¿Cómo hacer un Trabajo de Investigación?

FERNANDO GAMARRA MORALES. Tacna – Perú

2005

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ÍNDICE

ÍNDICE ..................................................................................................................

INTRODUCCIÓN ..................................................................................................

¿QUÉ ES UN TRABAJO DE INVESTIGACIÓN? .................................................

CIENCIA ...............................................................................................................

INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA .............................................................................

ASPECTOS DE LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA .............................................

CONCEPCIÓN DE LAS IDEAS ............................................................................

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ..................................................................

MARCO TEÓRICO ...............................................................................................

FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS .........................................................................

DEFINICIÓN DE VARIABLES, INDICADORES E ÍNDICES ................................

POBLACIÓN Y MUESTRA ...................................................................................

DATOS .................................................................................................................

PATRON SIGNIFICATIVO Y ORDENAMIENTO DE DATOS ..............................

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN ......................................................................

MÉTODO CIENTÍFICO .........................................................................................

INFORME DE INVESTIGACIÓN ..........................................................................

ADDENDA 01 .......................................................................................................

ADDENDA 02 .......................................................................................................

ADDENDA 03 .......................................................................................................

ADDENDA 04 .......................................................................................................

ADDENDA 05 .......................................................................................................

ADDENDA 06 .......................................................................................................

ADDENDA 07 .......................................................................................................

GLOSARIO ...........................................................................................................

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................

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Profesor Fernando Gamarra Morales.

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INTRODUCCIÓN

Ante la necesidad de una buena orientación para realizar los trabajos de investigación y tesis de los estudiantes, se ha plasmado esta guía en donde se presentan algunas recomendaciones, que no es una forma estricta de cómo realizar una investigación; aquí se trata no sólo de orientar en cuanto a metodología sino, además, de comprender algunos fundamentos del método científico para intentar, humildemente, adentrarnos a lo que es la ciencia.

Algunas personas, erróneamente, afirman que la ciencia define “la verdad”; lo que más bien define es una manera de pensar y esto se puede entender así, sólo a través de la práctica del método científico, que es un proceso en la cual se experimenta para contestar preguntas que resuelvan problemas del entorno.

Este trabajo busca proporcionar algunos elementos de metodología que permita adquirir conocimientos básicos de la realidad circundante con una visión científica. Hacer un trabajo de investigación es expresar nuestra capacidad creativa, sólo así desarrollaremos una cultura científica para abordar los problemas de la vida cotidiana, la cual llevará al conocimiento científico de la realidad y a su transformación en beneficio del ser humano y de la sociedad. Esa cultura no se hereda, se aprende con esfuerzo y práctica.

Aquí se presenta conceptos fundamentales, no filosóficos, de la ciencia como proceso intelectual, clasificándolo en dos grandes ramas; también se presenta características de la Investigación Científica y, tomando un criterio bastante general, su clasificación y subclasificación, así como también sus aspectos internos y externos. Posteriormente se hace un recuento de las condiciones para formular un problema, sin antes pasar por la concepción de la idea que lo originó, y luego tratar de manera muy simplificada sus diferentes tipos.

No se puede formular una hipótesis sin antes hacer una descripción objetiva de lo que se va a estudiar y abstraer sus propiedades fundamentales, así como de sus interrelaciones; sin este marco referencial no se puede pasar a la siguiente etapa, de lo contrario la investigación no sería lo suficientemente consistente y podría caer en superficialidades. En esta parte del trabajo queremos hacer notar las funciones de lo que comúnmente se denomina marco teórico.

Luego se trata sobre la formulación de la hipótesis, propiamente dicho, como también de su clasificación de acuerdo a su estructura sintáctica o forma lógica. Seguidamente se habla sobre las variables y su clasificación de acuerdo al tipo de hipótesis, así como de sus indicadores y número índice; también se hace una descripción general de lo que es población, cómo se toma la muestra y cómo se procesan los datos para poder sacar conclusiones objetivas a través de gráficas en dos dimensiones. Al final se presenta una propuesta de la estructura del proyecto de investigación, las etapas del método científico y el informe final de investigación.

Al término del presente se ha considerado conveniente agregar una addenda para poder complementar el trabajo y un pequeño glosario, que es una parte extraída del libro del Dr. Luis Piscoya, para facilitar la comprensión del significado de términos importantes.

Por último deseo expresar mi agradecimiento a las personas que con sus observaciones, sugerencias y aliento han contribuido al logro del presente trabajo.


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¿QUÉ ES UN TRABAJO DE INVESTIGACIÓN?

Una investigación es un trabajo individual o grupal, inédito (un estudio, una tesis) por medio del cual se puede aplicar, probar o profundizar los conocimientos adquiridos de un tema en particular.

Sirve para desarrollar habilidades de investigación, ampliar los conocimientos adquiridos, o más importante aún, desarrollar un espíritu crítico y una aptitud positiva para enfrentar los problemas con disciplina científica y tomar decisiones correctas.

CIENCIA

Aquí no se pretende hacer una descripción cabal y/o filosófica de lo que es la ciencia, sino presentar algunos conceptos fundamentales para que el lector no científico esté en condiciones de entender este proceso intelectual que se emplea en las más diversas ciencias y aplicarlo, en la medida de lo posible y aconsejable, a su vida diaria.

La ciencia define una manera de pensar, se desarrolla a través de un proceso que se llama Método Científico que consiste en formularse interrogantes sobre una realidad observable, tratando de hallar soluciones a los problemas planteados, en base a la teoría existente; se basa en la recopilación de datos, su ordenamiento y su posterior análisis; es un proceso de razonamiento que intenta no solamente describir los hechos sino también explicarlos.

En definitiva, la ciencia busca resolver problemas, y por lo general lo logra de forma eficiente, por lo que a cualquier persona interesada en resolver algún problema le puede servir el hecho de conocer algo acerca del método científico, que es la base del desarrollo de la ciencia.

Como afirmamos anteriormente, la ciencia define un esquema de pensamiento o método, que es fundamental en el mundo actual. El método científico no solo se aplica a la ciencia pura (fáctica) o exacta (formal), sino también a la vida diaria, comercial, política, etc. ya que provee de muchos beneficios y evita numerosos problemas.

La ciencia es una actividad rigurosa, y no siempre es aconsejable utilizarlo. Por ejemplo, sería absurdo celebrar Fiestas Patrias o el Aniversario de alguna provincia desde un punto de vista científico, pero cuanto más entrenemos y desarrollemos nuestro pensamiento racional, menos serán los errores que cometamos al intentar resolver nuestros problemas cotidianos.

Existen varios tipos de clasificación de la ciencia siendo una de las más frecuente la que hace referencia a ciencias básicas y ciencias aplicadas o técnicas. Otra clasificación es la de Walter M. Elsasse en ciencias cerradas y abiertas; cerradas son aquellas cuyas preguntas tienen una respuesta binaria y abierta son aquellas cuyas preguntas no tienen respuesta binaria definidas, por lo general son expresadas en términos cuantitativos; esta clasificación no es operativa porque no se puede ubicar exactamente las diferentes ciencias en una u otra clase. Kedrov y Spirkin distinguen ciencias naturales (que estudia la naturaleza orgánica e inorgánica: física, química, biología, etc.), ciencias humanas (ciencias sociales y las ciencias filosóficas y cuyo objeto de estudio son la sociedad y el pensamiento) y entre ellas las ciencias que tienen como objeto de estudio al hombre en cuanto participa de la naturaleza y de la sociedad, y es portador de la razón, además distinguen las ciencias matemáticas y las ciencias técnicas; esta clasificación carece de eficacia porque no se puede ordenar de manera univoca ni excluyente las diferente ciencias al tratar de ubicarlas en alguna de estas clases; aquí parece que la estructura y la función de la ciencia no están muy bien conceptualizados, ya que hace una distinción del tipo de ciencia técnica.

La clasificación más eficiente y la que ha logrado un consenso más extendido en la comunidad científica, es la que clasifica la ciencia considerando cuatro conceptos ordenadores:

a) Naturaleza del objeto de estudio,

b) Método de comprobación de proposiciones,


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c) Criterio de verdad y

d) Carácter de los enunciados.

Mario Bunge, considerando estos conceptos ordenadores, clasifica la ciencia de manera unívoca y excluyente en: ciencias formales y ciencias fácticas o factuales.

La matemática pura y la lógica formal se tipifican como ciencias formales porque sus objetos de estudio son las construcciones ideales de la mente humana, formas puras del pensamiento sin referencia inmediata a la realidad física. Son aquellas que trabajan con símbolos creados por ellas mismas, no explícitamente sobre hechos y objetivos, aunque sí, son racionales y sistemáticos, estas ciencias nos informan acerca de la realidad. Estas ciencias utilizan el método deductivo para establecer la relación entre sus signos y sus símbolos, usan variables lógicas y su coherencia tiene por base el sistema de las leyes de la lógica formal y por esta razón es que se tiene completa garantía acerca de sus demostraciones.

Por su capacidad para formalizar cualidades y medidas de los objetos de la realidad empírica y también en mérito a su rigor y exactitud, es que los enunciados de las ciencias formales son utilizados por los investigadores en la rama de las ciencias fácticas, porque como instrumentos de formalización contribuyen a posibilitar la confirmación o refutación de las proposiciones factuales.

Las ciencias fácticas son aquellas que en su investigación actúan sobre la realidad, en primer lugar observando los procesos y sucesos que modifican su funcionamiento y en segundo lugar haciendo conjeturas, es decir, formulando hipótesis que deberán ser contrastadas con la realidad.

La palabra "fáctica" viene del latín factum que significa "hecho", estas ciencias utilizan símbolos pero con valores concretos y precisos, su coherencia está enmarcada en el sistema de ideas que manejan y este sistema no representa una garantía plena para la verificación de la hipótesis.

Toda ciencia es un conjunto de enunciados relacionados entre ellos, puesto que todo enunciado científico se funda en otro o se refiere de una teoría. El principio de sistematicidad de la ciencia, se refiere a la conexión racional de los enunciados entre sí y de estos con las teorías establecidas. Conexión a través de que todo nuevo conocimiento se incorpora a la estructura científica para confirmarla, enriquecerla o rectificarla. La descripción de un objeto factual cualquiera es una faceta primaria de la función de la ciencia. La descripción científica aprehende al objeto como fenómeno, en sus propiedades aparenciales y observacionales.

Sus mayores representantes son: las ciencias naturales (física, química, biología, psicología individual) y la ciencia cultural (psicología social, sociología, economía, ciencia política, historia material, historia de las ideas).

INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA

La investigación surgió cuando el hombre, al enfrentarse a situaciones problemáticas, buscó descubrir lo que desconocía, cuando sintió la necesidad de responder a las interrogantes que la realidad le planteaba.

Entendemos por investigación, racional o crítica, a la actividad de búsqueda que se caracteriza por ser reflexiva, sistemática y metódica, que tiene por finalidad obtener conocimientos y solucionar problemas, y que se desarrolla mediante un proceso.

La investigación es una actividad reflexiva porque requiere el estudio profundo y minucioso de las fuentes de conocimiento: datos que se encuentran en la realidad, problemas asumidos, modelos de comprobación de las hipótesis, planes para desarrollar todas y cada una de las actividades de la investigación.

La investigación es sistemática porque relaciona nuestros pensamientos con los datos derivados del análisis crítico de las fuentes de conocimiento; es decir, relaciona íntegra y


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subordinadamente los conocimientos adquiridos en el conjunto de los conocimientos organizados o de las teorías válidas existentes.

La investigación es metódica porque requiere de procesos lógicos para adquirir, sistematizar y transmitir los conocimientos; es decir, de métodos que permitan realizar de la mejor manera la indagación de la realidad.

Si lo que buscamos es dar con conocimientos que produzcan en nosotros una certeza, los métodos nos auxilian en ese propósito, ya que los conocimientos no se adquieren casualmente, sino que derivan de un esfuerzo intelectual de búsqueda.

La investigación científica se relaciona con el método científico y con el uso de ciertas técnicas, pero sin confundirse con ellos, como veremos más adelante.

Existen muchos aspectos por los cuales se puede clasificar la Investigación Científica, el Dr. Luis Piscoya toma en cuenta la naturaleza de los problemas, que es un criterio bastante general.

Investigación científica-teórica: Estudia problemas que plantean la necesidad de encontrar una explicación para:

a) Un fenómeno, hecho o propiedad del mundo real, y

b) Una proposición o enunciado de carácter lógico o matemático.

Esta investigación está orientada a satisfacer la necesidad de comprensión de lo real o conceptual (necesidad teorética).

Investigación aplicada o tecnológica: Estudia problemas que plantean la necesidad de encontrar la manera de hacer algo con eficacia y siguiendo un camino óptimo. Se plasma en un método: técnicas o tecnologías, no pretende describir ni explicar los hechos reales, sino transformarlos o alterarlos para la solución de problemas. Las reglas tecnológicas, a diferencia de las proposiciones producidas por la investigación científico-teórica, se caracterizan porque no tiene sentido decir que son verdaderas o falsas lo que importa es la calificación de eficiente si permite el logro del objetivo.

Esta investigación está orientada a satisfacer la necesidad de dominio de la naturaleza y de lo social (necesidad pragmática).

Existe una estrecha relación entre estos dos tipos de investigaciones, ya que en muchos casos suelen complementarse. El desarrollo de la investigación tecnológica, que ha tenido gran impulso en la era industrial y tecnológica, presupone la acumulación de resultados de la investigación científico-teórica.


CIENTÍFICA - TEÓRICA APLICADA O TECNOLÓGICA

EMPÍRICA CONCEPTUAL SOCIAL FÍSICA FORMAL

se clasifica en

es de tipo es de tipo


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Investigación científico-teórica empírica; se traduce en la búsqueda de leyes científicas para explicar racionalmente los fenómenos, hechos (físicos, biológicos, psicológicos, sociales o culturales) o eventos del mundo real, basadas en evidencias objetivas. Esta investigación esta dirigida al conocimiento de hechos u acontecimientos naturales (ciencias naturales) o al conocimiento del acontecer social, histórico o cultural (ciencias humanas o sociales: sociología, antropología cultural, psicología, economía y lingüística).

Investigación científico-teórica conceptual; busca explicaciones para propiedades lógicas y matemáticas o para propiedades de las proposiciones de las ciencias empíricas. Aquí se aporta nuevas demostraciones (teoremas) que son las explicaciones lógicas y matemáticas, no dependen de su confrontación con los hechos, como contrariamente lo hace la investigación empírica. Las demostraciones lógicas y matemáticas son verdaderas por su deducción sin interesar los hechos que ocurren en el mundo real. La validez de un teorema o propiedad es la coherencia en que se ha realizado la demostración (de modo lógicamente inobjetable). A este tipo de investigación también se le llama formal o a priori. Las cuestiones solucionadas en lógica o matemática está formado por aquellos en los que se ha demostrado la validez de una proposición, como los que han sido resueltos demostrando la indemostrabilidad de otra proposición; ejemplo de esto último es el tradicional problema griego de la cuadratura del círculo (ver addenda 05) que se resuelve cuando se demuestra que dicha proposición que deseamos demostrar es realmente indemostrable. Los problemas o cuestiones que no están en ninguna de estas dos características anteriores son los problemas indecibles y pendientes; un ejemplo de problema matemático indecible y pendiente a la vez fue, desde mediados del S. XVII hasta 1994, la proposición de Fermat (“Teorema de Fermat”: ver addenda 06), hasta ese entonces no se había demostrado que sea matemáticamente verdadera como tampoco se había demostrado su indemostrabilidad, por lo tanto este teorema no podía, afirmarse o rechazarse. Caso contrario ocurre con las proposiciones generadas por el Teorema de Gödel (ver addenda 07), que son indecibles pero no pendientes de solución, es decir que se demuestra que no se puede demostrar su verdad y también se demuestra que no se puede demostrar que son indemostrables y por lo tanto no constituye un problema pendiente para la investigación en lógica matemática.

Investigación en tecnologías físicas; se orientan a los campos que dependen de la física, la química y la biología, entre estas tenemos:

a) Las ingenierías, métodos como el cálculo de resistencia de materiales y

b) Otras no llamadas tecnologías pero que lo son, como la medicina en lo que respecta a tratamiento médico o técnicas quirúrgicas, que son actividades fundadas en disciplinas teóricas producidas por la investigación empírica como la fisiología, la patología, la parasitología, la bioquímica, la física, etc.

Investigación en tecnologías sociales; comprende:

a) El campo de la pedagogía en métodos de dirección del aprendizaje, como son la educación programada, los métodos globalizados, los métodos para la enseñanza de una segunda lengua, etc.

b) La propaganda, las diferentes técnicas de administración ,etc.

Estas tecnologías tienen su fundamento en el resultado de la psicología del aprendizaje, la sociología y sus ramas, la antropología, la lingüística, la economía, etc.

Investigación en tecnologías formales; incluye los campos de la programación de computadoras, el análisis de sistemas y los métodos en su conjunto forman lo que se llama la investigación operativa. Aquí se desarrollan las tecnologías algorítmicas, que se fundamentan en teorías matemáticas, en donde los métodos de cálculo son posible. La base de esta


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investigación son la teoría de la probabilidad, la teoría de grafos, la teoría de juegos, el álgebra lineal, el álgebra de Boole, la lógica proposicional, etc.

Cabe mencionar que las diversas ramas de la matemática son la base de las tecnologías formales y también son medios de expresión de la física, química y otras ciencias teóricas de carácter empírico que son decisivas en otras tecnologías como las ingenierías.

La Cibernética es un tipo de investigación teórica de carácter interdisciplinario y sirve de sustento a diversas tecnologías. Ha permitido avances en el conocimiento de los mecanismos o canales de información, que han generado tecnologías para la construcción y perfeccionamiento de redes telefónicas o sistemas de radiodifusión; de igual manera ha permitido el aumento del conocimiento de las redes neuronales y también de los mecanismos de aprendizaje en el hombre y en el animal. Gracias a estas investigaciones se ha perfeccionado tecnologías como la del diseño de computadoras, la de construcción de mecanismos para reemplazar órganos en circunstancias especiales, elaboración de esquemas organizacionales, etc. La cibernética fundamenta tecnologías de diversos tipos, por su carácter multidisciplinario.

ASPECTOS DE LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA

La investigación científica es un proceso complejo a través del cual se producen los conocimientos científicos; los aspectos de este proceso son de carácter interno y externo.

Aspectos epistémicos; son mecanismos lógicos para expresar y desarrollar el pensamiento científico; es todo lo que se relaciona con las condiciones formales y de contenido para establecer la verdad científica.

El análisis de la naturaleza y validez de las inferencias que se hace para confirmar o rechazar una hipótesis, forma la lógica de la investigación. El estudio de la verdad científica y de su fundamento objetivo es de carácter semántico, pues analiza la


HISTÓRICOS CULTURALES ECONÓMICOS RAZONAMIENTO CIENTÍFICO

VERDAD CIENTÍFICA

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ASPECTOS

INTERNOS EXTERNOS

A. EPISTÉMICOS A. SOCIALES A. PSICOLÓGICOS

LÓGICA METODOLOGÍA

CONDICIONANTES

IRRELEVEANTES


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función que cumple la observación y la experimentación en la decisión de la verdad de una proposición.

Los asuntos metodológicos también se encuentran aquí porque el método científico es un conjunto organizado de reglas metódicas que asegura que el proceso de indagación satisface la verdad y su transferencia, que es establecida por la lógica de la investigación.

Aspectos externos; influyen sobre los aspectos internos, pudiendo orientarla en un sentido u otro. Son de dos tipos: sociales y psicológicos:

Aspectos sociales, están formados por condicionantes históricos, culturales y económicos.

Las circunstancias históricas condicionan a la investigación en el sentido de que los acontecimientos dominantes de cierta época favorecen el desarrollo de ciertos sectores del conocimiento y a no estimular u obstruir el de otros; por ejemplo la física atómica avanzó velozmente en los años previos a la segunda guerra mundial; otro ejemplo es el estudio de los mecanismos de retroalimentación cuando se hizo latente la necesidad de un cañón capaz de apuntar certeramente a los aviones japoneses mediante la corrección automática de sus disparos defectuosos.

