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7/23/2019 Comparação Newton
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ANÁLISE NUMÉRICA DO MÉTODO DE NEWTON PARA OBTENÇÃODE ZEROS DE FUNÇÕES.
Edevilson Gomes Pereira –PUCPR- [email protected]
Viviana Cocco Mariani – PUCPR- [email protected]
Resumo: Neste artigo é feita uma análise da modificação do método deNewton-Raphson, utilizado na obtenção de raízes de equações ou zeros defunções, surgindo o método de Newton Quadrático, Newton Quadrático 2 eNewton Melhorado. A extensão do método de Newton para os outros trêsmétodos é descrita e a comparação do número de iterações, tempo deprocessamento e número de ponto flutuante entre os métodos utilizados éapresentada para algumas funções algébricas e transcendentes mostrando queos métodos de Newton Melhorado e Newton Quadrático tiveramcomportamento superior, a respeito do número de iterações, em quase todosos casos analisados, quando comparados com o método de Newton-Raphson.
Palavras-chave: Newton-Raphson, zeros de funções, métodos numéricos.
1. INTRODUÇÃO
Visto a importância de se obter à raiz de equações (ou zero de
funções), nas mais diversas situações da atividade humana, observa-se à
necessidade de se encontrar métodos computacionais que facilitem e agilizem
este processo com exatidão, confiabilidade e esforço computacional menor.
Todos estes fatores dependem do comportamento da função próximo as suas
raízes. A pesquisa desenvolvida tem por objetivo evidenciar novos processos
para este fim, bem como apontar a eficácia dos métodos, suas falhas e suas
condições (restrições) para convergência e a descrição de tabelas de
desempenho dos mesmos.
A partir do método de Newton Raphson, obtém-se outros métodos
iterativos, esta pesquisa, em especial, investigará o método de Newton
melhorado, o método de Newton quadrático e o método de Newton quadrático
2. O método de Newton Raphson, conhecido também como método das
tangentes, provém da expansão em série de Taylor, pois utiliza os dois
primeiros termos desta série. Visto que, a série de Taylor utiliza em as
derivadas da função, a convergência dependerá da função na região em torno
da raiz (Ruggiero e Lopes, 1996).
O método de Newton quadrático, como o próprio nome diz, é obtido
por uma equação do segundo grau, proveniente dos três primeiros termos da
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série de Taylor. Sabe-se que para resolver uma equação do segundo grau, a
fórmula de Bhaskara ou Baskara pode ser utilizada, no qual aparece o cálculo
da raiz quadrada de um número. Nos resultados coletados no presente
trabalho utilizando o método de Newton quadrático notou-se que em alguns
casos testados durante o processo iterativo o radicando era negativo, mesmo
assim o método continuava iterando resultando em um valor bia xk
+=+1 , onde
b a parte imaginária do número era um número infinitesimal. Neste caso
observamos que desprezando a parte imaginária infinitesimal a parte real era a
raiz da equação. O método de Newton quadrático convergia nestes casos
apenas se a parte imaginária era extremamente pequena, caso contrário o
método divergia. Percebe-se, nas funções analisadas no presente trabalho,
que uma das condições necessárias para a convergência deste método, é que
a derivada segunda da função em cada ponto analisadok
x , seja diferente de
zero.
O método de Newton melhorado é obtido pela combinação do método
de Newton-Raphson e Newton quadrático, executa-se três cálculos
consecutivos a cada iteração, no primeiro cálculo a aproximação para a raiz é
obtida utilizando o método de Newton-Raphson, e em seguida duas avaliações
usando o método de Newton Quadrático são executadas, surgindo assim o
método de Newton melhorado. Em geral, este método, leva o mesmo número
de iterações que o método de Newton quadrático para convergir. Na maioria
dos casos analisados, este número é menor ou igual ao número de iterações
do método de Newton Raphson, e menor que o método de Newton quadrático
2. O número de operações em ponto flutuante, é em sua maioria, maior que a
do método de Newton Raphson. Observa-se ainda, que o referido método não
falha em todas as funções analisadas, convergindo para a mesma raiz que o
método de Newton-Raphson e o método de Newton quadrático 2, quando estes
convergem.
