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¿CÓMO MEDIR EL ESPESOR DE UN CABELLO SIN TOCARLO?
RESUMEN
En este trabajo se determinó el espesor un cabello humano usando láseres de
diferente longitud de onda(rojo: λ = 650 ± 10 nm; verde: λ = 532 ± 10 nm; purpura: 405 ±
10 nm). El experimento consistió en hacer incidir el láser sobre la superficie de un cabello.
Para el montaje experimental se utilizaron mesas Newport con sus accesorios, lo cual
permitió a fijar el sistema para de esta forma tener una mejor precisión en las mediciones.
Se observó que la separación entre los máximos de difracción esta en dependencia de
la distancia entre la pantalla en donde se proyecta el patrón de difracción y el cabello, así
como de la longitud de onda del láser incidente. Sin embargo, se demostró que el espesor
del cabello es independiente de la longitud de onda del láser. Para el análisis de los
patrones de difracción se ocuparon programas de procesamiento de imágenes como
ImageJ y video Tracker. Con el primero fue posible obtener mediciones más precisas
entre las distancias del máximo central a los consecutivos, mientras que el segundo nos
permitió trazar un perfil de línea de la intensidad de los mismos, de tal forma que se
demostró que la intensidad disminuye conforme la distancia entre máximos y el máximo
central incrementa, además de observar el carácter ondulatorio de la luz. El modelo que
se aplicó para abordar el problema fue el experimento de difracción de Thomas Young.
Lo innovador de este trabajo fue realizar el estudio de la óptica ondulatoria con láseres
de diferente longitud de onda y de esta manera comprobar experimentalmente el carácter
ondulatorio de la luz. El espesor del cabello obtenido experimentalmente con el láser rojo
fue de 64.83 ± 4.33 μm, con el verde 67.23 ± 2.73 𝜇𝑚 y con el purpura de 66.23 ± 4.86 𝜇𝑚.
Para verificar los resultados anteriores se tomó una imagen con un Microscopio Óptico
cuya amplificación fue de 10 X, encontrando un valor de 75 𝜇𝑚 aproximadamente. Es
importante mencionar que se realizaron experimentos con más cabellos y la mayoría
oscilaba en un espesor entre 30 𝑦 140 𝜇𝑚, lo cual está en concordancia con lo reportado
en la literatura.
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1. INTRODUCCIÓN
El año 2014 ha sido declarado Año Internacional de la Cristalografía por las
Naciones Unidas, para conmemorar el centenario del descubrimiento de la difracción de
rayos X por Max von Laue (1912) y el enunciado de la ecuación de Bragg (1913). A lo
largo de estos 100 años la difracción de rayos X ha tenido, y tiene todavía, un papel
esencial en el estudio y determinación de estructuras cristalinas [1]. Además, también fue
posible determinar la estructura en forma de doble hélice del ADN mediante estudios de
difracción, lo cual es de vital importancia para la compresión de la vida. Por tal motivo
resulta de sumo interés investigar este tipo de fenómenos ondulatorios que presenta la
radiación electromagnética al incidir sobre la materia.
Sin embargo, la difracción de una estructura tridimensional es compleja y requiere
de equipos costosos (como por ejemplo difractometros de rayos X) para realizar dicho
estudio [2]. Posiblemente estemos más familiarizado con la difracción de la luz en
obstáculos más sencillos, como la doble rendija del experimento de Young, en donde la
luz que se difracta en dos rendijas próximas y paralelas interfiere sobre una pantalla
produciendo franjas luminosas alternadas con otras oscuras (franjas de Young) [3,4].
Por lo tanto, en este trabajo se enfoca en el estudio de la difracción de la luz, y
mediante este determinar el espesor de un cabello humano usando distintos láseres con
diferentes longitudes de onda (purpura: 405 ± 10 nm, verde: 532 ± 10 nm, rojo: 650 ±
10 nm). Por lo que el objetivo general del proyecto es determinar el espesor de un cabello
humano sin necesidad de medirlo directamente, es decir, se determinara de manera
indirecta aplicando conceptos de difracción de la luz.
Dentro de los objetivos particulares del proyecto se tienen los siguientes:
• Demostrar que el espesor del cabello según el modelo propuesto es independiente
de la longitud del láser incidente.
• Observar y medir que la separación entre máximos de difracción está en
dependencia de la longitud de onda incidente.
