Colisión de vehiculos

Nichtlineare FEM

Beispiel: Simulation eines Crash-Tests

• Grosse Verformungen

• Bleibende Verformungen (kein Zurückfedern nach Entlastung)

1HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung

Quelle: www.esi-group.com

Grundlagen/ Themen der nichtlinearen FEM

FEM für lineare Probleme:

• Vernetzung, Approximation auf Elementen

• Lokale Steifigkeitsmatrizen mit

+ kleinen Verformungen (lineare Kinematik)

+ linear-elastischem Materialverhalten

• Assemblierung, Lasten und Einspannungen, Kinematische Gleichungen

• Aufbau und Lösung der linearen Gleichungssysteme

Nichtlineare Phänomene der Mechanik:

FEM1


Nichtlineare Phänomene der Mechanik:

• große Verformungen/ Dehnungen (nichtlineare Kinematik)

• nichtlineares Werkstoffverhalten

+ nichtlinear elastisch (Hyperelastizität): Gummi, Kunststoffe

+ elastisch-plastisch: duktile Materialien (Baustahl)

Gleichgewicht bei Berücksichtigung nichtlinearer Effekte

• Inkrementierung und lineare Approximation

• Tangentensteifigkeitsmatrix

• Iterationsverfahren

FEM2

Auffrischung

1. Elemente höherer Ordnung führen zu nichtlinearen FE-Modellen:

Ja: Nein:

2. Mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen finde ich die Beziehung zwischen


2. Mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen finde ich die Beziehung zwischen

a) Dehnungen und Verschiebungen

b) Dehnungen und Spannungen

c) Spannungen und äußeren Lasten

Lineare und nichtlineare Mechanik

Eine mechanische Konstruktion verhält sich unter statischer Belastung linear, wenn eine

Veränderung der Belastung um Faktor a eine entsprechende Veränderung der Verschiebungen um

denselben Faktor a bewirkt. Andernfalls verhält sich die Konstruktion nichtlinear.

F

2 oF

linear

nichtlinear


u

o

oF

ou 2 ou

nichtlinear

Lineare und nichtlineare FE-Modelle

Das lineare Verhalten von Bauteilen wird

beschrieben durch:

• lineare Differentialgleichungen

(kontinuierlich = für alle x)

• lineare algebraische Gleichungen

(diskret = in ausgewählten Punkten)

Das nichtlineare Verhalten von

Bauteilen wird beschrieben durch

nichtlineare mathematische

Modelle.

Für die numerische Lösung werden

diese Modelle „linearisiert“, d.h. die

Berechnung wird in mehrere lineare

Lösungsschritte unterteilt.

∆f


Ku = f T ∆ ≈ ∆K u f

∆u

∆f

const.≡KSteifigkeitsmatrix [ ]=T ∇K K uTangenten-Steifigkeitsmatrix

Typen nichtlinearer Modelle

Mechanische Modelle der Form Ku=f werden in drei Schritten hergeleitet:

• Gleichgewicht (zwischen inneren und äußeren Kräften: Prinzip der virtuellen Arbeit)

• Materialgesetz

• Kinematik

Ein Modell heißt:

• physikalisch nichtlinear : nichtlineares Materialgesetz

F

u

σσ εε

↔↔↔


• geometrisch nichtlinear: nichtlineare Kinematik

Darüber hinaus führen Kontaktprobleme auf nichtlineare Berechnungsmodelle, selbst wenn sich die

einzelnen Bauteile geometrisch und physikalisch linear verhalten.

δ

u

F

F

uu=δBeispiel aus: P. Wriggers, Nichtlineare FEM, Springer Berlin 2001

bzw.

Wiederholung: Lineare statische Berechnung mit FEM

Ku = f

0= − =r f Ku• f - gegebene äußeren Kräfte, bezogen auf die (Freiheitsgrade in den) Knoten des FE-Modells

• u - Verschiebungen an den Knoten

• K - Steifigkeitsmatrix.