Los elementos culturales condicionan la investigación en el sentido de que las ideas, creencias y valores de una sociedad propician el avance de ciertos sectores del conocimiento y obstaculizan el de otros; ejemplo de ello son las ideas de la teología medieval, de origen aristotélicos, que rechazaron las ideas astronómicas de Copérnico y Galileo; otro ejemplo es la tesis psicoanalista de Freud y la teoría de la evolución de Charles Darwin que se enfrentaron a prejuicios religiosos de su época. Un ejemplo actual es el pensamiento mágico en tribus de diferentes lugares del mundo en donde su cultura es incompatible con el estilo de pensamiento racional necesario para el desarrollo de la ciencia, esto es un obstáculo para que estas comunidades puedan interactuar con las sociedades tecnocientíficas.

Los aspectos económicos condicionan claramente, con mayor énfasis en la actualidad que en otras épocas, a la investigación; el desarrollo de los proyectos o programas de investigación no se pueden efectuar si no se cuenta con un financiamiento adecuado; la investigación en física, química, bioquímica, biología, etc., requiere de equipos costosos que sólo se realizan completamente en países desarrollados. Los organismos e instituciones financieras sólo apoyan investigaciones que podrían tener interés para sus inversiones, así se estimula el avance de unos sectores del conocimiento y se desatiende aquellos que no se consideran rentables.

Aspectos psicológicos, están formados por aquello que pertenece a la experiencia interna del investigador, son factores subjetivos e irrelevantes para el establecimiento de la verdad científica. El entusiasmo, las angustias, las motivaciones o su estado de lucidez u oscuridad mental del investigador son ajenos al establecimiento de la verdad o falsedad de una proposición. De igual manera se encuentra las creencias del investigador, puede creer que la proposición que el formula es verdadera sin que esto sea relevante para establecer su validez.

Una de las características de la ciencia es su carácter ínter subjetivo, es decir que toda proposición científica puede ser trasmitida de una persona a otra y siempre es posible decidir objetivamente su verdad. Contrario a esto, los procesos y estados psicológicos son intransferible, es decir toda descripción que haga una persona de su experiencia interna a otra persona, esta última no puede establecer su validez. Estos procesos y estados pueden ser estudiados por disciplinas que formulan descripciones recurriendo a indicadores que son accesibles a cualquier observador y hacen posible hacer referencias que permiten conjeturar sobre la naturaleza de lo que no es directamente observable.


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CONCEPCIÓN DE LAS IDEAS

Para investigar siempre es necesario tener una idea, que puede resultar de la satisfacción de una curiosidad o de querer solucionar un problema, preferentemente de la región en donde uno se encuentra.

Las investigaciones se originan de ideas, ya que es el primer acercamiento a la realidad que se investigará y para ello existe una gran variedad de fuentes:

• Observación de hechos naturales, sociales o artificiales.

• Experiencias individuales.

• Material escrito.

• Investigaciones anteriores.

• Teorías y creencias.

• Conversaciones.

• Presentimientos.

Al principio son vagas y requieren de análisis para convertirlas en planteamientos precisos y estructurados. Una buena idea de investigación debe ser novedosa, en la gran mayoría de los casos debe mejorar o hacer mucho más funcional lo que ya existe; si revisamos fuentes bibliográficas, analizamos aspectos que tienen relación con nuestra idea o conversamos con profesionales o expertos, nos ayudará a estructurar y precisarla mucho mejor.

Cada vez que se hace un trabajo de investigación, siempre trae consigo el planteamiento de nuevos problemas que se presentan, aquí también hay una muy buena fuente de ideas y tareas más amplias para el investigador.

Es muy importante seleccionar la perspectiva desde donde se abordará la idea de investigación; a pesar de eso siempre se tocarán temas que se relacionan con otros campos, que serían nuevas fuentes para investigar.

Las buenas ideas:

• Producen intrigas, aliento y motivación en el investigador.

• Son novedosas aunque no necesariamente nuevas.

• Pueden servir para elaborar teorías y la solución de problemas.

Una vez que se tiene en claro lo que se quiere investigar, hay que observar y describir el hecho que es objeto de estudio, sin alterar sus condiciones naturales, es decir de manera contemplativa; esto va ha hacer que induzca una pregunta sobre el mismo.

Por ejemplo: se puede dejar caer un vaso de agua y observar como se hace añicos en el piso. Esta observación puede inducirle la pregunta, "¿Porqué se cayo el vaso?" u otro ejemplo más sistemático sería que queremos estudiar el crecimiento de una planta desde su origen, la semilla. Éste dependerá de varios factores, tipo de semilla, tipo de agua de riego, humedad, tipo de tierra, fertilizante, temperatura, sol, presión atmosférica, etc.

La observación configura la base de conocimiento de toda ciencia y, a la vez, es el procedimiento empírico mas generalizado de conocimiento. Mario Bunge reconoce en el proceso de observación cinco elementos:

a. El objeto de la observación

b. El sujeto u observador

c. Las circunstancias o el ambiente que rodean la observación

d. Los medios de observación

e. El cuerpo de conocimientos de que forma parte la observación


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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La Investigación Científica, esencialmente es una indagación que fundamentalmente pretende solucionar problemas; si no existieran problemas no tendría sentido hablar de investigación.

Identificar y formular los problemas simples, resolubles y significativos con bastante precisión no es sencillo; en la realidad abundan problemas capaces de ser investigados, la dificultad consiste en saber localizarlos. Albert Einstein dijo: “La formulación de un problema es muchas veces más importante que la solución, la cual puede ser meramente una cuestión de habilidad matemática o experimental. Hacer nuevas preguntas y considerar nuevas posibilidades para enfocar viejos problemas desde un nuevo ángulo requiere imaginación creadora y señala el verdadero progreso de la Ciencia”.

Muchas veces se confunde problema con dificultad; un problema que no es relevante se le llama rutinario , es el mismo que se da en los libros de matemática por ejemplo, que sirven para afianzar un aprendizaje; este es una dificultad conocida para la que hay soluciones conocidas. Este no sería un problema para la investigación científica, pero sí para un alumno por sus limitaciones propias en conocimientos e investigación.

Un problema es aquella situación en donde se puede determinar las características de una dificultad para la que no existen medios conocidos ni inmediatos de solución. Ejemplo de ello son los cuestionamientos de las teorías científicas, ya que tienden a perder su condición de buenas soluciones en el tiempo, así se determina la necesidad de investigar para hallar respuestas mejores. Es por esta razón que plantear problemas es tan importante como su solución.

El Dr. Luis Piscoya afirma que un problema bien formulado debe de cumplir las siguientes condiciones:

a) Debe de tener una solución previsible, hay que saber que clase de solución se va ha aceptar, de lo contrario no se podría identificarla aunque se encontrara, por ejemplo: una demostración matemática, un determinado efecto experimental, el cumplimiento de una predicción sobre acontecimientos naturales, etc.; todo esto para confirmar o refutar una hipótesis.

b) Deben de quedar determinados explícitamente todos sus elementos relevantes (propiedades), llamadas variables, que se encuentran en el problema y así poder determinar las incógnitas para formular las preguntas de investigación, que pueden ser: ¿Quién ...?, ¿Dónde ...?, ¿Por qué ...?, ¿Cómo ...?, ¿Cuál ...?, ¿Cuál es el valor de ...?, etc.

c) Toda pregunta que expresa un problema está dentro de un marco teórico que está formado por enunciados válidos que se llaman presuposiciones o presupuestos. Por ejemplo la pregunta ¿Cuáles son las causas de los conflictos entre las clases sociales? tiene sentido si se acepta que hay clases sociales definidas y que se producen conflictos entre ellas, caso contrario sería un despropósito la pregunta entre entidades que no existen o puede aceptar que hay clases sociales pero considera que no hay que presuponer que están en conflicto.


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Aquí también queremos distinguir dos tipos de problemas:

TIPOS DE PROBLEMAS

P. TEORÉTICOS P. TECNOLÓGICOS

SOLUCIÓN PREVISIBLE

HIPÓTESIS

HECHOS MEDIOS LÓGICOS

CIENCIAS

EMPÍRICAS CIENCIAS

FORMALES

REGLAS TÉCNICAS

CONSEGUIR HACER

ALGO

o

son

la

es una son

la

CONFIRMADA DEMOSTRADA

por por

para las para las

para

Formulación inicial

del problema

Solución

Previsible

Variables bien

definidas

Presupuestos

explícitos

Presupuestos

verdaderos

Problema bien

formulado o

bien definido

Problema mal

formulado o

mal definido

Tomado del libro: “Investigación Científica y Educacional” de Luis Piscoya Hermoza. 1987

SI

SI

SI

SI

NO

NO

NO

NO

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA


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Estos se distinguen en que los problemas teoréticos se basan en la verdad o falsedad

de las hipótesis y los tecnológicos en la eficacia con que se logra algo. Muchas veces un problema tecnológico requiere que se solucionen problemas teoréticos y viceversa; una investigación no enfrenta problemas aislados sino relacionados entre sí, formando, lo que Mario Bunge llama, “sistema de problemas”. Por ejemplo la construcción de órganos artificiales, ha demandado la solución de problemas teoréticos en la inmunología, la química y bioquímica; de igual manera la solución de problemas teoréticos en física nuclear no habría sido posible si no se soluciona las dificultades técnicas de experimentación a través de la construcción del instrumental adecuado.

MARCO TEÓRICO

El investigador que plantea un problema, parte de ideas o informaciones previas, de algunos referentes teóricos y conceptuales, por más que aun no tengan un carácter preciso y sistemático. Debe de realizar una descripción del objeto, el cual debe ser objetivo y contener los rasgos relevantes de su estudio. Con todos estos medios teóricos, materiales y técnicos el investigador debe proceder a la descripción del objeto. El marco teórico es la abstracción de las propiedades más fundamentales del objeto de estudio y de sus interrelaciones para poder plantear sus hipótesis.

El marco teórico, marco referencial o marco conceptual da a la investigación una coherencia de conceptos y proposiciones que abordan el problema, y de la cual dependerá sus resultados. Pone en claro sus postulados y supuestos, asume los resultados de investigaciones anteriores y orienta el trabajo de un modo coherente. Su fin es el de ubicar el problema dentro de un conjunto de conocimientos, que orienta la búsqueda y ofrece una conceptualización adecuada de los términos que se utilizarán.

El punto de partida para construir un marco de referencia es el conocimiento previo de los fenómenos que abordamos, como también las enseñanzas que saquemos de una revisión bibliográfica que tenemos que hacer.

Por ejemplo: Si deseamos conocer las causas de la delincuencia juvenil, enfocaremos el tema desde diversos aspectos: el plano psicológico, psicosocial, económico, legal, etc. También será necesario enfocar la visión que tenemos de sociedad y de delincuencia juvenil (el fenómeno en estudio), porque la comprensión del fenómeno variará si se parte de apreciarlo como una conducta disfuncional (por ejemplo) que afecta a individuos impropiamente integrados a sus grupos de referencia o como una expresión de una contracultura que se origina en una crisis de valores de la sociedad existente.

En un trabajo de investigación necesariamente no se debe presentar una sección llamada "marco teórico", sino que se exponen sus características dentro de lo que se denomina "revisión bibliográfica" o "antecedentes". En otras ocasiones, cuando se trata de una investigación donde el marco referencial se reduce a algunas pocas proposiciones, éstas pueden insertarse al comienzo del trabajo, sin merecer una aclaración mayor, como por ejemplo estudios aplicados o de investigaciones que buscan extender conceptos bien conocidos o nuevos estudios.

El marco teórico responde a la pregunta: ¿qué antecedentes existen?, tiene como objeto dar a la investigación un sistema coordinado y coherente de conceptos, proposiciones y postulados, que permita obtener una visión completa del sistema teórico, sobre el conocimiento científico, que se tiene acerca del tema. Aquí se realiza la descripción y análisis de las investigaciones anteriores o de los antecedentes teóricos que llevan al planteamiento del problema.

En general, se podría afirmar que el marco teórico tiene como funciones:

Orientar hacia la organización de datos y hechos significativos para descubrir las relaciones de un problema con las teorías ya existentes.

Evitar que el investigador aborde temáticas que ya han sido investigadas o carecen de importancia científica.


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Guiar en la selección de los factores y variables que serán estudiadas en la investigación, así como sus estrategias de medición, su validez y confiabilidad.

Prevenir sobre los posibles factores de confusión o variables extrañas que potencialmente podrían generar sesgos no deseados.

Una vez que se ha seleccionado el tema y se ha establecido el problema, se debe realizar una lectura a fin de desarrollar el marco teórico de la investigación, teniendo en cuenta el problema que se va a investigar. Si hacemos referencia a ciertos artículos, o a consultar libros como si estuviéramos leyendo por placer, lo más probable es que obtengamos resúmenes muy extensos que comprendan la mayoría de los puntos de la lectura en cuestión o, por el contrario, pequeños resúmenes irrelevantes o ininteligibles. Para evitar esto se debe hacer:

Primero: tener siempre presente el problema que se va a investigar; así, si el libro que estamos consultando se refiere en general a la "toma de decisiones", y nuestro estudio es "la toma de riesgos", nos interesarán únicamente aquellos capítulos, fragmentos o frases relacionados con estos últimos.

Segundo: leer con sentido crítico; tanto para obtener aquella información importante para nuestra investigación, como para aprender de los errores teóricos o metodológicos de otros autores; así, evitaremos tener que descartar material que nos pareció importante durante su lectura, pero que más tarde consideramos repetitivo o irrelevante.

Por supuesto, existen diferencias entre los temas de investigación que hacen más o menos importante esta parte de la investigación, o que la convierten en una tarea fácil o dificultosa. En una investigación donde el objetivo fundamental es, por ejemplo, determinar el grado de adaptación de una determinada especie a una zona más desértica que la de su origen, los problemas del marco teórico pueden ser resueltos con bastante simplicidad; en cambio, estos problemas pueden ser esenciales y habrá que dedicarles el mayor esfuerzo intelectual y tiempo a un estudio que intentase determinar los valores que predominan en el sistema educativo; por ello, es recomendable que el investigador, al comenzar a estudiar su tema, trate de poner al día sus conocimientos por medio de una sistemática y amplia consulta bibliográfica.

FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS

La hipótesis es uno o varios enunciados que pretenden dar respuesta a las preguntas que expresan problemas (explicaciones anticipadas), nos permiten vislumbrar su solución, es una respuesta “provisional” a un problema. También se dice que las hipótesis son suposiciones o conjeturas acerca de la solución de un problema y que hacemos en base a las observaciones y conocimientos que tengamos de los hechos que la originaron, es un intento de explicación.

La hipótesis es el eje fundamental en el proceso de la investigación, en ella se agrupa el contenido lógico y el conocimiento que aporta el marco teórico para la interpretación del problema.

Toda hipótesis se compone de dos partes: la base o cimiento y el cuerpo o estructura.

El cimiento de una hipótesis, es aquella parte que se encuentra conformada por conocimientos ya probados en los cuales se apoya el marco teórico.

El cuerpo de una hipótesis, es aquella que constituye la explicación supuesta, la estructura de las relaciones, se caracterizan porque se edifica sobre el cimiento de la hipótesis y del marco teórico.

La estructura sintáctica o forma lógica de una hipótesis, depende del tipo de pregunta que se pretende responder.

Las hipótesis se clasifican en dos grandes grupos: hipótesis causales y de covariación.


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Las primeras se utilizan en las llamadas investigaciones causales o explicativas (ver

addenda 01) y se caracteriza porque su forma lógica es de tipo condicional (Si ......., entonces ........). Ejemplo, la ley de Ohm: “Si una fuerza electromotriz (causa) es aplicada a un circuito, entonces siempre mantiene una corriente eléctrica de intensidad constante (efecto) que es

directamente proporcional a ella” ( iRe ). Toda hipótesis causal es de forma lógica

condicional, pero no todo enunciado condicional es una hipótesis causal; ejemplo: “Si un número es múltiplo de dos, entonces es par”, no es una hipótesis causal porque no se refiere a hechos u objetos de la realidad física.

Las segundas se usan en las denominadas investigaciones de covariación o correlacionales (ver addenda 01); no dan una explicación en términos de causa y efecto, sino de asociación entre propiedades, el por qué es un problema para otras investigaciones, ya que escapa al ámbito de esta hipótesis. Valga la aclaración que aquí se diferencian las propiedades como variable independiente y variable dependiente; matemáticamente se expresa: y = f(x), a cierto valor de la propiedad “x”, le corresponde un determinado valor a la propiedad “y”. Ejemplo: “Existe una relación inversa entre un cierto nivel de escolaridad (v. independiente) y el grado de pasividad y dependencia de la personalidad (v. dependiente) del poblador rural peruano dentro de una estructura de dominación tradicional en proceso de cambio”. Aquí se trata de investigar la relación entre ambas variables que es de variación conjunta (covariación); la investigación son las conjeturas de la causa de la covariación entre las variables.

Existe una conexión lógica de deductibilidad entre los términos de una hipótesis. Las hipótesis que son del tipo de esquema “Existe una relación R entre ... y ...” se pueden expresar en términos del esquema “Si ..., entonces ...”; la diferencia entre una hipótesis causal y otra de covariación no radica en su estructura lógica sino en su contenido significativo. Para poder diferenciar estas hipótesis debemos analizarla y aclarar si se está respondiendo a un ¿Por qué ...? o a un ¿Cuál es la relación entre ... y ...?

CLASES DE HIPÓTESIS

H. CAUSALES H. DE COVARIACIÓN

¿POR QUÉ ......? ¿CUÁL ES LA RELACIÓN ENTRE ... Y ...?

RELACIÓN CAUSAL RELACIÓN DE FUNCIONALIDAD

responden a responden a

expresan una expresan una

FENÓMENOS O PROCESOS

CAUSA Y EFECTO

PROPIEDADES

UNIVERSO

entre entre

llamados de un


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Como afirmamos anteriormente existe una conexión lógica de deductibilidad entre los

términos de una hipótesis, que consiste en que a partir de un hecho se deduce o infiere otro hecho que se dará de un modo determinado, llamadas:

Cuando en una determinada situación se conocen los términos del punto de partida de la inferencia (variable independiente o causa), es posible predecir por medios lógicos el término de la misma (variable dependiente o efecto); esto le da a las hipótesis un carácter predictivo

En una hipótesis debe tener sentido hacer conjeturas sobre conexiones entre sus variables, que no es otra cosa que interpretaciones de la realidad; sólo así estará bien formulada. Por ejemplo: ¿cuál es el nivel de escolaridad de una determinada región?, aquí no tiene sentido responder con una hipótesis, lo que está pidiendo es una recolección de datos; no se trata de una investigación descriptiva, porque no existe una hipótesis que se contraste con la realidad.

La hipótesis cumple varias funciones:

Una función teórica, amplía y generaliza los conocimientos, es así porque las hipótesis sirven como instrumentos de conocimiento del objeto, de sus relaciones y leyes esenciales.

Una función práctica, obtiene resultados comprobados en la práctica, sirve también como método para comprobar su correspondencia con la realidad.

Delimita el problema que se va a investigar según algunos elementos tales como el tiempo, el lugar, las características de los sujetos, etc.

En conclusión podemos afirmar que:

Toda hipótesis debe estar apoyada en conocimientos probados y comprobados.

Toda hipótesis debe estar relacionada de manera clara, precisa y objetiva con el marco teórico del objeto de la investigación.

V. INDEPENDIENTE V. DEPENDIENTE

CAUSA EFECTO

(Para las hipótesis de covariación)

(Para las hipótesis causales)

HIPÓTESIS

TRADUCEN

ESTRUCTURA LÓGICA CONDICIONAL

se

como una

una

para las para las

EXPRESAN

que

una

COVARIACIÓN DE PROBABILIDAD RELACIÓN ESTABLE

HIPÓTESIS CAUSALES HIPÓTESIS DE COVARIACIÓN


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Toda hipótesis no debe ser demasiado genérica, ni debe responder a casos particulares o aislados; debe ser aplicable a una clase de fenómenos.

Toda hipótesis debe estar lógicamente bien estructurada.

Una hipótesis, en cuanto a su alcance, debe tener el mismo alcance que el del problema planteado.

Toda hipótesis tiene que responder al objeto de estudio que está siendo investigado.

Toda hipótesis para que reciba la denominación de científica debe ser verificable.