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• Aplicar programas de procesamiento de imágenes para tener una mayor precisión
en la medición.
Modelo de difracción de la luz desde el punto de vista de la física ondulatoria.
La luz se puede ver como partícula o como onda. La óptica geométrica, depende de
la naturaleza corpuscular de la luz. La óptica ondulatoria depende de la naturaleza
ondulatoria de la luz. Los fenómenos de interferencia, difracción y polarización no se
pueden explicar de manera adecuada con la óptica de rayos, pero se pueden entender si
la luz es vista como una onda [5,6].
Los efectos de interferencia en las ondas de luz no son fáciles de observar debido a
que las longitudes de ondas involucradas son relativamente pequeñas (del orden de
nanómetros). Sin embargo, las dos condiciones siguientes facilitan la observación de
interferencia entre dos fuentes de luz:
1. Las fuentes son coherentes, lo cual significa que las ondas que emiten deben
mantener una fase constante una con respecto a la otra.
2. Las ondas tienen longitudes de onda idénticas.
Por lo tanto para abordar el problema en el presente trabajo se considera que
cuando un haz colimado de luz monocromática (en este caso los láseres) incide sobre un
hilo cilíndrico, con sección circular, sobre una pantalla relativamente alejada se observa
una serie de máximos de interferencias/difracción, separados por mínimos nulos, como
se esquematiza en la Fig.1. El máximo central tiene una anchura mayor que los máximos
laterales, y en teoría su intensidad es mucho mayor.
Si la longitud de onda de la luz es 𝜆 y el diámetro del cabello es 𝑑, se demuestra que
el 𝑚 − 𝑠𝑖𝑚𝑜 máximo de intensidad luminosa en la pantalla se encuentra en la posición
angular (véase la Fig.1) está dada por:
senαm = mλ
d⋯ (1), con m = ±1, ±2, ±3, ±4 … . . 𝑚
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Donde 𝑥 es la distancia entre el cabello y la pantalla en la cual se proyectará el
patrón de difracción, e 𝑦𝑚 es la distancia del 𝑚 − 𝑠𝑖𝑚𝑜 máximo al centro del máximo de
difracción. Con la aproximación anterior e igualando las Ec. (1) y (2), es inmediato deducir
la siguiente expresión:
𝑦𝑚 =𝑚𝜆
𝑑𝑥 ⋯ (3)
De acuerdo al modelo explicado anteriormente, la hipótesis de nuestro proyecto es
la siguiente:
La separación entre los máximos de difracción esta en dependencia de la longitud
de onda de la luz incidente, siendo menor conforme 𝜆 disminuya. Además, la separación
entre máximos también depende de la distancia entre el cabello y la pantalla en donde
se proyecta el patrón de difracción 𝑥. Sin embargo, el valor obtenido experimentalmente
del espesor del cabello humano es independiente de la longitud de onda de la luz
incidente.
Es importante mencionar que lo innovador de este trabajo radica en que se realizó
el estudio con tres diferentes láseres con diferente longitud de onda, a diferencia de otros
trabajos en donde se aborda el problema utilizando un solo láser. Además, los patrones
de difracción son analizados con programas procesadores de imágenes como ImagenJ
y video tracker, los cuales permiten una mayor precisión en cuanto a las mediciones y
Fig.1. Esquema representativo del patrón difracción cuando un láser incide sobre un
cabello cuyo espesor es d.
Debido a que, en nuestro experimento,
los valores de los ángulos αm para los
primeros máximos de difracción son
suficientemente pequeños, entonces se
puede aplicar la siguiente aproximación
[7]:
senαm ≈ tanαm =ym
x⋯ (2)
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trazar espectros de intensidad de la luz para observar de mejor manera el carácter
ondulatorio de la luz.
2. DESARROLLO EXPERIMENTAL
Para este trabajo se utilizaron los siguientes materiales y equipo:
• Mesas Newport y accesorios.
• Láseres (𝜆 = 650 ± 10 𝑛𝑚, 5𝑚𝑊; 𝜆 = 532 ± 10 𝑛𝑚, 5𝑚𝑊; 405 ± 10 𝑛𝑚, <
1 𝑚𝑊 ).
• Flexómetro
• Cámara fotográfica de un celular
• Programa procesador de imágenes ImageJ.
• Programa procesador de imágenes y videos video Tracker.
