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El Cono de Apolonio
Colegio Santo Tomás de Villanueva
Biografía
• Apolonio era un matemático griego nacido en Perge (262
a.C.- 190 a.C.), fue discípulo de Arquímedes. Poco se sabe
sobre su vida excepto por las introducciones que hacía en
algunos de sus tratados de los que se compone su gran
obra "LAS CÓNICAS" en el que se utilizan por primera vez
los términos: "ELIPSE, PARÁBOLA E HIPÉRBOLA". También
descubrió y describió los "EPICICLOS" con los que Ptolomeo
utilizaría para explicar el movimiento de los planetas.
Según los historiadores Apolonio tenía un carácter irascible
lo que le hacía de un trato difícil.
Biografía
• Entre las obras geométricas de Apolonio de Perga
destacan "LOS LUGARES PLANOS" donde se
desarrollan las operaciones más importantes que hay
que conocer en el trazado geométrico con un
lenguaje moderno y cercano a la geometría analítica
como: la homotecia, la traslación, la inversión, la
rotación y la semejanza.
Aportaciones de Apolonio
Una de las aportaciones de Apolonio a la geometría es la
siguiente: “DADOS TRES OBJETOS QUE PUEDEN SER, CADA
UNO DE ELLOS, PUNTOS, RECTAS O CIRCUNFERENCIAS,
DIBUJAR UNA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A LAS TRES”.
Se destacan 10 casos: tres puntos, tres rectas, dos puntos
y una recta, dos rectas y un punto, dos puntos y una
circunferencia, dos circunferencias y un punto, dos rectas y
una circunferencia, dos circunferencias y una recta, un
punto, una recta y una circunferencia y por último tres
circunferencias.
Otra de las aportaciones fundamentales de Apolonio, son
LAS CÓNICAS. Las secciones cónicas ya eran conocidas
cuando Apolonio realizo el estudio de estas, pero su
tratado deja atrás al resto de teorías. Anteriormente a
Apolonio se creía que la hipérbola, la parábola, y la
elipse se obtenían de secciones de conos diferentes de
acuerdo con el ángulo del vértice. Así, Apolonio
demostró que estas curvas pueden obtenerse de las
secciones de un mismo cono, variando la inclinación del
plano que corta a este. Además de certificar que el cono
no tiene porque ser un cono recto, puede ser circular,
escaleno u oblicuo.
ADEMÁS las curvas cónicas tienen propiedades
interesantes. Una de las más importantes que
descubrió Apolonio son las propiedades de reflexión.
1.- REFLEXIÓN DE LA PARÁBOLA: si se recibe luz de
una fuente lejana con un espejo parabólico, de manera
que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo,
entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en
el foco.
Cuenta la leyenda que Arquímedes,
contemporáneo de Apolonio, empleo esta
propiedad para defender Siracusa de los
romanos quemando las naves de éstos. Para
ello, fabricó un sistema de espejos parabólicos
que consiguieron concentrar los rayos solares en
las naves romanas. Hoy en día dicha propiedad
tiene diversas utilidades como pueden ser: LOS
SISTEMAS DE RADAR, LAS ANTENAS DE
TELEVISIÓN O LOS ESPEJOS SOLARES, entre
otros.
2.- REFLEXIÓN DE LA ELIPSE: si se coloca una
fuente de luz en el foco de un espejo elíptico,
entonces la luz reflejada en el espejo se concentra
en el otro foco. Es decir, si un rayo parte de uno de
los focos, al reflejarse en la elipse el rayo seguirá
una trayectoria que pasara por el otro foco.
Basándonos en esta propiedad, podemos comprobar que si
tenemos una MESA DE BILLAR con forma de elipse, y
lanzamos la bola desde uno de sus focos, con cualquier
dirección, esta rebotará con la mesa de juego y pasará por
el otro foco. Si la bola continuase rebotando volvería a pasar
por el primer foco, y así sucesivamente, hasta que llegase
un momento en el que la trayectoria de la bola se
confundiría con el semieje mayor de la elipse. Si en vez de
esto lanzamos la bola desde cualquier otro punto que no
fuese uno de los focos ni uno de la línea que los une, los
segmentos de la trayectoria de la bola describirían la figura
de otra elipse. Y en cambio, si el punto de partida de la bola
fuera un punto de la línea que une los focos, esta trazara la
envolvente de una hipérbola con los mismos focos.
Es curiosa la construcción de habitaciones con techos elípticos. Al
emitir un sonido desde uno de los focos, este se escuchará con total
nitidez desde el otro foco. Además el sonido tardará el mismo
tiempo en transmitirse de un foco al otro sea cual sea la dirección
que tomemos para emitirlo. Este efecto también permite la
insonorización de habitaciones.
3.- REFLEXIÓN DE LA HIPÉRBOLA: los rayos que
provienen de uno de los focos de una hipérbola se reflejan
de manera que los rayos reflejados parecen provenir del
otro foco. Esta propiedad ha sido utilizada para la creación
del LORAN, que es un dispositivo de navegación
hiperbólica radioeléctrico que se ha empleado y se sigue
empleando, claro que en menor medida debido a la
aparición del GPS y otros sistemas, para fijar la posición de
barcos y aviones. Se fundamenta en el cálculo de la
diferencia de tiempo con que se obtienen en un receptor
las señales que se originan en las dos estaciones emisoras
localizadas en la superficie terrestre.
Como el posicionamiento se realiza en dos dimensiones, si
se sabe la diferencia de las distancias a las dos estaciones
se puede localizar el lugar geométrico de los puntos, en
que se puede encontrar el barco o el avión, que es una
hipérbola cuyos focos son las estaciones. Conociendo la
intersección de dos o más hipérbolas es posible definir la
posición del avión o barco.
CONO DE APOLONIO
LA RELACIÓN DE CÓNICAS QUE SE OBTIENEN MEDIANTE EL CONO
DE APOLONIO
CÍRCULO: corte con un plano paralelo a la base del cono
ELIPSE: corte oblícuo con respecto a la base
PARÁBOLA: corte paralelo a una generatriz del cono que
atraviesa su base
HIPÉRBOLA: corte más o menos paralelo a la altura del
cono enfrentado a su imagen unido por el vértice.
ÁGORA y el Sistema de Ptolomeo
ÁGORA y el Cono de Apolonio
ÁGORA y la 2ª Ley de Kepler
