45
Outline Pendahuluan Metode Penelitian Hasil dan Pembahasan Simpulan dan Saran Daftar Pustaka PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY Isnaini Rosyida Prof.Dr.Widodo, Dr.Ch.Rini Indrati, Dr.Kiki Ariyanti Sugeng Seminar Nasional Matematika FKIP UNS 2012 November 20, 2012 Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

coloring fuzzy graph by fuzzy color

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNAFUZZY

Isnaini Rosyida

Prof.Dr.Widodo, Dr.Ch.Rini Indrati, Dr.Kiki Ariyanti Sugeng

Seminar Nasional Matematika FKIP UNS 2012

November 20, 2012

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 2: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

PendahuluanLandasan Teori

Metode Penelitian

Hasil dan Pembahasan

Simpulan dan Saran

Daftar Pustaka

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 3: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Landasan Teori

Pendahuluan

Seiring dengan berkembangnya teori himpunan fuzzy yang telahdikenalkan oleh Zadeh (1965), Rosenfeld pada tahun 1975 telahmenggeneralisasi graf G (V ,E ) menjadi graf fuzzy G (V , E ) ataugraf fuzzy G (V , E ).Graf fuzzy G (V , E ) adalah graf yang terdiri dari himpunan titikfuzzy V dengan fungsi keanggotaan σ : V → [0, 1] dan himpunansisi fuzzy E dengan fungsi keanggotaan µ : E → [0, 1] sedemikianhingga µ(x , y) ≤ min{σ(x), σ(y)} untuk setiap x , y ∈ V .

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 4: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Landasan Teori

Pendahuluan

Graf fuzzy G (V , E ), adalah graf yang terdiri dari himpunan titikcrisp V dan himpunan sisi fuzzy E .

Selanjutnya graf G (V ,E ) disebut dengan graf crisp.

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 5: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Landasan Teori

Pendahuluan

Diberikan Graf G (V ,E ). Pewarnaan titik pada graf G adalahpemetaan C : V → N sedemikian hingga C (i) 6= C (j) jika sisi(i , j) ∈ E . Sedangkan pewarnaan-k pada graf G adalah pemetaanC : V → {1, 2, . . . , k} sedemikian hingga C (i) 6= C (j) jika(i , j) ∈ E . Bilangan kromatik graf G , dinotasikan χ(G ), adalahbilangan asli terkecil k sehingga terdapat pewarnaan-k pada grafG .

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 6: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Landasan Teori

Pendahuluan

Pewarnaan titik pada graf fuzzy G (V , E ) telah dikenalkan olehMunoz (2005). Salah satu metode yang dikenalkan Munoz denganmemperluas fungsi C : V → N pada graf crisp G menjadi fungsiCd ,f : V → S pada graf fuzzy G , dengan S : himpunan warna yangtersedia, d : jarak antar warna pada S , serta f : fungsi skala bernilaireal yang didefinisikan pada image(µ).

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 7: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Landasan Teori

Pendahuluan

Pewarnaan titik pada graf fuzzy G (V , E ) telah dikenalkan olehPourpasha dan Soheilifar (2007). Metode yang digunakan dengancara memperluas fungsi Cd ,f : V → S menjadi fungsiCd ,f ,g : V → S dimana g adalah fungsi bernilai real yangdidefinisikan pada image(σ).

Pewarnaan titik pada graf fuzzy G dengan fungsi Cd ,f ataupunCd ,f ,g masih menggunakan warna crisp.

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 8: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Landasan Teori

Pendahuluan

Pewarnaan titik pada graf fuzzy G (V , E ) yang menghasilkanhimpunan kromatik fuzzy telah dikenalkan oleh Bershtein danBozhenuk (2001). Teori baru yang dikemukakan adalah himpunantitik V senantiasa dapat dipartisi menjadi k buah himpunan titikindepedent fuzzy sehingga menghasilkan himpunan kromatik fuzzyyang merupakan himpunan fuzzy {(k , L(k))} dengank = 1, . . . , |V | dan L(k) menyatakan derajat separasi dari G yangdiwarnai dengan k warna.

