Combinatoire, Informatique et Physique

des liens anciens et étroits

Quels langages communs ?

Gérard H. E. Duchamp

Séminaire du Laboratoire de Mathématiques Appliquées du Havre

Jeudi neuf Mars 2006

Mathematics

Abstract Applied

Physics

ComputerScience

Electronics

Mechatronics

Adaptronics

Artificial Intelligence

Chaos Theory Continuous

& DiscreteModelisation

BusinessBanking

DecisionMaking

Complex SystemsComplexity

ComputationTechniques

Image Processing

Mathématiques Informatique Physique

• Non commutatif • Mots • Produits d’opérateurs

• Représentations • Automates Structures de Transition

• Champs, Flots, Systèmes Dynamiques

• Formules, Algèbre Universelle

• Arbres avec Opérateurs

• Diagrammes

• Déformations • q-analogues • Groupes quantiques

C o m b i n a t o i r e

• Langages• Théorie des codes• Automates • Structures de transition• Grammaires• Transducteurs• Expressions rationnelles et algébriques• …

• Polyominos• Chemins (Dycks,…)• Configurations• q-grammaires• Séries génératrices• Fractions continues multivariées• Polynômes orthogonaux• …

C o m b i n a t o i r e

… des mots algébriqueénumérativeanalytique

• Fractions continues non commutatives• Représentations des groupes et déformations• Groupes quantiques• Foncteurs combinatoires• Caractères• Fonctions spéciales• …

Et, depuis peu

L aC o m b i n a t o i r e

D y n a m i q u e

Voir à la fin

20 villes.À chaque carrefourle voyageur peut tourner à droite (D) ou à gauche (G)

D5 = G5 = 1DG3D = G2

de même …GD3G = D2

DG2D = GDGde même …GD2G = DGD

D5 = G5 = 1DG3D = G2

GD3G = D2

DG2D = GDGGD2G = DGD

Trois questions importantes :

Q1) Cette liste est-elle suffisante ?(Expérience de pensée des deux pièces)Q2) Peut-on la réduire ? (relations déduites)(voir diapo suivante)Q3) Peut-on décider de l’égalité de deux chemins ?

Exemple de déduction à l’aide des relations données : le voyage équatorial DG DG DG DG DG = 1

Ici < ac=ca > le nombre de mots par longueur est

Long. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ac=ca 3 8 21 55 144 377 987 2584 6765 17711

acca 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049

e

Exemple avec = a+ a a+ a a+ où a a+= a+ a + 1

a+ a a+ a a+

a+ a a+ a a+

a+ a a+ a a+

a+ a a+ a a+

a+aa+aa+= 1 a+a+a+aa + 3 a+a+a + 1 a+

Chemins de Dyck (parenthésages, arbres, physique, …)

( ) ( ( ( ) ( ) ( ) ) )

( ) ( ( ( ) ( ) ( ) ) )

Equation : D = vide + (D) D … on compte les «mots» avec un « x »par parenthèse et on trouve T(x)=x0 + x2 T2(x) ce qui se résout par la méthode usuelle …

x2 T2 –T+1=0 Variable : T Paramètre : x

Changement de niveau en physique

Positifs = D(aD)*

2

0

1

Automates et rationalité

New !C o m b i n a t o i r e

D y n a m i q u e

• Automates (à multiplicités et systèmes complexes)

• GIS : triangulations de Delaunay et cohérence

• Graphe de Young et probabilités

• Structures complémentaires (monoïde, Hopf)

Weight 4

Diagrams of (total) weight 5Weight=number of lines

Mathématiques Informatique Physique• Non commutatif • Mots • Produits d’opérateurs

• Représentations • Automates Structures de Transition

• Champs, Flots, Systèmes Dynamiques

• Formules, Algèbre Universelle

• Arbres avec Opérateurs

• Diagrammes

• Déformations • q-analogues • Groupes quantiques

C o m b i n a t o i r e

Conclusion