• r - Residuum


Herleitung der Steifigkeitsmatrix:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

m

m T m m m

m V

dV=∑ ∫K B C B

Kinematik + Interpolation

Materialgesetz( ) ( ) ( )

( ) ( )

m m m

m m

σ εε

==

C

B u

( ) ( ):V A

dV F u dAσ δε δ=∫ ∫

( ) ( )( )

( ): :m

m

mV V

dV dVσ δε σ δε=∑∫ ∫

AN BN

Au Bu

l

,E A

Beispiel 1.1: Element-Steifigkeitsmatrix eines Stabelements (lineares Modell)

( ) A A B B

V

dV N u N uσδε δ δ= +∫Gleichgewicht:


elK

Materialgesetz:

Kinematik:

1 1

1 1

T T

A A A A

B B B B

u u u NEA

u u u Nl

δ δδ δ

− = −

Eσ ε=

du

dxε =

LINEAR

Beispiel 1.2. Biegebalken bei Laststeigerung (1/2)

1. Kleine Verformungen

F

w

• Längsverschiebung u << w Durchsenkung � Vernachlässigung u gegenüber w =

unverformte neutrale Faser

• Material elastisch ( = Spannungen proportional zu Dehnungen)

• Modell: Bernoulli-Gleichung (Technische Mechanik Grundkurs)

F

w


( )( )( )( )( )

0

2

0 0

' 0

0 0

IV

III

II

EIw x

EIw l F

EIw

w l

w

=

= −

=

=

=

( ) 3

6F EIk

w l l= =

F

k

( )w l

l

F

Biegebalken bei Laststeigerung (2/2)

Mittellinie, unverformtL dX=unverzerrte Länge

2. Große Verformungen

• Längsverschiebung u darf nicht mehr vernachlässigt werden � Dehnung der neutralen Faser

� nichtlineare Kinematik = geometrische Nichtlinearität.


Mittellinie, unverformt

Gesamtdehnung äußere Faser

w w dw+

dwl dx=verzerrte Länge

22 2

22 :G

l L dw

L dXε − = =

Green‘sche Dehnung

21, ,

2x xu wε = +

Mittellinie, verformt

(Mittellinie)

Dehnungsmaße für große Verformungen (1-D)

l

L

2 2

22 :G

l L

Lε −=• Green‘sche Dehnung:

• Hencky‘sche (logarithmische) Dehnung: : lnl l

H

L L

dl ld

l Lε ε = = =

∫ ∫

2d dε λ ε=lλ =


• Zusammenhang:2

G Hd dε λ ε=l

Lλ = Streckung

• Kleine Verschiebungen: Dehnung = inkrementelle Dehnung bezogen auf unverformte Länge

1, G Hd dλ ε ε ε= = =

� Für kleine Verschiebungen sind beide Dehnungen identisch mit den „engineering strains“

Vergleich der Dehnungsmaße

0

0.1

0.2

0.3

Deh

nung

[%]

Einachsige Dehnungsmaße


T

G

H

εεε

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

-0.3

-0.2

-0.1

∆ L/L [%]

Deh

nung

[%]

TechnischGreenHencky

Beispiel zum Vergleich der Logarithmischen und Technischen Dehnung


Aus Rösner, Mech. Verhalten der Werkstoffe.

Beispiel 1.2: Dehnungen und Spannungen im Zugstab

T

An einem Stab mit Kreisquerschnitt greift die Zugkraft T an. Der Stab wird aus der Ausgangslänge L auf die Länge l gedehnt. Das Material ist linear-elastisch und isotrop, d.h. in der Ausgangskonfiguration ist

und für die inkrementellen Zuwächse der Dehnung gilt

r ld dε ν ε= −

ldε

1 2J νλ −=

GS Eε=


T a) Zeigen Sie die Beziehung

b) Wie groß ist der Radius r des verformten Querschnitts?