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 9: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Landasan Teori

Pendahuluan

Pewarnaan titik pada graf fuzzy G (V , E ) juga telah dikenalkanoleh Eslahchi dan Onagh (2005) dan kemudian dimodifikasi olehLavanya dan Sattanathan (2011). Metode pewarnaan yangdikemukakan dengan mempartisi V menjadi k buah sub himpunanfuzzy Vi , (i = 1, . . . , k) yang terdiri dari himpunan titik-titik yangsaling bertetangga lemah (weakly adjacent), kemudian mewarnaisetiap titik pada satu sub himpunan fuzzy dengan warna yangsama.Bilangan kromatik graf fuzzy G didefinisikan dengan bilangan crispterkecil k sehingga V dapat dipartisi menjadi k buah subhimpunan fuzzy.

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 10: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Landasan Teori

Pendahuluan

Pewarnaan titik graf fuzzy yang dikemukakan oleh Bershtein danBozhenuk masih menggunakan warna crisp, hanya himpunankromatiknya saja yang merupakan himpunan fuzzy. Demikian pulapewarnaan graf fuzzy yang dikemukakan oleh Eslahchi dan Onaghserta Lavanya dan Sattanathan masih menggunakan warna crispdan bilangan kromatik yang dihasilkan dari metode ini juga masihbilangan crisp.

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 11: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Landasan Teori

Pendahuluan

Sejauh pengetahuan penulis belum pernah dilakukan pewarnaantitik graf fuzzy G (V , E ) dengan warna fuzzy. Penulismendefinisikan warna fuzzy dengan titik fuzzy di N kemudianmemperluas fungsi Cd ,f menjadi fungsi Cd ′,f : V → S dengan Smenyatakan himpunan warna fuzzy untuk titik-titik G , d ′

merupakan metrik fuzzy pada S dan f merupakan fungsi skalapada image(µ) yang nilainya dibedakan antara pasangan titik yangbertetangga lemah dan pasangan titik yang bertetangga kuat(strongly adjacent).

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 12: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Landasan Teori

Landasan Teori

Definisi 1 (Zadeh,1965)

Diketahui himpunan tak kosong X . Himpunan fuzzy A di X adalahhimpunan yang berbentuk {(x , µA(x)) : x ∈ X} denganµ : X → [0, 1] menyatakan fungsi keanggotaan himpunan fuzzy A.

Definisi 2 (Pu dan Liu,1980)

Diketahui himpunan tak kosong X . Himpunan fuzzy q disebut titikfuzzy di X jika ∃x ∈ X dan λ ∈ (0, 1] sehingga µq(x) = λ danµq(y) = 0 untuk setiap y 6= x .

Titik fuzzy q dinotasikan juga dengan xλ atau (x , λ).

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 13: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Landasan Teori

Landasan Teori

Definisi 3 (Deng,1982; Hsu,1992)

Diberikan PF (X ) himpunan semua titik fuzzy di x . Pemetaand : PF (X )× PF (X )→ [0,∞) disebut metrik fuzzy (fuzzy metric)jika untuk sebarang λ, β, γ ∈ (0, 1] berlaku:

1. d((x , λ), (y , β)) = 0 jika dan hanya jika λ ≤ β dan x = y

2. d((x , λ), (y , β)) = d((y , 1− β), (x , 1− λ))

3. d((x , λ), (z , ρ)) ≤ d((x , λ), (y , γ)) + d((y , γ), (z , ρ))

4. Jika d((x , λ), (y , β)) < r dengan r > 0 maka ∃λ′ > λsehingga d((x , λ′), (y , β)) < r

Kondisi 2 di atas ekivalen dengand((x , λ), (y , β)) = d((y , β), (x , λ))

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 14: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Landasan Teori

Landasan Teori

Definisi 4 (Munoz et al.,2005)

Diberikan graf fuzzy G (V , E ).Diberikan S himpunan warna yang tersedia. Jarak antar warnapada S didefinisikan dengan fungsi d:SxS → [0,∞) yangmemenuhi sifat berikut:

1. d(r , s) ≥ 0, untuk setiap r , s ∈ S

2. d(r , s) = 0⇔ r = s, untuk setiap r , s ∈ S

3. d(r , s) = d(s, r), untuk setiap r , s ∈ S

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 15: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Landasan Teori

Landasan Teori

Definisi 5 (Munoz et al.,2005)

Diberikan µ : E → [0, 1] merupakan fungsi keanggotaan darihimpunan sisi fuzzy pada graf fuzzy G (V , E ).Diberikan I = image(µ).Fungsi skala f adalah fungsi dari I ke [0,∞) dengan f (µ) bernilaireal, tak negatif dan f (µ1) ≤ f ((µ2) untuk setiap µ1, µ2 ∈ Idengan µ1 ≤ µ2.

