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Colisões mecânicas
Choques mecânicos unidimensionais – são choques que ocorrem quando os centros de massa dos corpos que interagem entre si situam-se sobre uma mesma reta, ou seja,
estão sempre na mesma direção, antes e depois do choque. Se as direções forem diversas o choque será oblíquo.
Coeficiente de restituição (e): É definido pela relação:
Cálculo do módulo da velocidade relativa:
a) velocidades em sentidos contrários: Vr= VX + VY
b) velocidades no mesmo sentido: Vr= VY – VX, com VY>VX
Observações:
* O resultado Vr obtido é sempre em módulo
* Se houver colisão e os corpos permanecerem unidos após a mesma, ou, se eles se moverem na mesma direção e sentido tem-se evidentemente que VX=VY e que Vr=0.
Exemplos de cálculo do valor do coeficiente de restituição:
a)
e=Vrdepois/Vrantes=(20 + 10)/910 + 20) --- e=1
b)
e=Vrdepois/Vrantes=(5 – 4)/(10 – 2) --- e=1/8=0,15
c)
e=Vrdepois/Vrantes=(2 +1,2)/(8 – 4) --- e=0,8
d) após o choque movem-se juntos com a mesma velocidade
e=Vrdepois/Vrantes=(60 – 60)/(100 – 80) --- e=0
e) choque contra um obstáculo fixo como, por exemplo, uma parede ou um muro
Figura I --- e=Vrdepois/Vrantes=(30 – 0)/(30 – 0) --- e=1 --- figura II --- e=Vrdepois/Vrantes=(10 – 0)/(20 – 0) --- e=0,5
f) choque contra um obstáculo fixo (solo) – esfera abandonada de uma altura H, choca-se com o solo e retorna a uma altura h.
cálculo da velocidade com que ela chega ao solo (figura 1) --- equação de Torricelli com Vo=0 (abandonada), a=g (desce
acelerando) e ΔS=H --- V2=Vo2 + 2.a.ΔS --- V2=02 + 2.g.H --- V=√2gH – velocidade
com que ela chega ao solo, antes do choque – Va==√2gH
Cálculo da velocidade com que ela sai do solo, após o choque, atingindo uma altura h (figura 2) --- equação de Torricelli com v=0 (altura máxima), a=-g (sobe retardando) e ΔS=h --- V2=Vo
2 +2.a.ΔS --- 02 = Vo2 + 2.(-g).h --- Vo=√2gh (velocidade com que
ela sai do solo, depois do choque --- Vd=√2gh
e=Vrdepois/Vrantes=(√2gh)/(√2gH --- e=√(h/H) ---
g) Choque de uma pequena esfera (por exemplo, bola de tênis) contra um obstáculo móvel (por exemplo, um ônibus), com:
* sentidos opostos
É claro que a velocidade do ônibus continua sendo de 60m/s --- e=Vrdepois/Vrantes=(100 – 60)/(60 + 40) --- e=0,4
* mesmo sentido
e=Vrdepois/Vrantes=(40 + 80)/(200 – 80) --- e=1
O que você deve saber
Coeficiente de restituição (e)
O coeficiente de restituição (e) é uma grandeza adimensional (não tem unidade), por ser calculado pela razão entre duas grandezas de mesma espécie e 0<e>1
Cálculo do módulo da velocidade relativa:
a) velocidades em sentidos contrários: Vr= VX + VY
b) velocidades no mesmo sentido: Vr= VY – VX, com VY>VX
Observações:
* O resultado Vr obtido é sempre em módulo
Choque inelástico
Neste tipo de choque a dissipação de energia é máxima, o coeficiente de restituição é nulo, e, após o choque, os corpos obrigatoriamente se juntam e se movem unidos com a mesma velocidade. Lembre-se de que em qualquer tipo de choque a quantidade de movimento sempre se conserva.
Gráfico da velocidade em função do tempo para a colisão inelástica das figuras abaixo
Choque parcialmente elástico
Nesse tipo de choque o sistema é dissipativo com a energia sendo parcialmente dissipada e o coeficiente de restituição está compreendido entre 0 e 1 (0<e<1). Como em qualquer tipo de choque a quantidade de movimento do sistema se conserva (
) .
Gráficos de uma colisão parcialmente elástica
O que você deve saber
O coeficiente de restituição está compreendido entre 0 e 1 (0<e<1).