Tiene que expresarse en lo posible mediante una frase.

Toda hipótesis necesariamente debe expresar una relación entre dos o más objetos.

VARIABLES, INDICADORES E ÍNDICES

Una vez que alcanzamos un conocimiento relativamente amplio del tema que se va a investigar, debemos dedicarnos a aislar, dentro del problema, los factores cualitativos y cuantitativos, más importantes que en él intervienen. Por ejemplo: si se trata de un problema de comercialización, los aspectos fundamentales que deberemos estudiar serán la oferta y la demanda, las motivaciones del consumidor, la distribución, la publicidad y otros factores semejantes. Gracias a estos factores, estaremos en condiciones de construir el marco teórico dentro del que se inserta el fenómeno de nuestro interés.

En aquellos casos en que sea posible llegar a un grado de aislamiento de los factores involucrados en el problema, resulta útil realizar un esquema de variables que nos permitirá organizar mejor nuestro marco teórico.

Una variable es cualquier característica o cualidad de la realidad que es susceptible de asumir diferentes valores, ya sea cuantitativa o cualitativamente. Es decir, que puede variar. Aunque para un objeto determinado pueda tener un valor fijo. Por ejemplo: una mesa; no puede ser, en sí, una variable. Pero, si nos referimos a la altura de una mesa, estamos en presencia de una variable. O sea, que esa cualidad de la mesa (la altura) puede asumir diferentes valores. No quiere decir que la altura de una mesa determinada deba variar, sino que el concepto genérico "altura de una mesa" puede variar de un caso a otro. Las variaciones puede también producirse para un mismo objeto, y no sólo entre diferentes objetos; por ejemplo: el caudal de un río. Una misma variable puede cambiar de acuerdo al espacio y al tiempo en que se ubique.

Por lo tanto, es importante, antes de iniciar una investigación, que sepamos cuáles son las variables que vamos a medir y la manera en que lo haremos. Es decir, las variables deben ser susceptibles de medición.

Luego de haber precisado los factores que intervienen en un problema, habremos obtenido un conjunto de variables relacionadas entre sí de maneras diferentes. Debemos entonces organizar estas relaciones de modo que podamos construir un esquema coherente que exprese el cuadro general del problema.

Una variable independiente es aquella que, dentro de la relación establecida, no depende de ninguna otra, aunque pudiera estar dependiendo de otra, si estudiáramos analizando otro problema. Muchas veces son condiciones manipuladas por el investigador a fin de producir ciertos efectos, como se explicará más adelante.

Una variable dependiente es aquella cuyos valores dependen de los que asuma otra variable.

Por ejemplo, si el investigador sostiene la hipótesis de que si administra una determinada droga a un grupo de niños, el grado de aprendizaje de éstos se incrementará. En este caso, la variable independiente estará representada por la droga manipulada por el experimentador, y la variable dependiente será el grado de aprendizaje de los niños.


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Cuando la variable independiente, puede ser manipulada (incrementada, reducida o suprimida) por el investigador se denomina variable experimental. Ejemplos:

a) Un antibiótico administrado en dosis diferentes (variable experimental) a pacientes para combatir una determinada infección, la variable dependiente sería la destrucción de la bacteria; aquí se podría establecer diferencias de mejora entre personas sometidas a diferentes tratamientos.

b) Un nuevo método de enseñanza de la matemática (variable experimental) aplicado a grupos que lo reciban todo el tiempo, otros en parte de su horario y otros que sigan de manera tradicional; aquí se establecerá diferencias entre los alumnos sometidos a diferentes tratamientos metodológicos.

Una variable se le puede llamar experimental cuando el investigador puede controlarla; cuando no puede, se le escapa de su domino porque está ligada al pasado y ya no se le puede llamar variable experimental. Ejemplo: “Existe una relación inversa entre un cierto nivel de escolaridad (v. independiente pero no experimental) y el grado de pasividad y dependencia de la personalidad (v. dependiente) del poblador rural peruano dentro de una estructura de dominación tradicional en proceso de cambio”.

El investigador no puede reducir ni incrementar la escolaridad, porque las personas ya habían concurrido a la escuela, es un hecho parte del pasado en el momento de su estudio, es inmodificable; estas investigaciones que analizan propiedades que son parte de hechos pasados se llaman ex post facto, estas tiene variable independiente pero no experimental.

Es normal que una variable no sólo afecte a otra más, sino a varias simultáneamente, así como que una variable dependiente sea influida por dos, tres o más variables independientes, entonces se estará ante varias hipótesis, objeto de distintas investigaciones.

El investigador debe de controlar su experimento para que los resultados que se obtengan se deban estrictamente a la variable experimental; pero no existe un control que elimine totalmente la influencia de elementos ajenos a la investigación, por lo que se debe analizar para identificar cuales son aquellas diferentes de la variable experimental que influyen en los resultados; a estas propiedades se les llama variables intervinientes y son inevitables en un trabajo de investigación.

Una variable es interviniente cuando es un factor que interviene entre dos variables, modificando o alterando las relaciones que existen entre esos dos elementos. Por ejemplo:

Variable A: alimentación que se recibe en la infancia (variable independiente no experimental).

Variable B: nivel de inteligencia posterior de la persona (variable dependiente).

Variable C: nivel socio - económico (variable interviniente que influye a A).

Conviene analizar si la variable interviniente aparece con anterioridad o posterioridad a la variable independiente, o si actúa como factor concerniente en la relación de variables.

Otro ejemplo sería: “Existe una relación inversa entre un cierto nivel de escolaridad (v. independiente no experimental) y el grado de pasividad y dependencia de la personalidad (v. dependiente) del poblador rural peruano dentro de una estructura de dominación tradicional en proceso de cambio (v. interviniente)”.

Las variables pueden ser definidas conceptual y operacionalmente. La definición conceptual es de índole teórica; mientras que la operacional da contenidos concretos a conceptos abstractos para poder efectuar en ellos mediciones correspondientes, indica que un cierto fenómeno existe, y lo hace especificando de manera precisa y, preferiblemente, en qué unidades puede ser medido dicho fenómeno, es decir que nos da las bases de medición y la definición de los indicadores.

Para operacionalizar una variable, es necesario partir de la definición conceptual que ya se ha elaborado y, si se trata de una variable compleja, de las dimensiones en que puede descomponerse la misma. Luego, revisando los datos y analizando los conceptos en profundidad, podremos encontrar cierto conjunto de indicadores que expresen el


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comportamiento de la variable estudiada, con lo que habremos llegado a la definición operacional de la misma.

La definición operacional de una variable es un enunciado de las operaciones necesarias para producir el fenómeno; una vez que el método de registro y de medición de un fenómeno se ha especificado, se dice que ese fenómeno se ha definido operacionalmente; aquí se van ha señalar los indicadores que van a servir para la realización del fenómeno que nos ocupa, es por esta razón que se deban utilizar términos con posibilidad de medición. En otras palabras, la operacionalización de las variables, de naturaleza cualitativa, tiene por objeto encontrar los indicadores a través de los cuales se expresa concretamente el comportamiento de las mismas.

Las definiciones operacionales son limitadas, permite que el investigador se acerque a los aspectos de la realidad a estudiar; siempre existe el peligro de fragmentar un concepto de tal forma que se aleje (o carezca de relevancia) respecto a su significado real, pero se aproximan a aspectos significativos de la realidad conceptual. También establecen un nexo entre los conceptos e hipótesis (1º nivel) y las observaciones, comportamientos y manipulación (2º nivel); el científico o investigador opera en estos dos niveles.

Para poder definir las variables operacionalmente (convertirlos en operativos, en manejables, a los diversos elementos que intervienen en el problema que se va a investigar), nos podemos basar en los indicadores, que constituyen el conjunto de actividades o características propias de un concepto. Por ejemplo, si hablamos de inteligencia, podemos decir que está compuesta por una serie de factores como la capacidad verbal, capacidad de abstracción, etc. Cada factor puede ser medido a través de indicadores. En otras palabras, los indicadores son algo específico y concreto que representan algo más abstracto o difícil de precisar.

No todos los indicadores tienen el mismo valor. Es decir, aunque haya varios indicadores para un mismo fenómeno, habrá algunos más importantes que otros, y por lo general cualquier indicador que se tenga está basado en una probabilidad de que realmente represente al fenómeno.

Algunos criterios para escoger los indicadores son:

Se debe tener el menor número de indicadores de una variable, siempre y cuando éstos sean realmente representativos de la misma.

Se deben poseer formas de medición específicas para cada indicador.

Hay que tener en cuenta que los indicadores sólo poseen una relación de probabilidad con respecto a la variable.

Un ejemplo bastante practico sería conocer si existen o no prejuicios raciales dentro de una población, para lo cual debemos de medirlos u observarlos si es que existen; pero como no pueden verse directamente para medirlos, como otros hechos físicos, lo conoceremos a través de sus manifestaciones, de hechos o acciones originados por dichos prejuicios raciales. Los indicadores serán la existencia o no de matrimonios interraciales, la distribución de los empleos entre personas de las diferentes comunidades étnicas, las restricciones al uso de elementos comunitarios, las actitudes que se expresan en el trato cotidiano, giros o formas empleados en el lenguaje coloquial y en los medios de comunicación, etc. Aquí elegiremos sólo los indicadores que estén vinculados más directamente con el aspecto que nos interesa, objeto de nuestra investigación, y que además sean más accesibles a los medios que disponemos para medirlos.

Otro ejemplo: la definición conceptual de migración dice que son los desplazamientos permanentes de la población, pero su definición operacional debe ser la misma idea pero que pueda permitir encontrar datos empíricos, que serían las diferencias entre los datos de los censos aplicados en los últimos años.

Para buscar y seleccionar indicadores se debe de tener mucha intuición y conocimiento sobre el tema, caso contrario la selección puede ser subjetiva e invalidar el trabajo teórico antes realizado; esta tarea es bastante práctica. Puede suceder que existen varios indicadores para una misma variable y resultar difícil seleccionar los más adecuados para hacer una buena


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descripción. También podría suceder que los indicadores no son fáciles de medir y se deben cambiar por otros menos fiables pero más asequibles para medirlos. De igual manera se podrían encontrar indicadores que no miden directamente la variable, sino algún aspecto colateral de menor importancia para el trabajo de investigación.

Supongamos que se desee evaluar el comportamiento de una variable para la cual se han encontrado varios indicadores que expresan los valores que asume en distintos objetos. Cada indicador, dará datos que deberán ser llevados a escalas adecuadas para ordenarlos; habrá que adoptar o construir una escala que cuantifique las observaciones realizadas.

Con los datos obtenidos se evaluará en cada escala el comportamiento de cada indicador. Esto no permite aun medir claramente la variable, se debe de llegar a un valor único, que exprese lo que en realidad ocurre con la variable. Para lograrlo, debemos sumar ponderadamente los valores de los indicadores, obteniendo un valor total que se denomina índice, y que es el que nos dará la información relevante sobre el problema en estudio.

Un número índice, como comúnmente se le llama, es una medida estadística, un indicador de los cambios relativos de una o más variables a través del tiempo, situación geográfica, ingreso o cualquier otra característica. Entre las principales aplicaciones de los números índice, está la de establecer comparaciones entre los indicadores de las diferentes zonas geográficas, profesiones, grupos étnicos etc. Una colección de números índices para diferentes años, lugares, etc.; se llama a veces serie de índices.

Los números índices se usan para hacer comparaciones. Por ejemplo, con los números índices podemos comparar los costos de alimentación o de otros servicios en una ciudad durante un año con los del año anterior, o la producción de arroz en un año en una zona del país con la otra zona. Aunque se usa principalmente en Economía e Industria; los números índices son aplicables en muchos campos. En Educación, por ejemplo, se pueden usar los números índices para comparar la inteligencia relativa de estudiantes en sitios diferentes o en años diferentes.

Muchos gobiernos elaboran números índice para predecir condiciones económicas o industriales, tales como: índices de precios, de producción, saláriales, del consumidor, poder adquisitivo, costo de vida y tantos otros.

Para no desviarnos mucho de nuestro tema, mostraremos el siguiente ejemplo:

Variable a medir: "Exposición a los medios de comunicación masivos".

Definición operacional: Intensidad del contacto que un grupo posee con los medios masivos de comunicación.

Indicadores: Como existen varios medios importantes de comunicación, se referirán al grado de exposición con respecto a cada uno de los medios. Después de un análisis del problema, el investigador llega a la conclusión de que los principales medios son: cine, radio, televisión y periódicos. Existen otros medios que también podrían ser incluidos, como la propaganda mural y las revistas, pero se decide dejarlos de lado porque parecen de menor importancia.

Designados estos cuatro medios de comunicación, habrá que especificar los indicadores:

Para el cine: frecuencia mensual de asistencia.

Para la radio: promedio de horas semanales en que se escucha.

Para la TV: promedio de horas semanales en que se ve.

Para los periódicos: promedio semanal de periódicos leídos.

Estos indicadores cumplen con la condición de ser factibles de medir y de que configuran la conducta respecto a cada caso. Ahora se deberá construir una escala de medición para cada indicador.

Para el cine podría ser tres posiciones: la de quienes no están expuestos para nada a la influencia del medio, la de quienes reciben una exposición media y la de quienes reciben un alto grado de influencia. Estas tres conductas deben ser traducidas cuantitativamente, buscando un equivalente entre los conceptos mencionados y las conductas correspondientes.


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CONCEPTOS CONDUCTAS VALORES ESCALARES

Exposición baja Va menos de una vez al mes 0

Exposición media Va de una a cuatro veces al mes 1

Exposición alta Va más de cuatro veces al mes 2

La escala podría tener más o menos posiciones, y las conductas equivalentes podrían

variar según como enfoquemos el problema. El criterio del investigador se debe basar en su experiencia sobre el tema y complementado con consultas a otros especialistas o con trabajos anteriores sobre el mismo problema.

Para cada medios de comunicación, se hará una tarea semejante:

PARA LA RADIO


No está expuesto (no escucha radio)

Menos de una hora semanal 0

Exposición débil (escucha esporádicamente)

De 1 a 3 horas semanales 1

Exposición media (escucha regularmente)

Más de 3 horas y menos de 10 horas semanales

2

Exposición alta (escucha frecuentemente)

Más de 10 horas semanales 3

PARA LA TV


No está expuesto Ve menos de 1 hora semanal 0

Exposición débil De 1 a 3 horas por semana 1

Exposición media De 3,1 a 10 horas semanales 2

Exposición alta De 10,1 a 20 horas semanales 3

Exposición muy alta Más de 20 horas por semana 4

PARA LOS PERIÓDICOS


No está expuesto Menos de un periódico leído por semana 0

Exposición débil De 1 a 4 periódicos semanales leídos 1

Exposición media De 5 a 8 periódicos semanales leídos 2

Exposición alta Más de 8 periódicos semanales leídos 3

Para encontrar el índice, debemos de realizar dos pasos más:

1º) IGUALAR LAS ESCALAS:

Para igualar las escalas conviene tomar un valor único, con el que haremos coincidir el máximo de cada una de ellas. Podría ser 100 que una escala muy práctica y no es otra cosa que un valor porcentual, los valores intermedios se calculan con una sencilla regla de tres simple. Entonces, la escala de exposición al cine, que tenía un máximo de 2 puntos, tendrá ahora un máximo de 100; su mínimo seguirá siendo el valor 0. El punto intermedio hallado será, proporcionalmente, de 50 en la escala.

Escala original 0 1 2

Escala equivalente 0 50 100

Para la radio y los periódicos, las proporciones serían:

Escala original 0 1 2 3

Escala equivalente 0 33 67 100

Para la televisión, tendríamos:


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Esc. Original 0 1 2 3 4

Esc. equivalente 0 25 50 75 100

2º) PONDERAR LOS INDICADORES:

Ponderar los indicadores, parte del hecho de que la influencia de cada medio de comunicación sobre la población es muy diferente. Por ejemplo, la influencia de la exposición a la TV es mayor que la que proporciona la radio, porque se trata de un medio no sólo auditivo sino también visual.

Ponderar significa pesar la influencia que cada indicador tiene con respecto a la variable. Se otorgará valores numéricos a los indicadores, de modo tal que reflejen la relación que existe entre ellos, dando a los indicadores que influyen más, valores mayores que a los que menos influyen, ejemplo:

INDICADOR COEFICIENTE DE PONDERACIÓN

Para el cine 3

Para la radio 4

Para la TV 10

Para los periódicos 7

Seguidamente escogemos una encuesta al azar de una persona que ha expresado que:

Va a cine 2 veces promedio por mes

Escucha 4 ó 5 horas de radio por semana

Ve unas 2 horas diarias de televisión (14 semanales)

Lee 1 periódico al día (7 semanales)

En primer lugar, ubicamos estas respuestas en los intervalos de la escala original, luego se convierten los valores originales de las escalas en sus correspondientes valores equivalentes y luego multiplicarlos por cada uno de los coeficientes de ponderación. Sumando estos valores, y dividiéndolos luego por la suma de los coeficientes de ponderación, obtendremos el valor ponderado total.

Medio Valor en la

escala original

Valores equivalentes

(A)

Coeficientes de ponderación

(B) (A) x (B)

Cine 1 50 3 150

Radio 2 67 4 268

TV 3 75 10 750

Periódicos 2 67 7 469

Totales - - 24 1 637

I = 1 637 / 24 = 68,2

El índice ponderado está expresando que, para la persona o promedio de personas considerados, existe un grado de exposición de 68,2 sobre un máximo posible de 100 y un mínimo posible de 0 puntos. Este valor diciendo que la exposición a los medios de comunicación masivos es de un 68% del máximo posible.

Un índice es la combinación de valores obtenidos por un individuo o grupo en cada uno de los indicadores propuestos para medir la variable. Es decir, un índice es el complejo de indicadores de dimensiones de una variable, el indicador total de una variable compleja.


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Más específicamente, los números índices miden el tamaño o la magnitud de algún objeto en un punto determinado en el tiempo, como el porcentaje de una base o referencia en el pasado

POBLACIÓN Y MUESTRA

Población o universo es el conjunto formado por elementos que concuerdan con una determinada serie de especificaciones a investigar. Toda investigación puede considerarse como una búsqueda de los datos apropiados que permitan resolver ciertos problemas de conocimiento. Estos datos son obtenidos a través de un conjunto de unidades que forman el universo relevante para la investigación.

Existen universos que resultan demasiado amplios para el investigador, pues éste no tienen ni el tiempo ni los recursos para abordar el estudio de cada una de las unidades que lo componen (el conjunto de ciudadanos de un país, la flora de una región o las innumerables galaxias). Para resolver este inconveniente, se acude a la operacionalización de la población que es la extracción de muestras para poder manejarlo y estudiarlo.

Población y muestra son términos relativos. Una población es un todo y una muestra es una fracción o segmento de ese todo, en una investigación se estudia muestras con el fin de describir poblaciones. El estudio de muestras es más sencillo que el estudio de la población completa, cuesta menos y lleva menos tiempo; además, el estudio de una población entera permite la aceptación de algunos elementos defectuosos o no representativos, por lo que el muestreo puede elevar el nivel de calidad.

Una población es un conjunto de todos los elementos que estamos estudiando, acerca de los cuales intentamos sacar conclusiones. Debemos definir dicha población de modo que quede claro cuándo un cierto elemento pertenece o no a la población.

Una muestra es una colección de algunos elementos de la población, pero no de todos. Cualquier grupo que cumple con los requisitos de la población, puede constituir una muestra, siempre y cuando el grupo sea una fracción de la población completa.

Sin embargo, no todas las muestras resultan útiles para llevar a cabo un trabajo de investigación. Lo que se busca al emplear una muestra es que, observando una porción relativamente reducida de unidades, se obtengan conclusiones semejantes a las que lograríamos si estudiáramos el universo total. Cuando una muestra cumple con esta condición, es decir, cuando nos refleja en sus unidades lo que ocurre en el universo, la llamamos muestra representativa. Por lo tanto, una muestra representativa contiene las características relevantes de la población en las mismas proporciones en que están incluidas en tal población. Sus conclusiones son susceptibles de ser generalizadas al conjunto del universo, aunque para ello debamos añadir un cierto margen de error en nuestras proyecciones.

