Cómo  evaluar  las  competencias [matemáticas]  de  nuestros alumnos de ESO

Vicente MEAVILLA SEGUÍDpto. de Matemáticas

(Área de Didáctica)Universidad de Zaragoza

meavilla@unizar.es

Matemáticos

Periodistas

Físicos

Informáticos

Economistas

diversidad

Lo  mismo  que  sucedía  en  la  fotografía  anterior  se puede dar en esta aula.Algunos  de  vosotros  sois  matemáticos,  otros economistas, informáticos, físicos, periodistas, . . .En otras palabras: Atendiendo  a  vuestra  titulación  configuráis  un  grupo heterogéneo.

Confieso que me  siento  incapaz de  atender de  forma adecuada a una diversidad tan “diversa”.Por  tanto,  dada  mi  formación  en  didáctica  de  las Matemáticas,  voy  a  centrar  mi  intervención  en  las COMPETENCIAS  MATEMÁTICAS.  Sin  embargo,  el discurso se puede  extrapolar a otras disciplinas.

CompetenciaMcClellandCOMPETENCIASBÁSICASDeSeCoCompetencialingüísticaalfabetizaciónmatemática

competenciamatemáticaCOMPETENCIASMAT

EMÁTICASESPECÍFICASM.NisspensarmatemáticamentePla

ntearyresolverproblemasmatemáticosCAPACIDADESBOAordendel9demayode2007EvaluacióndelascompetenciasmatemáticasespecíficascontribucióndelascompetenciasmatemáticasespecíficasalaadquisicióndelascompetenciasbásicasActividadesdeenseñanzayaprendizajeHistoriadelasMatemáticasTra

bajoengrupocooperativoOCDE

El principal objetivo de esta  charla es ordenar  el  “Totum  revolutum” de  la diapositiva  anterior  y  ofrecer  a  los profesores  noveles  un  instrumento que  les permita desarrollar  su  trabajo diario  libre  de  preocupaciones y  rico en ocupaciones.

PARA NO PERDER EL NORTEhemos organizado esta ponencia  en cinco secciones:

1ª. PRELIMINARES. Concepto de competencia. Competencias básicas.

2ª. COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA ESO

3ª. COMPETENCIA MATEMÁTICA Y COMPETENCIAS MATEMÁTICAS ESPECÍFICAS

4ª. COMPETENCIAS MATEMÁTICAS ESPECÍFICAS EVALUABLES. CONTRIBUCIÓN  DE LAS CME A LA ADQUISICIÓN DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS

5ª. ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE 

1. PRELIMINARES

El  concepto  de  competencia  surgió en  el  mundo  empresarial  para  designar  el conjunto de factores que son necesarios para el éxito en el desempeño profesional.

David C. McClelland (1917‐1998)Testing for Competence rather than  for “Intelligence” (1973)

Conjunto  de  conocimientos, habilidades,  sentimientos, creencias, valores, actitudes, . . . que pueden incidir en un desempeño  satisfactorio  del puesto de trabajo.

Desde  los  años  90,  la  Unión  Europea  ha  instado  a  los  gobiernos europeos a mejorar y  redefinir  sus  sistemas educativos para  crear un sistema  europeo  que  permita  comparar,  difundir  y  evaluar  las competencias básicas y las mejores metodologías para su adquisición.

En  un  marco  internacional  más  amplio,  como  el  de  la  OCDE (Organización para  la Cooperación y el Desarrollo Económico),  se han puesto  en  práctica  proyectos  que  permiten  comparar  los  resultados educativos de diferentes países.

Por  ejemplo,  el  proyecto  DeSeCo  (Definición  y  Selección  de Competencias)  tiene  como  objetivo  definir  y  seleccionar  las competencias consideradas esenciales para la vida de las personas y el buen funcionamiento de la sociedad.

En  el  DeSeCo  se  define  el  término  competenciacomo:La capacidad de responder a demandas complejas y  llevar  a  cabo  tareas  diversas  de  forma adecuada.  Supone  una  combinación  de habilidades prácticas,  conocimientos, motivación, valores  éticos,  actitudes,  emociones  y  otros componentes  sociales  y  de  comportamiento  que se  movilizan  conjuntamente  para  lograr  una acción eficaz.