O método de Newton quadrático 2, é obtido utilizando-se os mesmos
termos utilizados pelo método de Newton quadrático, mas resolvido isolando-se
o fator comum aos dois últimos termos (xk+1 - xk).
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Na simulação numérica adotou-se o critério de convergência ε ≤ 10-6
.
Alguns problemas aplicados a processos químicos foram testados e os
resultados são apresentados a seguir.
2. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
O método de Newton-Raphson é baseado na expansão em série de
Taylor, isto é, expandindo a série de Taylor em torno de xk tem-se,
f(x) = f(xk) + f’(xk)(x –xk) + f’’(xk) +−
!2
)xx( 2
k f´´´(xk) +−
!3
)xx( 3
k ...., (1)
onde xk é um valor aproximado para a raiz λ da equação na iteração k do
processo iterativo, f(x) é a função, f´(x) a derivada primeira da função e f´´(x) a
derivada segunda da função.
Seja xk+1 a raiz da equação f(x) = 0, logo a equação (1) resulta,
0 = f(xk) + f’(xk)(xk+1 –xk) + f’’(xk) +
−+
!2
)xx( 2
k1k
f´´´(xk) +
−+
!3
)xx( 3
k1k
.... (2)
Usando os dois primeiros termos da expansão da série de Taylor, do
lado direito da equação (2), obtém-se o popular método de Newton-Raphson,
ou seja (Roque, 2000),
xk+1 = xk -
)x´(f
)x(f
k
k
(3)
As desvantagens do método de Newton-Raphson surgem quando a
inclinação da função tem um valor próximo da raiz e/ou o seu valor é muito
pequeno. Este valor para a inclinação da função faz com que na próxima
iteração o valor para xk+1 fique fora da vizinhança da raiz, λ, podendo divergir
(Barroso et al ., 1987).
A derivada primeira da função pode ser obtida numericamente de uma
maneira rápida, basta para isto usar a aproximação,
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f´(xk) =h2
)hx(f )hx(f kk −−+,
(4)
onde h é um incremento, com valor pequeno.
Assim, substituindo a equação (4) na equação (3) tem-se,
f´(xk) =)hx(f )hx(f
x(hf 2x
kk
)k
k−−+
− ,(5)
que requer a avaliação da função f(x) em três valores vizinhos e distintos, xk, xk
+ h e xk - h. Naturalmente pode-se estimar o valor da derivada segunda da
função como,
f´´(xk) = 2
kkk
h
)hx(f )x(f 2)hx(f −+−+.
(6)
Nota-se na equação (6) que o cálculo da derivada de segunda ordem,
semelhante ao cálculo da derivada de primeira ordem, só precisa da avaliação
da função f(x) em três pontos distintos xk, xk + h e xk – h. Deste modo voltando
na equação (2) e utilizando os três primeiros termos da série de Taylor obtém-
se,
0 = f(xk) + f’(xk)(xk+1 – xk) + f’’(xk)!2
)xx( 2
k1k −+ . (7)
A equação (7) é quadrática para o fator )xx( k 1k −+ , resolvendo-a o
resultado será exposto na equação (8) e representa o método que será
denominado Newton quadrático,
[ ]
−+−+=+
)x´´(f
)x´´(f )x(f 2)x´(f )x´(f xx
k
kk
2
kk
k1k . (8)
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Outra maneira de resolver a equação (7) é isolando o fator )xx( k 1k −+
comum aos dois últimos termos da equação (7) produzindo a equação (9) que
é a fórmula do método de Newton Quadrático 2.
[ ])2/)xx)(x´´(f )x´(f /()x(f xx k1kkkkk1k −+−= ++ (9)
Para utilizar a equação (9) emprega-se a equação (3) para avaliar uma
estimativa para xk+1 no lado direito da equação.
