TRABAJO INVESTIGATIVOCOLORACIÓN DE GRAFOS

TABLA DE CONTENIDO

Pág.

INTRODUCCIÓN 3

1. OBJETIVO GENERAL 3

2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 3

3. COLORACIÓN DE GRAFOS 4

3.1. NUMERO CROMÁTICO 6

3.1.1. POLINOMIO CROMÁTICO 7

3.2. COLORACIÓN DE VÉRTICES 8

3.2.1. ALGORITMO AUSTERO PARA COLOREAR 8

3.2.2. CLIQUE O CAMARILLA EN UN GRAFO 10

3.3. COLORACIÓN DE ARISTAS 10

3.3.1. ÍNDICE CROMÁTICO 11

3.4. TEOREMA DE LOS CUATRO COLORES 12

3.5. GRAFO ÚNICAMENTE COLOREABLE 14

4. PARTICIONAMIENTO CROMÁTICO 15

5. CONJUNTO INDEPENDIENTE 15

5.1. CONJUNTO INDEPENDIENTE MAXIMAL 15

5.2. NUMERO DE INDEPENDENCIA 16

6. CONJUNTO DOMINANTE 16

7. EJERCICIOS PROPUESTOS 16

8. CONCLUSIONES

9. BIBLIOGRAFÍA

INTRODUCCIÓN

Los grafos son estructuras de datos que se caracterizan por poseer nodos o vértices, que se unen a partir de aristas para almacenar información. Estos elementos poseen características particulares que es indispensable, conocer y diferenciar para el correcto manejo de los grafos.

En el presente trabajo se abordaran temas fundamentales de los grafos, sus particiones y coloreados, sus clasificaciones, y elementos básicos como el índice y el numero cromático; así mismo los problemas y cuestiones básicas sobre estos temas.

1. OBJETIVO GENERAL

Investigar sobre los conceptos básicos del coloreado y particionamiento de grafos.

2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Comprender las diferencias básicas entre los diferentes tipos de coloración de los grafos.

Entender la importancia de los conceptos de número cromático, en el teorema de los 4 colores para los grafos planos.

Indagar sobre la gran variedad de aplicaciones que tienen las particiones y coloreados para las múltiples ciencias a lo largo de la historia y en la actualidad.

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3. COLORACIÓN DE GRAFOS

La coloración de grafos es un caso especial de etiquetado de grafos; es una asignación de etiquetas llamadas colores a elementos del grafo. De manera simple, una coloración de los vértices de un grafo tal que ningún vértice adyacente comparta el mismo color es llamado vértice coloración. Similarmente, una arista coloración asigna colores a cada arista tal que aristas adyacentes no compartan el mismo color, y una coloración de caras de un grafo plano a la asignación de un color a cada cara o región tal que caras que compartan una frontera común tengan colores diferentes. El vértice coloración es el punto de inicio de la coloración, y los otros problemas de coloreo pueden ser transformados a una versión con vértices.

Una coloración propia de G ocurre cuando se asignan colores a los vértices de G de modo que si vi y vj  son adyacentes, entonces vi y vj tengan colores distintos asignados. El número mínimo de colores necesarios para una coloración propia de un grafo es lo que se conoce como número cromático del grafo.

Ejemplo.

Se desea colorear el siguiente mapa de tal manera que los países adyacentes no tengan el mismo color.

Para esto lo llevaremos a un grafo donde cada país será un vértice o nodo.

Designaremos los siguientes colores:

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Llenamos la siguiente tabla:

El mapa coloreado es:

1. Comenzamos eligiendo el de mayor grado en el caso es el vértice 6 con grado 6 pues tiene mayor grado.

2. Elegimos el primer color para el vértice 6 el cual es el color azul.

3. En seguida elegimos el de mayor grado de los que quedan es el vértice 4 con grado 5 lo pintamos de rojo pues no podemos usar el azul ya que es adyacente.

4. Luego buscamos el de mayor grado de los que quedan y vemos que hay un empate con los vértices 3, 5, 7, 8 y 9.

5. Para esto hallamos sus grados de error y tomamos el de mayor grado de error si hay empate como es el caso tomamos arbitrariamente 6. Análogo para los demás casos.