Especial  importancia  para  la  educación  obligatoria tienen  las  competencias  básicas,  que  son  las competencias  imprescindibles  para  cualquier persona,  independientemente  de  su  condición social,  para  un  adecuado  desempeño  de  la  vida personal y profesional.

2. COMPETENCIAS BÁSICAS DE LA EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA

En una jerarquía, todo empleado tiende a ascender hasta su nivel de incompetencia.

Laurence Johnston Peter

Orden del 9 de Mayo de 2007, del Departamento de Educación, Cultura y Deporte, por la que se aprueba el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria y se autoriza su aplicación en los centros docentes de la Comunidad Autónoma de Aragón.

Artículo 7. Competencias básicas 1. En el marco de la recomendación de la Unión Europea, desarrollada en el Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre, se fijan en el anexo I las siguientes  competencias  básicas  que  el  alumnado  deberá haber adquirido al final de esta etapa: • Competencia en comunicación lingüística. • Competencia matemática. • Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. • Tratamiento de la información y competencia digital. • Competencia social y ciudadana. • Competencia cultural y artística. • Competencia para aprender a aprender. • Autonomía e iniciativa personal. 

1.  La  competencia en  comunicación  lingüística,  se  refiere a  la utilización del lenguaje  como  instrumento  de  comunicación  oral  y  escrita,  tanto  en  lengua española como en lengua extranjera.

2.  La  competencia matemática,  se  entiende  como  la  habilidad  para  utilizar números  y  operaciones  básicas,  los  símbolos  y  las  formas  de  expresión  del razonamiento matemático para producir  e  interpretar  informaciones  y  para resolver problemas relacionados con la vida diaria y el mundo laboral. 

3. La competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico, incorpora habilidades para desenvolverse adecuadamente, con autonomía e iniciativa personal, en ámbitos de  la vida y del conocimiento muy diversos  (salud, actividad productiva, consumo, ciencia, procesos tecnológicos, etc.) y para interpretar el mundo. 

4. El tratamiento de la información y competencia digital  se entiende como la  habilidad  para  buscar,  obtener,  procesar  y  comunicar  la  información  y transformarla en conocimiento. Incluye  la utilización de  las tecnologías de  la información y la comunicación como un elemento esencial para informarse y comunicarse. 

5. La competencia social y ciudadana, se entiende como aquélla que permite vivir en sociedad, comprender  la realidad social del mundo en que se vive y ejercer la ciudadanía democrática. 

6. La competencia cultural y artística, supone apreciar, comprender y valorar críticamente diferentes manifestaciones culturales y artísticas, utilizarlas como fuente de disfrute y enriquecimiento personal, y considerarlas como parte del patrimonio cultural de los pueblos.

7.  La  competencia para aprender  a  aprender  supone disponer de  habilidades para iniciarse en el aprendizaje y ser capaz de continuar aprendiendo de manera cada  vez  más  eficaz  y  autónoma  de  acuerdo  a  los  propios  objetivos  y necesidades. 

8. La autonomía e  iniciativa personal incluye  la posibilidad de optar con criterio propio y espíritu crítico, y llevar a cabo las iniciativas necesarias para desarrollar la opción elegida y hacerse responsable de ella. Incluye la capacidad emprendedora para idear, planificar, desarrollar y evaluar un proyecto. 

3. COMPETENCIA MATEMÁTICA Y COMPETENCIAS MATEMÁTICAS 

ESPECÍFICAS

En  su  actividad  diaria,  la  mayoría  de  los ciudadanos de los países desarrollados se implican en un gran número de tareas que  incluyen ciertos conceptos,  razonamientos  y  procedimientos matemáticos  (pagar  facturas,  solicitar  créditos hipotecarios,  hacer  presupuestos,  aplicar descuentos,  comprar  en  el  supermercado,  pagar impuestos, medir,. . .).

Consecuentemente,  la  sociedad  moderna necesita  que  sus  ciudadanos  posean  un  buen nivel  de  “alfabetización  matemática”, entendiendo  como  tal  la  capacidad  de  un individuo para  identificar y entender el papel que  las  Matemáticas  tienen  en  el  mundo, hacer juicios bien fundados y usar e implicarse con  las Matemáticas  en  aquellos  momentos en que se presenten necesidades en la vida de cada  individuo  como  ciudadano  constructivo, comprometido y reflexivo (OCDE, 2003).