O método de Newton Melhorado executa três cálculos consecutivos a
cada iteração, no primeiro cálculo a aproximação para a raiz é feita utilizando o
método de Newton-Raphson, equação (3), e em seguida duas avaliaçõesusando o método de Newton quadrático são executadas, isto é, empregando a
equação (9), surgindo assim o método de Newton melhorado, conforme
apresentado na equação (10) (Shammas, 2002),
x1 = x0 -)x´(f
)x(f
0
0
[ ])2/)xx)(x´´(f )x´(f /()x(f xx0100002
−+−= (10)
[ ])2/)xx)(x´´(f )x´(f /()x(f xx 0200003 −+−=
3. RESULTADOS NUMÉRICOS
Algumas funções e problemas foram testados para comparar os
métodos de Newton e os resultados são apresentados nas tabelas que
seguem. A capacidade calorífica (Cp) do O2 na faixa de temperatura entre 298 a
1500 K apresenta a seguinte equação, em função da temperatura: Cp(T) = 7,16
+ 1.10-3
T – (0,4.105)/T², onde: T está expressa em K e Cp em cal/mol°C. A
temperatura (K) em que a capacidade calorífica do O2 é de 8,15 cal/mol °C
resulta na função f(T) = - 0,99+10-3
T – 0,4 105/T
2, e o zero da função obtido
através dos métodos numéricos analisados no presente trabalho é apresentado
na tabela 1. A sigla NPF, nas tabelas, indica o número de operações em ponto
flutuante, a precisão adotada em todas as simulações foi 610− .
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Tabela 1 – Solução numérica para uma raiz de f(T) = - 0,99+10-3
T – 0,4 105/T
2.
Métodos T0 Raiz Iterações Tempo NPF
Newton 500 1027,8609 4 0,078 182
Newton Melhorado 500 1027,8609 5 0,078 302
Newton Quadrático 500 1027,8609 4 0.016 250
Newton Quadrático 2 500 e 500,1 1027,8609 7 0,094 250Newton 2000 1027,8609 4 0,094 182
Newton Melhorado 2000 1027,8609 3 0,110 214
Newton Quadrático 2000 1027,8609 3 0,125 196
Newton Quadrático 2 2000 e 2000,1 1027,8609 6 0,109 228
Newton 1000 1027,8609 3 0,109 154
Newton Melhorado 1000 1027,8609 3 0,140 214
Newton Quadrático 1000 1027,8609 3 0,108 196
Newton Quadrático 2 1000 e 1000,1 1027,8609 5 0,124 206
A raiz aproximada é 1027,860929749276.
Nota-se na tabela 1 que os métodos de Newton Melhorado e Newton
Quadrático para o valor inicial 2000 convergiram com menor número de
iterações quando comparados com o método de Newton-Raphson, contudo o
tempo de processamento e o número de operações em ponto flutuante é maior
nestes métodos. A figura 1 ilustra o comportamento da função f(T) = - 0,99+10-
3T – 0.4 105/T2 e das retas tangentes nos pontos (xi, f(xi)) durante o processo
iterativo do método de Newton.
Figura 1 – Ilustração da convergência da função f(T) com T0 = 1000.
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O metano apresenta a seguinte equação do calor específico em função
da temperatura, na faixa entre 298 e 1500 K, Cp(T) = 3,381 + 18,044.10-³T-
4,3.10-6
T², onde T está em K e Cp em cal/mol°C. A temperatura (K) para a qual
a capacidade calorífica do CH4 vale 15,0 cal/mol °C, resulta na seguinte
equação f(T) = 18,044 10-3
T – 4,3 10-6
T2- 11,619.
Tabela 2 – Solução numérica para as raízes de f(T) = 18,044 10-3
T –4,3 10-6 T2 – 11,619.
Métodos Valor inicial Raiz Iterações Tempo NPF
Newton 500 794,2621 4 0,156 182
Newton Melhorado 500 794,2621 3 0,187 204
Newton Quadrático 500 794,2621 3 0,203 152
Newton Quadrático 2 500 e 1000 794,2621 6 0,219 216
Newton 2098 794,2621 18 0,047 574Newton Melhorado 2098 794,2621 9 0,047 454
Newton Quadrático 2098 794,2621 9 0,047 128
Newton Quadrático 2 1598 e 2417 794,2621 25 0,297 596
Newton 2099 3402,017 15 0,281 490
Newton Melhorado 2099 3402,017 8 0,297 404
Newton Quadrático 2099 794,2621 8 0,328 128
Newton Quadrático 2 1598 e 2418 3402,017 23 0,250 556
Uma das raízes aproximadas é 794,2620542183545.
