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GEOMETRA EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS Resumen:

Hoy es difcil concebir una clase de matemticas que no sea un taller donde se resuelven problemas. Se piensa, y creo que con razn, que el conocimiento matemtico se adquiere resolviendo problemas. Ya se sabe que numerosos estudios y manuales avalan y ensean a utilizar esta forma de aprendizaje. El objetivo de esta charla es poner de manifiesto, mediante algunos ejemplos clsicos, que los problemas de Geometra juegan un importante papel y son especialmente idneos para favorecer y facilitar el aprendizaje matemtico.

Para comenzar un problema! Existen siempre en todo poliedro dos caras con el mismo nmero de aristas? (Z. Michalewicz y D. B. Fogel How to Solve it: Modern Heuristics). Lo dejamos as, para pensarlo un poco, y al final volveremos sobre l. Un poco de Historia. Hace ms de 3000 aos que se estn resolviendo problemas de Geometra. En el Papiro de Rhind (1700 a.C.) aparecen clculos de reas de tringulos, cuadrados, trapecios y del crculo.

En Egipto y Grecia los problemas de Geometra fueron la base del conocimiento matemtico. Y podemos decir que hasta el Renacimiento la forma ms aceptada de razonamiento era geomtrico. Incluso en lgebra, cuya forma retrica dificultaba los razonamientos, identidades como la del cuadrado de un binomio eran slo verificables comparando reas (ver figura). Lo mismo ocurre con la resolucin de ecuaciones. Hasta la aparicin del

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lgebra simblica, la Geometra era la nica herramienta de que se dispona para alcanzar la solucin de un problema algebraico. Trabajos como los de Fibonacci y posteriormente Cardano y Tartaglia nos muestran esta forma de proceder.

As, la resolucin de ecuaciones cuadrticas se haca completando geomtricamente un cuadrado, como puede verse en la siguiente figura. La famosa solucin de la ecuacin cbica del cubo y las cosas igual al nmero la obtiene Cardano (Ars Magna) razonando sobre figuras planas, pero, en realidad, es como si estuviera hacindolo con lo que hoy llamamos policubos.

Tenemos, pues, razones histricas para pensar que la Geometra ha sido durante siglos la base de los procesos demostrativos en matemticas.

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Por qu resolver problemas. La clase de matemticas ha vivido muchos cambios a lo largo de la historia y en todos los niveles educativos: lecciones magistrales, clases tericas seguidas de numerosos ejercicios, clases de teora y clases de problemas impartidas por separado, resolucin de problemas de los que surgen las ideas tericas, etc. Hoy da parece comprobado que, al menos en la enseanza media, el modelo de plantear problemas y a travs de ellos ir introduciendo los conceptos tericos es el ms adecuado para el proceso de enseanza-aprendizaje. Incluso entre los docentes universitarios va calando tambin la idea de que este modelo, unido a una percepcin histrica de los problemas que generaron las teoras, es la mejor manera de plantear las clases. Resolver problemas es, sin duda, no slo el objetivo, sino tambin la forma de aprender matemticas. Aunque puedan parecer una exageracin, las palabras del britnico Godfrey H. Hardy abundan en este sentido:

La nica forma de aprender matemticas es resolver diez problemas todos los das de la semana, ... y veinte los domingos.

La pregunta entonces es: se puede aprender a resolver problemas? Y la respuesta es: s, resolviendo problemas! Por supuesto hay estrategias de resolucin de problemas (G. Polya, M. de Guzmn, ), pero resolver problemas de matemticas es como montar en bicicleta: hay que montarse y, casi seguro, caerse ms de una vez. Aunque hayamos visto, incluso a cmara lenta, vdeos y vdeos de excelentes ciclistas mostrando la forma de hacerlo, si no nos arriesgamos no aprenderemos nunca. Los problemas de Geometra. El objetivo que se pretende en esta charla es poner de manifiesto que los problemas de Geometra favorecen especialmente el aprendizaje en la resolucin de problemas. Los motivos son variados, pero aqu los vamos a resumir en cuatro: 1. La visualizacin del problema, que se traduce en aspectos tales como:

El problema est plasmado en una imagen que tenemos presente. La figura permite recordar las caractersticas de los objetos construidos. El trazado de unas lneas puede dar luz sobre la solucin. Aunque existe el peligro de la prdida de generalidad al dibujar las figuras.