Podría decirse que esta alfabetización matemática es una  reproducción  a  escala  reducida  de  la competencia matemática que se suele asociar a  los profesionales de las Matemáticas.

Mathematical competencies and learning of Mathematics: The Danish KOM Projecthttp://www7.nationalacademies.org/mseb/Mathematical_Competencies_and_the_Learning_of_Mathematics.pdf

El  investigador  danés  Mogens  Niss  propone  la  siguiente definición de competencia matemática:

Habilidad  para  entender,  juzgar,  hacer  y usar  las Matemáticas en una variedad de contextos  y  situaciones    intra  y  extra‐matemáticos  en  los  que  las Matemáticas juegan o podrían jugar su papel.

El mismo autor identifica las ocho competencias matemáticas específicas siguientes:1. Pensar matemáticamente.

2. Plantear y resolver problemas matemáticos.

3. Modelar  matemáticamente.

4. Argumentar matemáticamente.

5. Representar entidades matemáticas (situaciones y objetos).

6. Utilizar los símbolos matemáticos.

7. Comunicarse con las Matemáticas y  comunicar sobre Matemáticas.

8. Utilizar ayudas y herramientas (incluyendo las nuevas tecnologías).

1. PENSAR MATEMÁTICAMENTEIncluye las cuatro capacidades siguientes:

• Proponer  cuestiones  propias  de  las  Matemáticas  y  conocer  los  tipos  de respuestas que las Matemáticas pueden ofrecer a dichas cuestiones.

• Entender  la  extensión  y  las  limitaciones  de  los  conceptos matemáticos  y  saber utilizarlos.

• Ampliar la extensión de un concepto mediante la abstracción de sus propiedades, generalizando los resultados a un conjunto más amplio de objetos.

• Distinguir  entre  distintos  tipos  de  enunciados  matemáticos  (condicionales, definiciones, teoremas, conjeturas, hipótesis, etc.).

¿Qué es un bitrian?

2. PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOSIncluye las dos capacidades siguientes:

• Identificar,  definir  y  plantear  diferentes  tipos  de  problemas  matemáticos (teóricos, prácticos, abiertos, cerrados).

• Resolver  diferentes  tipos  de  problemas  matemáticos  (teóricos,  prácticos, abiertos, cerrados), planteados por otros o por uno mismo, a ser posible utilizando distintos procedimientos.

Un problema geométrico

3.MODELAR MATEMÁTICAMENTEIncluye las tres capacidades siguientes:

• Analizar los fundamentos y propiedades de modelos existentes.

• Traducir e interpretar los elementos del modelo en términos del mundo real.

• Diseñar modelos matemáticos  [Estructurar  la  realidad, matematizar, validar el modelo,  comunicar  acerca  del  modelo  y  de  sus  resultados  (incluyendo  sus limitaciones, controlar el proceso de modelización)].

MODELOS MATEMÁTICOS

• GEOMETRÍA ANALÍTICA 2D Y 3D• TEORÍA DE GRAFOS• ÁLGEBRA SIMBÓLICA ELEMENTAL• ESPACIOS VECTORIALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

MUNDO REAL

PROBLEMA

Elementos y relacionesentre ellos

Elementos y relacionesmás significativas

Versión idealizada del problemadel mundo real

MODELO MATEMÁTICOFormulación matemática de la versiónidealizada del problema  del mundo real

TEORÍA MATEMÁTICAde la versión idealizada(teoremas, algoritmos, 

ejemplos,...)

COMUNICACIÓN DE RESULTADOS(incluyendo las limitaciones)

4. ARGUMENTAR MATEMÁTICAMENTEIncluye las cuatro capacidades siguientes:

• Seguir y evaluar cadenas de argumentos propuestas por otros.

• Conocer  lo que es una demostración matemática y en qué difiere de otros tipos de razonamientos matemáticos.

• Descubrir las ideas básicas de una demostración.