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 16: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Landasan Teori

Landasan Teori

Definisi 6 (Munoz et al.,2005)

Diberikan graf fuzzy G (V , E ). Diberikan S himpunan warna yangtersedia, Jarak antar warna d pada S dan fungsi skala f .Pewarnaan titik pada graf fuzzy G didefinisikan dengan fungsiCd ,f : V → S , yang memenuhi syarat:

d(C (i),C (j)) ≥ f (µ(i , j)),untuk setiap i , j ∈ Vdengani 6= j(1)

Pewarnaan-k pada G adalah fungsi Cd ,f : V → S = {1, 2, ..., k}yang memenuhi syarat (1).Bilangan kromatik−(d , f ) dari graf fuzzy G , dinotasikan χd ,f (G ),adalah bilangan asli terkecil k sedemikian hingga terdapatpewarnaan-k pada G .

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 17: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Landasan Teori

Landasan Teori

Definisi 7 (Lavanya,2011)

Diberikan graf fuzzy G (V , E ). Dua titik u dan v dikatakanbertetangga kuat (strongly adjacent) pada graf fuzzy G jikaµ(u, v) ≥ 1

2min{σ(u), σ(v)}, dan lainnya disebut bertetanggalemah (weakly adjacent).

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 18: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Landasan Teori

Landasan Teori

Definisi 8

Diberikan graf fuzzy G (V , E ) dan S ⊆ V . Himpunan S dikatakanhimpunan titik independent fuzzy jika setiap pasang titik di Sbertetangga lemah. Himpunan titik independent fuzzy Smempunyai derajat independensi α = 1−maks{(µ(i , j)|i , j ∈ S}

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 19: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Metode Penelitian

Jenis Penelitian

Penelitian studi literatur, penulis menggeneralisasi fungsiCd ,f : V → S pada graf fuzzy G (V , E ) menjadi fungsiCd ′,f : V → S

Waktu dan tempat penelitian

Waktu: 3 bulan, Bulan September-November 2012Tempat: Jurusan Matematika FMIPA UGM

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 20: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Metode Penelitian

Target Penelitian

Dapat mendefinisikan pewarnaan titik pada graf fuzzy denganwarna fuzzy

Data

Data yang dikumpulkan adalah semua referensi tentang pewarnaangraf fuzzy dari jurnal ataupun buku yang diperoleh secara onlineataupun dari perpustakaan.

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 21: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Metode Penelitian

Teknik Analisis DataI Mempelajari semua metode pewarnaan graf fuzzy yang sudah

ada

I Mempelajari himpunan titik independen pada graf fuzzy

I Mempelajari himpunan titik independen fuzzy pada graf fuzzy

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 22: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Metode Penelitian

Teknik Analisis DataI Menyelidiki bagaimana mendefinisikan warna fuzzy untuk titik

titik graf fuzzy

I Menyelidiki bagaimana menentukan nilai λ untuk warna fuzzy(x , λ)

I Menyelidiki bagaimana mendefinisikan jarak antar warna fuzzy

I Menyelidiki bagaimana mendefinisikan nilai fungsi skala f

I Menyelidiki bagaimana mendefinisikan pewarnaan denganpemetaan Cd ′,f

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 23: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Hasil dan Pembahasan

Pewarnaan Graf Fuzzy dengan Warna Fuzzy

Definisi 9 (Warna Fuzzy)

Diberikan graf fuzzy G (V , E ). Warna fuzzy untuk sebarang titik vdi G didefinisikan dengan titik fuzzy (x , λ) di N, dengan nilaiλ = 1−maks{(µ(v , u)} untuk setiap titik u yang bertetanggalemah dengan v .Himpunan semua warna fuzzy dinotasikan dengan S didefinisikandengan S =

⋃x∈N(x , λ).

Jika nilai λ = 1 maka warna fuzzy (x , λ) menjadi warna crisp(x , 1).

