Commande prédictive : de la théorie à l’application · Approche GPC (Commande Prédictive Généralisée) Cas d’étude Commande prédictive avec contraintes Approche MPC (Model

Commande prédictive : de la théorie à l’application

Cristina Vlad

[email protected]

Plan du cours

Principe de la commande prédictive : rappel

Elaboration de la commande : étapes de synthèse de la loi de commande, principe de l’horizon fuyant

Prise en compte de contraintes

Avantages et défis

Commande prédictive sans contraintes

Approche GPC (Commande Prédictive Généralisée)

Cas d’étude

Commande prédictive avec contraintes

Approche MPC (Model Predictive Control)

Cas d’étude

Faisabilité et stabilité

24/05/2017CA'NTI 23, BUCAREST, 22-26 MAI 2017

FACULTÉ D'AUTOMATIQUE ET ORDINATEURS2

Plan du cours




Avantages et défis



Cas d’étude



Cas d’étude




Principe : utilisation d’un modèle du processus pour la prédiction ducomportement dynamique du processus afin d’optimiser le signal decommande



Principe de la commande prédictive

Optimisation

à base de

modèle

Processus )(tr

référence

)(tu )(ty

commande sortie

mesures

Élaboration de la commande

Choix d’un modèle numérique du processus sur lequel est fondée la prédiction de la sortie(fonction de transfert, représentation d’état)

Formulation d’un critère de performance à partir des objectifs de la commande

suivie de trajectoire, erreur statique nulle …

Choix des paramètres de réglage (horizon de prédiction, horizon de commande,pondérations)

À chaque pas d’échantillonnage :

résoudre un problème d’optimisation à horizon finit

obtenir une séquence de commande futures en boucle ouverte par minimisation d’unefonction de coût sur un horizon fini

appliquer au processus la première valeur de la séquence de commande optimale

réitération à la période d’échantillonnage suivante : stratégie de l’horizon fuyant

structure de commande en boucle fermée



Principe de la commande prédictive

Stratégie de commande prédictive – principe de l’horizon fuyant



Principe de l’horizon fuyant

Horizon de

commande

Horizon de prédiction

FuturePassé

k+1 k+N − 1

Sorties prédites y(k+i)

Entrées prédites u(k+i) k+1 k+N − 1

k+1 k+N−1

y(k)

u(k)

Horizon de prédiction k+1

Horizon de prédiction k

k

k

r(k+i)k

r(k+i)

k+Nu − 1

Aspects importants

Choix large du modèle de prédiction : linéaire/non-linéarie, monovariable/multivariable,à retard

Formulation des différents objectifs

Effet anticipatif : technique bien adaptée pour des problèmes de suivi de trajectoire

Méthode systématique de manipulation des contraintes

Défis

Implantation : résolution en temps-réel (< période d’échantillonnage du système) avec latechnologie disponible (capacité de stockage, processeur…)

Stabilité : convergence (stabilité en boucle fermée) pas garantie automatiquement

Robustesse : vis-à-vis des incertitudes et perturbations

Faisabilité : possibilité d’insatisfaction des contraintes à un certain instant de temps futur



Avantages et défis de la commande prédictive

Prise en compte des contraintes

Considération des contraintes dans la synthèse de la loi de commande

‒ Présence des contraintes pour tous les systèmes physiques :

limitations physiques (actionneurs)

contraintes liées aux performances dynamiques (dépassement)

contraintes liées à la sûreté (limites de température, pression)

‒ Points de fonctionnement optimaux situés près des contraintes

Méthodes de commande classiques

gestion aléatoire des contraintes

consigne éloignée des contraintes

fonctionnement sous optimal du processus

Commande prédictive

contraintes prise en compte dans la synthèse du correcteur

fonctionnement optimal du processus



Schéma récapitulatif



Prise en compte des contraintes

Comparaison avec les lois de commande classiques

Boucle de réglage d’un système SISO sous contraintes : performanceséquivalentes avec des stratégies de commande simples (PID + anti-windup)

Commande prédictive

Formalisme général pour des problèmes différentes

réduit la coût de maintenance

gestion plus facile de la conception de la commande



Plan du cours




Avantages et défis



Cas d’étude



Cas d’étude




Approche GPC

Modèle numérique

Définition du modèle sous forme CARIMA (Controlled AutoRegressive IntegratedMoving Average)

