COMO RESOLVER PROBLEMAS DE FÍSICA

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Ok COMO RESOLVER PROBLEMAS DE FSICA

Por Alberto Ricardo Prss O seu professor passa problemas numricos para que voc possa aumentar a sua capacidade em resolv-los ou possa compreender alguma lei cientifica. Por exemplo, uma das primeiras equaes que aprendemos :

Resolvendo esta equao, voc aprende a relao entre a fora necessria para mover um objeto e o peso deste. Sugerimos seis etapas para resolver os problemas 1. Leia o seu problema cuidadosamente; compreenda o que est enunciado. 2. Escreva cada item que dado. 3. Escreva o que pretende determinar. 4. Desenhe um diagrama simples com os dados do problema e do que pretende determinar. 5. Pense num modo de resolver o problema. (Use uma equao, se possvel). 6. Resolva o problema, eliminando tudo aquilo que for desnecessrio, onde for possvel e aconselhvel. Verifique a resposta obtida Pergunte a si mesmo se a soluo encontrada lgica ou no. Se a sua resposta a um problema sobre movimento que um automvel se move com uma velocidade de 1.500 km/h, (!) provavelmente a soluo encontrada no est certa e o melhor que tem a fazer verificar tudo novamente. Todas as vezes que voc usa uma equao, pode verificar, at certo ponto, a correo do seu resultado substituindo a resposta na equao. Elimine os termos semelhantes em ambos os membros da equao. Finalmente, se obtiver dois membros iguais, voc pode concluir que a soluo algbrica est correta. Deve, pois, procurar o erro noutra parte do problema. Texto adaptado e ampliado de: Fsica Na Escola Secundria De Oswald H. Blackwood, Wilmer B. Herron & William C. Kelly Traduo de Jos Leite Lopes e Jayme Tiomno Editora Fundo de Cultura

Testes de Cinemtica Lista 1 1. Um corpo, no instante de tempo t0 = 0 , lanado verticalmente para cima e alcana uma altura H num instante de tempo t. Supondo nula a resistncia do ar, identifique entre os grficos abaixo, o que melhor representa a variao do deslocamento do corpo, em funo do tempo, desde t0 at t. As curvas so ramos de parbola.

2. Um trem que possui 100 m de comprimento atinge a boca de um tnel e, 30 s aps, a extremidade de seu ltimo vago abandona o tnel. Sabendo que a velocidade do trem constante e igual a 20 m/s, podemos concluir que o comprimento do tnel (A) 4,5x102 m. (B) 5,0x102 m. (C) 6,0x102 m. (D) 7,0x102 m. (E) 7,5x102 m. 3. Um corpo, que se movimenta retilineamente, tem sua velocidade variando em funo do tempo, conforme mostra o grfico abaixo.

Pode-se afirmar que acelerao que atuou neste corpo foi (A) maior no intervalo "C" do que no intervalo "A". (B) nula no intervalo de tempo "B". (C) nula no intervalo de tempo "D". (D) varivel nos intervalos de tempo "B" e "D". (E) constante no intervalo de tempo "D".

4. Quando um corpo se movimenta retilineamente, sua velocidade varia de acordo com o tempo, conforme mostra a seguinte tabela:

O Grfico que melhor representa o comportamento da acelerao deste corpo em funo do tempo :

5.

O esquema abaixo representa um corpo que desliza, sem atrito.

No instante de tempo tA=0 , o corpo encontra-se no ponto A com velocidade vA . O ponto C o ponto mais alto da superfcie inclinada atingido pelo corpo; ele o atinge no instante t=tC. O ponto B eqidistante de A e C. Na subida, quando o

corpo passa por B, pode-se afirmar que:

6. Um corpo de massa m movimenta-se sobre uma estrada retilnea, partindo de uma posio inicial -10m. O grfico representa a velocidade deste corpo em funo do tempo.

A equao da velocidade que descreve este movimento

7. Lana-se um corpo para cima com uma velocidade inicial v i e este leva um tempo t1 para atingir a altura mxima. Pode-se afirmar, desprezando as foras de resistncia do ar: (A) Na metade da altura v=vi/2 (B) Na metade da altura t=t1/2 (C) Para t=t1 a acelerao zero. (D) Para t=2t1 o corpo estar no ponto de partida. (E) Na metade da altura t=3t1/2 . 8. Considere o grfico posio (x) em funo do tempo (t) para um mvel em movimento retilneo. Qual o grfico velocidade (v) em funo do tempo (t)

correspondente?

9. O grfico em funo do tempo mostra dois carros A e B em movimento retilneo. Em t= 0s os carros esto na mesma posio.

O instante em que os carros novamente se encontram na mesma posio (A) 2,0 s (B) 4,0 s (C) 6,0 s (D) 8,0 s (E) 10 s 10. Um corpo lanado de baixo para cima sobre um plano inclinado, livre de atrito, com velocidade inicial de 6,0 m/s. Aps 5/3 s ele atinge o topo do plano com velocidade de 1,0 m/s. A equao de velocidade que melhor se adapta a este movimento (A) v = 6 - 5t/3 (B) v = 5 - 5t/3 (C) v = 1 - 5t/3 (D) v = 6 - 3t (E) v = 6 t 11. Dois mveis, A e B, descrevem respectivamente um movimento retilneo, representados pelo grfico v=f(t) abaixo.

A razo entre os deslocamentos dos mveis A e B durante os respectivos intervalos de tempo (A) 5/6 (B) 3/4 (C) 1/2 (D) 1/3 (E) 4/3 12. Uma polia A de raio RA = 0,2 m est ligado, atravs de uma correia, a outra polia B de raio RB = 0,4 m sem nenhum deslizamento entre as polias e a correia,

durante o movimento.