c) Berechnen Sie die Green‘sche und Hencky‘sche Dehnung.

d) Berechnen Sie die Cauchy, 1. und 2. Piola-Kirchhoff sowie die Kirchhoff-Spannung.

e) Berechnen Sie die virtuelle Arbeit und zeigen Sie dass

1 2J νλ −=

Geg : 1m, 1.4m, 4cm, =0.3, 200kNL l R Tν= = = =

iWδ: : :iWδ δ δ τ δε= = =P F S E

Spannungsmaße für großen Verformungen des Zugstabs

l

:T

aσ =• Cauchy:

Ta

• 1. Piola-Kirchhoff: 1:T

P JA

σ λ −= =

l

Lλ =

• Kirchhoff: : Jτ σ=

L

A


• Kleine Verschiebungen:

T

A

• 2. Piola-Kirchhoff: 2:S Jσλ −=:v al

JV AL

= =

1Jλ = = � Cauchy Spannungen identisch mit „engineering stresses“

• Eindimensionale Streckung: Deformationsgradient F ν

ν

λλ

λ

−

−

=

),,,,,,(2

1

),,,(2

1

),,,(2

1

222

222

yxyxyxxy

yyyy

xxxx

wwvvuuy

u

x

v

wvuy

v

wvux

u

+++∂∂+

∂∂=

+++∂∂=

+++∂∂=

γ

ε

ε

Theorie: Dehnungen bei großen Verschiebungen

Nichtlineare Kinematik Bei großen Verformungen müssen die

nichtlinearen Anteile der Verschiebungen an

den Dehnungen einbezogen werden.

Diesen Effekt nennt man geometrische

Nichtlinearität.

Finite Elemente für lineare Statik und

Dynamik beinhalten nur die linearen Anteile.


y

u

x

v

y

vx

u

xy

y

x

∂∂+

∂∂=

∂∂=

∂∂=

γ

ε

ε

Lineare Kinematik (Dehnung-Verformung)

Annahme: kleine Verschiebungen

21, ,

2x x xu wε = +Balken, große Durchbiegung:

Biege-Normalspannungen nach Bernoulli Normalspannungen entsprechend Dehnung der neutralen Faser

Theorie: Lineare und nichtlineare Differential-Gleichungen

2

2

4

4 ),(),(

t

txWA

x

txWEI

∂∂=

∂∂ ρ

• Lineare DGL (Schwingung eines Balkens)

Koeffizienten hängen nicht von unbekannter Funktion ab

Ableitungen der Funktion kommen nur in 1. Potenz vor

Konstruktionen bestehen i.a. aus kontinuierlichen Bauteilen: Balken (1-D), Schalen (2-D), Massivteile (3-D).

Grundlage der Berechnung sind Differentialgleichungen (DGL). Die Unbekannten in den DGL sind Funktionen (z.B. Verschiebungen), die kontinuierlich von den Ortsvariablen abhängen. Mit diesen Gleichungen kann die Bewegung an jedem Punkt der Bauteile berechnet werden.


• Nichtlinearen DGL : eine oder beide obige Charakteristika sind nicht erfüllt. Beispiel: Dehnungen bei großen Verschiebungen

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1( , , , ), ( , , , )

2 2

1( , , , )

21 1

( , , , , , , ), ( , , , , , , )2 2

1( , , , , , , )

2

x x x x y y y y

z y y y

xy x y x y x y yz y z y z y z

xz x z x z x z

u vu v w u v w

x y

wu v w

zv u w v

u u v v w w u u v v w wx y y z

w uu u v v w w

x z

ε ε

ε

γ γ

γ

∂ ∂= + + + = + + +∂ ∂∂= + + +∂∂ ∂ ∂ ∂= + + + + = + + + +∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂= + + + +∂ ∂

{ }, ,u v w=u

F

w

Spannungsversteifung (Stress Stiffening)

Beobachtung: Durchsenkung bei nichtlinearer Rechnung ist kleiner als bei linearer

Rechnung – warum?