Cette structure apporte un terme intégrateur dans la loi de commande et garantitl’annulation de toute erreur statique vis à vis de consigne ou de perturbation constante



)(

)()()1()()()(

1

111

q

kqCkuqBkyqA

onperturbati de polynôme )(

centré blancbruit )(

temporelretardopérateur , 1)(

)(

1)( : avec

1

111

2

2

1

10

1

2

2

1

1

1

qC

k

qqq

qbqbqbbqB

qaqaqaqA

b

b

a

a

n

n

n

n

Approche GPC

Fonction de coût quadratique

Comprenant des termes portant sur les erreurs de prédiction dans le futur et lesincréments de commandes futures

Quatre paramètres doivent être choisis par l’utilisateur



uN

i

N

Nir ikuikyikyJ

1

22 ))1(())()(ˆ(2

1

uNiiku pour 0)( : hypothèsel' sous

commande lasur n pondératio defacteur

commande lasur prédiction dehorizon

supérieur prédiction dehorizon

inférieur prédiction dehorizon

2

1

uN

N

N

Approche GPC

Equation de prédiction

Prédicteur optimal au pas i :

réponse libre réponse forcée

Les polynômes inconnus sont solutions d’équations diophantiennes pouvant êtrerésolues récursivement :



)()()1()( )1()(

)()(

)(

)()( 11

1

1

1

1

ikqJikuqGkuqC

qHky

qC

qFkiky ii

ii

)()()()()(

)()()()()(11111

11111

qJqBqHqqGqC

qCqFqqJqAq

ii

i

i

i

i

i

Approche GPC

Forme matricielle de l’équation de prédiction

réponse libre

Les coefficients de la matrice G sont en fait les coefficients de la réponse indicielle du

modèle



)1( )(

1)(

)(

1~ˆ11

kuqC

kyqC

ihifuGy

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

11

111

1

NNN

NN

NN

NN

NN

NN

NN

uggg

gg

gg

G

T

21

T

T11

T11

)(ˆ)(ˆˆ

)1()(~

)()(

)()(

21

21

NkyNky

Nkuku

qHqH

qFqF

u

NN

NN

y

u

ih

if

Approche GPC

Expression de la loi de commande

Forme matricielle du critère

Séquence de commandes optimales

avec et

Commande appliquée au système à l’instant k



uu

y ih ifuGy ih ifuGur

T

r

~~

)1()(

1)(

)(

1~)1()(

1)(

)(

1~)~(1111

T

kuqC

kyqC

kuqC

kyqC

J

)1(

)(

1)(

)(

1 ~

11 kuqC

kyqC

ropt ihifyNu

Tr

y )()( 21 NkyNky rr

T

T

1

T1T

u

u

N

N

n

n

GIGGN

)1(

)(

1)(

)(

1)1()(

11ku

qCky

qCkuku optoptopt ih ify n

r

T

1

0~

u

J

Approche GPC

Mise en œuvre : Régulateur polynomial équivalent

Equation aux différences pour l’implantation de la loi de commande

Par rapport à une structure RST classique, le polynôme T est ici non causal

Reformulation avec un polynôme T causal :

Loi de commande :



+

+

+

-

yr(k)

u(k) y(k)

)(

11

zS

)(

11 zBz

)(

11

zA

Régulateur

polynomial

équivalent

)(zT

)( 1zR

TT

T

T

n

if n

ih n

21

1

1

1

1

1

1

11

)()(

)(

)()(

NNzzzCzT

zR

zzCzS

)()()()()()()( 111 kyzTkyzRkuzzS r

TTn 1)()(

1

1

11 1212 NNNN

zzzCzT

)()()()()()()( 2

1111 NkyzTkyzRkuzzS r

Approche GPC

Programmation hors ligne

Définition de la consigne (stockage point par point)

Choix d’une période d’échantillonnage et définition des polynômes A et B du

modèle CARIMA (par identification préalable si nécessaire)

Choix des paramètres de réglage de la fonction de coût

Calcul des prédicteurs optimaux par résolution des équations diophantiennes

Synthèse des polynômes R, S et T du régulateur équivalent

Boucle temps réel

Acquisition de la sortie

Calcul de la commande par équation aux différences

Envoi de la commande



Boucle temps réel très

rapide (moins de 200 ms)