Se o movimento descrito pelas polias A e B for movimento circular uniforme, ento a velocidade angular da polia A numericamente. (A) igual velocidade angular da polia B. (B) igual velocidade tangencial da polia A . (C) menor do que a velocidade angular da polia B. (D) maior do que a velocidade angular da polia B. (E) igual velocidade tangencial da polia B. 13. Um mvel descreve um movimento retilneo sob a ao de uma fora constante, partindo da origem com velocidade inicial nula e passando sucessivamente pelas posies x1 , x2 , x3 , x4 e x5 . O mvel gasta um intervalo de tempo igual a 1/10 de segundo na passagem entre duas posies sucessivas.

Sendo constante a acelerao do mvel, podemos afirmar que esta acelerao vale, em m/s2, (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 14. Uma esfera est deslizando sobre uma mesa sem atritos, com certa velocidade v0 . Quando a esfera abandona a superfcie da mesa, projetando-se no vcuo, descreve a trajetria representada na figura abaixo.

A altura da mesa Y de 5 m e o alcance horizontal X 10 m. Qual a velocidade

inicial v0 da esfera, em m/s? (A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 8 (E) 10 15. Um projtil disparado contra um alvo por um atirador. Sabe-se que o rudo do impacto ouvido pelo atirador 1,2 s aps o disparo e que a velocidade do projtil tem valor constante de 680 m/s. Considerando que a velocidade do som no ar de 340 m/s, a distncia entre o atirador e o alvo, em metros, de: (A) 170 . (B) 272 . (C) 300 . (D) 480 . (E) 560 . Para responder s duas prximas questes, utilizar o grfico v = f(t) abaixo.

16. No intervalo de tempo compreendido entre t = 0 s e t = 2 s , a acelerao, em m/s2 , igual a (A) zero (B) 2, (C) 3,5 (D) 4,0 (E) 5,0 17. Entre os instantes t = 4 s e t = 8 s , a distncia percorrida pelo mvel, em metros, de (A) 5 (B) 10 (C) 20 (D) 30 (E) 40 18. Qual dos grficos abaixo representa a variao da velocidade v, em funo do tempo t, de uma pedra lanada verticalmente para cima? (A resistncia do ar desprezvel.)

19. A posio inicial de um mvel que descreve um movimento retilneo, representado pelo grfico v = f(t) a seguir, vale 10 m.

A equao horria que melhor representa o movimento considerado : (A) x = 10 + 30t - 4t2 (B) x = 10 + 30t + 2t2 (C) x = 10 + 30t - 2t2 (D) x = 30t - 4t2 (E) x = 30t - 2t2 20. Dois automveis, A e B, se deslocam sobre uma mesma estrada, na mesma direo e em sentidos opostos, animados, respectivamente, das velocidades constantes vA = 90 km/h e vB = 60 km/h. Num determinado instante t 0 = 0 , passam pelo mesmo referencial. Ao final de 15 min contados a partir da passagem pelo referencial, a distncia entre os automveis, em km, ser (A) 10,0 (B) 37,5 (C) 42,7 (D) 54,8 (E) 81,3 21. O disco da figura gira no plano da folha em torno do eixo C, no sentido horrio, animado de um MCU. O eixo C perpendicular ao plano da figura. Os pontos 1 e 2, situados s distncias R 1 e R2 do eixo C, giram solidrios com o disco. Sabendo que R1=1/2R2, a relao entre as velocidades lineares v 1 e v2 dos pontos 1

e2

(A) v1 = 1/3v2 (B) v1 = 1/2v2 (C) v1 = v2 (D) v1 = 2v2 (E) v1 = 3v2 22. Um mvel, inicialmente em repouso, parte do referencial A da figura, no instante t = 0 , ocupando, sucessivamente, as posies B, C, D e E de segundo em segundo. Cada diviso do papel milimetrado corresponde a 1,0 m.

A acelerao do mvel, em m/s 2, vale, (A) 2,25 (B) 3,00 (C) 3,75 (D) 4,50 (E) 5,25 23. Um motor aciona o eixo 1, imprimindo a este uma velocidade angular constante de mdulo w . As polias B e C esto ligadas atravs de uma correia e as polias A e B esto ligadas por um eixo.

Com relao aos sistema, podemos afirmar que as velocidades perifricas

tangenciais (A) vB > (B) vB = (C) vB = (D) vB < (E) vB wA wB > wA wB = wA

24. Uma partcula parte do repouso com acelerao constante, percorrendo os pontos A, B, C e D em intervalos de tempos iguais (1 segundo) .

Se a partir do ponto D a acelerao da partcula for duplicada, ento a distncia DE valer, em metros, (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 25. Duas partculas so lanadas de alturas diferentes, H e 2H, com velocidades horizontais iniciais iguais, atravs de duas calhas conforme a figura.

Quando a partcula A estiver sobre a posio 3, a partcula B estar simultaneamente sobre a posio (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 26. As figuras abaixo representam quadrados nos quais todos os lados so formados por vetores de mdulos iguais.

A resultante do sistema de vetores nula na figura de nmero (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 27. Um avio est voando na horizontal em relao ao solo, com velocidade constante de 50 m/s, quando abandona uma bomba de uma altura vertical de 405 m acima do solo. Considerando nula a resistncia do ar e a acelerao da gravidade g = 10 m/s2 , a bomba ao atingir o solo, ter percorrido na horizontal uma distncia, em metros, igual a (A) 50 (B) 100 (C) 200 (D) 450 (E) 900 28. Dois carros, A e B, deslocam-se numa estrada retilnea como mostra o grfico abaixo, onde x representa a distncia percorrida durante o tempo t.

