Embed Size (px)
Citation preview
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Combinatoriek en Partities (3)
Johan van de Leur Valentijn de Marez Oyens
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Vandaag maak je een keuze voor een slotopdracht.
Per twee- of drietal, mits het leidt tot een partitie van het getal “aantaldeelnemers C&P” in de getallen 2 en 3.
Beschrijvingen staan in hoofdstuk 15. Maximaal 2 groepen per onderwerp.
1. 4-dimensionalepartities
2. Priempartities
3. Gekleurde partities
4. n-gonale getallen
5. Mayavlakvulling
6. Bewijzen metFerrers-diagrammen
7. Mayadiagrammen enbewegende ballen
8. De methode vanEuler voor3d-partities
9. Partities in degetallen 1, 2 en 3
10. Andererastermodellen
11. Telfuncties voorMayadiagrammenover energie heen
12. Electronen en deDirac-zee
13. Een observatie vanSchur
14. Kakuro en striktepartities
15. Matrices vanafwisselend teken enzijn variaties
16. De formule voor hetaantal matrices vanafwisselend teken
17. Matrices vanafwisselend teken entotaal symmetrischezelf complementaire3-d partities
18. Fibonacci en degevlekte bosuil
19. Honingraat-betegelingen enGrafeen
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Vandaag maak je een keuze voor een slotopdracht.Per twee- of drietal, mits het leidt tot een partitie van het getal “aantaldeelnemers C&P” in de getallen 2 en 3.
Beschrijvingen staan in hoofdstuk 15. Maximaal 2 groepen per onderwerp.
1. 4-dimensionalepartities
2. Priempartities
3. Gekleurde partities
4. n-gonale getallen
5. Mayavlakvulling
6. Bewijzen metFerrers-diagrammen
7. Mayadiagrammen enbewegende ballen
8. De methode vanEuler voor3d-partities
9. Partities in degetallen 1, 2 en 3
10. Andererastermodellen
11. Telfuncties voorMayadiagrammenover energie heen
12. Electronen en deDirac-zee
13. Een observatie vanSchur
14. Kakuro en striktepartities
15. Matrices vanafwisselend teken enzijn variaties
16. De formule voor hetaantal matrices vanafwisselend teken
17. Matrices vanafwisselend teken entotaal symmetrischezelf complementaire3-d partities
18. Fibonacci en degevlekte bosuil
19. Honingraat-betegelingen enGrafeen
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Vandaag maak je een keuze voor een slotopdracht.Per twee- of drietal, mits het leidt tot een partitie van het getal “aantaldeelnemers C&P” in de getallen 2 en 3.
Beschrijvingen staan in hoofdstuk 15. Maximaal 2 groepen per onderwerp.
1. 4-dimensionalepartities
2. Priempartities
3. Gekleurde partities
4. n-gonale getallen
5. Mayavlakvulling
6. Bewijzen metFerrers-diagrammen
7. Mayadiagrammen enbewegende ballen
8. De methode vanEuler voor3d-partities
9. Partities in degetallen 1, 2 en 3
10. Andererastermodellen
11. Telfuncties voorMayadiagrammenover energie heen
12. Electronen en deDirac-zee
13. Een observatie vanSchur
14. Kakuro en striktepartities
15. Matrices vanafwisselend teken enzijn variaties
16. De formule voor hetaantal matrices vanafwisselend teken
17. Matrices vanafwisselend teken entotaal symmetrischezelf complementaire3-d partities
18. Fibonacci en degevlekte bosuil
19. Honingraat-betegelingen enGrafeen
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
<< nn-1
<k-1
<k-1
<
k
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
<< nn-1
<k-1
<k-1
<
k
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
<< nn-1
<k-1
<k-1
<
k
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
<< nn-1
<k-1
<k-1
<
k
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Stelling 7.1 Binomium van Newton
(1 + x)n =
(n0
)+
(n1
)x +
(n2
)x2 +
(n3
)x3 + · · ·+
+
(n
n − 1
)xn−1 +
(nn
)xn
=n∑
k=0
(nk
)xk .
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Stelling 7.1 Binomium van Newton
(1 + q)n =
(n0
)+
(n1
)q +
(n2
)q2 +
(n3
)q3 + · · ·+
+
(n
n − 1
)qn−1 +
(nn
)qn
=n∑
k=0
(nk
)qk .
