaje ¿A que distancia se encuentran?

8. Una carrilera (en línea recta) de 150 km. de longitud tiene por extremos las ciudades C y D; otra

carrilera (en línea recta) de 200 km. de longitud, continua el recorrido de la ciudad D a la ciudad E. si las

dos carrileras forman entre si un ángulo de 130º, calcule la distancia entre las ciudades C y D

9. Un colegio tiene un parque de forma triangular cuyos lados son de 75m, 85m y 100m respectivamente. Hallar las medidas de los ángulos internos que dichos lados forman entre si.

10. Un faro está situado a 18 km. y a 45° al norte del este de un muelle. Un barco sale del muelle a las 10:0

a.m. y navega hacia el oeste a razón de 24 Km. /h. ¿A qué hora se encontrará a 14 Km. del faro?

ma 5,20