Podemos afirmar que a velocidade do carro B (A) menor que a do carro A. (B) maior que a do carro A. (C) igual do carro A. (D) cresce com o tempo. (E) decresce com o tempo. 29. Um mvel, partindo do repouso, executa um movimento retilneo uniformemente variado. Ao trmino dos 2,0 s iniciais a sua velocidade de 8,0 m/s . Qual a distncia percorrida, em metros, aps 5,0 s de movimento?

(A) (B) (C) (D) (E)

30 40 50 60 70

30. Um objeto lanado verticalmente para cima, com velocidade inicial v0 , sendo 2t0 o tempo necessrio para voltar ao ponto de partida. Dos grficos da velocidade v em funo do tempo t, a seguir apresentados, o que melhor representa a variao da velocidade do objeto enquanto se manteve em movimento

31. Duas polias, A e B, unidas atravs de um eixo rgido, executam movimento circular uniforme conforme mostra a figura.

Qual a relao entre as velocidades lineares v A e vB dos pontos da periferia das respectivas polias, sabendo-se que o raio da polia A vale a metade do raio da polia B? (A) vA = 0,5vB (B) vA = 1,0vB (C) vA = 1,5vB (D) vA = 2,0vB (E) vA = 2,5vB 32. Duas esferas, A e B, deslocam-se com velocidades constantes vA e vB , respectivamente, ocupando sucessivas posies ao longo do percurso indicado a seguir.

Sabendo-se que vA=2.vB e que num dado instante elas ocupam as posies indicadas, conclu-se que a esfera A alcanara a esfera B na posio (A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 19 (E) 20 Instruo: Responda s 2 questes seguintes considerando o grfico abaixo. O grfico da velocidade v em funo do tempo t, mostra o deslocamento retilneo de uma partcula.

33. de (A) (B) (C) (D) (E)

A partcula, nos 2,0 s iniciais de movimento, apresenta, em m/s 2 , acelerao 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

34. O deslocamento da partcula no intervalo de tempo de 4,0 s a 8,0 s , em metros, de: (A) 15 (B) 18 (C) 20 (D) 22 (E) 25 35. Em relao acelerao de um mvel que executa um movimento circular uniforme, pode-se afirmar que (A) constante em mdulo. (B) varivel em mdulo. (C) nula. (D) tem componente tangencial diferente de zero. (E) tem direo constante. 36. Nos grficos abaixo esto representadas velocidade (v), acelerao (a) e posio (d) como funes do tempo (t). O grfico que representa um movimento uniformemente acelerado o

37. Dizer que um movimento se realiza com acelerao constante de 5 m/s2significa que (A) em cada segundo o mvel se desloca 5 m. (B) em cada segundo a velocidade do mvel aumenta de 5 m/s. (C) em cada segundo a acelerao do mvel aumenta de 5 m/s. (D) em cada 5 segundos a velocidade aumenta de 1 m/s. (E) a velocidade constante e igual a 5 m/s. 38. Um disco de gravao em que h dois pontos, A e B, est representado na figura.

Ao considerar o disco em movimento de rotao, podemos afirmar que (A) A tem velocidade angular maior que B. (B) A tem velocidade angular menor que B. (C) os dois tm a mesma velocidade linear. (D) os dois tm a mesma velocidade angular. (E) B tem velocidade linear menor que A. 39. O grfico abaixo representa a posio x ocupada por um mvel em movimento retilneo e uniforme, em funo do tempo t.

A expresso matemtica desta funo (A) x = 2 + 1t (B) x = -1 + 2t (C) x = 2 + 3t (D) x = 2 + 2t (E) x = 4 - 2t 40. O grfico da velocidade v em funo do tempo t representa movimentos retilneos de dois mveis A e B.

Considerando-se os 8 segundos iniciais de movimento, correto afirmar que (A) o mvel A tem acelerao menor do que o mvel B. (B) o mvel B percorre maior distncia do que o mvel A. (C) o movimento do mvel A uniforme. (D) os mveis percorrem distncias iguais. (E) os mveis tm a mesma acelerao. 41. A equao horria da posio x de uma partcula material em movimento uniformemente variado dada pela expresso x = 3t + 2t 2 , onde x est em metros e t em segundos. Aps 5s de movimento, o mvel adquire velocidade, em m/s, igual a (A) 10 (B) 13 (C) 17 (D) 23 (E) 25 Instruo: Responder s 2 prximas questes baseando-se no enunciado abaixo. Dois mveis, A e B, percorreram uma trajetria retilnea, conforme as equaes horrias xA = 30 + 20t e xB = 90 - 10t , sendo a posio x em metros e o tempo t, em segundos. 42. No instante t = 0 s , a distncia entre os mveis, em metros, era (A) 30 (B) 50

(C) (D) (E) 43. (A) (B) (C) (D) (E)

60 80 120 O instante de encontro dos dois mveis, em segundos foi 1 2 3 4 5

44. Um rapaz estava dirigindo uma motocicleta a uma velocidade de 72,0 km/h, quando acionou os freios e parou em 4,0 s. A acelerao imprimida motocicleta pelos freios foi, em mdulo, igual a (A) 72 km/h2 (B) 4,0 m/s2 (C) 5,0 m/s2 (D) 15 m/min2 (E) 4,8 km/h2 45. No grfico abaixo est representada a velocidade v = f(t) de um determinado movimento, e cinco alternativas para a acelerao a = f(t) correspondente. Assinale a correta.