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3.1. NUMERO CROMÁTICO

El número cromático de un grafo G, que denotaremos por χ(G), es el mínimo número de colores necesario para colorear G.

El número cromático de una gráfica G es la menor cantidad de colores necesarios para colorear sus vértices sin que dos vértices vecinos (unidos por una arista) tengan el mismo color.

O más formalmente, es el menor entero m tal que G es m-coloreable (o bien, tiene una coloración propia con m colores). A este número  se le denota como χ(G), es decir, χ(G)=m.

Usando un color distinto en cada vértice produce una coloración propia, pero no es

mínima.Número cromático de la gráfica es 3.

Figura 1: Numero cromático

La terminología de usar colores para etiquetar vértices proviene del problema de colorear mapas. Las etiquetas como rojo o azul son solamente utilizadas cuando el número de colores es pequeño, y normalmente los colores están representados por los enteros {1, 2, 3, …}.

Ejemplo.

¿Cuántos colores son necesarios para pintar los vértices de forma que cada arista una siempre colores distintos? Determine el número cromático.

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Figura_. Grafo G

Para la solución de este problema asignamos colores a cada uno de los vértices de la siguiente forma.

Figura_. Numero cromático de un grafo G

De tal forma, este es un grafo con numero cromático 4

3.1.1. POLINOMIO CROMÁTICO

No sólo interesa saber si se puede colorear un grafo con k colores, sino también de cuántas formas se puede colorear. La primera cuestión queda resuelta cuando se conoce el número cromático, x (G ): si k≥ x (G) podremos colorear el grafo con k colores, y si k<x (G), será imposible colorear el grafo con k colores.

Aquí, como queremos contar y calcular, conviene que los colores sean números, y qué mejor que los números de 1 a k. dado un grafo G y para cada entero k ≥1, llamamos

PG (k )=¿{coloraciones distintasdeGusando los coloresde lacoleccion {1 ,…. , k }}

Teniendo en cuenta que no es necesario usarlos todos. Desde luego PG es una función de k, que resulta ser un polinomio en que llamaremos el polinomio cromático de G:

PG (k )=∑jα j k

j

Ejemplo.

Usando 3 colores, el grafo en la imagen de la derecha puede ser coloreado de 12 formas distintas. Con solo 2 colores, no puede ser coloreado. Con 4 colores, puede ser coloreado de 24+4*12 maneras distintas: usando los cuatro colores juntos, hay 4!= 24 coloraciones validas (toda asignación de cuatro colores a algún grafo de cuatro vértices

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es una coloración propia); y para cada elección de tres de los cuatro colores, hay 12 3-coloraciones válidas. Así que, para el grafo del ejemplo, una tabla de números de coloraciones validas puede comenzar como esta:

Colores disponibles 1 2 3 4 …

Número de coloraciones 0 0 12 72 …

Figura 2: Polinomio cromático.

3.2. COLORACIÓN DE VÉRTICES

Los algoritmos conocidos para colorear los vértices de un grafo se clasifican en dos grandes grupo: secuenciales e independientes. Dada una ordenación de los vértices del grafo, los algoritmos secuenciales asignan el mínimo color posible al siguiente vértice. Es decir, si queremos colorear el vértice v, teniendo ordenados numéricamente los colores, asignamos a v el color más pequeño que no aparece entre los asignados a los vecinos de v ya coloreados. La ordenación inicial es esencial para colorear con pocos colores.

Los algoritmos “independientes” buscan en primer lugar un conjunto independiente de vértices I de cardinal grande, colorea todos los vértices con el color 1, elimina los vértices de I y repite el proceso en el grafo GI, continuando así hasta colorear todos los vértices.