Cas d’étude

Cas 1 : commande GPC d’un moteur asynchrone

Le transfert entre le couple et la vitesse identifié pour une période

d’échantillonnage de 5ms

Paramètres de réglage GPC :



m m

21

21

02,098,01

024,3344,1

)(

)(

zz

zz

k

k

m

m

200,1,8,121

u

NNN

8765

432

11

211

01010008700073000590

00460003200018000040)(

734201)(

00490237102840)(

z,z, z,z,

z,z, z,z,zT

z,zS

z,z,, zR

Cas d’étude

Cas 1 : commande GPC d’un moteur asynchrone

Simulation sous MATLAB : échelon unitaire de consigne sans aucune perturbation

Réponse indicielle Commande



0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps (s)

Rép

onse

tem

pore

lle

y

MPC0

Consigne yr

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.01

0.02

0.03

0.04

Temps (s)

Com

man

de

u

MPC0

Cas d’étude

Cas 2 : Modèle de la bicyclette (Astrom, Klein, Lennartsson, Control System Magazine,

2005)

Hypothèses : linéarisation aux petits angles

Théorème du moment dynamique



gauche) à (positif braquage de angle :

droite) à (positifn inclinaisod' angle :

zsur x inertied'moment :

sur x inertied'moment :

systèmedu totalemasse :

constante arrière roue la de vitesse:

inertied' centredu scoordonnée : ,

xz

x

JD

J

m

V

ha

scentrifuge forcesaux lié couple

2

braquagedu lors inertied' forcesaux

lié couplegravité la àlié couple

2

2

)()(

)()(

tb

hVm

td

td

b

VDthgm

td

tdJ x

Cas d’étude

Modèle de la bicyclette : équation similaire à celle d’un pendule inverse

Fonction de transfert : système instable en boucle ouverte



m/s10

m028,1

2

m0,492

V

h

ab

a

h

gs

a

Vs

hb

aV

J

hgms

D

hVms

Jb

DV

s

s

x

22)(

)(

hamD

hmJx

2

: suivantes hypothèses les sous

Cas d’étude

Régulateur RST équivalent



Marge de phase 44,8°

Marge de gain -8,8 dB

Marge de retard 0,9 Te

)156,31202,22637,15833,10327,7

781,4953,2665,1794,0256,0(10)(

)1)(00304,01()(Δ

7456,07852,10493,1)(

109876

54324

111

211

z z z z z

zzz zzzT

zzzS

zzzR

s,T

λN

NN

e

u

10

00010,1

10,1 21

Cas d’étude

Réponse à une consigne d’angle d’inclinaison de 10° (situation improbable …)

Pas de saturation de commande

Angle d’inclinaison Angle de braquage



s 1,0

00010

1

01

1

2

1

e

u

T

N

N

N

Cas d’étude

Réponse à une perturbation de 10° sur l’angle d’inclinaison (coup de vent)

Pas de saturation de commande




s 1,0

00010

1

01

1

2

1

e

u

T

N

N

N

Cas d’étude


Saturation de la commande à 5°




s 1,0

00010

1

01

1

2

1

e

u

T

N

N

N

Plan du cours




Avantages et défis



Cas d’étude



Cas d’étude




Approche MPC en présence des contraintes

Formulation du problème d’optimisation : cas général

Modèle du système :

En absence des contraintes :



)(

1:0,,

systèmedu dynamique modèle :àsujet

),(minarg:))((,

kxx

Xx

NiUuXx

xJkx

k

fNk

ikik

kkoptkk

uuu

m

ik

n

fNk

mn

ik

RUu

RXxNiRXx

et 1:0,

kkk

kkk

uxy

uxx

DC

BA

1


Fonction de coût : ou

Séquence de commande :

■

■

Norme quadratique :

■

■

Norme linéaire p = 1 / ∞ :

■

■



1

0

),()(),(N

iikikNkkk uxqxFxJ u

TNkkkk uuu 11 ,,, u

ik

T

ikik

T

ikikikNk

T

NkNk uuxxuxqxxxF RQP ),(,)(

TNkkkk uuu 11 ,,, u

1

0

),()(),(N

iikikNkkk uxqxFxJ u

ik

T

ikikrik

T

ikrikikikNk

T

NkNk uuyyyyuxqxxxF RQP )()(),(,)( ,,

pikpikikikpNkNk uxuxqxxF RQP ),(,)(

pikpikrikikikpNkNk uyyuxqxxF RQP )(),(,)( ,


Formulation du problème d’optimisation :

avec : N horizon de prédiction

X, U, Xf – régions polyédrales

Algorithmes de résolution du problème d’optimisation en-ligne :