46. Um atirador ouve o rudo da bala atingindo um alvo 4,0 segundos aps dispar-la com velocidade mdia de 1020 m/s. Supondo-se que a velocidade do som no ar seja 340 m/s, a distncia entre o atirador e o alvo, em metros (A) 340 (B) 680 (C) 1020 (D) 1360 (E) 1700

47. As afirmaes a seguir referem-se a um movimento retilneo realizado por um objeto qualquer. I - O vetor velocidade pode mudar de sentido. II - O vetor velocidade tem sempre mdulo constante. III - O vetor velocidade tem direo constante. A alternativa que representa corretamente o movimento retilneo (A) I, II e III. (B) somente III. (C) somente II (D) II e III (E) I e III 48. Um pequeno objeto lanado verticalmente para cima realizando na descida um movimento de queda livre. Supondo-se positiva a velocidade do objeto na subida, pode-se afirmar que sua acelerao ser (A) positiva na subida e negativa na descida. (B) negativa na subida e positiva na descida. (C) constante e positiva na subida e na descida. (D) constante e negativa na subida e na descida. (E) varivel e negativa na subida e na descida. 49. Nos pares de grficos a seguir, esto representadas velocidade v e acelerao a, ambas em funo do tempo t. O par de grficos que representa o mesmo movimento o da alternativa

Gabarito 1A 2B 11B 12D 21B 22D 31A 32C 41D 42C

3E 13A 23B 33D 43B

4B 14E 24E 34E 44C

5B 15B 25B 35A 45A

6E 16E 26C 36C 46C

7D 17D 27D 37B 47E

8B 18E 28C 38D 48D

9D 19C 29C 39D 49B

10D 20B 30D 40B

Peso, acelerao da gravidade e foras de reaco IntermdioPublicado em 07/04/2004 (revisto em 25/08/2010)Quando largamos um corpo perto da superfcie da Terra, ele acelerar em direco e perpendicularmente ao solo . Segundo a lenda, a inspirao de Newton para a postulao da sua segunda lei foi provocada pela observao da queda de uma simples ma, enquanto ele meditava ou descansava, encostado a uma rvore. Como que a ma cai? Qual a lei que rege o seu movimento? Newton deduziu que uma nica fora est aplicada ma, fora essa que se traduz por uma acelerao. De facto, se a ma tiver uma massa m, a fora nela aplicada ser: em que representmos essa acelerao por g, cujo significado a acelerao da

gravidade e cujo valor medido em laboratrio de, aproximadamente, 9.8 m s . Para corpos em queda livre, esta acelerao constante, isto , qualquer que seja a massa do corpo, o seu movimento ser uniformemente acelerado com acelerao da gravidade. Essa fora designada por peso do corpo. A fora mede-se em kg m s2 -

-2

que corresponde unidade Newton (N). Assim, um corpo com 10 kg de massa ter

um peso de 98 N. Quando, na linguagem de todos os dias, dizemos que um corpo pesa dez quilogramas, estamos a falar dequilogramas-fora (pois sentimos a fora que o corpo exerce sobre ns), uma unidade diferente do kg e que se escreve kgf. Assim,1 kgf = 9.8 N = 9.8 kg m s . Estas duas unidades (kgf e kg) so fundamentalmente diferentes e tm dimenses e aplicabilidade muito diferentes. A Terra cria em todo o espao que o rodeia um campo gravitacional. Se assimilarmos a Terra a uma esfera homognea, de centro O, de massa total MT e de raio RT, o campo gravtico criado num ponto P tal que a distncia de O a P,OP-2

= r > RT tem por expresso:com G = 6.67 10-11

.3 -1 -2

A constante G chamada constante de gravitao universal e exprime-se no sistema internacional em m kg s , em que:

um vector unitrio (ou de norma 1) com a mesma direco e sentido que o vector que une O a P, .

O peso de um corpo equivale fora exercida distncia pela Terra sobre esse corpo, fora essa que se pode medir com um dinammetro (dispositivo graduado que funciona com a ajuda de uma mola). A partir da segunda lei de Newton, se medimos o peso de um corpo (em N) e a sua massa (em kg), podemos obter o valor de g. O vector campo gravitacional acelerao da gravidade) e o vector campo de gravidade (ou vector

podem ser considerados aproximadamente iguais e pode

se assimilar a fora de atraco gravitacional da Terra sobre o corpo ao peso do corpo. 1 2 >

Denomina-se Queda Livre o movimento vertical, prximo superfcie da Terra, quando um corpo de massa m abandonado no vcuo ou em uma regio onde desprezamos a resistncia do ar. A queda livre um movimento uniformemente variado, sua acelerao constante e igual a 9,8 m/s2 (ao nvel do mar), chamada de acelerao gravitacional. Na queda o mdulo da velocidade do corpo aumenta, o movimento acelerado, e, portanto, o sinal da acelerao positivo.

Equao

horria

do

espao

na

queda

livre:

Onde: g t S Equao

horria

a da

o

acelerao tempo velocidade

da a na

de queda

gravidade queda. altura livre:

Onde: Equao de

v Torricelli

para

a a queda

velocidade livre.

Quando um corpo arremessado para cima ou para baixo, com uma velocidade inicial no nula, chamamos o movimento de Lanamento vertical. Esse movimento tambm um movimento uniformemente variado como na queda livre, onde a acelerao a da gravidade. Lanamento vertical para cima.

medida que um corpo lanado para cima sobe, sua velocidade escalar diminui at que se anule no ponto de altura mxima. Isso ocorre porque o movimento retardado, ou seja, o movimento se d contra a ao da gravidade.

Lanamento

vertical

para

baixo.

Ao contrrio do lanamento vertical para cima, o lanamento vertical para baixo um movimento acelerado, pois est na mesma direo e sentido da acelerao gravitacional. Assim, a velocidade de um corpo lanado verticalmente para baixo aumenta medida que o corpo desce. As Funo funes horrias horria do lanamento do vertical so: espao

Funo

horria

da

velocidade

Equao

de

Torricelli

Para o lanamento para baixo a acelerao positiva (g > 0), enquanto para o lanamento para cima a acelerao negativa (g < 0). Por Kleber G Cavalcante

Lanamento de uma bola.