Las muestras pueden ser clasificadas, en una primera división, en probabilísticas y no probabilísticas. En las muestras probabilísticas o aleatorias, la característica fundamental es que todo elemento del universo tiene una determinada probabilidad de integrar la muestra, y esa probabilidad puede ser calculada matemáticamente con precisión. En las muestras no probabilísticas ocurre lo contrario y el investigador no tiene idea del error que puede estar introduciendo en sus apreciaciones.

Muestras probabilísticas o aleatorias: los procedimientos más usuales para la obtención de muestras aleatorias son:

Azar simple. Este procedimiento se inicia confeccionando una lista de todas las unidades que configuran el universo, numerando correlativamente cada una de ellas. Luego, mediante cualquier sistema (tabla de números al azar, programas de computación), se van sorteando al azar estos números hasta completar el total de unidades que deseamos que entren en la muestra. De este modo, la probabilidad que cada elemento tienen de aparecer en la muestra es exactamente la misma. Si cada uno de los elementos que integran la población no tiene la misma posibilidad de ser elegido, se habla entonces de una muestra viciada. Este método nos garantiza una selección completamente aleatoria, pero resulta muy lento y costoso, pues nos obliga a elaborar listas completas de todas las unidades de


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interés, lo que a veces es sencillamente imposible. Por este motivo, sólo se emplea cuando los universos son relativamente pequeños. Este método no será adecuado si, por ejemplo, queremos sacar una muestra de todas las personas analfabetas que existen en un país. En cambio, si nuestra intención es extraer una muestra del universo de todos los alumnos que ingresan a una universidad en un determinado año, resultará muy adecuado.

Azar sistemático. También se requiere de un listado completo de las unidades que integran el universo en estudio. Luego se efectúan las siguientes operaciones:

1. Se calcula la constante K, que resulta de dividir el número total de unidades que componen el universo por el número de unidades que habrán de integrar la muestra:

K = N/n

Donde:

N = número total de unidades que componen e universo.

n = número total de unidades que integrarán la muestra.

2. Se efectúa un sorteo para elegir un número que sea inferior o igual al valor de K. Como primera unidad para integrar la muestra se elige aquella que, en la lista general, posea idéntico número de orden al sorteado. Si designamos con A este primer valor, la segunda unidad elegida será la que lleve el número A + K, la tercera corresponderá a A + 2K y así sucesivamente hasta llegar a A + (n – 1)K.

Supongamos un universo constituido por 2 800 elementos, del que deseamos obtener una muestra de 70 casos. Tenemos entonces:

N = 2 800

n = 70

K = 2 800 / 70 = 40

Ahora, mediante cualquier procedimiento, buscamos al azar un número entero cuyo valor figure entre los límites de 1 y 40. En este caso, el número elegido es el 32. Entonces, las unidades que pasarán a formar parte de la muestra serán las que lleven los siguientes números de orden:

1° unidad 32

2° unidad 32 + 40 72 3° unidad 32 + 80 112

.... 70° unidad 32 + 2760 2.792

Las ventajas y desventajas de este procedimiento son casi idénticas a la de las muestras al azar simple. Los procedimientos computacionales hacen mucho más fácil efectuar el sorteo de las unidades y no existe el riesgo de que la muestra quede sesgada por algún tipo de regularidad que no conocemos y que esté presente en el universo.

Muestras por conglomerados. Esta técnica tiene utilidad cuando el universo que se requiere estudiar admite ser subdividido en universos menores de características similares a las del universo total. Se procede a subdividir el universo en un número finito de conglomerados y, entre ellos, se pasa a elegir algunos que serán los únicos que se investigarán; esta elección puede realizarse por el método del azar simple o por el del azar sistemático. Una vez cumplida esta etapa, puede efectuarse una segunda selección, dentro de cada uno de los conglomerados elegidos, para llegar a un número aún más reducido de unidades muestrales. La ventaja de esta técnica es que obvia la tarea de confeccionar el listado de todas las unidades del universo. Su desventaja mayor radica en que, al efectuarse el muestreo en dos etapas, los errores muestrales de cada una se van acumulando, lo que da un error mayor que para los métodos anteriores. La técnica de


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conglomerados suele utilizarse cuando queremos extraer muestras de los habitantes de un conjunto geográfico amplio, por ejemplo, una gran ciudad o un conjunto de pueblos, por lo que se procede a tomar cada pueblo o grupo de manzanas como un conglomerado independiente; del mismo modo, se la utiliza para conocer las reservas forestales y marinas, para estudiar las estrellas y otros casos semejantes.

Muestras estratificadas. Este método supone que el universo puede desagregarse en sub – conjuntos menores, homogéneos internamente pero heterogéneos entre sí. Cada uno de estos estratos se toma luego como un universo particular, de tamaño más reducido, y sobre él se seleccionan muestras según cualquiera de los procedimientos anteriores. Por ejemplo, si quisiéramos estudiar las actitudes políticas de los estudiantes de una universidad, podríamos subdividir en estratos de acuerdo con el tipo de estudios que cursen, suponiendo que estas actitudes van a ser diferentes entre quienes siguen Ingeniería, Letras, Medicina u otras carreras. Luego, efectuaríamos un muestreo dentro de cada sub – universo así definido para, finalmente, realizar un análisis integrando los resultados de todas las sub – muestras.

Tanto en el muestreo estratificado como en el de conglomerados, la población se divide en grupos bien definidos. Usamos el muestreo estratificado cuando hay una amplia variación entre los grupos. Usamos el muestreo por conglomerados en el caso opuesto: cuando hay una variación considerable dentro de cada grupo, pero los grupos son esencialmente similares entre sí.

Muestras no probabilísticas: las muestras no probabilísticas más usadas son:

Muestra accidental. Es aquella que se obtiene sin ningún plan preconcebido; las unidades elegidas resultan producto de circunstancias fortuitas. Si entrevistamos a los primeros 50 transeúntes que pasan por cierta calle o medimos la profundidad del mar a lo largo de un trayecto entre dos puntos cualesquiera, estaremos en presencia de una muestra accidental; los datos obtenidos podrán o no representar al universo en estudio. El investigador no puede saber hasta qué punto sus resultados podrán proyectarse, con confiabilidad, hacia el conjunto más amplio que desea conocer.

Muestra por cuotas. Consiste en predeterminar la cantidad de elementos de cada categoría que habrán de integrar la muestra. Así podemos asignar una cuota de 50 hombres y 50 mujeres a una muestra de 100 individuos, asumiendo que ésa es la distribución de la población total. Por más que esa presunción llegue a ser válida, no deja de existir cierta arbitrariedad en este modo de proceder, por lo que la rigurosidad estadística de las muestras por cuotas se reduce considerablemente.

Muestra intencional. Las unidades se eligen en forma arbitraria, designando a cada unidad según características que para el investigador resulten de relevancia. Se emplea, por lo tanto, el conocimiento y la opinión personal para identificar aquellos elementos que deben ser incluidos en la muestra. Se basa, primordialmente, en la experiencia de alguien con la población. Estas muestras son muy útiles y se emplean frecuentemente en los estudios de caso, por más que la posibilidad de generalizar conclusiones a partir de ellas, sea en rigor nula. En algunas oportunidades se usan como guía o muestra tentativa para decidir cómo tomar una muestra aleatoria más adelante.

Recordemos que la muestra descansa en el principio de que las partes representan al todo y refleja las características que definen a la población de la cual fue extraída, lo cual nos indica que es representativa. Es decir, que para hacer una generalización exacta de una población, es necesario tomar una muestra representativa. Por lo tanto, la validez de la generalización depende de la validez y tamaño de la muestra.

Cuando trabajamos con muestras, generalmente se presentan dos tipos de errores:

Error sistemático. Llamado de distorsión o sesgo de la muestra, se presentan por causas ajenas a la muestra:

Situaciones inadecuadas: se presentan, por ejemplo, cuando el encuestador tiene dificultades para obtener la información y la sustituye por la que más fácilmente está a su alcance, que no siempre es la más confiable.


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Insuficiencia en la recolección de datos: hay distorsión por falta de respuestas, o respuestas inadecuadas, ya sea por ignorancia o falta de datos relativos a los elementos incluidos. Distorsiones del encuestador causadas por prejuicios, interés personal o por fallas en la aplicación de instrumentos.

Errores de cobertura a causa de que no se han incluido elementos importantes y significativos para la investigación que se realiza.

Error de muestreo o muestral. Cualquiera sea el procedimiento utilizado y la perfección del método empleado, la muestra diferirá de la población. A esta diferencia se la denomina error de muestreo.

Cuando una muestra es aleatoria o probabilística, es posible calcular sobre ella el error muestral. Este error indica el porcentaje de incertidumbre, es decir, el riesgo que se corre de que la muestra elegida no sea representativa. Si trabajamos con un error calculado en 5%, ello significa que existe un 95% de probabilidades de que el conjunto muestral represente adecuadamente al universo del cual ha sido extraído.

A medida que incrementamos el tamaño de la muestra, el error muestral tiende a reducirse, pues la muestra va acercándose más al tamaño del universo. Del mismo modo, para una muestra determinada, su error será menor cuanto más pequeño sea el universo a partir del cual se la ha seleccionado. Así, para un universo de 10 000 casos, una muestra de 200 unidades tendrá un error mayor que una de 300; una muestra de 200 casos, por otra parte, tendrá un error mayor si el universo tiene 10 000 unidades que si éste posee solamente 2 000.

Para fijar el tamaño de la muestra adecuado a cada investigación, es preciso primero determinar el porcentaje de error que estamos dispuestos a admitir. Una vez hecho esto, deberán realizarse las operaciones estadísticas correspondientes para poder calcular el tamaño de la muestra que nos permite situarnos dentro del margen de error aceptado.

A veces, sin embargo, el tamaño de la muestra queda determinado previamente por consideraciones prácticas; en tales casos, no hay otra alternativa que aceptar el nivel de error que su magnitud acarree.

DATOS

Un dato es cada uno de los elementos de información que se recoge durante el desarrollo de una investigación y en base a los cuales, convenientemente sintetizados, podrán extraerse conclusiones en relación con el problema inicial planteado.

Cualquier información, por más pequeña y fragmentaria que sea, puede considerarse como un dato, siempre y cuando pueda colaborar de algún modo a esclarecer los problemas que nos planteamos en un estudio. Saber, por ejemplo, que una persona opina que las pruebas nucleares deben ser proscritas, es un dato. Esa información, por sí sola, carece prácticamente de valor, pues poco nos dice de las reacciones que despiertan las pruebas de armas atómicas en la gente. Pero el valor del dato reside no en su alcance individual, en lo que nos expresa por sí mismo, sino en su posibilidad de ser integrado en conjuntos mayores. Cuando agrupamos muchas informaciones de carácter similar, cada dato se hace valioso dentro de una perspectiva más amplia. Así, en nuestro ejemplo, si consultamos la opinión de muchas personas, podemos llegar a enunciar que un determinado tanto por ciento de ellas están en contra de los ensayos nucleares e integrar esa información, a su vez, en un estudio sobre las opiniones de determinado conglomerado social.

Las fuentes de datos pueden ser personas, situaciones o hechos que se observan directamente, o materiales bibliográficos de diversa naturaleza. Las llamamos unidades de datos y, a su conjunto, a la suma de todas las unidades, se le da el nombre de universo o población.

Los datos son colecciones de cualquier cantidad de observaciones relacionadas. Una colección de datos se conoce como conjunto de datos, y una sola observación es un punto de dato.


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Para que los datos sean útiles, necesitamos organizar nuestras observaciones, de modo que podamos distinguir patrones y llegar a conclusiones lógicas. Los especialistas en estadística seleccionan sus observaciones de manera que todos los grupos relevantes estén representados en los datos.

Los datos pueden provenir de observaciones reales o de registros que se mantienen para otros propósitos. Los datos pueden ayudar a los responsables de tomar decisiones a hacer suposiciones bien pensadas acerca de las causas y, por tanto, de los efectos probables de ciertas características en situaciones dadas. También el conocimiento de tendencias adquirido de la experiencia previa puede permitir estar al tanto de posibles resultados y actuar en consecuencia.

Cuando los datos son ordenados de manera compacta y útil, los responsables de tomar decisiones pueden obtener información confiable sobre el ambiente y usarla para tomar decisiones inteligentes. Los administradores deben tener mucho cuidado y asegurar que los datos utilizados están basados en suposiciones e interpretaciones correctas. Para ello, se utilizan las pruebas para datos:

1. ¿De dónde vienen los datos? ¿La fuente es parcial? ¿Es posible que haya un interés en proporcionar datos que conduzcan a una cierta conclusión más que a otras?

2. ¿Los datos comprueban o contradicen otras evidencias que se poseen?

3. ¿Hace falta alguna evidencia cuya ausencia podría ocasionar que se llegue a una conclusión diferente?

4. ¿Cuántas observaciones se tienen? ¿Representan a todos los grupos que se desea estudiar?

5. ¿La conclusión es lógica? ¿Se ha llegado a conclusiones que nuestros datos no confirman?

6. ¿Vale la pena usar los datos o debemos esperar y recabar más información antes de actuar?

PATRON SIGNIFICATIVO Y ORDENAMIENTO DE DATOS

Existen muchas formas de organizar los datos. Podemos sólo colectarlos y mantenerlos en orden; o si las observaciones están hechas con números, entonces podemos hacer una lista de los puntos de dato de menor a mayor según su valor numérico. Pero si los datos son trabajadores especializados o los distintos tipos de automóviles que ensamblan todos los fabricantes, debemos organizarlos de manera distinta. Necesitaremos presentar los puntos de dato en orden alfabético o mediante algún principio de organización. Una forma común de organizar los datos consiste en dividirlos en categorías o clases parecidas y luego contar el número de observaciones que quedan dentro de cada categoría. Este método produce una distribución de frecuencias.

El objetivo de organizar los datos es permitirnos ver rápidamente algunas de las características de los datos que hemos recogido: el alcance (los valores mayor y menor), patrones evidentes, alrededor de qué valores tienden a agruparse los datos, qué valores aparecen con mayor frecuencia, etc.

RECOMENDACIONES:

1. Al plantear un estudio estadístico, definir claramente la población objeto de análisis.

2. Si se trabaja con muestras, definir las condiciones que deben reunir antes de extraerlas.

3. Especificar qué se va a medir, las unidades a usar y la forma de registro.

La información obtenida, antes de ser organizada y analizada, se conoce como datos sin procesar puesto que aún no han sido tratados mediante ningún método estadístico.

La cantidad de datos más grande y los detalles más minuciosos pueden no contener la información más útil para la toma de decisiones administrativa. Una parte importante de la planeación de sistemas de información administrativa consiste en resumir y presentar los datos de modo que se pueda obtener la información crítica de manera rápida y sencilla.


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La ordenación de datos es una de las formas más sencillas de presentarlos, los forma en orden ascendente o descendente.

Ventajas:

1. Podemos notar rápidamente los valores mayor y menor de los datos.

2. Podemos dividir fácilmente los datos en secciones.

3. Podemos ver si algunos de los valores aparecen más de una vez en ese ordenamiento.

4. Podemos observar la distancia entre valores sucesivos de datos.

En ocasiones, un ordenamiento de datos no resulta útil. Debido a que da una lista de todos los valores, es una forma incómoda de mostrar grandes cantidades de datos.

Una forma en que podemos comprimir los datos es la tabla de frecuencias o distribución de frecuencias. Las distribuciones de frecuencias sacrifican algunos detalles, pero ofrecen nuevas perspectivas sobre los patrones de datos.

Una distribución de frecuencias es una tabla en la que los datos se organizan en clases, es decir, en grupos de valores que describen una características de los datos.

Una distribución de frecuencias muestra el número de observaciones del conjunto de datos que caen en cada una de las clases.

También podemos expresar la frecuencia de cada valor como una fracción o un porcentaje del número total de observaciones. Para obtener este valor, dividimos la frecuencia de esa clase entre el número total de observaciones del conjunto de datos. La respuesta se puede expresar como una fracción, un número decimal o un porcentaje.

La suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1,00 o a 100%. Esto es así debido a que una distribución de frecuencias relativas aparea a cada clase con su fracción o porcentaje apropiados del total de datos. Por consiguiente, las clases que aparecen en cualquier distribución de frecuencias, ya sean relativas o simples, son completamente inclusivas. Todos los datos caen en una u otra categoría. Las clases son mutuamente exclusivas, es decir, ningún punto de dato cae en más de una categoría.

En las distribuciones de frecuencias no aparecen clases que se sobrepongan.

Podemos, también, clasificar la información de acuerdo con características cualitativas, como raza, religión y sexo, que no entran de manera natural en clasificaciones numéricas. Como clases de atributos cuantitativos, éstas deben ser completamente inclusivas y mutuamente exclusivas.

La categoría "otros" se conoce como clase de extremo abierto cuando permite que el extremo inferior o el superior de una clasificación cuantitativa no esté limitado.

Los esquemas de clasificación pueden ser tanto cuantitativos como cualitativos y tanto discretos como continuos. Las clases discretas son entidades separadas que no pasan de una clase discreta a otra sin que haya un rompimiento. Los datos discretos son aquellos que pueden tomar sólo un número limitado de valores.

Los datos continuos pasan de una clase a otra sin que haya un rompimiento. Implican mediciones numéricas. Los datos continuos pueden expresarse con números fraccionarios o con enteros.

Las variables discretas son cosas que se pueden contar y las continuas son cosas que aparecen en algún punto de una escala.

Para construir una distribución de frecuencias debemos segur los siguientes pasos:

1. Decidir el tipo y número de clases para dividir los datos. De acuerdo con la medida cuantitativa o un atributo cualitativo. Necesitamos decidir cuántas clases distintas usar y el alcance que cada clase debe cubrir. el alcance total debe dividirse entre clases iguales, esto es, el ancho del intervalo, tomado desde el principio de una clase hasta el principio de la clase siguiente, necesita ser el mismo para todas las clases.


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El número de clases depende del número de puntos de dato y del alcance de los datos recolectados. Cuantos más puntos de dato se tengan o cuanto más grande sea el alcance, más clases se necesitarán para dividir los datos. Como regla general, los estadísticos rara vez utilizan menos de 6 y más de 15 clases.

Debido a que necesitamos hacer los intervalos de clase de igual tamaño, el número de clases determina el ancho de cada clase.

Ancho de los intervalos de clase = (valor unitario siguiente después del valor más grande

de los datos – valor más pequeño de los datos) / número total de intervalos

Debemos utilizar el siguiente valor más alto de las mismas unidades, ya que estamos midiendo el intervalo entre el primer valor de una clase y el primer valor de la siguiente.

2. Clasificar los puntos de dato en clases y contar el número de datos que hay en cada clase.

3. Ilustrar los datos en un diagrama.

Las gráficas dan los datos en un diagrama de dos dimensiones. Sobre el eje horizontal podemos mostrar los valores de la variable (la característica que estamos midiendo). Sobre el eje vertical señalamos las frecuencias de las clases mostradas en el eje horizontal.

Las gráficas de distribuciones de frecuencias simples y de distribuciones de frecuencias relativas son de utilidad debido a que resaltan y aclaran los patrones que no se pueden distinguir fácilmente en las tablas. Atraen la atención del que las observa hacia los patrones existentes en los datos. Las gráficas pueden también ayudarnos a resolver problemas concernientes a las distribuciones de frecuencias. Nos permitirán estimar algunos valores con sólo una mirada y nos proporcionarán una verificación visual sobre la precisión de nuestras soluciones.

Histogramas.

Un histograma consiste en una serie de rectángulos, cuyo ancho es proporcional al alcance de los datos que se encuentran dentro de una clase, y cuya altura es proporcional al número de elementos que caen dentro de cada clase. Si las clases que utilizamos en la distribución de frecuencias son del mismo ancho, entonces las barras verticales del histograma también tienen el mismo ancho. La altura de la barra correspondiente a cada clase representa el número de observaciones de la clase. Como consecuencia, el área contenida en cada rectángulo (ancho por altura) ocupa un porcentaje del área total de todos los rectángulos igual al porcentaje de la frecuencia de la clase correspondiente con respecto a todas las observaciones hechas.