Méthodes de l’ensemble actif Méthode par pivot Méthode du point intérieur Techniques LMI



TNkkkk uuu 11 ,,, u

)(

1:0,,

1:0, àsujet

),(minarg:)(

1

,

kxx

Xx

NiUuXx

Niuxx

xJx

k

fNk

ikik

ikikik

kkkoptkk

BA

uuu

i

fN

i

fNf

i

u

i

u

i

x

i

x

bxaxX

buauUbxaxX

,


Solution du problème d’optimisation sans contraintes

Norme quadratique et en absence des contraintes sur les états, entrées de commande et sorties dusystème :

Solution à horizon infini (N→ ∞) : loi de commande invariante en temps

Solution à horizon finit : séquence de commande optimale variable en temps

Principe de l’horizon fuyant : (commande par retour d’état)

la commande du système est invariante dans le temps : le 1er élément de la

séquence de commande optimale est constant

Comment déterminer la séquence optimale de commande à horizon finit en présence descontraintes?



n

fNk

mn

ikik RXxRNiUuXx

et }1:0,,{

1:0),(, Nikxu ikoptik L

)()1(, kxu kkoptk L u

1:0),(, Nikxu optik L


Formulation du problème d’optimisation avec contraintes : norme quadratique

Fonction de coût quadratique :

Système étendu :

Contraintes :

sur la sortie :

sur l’amplitude de la commande :

sur de l’incrément commande :

sur l’état final (contraintes terminales) :



1

02

1

022

)())()(ˆ()()(),((uN

i

N

iree ikuikykikykNkxkkxJ RQP)u

)()(

)()()1(

kxky

kukxkx

ee

eeee

C

BA 0,1

,1

,)1(

)()(où

1

CCB

B0

BAA

ee

xn

eeku

kxkx

NNN 21 ,0,

1:0, )()( umaxmin NiuikuuUiku

1:0, )()( umaxmin NiuikuuUiku

1:0, )()( NiyikyyYiky maxmin

i

fe

i

ffe bNkxaXNkx )()(

)(ˆ)(ˆ),()()(ˆ1

0

1kikxkikyikukxkikx eee

i

j

ji

e

i

ee

C BAA


Fonction de coût quadratique : formulation matricielle

Problème d’optimisation avec contraintes : formulation matricielle



JeP

T

ek

T

w

T

r

T

x

T

ek

T

kke kxkxkkxkxJ RPFFH )()()()(2

1)),(( uyuuu

)( àsujet

)),((minarg))((,

kx

kxJkx

ek

keeoptkk

EWG

u

uuu



Equation du prédicteur :



u

e

i

j

ji

ee

i

ee

Niiku

Niikukxkiky

BACAC

,0)( avec

1:0),()()(ˆ1

0

1

ku

k

u

e

NN

eee

N

ee

eeeee

ee

N

ee

ee

e

Nku

ku

kx

kNky

kky

kky

u

y

)1(

)(0

000

)(

)1(ˆ

)1(ˆ

)(ˆ

12

1

ˆ

Γ

ΦBACBAC

BCBAC

BC

AC

AC

C

kek kx uy ΓΦ )(ˆ

)1(

)(

)()(ˆ1

u

e

NN

ee

N

e

N

ee

Nku

ku

kxkNkx

N

u

N

λ

BABAA

kNeNe kxNkx u λ)()(ˆ



Solution en absence des contraintes :



JeP

T

ek

T

w

T

r

T

x

T

ek

T

k

k

T

krke

T

rkekNeN

T

kNeNke

kxkxkkx

kkxkkxkxkxkxJ

RPFF

ΓΦΓΦP

)()()()(2

1

)()()()()()()),((

uyuu

uRuyuQyuuuu

H

)(),( RQ diagdiag R Q

)()(2)()(

2

)(2

),(2

kxkkk e

T

rr

T

rJ

N

T

N

T

p

T

w

T

N

T

N

T

x

T

N

T

N

ΦR

PλΦΦP

ΓF

ΓΦPλF

RΓΓPλλH

QyyQy

Q

Q

Q

Q

Trrr Nkykyk )1()()( y

))()(())(( 1 kkxkx rwexe

opt

SC yu FFH 0

k

J

u


Contraintes

Objectif : écrire les contraintes sous la forme

■ Contraintes sur l’incrément Δu(k+i) ■ Contraintes sur u(k+i), i = 0 : Nu − 1

■ Contraintes sur la sortie :