Erklärung: neutrale Faser wird gezogen � Normalspannung σ.

Theorie: Gleichgewicht am verformten Balken (Theorie 2. Ordnung!) � z-Komponente von σ wirkt der äußeren

= spezieller Effekt der geometrischen Nichtlinearität bei Biegung (Balken, Platten, …)


F

σ σ

Theorie: Gleichgewicht am verformten Balken (Theorie 2. Ordnung!) � z-Komponente von σ wirkt der äußeren

Last entgegen:

Große Verschiebungen � Umverteilung der Spannungen

� Lastaufnahme höher als nach linearer Rechnung vorhe rgesagt.

3. Lokale Plastifizierung

FF

w

Biegebalken bei Laststeigerung/ Fortsetzung


• Längsverschiebung u ~ w darf nicht mehr vernachlässigt werden � nichtlineare Kinematik = geometrische

Nichtlinearität (Stress Stiffening)

• Elastisch-Plastisches Materialverhalten, d.h. großer Dehnungszuwachs bei geringer Spannungssteigerung,

bleibende Verformungen nach Entlastung = nichtlineares Spannungs-Dehnungsdiagramm = physikalische

Nichtlinearität

F

w

Physikalische Nichtlinearität (nichtelastisches Material)

σσσσ

εεεε

Fließgrenze

Elastisch:

εσ E=


εεεε

Fliessen

Verfestigung

( )fσ ε ε= ɺɺ

Elastisch-Plastisch:


1. geometrisch und physikalisch linear

2. geometrisch nichtlinear

F

w

F

w

F

Biegebalkens bei Laststeigerung/ Zusammenfassung


3. geometrisch und physikalisch nichtlinearw

F

w

Praktische Konsequenz bei linearer Festigkeits-Berechnung

Das Bauteil verhält sich unter realer Beanspruchung:

F F

geometrisch nichtlinear geometrisch und physikalisch nichtlinear


w w

Messung/ nichtlineare Berechnung

lineare Rechnung mit gleicher Last

Berechnete Durchbiegungen sind zu groß:

� Tragfähigkeit nicht voll ausgenutzt.

� Vergleichspannung fehlerhaft.

Berechnete Durchbiegungen sind zu klein.

� Tragfähigkeit wird überschätzt!

Zusammenfassung (1/3): Lineare und nichtlineare Berechnung mit FEM

F

Linear

F

1nF +oF

( )K u

Nichtlinear


uou

const.K ≡

u1nu +

1

Geg:

Ges:

Lsg:

o

o

o o

F

u

u F−=

K

1

1

11 1

Geg: ,

Ges:

Lsg:

n n

n

n T n

F u

u

u F

+

+

−+ +∆ = ∆

K

nu

( )T nK u

Steifigkeitsmatrix Tangenten-Steifigkeitsmatrix

( )11 1 n n T n nu u F F−

+ +⇒ ≈ + −K

Linear Nichtlinear

Gleichgewicht

an unverformtem Volumen an verformtem Volumen

Material

Hooke‘sches Gesetz Elastisch, Hyper-Elastisch, Elastisch-

Plastisch, …

( ) ( ):V A

dV F u dAσ δε δ=∫ ∫ ( ) ( ):v a

dV F u dAσ δε δ=∫ ∫

ij ijkl klCσ ε= ( )( )

σ = σ ε

σ = σ εɺ ɺ ɺi i i

Zusammenfassung (2/3): Modellbildung


Kinematik

• Technische Dehnungen

• Green Dehnungen

• logarithmische DehnungenL l L

L Lε ∆ −= =

2 2

22 G L

l L

Lε −

−=

lnl

L

L

dl l

l Lε = =

∫

( )σ = σ εɺ ɺ ɺi i

2 2

22 G A

l L

lε −

−=

Typ der Berechnung Typische Formulierung Spannungs-/ Verzerrungsmaß

Nur materiell nichtlinear Nichlineares Materialgesetz Grundkurs Technische Mechanik „engineering“

stresses/ strains

Große Verschiebungen ,

große Rotationen, kleine

Verzerrungen

Total Lagrangian (TL)