Un histograma que utiliza las frecuencias relativas de los puntos de dato de cada una de las clases, en lugar de usar el número real de puntos, se conoce como histograma de frecuencias relativas. Este tipo de histograma tiene la misma forma que un histograma de frecuencias absolutas construido a partir del mismo conjunto de datos. Esto es así debido a que en ambos, el tamaño relativo de cada rectángulo es la frecuencia de esa clase comparada con el número total de observaciones.

Polígonos de frecuencias.

Son otra forma de representar gráficamente distribuciones tanto de frecuencias simples como relativas. Para construir un polígono de frecuencias señalamos éstas en el eje vertical y los valores de la variable que estamos midiendo en el eje horizontal. A continuación, graficamos cada frecuencia de clase trazando un punto sobre su punto medio y conectamos los resultantes puntos sucesivos con una línea recta para formar un polígono.

Se añaden dos clases, una en cada extremo de la escala de valores observados. Estas dos nuevas clases que contienen cero observaciones permiten que el polígono alcance el eje horizontal en ambos extremos de la distribución.


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Un polígono de frecuencias es sólo una línea que conecta los puntos medios de todas las barras de un histograma. Por consiguiente, podemos reproducir el histograma mediante el trazado de líneas verticales desde los límites de clase y luego conectando tales líneas con rectas horizontales a la altura de los puntos medios del polígono.

Un polígono de frecuencias que utiliza frecuencias relativas de puntos de dato en cada una de las clases, en lugar del número real de puntos, se conoce como polígono de frecuencias relativas. Este polígono tiene la misma forma que el polígono de frecuencias construido a partir del mismo conjunto de datos, pero con una escala diferente en los valores del eje vertical.

Ventajas de los histogramas:

Los rectángulos muestran cada clase de la distribución por separado.

El área de cada rectángulo, en relación con el resto, muestra la proporción del número total de observaciones que se encuentran en esa clase.

Ventajas de los polígonos de frecuencias:

Es más sencillo que su correspondiente histograma.

Traza con más claridad el perfil del patrón de datos.

Se vuelve cada vez más liso y parecido a una curva conforme aumentamos el número de clases y el número de observaciones.

Un polígono alisado mediante el aumento de clases y de puntos de dato se conoce como curva de frecuencias.

Ojivas.

Una distribución de frecuencias acumuladas nos permite ver cuántas observaciones están por encima de ciertos valores, en lugar de hacer un mero registro del número de elementos que hay dentro de los intervalos.

La gráfica de una distribución de frecuencias acumuladas se conoce como ojiva.

En ocasiones, la información que utilizamos se presenta en términos de frecuencias acumuladas "mayores que". La ojiva adecuada para tal información tendría una inclinación hacia abajo y hacia la derecha, en lugar de tener una inclinación hacia arriba y a la derecha.

Podemos construir una ojiva de una distribución de frecuencias relativas de la misma manera en que trazamos la ojiva de una distribución de frecuencias absolutas. Sólo habrá un cambio: la escala del eje vertical.

Del ordenamiento de datos podemos construir distribuciones de frecuencias. A partir de las distribuciones de frecuencias podemos construir distribuciones de frecuencias acumuladas. A partir de éstas podemos trazar una ojiva. Y de esta ojiva podemos aproximar los valores que tenemos en el ordenamiento de datos. Sin embargo, no podemos recobrar de manera normal los datos originales exactos a partir de cualquiera de las representaciones gráficas que hemos analizado.

Se utilizan los diagramas de barras, la diferencia con el histograma es que los rectángulos no se tocan entre sí; esto se debe a que, al ser la variable discreta, entre los valores sucesivos no hay valores intermedios.

Las frecuencias acumuladas se grafican por medio de una ojiva en forma de escalera, debido a que la frecuencia aumenta de a saltos.

RECOMENDACIONES:

Cuando se trabaja con muestras, recopilar el mayor número de datos posible.


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Usar 5 clases como mínimo y 15 como máximo para agrupar los datos, en función del número de datos disponibles.

Trabajar con intervalos de clase de igual longitud.

Tener cuidado con la clasificación automática que hacen los paquetes estadísticos.

Al calcular frecuencias relativas – como proporción – trabajar con cuatro dígitos después de la coma, para evitar errores de redondeo en la suma.

Al dibujar un gráfico, no exagerar la escala vertical u horizontal. Un gráfico desproporcionado complica su interpretación y puede resultar engañoso a simple vista.

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN

Una vez que el estudiante selecciona el tema de su trabajo de investigación, debe realizar un documento preliminar (proyecto de investigación), que sería una propuesta en donde especifica las características de la indagación que va a realizar, demuestra que está inmerso en el tema seleccionado, tiene una noción clara del problema que intenta resolver, que está bien informado sobre el mismo, y que tiene una idea de la importancia y aplicación (justificación) que tendrá su trabajo después de realizarlo. Basándose en el proyecto de investigación, el asesor podrá dar recomendaciones o sugerir nuevos planteamientos para autorizar al estudiante a desarrollar el mismo.

Generalmente este documento va antecedido de otro que es similar pero menos preciso que se elabora al comenzar la investigación, apenas se hayan definido sus principales características (anteproyecto); aquí se exponen las características del problema, su justificación, los objetivos de la investigación y las hipótesis a verificar si las hubiere.

El Dr. Raúl Ishiyama Cervantes, asesor de la feria escolar y universitaria del CONCYTEC, afirma: “La Investigación Científica no se enseña, lo que se enseña son las pautas y la metodología. Se aprende a investigar practicando. Lo mismo sucede con la formulación de proyectos”. En otras palabras quien debe realizar la investigación es el investigador o estudiante y no el asesor o profesor.

El Proyecto de Investigación debe incluir lo siguiente:

Título (El definitivo se pone al final)

Autor (es).

Asesor.

¿Qué se sabe actualmente sobre el tema elegido? (antecedentes, revisión literaria),

¿Qué provecho práctico se le puede sacar a su trabajo? ¿por qué se investiga? (justificación: importancia y aplicación), una vez que se ha seleccionado el tema de investigación, definido por el planteamiento del problema, y establecido los objetivos, se debe indicar las motivaciones que llevan al investigador a desarrollar el proyecto. Responde a la pregunta: ¿por qué se investiga?

¿Qué conocimientos teóricos se requiere para sustentar el mismo? (marco teórico), fundamentos teóricos, antecedentes del problema. Debe ser una búsqueda detallada y concreta, donde el tema y la temática del objeto a investigar tenga un soporte teórico, que se pueda debatir, ampliar, conceptualizar y concluir. Ninguna investigación debe privarse de un fundamento o marco teórico o de referencia. Estos fundamentos teóricos permiten presentar una serie de conceptos, que constituyen un cuerpo unitario y no un simple conjunto arbitrario de definiciones.

Lo que se va a estudiar (definición del problema), título descriptivo del proyecto, formulación del problema. Formular un problema es caracterizarlo, definirlo, enmarcarlo teóricamente. La caracterización o definición del problema nos lleva a otorgarle un título


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en el que de manera clara indiquemos los elementos esenciales. La formulación del problema es la estructuración de toda la información. Se debe sintetizar la cuestión proyectada para investigar a través de un interrogante.

Formulación de una generalización (hipótesis científica) basada en sus observaciones. Son probables soluciones. Es una proposición de carácter afirmativo enunciada para responder tentativamente a un problema. Toda hipótesis constituye un juicio, o sea una afirmación o una negación de algo.

¿Qué se intenta conseguir con el estudio o trabajo? (metas y objetivos), es el propósito de la investigación. Responde a la pregunta ¿para qué?. Un objetivo debe redactarse con verbos en infinitivo.

¿Qué materiales y estrategias se seguirán para desarrollar su trabajo? (metodología: diseño de técnicas de recolección, población y muestras, técnicas de análisis, índice analítico tentativo, guía de trabajo de campo).

¿Qué no será cubierto en el trabajo? (límites), es pertinente precisar los límites del problema, su alcance, para ello es necesario tener en cuenta la viabilidad, lugar, tiempo y financiación.

¿Qué se obtendrá al finalizar el trabajo? (resultados).

Calendario de actividades (planes) que se llevará a cabo para realizar el proyecto (cronograma: para realizar un trabajo disciplinado), es un plan de trabajo o plan de actividades, que muestra la duración del proceso investigativo.

Referencias Bibliográficas.

A medida que se va desarrollando la investigación, siempre aparecerán nuevos datos e

ideas que servirán para corregir y profundizar aún más nuestra investigación y finalmente elaborar el Informe de Investigación Científica, entonces ya deja de ser un Proyecto.

MÉTODO CIENTÍFICO

Toda investigación para que pueda llamarse científica debe emplear una estrategia general que es el Método Científico, en esto radica la unidad de las ciencias. El Método Científico es un conjunto ordenado de etapas que conducen al logro de un fin o meta, o al menos lo facilitan; en otras palabras es un proceso de producción de conocimientos científicos.

El Método Científico surge básicamente de dos necesidades:

La urgencia por comprender lo real, por encontrar explicaciones que den cuenta satisfactoria de lo acontecido.

La urgencia por dominar lo real.

Ante estas necesidades se genera un objetivo, que es el permanente incremento de nuestro conocimiento sobre la realidad, a esto se le llama conocimiento científico.

Para que se logre un incremento significativo del conocimiento científico, es necesario que las cuestiones sean relevantes, es decir que expresen problemas que no sean solucionables por la experiencia inmediata, porque su solución no eliminaría ninguna incertidumbre importante.

Por ejemplo, es cierto que se podría investigar científicamente si todas las mesas tiene cuatro patas o la probabilidad de que la próxima mesa que veamos tenga cuatro patas; como se verá este problema no es significativo o relevante para el incremento de nuestros conocimientos, por esta razón no existe una ciencia de las mesas o de los muebles; y decimos que dicho problema no es relevante porque su solución no elimina ninguna incertidumbre importante, ya que la cantidad de información que nos brindaría sería tan pequeña en comparación con el conocimiento científico actual.

Analice los siguientes ejemplos para entender sus etapas:


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1) Este simple ejemplo nos sirve para entender las etapas del método científico: al colocar en un balde con agua un vaso boca abajo, ésta no entra en el vaso.

Problema: ¿Por qué no entra el agua en el vaso?

Formulación de hipótesis: El vaso contiene aire, sustancia que impide la entrada del agua.

Contrastación de la hipótesis: Si el aire impide la entrada de agua en el vaso, debemos sacar el aire del vaso, sin modificar su posición inicial. Una forma sencilla es introducir un tubo acodado y aspirar con la boca el aire, el agua va entrando a medida que el aire es desalojado.

Confirmación de la hipótesis: El aire ocupa un lugar que no puede ser ocupado por otra sustancia.

2) Cuando se deja un trozo de manzana expuesto al medio ambiente por algún tiempo, la fruta se oscurece. El color marrón que presenta la fruta, se debe a la reacción del oxigeno del aire con algunas sustancias químicas que tiene la manzana. Luego el asunto es que los trozos de la manzana se oxidan.

Problema: ¿Cómo evitar en la casa, que los trozos de manzana que dejamos para luego, se oxiden?

Hipótesis 1: La oxidación es menor si evitamos el contacto del aire con la superficie cortada de la manzana.

Hipótesis 2: Hay productos químicos que previenen o evitan la oxidación.

Contrastación de la hipótesis 1: Obtenga ocho rodajas de una misma manzana. Deje una de ellas al aire como patrón de comparación. Las demás se deben aislar para que no tengan contacto directo con el aire. Para ello cubra una con papel de aluminio. Las restantes sumérgela por separado en cada uno de los siguientes materiales: cera, agua, manteca, miel, aceite y frasco con tapa.

Escriba sus observaciones y resultados después de una hora de iniciada la experimentación. Resuma las conclusiones. ¿Cuál es el mejor sistema para aislar los trozos de manzana y evitar su oxidación?

Divulgue sus conclusiones. Ellas le evitarán molestias a las amas de casa.

Contrastación de la hipótesis 2: Pruebe cubrir trozos de manzana con jugo de limón, vinagre, sal, azúcar y una solución de agua con una tableta de vitamina C.

Dejar expuesto al aire un trozo de manzana como control. Verifique y escriba sus resultados cada 15 minutos, durante varias horas. Ordene sus resultados y resuma las conclusiones. ¿Qué sustancia previene mejor la oxidación de la manzana?

Divulgue sus resultados. De ahora en adelante podremos guardar por algún tiempo trozos de manzana sin que se oscurezcan, gracias a sus investigaciones.

También se oscurecen otras frutas. Investigue cómo prevenirlo, de sus resultados dependerá que en un futuro podamos guardar parte de la ensalada de frutas del desayuno, para el almuerzo.


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En consecuencia el Método Científico es un proceso a través del cual se producen

conocimientos científicos significativos o relevantes. Tiene diversas etapas y se realiza a lo largo de toda la investigación.

Las etapas, más las pasos intermedios que a continuación se detallan, describen el proceso que siguen generalmente las actividades de investigación; pero también hay que tomar en cuenta las recomendaciones de los investigadores experimentados y los teóricos de la investigación en el sentido de que estas no deben considerarse normas rígidas ni infalibles a la hora de efectuar una investigación científica.

A. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA:

1. Concepción de la idea

a) Observación.

2. Planteamiento del problema

a) Objetivos

b) Preguntas de investigación (problematización)

c) Justificación

Formulación del problema

Formulación de hipótesis

Contrastación de hipótesis

La hipótesis es refutada La hipótesis es confirmada

Incorporación al cuerpo del conocimiento

Surgimiento de nuevos problemas

DIAGRAMA DE LAS ETAPAS DEL MÉTODO CIENTÍFICO

Adaptado del libro: “Investigación Científica y Educacional” de Luis Piscoya Hermoza. 1987


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3. Marco teórico

a) Revisión de literatura

• Detección

• Obtención

• Consulta

• Extracción

b) Construcción

4. Definir el tipo de investigación (ver addenda 01)

a) Exploratorios

b) Descriptivos

c) Correlacionales

d) Explicativos

B. FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS:

5. Establecer las hipótesis

• Detectar las variables

• Definir conceptualmente las variables

• Definir operacionalmente las variables

6. Seleccionar el diseño de investigación apropiado (ver addenda 02)

a) Experimental

b) No experimental

C. CONTRASTACIÓN DE HIPÓTESIS:

7. Selección de la muestra

a) Determinar el universo

b) Extraer la muestra

8. Recopilación de los datos

a) Elaborar el instrumento de medición y aplicarlo

b) Validar el instrumento de medición

c) Obtención de datos

d) Codificación de datos

e) Almacenar los datos en una archivo


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D. REFUTAR O CONFIRMAR LA HIPÓTESIS:

9. Analizar los datos

a) Seleccionar de las pruebas estadísticas

b) Elaborar el problema de análisis

c) Realizar el análisis

E. INCORPORACIÓN AL CUERPO DE CONOCIMIENTOS:

10. Presentar los resultados:

a) Elaborar y editar el informe

b) Presentar el informe

c) Publicar el informe

F. SURGIMIENTO DE NUEVOS PROBLEMAS:

Una vez contrastada la hipótesis y haber solucionado el problema planteado, la investigación no debe terminar allí, es una puerta abierta para que otros investigadores revisen los resultados y prueben la hipótesis avalada por la investigación. La solución de un problema siempre trae el planteamiento de nuevos problemas y tareas para un investigador.

La revisión de los resultados es una autocorreción del método científico, porque permite detectar deficiencias e introducir correcciones, lo que demanda con frecuencia reemplazar una hipótesis por otra; esto hace que la investigación científica sea provisional, en el sentido de que puede ser reemplazado por planteamientos que sean una mejor aproximación de lo real (realidad natural y social). La ciencia avanza con mayor seguridad cuando descarta hipótesis que cuando las confirma; el conocimiento científico también es provisional y perfectible debido a que ninguna hipótesis es definitivamente verdadera, caso contrario sería irrefutable, es decir que dejaría de ser una proposición superable para convertirse en un dogma; y lo que caracteriza a la ciencia es la ausencia de cualquier tipo de dogma

La investigación científica es un proceso en permanente perfeccionamiento y sujeto a revisiones indefinidas, lo que implica que las hipótesis de los hechos pueden ser reemplazadas por otras más consistentes; ejemplo de esto es la experiencia histórica que nos muestra la manera progresiva como la física de Aristóteles fue superada por la de Galileo y esta a su vez por la de Newton y, en el siglo XX, la de Einstein superó a la de Newton. La condición de que las hipótesis científicas son siempre refutables no es una debilidad de ellas, sino una virtud que las hace fecundas para que puedan incrementar el conocimiento científico.

Para poder detectar nuevos problemas a teorías ya demostradas, es necesario que el investigador tenga mucho talento, Mario Bunge da cuatro recomendaciones:

“a) Criticar soluciones conocidas, esto es, buscar puntos débiles en ellas: tienen que tener alguno, aunque no se hayan descubierto hasta el momento.

b) Aplicar soluciones conocidas a situaciones nuevas y examinar si siguen valiendo para éstas: si valen, se habría ampliado el dominio de esas soluciones; si no valen, se habrá tal vez descubierto todo un nuevo sistema de problemas.

c) Generalizar viejos problemas: probar con nuevas variables y/o nuevos dominios para las mismas.

d) Buscar relaciones con problemas pertenecientes a otros campos”.


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INFORME DE INVESTIGACIÓN Cuando “termina” la investigación, hay que presentar un Informe Final de Investigación.

En cuanto a cómo estará estructurado el trabajo, no hay una única regla; algunas universidades proveen un esquema básico que hay que respetar, otras dejan libertad para ello; aquí presentamos el esquema de la “Guía del participante” de la Feria de Ciencia y Tecnología del CONCYTEC, editado por el Dr. Raúl Ishiyama Cervantes.

A. INVESTIGACIÓN EXPERIMENTAL

1. Carátula

Además de los datos formales, debe destacar:

Área

Categoría (experimental)

Nombre del colegio, dirección, teléfono, fax, e-mail. Pueblo, ciudad, distrito, provincia y departamento (según corresponda).

Titulo de la investigación

Autor (es): Nombre y apellidos. Año de estudio. Dirección, teléfono, fax y e-mail.

Asesor: Nombres y apellidos, especialidad, dirección, teléfono, fax, e-mail.

Nota: De presentarse el caso que en una investigación participaron más de dos alumnos, en el informe debe figurar el nombre de todos los coautores.

2. Resumen:

Debe ser escrito en un solo párrafo de 25 líneas como máximo, a un solo espacio. Con una foto de la investigación y los autores.

3. Introducción:

Antecedentes de trabajos similares

Razón por la que realizó la investigación.

De dónde obtuvo la idea.

Descripción concisa del problema.

Hipótesis.

Objetivos generales. Objetivos específicos si lo hubieren.

Resultados

4. Materiales y Métodos

Descripción de los materiales y los métodos utilizados.

Modificaciones realizadas por el autor si ha tomado como modelo otro trabajo, mejorándolo.

Esquemas, dibujos y otros si es pertinente.


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5. Resultados

Descripción de los resultados.

Tablas, gráficos y/o fotografías.

6. Discusión

Comparación de los resultados con los de otros autores, publicados en revistas, libros, periódicos y otras publicaciones que se ha consultado para realizar la investigación.

7. Agradecimientos

A las personas

A las instituciones.

8. Conclusiones

Se obtiene de la discusión: el autor debe incorporar sus ideas, críticas y conclusiones con respecto al problema como al material recopilado.

Numerada en orden correlativo.

Costo

9. Referencias Bibliográficas

Incluir todas las referencias utilizadas en el trabajo consultadas en orden alfabético:

Para revistas: Apellidos, nombres. Título del artículo. Nombre de la revista, año de la publicación; número del volumen (número del fascículo): número de páginas.

Para Libros: Apellidos, nombres. Título del libro. Ciudad en donde se imprimió: Editorial; año de publicación.

Se debe tener en cuenta los signos de puntuación.

10. Addenda (=Anexo)

No es imprescindible. Se pone si fuera necesario colocar información referencial que no figura en el cuerpo del informe.

B. INVESTIGACIÓN DE RECOPILACIÓN DE INFORMACIÓN. MONOGRAFIA

1. Carátula

Además de los datos formales, debe destacar:

Área

Categoría (monografía)

Nombre del colegio, dirección, teléfono, fax, e-mail. Pueblo, ciudad, distrito, provincia y departamento.

