COLISÕES MECÂNICAS

1. Introdução

Colisão é a interação entre dois ou mais corpos, com mútua troca de quantidade de movimento e energia. O choque entre bolas de bilhar é um exemplo, o movimento das bolas se altera após a colisão, elas mudam a direção, o sentido e a intensidade de suas velocidades. Outras colisões ocorrem sem que haja contato material, como é o caso de um meteorito que desvia sua órbita ao passar pelas proximidades de um planeta.

Em física procura-se saber o comportamento dos corpos após a colisão. Para isto são usadas as leis de conservação de energia cinética e momento linear, conforme o tipo de colisão. Adiante estas leis serão descritas e usadas para encontrar resultados em casos simples de colisões unidimensionais entre dois corpos.

Este trabalho propõe a você um estudo sobre as leis físicas envolvidas na descrição das colisões. Além da tradicional explanação de princípios físicos, você terá à disposição uma simulação onde poderá comprovar e testar os resultados obtidos a partir da teoria. Verá que muitos deles já lhes são comuns de seu cotidiano. O caso a ser estudado é dos mais elementares, mas a aplicação dos princípios é válida para fenômenos com qualquer nível de complexidade.

2. Colisões elásticas, perfeitamente inelásticas e parcialmente elásticas

2.1. Colisões elásticas

Numa colisão elástica a energia cinética e o momento linear dos corpos envolvidos permanecem os mesmos antes e depois da colisão. Diz-se que houve conservação de momento linear e energia.

Figura 1. Colisão elástica.

Considera-se o caso de dois corpos de massas m1 e m2 movendo-se em linha reta, com velocidades v1 e v2 respectivamente, permanecendo os mesmos dois após a colisão (sem que

haja desagregação), conforme a Figura 1. Antes da colisão o corpo de massa m1 tinha uma energia cinética E1i e um momento linear p1i e o corpo de massa m2 tinha uma energia cinética E2i e um momento linear p2i que podem ser expressos pelas fórmulas:

E1i = (1/2)m1v1i2

p1i = m1v1i

E2i = (1/2)m2v2i2

p2i = m2v2i

(1a)(1b)(1c)(1d)

Após a colisão as fórmulas são as mesmas, mas agora os corpos terão quantidades de movimento e energias diferentes do que tinham antes da colisão, que são representadas com o índice f (final), assim:

E1f =(1/2)m1v1f2

p1f = m1v1f

E2f = (1/2)m2v2f2

p2f = m2v2f

(2a)(2b)(2c)(2d)

Como há conservação de energia e momento pode-se escrever que a energia total e o momento total inicial e final do sistema de corpos não variam, desta maneira:

E1i + E2i = E1f + E2f

p1i + p2i = p1f + p2f

(3a)(3b)

Substituindo nas equações 3a e 3b os valores para cada termo:

(1/2)m1v1i2 + (1/2)m2v2i

2 = (1/2)m1v1f2 + (1/2)m2v2f

2

m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f

(4a)(4b)

A resolução do sistema de equações formado pelas Equações 4a e 4b é possível e permite o conhecimento das condições do movimento após a colisão.

A divisão da equação 4a por (1/2) e o agrupamento dos termos com mesma massa em cada lado terá como resultado:

m1(v1i2 - v1f

2) = m2(v2f2 - v2i

2) (5)

Juntando os termos com mesma massa em cada lado, para a equação 4b:

m1(v1i - v1f) = m2(v2f - v2i) (6)

O termo que multiplica m1 na Equação 5 tem alguma relação com o termo que multiplica o mesmo m1 na Equação 6. Esta relação pode ser conhecida a partir da expressão:

(v1i - v1f)(v1i + v1f) = (v1i2 - v1f

2) (7)

A mesma conclusão (com uma pequena diferença pela troca de sinais) pode ser tirada para o termo que multiplica m2 na Equação 5:

(v2f - v2i)(v2i + v2f) = (v2f2 - v2i

2) (8)

Substituindo as Equações 7 e 8 na Equação 5:

m1(v1i - v1f)(v1i + v1f) = m2(v2f - v2i)(v2i + v2f) (9)

Escreve-se a Equação 6 para conservação de momento e compara-se com a Equação 9:

m1(v1i - v1f) = m2(v2f - v2i) (6)

Nota-se que o primeiro termo da Equação 6 está contido no primeiro termo da Equação 9 e o segundo termo da Equação 6 também está contido no segundo termo da Equação 9, ou seja, a Equação 6 está "contida" na Equação 9. Logo, pode-se dividir a Equação 9 pela Equação 6, para se obter um resultado mais simplificado. O resultado desta divisão será:

(v1i + v1f) = (v2i + v2f) (10)

Isolando v1f na Equação 10 e substituindo na Equação 6 obtém-se:

v2f = 2m1v1i/(m1 + m2) + v2i(m2 - m1)/(m2 + m1) (11)

E portanto:

v1f = 2m2v2i/(m1 + m2) + v1i(m1 - m2)/(m1 + m2) (12)

Desta maneira, usando os princípios de conservação de energia e momento linear, foram obtidos os parâmetros do movimento após a colisão.

2.2. Colisões perfeitamente inelásticas

Colisões perfeitamente inelásticas são aquelas onde não ocorre conservação de energia mecânica mas somente quantidade de movimento. Após o choque ambos os corpos seguem juntos, como um único corpo com a massa igual à soma das massas de todos os corpos antes do choque. A Figura 2 ilustra esta colisão para dois corpos.