As, si pedimos dibujar un tringulo equiltero, otro issceles y otro rectngulo, la mayora nos presentar este dibujo

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y muy pocos lo presentaran as

2. La facilidad para compaginar la intuicin y el rigor. Es bien sabido que el rigor es una herramienta necesaria para el matemtico, pero es importante no sobrevalorar su importancia y saber en qu momento debe hacerse presente. Los procesos matemticos, como los procesos cientficos en general, atraviesan dos etapas: en primer lugar hay una fase "intuitiva" en la que se busca, se imagina, se conjetura sobre cul puede ser la solucin del problema. En esta etapa se puede actuar sin rigor, es ms, a veces el rigor puede ser contraproducente. En segundo lugar est la fase "demostrativa" en la que, por mtodos rigurosos, hay que probar que la solucin encontrada es verdaderamente la solucin del problema. Aqu es donde el rigor se hace imprescindible. En los problemas de Geometra se aprecia muy bien esta dualidad. En el siguiente ejemplo sospechamos que el tringulo es equiltero, pero necesitaremos probarlo con un razonamiento riguroso, que se encuentra fcilmente con slo trazar la recta AP.

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A Pm

P'

Se pliega por AB de modo que P caiga sobre P' en m y se vuelve a plegar por BP'.

Cmo es el tringulo ABC?B

C

Pero tambin es posible que la intuicin, quizs ayudada por un dibujo mal hecho, nos conduzca a resultados errneos, como en el conocido ejemplo que prueba que todos los tringulos son issceles:

A

B

C

mediatriz

P

bisectriz

A

B

C

mediatriz

Todos los tringulos son issceles

bisectriz

P

En la primera figura, la igualdad de los tringulos rectngulos que aparecen conduce a la igualdad de los lados AB y BC. En la segunda, la bisectriz, que ahora est correctamente trazada, corta a la mediatriz fuera del tringulo, concretamente, en la circunferencia circunscrita, lo que es fcil probar, y que no permite hacer el razonamiento aditivo sobre segmentos que se haca antes.

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3. La posibilidad de empezar con casos sencillos. Muchos problemas de Geometra pueden replantearse con formas ms simples, lo que permite en muchos casos obtener soluciones particulares que pueden generalizarse o aportar ideas para resolver el caso general. Por ejemplo, en la siguiente figura se han prolongado los lados del cuadriltero ABCD, todos en el mismo sentido, el doble de su longitud. Si el rea de ABCD es k, cul es el rea del cuadriltero PQMN?

Si ABCD fuese un rectngulo la solucin es sencilla:

Si el rea de ABCD es k, el rea del cuadriltero PQMN es 5k, porque cada tringulo es equivalente al rectngulo. Lo mismo ocurre si ABCD fuese un romboide:

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Intuyendo que en el caso general ser lo mismo, nos apoyamos en los casos anteriores para demostrar que es as:

Ahora el rea de los tringulos no coincide con la del cuadriltero, pero el rea de cada uno de ellos resulta ser el doble de cada uno de los tringulos que determinan las diagonales en ABCD. Sumando todas las reas se obtiene el resultado esperado. Otro ejemplo, ms complicado, es el clculo del rea bajo un arco de cicloide. Aunque en secundaria no podemos pretender llegar a una prueba formal, s que podemos, por aproximaciones sucesivas, jugando a ser Arqumedes, conjeturar una frmula para dicha rea. Empezamos volteando un tringulo equiltero y observamos que el rea bajo la poligonal es tres veces el rea del tringulo:

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Si volteamos un cuadrado resulta otra vez que el rea bajo la poligonal es tres veces el rea del cuadrado:

Si repetimos el proceso con un pentgono regular, hexgono, etc. resulta de nuevo que el rea bajo la poligonal es tres veces el rea del polgono. Es fcil intuir entonces que el rea que encierra un arco de cicloide es tres veces el rea del crculo, y no podemos ir ms all, pero ya es mucho.

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4. Consideremos el problema resuelto. La visualizacin de un problema geomtrico permite, en muchos casos, suponer que hemos encontrado la solucin y analizar qu propiedades la relacionan con los datos del problema y si stas son reversibles, es decir, ver si es posible usando estas relacionas hallar la solucin a partir de los datos.