3.2.1. ALGORITMO AUSTERO PARA COLOREAR

Un procedimiento para colorear los vértices de un grafo siguiendo un orden impuesto a los vértices, usando la menor cantidad de colores posibles. Supongamos que C={c1 , c2 , .. . } es el conjunto de colores; procedemos a describir el algoritmo que denominamos algoritmo austero y consta de los siguientes pasos:

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Paso inicial. Ordenamos los vértices del grafo. Es importante notar que la eficiencia del algoritmo depende del orden que elijamos. Hacemos una lista de los vértices del grafo.

(v1 , v 2 ,. . . , vn)

Primer paso. Le asignamos el primer color c1 al vértice v1.

Segundo paso. Procedemos a asignar un color al vértice v2 así: si es adyacente al vértice v1 le asignamos el siguiente color c2, en otro caso le asignamos c1.

k-ésimo paso. Para colorear el vértice vk buscamos todos los vértices del conjunto {v1 , v 2 , .. . , vk−1} que son adyacentes a vk y determinamos los colores que han sido usados en sus coloraciones; luego usamos el primero disponible en el orden de C que no haya sido usado en la coloración de los vértices adyacentes a vk.

Ejemplo.

Consideremos el siguiente grafo con los vértices ordenados y C = {a, b, c, . . . }

Figura_. Grafo para colorear

Usamos el algoritmo austero para asignar los colores: Al vértice v1 le asignamos el colora a; puesto que el vértice v2 es adyacente a v1 le asignamos el color b; el vértice v3 es adyacente a v2 pero no es adyacente a v1, de este modo le asignamos el color a; v4 es adyacente a v2 y v3, luego le asignamos el color c; v5 le corresponde a; v6 le corresponde b y a v7 le corresponde b. El número de colores usado es tres el cual es su numero cromático. La coloración correspondiente siguiendo el algoritmo austero es:

Figura_. Grafo coloreado

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El número de colores usado es tres el cual es su número cromático. No siempre este algoritmo nos da una coloración donde el número de colores es igual al número cromático.3.2.2. CLIQUE O CAMARILLA EN UN GRAFO

Una clique es un completo maximal de G. Es decir, es un completo de G que no está propiamente incluido en otro completo de G. Llamaremos !(G) al tamaño de una clique máxima de G y C(G) al conjunto de cliques de G. S ⊂ V es clique si dos vértices cualesquiera de S son adyacentes.

Ejemplo.

Determine el clique del siguiente grafo

Para el grafo anterior el número de clique de G es

ω (G )=3

3.3. COLORACIÓN DE ARISTAS

Denotada como la asignación de colores a aristas tal que aristas incidentes tengan un color distinto. Una arista coloración con k colores es llamada k-arista-coloración y es equivalente al problema de particionar el conjunto de aristas en k emparejamientos. El menor número de colores necesarios para un arista coloración de un grafo G es el índice cromático o número cromático de aristas.

Figura 3: Coloreado de aristas.

Ejemplo.

Determine la coloración de aristas para el siguiente grafico

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Figura_. Grafo G

Para la coloración de aristas es importante tener en cuenta lo siguente:

χ (G)≥ Δ(G).

Si K n es impar, χ (K n)=n=Δ+1.

Si K n es par, χ (Kn )=n−1=Δ.

Teniendo en cuenta la anterior el grafo queda así:

Figura_. Coloracion de aristas

3.3.1. ÍNDICE CROMÁTICO

Se llama índice cromático de G al mínimo k para el que G es kcoloreable en aristas. Designaremos a este número con la notación N'(G).

También es un problema NPcompleto determinar el índice cromático de un grafo. Y los algoritmos conocidos para colorear las aristas de un grafo siguen las mismas estrategias descritas para la coloración de vértices.

Figura_. Índice cromático de grafos

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Ejemplo.

Determine el índice cromático del siguiente grafo

Figura_. Grafo G

Al aplicar las propiedades de los índices cromáticos se puede llegar a establecer que el índice cromático para el grafo G es:

{χ (G)}→ χ (G)=3

3.4. TEOREMA DE LOS CUATRO COLORES

En teoría de grafos, el teorema de cuatro colores (o teorema de la minimalidad cromática) es un teorema sobre la coloración de grafos que establece lo siguiente:

Dado cualquier mapa geográfico con regiones continuas, éste puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes con el mismo color.