Figura 2. Colisão inelástica

Admite-se que os corpos de massa m1 e m2 tenham quantidades de movimento p1i e p2i antes da colisão, respectivamente. Após a colisão a quantidade de movimento será:

pf = vf (m1 + m2) (13)

Pela lei de conservação:

p1i + p2i = pf (14)

Substituindo os termos da Equação 14 por suas respectivas expressões:

m1v1i + m2v2i = (m1 + m2)vf (15)

Da Equação 15 conclui-se que o valor para a velocidade final dos corpos é:

vf = (m1v1i + m2v2i)/(m1 + m2) (16)

2.3. Colisões parcialmente elásticas

Existe um outro tipo de colisão onde não ocorre conservação de toda a energia cinética do sistema, mas somente parte dela. É o que chamamos de colisão parcialmente elástica. Na natureza é difícil de se encontrar colisões perfeitamente elásticas, encontramos normalmente as parcialmente elásticas. Isto é devido à existência de forças dissipativas durante o processo de colisão, como o atrito ou a deformação dos corpos, que sempre consomem uma parte da energia cinética original.

Nas colisões parcialmente elásticas os corpos tem uma velocidade relativa não nula após a colisão. Quando não há velocidade relativa, isto é, os corpos movem-se com a mesma velocidade, está caracterizada uma colisão inelástica. Da equação 10 encontra-se uma expressão para as velocidades relativas antes e após uma colisão perfeitamente elástica, num sistema de dois corpos, que é:

(v2f - v1f) = -(v2i - v1i) (17)

E ainda pode-se escrever:

(v2f - v1f)/-(v2i - v1i) = 1 (18)

A Equação 18 informa que numa colisão perfeitamente elástica a velocidade relativa de afastamento (após a colisão, (v2f - v1f)) é igual à velocidade relativa de aproximação (antes da colisão, -(v2i - v1i)), ou seja, a razão entre elas é um. Numa colisão que não é perfeitamente elástica essa razão não vale 1, já que os corpos perdem energia cinética e suas velocidades diminuem após a colisão. A razão entre as velocidades relativas de afastamento e aproximação é chamada de coeficiente de restituição e:

e = (v2f - v1f)/-(v2i - v1i) (19)

Numa colisão perfeitamente inelástica os corpos seguem com a mesma velocidade após a colisão, logo a velocidade relativa de afastamento é nula, e o coeficiente de restituição vale 0.

Substituindo-se a equação 10 pela equação 19 e realizando operações similares às realizadas para colisões elásticas, chega-se às velocidades finais para o caso de colisões parcialmente elásticas unidimensionais num sistema de dois corpos. Elas são:

v1f = (1+e)m2v2i/(m1 + m2) + v1i(m1 - m2 e)/(m1 + m2)v2f = (1+e)m1v1i/(m1 + m2) + v2i(m2 - m1 e)/(m2 + m1)

(20a)(20b)

Estas fórmulas servem para todo tipo de colisão. Variações no coeficiente de restituição, conforme o tipo de colisão, levam às fórmulas para colisões elásticas e perfeitamente inelásticas. Experimente!

3. Coeficiente de Restituição

Para o estudo dos choques definimos o conceito de coeficiente de restituição.

O numerador representa a velocidade de afastamento entre os corpos (ou seja, a velocidade com que se afastam um em relação ao outro). O denominador representa a velocidade de aproximação relativa entre eles.

No choque perfeitamente elástico, não havendo deformações permanentes, a velocidade de afastamento será igual à de aproximação e, portanto, o coeficiente de restituição será e = 1.

No choque perfeitamente inelástico, os corpos permanecem unidos, portanto não se afastam um do outro. A velocidade de afastamento é zero e, portanto, o coeficiente de restituição será e = 0.

Nos choques parcialmente elásticos a velocidade de afastamento será sempre menor que a de aproximação. Portanto, de maneira geral, teremos um valor do coeficiente de restituição compreendido entre zero e um, ou 0 < e < 1.

Exercícios1. (Fuvest-SP) Considere as seguintes afirmações acerca de uma colisão inelástica de um sistema constituído por dois corpos.I. Existe conservação de energia cinética imediatamente antes e imediatamente após a colisão.II. Existe conservação da quantidade de movimento imediatamente antes e imediatamente após a colisão.III. Conserva-se a velocidade relativa dos corpos, antes e após a colisão.

Destas afirmações:a) apenas I é correta.b) apenas II é correta.c) apenas III é correta.d) I e II são corretas.e) II e III são corretas.

2. (Fuvest-SP) Um carro de massa 800 kg, em repouso, é abalroado por trás por um outro de 1 200 kg que se movimenta com velocidade 72 km/h. Supondo que a colisão tenha sido totalmente inelástica, determinar:a) a velocidade do conjunto constituído pelos dois carros imediatamente após a colisão (em km/h).b) a variação de energia cinética do sistema.

3. (Unicamp-SP) Um objeto de massa m1=4,0 kg e velocidade v1=3,0 m/s choca-se com um objeto em repouso, de massa m2=2,0 kg. A colisão ocorre de forma que a perda de energia cinética é máxima, mas consistente com o princípio da conservação da quantidade de movimento.

a) Quais as velocidades dos objetos imediatamente após a colisão?b) Qual a variação da energia cinética do sistema?

Respostas:1. b2. a) 12 m/sb) 96000 J3. a) 2 m/sb) 6 J