• Cabellos
• Pantalla
• Programa procesador de datos y graficas Origin 8
• Microscopio Óptico
Para el montaje del experimento se utilizaron dos mesas Newport, ver Fig. 2, las
cuales sirvieron como base para montar parte de sus accesorios, los cuales sirvieron para
fijar el puntero laser y alinear el cabello de forma perpendicular a él. Posteriormente, se
miden determinadas distancias (109.2, 99.2, 89.4, 79.6, 69.5 y 59.4 cm, todas con una
incertidumbre del ±0.05 cm, esto tomando en cuenta la división más pequeña del
flexómetro dividida entre dos [8]) entre el cabello y la pantalla en donde el patrón de
difracción se proyectará. Es importante mencionar que sobre la pantalla se colocó una
referencia (una línea trazada con un lápiz de 2 cm de longitud) para medir las distancias
entre los máximos de difracción (ver Fig. 2). Una vez alineado el sistema se oprime el
botón de encendido del láser para generar el patrón de difracción. Después con una
cámara de celular se toman las fotografías de los patrones de difracción procurando que
estas estén lo más alineadas posible y que salga en la imagen la referencia para que sea
analizada con los programas. Este proceso se repite con las distancias mencionadas
anteriormente utilizando cada uno de los láseres. Finalmente, las imágenes son
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analizadas con los programas para obtener las distancias entre los máximos de difracción
al máximo central, así como para determinar el espectro de intensidades.
Fig 2. Montaje experimental del sistema para llevar acabo los experimentos de difracción
¿Cómo medir con imageJ?
En la Fig. 3 se muestra una breve explicación de cómo medir con ImageJ. Lo primero
es abrir la imagen que se desea analizar y ubicar la referencia que se colocó en la pantalla
previamente (en este caso 2 cm), ver I. Posteriormente, se le da la escala al programa,
así como las unidades en que se está midiendo, ver II. Después, se comienza a medir
del centro del máximo central a los centros de los máximos laterales, ver III, y finalmente
el programa nos proporciona el resultado, ver IV.
¿Cómo medir con video tracker?
En la Fig. 4 se muestra brevemente el procedimiento para obtener el espectro de
intensidades de los patrones de difracción. El programa video tracker cuenta con la
función de analizar imágenes, lo primero que se hace es fijar un sistema de referencia
(en nuestro caso se utilizó un sistema coordenado x-y), después se ubican dos puntos
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con diferente intensidad, en los cuales se pide la posición en el eje x (dato obtenido con
ImageJ) y en el eje y el valor de la intensidad, la cual se puso 100% al punto máximo
central. Finalmente, se crea un perfil de línea para realizar un barrido sobre el eje x, para
que el programa nos proporcione valores numéricos de posición (cm) vs
intensidad(luxes).
Fig. 3. Descripción breve de cómo medir las distancias entre los máximos de difracción y al
máximo central con imageJ.
Es importante mencionar que el programa nos proporciona la intensidad en luxes,
sin embargo, hay que tener en cuenta que el valor del 100% que nosotros
proporcionamos al programa solo fue porque a simple vista es el de mayor intensidad,
por lo que no podemos asumir que el resultado este dado en luxes, es por ello que en el
análisis se pondrán unidades arbitrarias (u.a).
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Fig. 4. Análisis del patrón de difracción con video tracker y determinación de los puntos
experimentales de la posición e intensidad de los máximos de difracción, correspondientes a una
distancia pantalla-cabello de 𝟏𝟎𝟗. 𝟐 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 𝐜𝐦 .
3. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS
La Fig. 5(a) muestra un patrón de difracción generado por el láser rojo (𝜆 = 650 ±
10 𝑛𝑚). En la tabla 1 se presentan los valores numéricos de las mediciones de las
distancias entre el máximo de difracción central a los primeros cinco máximos
consecutivos (y1, y2, y3, y4 y y5). En primera instancia, se puede observar que conforme
disminuye la distancia pantalla-cabello, la separación entre el máximo central y los
máximos también disminuye, lo cual concuerda con la Ecu. (3). Con el programa video
tracker se puede trazar un perfil de línea, lo que nos brindó información de cómo
disminuye la intensidad de la luz conforme los máximos de difracción estén más distante
del centro. Tomando los valores numéricos de distancia e intensidad proporcionados por
video tracker, se realizó el grafico del espectro con ayuda de Origin 8 (software para
analizar datos y crear graficas), del tal forma que se puede determinar la posición de los
máximos de difracción, los cuales coinciden aproximadamente con los medidos con
imageJ, ver Fig. 5(b).