Titulo de la investigación

Autor (es): Nombre y apellidos. Año de estudio. Dirección, teléfono, fax y e-mail.


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Asesor: Nombres y apellidos, especialidad, dirección, teléfono, fax, e-mail.

Nota: De presentarse el caso que en una investigación participaron más de dos alumnos, en el informe debe figurar el nombre de todos los coautores.

2. Resumen

Debe ser escrito en un párrafo de 25 líneas como máximo, a un solo espacio con una foto de la investigación y los autores

3. Introducción

Antecedentes de trabajos similares

Razón por la que realizó la investigación.

De dónde obtuvo la idea.

De qué se trata la investigación.

Importancia

Objetivos generales. Objetivos específicos si lo hubieren.

Qué dificultades (limitaciones se han presentado).

4. Resultados (Cuerpo de la monografía)

Redacción ordenada

Dividido en capítulos y subcapítulos si fuera necesario.

Métodos, técnicas y materiales utilizados.

Cuadros, figuras y/o fotografías.

A qué conclusiones ha llegado

Recomendaciones, si fuera necesario.

5. Agradecimientos

A las personas

A las instituciones.

6. Referencias Bibliográficas

Incluir todas las referencias consultadas para el trabajo, en orden alfabético:

Para revistas: Apellidos, nombres. Título del artículo. Nombre de la revista, año de la publicación; numero del volumen (número del fascículo): número de páginas.

Para Libros: Apellidos, nombres. Título del libro. Ciudad en donde se imprimió: Editorial; año de publicación.

Se debe tener en cuenta los signos de puntuación.

7. Addenda (=Anexo)

No es imprescindible. Se pone si fuera necesario colocar información referencial que no figura en el cuerpo del informe.


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ADDENDA 01 TIPOS DE INVESTIGACIÓN.-

Los autores Sellitz, Jahoda, Deutsch y Cook, 1965 ; Babbie, 1979 y otros los clasifican como:

Exploratorios

Descriptivos

Explicativos

La clasificación de Dankhe (1986):

Exploratorios

Descriptivos

Correlacionales

Explicativos

EXPLORATORIOS DESCRIPTIVOS CORRELACIONALES EXPLICATIVOS

Sirven para preparar el terreno

Se efectúan cuando el objetivo es examinar un tema o problema poco estudiado o que no ha sido abordado nunca antes.

Sirven para familiarizarnos con fenómenos relativamente desconocidos (por lo general determinan tendencias).

Buscan especificar las propiedades importantes de personas, grupos, comunidades u otro fenómeno sometido a análisis

Miden de manera independiente las variables pero no busca indicar cómo se relacionan.

Buscan medir con la mayor precisión posible

Mide el grado de relación que existe entre 2 ó más variables

Se pretende saber cómo se comporta una variable conociendo el comportamiento de otra que se sabe está relacionada.

Correlación puede ser + ó - (r)

Grado de relación (r2 )

Están dirigidos a responder a las causas de los eventos

Se centra en explicar por qué ocurre un fenómeno y en qué condiciones

Son más estructurados


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ADDENDA 02 DISEÑOS DE INVESTIGACIÓN.-

El diseño es una estrategia general de trabajo que el investigador determina una vez que ya alcanzado suficiente claridad respecto a

su problema y que orienta y esclarece las etapas que habrán de realizarse posteriormente.

Así, por ejemplo, si nuestra investigación teórica nos lleva a suponer que la esquizofrenia tiene un origen orgánico, tendremos que elaborar un método para poder comprobar si tal afirmación se corresponde o no con la realidad. Definir qué pruebas de laboratorio, qué observaciones y qué datos son los pertinentes para llegar a esa comprobación, es lo que llamamos elaborar un diseño. Es el momento metodológico de la investigación; en él, ya no se trata de definir qué vamos a investigar, sino cómo vamos a hacerlo.

Realizar el diseño de una investigación significa llevar a la práctica los postulados generales del método científico, planificando una serie de actividades sucesivas y organizadas donde se encuentran las pruebas que se han de efectuar y las técnicas que se van a utilizar para recolectar y analizar

CLASIFICACIÓN DE LOS DISEÑOS DE INVESTIGACIÓN.-

EXPERIMENTAL CUASI EXPERIMENTAL NO EXPERIMENTAL

Tiene básicamente los siguientes atributos:

Manipulación - investigador interviene y modifica la variable independiente

• el investigador interviene y modifica de alguna manera, cuando menos a algunos de los sujetos del estudio. • tratamiento o intervención a grupo experimental

Grupo Control - • el investigador introduce uno o más controles sobre la situación experimental, lo cual comprende el uso de un grupo control • grupo de comparación que no recibe el tratamiento o intervención

Se manipula la variable independiente, es decir, se introduce un tratamiento.

Carece de una de dos propiedades del diseño experimental, que son aleatoriedad y grupo control.

El Diseño Cuasi Experimental tiene: Ventajas

• Son prácticos • Brindan información útil para generalizar. • Se pueden llevar a cabo en ambientes naturales.

Desventaja

• Pueden surgir varias hipótesis rivales que compiten con la hipótesis de manipulación experimental en la explicación de los resultados

Es la investigación que se realiza sin manipular

deliberadamente variables. En esta investigación lo que se hace es observar fenómenos tal y como se dan en su contexto natural, para después analizarlos.

La investigación no experimental es cualquier investigación en la que resulta imposible manipular variables o asignar aleatoriamente a los sujetos o las condiciones (Kelinger, 1979).

Pueden ser:

1. Transversal • En los diseños de este tipo se recopilan datos en un solo momento, en un tiempo único. • Su propósito es describir variables, y analizar su incidencia e interrelación en un


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EXPERIMENTAL CUASI EXPERIMENTAL NO EXPERIMENTAL

Aleatoriedad en la muestra - • el investigador asigna los sujetos a un grupo control o experimental con base a procedimientos aleatorios • cada sujeto tiene la misma probabilidad de ser asignado

Pueden ser de tipo:

1. Experimental puro 2. Solomon 3. Factorial 4. Cruzados

El Diseño Experimental tiene: Ventajas • Método más poderoso disponible para probar las hipótesis acerca de las relaciones de causa y efecto entre las variables. • Permite inferir las relaciones causales entre fenómenos. Desventajas • Es poco práctico e imposible en algunas situaciones de investigación. • Requisitos de aleatoriedad y aplicación de tratamiento en los distintos grupos. • Efecto de “Hauthorne” el cual significa que las personas pueden cambiar su comportamiento al saber que participan en un estudio provocando cambios.

observados. momento dado. • Pueden ser de tipo:

1.1 Descriptivo 1.2 Correlacional

La Investigación descriptiva y correlacional tiene:

Ventajas • Constituyen un medio eficiente y efectivo para obtener una gran cantidad de datos acerca de un problema de interés. • Es realista y ofrece un atractivo intrínsico para la solución de problemas. • Rara vez suelen considerarse artificial. Desventajas • Resulta débil en su capacidad para poner al descubierto las relaciones causales. • Su objetivo no es dilucidar las relaciones de causa y efecto. • Pueden dar pie a interpretaciones fallidas, ya que se trabaja con grupos existentes.

2. Longitudinal • Se recopilan datos a través del tiempo en puntos y periodos especificados, para hacer inferencias respecto al cambio, sus determinantes y consecuencias • En este tipo de estudio el investigador tiene el interés de analizar cambios a través del tiempo en determinadas variables o en las relaciones entre éstas.

• Pueden ser de tipo: 2.1 Tendencia 2.2 Cohorte 2.3 Panel


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ADDENDA 03 TIPOS DE DISEÑOS DE INVESTIGACIÓN.-

EXPERIMENTAL NO EXPERIMENTAL

Diseño experimental puro • el investigador actúa como un agente activo y no como un observador pasivo. • el investigador puede tener una mayor confianza en la autenticidad e interpretación de las relaciones entre variables debido a que las ha observado bajo condiciones rigurosamente controladas Diseño de cuatro grupos de Solomon • Se escogen dos grupos control y dos grupos experimentales. • Se le administra pre-prueba a un grupo control y un grupo experimental. • Al otro grupo control y experimental no se le administra prueba. • Resulta posible discriminar los efectos de la prueba y los de la intervención. Diseño Factorial • Se manipulan dos o más variables de manera simultánea. • Permite probar múltiples hipótesis en un solo experimento. • Permite probar no solo los efectos principales, sino también la interacción entre las variables manipuladas. Mediciones Repetidas o Cruzados • los sujetos se asignan de manera aleatoria a diferentes secuencias de exposición a diversos tratamientos • dos grupos: control y experimental • grupos son homogéneos (edad, sexo, etc.)

1. Transversal:

Investigación descriptiva • tienen como objetivo indagar la incidencia y los valores en que manifiesta una o más variables • El propósito es observar, describir y documentar diversos aspectos de una situación que ocurre de modo natural y algunas veces proveer un punto de partida para la generación de hipótesis. Investigación correlacional (ex post facto) • describen relaciones entre dos o más variables en un momento determinado • Pretende comprender la relación entre fenómenos tal como ocurren espontáneamente, sin la intervención del investigador. • Se dificulta inferir relaciones causales como en los experimentos verdaderos, debido a que el investigador carece de control sobre las variables independientes. • La variable independiente ha ocurrido.

2. Longitudinal: De tendencia - analizan cambios a través del tiempo (en variables o sus relaciones), dentro de una población general De cohortes - examinan cambios a través del tiempo en subpoblaciones o grupos específicos. Su atención son los grupos de individuos De panel - similar a los anteriores pero el mismo grupo de sujetos es medido en todos los tiempos o momentos.


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ADDENDA 04

EJERCICIOS PRÁCTICOS

Situación #1: A un grupo de bebés prematuros se le ha complementado la dieta con vitaminas y otros nutrientes. Ésta se le administra todos los días durante dos semanas. Existe otro grupo de bebés prematuros que se han alimentado sin complementar su dieta con vitaminas y otros nutrientes. Luego se pesarán los bebés de ambos grupos. Para esto se realizó una selección previamente.

Identifique lo siguiente: Variable dependiente: Variable independiente: Diseño Atributos del diseño implícitos

Situación #2: Se cree que el color del uniforme de una enfermera pediátrica afecta el grado en que los niños manifiestan una respuesta afectiva positiva como sonreír o reír durante su estancia en el Hospital. A tales efectos se vistieron unas enfermeras de color blanco y otras enfermeras de colores brillantes durante 24 horas. Se separaron los niños en dos habitaciones y en uno se expusieron los niños al cuidado de enfermeras con uniforme blanco y con uniforme de color. Luego se registraron las respuestas de los niños. Identifique lo siguiente:

Variable dependiente Variable independiente Diseño Atributos del diseño implícitos


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ADDENDA 05

LA CUADRATURA DEL CIRCULO

Los tres problemas matemáticos clásicos de la antigua Grecia son:

1. Dibujar un cuadrado que tenga solamente tres lados.

2. Encontrar dos números impares cuya suma también sea un número impar.

3. Dado un círculo, dibujar un cuadrado que tenga la misma superficie, empleando solamente regla y compás.

Estos tres problemas tienen algo en común: todos son imposibles de resolver. No es que sean muy complicados. No es que la matemática todavía no les encontró solución. Son imposibles de resolver porque son contradictorios. Lo que piden es necesariamente imposible.

La contradicción es evidente en el primer problema. Un cuadrado, por definición, tiene cuatro lados. Ninguna figura que tenga solamente tres lados podrá ser un cuadrado.

Aunque no sea tan evidente, el segundo problema también es contradictorio. Puede demostrarse fácilmente que la suma de dos números impares, necesariamente, tiene que dar un número par.

Y el tercer problema también encierra una contradicción. Pero eso ya no es para nada evidente. Tan poco evidente que, durante siglos, los matemáticos han intentado hallarle solución a este problema. Se trata del famoso problema de la "Cuadratura del círculo".

Desde que Anaxágoras (500 años a.C.) se planteara por primera vez el problema de conseguir, con sólo regla y compás, un cuadrado que tuviera igual área que un círculo dado, toda la humanidad ha estado tratando de resolver este apasionante problema. Todos los intentos resultaron infructuosos, hasta que después de 2.200 años se demostró la irresolubilidad del citado problema.

Hay quienes creen que se trata de un problema de importancia fundamental, un problema cuya solución abrirá puertas al progreso matemático. Otros piensan que se trata de una especie de acertijo que se puede resolver con alguna trampa. Pero no es nada de eso. Se trata de un problema tan simple de enunciar que hasta parece sacado de un manual de geometría elemental.

¿Pero por qué es imposible? ¿Cómo podemos asegurar que, algún día, alguien no podrá resolverlo?

En principio, se puede encontrar construcciones de aproximaciones muy interesantes. Pero no si solamente podemos usar regla y compás. Esta restricción la impusieron los griegos. A ellos les gustaba hacer las cosas con la menor cantidad de recursos. Y, así como Euclides trató de demostrar todos los teoremas geométricos a partir de un número reducido de axiomas, también quiso arreglarse con solamente dos herramientas.

Y parecían suficientes. Por ejemplo, usando regla y compás, podemos trazar la mediatriz de un segmento. En otras palabras: con regla y compás podemos dividir un segmento en dos partes iguales, y trazar la perpendicular en su punto medio. También podemos dibujar un cuadrado con sus diagonales. Y si el lado de este cuadrado mide una unidad (un centímetro, una pulgada, un metro, no importa), la longitud de su diagonal deberá ser igual a la raíz cuadrada del número dos. En otras palabras: con regla y compás podemos "calcular" la raíz cuadrada de dos.

Pero hay otras cos que no podemos hacer. No podemos calcular raíces cúbicas, por ejemplo. Y tampoco podemos trazar un segmento cuya longitud tenga que ver con el número Pi (3,14159…). Y eso es lo que necesitamos para cuadrar el círculo.

No es algo fácil de explicar, pero Pi es de la clase de números que trascienden a las operaciones aritméticas simples, que se pueden representar con regla y compás. Por eso se dice que es un número "trascendente".

Aunque el carácter trascendente de Pi fue demostrado hace mucho, todavía hay matemáticos aficionados que persiguen la cuadratura del círculo. No la van a alcanzar. Sigue siendo tan difícil, tan imposible, como dibujar un cuadrado con solamente tres lados.

http://www-etsi2.ugr.es/profesores/jmaroza/anecdotario/anecdotario-a.htm#Anaxagoras

http://www-etsi2.ugr.es/profesores/jmaroza/anecdotario/anecdotario-r.htm#ReglaCompas


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ADDENDA 06

LA CONJETURA DE FERMAT

Pierre de Fermat, que nació en el año 1601 en Beaumont-de-Lomagne, Francia, y murió en París en 1665, fue de profesión jurista y aficionado a la Matemática, disciplina en la que dejó resultados notables tanto en teoría de curvas, como en el cálculo de probabilidades o en la teoría de números.

Tenía la costumbre de anotar en los márgenes de los textos que leía posibles demostraciones de los resultados que aparecían expuestos u otros resultados que él mismo podía deducir. Así, dejó en uno de los márgenes de la Aritmética, de Diofanto, una conjetura muy simple de explicitar pero tan difícil de demostrar que ha traído al mundo científico de cabeza durante más de 300 años. Lo curioso es que en el mismo margen de dicho texto, Fermat escribió que poseía una demostración "maravillosa" que, sin embargo, no cabía en el estrecho margen del libro de Diofanto. Este hecho ha representado históricamente un enigma, pues las generaciones posteriores, a la vista de la dificultad de dar con una demostración, "maravillosa" o no, se plantearon que, o bien el doctor Pierre de Fermat se quedó olímpicamente con el personal, o bien, estaba en un craso error al considerar que disponía de algún tipo de demostración.

La Última Conjetura de Fermat, o bien, como generalmente ha sido denominada, El último Teorema de Fermat, afirma sencillamente que la expresión xn + yn = zn, x, y, z Z, n N no tiene solución para n > 2. O sea, que si xn e yn son potencias perfectas de números enteros, nunca podrá ser xn + yn potencia perfecta de números enteros cuando es n > 2.

Se tiene, en definitiva, que el caso pitagórico n = 2, de la ecuación diofántica xn + yn = zn tiene infinitas soluciones. Sin embargo, los casos no pitagóricos N > 2 no admitían ni un solo ejemplo de existencia de solución entera, ni tampoco se le pudo encontrar una prueba de imposibilidad de soluciones.

Todos los intentos realizados en los tres siglos siguientes a la muerte de Fermat, tanto de encontrar una demostración de la veracidad de la conjetura, como de encontrar un caso que la contradijera, resultaron fallidos. Nunca se pudo, en ese intervalo de tiempo, avanzar más en lo que respecta a la conjetura, aunque es cierto que las investigaciones desarrolladas por diferentes matemáticos en los siglos XVIII, XIX y XX, han servido para desarrollar de forma extraordinaria la teoría de números.

Tanto es así que, desde 1908, existía un premio de 100.000 marcos que habría de entregarse a la persona o personas que lograran una demostración de la conjetura que se pudiera contrastar antes del día 13 de septiembre del año 2007. El premio, administrado por la universidad de Gotinga, se ofrecía por la demostración, no por encontrar un ejemplo que rechace la conjetura. En el año 1997 se hizo entrega al profesor Andrew John Wiles de dicho premio.

Durante más de 350 años fueron muchos los intentos de demostración de la conjetura de Fermat, interviniendo en el estudio del problema tanto matemáticos de la talla de Euler, Dirichlet, Legendre, Gauss o Kummer, como otros menos conocidos. Todos ellos, en un esfuerzo épico en la historia de la Matemática, intentaron la prueba del enunciado para ciertas condiciones parciales, para ciertos exponentes N de la ecuación diofántica. Para algunos de estos exponentes se logró el propósito, pero la demostración general de esta proposición permanecería fatalmente inalcanzable a los esfuerzos de la comunidad matemática.

El desafío que representó el problema de la conjetura de Fermat originó un desarrollo extraordinario de la investigación en la teoría de los números, descubriéndose relaciones, propiedades y aplicaciones en el campo numérico que de no ser por ese estudio hubieran pasado muchos años antes de evidenciarse. En este sentido, se considera a Fermat el padre de la teoría de números.

Conjetura de Taniyama-Shimura:

Las curvas elípticas sobre un cuerpo K son en general expresiones del tipo siguiente:


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y2 = x3 + ax2 + bx + c, donde: a, b, c K, si el cuerpo K = Q, entonces estamos en el caso racional.

Una curva se dice modular si puede ser parametrizada por funciones modulares, esto es, por funciones de variable compleja, o sea, si se puede reducir a una combinación de funciones con el mismo módulo, o, dicho de otra manera, si se le puede hacer corresponder una forma modular. Una curva elíptica modular es una curva elíptica que se puede parametrizar por una forma modular, o por una combinación de formas modulares.

La conjetura, hecha por Yutaka Taniyama (Kisai, 1927 - Tokio, 1958) y por Goro Shimura (1930 - ) puede enunciarse de esta manera: "Todas las curvas elípticas son modulares", o bien: "A cada forma modular le corresponde una curva elíptica, y viceversa, a cada curva elíptica le corresponde una forma modular"

Yutaka Taniyama murió en 1958, a los 31 años, sin que hubiera podido siquiera vislumbrar lo que al cabo de 35 años supondría su conjetura sobre la modularidad de las curvas elípticas en el estudio del enunciado de Fermat.

El trabajo de Gerhard Frey y de Kenneth A. Ribet:

El último acto de la historia de la Conjetura de Fermat comenzó en el año 1984, cuando al matemático alemán Gerhard Frey, de la universidad de Essen (Institut für Experimentalle Mathematik) se le ocurrió escribir la siguiente expresión: y2 = x.(x + An).(x – Bn) donde tanto An como Bn son potencias n-simas perfectas de números enteros con la condición de que también An + Bn sea potencia perfecta (n>2). La ecuación anterior es, realizando operaciones de simplificación:

y2 = x3 + (An – Bn).x2 – An.Bn.x. O bien: nnnn BAxBAxxy 22

donde el discriminante del polinomio de segundo grado es:

22222 24 nnnnnnnnnn BABABABABA y de aquí que el discriminante

habría de ser potencia perfecta de números enteros: nn BA

Ahora bien, Kennet A. Ribet, de la Universidad de Berkeley, demostró en junio del año 1986 que

la expresión: xBAxBAxy nnnn 232, donde el discriminante fuera una potencia

perfecta no puede ser modular.