Lanamento Vertical

Considere a gravura acima na qual temos o lanamento de uma bola verticalmente para cima. Ao observar tal situao podemos concluir que existe um instante no qual a velocidade da bola cessa (V = 0). Como a velocidade decrescente, podemos dizer ainda que esse movimento descrito por essa bola um movimento uniformemente retardado, pois sua velocidade decresce medida que varia sua posio. Como o lanamento vertical um movimento uniformemente variado, a acelerao do mvel constante. As equaes que determinam o lanamento vertical so as mesmas do movimento uniformemente variado com pequenas diferenas. So essas as equaes:S V = V0 + gt = S0 + v0t +1/2gt2

Onde g o mdulo da acelerao da gravidade local, que na Terra vale, aproximadamente, 9,8 m/s2. Queda Livre

O estudo de queda livre vem desde 300 a.C. com o filsofo grego Aristteles. Esse afirmava que se duas pedras, uma mais pesada do que a outra, fossem abandonadas da mesma altura, a mais pesada atingiria o solo mais rapidamente. A afirmao de Aristteles foi aceita como verdadeira durante vrios sculos. Somente por volta do sculo XVII que um fsico italiano chamado Galileu Galilei contestou essa afirmao. Considerado o pai da experimentao, Galileu acreditava que s se

podia fazer afirmaes referentes aos comportamentos da natureza mediante a realizao de experimentos. Ao realizar um experimento bem simples Galileu percebeu que a afirmao de Aristteles no se verificava na prtica. O que ele fez foi abandonar, da mesma altura, duas esferas de pesos diferentes, e acabou por comprovar que ambas atingiam o solo no mesmo instante. Aps a realizao de outros experimentos de queda de corpos, Galileu percebeu que os corpos atingiam o solo em diferentes instantes. Observando o fato dessa diferena de instantes de tempo de queda, ele lanou a hiptese de que o ar tinha a ao retardadora do movimento. Anos mais tarde foi comprovada experimentalmente a hiptese de Galileu. Ao abandonar da mesma altura dois corpos, de massas diferentes e livres da resistncia do ar (vcuo) possvel observar que o tempo de queda igual para ambos. As equaes que definem a queda livre de um corpo so:

Onde g o mdulo da acelerao da gravidade local, e tem valor aproximadamente igual a 9,8 m/s2. Por Marco Aurlio da Silva

Deslocamentos no ar Observe as figuras abaixo:

Sempre que um corpo efetua qualquer tipo de movimento no ar ele sofre uma fora de resistncia exercida pelo ar sobre ele, que depende da velocidade com que o corpo est se movendo e da superfcie(rea) do corpo que est exposta ao ar.

Deslocamento no vcuo: Se um corpo se locomover no vcuo (sem ar, sem nada, ausncia de matria), ele no sofrer nenhuma oposio ao seu movimento, pois, no haver meio material para impedir seu deslocamento. Acelerao da gravidade (g) Um corpo slido, quando abandonado de certa altura, durante a queda efetua um movimento uniformemente acelerado e, quando lanado verticalmente para cima efetua um movimento uniformemente retardado na subida e uniformemente acelerado na descida. Se voc abandonar ao mesmo tempo, de uma mesma altura, uma borracha e uma folha de rvore, a borracha chega ao solo

primeiro, pois o ar exerce maior efeito retardador sobre a folha de rvore (maior rea) do que sobre a borracha. No entanto, desde que os corpos sejam bastante densos e compactos, podemos desprezar os efeitos retardadores do ar, o que foi feito por Galileu, quando abandonou do alto da torre de Pisa diversas esferas densas e compactas, verificando que atingiam o solo

ao mesmo tempo. Nos exerccios de vestibulares, quando no especificados, so desprezadas as resistncias do ar, mesmo porque seus estudos ultrapassam o nvel do ensino mdio. Prximos superfcie da Terra, os corpos ficam sujeitos a uma acelerao , denominadaacelerao da gravidade, normalmente representada pela letra g, que tem as seguintes caractersticas: No depende do corpo em estudo Varia ligeiramente com o local da experincia Tem direo vertical e sentido para baixo, retardando os corpos lanados verticalmente para cima e acelerando os que se encontram em queda livre.

Apesar do valor de g variar um pouco conforme o local da experincia, convenciona-se como valor normal de g a grandeza g=9,8m/s2 e at g=10m/s2 para simplificar os clculos. Esse valor ser especificado em cada exerccio.

Lanamento vertical para cima

Equaes Considere um corpo lanado verticalmente para cima, a partir de um ponto A, com velocidade escalar Vo

O que voc deve saber

Na subida, o movimento progressivo, pois o deslocamento ocorre no sentido crescente da trajetria, e retardado, pois o mdulo da velocidade est diminuindo.

Na descida, o movimento retrogrado, pois o deslocamento ocorre no sentido decrescente da trajetria, e acelerado, pois o mdulo da velocidade est aumentando.

No ponto mais alto da trajetria, a velocidade do corpo se anula (V=0), pois o ponto em que o corpo inverte o sentido de seu movimento e nesse ponto a altura atingida pelo corpo mxima.

O tempo de subida igual ao tempo de descida

A velocidade (Vo) de lanamento na origem igual mesma velocidade de chegada origem, mas de sinal contrrio (-Vo).

Em qualquer ponto da trajetria o corpo tem duas velocidades de mesmo mdulo, uma positiva na subida e uma negativa na descida. Se um mvel A partir um tempo x antes de um mvel B, tm-se: tA tB=x --- tA=tB + x, que deve-se substituir em AS para continuar a resoluo do exerccio.

