Come si determina la lunghezza di una linea curva? Esiste un segmento L lungo come AB? A B A B

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  • Come si determina la lunghezza di una linea curva? Esiste un segmento L lungo come AB? A B A B
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  • Lunghezza della circonferenza Esiste un segmento che misura come la circonferenza? Costruisco poligoni regolari inscritti nella circonferenza, aventi un numero di lati sempre maggiore. TEOREMA 1 Raddoppiando il numero di lati di un poligono regolare inscritto, il perimetro del poligono aumenta A B C M AM+MB>AB
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  • TEOREMA 2 Raddoppiando il numero di lati di un poligono regolare circoscritto, il perimetro del poligono diminuisce Costruisco poligoni regolari circoscritti alla circonferenza, aventi un numero di lati sempre maggiore A B C T DE < AD + AE D E
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  • TEOREMA 3 Il perimetro di un poligono inscritto in una circonferenza sempre minore del perimetro di un poligono circoscritto
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  • Abbiamo costruito due classi P n : classe dei perimetri dei poligoni circoscritti p n : classe dei perimetri dei poligoni inscritti Pi grande n pi gli elementi P n diminuiscono e gli elementi p n aumentano Tali classi sono separate Esiste lelemento che separa le due classi? ELEMENTO SEPARATORE: il pi piccolo della prima classe oppure il pi grande della seconda classe oppure un elemento pi piccolo di tutti gli elementi della prima classe e pi grande di tutti gli elementi della seconda.
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  • Le classi sono contigue Esiste lelemento separatore se le due classi sono contigue: presa una lunghezza piccola a piacere esistono un poligono inscritto di perimetro p n e un poligono circoscritto di perimetro P n tali che | P n p n | < Dimostriamo che le due classi sono contingue:
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  • Dimostrazione: AB= L n lato del poligono circoscritto di n lati AB=l n lato del poligono inscritto di n lati T punto di tangenza (AT=TB) P n : p n = AO : AO P n : p n = AO : OT (P n - p n ) : p n = (AO-OT) : OT (P n - p n ) : p n = 8(AO-OT) : 8OT (P n - p n ) : p n = 8(AO-OT) : P 4 (perimetro del quadrato circoscritto) Poich p n < P 4 per qualsiasi n, allora (P n - p n ) < 8(AO-OT) ma AO-OT