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
(1 + q)(1 + q2)(1 + q3)(1 + q4)(1 + q5)
=(1 + q1)(1 + q2)(1 + q3)(1 + q4)(1 + q5)
=1 + q1 + q2 + q1q2 + q3 + q1q3 + q2q3 + q1q2q3
+ q4 + q1q4 + q2q4 + +q1q2q4 + q3q4 + q1q3q4
+ q2q3q4 + q1q2q3q4 + q5 + q1q5 + q2q5 + q1q2q5
+ q3q5 + q1q3q5 + q2q3q5 + q1q2q3q5 + q4q5
+ q1q4q5 + q2q4q5 + q1q2q4q5 + q3q4q5
+ q1q3q4q5 + q2q3q4q5 + q1q2q3q4q5
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
(1 + q)(1 + q2)(1 + q3)(1 + q4)(1 + q5)
=(1 + q1)(1 + q2)(1 + q3)(1 + q4)(1 + q5)
=1 + q1 + q2 + q1q2 + q3 + q1q3 + q2q3 + q1q2q3
+ q4 + q1q4 + q2q4 + +q1q2q4 + q3q4 + q1q3q4
+ q2q3q4 + q1q2q3q4 + q5 + q1q5 + q2q5 + q1q2q5
+ q3q5 + q1q3q5 + q2q3q5 + q1q2q3q5 + q4q5
+ q1q4q5 + q2q4q5 + q1q2q4q5 + q3q4q5
+ q1q3q4q5 + q2q3q4q5 + q1q2q3q4q5
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
(1 + q)(1 + q2)(1 + q3)(1 + q4)(1 + q5)
=(1 + q1)(1 + q2)(1 + q3)(1 + q4)(1 + q5)
=1 + q1 + q2 + q1q2 + q3 + q1q3 + q2q3 + q1q2q3
+ q4 + q1q4 + q2q4 + +q1q2q4 + q3q4 + q1q3q4
+ q2q3q4 + q1q2q3q4 + q5 + q1q5 + q2q5 + q1q2q5
+ q3q5 + q1q3q5 + q2q3q5 + q1q2q3q5 + q4q5
+ q1q4q5 + q2q4q5 + q1q2q4q5 + q3q4q5
+ q1q3q4q5 + q2q3q4q5 + q1q2q3q4q5
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
(1 + q1)(1 + q2)(1 + q3)(1 + q4)(1 + q5)
= 1 + q1 + q2 + (q1+2 + q3) + (q1+3 + q4)
+ (q1+4 + q2+3 + q5) + (q1+5 + q2+4 + q1+2+3)
+ (q2+5 + q3+4 + q1+2+4) + (q1+2+5 + q1+3+4 + q3+5)
+ (q1+3+5 + q2+3+4 + q4+5) + (q1+2+3+4+
+ q1+4+5 + q2+3+5) + (q1+2+3+5 + q2+4+5)
+ (q1+2+4+5 + q3+4+5)+
+ q1+3+4+5 + q2+3+4+5 + q1+2+3+4+5 .
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
(1 + q1)(1 + q2)(1 + q3)(1 + q4)(1 + q5)
= 1 + q1 + q2 + (q1+2 + q3) + (q1+3 + q4)
+ (q1+4 + q2+3 + q5) + (q1+5 + q2+4 + q1+2+3)
+ (q2+5 + q3+4 + q1+2+4) + (q1+2+5 + q1+3+4 + q3+5)
+ (q1+3+5 + q2+3+4 + q4+5) + (q1+2+3+4+
+ q1+4+5 + q2+3+5) + (q1+2+3+5 + q2+4+5)
+ (q1+2+4+5 + q3+4+5)+
+ q1+3+4+5 + q2+3+4+5 + q1+2+3+4+5 .
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
(1 + q + q2)(1 + q2 + q4)(1 + q3 + q6) =
(1 + q1 + q1+1)(1 + q2 + q2+2)(1 + q3 + q3+3) =
1 + q1 + (q1+1 + q2) + (q1+2 + q3)+
+ (q1+1+2 + q1+3 + q2+2)+
+ (q1+1+3 + q1+2+2 + q2+3)+
+ (q1+1+2+2 + q1+2+3 + q3+3)+
+ (q1+1+2+3 + q1+3+3 + q2+2+3)+
+ (q1+1+3+3 + q1+2+2+3 + q2+3+3)+
+ (q1+1+2+2+3 + q1+2+3+3)+
+ (q1+1+2+3+3 + q2+2+3+3)+
+ q1+2+2+3+3 + q1+1+2+2+3+3 .
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
(1 + q + q2)(1 + q2 + q4)(1 + q3 + q6) =
(1 + q1 + q1+1)(1 + q2 + q2+2)(1 + q3 + q3+3) =
1 + q1 + (q1+1 + q2) + (q1+2 + q3)+
+ (q1+1+2 + q1+3 + q2+2)+
+ (q1+1+3 + q1+2+2 + q2+3)+
+ (q1+1+2+2 + q1+2+3 + q3+3)+
+ (q1+1+2+3 + q1+3+3 + q2+2+3)+
+ (q1+1+3+3 + q1+2+2+3 + q2+3+3)+
+ (q1+1+2+2+3 + q1+2+3+3)+
+ (q1+1+2+3+3 + q2+2+3+3)+
+ q1+2+2+3+3 + q1+1+2+2+3+3 .