Representao grfica do movimento:

Movimento VerticalSe largarmos uma pena e uma pedra de uma mesma altura, observamos que a pedra chegar antes ao cho. Por isso, pensamos que quanto mais pesado for o corpo, mais rpido ele cair. Porm, se colocarmos a pedra e a pena em um tubo sem ar (vcuo), observaremos que ambos os objetos levam o mesmo tempo para cair. Assim, conclumos que, se desprezarmos a resistncia do ar, todos os corpos, independente de massa ou formato, cairo com uma acelerao constante: a acelerao da Gravidade. Quando um corpo lanado nas proximidades da Terra, fica ento, sujeito gravidade, que orientada sempre na vertical, em direo ao centro do planeta. O valor da gravidade (g) varia de acordo com a latitude e a altitude do local, mas durante fenmenos de curta durao, tomado como constante e seu valor mdio no nvel do mar : g=9,80665m/s No entanto, como um bom arredondamento, podemos usar sem muita perda nos valores: g=10m/s

Lanamento VerticalUm arremesso de um corpo, com velocidade inicial na direo vertical, recebe o nome de Lanamento Vertical. Sua trajetria retilnea e vertical, e, devido gravidade, o movimento classifica-se com Uniformemente Variado. As funes que regem o lanamento vertical, portanto, so as mesmas do movimento uniformemente variado, revistas com o referencial vertical (h), onde antes era horizontal (S) e com acelerao da gravidade (g).

Sendo que g positivo ou negativo, dependendo da direo do movimento:

Lanamento Vertical para Cima g negativoComo a gravidade aponta sempre para baixo, quando jogamos algo para cima, o movimento ser acelerado negativamente, at parar em um ponto, o qual chamamos Altura Mxima.

Lanamento Vertical para Baixo g positivoNo lanamento vertical para baixo, tanto a gravidade como o deslocamento apontam para baixo. Logo, o movimento acelerado positivamente. Recebe tambm o nome de queda livre.

Exemplo Uma bola de futebol chutada para cima com velocidade igual a 20m/s. (a) Calcule quanto tempo a bola vai demorar para retornar ao solo. (b) Qual a altura mxima atingida pela bola? Dado g=10m/s. (a) Neste exemplo, o movimento uma combinao de um lanamento vertical para cima + um lanamento vertical para baixo (que neste caso tambm pode ser chamado de queda livre). Ento, o mais indicado calcularmos por partes: Movimento para cima:

Movimento para baixo:

Como no estamos considerando a resistncia do ar, a velocidade final ser igual velocidade com que a bola foi lanada.

Observamos, ento, que nesta situao, onde a resistncia do ar desprezada, o tempo de subida igual ao de decida.

(b) Sabendo o tempo da subida e a velocidade de lanamento, podemos utilizar a funo horria do deslocamento, ou ento utilizar a Equao de Torricelli.

Lembre-se de que estamos considerando apenas a subida, ento t=2s

ou

VetoresDeterminado por um segmento orientado AB, o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.

Se indicarmos

com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever:

onde XY um segmento qualquer do conjunto. O vetor determinado por AB indicado por ou B - A ou .

Um mesmo vetor determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, os quais so todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstrao, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, atravs de representantes, a totalidade dos vetores do espao. Ora, cada um destes segmentos um representante de um s vetor. Consequentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos. As caractersticas de um vetor so as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto : o mdulo, a direo e o sentido do vetor so o mdulo, a direo e o sentido de qualquer um de seus representantes. O mdulo de se indica por | |.

Soma de vetoresSe v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por: v + w = (a+c,b+d)

Propriedades da Soma de vetores

Diferena de vetoresSe v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferena entre v e w, por: v - w = (a-c,b-d)

Produto de um nmero escalar por um vetorSe v=(a,b) um vetor e c um nmero real, definimos a multiplicao de c por v como: c.v = (ca,cb)

Propriedades do produto de escalar por vetorQuaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores:

Mdulo de um vetorO mdulo ou comprimento do vetor v=(a,b) um nmero real no negativo, definido por:

Vetor unitrioVetor unitrio o que tem o mdulo igual a 1. Existem dois vetores unitrios que formam a base cannica para o espao R, que so dados por: i = (1,0) j = (0,1)

Para construir um vetor unitrio u que tenha a mesma direo e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu mdulo, isto :

Observao: Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv, onde c um escalar no nulo. Nesse caso, u e v sero paralelos: Se Se Se Se c = 0, ento u ser o vetor nulo. 0 < c < 1, ento u ter comprimento menor do que v. c > 1, ento u ter comprimento maior do que v. c < 0, ento u ter sentido oposto ao de v.

Decomposio de vetores em Vetores UnitriosPara fazer clculos de vetores em apenas um dos planos em que ele se apresenta, pode-se decompor este vetor em vetores unitrios em cada um dos planos apresentados. Sendo simbolizados, por conveno, como vetor unitrio do plano x e como vetor unitrio do plano y. Caso o problema a ser resolvido seja dado em trs dimenses, o vetor utilizado para o plano z o vetor unitrio .

Ento, a projeo do vetor

no eixo x do plano cartesiano ser dado por . Este vetor pode ser escrito como:

, e sua

projeo no eixoy do plano ser:

=( , ), respeitando que sempre o primeiro componente entre parnteses a projeo em x e o segundo a projeo no eixo y. Caso aparea um terceiro componente, ser o componente do eixo z. No caso onde o vetor no se encontra na origem, possvel redesenh-lo, para que esteja na origem, ou ento descontar a parte do plano onde o vetor no projetado.