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 24: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Pewarnaan Graf Fuzzy dengan Warna Fuzzy

Warna Fuzzy

Menurut kondisi 1 dalam Definisi 3, dua buah warna fuzzy (x1, λ1)dan (x2, λ2) dikatakan sama jika x1 = x2 dan λ1 ≤ λ2. Jikadiberikan x1 = x2=warna merah maka dapat diinterpretasikanbahwa warna fuzzy merah dengan derajat keanggotaan λ1 danwarna fuzzy merah dengan derajat keanggotaan λ2 tetap sama.

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 25: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Pewarnaan Graf Fuzzy dengan Warna Fuzzy

Definisi 10 (Metrik Fuzzy pada Himpunan Warna Fuzzy)

Diketahui himpunan semua warna fuzzy S . Jarak antara sebarangdua warna fuzzy (x , λ) dan (y , β) dalam himpunan S didefinisikandengan fungsi d ′ : S × S → [0,∞) dengan

d ′((x , λ), (y , β)) = maks{λ− β, 0}+ |x − y |

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 26: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Pewarnaan Graf Fuzzy dengan Warna Fuzzy

Lemma 1

Diketahui himpunan semua warna fuzzy S . Fungsid ′ : S × S → [0,∞) dengan

d ′((x , λ), (y , β)) = maks{λ− β, 0}+ |x − y |

merupakan metrik fuzzy pada S .

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 27: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Bukti Lemma 1

Diambil sebarang (x , λ), (y , β), (z , ρ) ∈ S dan λ, β, ρ ∈ (0, 1].

I Diketahui d ′((x , λ), (y , β)) = maks{λ− β, 0}+ |x − y | = 0.⇔ maks {λ− β, 0} = 0 dan |x − y | = 0.⇔ λ− β ≤ 0 dan x = y .⇔ λ ≤ β dan x = y .

I d ′((y , 1−β), (x , 1−λ)) = maks{(1−β)− (1−λ), 0}+ |y −x |= maks{λ− β, 0}+ |x − y | = d ′((x , λ), (y , β))

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 28: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Bukti Lemma 1

I Akan dibuktikand ′((x , λ), (z , ρ)) ≤ d ′((x , λ), (y , β)) + d ′((y , β), (z , ρ))d ′((x , λ), (z , ρ)) = maks{λ− ρ, 0}+ |x − z | ≥ 0.⇔ maks {λ− ρ, 0} ≥ 0 dan |x − z | ≥ 0.⇔ λ− ρ ≥ 0⇔ λ ≥ ρ

Diperhatikan 3 kasus berikut ini.

Kasus 1

Salah satu diantara d ′((x , λ), (y , β)) atau d ′((y , β), (z , ρ)) samadengan nol

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 29: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Bukti Lemma 1

Kasus 1

Tanpa mengurangi keumuman, diberikan

d ′((x , λ), (y , β)) = 0. (2)

d ′((x , λ), (y , β)) = 0⇔ λ ≤ β dan x = y .

⇔ β ≥ λ ≥ ρ dan |x − y | = 0

Dengan demikian β − ρ ≥ λ− ρ ≥ 0.

maks{λ− ρ, 0} ≤ maks{β − ρ, 0} (3)

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 30: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Bukti Lemma 1

Kasus 1

Di sisi lain diketahui:

|x − z | ≤ |x − y |+ |y − z | (4)

Menurut (2) maks{λ− β, 0}+ |x − y | = 0.Menurut (3) dan (4)maks{λ− ρ, 0}+ |x − z | ≤maks{λ− β, 0}+ |x − y |+ maks{β − ρ, 0}+ |y − z |.Jadi d ′((x , λ), (z , ρ)) ≤ d ′((x , λ), (y , β)) + d ′((y , β), (z , ρ)).

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 31: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Bukti Lemma 1

Kasus 2

d ′((x , λ), (y , β)) = d ′((y , β), (z , ρ)) = 0.d ′((x , λ), (y , β)) = 0⇔ λ ≤ β dan x = y .d ′((y , β), (z , ρ)) = 0⇔ β ≤ ρ dan y = z .Akibatnya λ ≤ ρ dan x = z .Jadi d ′((x , λ), (z , ρ)) = 0 = d ′((x , λ), (y , β)) + d ′((y , β), (z , ρ)).