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
(1 + q + q2)(1 + q2 + q4)(1 + q3 + q6) =
(1 + q1 + q1+1)(1 + q2 + q2+2)(1 + q3 + q3+3) =
1 + q1 + (q1+1 + q2) + (q1+2 + q3)+
+ (q1+1+2 + q1+3 + q2+2)+
+ (q1+1+3 + q1+2+2 + q2+3)+
+ (q1+1+2+2 + q1+2+3 + q3+3)+
+ (q1+1+2+3 + q1+3+3 + q2+2+3)+
+ (q1+1+3+3 + q1+2+2+3 + q2+3+3)+
+ (q1+1+2+2+3 + q1+2+3+3)+
+ (q1+1+2+3+3 + q2+2+3+3)+
+ q1+2+2+3+3 + q1+1+2+2+3+3 .
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Een oneindige rij dozen:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Voorbeelden:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Een oneindige rij dozen:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Voorbeelden:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Een oneindige rij dozen:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Voorbeelden:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Definitie 8.1 MayadiagramEen Mayadiagram bestaat uit een oneindige rij van aaneengeschakelde dozen. Elke doos heeft een geheel getal alsnummer. In een doos kan een bal geplaatst zijn. Het welof niet aanwezig zijn van een bal in een doos is volgens devolgende voorwaarden.
1. Elke doos is of leeg of bevat slechts een bal;
2. Er zijn maar eindig veel dozen, laten we zeggen p, meteen nummer groter dan of gelijk aan 0 die geen balbevatten;
3. Er zijn ook precies p dozen met een nummer kleinerdan nul die een bal bevatten, alle anderenegatief-genummerde dozen zijn leeg.
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
van partitie naar mayadiagram:
-6 -2 0- �
1
22 4 5 6
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
van partitie naar mayadiagram:
-6 -2 0- �
1
22 4 5 6
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
van partitie naar mayadiagram:
0
2
4
5
-2
-6
3
1
-1
-3 -4 -5
-7 -8
-6 -2 0 2 4 5 6
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
van partitie naar mayadiagram:
0
2
4
5
-2
-6
3
1
-1
-3 -4 -5
-7 -8
-6 -2 0 2 4 5 6
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
van partitie naar mayadiagram:
0
2
4
5
-2
-6
3
1
-1
-3 -4 -5
-7 -8
-6 -2 0 2 4 5 6
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Andrei Okounkov
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4
6
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4
6
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4
6
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4
6
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4
6
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4
6
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4
6
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4
6
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4
6
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4
6
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4
6
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4
6
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Definitie 8.2 Configuraties van Niet Snijdende PadenEen configuratie van Niet Snijdende Paden is een verzamel-ing horizontale paden. Voor iedere r ≤ 0 is er een pad:
· · · , (−3, n(r)−3), (−2, n
(r)−2), (−1, n
(r)−1), (0, n
(r)0 ),
(1, n(r)1 ), (2, n
(r)2 ), (3, n
(r)3 ), (4, n
(r)4 ), · · · .
De verzameling paden voldoet aan de volgende voorwaar-den: . . .
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Definitie 8.2 Configuraties van Niet Snijdende PadenVoorwaarden:
1. r ≤ n(r)i−1 ≤ n
(r)i voor i ≤ 0 en n
(r)i ≥ n
(r)i+1 ≥ r voor
i ≥ 0;
2. n(r)−i−1 = n
(r)−i = n
(r)i = n
(r)i+1 = r voor alle i groter dan
een zeker groot getal N > 0;
3. Er gaan paden door de roosterpunten(N , 0), (N ,−1), (N ,−2), . . .;
4. Er gaan geen paden door de roosterpunten(N , 1), (N , 2), (N , 3), . . .;
5. Als r < s dan geldt voor elke i dat n(r)i < n
(s)i .
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Definitie 8.2 Configuraties van Niet Snijdende PadenVoorwaarden:
1. r ≤ n(r)i−1 ≤ n
(r)i voor i ≤ 0 en n
(r)i ≥ n
(r)i+1 ≥ r voor
i ≥ 0;
2. n(r)−i−1 = n
(r)−i = n
(r)i = n
(r)i+1 = r voor alle i groter dan
een zeker groot getal N > 0;
3. Er gaan paden door de roosterpunten(N , 0), (N ,−1), (N ,−2), . . .;
4. Er gaan geen paden door de roosterpunten(N , 1), (N , 2), (N , 3), . . .;
5. Als r < s dan geldt voor elke i dat n(r)i < n
(s)i .