A quantidade de movimento do sistema se conserva ( )
Como resolver exercícios sobre colisões parcialmente elásticas
- fazer um desenho dos móveis antes e depois da colisão considerando, por exemplo, velocidades positivas para a direita e negativas para a esquerda
- calcular as quantidades de movimento do sistema antes e depois do choque, igualá-las e simplificá-las – equação I.
- utilizar o coeficiente de restituição – e=módulo da velocidade relativa depois do choque/módulo da velocidade relativa antes do choque --- e=Vrdepois/Vrantes, simplificar essa equação – equação II
- resolver o sistema formado pelas equações I e II
Exercício exemplo:
Dois móveis P e Q de massas mP=2kg e mQ=10kg se movem em sentidos contrários com velocidades VP=20m/s e VQ=10m/s e sofrem uma colisão unidimensional parcialmente elástica de coeficiente de restituição igual a 0,8. Calcule suas velocidades após o choque e seus sentidos.
Etapas:
- fazer um desenho dos móveis antes e depois da colisão considerando, por exemplo, que após a colisão os móveis se movam sempre para a direita.
-Calcular as quantidades de movimento do sistema antes e depois do choque, (supondo, por exemplo, velocidades positivas para a direita e negativas para a esquerda), igualá-las e simplificá-las.
Qa=Qd --- mPVP + mQVQ=mPVP’ + mQVQ’ --- 2.(20) + 10.(-10) = 2.VP’ + 10.VQ’ --- -60=2.VP’ + 10.VQ’ --- Vp’ + 5VQ’= -30 (equação I)
-Utilizando o coeficiente de restituição e=0,8 --- e=Vrdepois/Vrantes --- 0,8=(VQ’ – VP’)/30 --- VQ’ – VP’=24 (equação II)
Resolvendo o sistema formado pelas equações I e II --- VQ’= -1m/s (após o choque, o móvel Q se move para a esquerda com velocidade de 1m/s) --- VP= -25m/s (o móvel P, após o choque, se move também para a esquerda com velocidade de 25m/s)
Choque perfeitamente elástico
Toda energia do sistema é a mesma antes e depois do choque (sistema conservativo) e o coeficiente de restituição vale e=1. Como em todo tipo de choque, a quantidade de movimento do sistema se conserva ( ).
O que você deve saber
O sistema é conservativo (toda energia mecânica se conserva)
e=1
Como resolver exercícios sobre colisões parcialmente elásticas
- fazer um desenho dos móveis antes e depois da colisão considerando, por exemplo, velocidades positivas para a direita e negativas para a esquerda
- calcular as quantidades de movimento do sistema antes e depois do choque, igualá-las e simplificá-las – equação I.
- utilizar o coeficiente de restituição – e=módulo da velocidade relativa depois do choque/módulo da velocidade relativa antes do choque --- e=Vrdepois/Vrantes, simplificar essa equação – equação II
- resolver o sistema formado pelas equações I e II
Exercício exemplo:
Dois carrinhos de brinquedo M e N que se movem em sentidos contrários sofrem uma colisão perfeitamente elástica. Suas velocidades antes do choque são VM=12m/s e VN=8m/s. Sua massas são iguais (2kg). Determine a intensidade e o sentido de suas velocidades após o choque.
Esquematizando a situação e supondo que após o choque, eles se movam para a direita
Aplicando o teorema da conservação da quantidade de movimento, supondo velocidades positivas para a direita e negativas para a esquerda --- Qa=Qd --- mN.VN + mM.VM = mN.VN’ + mM.VM’ --- 2.(-8) + 2.(12) = 2.VN’ + 2.VM’ --- -16 +24 = 2.VN’ + 2.VM’ --- VN’ + VM’=4 I --- aplicando a expressão do coeficiente de restituição – e=Vrdepois/Vrantes --- 1 = (VN’ – VM’)/(12 + 8) --- VN’ – VM’=20 II --- resolvendo o
sistema composto por I e II --- VN’=12m/s (para a direita) e VM’= -8m/s (para a esquerda).
Observe que, após o choque, M transferiu a N sua velocidade de 12m/s para a direita e que N transferiu a M sua velocidade de 8m/s para a esquerda. Assim, pode-se concluir que:
Em todo choque perfeitamente elástico, se os corpos tiverem a mesma massa, eles trocam suas velocidades
Exemplos:
Gráficos de um choque perfeitamente elástico
Exercícios
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