• Diseñar  argumentos  matemáticos  formales  e  informales  y  transformar  los argumentos heurísticos en demostraciones válidas.

x = y ⇒ x2 = xy  ⇒ x2 – y2 = xy – y2 ⇒

(x + y)(x – y) = y(x – y) ⇒ x + y = y ⇒

x + x = x ⇒ 2x = x ⇒ 2 = 1

5. REPRESENTAR ENTIDADES MATEMÁTICAS (objetos y situaciones)Incluye las tres capacidades siguientes:

• Entender  y  utilizar  diferentes  clases  de  representaciones  de  objetos matemáticos, fenómenos y situaciones.

• Utilizar y entender la relación entre diferentes representaciones de una misma entidad.

• Escoger  entre  varias  representaciones  de  acuerdo  con  la  situación  y  el propósito.

1 = 12

1 + 3 = 22

1 + 3 + 5 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 42

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52

6. UTILIZAR LOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS Incluye las cuatro capacidades siguientes:

• Interpretar el lenguaje simbólico y formal de  las Matemáticas y entender su relación con el lenguaje natural.

• Entender  la  naturaleza  y  las  reglas  de  los  sistemas matemáticos  formales (sintaxis y semántica).

• Traducir del lenguaje natural al lenguaje simbólico y formal.

• Trabajar con expresiones simbólicas y fórmulas.

7.  COMUNICARSE  CON  LAS  MATEMÁTICAS  Y  COMUNICAR  SOBRE MATEMÁTICASIncluye las dos capacidades siguientes:

• Entender  textos  escritos,  visuales  u  orales  sobre  temas  de  contenido matemático.

• Expresarse  en  forma  oral,  visual  o  escrita  sobre  temas  matemáticos,  con diferentes niveles de precisión teórica y técnica.

Texto visual:Teorema de Pitágoras

8. UTILIZAR AYUDAS Y HERRAMIENTAS (incluyendo las nuevas tecnologías).Incluye las dos capacidades siguientes:

• Conocer  la existencia  y propiedades de diversas herramientas  y ayudas para  la actividad matemática, su alcance y sus limitaciones.

• Usar de modo reflexivo tales ayudas y herramientas.

USO REFLEXIVOHaciendo uso de  la calculadora, efectúa la multiplicación :

123456789  ∙ 987654321

USO IRREFLEXIVO

¿Cómo evaluar  las competencias 

matemáticas específicas de nuestros alumnos y su 

contribución a la adquisición de las 

competencias básicas que se contemplan en el currículo de la ESO?

4.  COMPETENCIAS  MATEMÁTICAS  ESPECÍFICAS EVALUABLES  Y  SU  CONTRIBUCIÓN  A  LA ADQUISICIÓN DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS

Las  capacidades  incluidas  en  las  competencias matemáticas  específicas  descritas  por  Niss  son  muy generales y, por tanto,  resultan difíciles de evaluar.Por  tanto, conviene adaptarlas a cursos concretos y a bloques de contenidos específicos.Por ejemplo:

Seleccionando las capacidades involucradas en los  criterios  de  evaluación  del  bloque  de contenidos  elegido  e  incluyéndolas  como capacidades  asociadas  a  determinadas competencias matemáticas específicas.(No  tienen  por  qué aparecer    todas    las    de Niss). 

¿Cómo llevaríais  a cabo la antedicha adaptación?

SELECCIÓN DE LAS CAPACIDADESCRITERIO DE EVALUACIÓN  2

Expresar mediante el lenguaje algebraico una propiedad o relación dada mediante un  enunciado,  y  observar  regularidades  en  secuencias  numéricas  obtenidas  de situaciones  reales  mediante  la  obtención  de  la  ley  de  formación  y  la  fórmula correspondiente, en casos sencillos.A  través  de  este  criterio,  se  pretende  comprobar  la  capacidad  de  extraer  la información  relevante de un  fenómeno, expresado mediante un enunciado o una tabla, para transformarla en una expresión algebraica. En lo referente al tratamiento de pautas numéricas,  se valora  si  se está capacitado para analizar  regularidades y para  formular  resultados  generales mediante  expresiones  simbólicas,  incluyendo formas iterativas y recursivas.

CAPACIDADES SELECCIONADAS• Expresar mediante el lenguaje algebraico una propiedad,  relación o regularidad.• Descubrir regularidades.