Produto escalarDados os vetores u=(a,b) e v=(c,d) definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o nmero real obtido por: u.v = a.c + b.d

Exemplos: O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) : u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14 O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) : u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19

Propriedades do produto escalarQuaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:

ngulo entre dois vetoresO produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:

u.v = |u| |v| cos(x) onde x o ngulo formado entre u e v.

Atravs desta ltima definio de produto escalar, podemos obter o ngulo x entre dois vetores genricos u e v, como,

desde que nenhum deles seja nulo.

Acelerao e Velocidade VetoriaisVetor PosioImagine um mvel deslocando-se em uma trajetria aleatria, com uma origem O. Se colocarmos um plano cartesiano situado nesta origem, ento poderemos localizar o mvel nesta trajetria por meio de um vetor. O vetor chamado vetor deslocamento e possui mdulo, direo e sentido.

=P-O

Velocidade VetorialVetor Velocidade Mdia: Considere-se um mvel percorrendo a trajetria do grfico acima, ocupando posies e nos instantes e , respectivamente.

Sabendo que a velocidade mdia igual ao quociente do vetor deslocamento pelo intervalo de tempo:

Observao:

O vetor velocidade mdia tem a mesma direo e sentido do vetor deslocamento, pois obtido quando multiplicamos um nmero positivo pelo vetor .

Vetor Velocidade Instantnea: Anlogo velocidade escalar instantnea, quando o intervalo de tempo tender a zero ( ), a velocidade calculada ser a velocidade instantnea.

ento:

Acelerao VetorialVetor Acelerao Mdia: Considerando um mvel que percorre uma trajetria qualquer com velocidade em um instante e velocidade acelerao mdia ser dada por: em um instante posterior , sua

Observao: Assim como para o vetor velocidade, o vetor acelerao ter o mesmo sentido e mesma direo do vetor velocidade, pois resultado do produto deste vetor ( escalar positivo, . ) por um nmero

Vetor Acelerao Instantnea: A acelerao vetorial instantnea ser dada quando o intervalo de tempo tender a zero ( ).

Sabendo esses conceitos, podemos definir as funes de velocidade em funo do tempo, deslocamento em funo do tempo e a equao de Torricelli para notao vetorial:

Por exemplo: Um corpo se desloca com velocidade forma como est descrita abaixo: , e acelerao constante , da

(a)Qual o vetor velocidade aps 10 segundos? (b)Qual a posio do mvel neste instante?

(a)Para calcularmos a velocidade vetorial em funo de um tempo, precisamos decompor os vetores velocidade inicial e acelerao em suas projees em x e y:

Assim, podemos dividir o movimento em vertical(y) e horizontal(x): Em x:

Em y:

A partir destes valores podemos calcular o vetor velocidade:

(b)Sabendo o vetor velocidade, podemos calcular o vetor posio pela equao de Torricelli, ou pela funo horria do deslocamento, ambas na forma de vetores:

Por Torricelli:

na mesma direo e sentido dos vetores acelerao e velocidade.

Pela Funo horria da Posio:

na mesma direo e sentido dos vetores acelerao e velocidade.

Movimento OblquoUm movimento oblquo um movimento parte vertical e parte horizontal. Por exemplo, o movimento de uma pedra sendo arremessada em um certo ngulo com a horizontal, ou uma bola sendo chutada formando um ngulo com a horizontal. Com os fundamentos do movimento vertical, sabe-se que, quando a resistncia do ar desprezada, o corpo sofre apenas a acelerao da gravidade.

Lanamento Oblquo ou de ProjtilO mvel se deslocar para a frente em uma trajetria que vai at uma altura mxima e depois volta a descer, formando uma trajetria parablica.

Para estudar este movimento, deve-se considerar o movimento oblquo como sendo o resultante entre o movimento vertical (y) e o movimento horizontal (x). Na direo vertical o corpo realiza um Movimento Uniformemente Variado, com velocidade inicial igual a e acelerao da gravidade (g) .

Na direo horizontal o corpo realiza um movimento uniforme com velocidade igual a Observaes:

Durante a subida a velocidade vertical diminui, chega a um ponto (altura mxima) onde , e desce aumentando a velocidade. O alcance mximo a distncia entre o ponto do lanamento e o ponto da queda do corpo, ou seja, onde y=0. A velocidade instantnea dada pela soma vetorial das velocidades horizontal e vertical, ou seja, cada momento. . O vetor velocidade tangente trajetria em

Exemplo: Um dardo lanado com uma velocidade inicial v0=25m/s, formando um ngulo de 45 com a horizontal. (a) Qual o alcance mximo (b) e a altura mxima atingida?

Para calcular este movimento deve-se dividir o movimento em vertical e horizontal. Para decompor o vetor trigonometria: em seus componentes so necessrios alguns fundamentos de

Genericamente podemos chamar o ngulo formado de Ento:

.

logo:

e:

logo:

(a) No sentido horizontal (substituindo o s da funo do espao por x):

sendo

temos: (1) No sentido vertical (substituindo h por y):

sendo

temos:

(2) E o tempo igual para ambas as equaes, ento podemos isol-lo em (1), e substituir em (2): (1) e , ento:

onde substituindo em (2):

(2)

e onde o alcance mximo

. Ento temos:

mas

, ento:

resolvendo esta equao por frmula de Baskara:

mas

ento:

mas

Ento

Substituindo os dados do problema na equao:

(b) Sabemos que quando a altura for mxima Torricelli no movimento vertical:

. Ento, partindo da equao de

e substituindo os dados do problema na equao, obtemos:

Lanamento HorizontalTrata-se de uma particularidade do movimento oblquo onde o ngulo de lanamento zero, ou seja, lanado horizontalmente. Por exemplo, quando uma criana chuta uma bola que cai em um penhasco, ou quando um jardineiro est regando um jardim com uma mangueira orientada horizontalmente.