Updated Lagrangian (UL)

2. Piola-Kirchhoff‘scher Spannungstensor,

Green‘scher Verzerrungstensor

Cauchy‘scher Spannungstensor, Almansi‘scher

Verzerrungstensor

Große Verschiebungen , Total Lagrangian (TL) 2. Piola-Kirchhoff‘scher Spannungstensor,

Tabelle 1: (nach K.J. Bathe – vgl. FEM, 2. Auflage, Tab. 6.1, S. 570)

Zusammenfassung (3/3): Klassifikation nichtlinearer Berechnungen


Große Verschiebungen ,

große Rotationen, große

Verzerrungen

Total Lagrangian (TL)

Updated Lagrangian (UL)

2. Piola-Kirchhoff‘scher Spannungstensor,

Green‘scher Verzerrungstensor

Cauchy‘scher Spannungstensor, Logarithmischer

Verzerrungstensor

Weitere Berechnungstypen:

• Kontakt,

• Fluid-Struktur-Interaktion

Formulierungen: Eulerian, Arbitrary Lagrange-Eulerian (ALE)

K.J. Bathe, FEM, 2. Auflage, S. 615

Total Lagrangian Formulation (TL)


K.J. Bathe, FEM, 2. Auflage, S. 616

Updated Lagrangian Formulation (UL)


Total Lagrangian Formulation (TL)


Belytschko, Liu, Nonlinear FE for Continua and Structures, S. 197

Updated Lagrangian Formulation (UL)


Belytschko, Liu, , Nonlinear FE for Continua and Structures S. 151

Vorkenntnisse 1

Frischen Sie Ihre Kenntnisse zur Lösung nichtlinearer Gleichungen mit Newton- bzw. Newton-Raphson Verfahren auf!

Zu empfehlen sind Darstellungen mit Beispiel-Programmen, z.B. meine Suche in Google mit „Newton-Raphson matlab“

http://numericalmethods.eng.usf.edu/mtl/gen/03nle/index.html

http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/loadFile.do?objectId=4313&objectType=file

f(x)


f(xi)

f(xi+1)

xi+2 xi+1 xi X

θ

( )[ ]ii xfx ,

Vorkenntnisse 2

Grundbeziehungen für Spannungen und Dehnungen in elastischen Körpern. Wichtigste Beziehungen:

( )

, 0

3

1, ,

2

ij j i

ij j i

ij m ij ij

m kk

ij ji i j j i

f

n t

s

u u

σσσ σ δσ σ

ε ε

+ =

=

= +

=

= = +

• Gleichgewicht am Volumselement

• Gleichgewicht an der Oberfläche

• Zerlegung des Spannungstensors in hydrostatischen und

deviatorischen Anteil

• hydrostatische Spannung

• Verzerrungstensor


( )0

2

ij ij ij

ij ijkl kl

e

E

ε ε δσ ε

= +

=

• Gross, Hauger, Schnell, Technische Mechanik 2, Technische Mechanik 4

• Becker, Gross, Mechanik elastischer Körper und Strukturen, Springer Verlag Berlin 2002

Literatur:

• Zerlegung des Verzerrungstensors

• Elastisches Materialgesetz

Vorkenntnisse 3: FEM für kleine Verschiebungen, elastisches Material

Regel 1: Mittels FEM werden Systemvariable (z.B. Verschiebungen) an ausgewählten Punkten (Knoten)

eines Berechnungsgebietes (z.B. einer mechanischen Struktur) numerisch bestimmt. Zur Herleitung der

dazu benötigten Gleichungen wird das Gebiet in finite Elemente unterteilt. Durch numerische Auswertung

von mechanischen Beziehungen innerhalb der Elemente werden die relevanten Eigenschaften der Systeme

(z.B. Steifigkeit, Masse) in den Knoten konzentriert.