BA

D

C

66,2

106,8

Suma de los ngulos B y D = 172,97

BA

D

C 87,8

106,8

Suma de los ngulos B y D = 194,53

Por ejemplo, si queremos saber qu propiedad debe tener un cuadriltero para que sea inscriptible suponemos que existe una circunferencia que pasa por los cuatro vrtices. Entonces observamos que la suma de los ngulos opuestos es 180 y, adems, si alguno de los vrtices es interior o exterior al crculo determinado por los otros tres, dicha suma es mayor o menor, respectivamente, que 180. Hemos encontrado as la caracterizacin que buscbamos. Otro ejemplo clsico es el de encontrar el camino ms corto entre dos pueblos, teniendo que cruzar un puente. Si suponemos el problema resuelto, pensemos que, como la longitud del puente es constante, podemos situarla al inicio del recorrido y, a partir de ah, la mnima distancia a recorrer sera en lnea recta desde A hasta B.

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A

B

ro

A'

puente

Esto nos marca la situacin del puente y de ah la solucin del problema. El razonamiento para comprobar que, efectivamente, ste es el camino ms corto es fcil, observando que seguir cualquier otro equivale a ir de A a B por un camino diferente al rectilneo. Los programas de geometra dinmica. Cmo hemos podido apreciar a lo largo de la exposicin, un programa como CABRI nos ayuda muchsimo a realizar construcciones geomtricas, visualizar los problemas, encontrar relaciones entre los objetos, modificar las posiciones de los mismos, hallar lugares geomtricos, etc. Pero el principal atractivo de los programas de geometra dinmica, desde un punto de vista matemtico, es que permiten hacer conjeturas, avanzar resultados que luego, por supuesto, habrn de ser probados. Se expone como ejemplo el clculo de la altura a la que se cruzan dos cables que unen dos postes. La visualizacin en CABRI hace pensar que esa altura es la misma cuando se aproximan o separan los postes. La prueba, aplicando el Teorema de Thales, confirma que la altura slo depende de la longitud de los postes.

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Y en un segundo ejemplo la propiedad del tringulo equiltero referente a la suma de distancias desde un punto interior del tringulo a los lados del mismo:

B

C

A

P

FD

E

3,00 cm 2,05 cm

2,30 cm

PD+PE+PF = 7,35 cm

Altura del tringulo h = 7,35 cm

Cunto suman las distancias desde P a los tres lados del tringulo?

Al mover el punto P con ayuda del programa se observa que la suma de distancias coincide con la altura del tringulo. Entre las diferentes pruebas de esta propiedad, destacamos una, comparando las reas de los tringulos que se forman, y otra, ms en consonancia con la idea que venimos desarrollando, reduciendo el problema a un caso ms sencillo, cuando P est en un lado del tringulo, y generalizando despus la situacin a cualquier punto interior.

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Y para terminar En todo poliedro existen siempre dos caras con el mismo nmero de aristas. La resolucin de este problema se enmarca dentro de lo que se llama Principio del Palomar. Si en una plaza hay trece palomas revoloteando y su palomar tiene doce huecos para entrar y salir, cuando las palomas vayan a recogerse habr, al menos, un hueco por el que entren ms de una paloma. Este principio tan simple nos sirve para resolver problemas, como el propuesto, que de entrada parece bastante complicado. En primer lugar observemos que si una cara tiene x aristas, rodendola habr x caras. Entonces, si el poliedro tiene n caras, habr una que tenga el mximo nmero de aristas. Este mximo no puede ser n porque si fuera as de esa cara saldran n caras y el poliedro tendra n+1 caras. Luego, el mximo nmero posible de aristas que puede tener una cara es n-1. Aplicando ahora el principio del palomar, tenemos n-1 nmeros posibles de aristas en una cara (huecos) y n caras en total (palomas). Por lo tanto, al menos dos caras tienen el mismo nmero de aristas. En realidad el resultado es ms fuerte porque el razonamiento anterior supone que el nmero de aristas que tiene cada cara es 1, 2, 3, 4, , n-1. Pero el 1 y el 2 no son vlidos, luego el nmero de huecos es n-3 y, as, hay tres palomas que tienen que entrar por huecos ya usados, para lo que existen, claro est, diferentes combinaciones. Bibliografa. Francisco Martn Casalderrey. Cardano y Tartaglia. Las matemticas en el Renacimiento Italiano. Ed. Nivola. Madrid. 2000. Zbigniew Michalewicz y David B. Fogel. How to Solve it: Modern Heuristics. Ed. Springer. 3 Edicin. Berln, 2002. Jos M. Pichel. Requeteoremas: reinventando teoremas de Geometra con Cabri II. Revista SUMA. N 36. 2001. Norma C. Presmeg. Las posibilidades y peligros del pensamiento basado en imgenes en la resolucin de problemas matemticos (Traduccin de Julio Sancho). Revista SUMA. N 32. 1999. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. History of Mathematics. December 2000.