Asumiendo que las regiones adyacentes comparten no solo un punto, sino todo un segmento de borde (frontera) en común.

Tres colores son suficientes para mapas simples, pero en algunos casos es necesario un cuarto color adicional, esto es, cuando una región a colorear queda encerrada por un número impar de regiones que se tocan formando un ciclo. El teorema de los cinco colores, cuya demostración es corta y elemental, establece que cinco colores son suficientes para colorear un mapa y fue probado en el siglo XIX por Heawood. Una serie de pruebas falsas y falsos contraejemplos han aparecido desde el primer enunciado del teorema de los cuatro colores en 1852.

El problema del mapa de cuatro colores fue planteado, por primera vez, por el estudiante Francis Guthrie en 1852, lo que fue comunicado a Augustus de Morgan. La conjetura se hizo famosa con la declaración de Arthur Cayley, en 1878, en el sentido de que la había abordado. Fue resuelto, a mediados de 1970, por Kenneth Appel y Wolfgang Haken.

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Figura 4: Teorema de los 4 colores.

Ejemplo.

Teniendo el siguiente mapa de Castilla-La Mancha, aplique el teorema de los cuatro colores.

Figura_. Mapa de Castilla – la Mancha

En forma de grafo dual tendría el siguiente grafo:

Figura_. Grafo mapa de Castilla – La Mancha

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De esta forma el problema queda planteado de la siguiente forma, cumpliendo con los vértices de todo grafo plano pueden colorearse con, a lo sumo, cuatro colores de forma que dos vértices unidos por una arista tengan colores distintos.

Por ejemplo, el mapa anterior (y, por tanto, también su grafo dual) puede colorearse con, en este caso, tres colores:

Figura_. Mapa de Castilla – La Mancha aplicando el teorema de los cuatro colores

3.5. GRAFO ÚNICAMENTE COLOREABLE

Una coloración que usa a lo más k colores se llama k-coloración (propia). Un grafo que tiene asignada una k-coloración (propia) es k-coloreable y es k-cromático si su número cromático es exactamente k.

Un k-coloreo de G es una particion de V (G) en k conjuntos independientes (a cada uno de ellos se le asocia un color, de ahí el nombre “coloreo"). Si G admite un k-coloreo decimos que es k-coloreable.

Ejemplo.

Asignarle a cada vértice un ‘color' o ‘numero' de forma tal que dos vertices adyacentes no reciban el mismo, y usando no más de k etiquetas distintas.

Figura_. Grafo C5

Podemos decir que el anterior grafo es 3 – coloreable, pero no 2 – coloreable.

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Figura_. Grafo C5 3 – coloreable

4. PARTICIONAMIENTO CROMÁTICO

Un subconjunto de vértices asignados con el mismo color se llama una clase de color. Cada clase forma un conjunto independiente. Esto es, una k-coloración es lo mismo que una partición del conjunto de vértices en k conjuntos independientes, y los términos k-partito y k-coloreable tienen el mismo significado.

5. CONJUNTO INDEPENDIENTE

Es un conjunto de vértices en un grafo tal que ninguno de sus vértices es adyacente a otro. Es decir, es un conjunto V de vértices tal que para ningún par de ellos existe alguna arista que los conecten. En otras palabras, cada arista en el grafo contiene a lo más un vértice en V. El tamaño de un conjunto independiente es el número de vértices que contiene.

Un conjunto independiente de G es un completo de G. Llamaremos α (G) al tamaño de un conjunto independiente máximo de G.

Un conjunto de vértices S en un grafo se dice independiente si ningún par de vértices de S son adyacentes

Figura : Conjunto independiente

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Ejemplo.

El siguiente grafo muestra los vértices que forman el conjunto independiente.

5.1. CONJUNTO INDEPENDIENTE MAXIMAL

El conjunto independiente máximo corresponde al mayor conjunto independiente definible sobre un grafo dado. El problema de encontrar un conjunto con estas características se llama problema del máximo conjunto independiente y es NP-completo, por lo cual es poco probable que exista un algoritmo que lo resuelva eficientemente.