Beispiel: Man berechne die Verschiebungen in einer abgesetzten Welle unter Zug.

1l 2l 3l

F


1EA 2EA 3EA

Lösung (elementar):

x

( )u x

11

1

F lu

E A= 1 2

21 2

l lu F

E A E A

= +

1 2 33

1 2 3

l l lu F

E A E A E A

= + +

2u1u 3u 4uR

F(1) (2) (3)

(1)1F (1)

2F (2)2F (2)

3F (3)3F (3)

4F

Assemblierung der Element-Steifigkeitsmatrizen

(1)1 0R F− = (1) (2)

2 2 0F F− − = (2) (3)3 3 0F F− − = (3)

4 0F F− + =

• Knoten: Gleichgewicht von inneren und äußeren Kräften


( )34 3

3

EAu u F

l− =

( )

( )

(1) 11 1 2

1

(1) 12 2 1

1

EAF u u

l

EAF u u

l

= −

= −

• Elemente: Ersetzen der inneren Kräfte durch Verschiebungen

( )

( )

(2) 22 2 3

2

(2) 23 3 2

2

EAF u u

l

EAF u u

l

= −

= −

( )

( )

(3) 33 3 4

3

(3) 34 4 3

3

EAF u u

l

EAF u u

l

= −

= −

( )11 2

1

EAu u R

l− = ( ) ( )1 2

2 1 2 31 2

0EA EA

u u u ul l

− + − = ( ) ( )2 33 2 3 4

2 3

0EA EA

u u u ul l

− + − =

1u

• Knoten: Bestimmungsgleichungen für Verschiebungen

2u 3u4u

� �

1 11

1 1

1 1 2 22

1 1 2 2

3 32 23

2 2 3 3

3 34

3 3

0 0

0 0

0 0

0 0

EA EAu R

l l

EA EA EA EAu

l l l l

EA EAEA EAu

l l l l

EA EAu F

l l

− − + − =

− + − −

u��

Assemblierung: Zusammenfassung der Knotengleichungen in Matrixform:

Knoten 1:

Knoten 2:

Knoten 3:

Knoten 4:

(4)


� �3 3 Fu

K��

Ku = F

Steifigkeitsmatrix (Stiffness Matrix)

Regel: Für jeden Freiheitsgrad an jedem Knoten ergibt sich genau eine Gleichung der Form:

Linke Seite = Resultierende der inneren Kräfte … Rechte Seite = Resultierende der äußeren Kräfte …

… in Richtung des Freiheitsgrades Ku = T F= − =R F T 0

Illustration: Steifigkeitsmatrix eines Stabelements mit großen Verschiebungen.

1u2u

1w2w

, ,E A L

( )V

dVσδε∫Materialgesetz: Eσ ε= LINEAR

vgl: Beispiel 1.1.


V

elK

Materialgesetz:

Kinematik:

( )1 1

1 12 1

2 2

2 2

1 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0,

1 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0

Tu u

w wEA FF EA u u

u uL L

w w

δδδδ

− − + = −

− −

Eσ ε=

( )21' '

2u wε = +

LINEAR

NICHTLINEAR

elGK

Illustration: Steifigkeitsmatrix eines Stabelements mit großen Verschiebungen (2/2)

The resultant strain is:

3.4.3. ImplementationThe stress-stiffness matrices are derived based on (3–35), but using the nonlinear strain-displacement relationships given in (3–58)

For a spar such as LINK8 the stress-stiffness matrix is given as:

Ansys Theory Reference,

Chapter 3: Structures


( )1 1

1 12 1

2 2

2 2

1 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0,

1 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0

Tu u

w wEA FF EA u u

u uL L

w w

δδδδ

− − + = −

− −

Chapter 3: Structures

with geometric

nonlinearities

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