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Definitie 8.2 Configuraties van Niet Snijdende PadenVoorwaarden:
1. r ≤ n(r)i−1 ≤ n
(r)i voor i ≤ 0 en n
(r)i ≥ n
(r)i+1 ≥ r voor
i ≥ 0;
2. n(r)−i−1 = n
(r)−i = n
(r)i = n
(r)i+1 = r voor alle i groter dan
een zeker groot getal N > 0;
3. Er gaan paden door de roosterpunten(N , 0), (N ,−1), (N ,−2), . . .;
4. Er gaan geen paden door de roosterpunten(N , 1), (N , 2), (N , 3), . . .;
5. Als r < s dan geldt voor elke i dat n(r)i < n
(s)i .
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Definitie 8.2 Configuraties van Niet Snijdende PadenVoorwaarden:
1. r ≤ n(r)i−1 ≤ n
(r)i voor i ≤ 0 en n
(r)i ≥ n
(r)i+1 ≥ r voor
i ≥ 0;
2. n(r)−i−1 = n
(r)−i = n
(r)i = n
(r)i+1 = r voor alle i groter dan
een zeker groot getal N > 0;
3. Er gaan paden door de roosterpunten(N , 0), (N ,−1), (N ,−2), . . .;
4. Er gaan geen paden door de roosterpunten(N , 1), (N , 2), (N , 3), . . .;
5. Als r < s dan geldt voor elke i dat n(r)i < n
(s)i .
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Definitie 8.2 Configuraties van Niet Snijdende PadenVoorwaarden:
1. r ≤ n(r)i−1 ≤ n
(r)i voor i ≤ 0 en n
(r)i ≥ n
(r)i+1 ≥ r voor
i ≥ 0;
2. n(r)−i−1 = n
(r)−i = n
(r)i = n
(r)i+1 = r voor alle i groter dan
een zeker groot getal N > 0;
3. Er gaan paden door de roosterpunten(N , 0), (N ,−1), (N ,−2), . . .;
4. Er gaan geen paden door de roosterpunten(N , 1), (N , 2), (N , 3), . . .;
5. Als r < s dan geldt voor elke i dat n(r)i < n
(s)i .
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Definitie 8.2 Configuraties van Niet Snijdende PadenVoorwaarden:
1. r ≤ n(r)i−1 ≤ n
(r)i voor i ≤ 0 en n
(r)i ≥ n
(r)i+1 ≥ r voor
i ≥ 0;
2. n(r)−i−1 = n
(r)−i = n
(r)i = n
(r)i+1 = r voor alle i groter dan
een zeker groot getal N > 0;
3. Er gaan paden door de roosterpunten(N , 0), (N ,−1), (N ,−2), . . .;
4. Er gaan geen paden door de roosterpunten(N , 1), (N , 2), (N , 3), . . .;
5. Als r < s dan geldt voor elke i dat n(r)i < n
(s)i .
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4
6
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4
6
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Inlever opgave uiterlijk inleveren op 17 maartom 13:45 uur:
1. Bereken met behulp van formule (17) hetvolgende:a) op hoeveel manieren kan ik het getal 8 maken met de getallen
1, 2 en 3 elk maximaal 2 keer?b) op hoeveel manieren kan ik het getal 8 maken met de getallen
1, 2 en 3 elk maximaal 3 keer?c) hoeveel strikte partities bestaan er van 8?
2. In opgave 8.2 wordt met enkele voorbeelden eenverband gesuggereerd tussen Mayadiagrammenen Frobenius-notatie. Bewijs dat dit verbandklopt.
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Inlever opgave uiterlijk inleveren op 17 maartom 13:45 uur:1. Bereken met behulp van formule (17) het
volgende:a) op hoeveel manieren kan ik het getal 8 maken met de getallen
1, 2 en 3 elk maximaal 2 keer?b) op hoeveel manieren kan ik het getal 8 maken met de getallen
1, 2 en 3 elk maximaal 3 keer?c) hoeveel strikte partities bestaan er van 8?
2. In opgave 8.2 wordt met enkele voorbeelden eenverband gesuggereerd tussen Mayadiagrammenen Frobenius-notatie. Bewijs dat dit verbandklopt.
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
Slotopdr. k uit n Binomium v. Newton (1 + q)(1 + q2) · · · (1 + q5) Andere product Mayadiagram Niet Snijdende Paden
Inlever opgave uiterlijk inleveren op 17 maartom 13:45 uur:1. Bereken met behulp van formule (17) het
volgende:a) op hoeveel manieren kan ik het getal 8 maken met de getallen
1, 2 en 3 elk maximaal 2 keer?b) op hoeveel manieren kan ik het getal 8 maken met de getallen
1, 2 en 3 elk maximaal 3 keer?c) hoeveel strikte partities bestaan er van 8?
2. In opgave 8.2 wordt met enkele voorbeelden eenverband gesuggereerd tussen Mayadiagrammenen Frobenius-notatie. Bewijs dat dit verbandklopt.
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities (3)