Ejemplo

Determine los vértices que forman un conjunto independiente maximal

5.2. NUMERO DE INDEPENDENCIA

El número de independencia de G es el tamaño del conjunto independiente más grande, y se denota por α(G).

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El número de vértices del mayor conjunto independiente maximal de S se denomina el número de independencia de G y se representa por β(G)

Figura : Conjunto independiente maximal

Ejemplo.

Halle el número de vértices del mayor conjunto independiente maximal del grafo G, es decir el número de independencia de G

Es decir el número de independencia del grafo G es β (G)=4

6. CONJUNTO DOMINANTE

El conjunto dominante de un grafo G = (V, E) es un subconjunto V' de V tal que cada vértice que no pertenezca a V' está unido a (al menos) un miembro de V'. El número dominante γ(G) es el cardinal del menor conjunto dominante de G.

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Un conjunto S de vértices de un grafo G se dice que es un conjunto dominador si todo vértice que no está en S es adyacente a algún vértice de S. El número de dominación σ(G) es el número de vértices del conjunto dominador más pequeño.

Ejemplo.

Si se tiene un grafo G como el siguiente, determine el conjunto dominador y el número de dominación.

Por tal razón el número dominador para el anterior grafo es σ (G)=2

4. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Establezca alguna coloración de grafos para la siguiente grafica

Para el anterior grafo una coloración adecuada se vería así:

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2. Halle el numero cromático del siguiente grafo

X (G )≥4, por contener un K4, como existe una coloración con 4 colores, entonces X (G )=4.

3. Halle el polimonio cromático correspondiente al siguiente grafo

Para obtener el polinomio cromático debemos hacer lo siguiente

De esta forma podemos decir que el polinomio cromático asociado al grafo es P=x (x−1)(x−2)2.

4. Dado el siguiente grafo determine la coloración de vértices adecuada.

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Pero, adicionalmente se pueden presentar dos configuraciones más diferentes

5. Identifique los vértices que pueden ser cliques en el siguiente grafo

Los vértices 1, 2 y 5 forman una clique, porque cada uno tiene un arco que le une a los otros. En cambio, los vértices 2, 3 y 4 no, dado que 2 y 4 no son adyacentes. Y así se visualizarían los cliques señalandolos en el grafo

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6. Dado el siguiente grafo, determine la coloración de aristas adecuada

Entonces, el grafo quedaría de la siguiente forma, ya que X (C5 )≥2 pero con dos colores solo no es posible una coloración de aristas

7. Calcular el índice cromatico del grafo Gn , k

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Ya que para un k=2 se trata de un grafo 3 – regular. Para una coloración adecuada únicamente utilizáremos tres colores como se muestra en la siguiente figura:

Así el índice cromático es igual a 3.

8. Aplique el teorema de los cuatro colores al siguiente grafo

El grafo anterior quedaría coloreado así

9. Determine si el siguiente grafo es únicamente coloreable.

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Debido a que el grafo anterior tiene X (C3 )=3, podemos decir que el grafo anterior si es únicamente coloreable.

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5. CONCLUSIONES

Se investigó sobre las diferencias básicas entre los distintos tipos de coloración de los grafos.

Se comprendieron los conceptos de número cromático, en el teorema de los 4 colores para los grafos planos.

Se indago sobre las diversas aplicaciones de las particiones y coloreados para las múltiples ciencias a lo largo de la historia y en la actualidad.

6. BIBLIOGRAFÍA.

Exploración de grafos. Análisis y diseño de algoritmos. Consultado el 16 de Junio de 2014, disponible en: http://elvex.ugr.es/decsai/algorithms/slides/5%20Grafos.pdf

El mundo de los grafos. Consultado el 16 de Abril de 2014, disponible en http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/gallardo/capi10-grafos-coloraciones-0910.pdf

Coloración de grafos. Consultado el 16 de Abril de 2014, disponible en http://es.wikipedia.org/wiki/Coloraci%C3%B3n_de_grafos

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