■ Contraintes sur l’état final :



)(kxek EWG u

min

min

max

max

min

max

100

0

0

001

100

0

0

001

)(

)(

u

u

u

u

uiku

uikuk

u

)(10)1(

)()1()();(

10

1

1

10

111

0

11

001

111

0

11

001

)(

)(

1

0

1

1

min

min

max

max

min

max

kxku

jkukuikukx

u

u

u

u

uiku

uiku

en

i

je

n

n

k u

)()(ˆ

)(ˆ

min

max

min

maxkx

kx

kxek

kek

kek

Φ

Φ

Γ

Γ

ΓΦ

ΓΦ

y

yu

yuy

yuy

)()()(

)(kxaba

kxNkx

bNkxaeN

i

f

i

fkN

i

f

kNeNe

i

fe

i

f

u

uλ

λ


Selon la norme utilisée le problème d’optimisation est formulé différemment

norme quadratique (p = 2) :

norme linéaire (p = 1 / ∞) :

− variables auxiliaires (leur nombre dépend du modèle de prédiction et de

l’horizon de prédiction N)



k

TT

kk

T

kx

optk xkk

uuuuu

FHEWG

2

1minarg,

k

T

ExWGoptk c

kk

zzz

minarg,

Nkk ,,; 1 uz

N,,1

Modèle de la bicyclette

Fonction de transfert : système instable en boucle ouverte



m/s10

m028,1

2

m0,492

V

h

ab

a

h

gs

a

Vs

hb

aV

J

hgms

D

hVms

Jb

DV

s

s

x

22)(

)(

hamD

hmJ x

2

: hypothèses les sous

Cas d’étude

Modèle de la bicyclette

Prise en compte de contraintes sur la commande ( ). Comparaison des résultats obtenus ensaturant la commande et avec une optimisation en-ligne.

Problème d’optimisation à résoudre à chaque pas :

Pour Nu = 1, les résultats obtenus avec saturation de la commande et l’optimisation en ligne sont lesmêmes.

Pour Nu = 2, les résultats obtenus l’optimisation en ligne sont meilleurs que ceux obtenus avecsaturation de la commande



5)(

)()(

)()()1(

àsujet

)())()(ˆ(1

02

12

2

ku

kxky

kukxkx

ikuikykikyJ

eee

N

i

N

ir

u

eC

BA

5)( ku

Cas d’étude






s 1,0

00010

1

01

1

2

1

e

u

T

N

N

N

Cas d’étude






s 1,0

00010

2

10

1

2

1

e

u

T

N

N

N

saturation

optimisation

en ligne

Cas d’étude

Optimisation pour le cas Nu = 2

Séquence de commande avec deux actions de commande :



83,404,4

04,476,7104

H

k

TT

k

T

kx

optk kxkk

uuuuu

FHEWG

)(2

1minarg,

04,476,5

20,173,1

65,136,2

104TF

11

01

11

01

G

)()1(

)1()(

)1(

)(

kuku

kuku

ku

kuku

5

5

5

5

W

100

100

100

100

E

Cas d’étude

Interprétation dans l’espace des commandes

On cherche u à l’intérieur de l’ensemble (Ruc) où les contraintes sont satisfaites, de façon à minimiser

le coût quadratique. Ce coût définit des ellipsoïdes dans l’espace des commandes u, centrés sur le coût

optimal sans contraintes :

ellipsoïde en u, centré en



u(k)

u(k+1)

umax

Optimum sans contraintesOptimisation en ligne

Saturation de la commandeumax

kk

opt

SC xx FH1)( u

cxTT FH uuu2

1kk

opt

SC xx FH1)( u

Ruc

Cas d’étude


Problème d’optimisation à horizon infini

avec

la solution ne peut pas être déterminée : nombre infini des variables



)(

1:0,,

1:0, àsujet

),(min:),(

1

0

kxx

NiUuXx

Niuxx

uxqxJ

k

ikik

ikikik

iikikkk

k

uu

BA

TNkkkk uuu 11 ,,, u


Problème d’optimisation à horizon fini

avec

F(xk+N) représente le coût terminal (approche les termes pour i = N : ∞ )