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 32: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Bukti Lemma 1

Kasus 3

d ′((x , λ), (y , β)) > 0 dan d ′((y , β), (z , ρ)) > 0.maks{λ− β, 0}+ |x − y | > 0 dan maks{β − ρ, 0}+ |y − z | > 0.Karena |x − y | > 0 maka maks{λ− β, 0} > 0.Karena |y − z | > 0 maka maks{β − ρ, 0} > 0.Dengan demikian,maks{λ− β, 0} = λ− β,maks{β − ρ, 0} = β − ρ .Karena λ > β dan β > ρ maka λ > β > ρ, sehinggamaks{λ− ρ, 0} = λ− ρ.Di sisi lain λ− ρ = λ− β + β − ρ.Dengan demikian maks{λ− ρ, 0}+ |x − z | ≤maks{λ− β, 0}+ |x − y |+ maks{β − ρ, 0}+ |y − z |.Jadi d ′((x , λ), (z , ρ)) ≤ d ′((x , λ), (y , β)) + d ′((y , β), (z , ρ)).

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 33: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Bukti Lemma 1

I Dapat dibuktikan:Jika d ′((x , λ), (y , β)) < r dengan r > 0 maka ∃λ′ > λsehingga d ′((x , λ′), (y , β)) < r

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 34: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Pewarnaan Graf Fuzzy dengan Warna Fuzzy

Definisi 11 (Fungsi Skala)

Diberikan µ : E → [0, 1] merupakan fungsi keanggotaan darihimpunan sisi fuzzy pada graf fuzzy G (V , E ).Diberikan I = image(µ).Fungsi skala f adalah fungsi dari I ke [0,∞) denganf (µ(i , j)) = 0 jika titik i dan j bertetangga lemah di G danf (µ(i , j)) > 0 jika titik i dan j bertetangga kuat di G

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 35: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Pewarnaan Graf Fuzzy dengan Warna Fuzzy

Definisi 12 (Pewarnaan Fuzzy)

Diberikan graf fuzzy G (V , E ). Diberikan S : himpunan warna fuzzy,d ′: metrik fuzzy pada S dan fungsi skala f .Pewarnaan fuzzy pada graf fuzzy G didefinisikan dengan fungsiCd ′,f : V → S , yang memenuhi syarat:

d ′(C (i),C (j)) ≥ f (µ(i , j)), untuk setiap i , j ∈ Vdengan i 6= j (5)

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 36: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Pewarnaan Graf Fuzzy dengan Warna Fuzzy

Definisi 12 (Himpunan Kromatik Fuzzy)

Pewarnaan fuzzy-k pada graf fuzzy G didefinisikan dengan fungsiCd ′,f : V → S , dengan S terdiri dari k buah warna fuzzysedemikian hingga memenuhi syarat (5).Diberikan pewarnaan fuzzy-k pada G , kromatik fuzzy dari Gdidefinisikan dengan titik fuzzy (k , γk = min{λt}) untuk setiap λtpada himpunan warna fuzzy S .Himpunan kromatik fuzzy dari G adalah himpunan fuzzy{(k , γk)|k = 1, . . . , |V |}

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 37: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Pewarnaan Graf Fuzzy dengan Warna Fuzzy

Contoh

Diberikan graf fuzzy G (V , E pada Gambar 1.

Gambar 1. Graf Fuzzy G (V , E )

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 38: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Pewarnaan Graf Fuzzy dengan Warna Fuzzy

Contoh

Pada graf fuzzy G (V , E ), nilai σ(v) = 1 untuk setiap v ∈ V .Terdapat tiga titik di G yang saling bertetangga lemah yaitu titikA,C dan D, sehingga nilai fungsi skala f (µ(A,D)) = 0,f (µ(A,C )) = 0 dan f (µ(C ,D)) = 0.

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 39: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Pewarnaan Graf Fuzzy dengan Warna Fuzzy

Contoh

I Graf fuzzy G dapat diwarnai dengan 2 warna fuzzy berbedamelalui pemetaanCd ′,f : V → S denganC (A) = (1, λ1 = 1−maks{0, 0, 2} = 0, 8).C (D) = (1, λ1 = 1−maks{0, 3, 0, 2} = 0, 7).C (C ) = (1, λ1 = 1−maks{0, 0, 3} = 0, 7).C (B) = (2, λ2 = 1− 0 = 1).

Pewarnaan fuzzy ini memenuhi syaratd ′(C (i),C (j)) ≥ f (µ(i , j)),untuk setiap i , j ∈ Vdengan i 6= j .Jadi kromatik fuzzy dari G merupakan titik fuzzy (2, γ2 = 0, 7)

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 40: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Pewarnaan Graf Fuzzy dengan Warna Fuzzy

Contoh

I Graf fuzzy G dapat diwarnai dengan 3 warna fuzzy berbedamelalui pemetaanCd ′,f : V → S dengan

C (A) = (1, λ1 = 1) C (C ) = (1, λ1 = 1) C (B) = (2, λ2 = 1)C (D) = (3, λ3 = 1)

Pewarnaan fuzzy ini memenuhi syaratd ′(C (i),C (j)) ≥ f (µ(i , j)),untuk setiap i , j ∈ Vdengan i 6= j .Jadi kromatik fuzzy dari G merupakan titik fuzzy (3, γ3 = 1)

Jadi himpunan kromatik fuzzy dari G adalah himpunan fuzzy{(1, 0), (2, 0, 7), (3, 1), (4, 1)}

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 41: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Simpulan dan Saran

Pada makalah ini telah dilakukan pewanaan fuzzy untuk graf fuzzyG (V , E ), dengan memperluas fungsi Cd ,f : V → S menjadi fungsiCd ′,f : V → S dengan S merupakan himpunan warna fuzzy untuktitik-titik G , d ′ merupakan metrik fuzzy pada himpunan S dan fmerupakan fungsi skala dengan nilai f((i,j)) dibedakan antarapasangan titik yang bertetangga lemah dan pasangan titik yangbertetangga kuat.

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 42: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Simpulan dan Saran

Penelitian selanjutnya yang akan dilakukan penulis adalahmemperluas fungsi Cd ′,f : V → S menjadi fungsi Cd ′ : V → Syang merupakan pewarnaan yang tidak bergantung pada fungsiskala f , atau memperluas menjadi fungsi C : V → S?.

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 43: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Daftar Pustaka

Bershtein dan Bozhenuk. 2001. A Colour Problem for FuzzyGraph: Proceedings of International Conference 7th FuzzyDays, LNCS. Berlin: Springer Verlag.

Eslahchi,C.dan Onagh,B.N. 2005. Vertex Strength of FuzzyGraphs, International Journal of Mathematics andmathematical Sciences., 436 1-9.

Deng,Z. 1982. Fuzzy Pseudo Metric Space, Journal ofMathematical Analysis and Applications., 86 74-95.

Hsu,N.H. 1992. On The Completion of Fuzzy Metric Spaces.Bulletin Nat 1 Taiwan Nor.University. , 37 385-393.

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 44: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Daftar Pustaka

Lavanya,S.dan Sattanathan,R. 2011. Fuzzy vertex Coloring ofFuzzy Graphs. International review of Fuzzy Mathematics.,Juli-December issue.

Mordeson,J.N dan Nair,P.S. 2000. Fuzzy Graphs and FuzzyHypergraphs. New York:Physica Verlag

Munoz,S., ortuno,M.T., Javier,R dan Yanez,J. 2005. ColouringFuzzy Graphs. Omega:The Journal of Management Sciences..33 211-221.

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY

Page 45: coloring fuzzy graph by fuzzy color

OutlinePendahuluan

Metode PenelitianHasil dan Pembahasan

Simpulan dan SaranDaftar Pustaka

Daftar Pustaka

Pourpasha,M.M. dan Soheilifar,M.R.2007. Fuzzy ChromaticNumber and Fuzzy Defining Number of Certain FuzzyGraphs-Proceedings of 12th WSEAS International Conferenceon Applied Mathematics. Cairo.

, Pu,P.M dan Liu,Y.M. 1980. Fuzzy Topology I: NeighborhoodStructure of a Fuzzy Point ang Moore-Smith Convergence.Journal of Mathematical Analysis and Applications, 76571-599.

Zadeh L.A. 1965. Fuzzy Sets. Information and Control., 8338-353.

Isnaini R, Widodo, Rini Indrati, Kiki.A.Sugeng PEWARNAAN GRAF FUZZY DENGAN WARNA FUZZY