Andrew Wiles:

A la vista del trabajo de Gerhard Frey y de Kenneth A. Ribet, habría de deducirse que, o bien la conjetura de Taniyama-Shimura ( sobre curvas elípticas y sus formas modulares) no es cierta, existiendo curvas elípticas que no son modulares, o bien, si fuera verdad que todas las curvas elípticas son modulares habría que concluir que la expresión construida por Frey: y3 = x3 + (An – Bn).x2 – An.Bn.x simplemente, no existe. Es decir, no podría existir una curva elíptica con la expresión anterior en la que el discriminante fuera un cuadrado perfecto, o, dicho de otro modo, no podría existir una expresión en la que aparecieran dos números, An y Bn , potencias perfectas, de modo que también fuera An + Bn potencia perfecta, esto es, quedaría demostrada la Conjetura de Fermat.

Todo el problema se reduciría, por consiguiente, a probar la conjetura de Taniyama-Shimura para que quedase probado el enunciado de Fermat, o, por el contrario, a probar la falsedad de tal conjetura, que probaría también la falsedad de la Conjetura de Fermat.

El trabajo del matemático inglés, profesor luego en Princenton, Andrew John Wiles (1953- ) consistió, en definitiva, en estudiar a fondo la Conjetura de Taniyama-Shimura y tratar de dar con una demostración de la misma, o bien, con una demostración de su falsedad.

Entre los años 1986 y 1993, desarrollando un aparato matemático de gran complejidad, A. Wiles se dedicó al estudio de la Conjetura de Taniyama-Shimura, hasta comunicar a la comunidad científica, en 1993, que había logrado la prueba. Un análisis detallado del trabajo presentado por Wiles descubrió un fallo sustancial en la argumentación, que le hizo revisarlo con la ayuda de su discípulo Richard Taylor, revisión que le costó un año de trabajo. Finalmente, en 1994, la prueba de Andrew Wiles del Teorema de Fermat, fue aceptada.


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ADDENDA 07

EL TEOREMA DE GÖDEL

El resultado más revolucionario de la Lógica del siglo XX, por el que Kurt Gödel es especialmente famoso, es el teorema de incompletitud, publicado en 1931 en el artículo «Sobre proposiciones formalmente indecidibles del Principia Mathematica y sistemas relacionados», en el que propuso sus dos teoremas de la incompletitud, el primero de los cuales establece que ninguna teoría finitamente axiomatizable y capaz de derivar los postulados de Peano (esto es, abarcar un nivel mínimo de complejidad) es a la vez consistente y completa.

¿Qué ocurre sí establecemos un enunciado y comprobamos que no podemos demostrar que es “así” o “no así"?. Supongamos que digo: “el enunciado que estoy haciendo es falso”. ¿Es falso? Sí es falso, entonces es falso que estoy diciendo algo falso y tengo que estar diciendo algo verdadero. Pero sí estoy diciendo algo verdadero, entonces es cierto que estoy diciendo algo falso y sería verdad que estoy diciendo algo falso. Podría estar yendo de un lado para otro indefinidamente. Es imposible demostrar que lo que he dicho es o no es así.

Supongamos que ajustamos los axiomas de la lógica a fin de eliminar la posibilidad de hacer enunciados de este tipo. ¿Podríamos encontrar otro modo de hacer enunciados del tipo “ni así ni no así”?. Gödel presentó una demostración válida de que para cualquier conjunto de axiomas, siempre es posible hacer enunciados que, a partir de esos axiomas, no puede demostrarse ni que son así ni que no son así. En ese sentido, es imposible elaborar jamás un conjunto de axiomas a partir de los cuales se pueda deducir un sistema matemático “completo”. ¿Quiere decir esto que nunca podremos encontrar la “verdad? ¡Ni hablar!

Primero: el que un sistema matemático no sea completo no quiere decir que lo que contiene sea falso. El sistema puede seguir siendo muy útil, siempre que no intentemos utilizarlo más allá de sus límites.

Segundo: el Teorema de Gödel sólo se aplica a sistemas deductivos del tipo que se utiliza en Matemáticas. Pero la deducción no es el único modo de descubrir la “verdad”. No hay axiomas que nos permitan deducir las dimensiones del Sistema Solar. Estas últimas fueron obtenidas mediante observaciones y medidas, otro camino hacia la “verdad”.

En otras palabras, si se intenta elaborar una teoría fundacional de las matemáticas que establezca los axiomas y las reglas de inferencia asociadas a los mismos, de modo que sea posible estipular con precisión qué es y qué no es un axioma, la teoría resultante será bien insuficiente (no permitirá derivar los postulados de Peano), incompleta (existirá al menos una proposición matemáticamente válida que no será derivable de la teoría) o inconsistente.

El segundo teorema de la incompletitud, corolario del primero, afirma que si una teoría es finitamente axiomatizable, consistente y capaz de derivar los postulados de Peano, entonces dicha teoría no puede probar su propia consistencia. Mediante la demostración de las imperfecciones del sistema axiomático como herramienta, heredada de los antiguos griegos, para la elaboración de teorías complejas, completas y consistentes, la obra de Gödel echó definitivamente por tierra las empresas formalistas (Hilbert) y logicistas (Russell y Whitehead) y, en definitiva, más de un siglo de intentos de desarrollar una fundamentación de las matemáticas basada en dichos instrumentos.

Este teorema es más fácil de entender si nos aproximamos a él indirectamente. Con este fin, presentaremos un rompecabezas lógico y algunos términos clave antes de pasar a la discusión del teorema propiamente dicho.

Hay una antigua afirmación paradójica, llamada paradoja del mentiroso, que puede ayudarnos a ilustrar el tema: "Esta afirmación es falsa." Pasemos a analizar tal afirmación. Si esta es verdadera, esto significa que la afirmación es falsa, lo cual contradice nuestra primera hipótesis. Por otra parte, si la afirmación es falsa, la afirmación debe de ser verdadera, lo cual nos lleva de nuevo a una contradicción. Una versión aun más simple de esta paradoja (como


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señaló Lewis Carrol) es la afirmación siguiente: "Yo estoy mintiendo." En estas afirmaciones se presenta el fenómeno llamado bucle extraño. Cualquier suposición inicial que se haga conduce a una refutación de ésta. Muchas de las ilusiones ópticas del arte de M. C. Escher están basadas en este concepto.

Otro término importante es el de isomorfismo. Entenderemos aquí un isomorfismo como una conexión entre un nivel del entendimiento y otro. El isomorfismo más común es el que se da entre el lenguaje y la mente. Estas palabras que usted está leyendo son combinaciones de líneas que tienen un significado atribuido. Ellas no significan nada por sí mismas, son meras conexiones con conceptos que están en nuestras mentes. Este es un ejemplo difícil, ya que estamos tan acostumbrados a hablar y escribir que olvidamos que las letras y las palabras no son la verdadera comunicación. Otro ejemplo es el sistema de numeración romana. Sabemos como expresar números arábigos (los cuales son isomorfos a dedos, rocas, etc.) en el sistema romano, pero ello es algo peliagudo. Estamos enterados del isomorfismo entre estos dos sistemas tipográficos desde el momento en el que necesitamos trasladarnos del uno al otro constantemente.

El último término a considerar es el de sistema formal. Este término parece bastante fácil, pero su propia naturaleza hace necesario definirlo explícitamente. Llamaremos sistema formal a un sistema tipográfico que sea isomorfo a la teoría de números. Esto es comparable a tomar las expresiones de lenguaje natural de las demostraciones geométricas y sustituirlas por símbolos que tengan el mismo significado. Se hace esto para evitar la ambigüedad y fomentar la precisión. El punto a tener en cuenta a la hora de trabajar con sistemas formales es que no podemos usar el sentido común o, en general, cualquier argumento ajeno al sistema. El Formalismo es un movimiento, en la Lógica y en las Matemáticas, impulsado por Hilbert en la década de 1920. Hilbert inventó un artificial lenguaje de la lógica y comenzó a trasladar las afirmaciones de la teoría de números dentro de él. Su propósito era construir sistemas formales completos para las principales teorías de la matemática clásica. Completos en el sentido de que cualquier afirmación puede o bien ser demostrada o bien ser demostrada su negación. El programa de Hilbert también requería que se demostrara la consistencia de dichos sistemas formales.

El teorema de incompletitud de Gödel es bastante sencillo de entender una vez hemos introducido la paradoja del mentiroso (citada más arriba). Gödel hizo manipulaciones para trasladar el lenguaje natural del mentiroso al lenguaje de las matemáticas. Lo que probó es comparable (isomorfo) a la afirmación "Este teorema no tiene demostración". ¡Lo sorprendente es que él probó el teorema! Diseñó su propio lenguaje lógico para esto. En definitiva, descubrió que existían afirmaciones verdaderas que no podían ser probadas dentro del sistema.

Gödel probó que todo sistema formal que contuviera a la aritmética elemental (un ejemplo de este sistema serían las Matemáticas como un todo) es incompleto. Además, por el camino encontró que la consistencia de dichos sistemas era imposible de probar. Esto no significó el fin del Formalismo, pero supuso un duro golpe para este. Demostró que los métodos matemáticos aceptados desde tiempos de Euclides eran inadecuados para descubrir todas las verdades relativas a los números naturales. Su descubrimiento minó los fundamentos sobre los que se había construido la matemática hasta el siglo XX, acicateó a los pensadores para buscar otras posibilidades y engendró un vivaz debate sobre la naturaleza de la verdad. Las innovadoras técnicas de Gödel, aplicables sin dificultad en algoritmos de cómputo, echaron también los cimientos de las ciencias de computación modernas.

Nacido el 28 de abril de 1906 en Brno, ciudad de Moravia, Austria, Gödel fue el menor de los dos hijos de Rudolf y Marianne Gödel, expatriados alemanes cuyas familias estuvieron asociadas con la industria textil de la ciudad. Entre los antepasados de Gödel no encontramos profesores ni intelectuales; la educación de su padre no fue más allá de estudios de comercio. Pero Rudolf Gödel, ambicioso y tenaz, logró salir adelante, llegando a director gerente primero, y a copropietario más tarde, de una de las grandes fábricas de hilados de Brno. Ganó dinero suficiente para comprar una casa en uno de los barrios elegantes y enviar a sus hijos a escuelas privadas de habla alemana. Los chicos lograron excelentes resultados en sus estudios.


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En toda su trayectoria escolar, primaria y secundaria, sólo una vez recibió Kurt una calificación inferior a la máxima en una asignatura (¡en matemáticas!). Pero no mostraba signos precoces de genialidad. Era un niño inquisitivo, tanto, que fue apodado der Herr Warum (\"el señor Por qué\"); también, introvertido, sensible y enclenque. A eso de los ocho años contrajo unas fiebres reumáticas. Aunque al parecer no le dejaron secuelas duraderas, le mantuvieron apartado de la escuela por algún tiempo; quizás alentaron su enfermiza preocupación por la salud y la dieta, que se fue reforzando con los años.

En 1924, tras graduarse en el Realgymnasium, una escuela técnica de Brno, Gödel abandonó su país natal para matricularse en la Universidad de Viena. A ese centro había acudido, cuatro años antes, su hermano para estudiar medicina. La economía vienesa se encontraba por entonces en ruinas. La universidad, empero, retenía su viejo esplendor. Gracias a ella, a pesar de las privaciones materiales, Viena dio cobijo en el período de entreguerras a un impresionante florecimiento de las ciencias, las artes y la filosofía.

Gödel ingresó en la universidad con la intención de seguir la carrera de física. Pero al poco, impresionado por las lecciones de los profesores Philipp Furtwängler y Hans Hahn, se orientó hacia la matemática. Muy pronto destacó por su talento. A los dos años de su matriculación fue invitado a asistir a las sesiones de un seminario de debates que Hahn y el filósofo Moritz Schlick habían fundado dos años antes. El grupo, que llegaría a ser famoso con el nombre de Círculo de Viena, se inspiraba en los escritos de Ernst Mach, un campeón del racionalismo antimetafísico, convencido de que todas las cosas podían explicarse mediante la lógica y la observación empírica, sin recurrir a entidades metafísicas.

El Círculo puso a Gödel en contacto con Rudolf Carnap, filósofo de la ciencia, y Karl Menger, matemático. Le ayudó a familiarizarse con la bibliografía de la lógica matemática y de la filosofía. En particular, el Círculo se hallaba enfrascado en los escritos de Ludwig Wittgenstein, cuya preocupación por el metalenguaje (en qué medida el lenguaje puede hablar acerca del lenguaje) pudo haber inducido a Gödel a sondear cuestiones similares en matemática. Algunos de los miembros del Círculo, entre ellos Carnap, Hanh y el físico Hans Thirring, estaban investigando los fenómenos parapsicológicos, asunto por el que también Gödel mostraba agudo interés. (Años más tarde, Gödel le haría notar a un amigo íntimo, el economista Oskar Morgenstern, que en el futuro sería tenido por fenómeno extraño que los científicos del siglo XX hubieran descubierto las partículas físicas elementales y ni siquiera se les hubiera ocurrido considerar la posibilidad de factores psíquicos elementales.)

Gödel, sin embargo, no compartía la visión positivista del Círculo de Viena, que desarrolló y generalizó las ideas de Mach. Era, por contra, un platónico, convencido de que, además del mundo de los objetos, existe un mundo de los conceptos al que los humanos tienen acceso por intuición. Para él, un enunciado debía tener un \"valor de verdad\" bien definido -ser verdadero o no serlo- tanto si había sido demostrado como si era susceptible de ser refutado o confirmado empíricamente. Desde su propio punto de vista, tal filosofía constituía una ayuda para su excepcional penetración en las matemáticas.

Aunque Gödel era un observador atento y muy lúcido, rara vez contribuía a las discusiones del Círculo, a menos que tratasen de matemáticas. Tímido y reservado, tenía pocos amigos íntimos. (Le agradaba, sin embargo la compañía femenina y, según parece, las mujeres le encontraban francamente atractivo.) Después de 1928 sólo en raras ocasiones asistía a las reuniones del grupo; en cambio, participaba activamente en un coloquio matemático organizado por Menger. Las actas del coloquio se publicaban en un anuario, que Gödel ayudaba a redactar, y al que posteriormente habría de contribuir con más de una docena de artículos.

Durante este período, Gödel adquirió súbitamente estatura internacional en lógica matemática. Dos fueron, en particular, las publicaciones responsables de su prominencia. Una de ellas, su tesis doctoral, presentada en Viena en 1929, y publicada al año siguiente. La otra, su tratado \"Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines\", publicada en alemán en su Habilitationsschrift (la memoria de cualificación para el ejercicio de la docencia universitaria) en 1932.


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En su tesis doctoral, \"La completitud de los axiomas del cálculo funcional de primer orden\", resolvía un problema pendiente, que David Hilbert y Wilhelm Ackermann habían planteado en un libro que escribieron conjuntamente en 1928, Grundzüge der theoretischen Logik (\"Fundamentos de la Lógica Teórica\"). La cuestión consistía en si las reglas al uso, enunciadas en el libro, para la manipulación de expresiones que contengan conectivas lógicas (\"y\", \"o\", y similares) y cuantificadores (\"para todo\" y \"existe\"), aplicadas a variables que recorren números o conjuntos) permitirían, adjuntados a los axiomas de una teoría matemática, la deducción de todas y sólo todas las proposiciones que fueran verdaderas en cada estructura que cumpliera los axiomas. En lenguaje llano, ¿sería realmente posible demostrar todo cuanto fuera verdadero para todas las interpretaciones válidas de los símbolos?

Se esperaba que la respuesta fuese afirmativa, y Gödel confirmó que así era. Su disertación estableció que los principios de lógica desarrollados hasta aquel momento eran adecuados para el propósito al que estaban destinados, que consistía en demostrar todo cuanto fuera verdadero basándose en un sistema dado de axiomas. No demostraba, sin embargo, que todo enunciado verdadero referente a los números naturales pudiera demostrarse a partir de los axiomas aceptados de la teoría de los números, es decir, ha de existir algún enunciado concerniente a los números naturales que es verdadero, pero no puede ser demostrado. O sea, que existen objetos que obedecen a los axiomas de la teoría de números, pero que, en otros aspectos, dejan de comportarse como números ("teorema de incompletitud").

Entre dichos axiomas, propuestos por el matemático italiano Giuseppe Peano en 1899, figura el principio de inducción. Este axioma afirma que cualquier propiedad que sea verdadera para el número cero, y que se cumpla para el número natural n+1 siempre que sea verdadera para n, tiene que ser verdadera para todos los números naturales. El axioma, al que algunos llaman \"principio dominó\" -porque si cae el primero, caerán derribados todos los demás- podría parecer evidente por sí mismo. Sin embargo, los matemáticos lo encontraron problemático, porque no se circunscribe a los números propiamente dichos, sino a propiedades de los números. Se consideró que tal enunciado de \"segundo orden\" era demasiado vago y poco definido para servir de fundamento a la teoría de los números naturales.

Por tal motivo, se refundió el axioma de inducción y se le dio la forma de un esquema infinito de axiomas similares concernientes a fórmulas específicas, en vez de referirse a propiedades generales de los números. Pero estos axiomas ya no caracterizan unívocamente los números naturales, como demostró el lógico noruego Thoralf Skolem algunos años antes del trabajo de Gödel: existen también otras estructuras que los satisfacen.

El teorema de completud de Gödel enuncia que es posible demostrar todos aquellos enunciados que se siguen de los axiomas. Existe, sin embargo, una dificultad: si algún enunciado fuese verdadero para los números naturales, pero no lo fuese para otro sistema de entidades que también satisface los axiomas, entonces no podría ser demostrado. Ello no parece constituir un problema serio, porque los matemáticos confiaban en que no existieran entidades que se disfrazasen de números para diferir de ellos en aspectos esenciales. Por este motivo, el teorema de Gödel que vino a continuación provocó auténtica conmoción.

En su artículo de 1931, Gödel demostraba que ha de existir algún enunciado concerniente a los números naturales que es verdadero, pero no puede ser demostrado. (Es decir, que existen objetos que obedecen a los axiomas de la teoría de números y, no obstante, en otros aspectos dejan de comportarse como números.) Se podría eludir este \"teorema de incompletud\" si todos los enunciados verdaderos fueran tomados como axiomas. Sin embargo, en ese caso, la decisión de si ciertos enunciados son verdaderos o no se torna problemática a priori. Gödel demostró que siempre que los axiomas puedan ser caracterizados por un sistema de reglas mecánicas, resulta indiferente cuáles sean los enunciados tomados como axiomas. Si son verdaderos para los números naturales, algunos otros enunciados verdaderos acerca de los números naturales seguirán siendo indemostrables.

En particular, si los axiomas no se contradicen entre sí, entonces, ese hecho mismo, codificado en enunciado numérico, será \"formalmente indecidible\" -esto es, ni demostrable ni


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refutable- a partir de dichos axiomas. Cualquier demostración de consistencia habrá de apelar a principios más fuertes que los propios axiomas.

El teorema afirmaba que ningún sistema de leyes (axiomas o reglas) puede tener potencia suficiente para demostrar todos los enunciados verdaderos de la aritmética, sin ser al mismo tiempo tan fuerte que demuestre también enunciados falsos. El resultado frustró a Hilbert, quien tenía confianza en la posibilidad de fijar los fundamentos de las matemáticas mediante un proceso "autoconstructivo", en el que la consistencia pudiera deducirse de una teoría lógica sencilla y evidente. Gödel no creyó que sus conclusiones demostrasen la arbitrariedad del método axiomático- deductivo, sino sólo que la deducción de teoremas no puede mecanizarse del todo, justificando así el papel de la intuición en la investigación formal.

Este último resultado apenó muchísimo a Hilbert, quien había contemplado un programa para fijar los fundamentos de las matemáticas por medio de un proceso \"autoconstructivo\", mediante el cual la consistencia de teorías matemáticas complejas pudiera deducirse de la consistencia de más sencillas y evidentes. Gödel, por otra parte, no consideraba que sus teoremas de incompletud demostrasen la inadecuación del método axiomático, sino que hacían ver que la deducción de teoremas no pueden mecanizarse. A su modo de ver, justificaban el papel de la intuición en la investigación matemática.