Xf représente l’ensemble des contraintes terminales (approche les contraintes pour i = N : ∞)



)(

1:0,,

1:0, àsujet

),()(min:),(

1

1

0,

kxx

Xx

NiUuXx

Niuxx

uxqxFxJ

k

fNk

ikik

ikikik

N

iikikNkkkoptk

k

uu

BA

TNkkkk uuu 11 ,,, u

coût terminal

contraintes terminales


Résolution en ligne du problème d’optimisation à horizon finit en utilisant le principe de l’horizon fuyant

1) Mesurer l’état x(k) à l’instant k

2) Calculer uk,opt par la résolution d’un problème d’optimisation sous contraintes

3) Si uk,opt ≠ ∅ alors « problème infaisable » STOP

4) Applique au système a commande uopt(k)= uk,opt(1)

5) Retour au pas 1) au prochain pas d’ échantillonnage

Difficultés

Pas de garantie de faisabilité : pas de solution au problème d’optimisation

Pas de garantie de stabilité : la trajectoire peut ne pas converge vers l’origine




Solution : garantir un coût terminal et des contraintes terminale afin de garantir la faisabilité et la stabilité

Démontrer la faisabilité de façon récursive : démontrer l’existence d’une séquence decommande optimale faisable à tout instant lorsqu'on part d’un point initial faisable

Démontrer la stabilité : démontrer que la fonction de cout est un fonction de Lyapunov

Cas possibles :

Contrainte terminale à zéro : xk+N = 0

Ensemble convexe des contraintes terminales :



fNkikik

ikikik

N

iikikNkkkoptk

XxNiUuXx

Niuxx

uxqxFxJk

uu

,1:0,,

1:0, àsujet

),()(min:),(

1

1

0,

BA

fNk Xx


Régions de faisabilité

X0 − l’ensemble des états initiaux x(k) pour lequel le problème d’optimisation est faisable

En général : Xi − région de faisabilité à l’instant i assurant la faisabilité du problèmed’optimisation

Les régions de faisabilité Xi , i = 0 : N ont un rôle important pour l’existence d’une solution duproblème d’optimisation et ne dépendent pas coût J



} avec ,

,1:0,, t.q.),,,({

1

1100

kkkfNk

ikikNkkk

n

k

uxxXx

NiUuXxuuuRxxX

BA

} avec ,

,1:,, t.q.),,,({

1

11

kkkfNk

jkjkNkikik

n

ikii

uxxXx

NijUuXxuuuRxxX

BA


Contrainte terminale à zéro xk+N = 0

On suppose , la séquence de commande

optimale à l’instant k = 0 et la trajectoire générée avec la séquence de

commande optimale

L’application de la première commande u0,opt amène le système dans l’état x1 = A x0 + Bu0,opt

Pour chercher la nouvelle séquence de commande, on peut remarquer que les N−1 valeurs de

la séquence de commande à l’instant k = 1 sont déjà une solution du problème à k = 0. Pour

obtenir une solution faisable à k = 1, on ajoute une dernière valeur de commande et on

regarde les conditions à vérifier pour cette dernière valeur. Alors, la séquence de commande

faisable à k = 1 est : on applique une commande nulle et xN+1 = 0.

Faisabilité récursive



)( faisable )( 000 Xxkxx },,,{ ,1,1,0 optNoptopt uuu },,,{ 10 Nxxx

}0,,,{ ,1,1 optNopt uu


Contrainte terminale à zéro : xk+N = 0

But : montre que la fonction de coût est décroissante

est une fonction de Lyapunov → stabilité au sens de Lyapunov

Remarque : le choix d’horizon de prédiction a un fort impact sur la région de faisabilité (le plus grand ensemble invariant contenant l’origine)



0),()( 00,01,0 xxJxJ optopt

0 àrester pour cout ,00instant l' àcout

,000,0

,,00

1

0,

1,101,0

1

0,

0

0,0

)0,0(),()(

),(),(),(

),()(~

)(

),()()(

quxqxJ

uxquxquxq

uxqxJxJ

uxqxFxJ

k

optopt

optNNopt

N

ioptii

N

ioptiiopt

N

ioptiiNopt

)(,0 xJ opt



Problème : la contrainte terminale à zéro xk+N = 0 diminue la région de faisabilité