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Tabla 1. Valores numéricos de las mediciones realizadas con ImageJ para el patrón de difracción con el láser rojo.
𝒙(±𝟎. 𝟎𝟎𝟓 𝒄𝒎) 𝒚𝟏(±𝟎. 𝟎𝟎𝟓 𝒄𝒎) 𝒚𝟐(±𝟎. 𝟎𝟎𝟓 𝒄𝒎) 𝒚𝟑(±𝟎. 𝟎𝟎𝟓 𝒄𝒎) 𝒚𝟒(±𝟎. 𝟎𝟎𝟓 𝒄𝒎) 𝒚𝟓(±𝟎. 𝟎𝟎𝟓 𝒄𝒎)
109.2 1.289 2.198 3.095 4.017 4.891
99.2 1.165 1.986 2.895 3.805 4.630
89.4 1.074 1.873 2.664 3.456 4.247
79.6 0.928 1.641 2.286 2.950 3.608
69.5 0.869 1.427 1.951 2.562 3.129
59.4 0.778 1.024 1.716 2.185 2.613
En la Fig. 5(c) se puede observar que la variación de la distancia 𝑥 se comporta
linealmente con las distancias y1, y2, y3, y4 y y5. Por lo tanto, se puede realizar un ajuste a
los puntos experimentales por el método de mínimos cuadrados para determinar la
pendiente. Una vez determinada la pendiente en cada caso se iguala con el valor dado
por la Ecu. (3), es decir,
𝑝 =𝑚𝜆
𝑑⋯ (4)
Fig 5. (a) Patrón de difracción a una distancia de 109.2 cm del cabello a la pantalla. (b) Espectro de
intensidad (unidades arbitrarias) realizado con video tracker en donde se puede ver como
disminuye la intensidad conforme los máximos de difracción se alejan del máximo central. (c)
Grafica que presenta la variación de la pendiente de x(cm) vs Ym(cm). Las imágenes anteriores
corresponden al patrón de difracción correspondiente al laser rojo.
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Por lo que por medio de la Ecu.(4) se determina el valor del espesor del cabello, los
resultados se muestran en la tabla 2. Como se puede observar el valor obtenido del
espesor del cabello humano que se analizó se aproxima independientemente del máximo
con el que se calculó, tomando el promedio de las mediciones con su respectiva
desviación estándar tenemos que el espesor del cabello obtenido experimentalmente con
el láser rojo es 64.83 ± 4.33 μm.
En la tabla 3 se presentan los valores numéricos para el caso de los patrones
difracción correspondientes al láser verde. Se puede observar que las distancias y1, y2,
y3, y4 y y5 disminuyen en comparación a las medidas usando el láser rojo de una mayor
longitud de onda. En la Fig. 6(a-c) se presenta el patrón de difracción, su espectro de
intensidades así como las gráficas de 𝑥 vs 𝑦𝑚 para los patrones de difracción del láser
color verde.
Tabla 2. Resultados de la pendiente para cada máximo de difracción, coeficiente R2 y determinación del espesor del cabello usando el láser rojo.
P 𝑹𝟐 𝒅(𝝁𝒎)
y1 0.0103 0.984 63.10 y2 0.0224 0.960 58.03 y3 0.0290 0.988 67.24 y4 0.0385 0.986 67.53 y5 0.0475 0.983 68.42
Tabla 3. Valores numéricos de las mediciones realizadas con ImageJ para el patrón de difracción con el láser verde.
x(cm) y1(cm) y2(cm) y3(cm) y4(cm) y5(cm)
109.2 1.102 1.757 2.472 3.133 3.831
99.2 1.057 1.610 2.325 2.959 3.612
89.4 0.913 1.464 2.065 2.618 3.213
79.6 0.847 1.291 1.818 2.275 2.783
69.5 0.770 1.147 1.561 1.967 2.386
59.4 0.714 0.906 1.360 1.665 1.980
En la tabla 4 también se puede observar que la pendiente de las rectas disminuye,
sin embargo, utilizando la Ec.(4) para determinar el espesor del cabello se obtuvo un
resultado de 67.23 ± 2.73 𝜇𝑚, el cual es muy cercano al obtenido usando el láser rojo.