Los conceptos y los métodos introducidos por Gödel en su artículo sobre la incompletud desempeñan un papel central en la teoría de recursión, que subyace a toda la informática moderna. Generalizaciones de sus ideas han permitido la deducción de diversos otros resultados relativos a los límites de los procedimientos informáticos y computacionales. Uno de ellos es lo irresoluble del \"problema de la detención\", que consiste en decidir, para un ordenador arbitrario provisto de un programa y de unos datos arbitrarios, si llegará a detenerse o si quedará atrapado en un bucle infinito. Otro es la demostración de que ningún programa que no altere el sistema operativo de un ordenador será capaz de detectar todos los programas que sí lo hagan (virus). La consecuencia parece ampliable incluso a campos tan distantes como el uso policial de la violencia o la filosofía de las matemáticas y la lógica. En este último campo, el teorema de Gödel debilita el proyecto de una reducción logicista de la matemática.

Gödel pasó el año académico 1933-34 en Princeton, en el recién fundado Instituto de Estudios Avanzados, donde disertó sobre sus resultados de incompletud. Fue invitado a volver al año siguiente, pero al poco de regresar a Viena sufrió una grave crisis mental. Se recuperó a tiempo para retornar a Princeton en el otoño de 1935; al mes de su llegada sufrió una recaída, y no volvió a impartir enseñanza hasta la primavera de 1937, en Viena.

Por ser confidencial el historial médico de Gödel, la diagnosis de su mal sigue siendo desconocida. Sus problemas parecen haber comenzado con hipocondría: estaba obsesionado por su dieta y por sus hábitos intestinales. Durante veinte años llevó un registro diario de su temperatura corporal y de su consumo de leche de magnesia. Temía sufrir un envenenamiento accidental; con los años, le aterraba ser objeto de una intoxicación deliberada. Esta fobia le llevó a no querer tomar alimentos, con la consiguiente desnutrición. Lo que no le impedía ingerir píldoras de diversa condición para un imaginario problema cardíaco.

Salvo en los problemas de crisis, los problemas mentales de Gödel entorpecieron muy poco su trabajo. La persona que le mantuvo en activo fue Adele Porkert, a quien conoció en un local nocturno de Viena durante sus años de estudiante. Porkert, seis años mayor que Gödel, católica y divorciada, con el rostro desfigurado por una \"flor\" de nacimiento, trabajaba de bailarina. Los padres de Gödel la tenían por motivo de escándalo. Pero ellos no desmayaron en su mutuo afecto, y más de una vez, sirviéndole de catadora de alimentos, Adele contribuyó a paliar los temores de Gödel, cada vez más fuertes, de que buscaban envenenarle. Tras un largo noviazgo, se casaron en septiembre de 1938, justo antes de que Gödel retornase a los EEUU, donde disertó en el Instituto de Estudios Avanzados y en la Universidad de Notre Dame sobre los apasionantes resultados que había obtenido en teoría de conjuntos.

Tal logro entrañaba la resolución de algunos de los aspectos más controvertidos de la teoría de colecciones de objetos. A finales del siglo XIX, el matemático alemán Georg Cantor había introducido la noción de tamaño (\"cardinal\") para conjuntos infinitos. Según tal


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concepto, un conjunto A tiene menor cardinal que un conjunto B si, cualquiera que sea la forma en que a cada elemento de A otro le sea asignado en B, quedan siempre elementos de B que no tienen correspondiente. Valiéndose de esta noción, Cantor demostró que el conjunto de los números naturales es menor que el conjunto de todos los números reales (el conjunto de todos los números decimales). Cantor conjeturó también que entre un conjunto y otro no existen conjuntos de tamaño intermedio, enunciado que llegó a ser conocido como la hipótesis del continuo.

En 1908, Ernst Zermelo, formuló una lista de axiomas para la teoría de conjuntos. Entre ellos se encontraba el teorema de elección, el cual (en una de sus versiones) afirma que dada una colección infinita de conjuntos disjuntos, cada uno de los cuales contiene al menos un elemento, existe un conjunto que contiene exactamente un elemento de cada uno de los conjuntos de la colección. Aunque su aspecto parece incuestionable -¿por qué no habríamos de ser capaces de extraer un elemento de cada conjunto?- el axioma de elección entraña una multitud de consecuencias contrarias a la intuición. De él se deduce, por ejemplo, la posibilidad de descomponer una esfera en un número finito de piezas, que separadas y vueltas a ensamblar aplicando tan sólo movimientos rígidos, forme una nueva esfera de volumen doble que la primera.

El axioma de elección desencadenó la polémica. Los matemáticos sospechaban -correctamente, como luego se vería- que ni el axioma de elección ni la hipótesis del continuo podían deducirse de los otros axiomas de la teoría de conjuntos. Y temían que las demostraciones fundadas en dichos principios pudieran generar contradicciones. Gödel, sin embargo, demostró que ambos principios eran coherentes con los restantes axiomas.

Los resultados de Gödel en teoría de conjuntos resolvieron una de las cuestiones que Hilbert había planteado en 1900 en una alocución célebre pronunciada en el Congreso Internacional de Matemáticas. Sólo por ello constituían un gran logro; no bastaron, empero, para asegurarle un puesto académico permanente. Durante el año que pasó en el Instituto de Estidos Avanzados y en Notre Dame, expiró su autorización para la docencia en las universidades austriacas. Y cuando volvió a Viena para reunirse con su esposa, en el verano de 1939, fue reclamado para un reconocimiento médico militar y declarado apto para el servicio en las fuerzas armadas nazis.

Hasta entonces, Gödel parecía haber permanecido indiferente ante los pavorosos acontecimientos que se estaban produciendo en Europa. Aunque interesado por la política, e informado de los acontecimientos, permaneció curiosamente insensible ante ellos. Su falta de compromiso con sus semejantes pudo haberle impedido apreciar la gravedad de lo que estaba ocurriendo. Parecía ajeno a la suerte que estaban corriendo sus colegas y sus profesores, judíos muchos de ellos, y siguió sumido en su trabajo mientras el mundo que le rodeaba se hacía pedazos. Por fin, acabó comprendiendo que con el mundo que se hundía también se estaba hundiendo él.

En aquella situación desesperada, sin empleo y a punto de ser reclutado para las fuerzas armadas nazis, solicitó el apoyo del Instituto de Estudios Avanzados de Princenton para que le ayudaran a obtener visados de salida para sí mismo y para su mujer. Sus esfuerzos tuvieron éxito. En enero de 1940 ambos emprendieron un largo viaje hacia el este en el ferrocarril transiberiano. Desde Yokohama continuaron por barco hasta San Francisco. Llegaron a Princeton a mediados de marzo.

Gödel ya no volvería a salir de los EEUU. Tras una serie de nombramientos anuales se le admitió como miembro permanente del claustro en 1946. Dos años después obtuvo la ciudadanía estadounidense. (En aquella ocasión, el juez que le tomó juramento cometió el desafortunado error de pedirle su opinión sobre la Constitución de los EEUU, y desencadenó como respuesta una disertación en toda regla sobre sus contradicciones.) Pero Gödel no fue ascendido a catedrático hasta 1953, el mismo año en que fue elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias. Tal demora se debió, en parte, a las dudas que planteaba su estabilidad mental con sus constantes temores sobre posibles emanaciones de gases tóxicos en su refrigerador. Durante aquellos años, su amigo Albert Einstein (también refugiado) se preocupó de Gödel lo más que pudo; todos los días daban un paseo.


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Tras su emigración a los EEUU, abandonó el trabajo en teoría de conjuntos y se orientó hacia la filosofía y hacia la teoría de la relatividad. En 1949 demostró que eran compatibles con las ecuaciones de Einstein universos donde se pudiera viajar retrógradamente en el tiempo. En 1950 disertó sobre estos resultados en el Congreso Internacional de Matemáticos, y al año siguiente pronunció la prestigiosa Disertación Gibbs en la asamblea anual de la Sociedad Matemática Americana. Pero en el intervalo entre estas dos intervenciones públicas estuvo a punto de morir por una úlcera sangrante, que descuidó hasta un estadio peligrosamente avanzado, tal era la desconfianza que sentía hacia los médicos.

El último de sus artículos publicados en vida apareció en 1958. Después, se sumió en la introversión, cada vez más demacrado, paranóide e hipocondríaco. Su última aparición pública aconteció en 1972, al recibir un doctorado honorífico por la Universidad Rockefeller. Tres años después le fue otorgada la Medalla Nacional de Ciencias, pero Gödel disculpó su asistencia por razones de salud.

El 1 de julio de 1976, alcanzados los 70 años, edad de jubilación obligatoria, Gödel se convirtió en profesor emérito de Instituto. Sus responsabilidades empero no disminuyeron, porque su esposa, que durante tantos años le había alimentado y protegido, había sufrido pocos meses antes un ataque cardíaco que la dejó inválida. Ahora le correspondía a él cuidarla. Y así lo hizo, con devoción, hasta julio de 1977, cuando ella hubo de someterse a una operación de urgencia y permaneció hospitalizada durante casi seis meses.

Por aquellas fechas, Morgenstern, el amigo que había contribuido a cuidar de Gödel tras fallecer Einstein en 1955, murió de cáncer. Gödel tuvo entonces que luchar por sí solo contra su cada vez más acusada paranoia. Solo frente a ella, su declive entró en barrena. Temeroso de ser envenenado dejó de comer y acabó muriendo por desnutrición el 14 de enero de 1978.

Gödel publicó excepcionalmente poco en vida -menos que ninguno de los otros grandes matemáticos, si se exceptúa a Bernhard Riemann-, pero la influencia de sus escritos ha sido enorme. Sus trabajos han afectado prácticamente a todas las ramas de lógica moderna. Durante el decenio pasado, otros artículos suyos han sido traducidos desde la obsoleta taquigrafía alemana que él utilizaba, y publicados póstumamente en el tercer volumen de sus Collected Works. Sus contenidos, entre los que figura su formalización del argumento ontológico de la existencia de Dios, han empezado también a llamar la atención.

John W. Dawson, Jr. es doctor en lógica y profesor de matemáticas en la Universidad estatal de Pensylvania en York. Tiene a su cargo la coedición de las obras de Kurt Gödel.

Teorema de incompletez de Gödel

Al ampliar ligeramente el lenguaje de la lógica de primer orden con el fin de incluir el esquema de inducción matemática en la aritmética, Gödel pudo

demostrar, en su teorema de incompletez, que existen oraciones aritméticas que no es posible demostrar. La demostración del teorema de Gödel rebasa el alcance de este libro, para lo cual se necesitaría de por lo menos treinta páginas; sin embargo,

podemos dar aquí una primicia de él. Empezaremos por la teoría lógica de los números. En esta teoría existe una sola constante, 0, y una sola función, S (la

función sucesor). En el modelo propuesto, S(0) denota 1, S(S(0)) denota 2, etc.

El lenguaje, por lo tanto, tiene nombres para todos los números naturales. El vocabulario incluye también los signos de las funciones +, X y Expt (potenciación),

así como el conjunto habitual de conectores y cuantificadores lógicos. El primer paso consiste en notar que el conjunto de oraciones que podemos escribir en este

lenguaje puede enumerarse.

(Imagine que define un orden alfabético de los signos y luego procede a ordenar alfabéticamente cada conjunto de oraciones de extensión 1, 2, etc.)


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Podemos luego enumerar cada oración mediante un número natural # (el

número de Gödel).

Lo anterior es determinante: en la teoría de los números hay un nombre para

cada una de las oraciones. De la misma manera, podemos enumerar cada demostración posible P mediante un número de Gödel G(P), puesto que la demostración no es sino una secuencia finita de oraciones.

Supongamos ahora que tenemos un conjunto A de oraciones que son aseveraciones verdaderas acerca de los números naturales. Si recordamos que A se

puede nombrar utilizando cualquier conjunto de números enteros, podemos

suponer que en nuestro lenguaje escribimos una oración (j, A) del siguiente tipo:

Para todo i, i no es el número de Gödel de una demostración de la oración

cuyo número de Gödel sea j, en donde la demostración utiliza sólo las premisas de A.

Sea ahora la oración (#, A), es decir, una oración que afirma su propia indemostrabilidad a partir de A. (La permanente existencia de esta oración es verdad, aunque no totalmente obvio).

Procedemos ahora a razonar de la siguiente manera. Supóngase que se

puede demostrar a partir de A; entonces es falso (porque afirma que no se puede demostrar): Pero entonces tendríamos una oración falsa que es probable a

partir de A, por lo que A no puede estar formada sólo de oraciones verdaderas:

sería una violación a nuestra premisa. Por lo tanto no se puede demostrar a partir

de A. Pero esto es justo lo que afirma ; por lo tanto es una oración verdadera.

Es decir, hemos demostrado (ahorrándonos 29 y media páginas) que para cualquier conjunto de oraciones verdaderas de la teoría de los números, y para cualquier conjunto particular de axiomas básicos, existen otras oraciones

verdaderas que no es posible demostrar a partir de estos axiomas. Lo anterior establece, entre otras cosas que nunca será posible demostrar todos los teoremas

de las matemáticas dentro de cualquier sistema de axiomas.

Es evidente que el anterior fue un descubrimiento de gran importancia para

las matemáticas. Sus repercusiones han sido objeto de amplio debate, empezando por las especulaciones realizadas por Gödel mismo.


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GLOSARIO

(Extraída en parte del libro “Investigación Científica y Educacional” de Luis Piscoya Hermoza, 1987)

CIENCIAS EMPÍRICAS: Son todas aquellas ciencias constituidas por proposiciones cuya verdad se establece contrastándola con los hechos de la realidad natural o social, que pueden ser percibidos por un observador. Consecuentemente, en estas ciencias, es la experiencia la que nos permite decidir la verdad o falsedad de una proposición. A estas disciplinas también se les denomina ciencias fácticas.

CIENCIAS FORMALES O ESTRUCTURALES: Son aquellas ciencias constituidas por proposiciones cuya verdad se establece mediante la construcción de demostraciones que se ajustan a reglas lógicas de deducción o inferencia. En estas ciencias carece de sentido intentar establecer la verdad de una proposición por medio de la contrastación con los hechos, pues en ellas sólo se admite una proposición como verdadera si es que existe una demostración o prueba lógica para ella. Las ciencias formales son la Matemática y la Lógica Matemática. Asimismo, la aplicabilidad de la Matemática a la realidad natural y social no es una prueba de su verdad sino una consecuencia de ella. Para distinguir la diferente manera de establecer la verdad en ciencias empíricas y en ciencias formales se dice que las primeras poseen proposiciones empíricamente verdaderas o a posteriori y las segundas proposiciones lógicamente verdaderas o válidas a priori.

CONTRASTACIÓN: Es el acto por el cual se coteja lo que dice una proposición con

los que constatamos que ocurre en la realidad natural o social. Así se decide si la proposición es empíricamente verdadera o empíricamente falsa. La contrastación puede hacerse directamente, esto es, estableciendo la correspondencia entre lo que dice la proposición y la realidad o indirectamente, esto es, cotejando con la realidad no la proposición misma en cuestión sino proposiciones que se deducen lógicamente de ella.

CORRELACIÓN: Grado en que los valores de dos variables varían de manera

conjunta, es decir, grado en que los cambios en una de las variables están acompañados por cambios en la otra. La correlación se expresa habitualmente en función de un número que puede variar de –1,0 (relación negativa perfecta) a 0,0 (ausencia de relación) a 1,0 (relación positiva perfecta).

DEDUCCIÓN: Es una operación lógica que consiste en obtener, mediante la

aplicación de reglas lógicas, llamadas de deducción, a partir de un conjunto de proposiciones conocidas como premisas una nueva proposición conocida como conclusión. Si las premisas son verdaderas la conclusión es necesariamente verdadera.

DEFINICIÓN OPERACIONAL: Es la expresión del significado de un constructo o

concepto teorético en términos de propiedades observables y medibles llamadas indicadores. Así un test de inteligencia puede ser considerado como una definición operacional del concepto inteligencia.

EXPERIENCIA: Es la aprehensión o captación inmediata de un objeto o propiedad

a través de nuestra percepción. Puede hablarse también de la experiencia interna, como el miedo o el gozo, por citar dos ejemplos. Sin embargo para la contrastación de


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proposiciones la experiencia importante es aquella que se refiere a objetos, hechos o propiedades del mundo real.

HIPÓTESIS: Es una conjetura que pretende dar una respuesta a una interrogación

que expresa un problema científico. También puede definirse como una solución tentativa a un problema científico.

Una característica fundamental de las hipótesis es que deben ser decidibles como verdaderas o como falsas, razón por la que son expresadas a través de proposiciones o enunciados.

INDUCCIÓN: Los clásicos desde Aristóteles consideraron a la inducción como a

operación lógica inversa a la deducción. Actualmente la inducción ha sido incorporada a la lógica de la probabilidad y a la matemática probabilística. En esta ubicación, más rigurosa, la inducción constituye un caso particular dentro de la teoría lógica general de la deducción. Desde esta perspectiva la palabra ‘inferencia’ puede ser considerada como sinónimo de deducción. Sin embargo, debido a su imprecisión, hoy se tiende a no usarla.

LEY CIENTÍFICA: Es una hipótesis cuya verdad ha sido establecida a través de la

observación de hechos o acontecimientos que pertenecen al sector de la realidad al cual hace referencia. En la práctica científica se acepta como una limitación a esta definición el hecho de que existen proposiciones científicas que tienen la condición de leyes pero que no son verdaderas en el sentido que lo son las leyes macrofísicas, como las de la mecánica de Newton. Ello se debe a que estas proposiciones expresan relaciones estadísticas lo que las ubica dentro del ámbito de la probabilidad más que de la verdad. Las leyes de la termodinámica y de la microfísica en general son probabilísticas y también las de la economía o las de la psicología, entre otras ciencias.

PROPOSICIÓN: Puede definirse dentro de lenguaje natural o cotidiano las

proposiciones como todas las oraciones o frases que son susceptibles de ser calificadas como verdaderas o falsas. Sin embargo esta definición tiene la limitación de no esclarecer la situación de las afirmaciones del lenguaje científico que se hacen con gran frecuencia mediante fórmulas. Por ello precisaremos que también son proposiciones todas las fórmulas del lenguaje científico que pueden ser interpretadas de tal manera que resulten verdaderas o falsas. En esta última condición se encuentran todas las leyes que se expresan matemáticamente.

En el lenguaje lógico y metodológico actual son normalmente equivalentes el término proposición los de enunciado y sentencia.

RELACIÓN DE CAUSA A EFECTO: Relación entre dos variables en la cual

sabemos que los cambios que ocurren en una provocan cambios en otra. Por ejemplo, una abundante ingestión de alimentos calóricos produce un aumento de peso. Asimismo puede distinguirse entre una causación determinada o mecánica y una causación estadística.

RELACIÓN DE FUNCIONALIDAD: Se dice que existe una relación de

funcionalidad entre dos hechos o propiedades cuando ésta puede ser expresada mediante una proposición matemática de la forma y = f(x). Sin embargo esto no significa necesariamente que la propiedad o hecho denotado por y es producido por el hecho denotado por x. Si esto último ocurre entonces la relación de funcionalidad es además una relación de causalidad.


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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Bunge, Mario. La Ciencia: su Método y su Filosofía. Buenos Aires: Edit. siglo

XX; 1994. 2. Bunge, Mario. La Investigación Científica: su estrategia y su filosofía.

Barcelona: Edit. Ariel S.A.; 1989.

3. Ishiyama Cervantes, Raúl. (Editor) Feria Escolar Nacional de Ciencia y Tecnología, Guía del Participante. Lima: Concytec; 2002.

4. Piscoya Hermoza, Luis. Investigación Científica y Educacional. Un enfoque

epistemológico. Lima: Amaru Editores; 1º edición; 1987.

5. Sabino, Carlos A. El Proceso de Investigación. Argentina: Ed. Lumen – Humanitas; 1996.

6. Tamayo y Tamayo, Mario. El Proceso de la Investigación Científica. México:

Ed. Limusa S.A.; 3ª edición; 1998.

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