Solution : utiliser un ensemble terminal invariant positif pour agrandir la région de

faisabilité

Faisabilité récursive :

On suppose , la séquence de commande

optimale à l’instant k = 0 et la trajectoire générée avec la séquence de

commande optimale

Pour k = 1, la séquence optimale de commande est faisable :



fNk Xx

fX

fX

NkXxXxssixu fkff ,)( 0

Un ensemble est un ensemble invariant positif pour le système en boucle fermée

xk+1 = f(xk , u), avec

)( faisable )( 000 Xxkxx },,,{ ,1,1,0 optNoptopt uuu

},,,{ 10 Nxxx

})(,,,{ ,1,1 xuu foptNopt

ffNkNkffN XxxxxXx )(et faisable)( 1 BA



4 conditions qui assurent la stabilité asymptotique de la loi de commande obtenue

1) contraintes sur l’état satisfaites en Xf

2) contraintes sur la commande satisfaites en Xf

3) Xf est positif invariant sous la commande

4) F est une fonction de Lyapunov sous



fNk Xx

fff XXXX 0fermé,,

ff XxUx ,)(

)(xu f

)(xffffkk XxXxxx ,)(1 BA

ffkkk XxxxqxFxF )),(,()()( 1

Faisabilité et stabilité : remarques

L’ensemble terminal assure la faisabilité et la stabilité

La région de faisabilité du problème d’optimisation sans contraintes terminales peut être plus

grande que celui du problème d’optimisation avec contraintes terminales, mais difficile à

caractériser

Xf = 0 est le plus simple choix possible, mais N ↓ la région d’attraction diminue

En pratique : augmenter N et vérifier la stabilité

N ↑ la région d’attraction approche l’ensemble invariant maximal

Un horizon de prédiction infini assure la stabilité et l’invariance

Approcher la solution à horizon infini en imposant l’appartenance de l’état final à un

ensemble invariant pour lequel existe une loi de commande invariante

Concepts applicables aux systèmes non-linéaires



Faisabilité et stabilité : remarques

Choix de l’ensemble terminal et du coût terminal : cas linéaire, norme quadratique

Sans contraintes :

Si P est choisie comme la solution de l’équation de Riccati correspondant à un coût à

horizon infini, et N = Nu, la solution sans contraintes correspond à celle obtenue avec le

critère à horizon infini.

Avec contraintes :

La solution avec horizon infini u = KLQR(x) peut être utilisée pour déterminer Xf comme

l’ensemble positif invariant maximal avec cette commande.



)( ,

1:0,,

1:0, àsujet

)(min:),(

1

1

0,

kxxXx

NiUuXx

Niuxx

RuuQxxPxxxJ

kfNk

ikik

ikikik

ik

T

ik

N

iik

T

ikNk

T

Nkkkoptkk

uu

BA

P. Boucher, D. Dumur, “La commande prédictive”, Collection Méthodes et pratiques de l’ingénieur,Editions Technip, Paris, 1996.

E.F. Camacho, C. Bordons, “Model predictive control”, Ed. Springer-Verlag, 2nd ed., London, 2004.

J. M. Maciejowski, “Predictive control with constraints”, Ed. Prentice Hall, Pearson Education Limited,Harlow, 2002.

J.A. Rossiter, “Model based predictive control. A practical approach”, CRC Press LLC, 2003.

J. Richalet, G. Lavielle, J. Mallet, “La commande prédictive. Mise en œuvre et applications industrielles”,Groupe Eyrolles, Paris, 2005.

P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard, F. Rotella, I. Zambettakis, “Automatique. Analyse et régulationdes processus industrielles (2) : Régulation numérique”, Ed. Technip, 1993.

I.D. Landau, “Commande des systèmes : conception, identification et mise en œuvre”, Ed. Hermès, 2002.

Rawlings J.B., Mayne D. Q., “Model Predictive Control : Theory and Design”, Nob Hill Publishing, 2009.

Huang S., Lee T. H., “Applied predictive control”, Springer Science & Business Media, 2013.



Bibliographie

Documents

Commande prédictive : de la théorie à l’application · Approche GPC (Commande Prédictive Généralisée) Cas d’étude Commande prédictive avec contraintes Approche MPC (Model