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Fig 6. (a) Patrón de difracción a una distancia de 109.2 cm del cabello a la pantalla. (b) Espectro de
intensidad (unidades arbitrarias) realizado con video tracker en donde se puede ver como
disminuye la intensidad conforme los máximos de difracción se alejan del máximo central. (c)
Grafica que presenta la variación de la pendiente de x(cm) vs Ym(cm). Las imágenes anteriores
corresponden al patrón de difracción correspondiente al laser verde.
Tabla 4. Resultados de la pendiente para cada máximo de difracción, coeficiente R2 y determinación del espesor del cabello usando el láser verde.
P 𝑹𝟐 𝒅(𝝁𝒎)
y1 0.0082 0.972 64.87 y2 0.0167 0.991 63.71 y3 0.0232 0.993 68.79 y4 0.0306 0.992 69.54 y5 0.0384 0.991 69.27
Finalmente, en la tabla 5 se presentan los valores numéricos obtenidos de las
mediciones de los patrones de difracción generados con el láser purpura. En la Fig. 7(a-
c) se presenta el patrón de difracción, espectro de intensidades y las gráficas de 𝑥 vs 𝑦𝑚.
En la tabla 6 se puede observar que la pendiente disminuye a diferencias de los láseres
utilizados anteriormente, sin embargo, nuevamente el valor del espesor del cabello no
varía demasiado con respecto al obtenido con los otros láseres. El promedio de los
resultados, tomando el valor obtenido para cada máximo así como su desviación
estándar, es 66.23 ± 4.86 𝜇𝑚.
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Tabla 5. Valores numéricos de las mediciones realizadas con ImageJ para el patrón de difracción con el láser purpura.
x(cm) y1(cm) y2(cm) y3(cm) y4(cm) y5(cm)
109.2 0.805 1.405 1.974 2.564 3.155
99.2 0.844 1.316 1.873 2.409 2.956
89.4 0.661 1.129 1.571 2.043 2.502
79.6 0.597 1.006 1.441 1.828 2.237
69.5 0.595 0.925 1.251 1.569 1.882
59.4 0.579 0.835 1.074 1.313 1.546
Tabla 6. Resultados de la pendiente para cada máximo de difracción, coeficiente R2 y determinación del espesor del cabello usando el láser purpura.
P 𝑹𝟐 𝒅(𝝁𝒎)
y1 0.0055 0.689 73.63 y2 0.0119 0.969 68.06 y3 0.0186 0.980 65.32 y4 0.0258 0.989 62.79 y5 0.0330 0.990 61.36
Fig 7. (a) Patrón de difracción a una distancia de 109.2 cm del cabello a la pantalla. (b) Espectro de intensidad (unidades arbitrarias) realizado con video tracker en donde se puede ver como disminuye la intensidad conforme los máximos de difracción se alejan del máximo central. (c) Grafica que presenta la variación de la pendiente de x(cm) vs Ym(cm). Las imágenes anteriores corresponden al patrón de difracción correspondiente al laser purpura.
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Para corroborar los resultados anteriores se tomó una imagen con el Microscopio
Óptico (MO) del cabello estudiado, ver Fig. 8. Tomando la escala del MO se encontró
aproximadamente el espesor de 75 𝜇𝑚, lo cual concuerda aproximadamente con el
encontrado experimentalmente.
Fig. 8. Imagen de MO del cabello usado para el estudio de difracción de la luz.
4. CONCLUSIONES
En este trabajo se realizó el estudio de la naturaleza ondulatoria de la luz por medio
de medir el espesor de un cabello humano. Se determinó que el espesor del cabello es
independiente de la longitud de onda del láser incidente. También, logramos comprobar
experimentalmente que la separación entre los máximos de difracción esta en
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dependencia de la distancia cabello-pantalla y de la longitud de onda del láser incidente.
Se utilizaron programas de procesamiento de imágenes para obtener una mejor precisión
en las mediciones y observar el espectro de intensidades conforme los máximos de
difracción se encuentran distantes del máximo central, teniendo así una mejor
comprensión sobre la naturaleza ondulatoria de la luz. Para verificar los resultados
obtenidos se tomó una imagen de MO del cabello encontrando un resultado relativamente
cercano al encontrado experimentalmente. Finalmente, con este proyecto logramos una
mejor comprensión de la interacción entre radiación electromagnética y materia, en
particular el fenómeno de difracción.
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Panamericana Washington D.C.
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