Por exemplo: (Cefet-MG) Uma bola de pingue-pongue rola sobre uma mesa com velocidade constante de 0,2m/s. Aps sair da mesa, cai, atingindo o cho a uma distncia de 0,2m dos ps da mesa. Considerando g=10m/s e a resistncia do ar desprezvel, determine: (a) a altura da mesa; (b) o tempo gasto pela bola para atingir o solo.

(a) , e cos0=1, ento: , considerando a posio horizontal inicial do mvel zero, e isolando t:

Porm neste caso, a acelerao da gravidade (g) vai ser positiva, devido ao movimento ser no mesmo sentido da acelerao.

, mas sen0=0, ento:

, considerando a posio vertical inicial zero e substituindo t:

(b) Sabendo a altura da mesa possvel calcular o tempo gasto pela funo horria do deslocamento:

, mas sen0=0, ento:

Movimento CircularGrandezas AngularesAs grandezas at agora utilizadas de deslocamento/espao (s, h, x, y), de velocidade (v) e de acelerao (a), eram teis quando o objetivo era descrever movimentos lineares, mas na anlise de movimentos circulares, devemos introduzir novas grandezas, que so chamadas grandezas angulares, medidas sempre em radianos. So elas:

deslocamento/espao angular: (phi) velocidade angular: (mega) acelerao angular: (alpha)

Saiba mais... Da definio de radiano temos:

Desta definio possvel obter a relao:

E tambm possvel saber que o arco correspondente a 1rad o ngulo formado quando seu arco S tem o mesmo comprimento do raio R.

Espao Angular ()Chama-se espao angular o espao do arco formado, quando um mvel encontra-se a uma abertura de ngulo qualquer em relao ao ponto denominado origem.

E calculado por:

Deslocamento angular ()Assim como para o deslocamento linear, temos um deslocamento angular se calcularmos a diferena entre a posio angular final e a posio angular inicial:

Sendo:

Por conveno: No sentido anti-horrio o deslocamento angular positivo. No sentido horrio o deslocamento angular negativo.

Velocidade Angular ()Anlogo velocidade linear, podemos definir a velocidade angular mdia, como a razo entre o deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento:

Sua unidade no Sistema Internacional : rad/s Sendo tambm encontradas: rpm, rev/min, rev/s. Tambm possvel definir a velocidade angular instantnea como o limite da velocidade angular mdia quando o intervalo de tempo tender a zero:

Acelerao Angular ()Seguindo a mesma analogia utilizada para a velocidade angular, definimos acelerao angular mdiacomo:

Algumas relaes importantesAtravs da definio de radiano dada anteriormente temos que:

mas se isolarmos S:

derivando esta igualdade em ambos os lados em funo do tempo obteremos:

mas a derivada da Posio em funo do tempo igual a velocidade linear e a derivada da Posio Angular em funo do tempo igual a velocidade angular, logo:

onde podemos novamente derivar a igualdade em funo do tempo e obteremos:

mas a derivada da velocidade linear em funo do tempo igual a acelerao linear, que no movimento circular tangente trajetria, e a derivada da velocidade angular em funo do tempo igual a acelerao angular, ento:

Ento: Linear S v a = = = Angular R R R

Perodo e Frequncia

Perodo (T) o intervalo de tempo mnimo para que um fenmeno ciclico se repita. Sua unidade a unidade de tempo (segundo, minuto, hora...) Frequncia(f) o nmero de vezes que um fenmeno ocorre em certa unidade de tempo. Sua unidade mais comum Hertz (1Hz=1/s) sendo tambm encontradas kHz, MHz e rpm. No movimento circular a frequncia equivale ao nmero de rotaes por segundo sendo equivalente a velocidade angular. Para converter rotaes por segundo para rad/s:

sabendo que 1rotao = 2rad,

Movimento Circular UniformeUm corpo est em Movimento Curvilneo Uniforme, se sua trajetria for descrita por um crculo com um "eixo de rotao" a uma distncia R, e sua velocidade for constante, ou seja, a mesma em todos os pontos do percurso.

No cotidiano, observamos muitos exemplos de MCU, como uma roda gigante, um carrossel ou as ps de um ventilador girando. Embora a velocidade linear seja constante, ela sofre mudana de direo e sentido, logo existe uma acelerao, mas como esta acelerao no influencia no mdulo da velocidade, chamamos deAcelerao Centrpeta. Esta acelerao relacionada com a velocidade angular da seguinte forma:

Sabendo que e que para o espao angular:

, pode-se converter a funo horria do espao linear

ento:

Movimento Circular Uniformemente VariadoQuando um corpo, que descreve trajetria circular, e sofre mudana na sua velocidade angular, ento este corpo tem acelerao angular (). As formas angulares das equaes do Movimento Curvilneo Uniformemente Variado so obtidas quando divididas pelo raio R da trajetria a que se movimenta o corpo. Assim: MUV Grandezas lineares MCUV Grandezas angulares

E, acelerao resultante dada pela soma vetorial da acelerao tangencial e da acelerao centpeta:

Exemplo: Um volante circular como raio 0,4 metros gira, partindo do repouso, com acelerao angular igual a 2rad/s. (a) Qual ser a sua velocidade angular depois de 10 segundos? (b) Qual ser o ngulo descrito neste tempo? (c) Qual ser o vetor acelerao resultante?

(a) Pela funo horria da velocidade angular:

(b) Pela funo horria do deslocamento angular:

(c) Pelas relaes estabelecidas de acelerao tangencial e centrpeta: