Combinação dos 3 eixos de rotação

com centro de inversão

n + i

n

n/m

n impar

n par

Lembrando:

6 novas simetrias.1n n n +

2 2 2 + 1

13 2 +

14 2 2 +

16 2 2 +

1+

1+

Combinação entre eixos de rotação

e eixos de roto-inversão

Nas combinações de três eixos de rotação podemos substituir os eixos

de rotação pelos correspondentes eixos de roto-inversão.

n n n n n n ou n n n

Porque um eixo próprio e dois eixos impróprios?

1321 AAAA ZYX

(D) (E)(D) (D)

1321 AAAA ZYX

(E) (E) (D) (E)

Lembrando: 1321 AAAA ZYX

(D) (D) (D) (D)

Lembrando ainda:

Temos então 7 novas simetrias

1. eixos de roto-inversão impares inversão aparece como uma operação de simetria real.

2. a presença do centro de inversão geraria grupos pontuais já vistos anteriormente.

2 2 2

3 2

4 2 2

6 2 2

4 3 2

32 Grupos Pontuais

n

2/m 4/m 6/m

222 32 422 622 432 23

n n n

n n n

1n n n +

1+n

mm2 3m 4mm 4m2 6mm 6m2 43m

m 1 1 2 3 4 6 3 4 6

mmm 3m 4/mmm 6/mmm m3m m3

Projeção dos 32 grupos pontuais

Equivalência entre a notação Hermann-Mauguin

e a notação de Schoenenflies