CRITERIO DE EVALUACIÓN 3

Resolver problemas de la vida cotidiana en los que se precise el planteamiento y  resolución  de  ecuaciones  de  primer  y  segundo  grado  o  de  sistemas  de ecuaciones lineales con dos incógnitas.Este  criterio  va  dirigido  a  comprobar  la  capacidad  para  trasladar  al  lenguaje algebraico enunciados de problemas, para aplicar  las técnicas de manipulación de  expresiones  literales,  para  traducir  el  resultado  al  contexto en  el  que  se enunció el problema y para comprobar la validez de dicho resultado. 

CAPACIDADES SELECCIONADAS• Traducir al lenguaje algebraico los enunciados verbales de problemas.• Aplicar las técnicas de manipulación de expresiones algebraicas.• Interpretar el resultado de un problema en el contexto en que se enunció.• Comprobar la validez del resultado de un problema.

CRITERIO DE EVALUACIÓN 9 

Planificar  y utilizar  estrategias  y  técnicas  de  resolución  de  problemas,  tales  como  el recuento  exhaustivo,  la  inducción  o  la  búsqueda  de  problemas  afines;  comprobar  el ajuste de  la  solución a  la  situación planteada y expresar verbalmente,  con precisión,  razonamientos,  relaciones  cuantitativas  e  informaciones  que  incorporen  elementos matemáticos, valorando la utilidad y simplicidad del lenguaje matemático para ello.Se  trata  de  evaluar  la  capacidad    para  planificar  el  camino  hacia  la  resolución  de  un problema e incorporar estrategias más complejas a la resolución. Se evalúa, asimismo, la perseverancia en  la búsqueda de  soluciones,  la coherencia y ajuste de  las mismas a  la situación por  resolver  y  la  confianza en  la propia  capacidad para  lograrlo. También  se trata  de  valorar  la  precisión  del  lenguaje  utilizado  para  expresar  todo  tipo  de informaciones que  contengan  cantidades, medidas,  relaciones  numéricas  y  espaciales, así como estrategias y razonamientos utilizados en la resolución de un problema.

CAPACIDADES SELECCIONADAS• Utilizar la inducción como estrategia de resolución de problemas.• Perseverar en la búsqueda de soluciones.• Precisión  del  lenguaje  utilizado  para  expresar  todo  tipo  de  informaciones  de contenido algebraico, así como estrategias y razonamientos utilizados en la resolución de problemas.

INCLUSIÓN DE LAS CAPACIDADES SELECCIONADAS EN LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS ESPECÍFICAS

PENSAR MATEMÁTICAMENTE• Descubrir regularidades.• Utilizar la inducción como estrategia de resolución de problemas.

PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS• Traducir al lenguaje algebraico los enunciados verbales de problemas.• Interpretar el resultado de un problema en el contexto en que se enunció.• Comprobar la validez del resultado de un problema.• Perseverar en la búsqueda de soluciones.

UTILIZAR LOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS• Expresar  mediante  el  lenguaje  algebraico  una  propiedad,    relación  o regularidad.• Aplicar las técnicas de manipulación de expresiones algebraicas.COMUNICARSE CON LAS MATEMÁTICAS Y COMUNICAR SOBRE MATEMÁTICAS

• Precisión  del  lenguaje  utilizado  para  expresar  todo  tipo  de  informaciones  de contenido  algebraico,  así como  estrategias  y  razonamientos  utilizados  en  la resolución de problemas.

CONTRIBUCIÓN  DE  LAS  COMPETENCIAS  MATEMÁTICAS ESPECÍFICAS  A  LA  ADQUISICIÓN  DE  LAS  COMPETENCIAS BÁSICAS(Cualquier  competencia  matemática  específica  contribuye  a  la  adquisición  de  la competencia matemática)

PENSAR MATEMÁTICAMENTE• Descubrir regularidades.• Utilizar la inducción como estrategia de resolución de problemas.

PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS• Traducir  al  lenguaje  algebraico  los  enunciados  verbales  de  problemas.    [Competencia lingüística]• Interpretar el resultado de un problema en el contexto en que se enunció.• Comprobar la validez del resultado de un problema.• Perseverar  en  la  búsqueda  de  soluciones.[Autonomía  e  iniciativa  personal  + Competencia para aprender a aprender]

UTILIZAR LOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS• Expresar  mediante  el  lenguaje  algebraico  una  propiedad,    relación  o regularidad.[Competencia lingüística]• Aplicar  las técnicas de manipulación de expresiones algebraicas.  [Competencia lingüística]

COMUNICARSE CON LAS MATEMÁTICAS Y COMUNICAR SOBRE MATEMÁTICAS• Precisión  del  lenguaje  utilizado  para  expresar  todo  tipo  de  informaciones  de contenido  algebraico,  así como  estrategias  y  razonamientos  utilizados  en  la resolución de problemas. [Competencia lingüística]

Una vez que se han determinado las competencias 

matemáticas específicas evaluables  relativas  al Bloque de Álgebra de 3º ESO, conviene 

prestar atención a las actividades  de enseñanza y aprendizaje que podemos  utilizar para  evaluarlas

Antes de pasar a  la  sección 5  (Actividades de enseñanza y aprendizaje) de esta ponencia  os propongo una cuestión:

¿Qué competencias  matemáticas  específicas evaluáis  en  los  exámenes  que  proponéis  a vuestros alumnos?

5. ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE 

La mente no es un vaso que deba llenarse sino un fuego que debe encenderse 

Plutarco  

TIPOLOGÍA DE LASACTIVIDADES DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE

2. PROBLEMAS DEENUNCIADO VERBAL

1. BÚSQUEDA DEREGULARIDADES

3. INVESTIGACIONESHISTÓRICAS

4. ACTIVIDADES EN EL AULADE INFORMÁTICA

En  la  figura anterior  se  representan  los  tres primeros diagramas de una serie.En cada uno de ellos, los cuadrados azules están rodeados por cuadrados blancos.¿Cuántos cuadrados blancos  habrá en el vigésimo diagrama de la sucesión anterior?¿Cuántos habrá en el enésimo diagrama?

JUSTIFICA TU RESPUESTA

ACTIVIDAD: Búsqueda de regularidades 1

ESPACIO BÁSICO DEL PROBLEMACatálogo  de    resoluciones  diferentes    del  problema, elaborado por expertos (puede ampliarse con resoluciones de los  alumnos  que  no  hayan  sido  contempladas  por  los expertos). 

METODOLOGÍA:  Trabajo  en  grupo  cooperativo  (cuatro alumnos por grupo).Con  esta  organización  se  favorece  la  adquisición  de  la competencia social y ciudadana.

Espacio básico del problema (I)

Bi = Número de cuadros blancos en el iésimo diagrama

B1 = 2 ∙ 4B2 = 3 ∙ 4B3 = 4 ∙ 4 . . . . . . . . .Bn = (n + 1) ∙ 4

Espacio básico del problema (II)

B1 = 8   ,   B2 = 12   ,   B3 = 16   ,   . . . . . . . . . .

Los números de cuadrados blancos en cada diagrama están en progresión aritmética de diferencia 4.Por tanto: 

Bn = 8 + 4(n – 1) = 8 + 4n – 4 = 4n + 4

B1 = 3 + 5 = (1 + 2) + (1 + 4)B2 = 5 + 7 = (3 + 2) + (3 + 4)B3 = 7 + 9 = (5 + 2) + (5 + 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bn = [(2n – 1) + 2] + [(2n – 1) + 4] = (2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4

Espacio básico del problema (III)

Espacio básico del problema (IV)

B1 = 32 – 02 – 1 = (1 + 2)2 – (1 – 1)2 – 1 B2 = 42 – 12 – 3 = (2 + 2)2 – (2 – 1)2 – 3 B3 = 52 – 22 – 5 = (3 + 2)2 – (3 – 1)2 – 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bn = (n + 2)2 – (n – 1)2 – (2n – 1) = = n2 + 4 + 4n – n2 – 1 + 2n – 2n + 1 = 4n + 4

FICHA PARA LA EVALUACIÓN / CALIFICACIÓNCOMPETENCIA MATEMÁTICA 

ESPECÍFICACAPACIDADES EVALUABLES Y 

COMPETENCIAS BÁSICAS  QUE AYUDAN  A  ADQUIRIR

PENSAR MATEMÁTICAMENTE• Descubrir regularidades [2 puntos]• Utilizar  la  inducción como estrategia de resolución de un problema [2 puntos]

PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS

• Comprobar  la  validez  del  resultado  del problema [1 punto]

UTILIZAR LOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

• Expresar  una  regularidad  mediante  el lenguaje algebraico [2 puntos] [Competencia lingüística]• Aplicar  las  técnicas de manipulación de expresiones algebraicas [2 puntos] [Competencia lingüística]

COMUNICARSE CON LAS MATEMÁTICAS Y COMUNICAR SOBRE MATEMÁTICAS

• Precisión  del  lenguaje  utilizado  para expresar  las  estrategias  y  razonamientos utilizados en la resolución del problema [1 punto][Competencia lingüística]

RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS (1)

Observando estos tres diagramas podemos decir que el primero está compuesto por 8 cuadrados blancos y uno azul; el segundo por 3 cuadrados azules y 12 blancos, y el 3ºpor 16 cuadrados blancos y 5 azules.Por lo tanto, al observar esto podemos sacar  una conclusión:

1º = 8  blancos y 1 azul.2º = 12 blancos y 3 azules.3º = 16 blancos y 5 azules.4º = 20 blancos y 7 azules.5º = 24 blancos y 9 azules.

Si observamos lo que está ocurriendo, nos damos cuenta de que los cuadrados de color blanco aumentan de 4 en 4 y los de color rojo de 2 en dos.

Utilizando la ficha anterior, califica las siguientes respuestas de los alumnos: 

RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS (2)

Observando  la  serie  anterior  de  figuras,  compuestas  por  cuadros  blancos,  azules  y ausencia de cuadrados, deducimos que:• Los cuadrados azules siguen una progresión que cumple la fórmula 2n – 1.• La  ausencia  de  cuadrados  también  sigue  una  progresión  que  cumple  la  siguiente fórmula: (n – 1)2 teniendo n el mismo valor que en el caso anterior.• Suponiendo que las figuras fueran cuadrados a los que les restaríamos los huecos la fórmula sería: (n + 2)2 – (n – 1)2  con esta fórmula obtenemos el número de cuadrados tanto blancos como azules que forman la figura.Si queremos saber cuántos cuadros blancos hay en una figura seguiremos  la siguiente fórmula:    (n  +  2)2 – (n  – 1)2 – (2n  – 1).  Es  decir,  al  número  total  de  cuadrados  le restamos los cuadrados azules.Si queremos averiguar  cuántos  cuadrados blancos  tiene  la  figura  vigésima,  sabemos que n = 20, de modo que: (n + 2)2 – (n – 1)2 – (2n – 1) = (20 + 2)2 – (20 – 1)2 – (2∙20 – 1) = 222 – 192 – 39 =  84

ACTIVIDAD: Búsqueda de regularidades 2

TAREA 1Con las cuatro piezas de la figura construye:a)Un cuadrado  b)Dos cubos

TAREA 2Apoyándote  en  los  resultados obtenidos  en  la  tarea  1, completa la igualdad :

(1 + 2)  = 1  +  2

TAREA 3Con las piezas de la figura construye:a) Un cuadrado b) Tres cubos

TAREA 4Apoyándote  en  los  resultados obtenidos  en  la  tarea  3, completa la igualdad :

(1 + 2 +3)  =  1  +  2  +  3

TAREA 5Apoyándote en los resultados obtenidos en las tareas 2 y 4, completa la igualdad :

(1 + 2 + 3 + . . . n)   =  1  +  2   +  3   + . . .  + n

ACTIVIDAD: Problema de enunciado verbal

Encontrar dos números cuya suma sea 30 y cuya diferencia sea 12.

Thomas SIMPSONA Treatise of Algebra (1745)

Espacio básico del problema (1)Resolución de Thomas Simpson

Sea x el menor de los dos números buscados e y el mayor.Las condiciones del problema, expresadas algebraicamente, se escriben así:

y + x = 30y – x = 12

Si  las  dos  ecuaciones  se  suman  miembro  a  miembro  se  obtiene  una  nueva ecuación con la única incógnita y:

2y = 42Dividiendo los dos miembros por 2, resulta:

y = 21De donde se determina fácilmente el valor de x. Como la suma de ambos números es  igual a 30,  resulta  claro que el número menor,  x, debe  ser  igual a 30 – y, es decir: 9.

Espacio básico del problema (2)Resolución de Thomas Simpson

Sea x el número menor.Entonces, como la diferencia de los dos números es 12, el número mayor es x + 12.Como la suma de los dos números es 30, se tiene que 2x + 12 = 30.Restando 12 de los dos miembros, la ecuación anterior se convierte en 2x = 18.De donde, dividiendo los dos miembros por 2, se obtiene el número menor x = 9.Por consiguiente, el número mayor  (= 30 – x) es igual a 21, como antes.

FICHA PARA LA EVALUACIÓN / CALIFICACIÓN

COMPETENCIA MATEMÁTICA ESPECÍFICA

CAPACIDADES EVALUABLES Y COMPETENCIAS BÁSICAS  QUE AYUDAN  

A  ADQUIRIR

PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS

• Traducir al  lenguaje  algebraico el enunciado verbal del problema [3 puntos][Competencia lingüística]• Comprobar  la  validez  del  resultado  del problema [1,5  puntos]• Perseverar en la búsqueda de soluciones [1,5 puntos][Autonomía e iniciativa personal][Competencia para aprender a aprender]

UTILIZAR LOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

• Aplicar  las  técnicas  de  manipulación  de expresiones algebraicas [3 puntos] [Competencia lingüística]

COMUNICARSE CON LAS MATEMÁTICAS Y COMUNICAR SOBRE MATEMÁTICAS

• Precisión del lenguaje utilizado para expresar las estrategias y razonamientos utilizados en la resolución del problema [1 punto][Competencia lingüística]

ACTIVIDAD: Investigación históricaEvolución histórica del simbolismo algebraico

Con  actividades  de  este  tipo  se  puede  contribuir  a  la adquisición de las siguientes competencias básicas:• Competencia en comunicación lingüística. • Tratamiento  de  la  información  y  competencia  digital (búsquedas en Internet). • Competencia cultural y artística. • Competencia para aprender a aprender. • Autonomía e iniciativa personal. 

METODOLOGÍA: Trabajo individual.

ACTIVIDAD EN EL AULA DE INFORMÁTICA

Contenido: Resolución de ecuaciones de primer grado

Metodología: Trabajo en parejas

Software: Balanza algebraica [Álgebra 9‐12]http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html 

Objetivo: Afianzar algunas de las reglas que rigen la resolución de las ecuaciones de primer grado con una incógnita 

Con  este  tipo  de  actividades  se  pueden  adquirir  y  evaluar    las  siguientes competencias:

COMPETENCIAS BÁSICAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS ESPECÍFICAS

• Tratamiento  de  la  información  y competencia digital.• Competencia social y ciudadana.• Competencia  para  aprender  a aprender.• Competencia lingüística.

• Utilizar  los  símbolos  matemáticos [aplicar  las  técnicas de manipulación de expresiones algebraicas].

A MODO DE RESUMEN

Durante este rato, en el que me habéis dejado hablar sobre un  tema didáctico que preocupa y  ocupa  a  muchos  profesionales  de  la enseñanza,  he  procurado  ofreceros  un instrumento  que  permite  evaluar  a  los alumnos  de  E.S.O  atendiendo  a  las competencias matemáticas específicas.

Vamos a recordar cómo puede hacerse.

1º A partir de los criterios de evaluación de cada curso, se seleccionan  aquellas  capacidades  susceptibles  de  ser incluidas  en  alguna  de  las  competencias  matemáticas específicas.

2º Se  incluyen  dichas  capacidades  en  las  competencias matemáticas específicas  correspondientes  y  se determinan las competencias básicas que permiten adquirir.

3º Se diseñan actividades de enseñanza y aprendizaje que permitan  adquirir  las  competencias  matemáticas específicas que se hayan seleccionado. 

4º Se elaboran fichas para la evaluación / calificación de  las actividades anteriores.

Acabamos con una breve selección  de  chistes sobre incompetentes

Gracias  por  su  espera.  En  breves  momentos  uno  de nuestros operadores atenderá su llamada.

Res mésMoltes gràcies a tots