Na tabela 2 observa-se que os métodos de Newton Melhorado e
Quadrático convergem para a raiz da equação com menor número de
iterações, contudo o tempo de processamento ainda é menor com o método de
Newton-Raphson. Nesta tabela também verificamos que o método de Newton
Quadrático convergiu sempre para a mesma raiz, 794, embora a condição
inicial tenha sido modificada, isto é, para qualquer utilizado como aproximação
inicial, onde a derivada primeira da função não se anule o método de Newton
Quadrático converge para a raiz 794. A figura 2 ilustra o gráfico da função f(T)
= 18,044 10-3
T – 4,3 10-6
T2
– 11,619 com suas duas raízes reais e o
comportamento do método de Newton-Raphson durante o processo iterativo.
Na figura 3 é ilustrada uma ampliação do gráfico da figura 2.
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Figura 2 – Ilustração da convergência da função f(T) para T0 = 2098.
Figura 3 – Ampliação da figura 2.
A tabela 3 mostra os resultados obtidos para a função f(x) = 100- x - x2/2
- x3/3 - x
4/4 e o desempenho dos métodos a respeito do número de iterações,
tempo de processamento e número de ponto flutuante.
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Para os dados apresentados na tabela 3 nota-se que para a
aproximação inicial 1, no método de Newton Quadrático 2, a função diverge, já
para a aproximação inicial 3, no método de Newton Quadrático, converge para
um número complexo cuja parte complexa do número citado é extremamente
pequena e a parte real é a raiz -4,772, raiz esta que os outros métodos não
convergiram para esta mesma aproximação inicial.
O método de Newton Melhorado foi o método que apresentou melhor
desempenho quanto ao número de iterações se comparado aos demais
métodos, porém o tempo de processamento e o número de operações em
ponto flutuante, que está relacionado ao número de iterações, não apresenta
uma constância, variando muito.
Tabela 3 - Solução numérica para uma raiz de f(x) = 100 - x - x2/2 - x
3/3 - x
4/4.
Métodos Valorinicial
Raiz Iterações Tempo NPF
Newton 1 4,031 12 0,063 475
Newton Melhorado 1 4,031 5 0,047 356
Newton Quadrático 1 -4,772 4 0,063 276
Newton Quadrático 2 1 e 1,1 -inf - - -
Newton 3 4,031 5 0,109 237
Newton Melhorado 3 4,031 4 0,094 300
Newton Quadrático 3 -4,772 9 0,032 572Newton Quadrático 2 3 e 3,1 4,031 7 0,109 292
Newton 5 4,031 5 0,125 237
Newton Melhorado 5 4,031 3 0,125 244
Newton Quadrático 5 -4,772 7 0,031 442
Newton Quadrático 2 5 e 5,1 4,031 7 0,125 292
Uma das raízes aproximadas é 4,03104780823003.
A figura 4 ilustra o processo iterativo do método de Newton-Raphson,
com suas retas tangentes, com o valor inicial x0 = 1.
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Figura 4 - Ilustração da convergência da função f(x) para x0 = 1.
A tabela 4 mostra os resultados numéricos dos diversos métodos
utilizados para obter as raízes da função f(x) = x2
- 7xcos(x). Nesta tabela para
a aproximação inicial 5 o método de Newton Quadrático na segunda iteração
calcula a raiz quadrada de um número negativo, isto é, um número complexo
que a priori não é nenhuma das raízes da função estudada. Graficamente, na
figura 5, observa-se que a referida função, tem no mínimo 6 raízes reais.
Tabela 4 - Solução numérica para as raízes de f(x) = x2- 7xcos(x).
Métodos Valor inicial Raiz Iterações Tempo NPF
Newton 5 5,6522 4 0,172 189
Newton Melhorado 5 5,6522 4 0,188 300Newton Quadrático 5 - - - -
Newton Quadrático 2 5 e 5,1 5,6522 7 0,203 292
Newton 5,5 5,6522 4 0,219 189
Newton Melhorado 5,5 5,6522 3 0,219 244
Newton Quadrático 5,5 6,6160 3 0,219 276
Newton Quadrático 2 5,5 e 5,51 5,6522 6 0,219 265
Newton 6 5,6522 5 0,219 219
Newton Melhorado 6 5,6522 4 0,219 300
Newton Quadrático 6 6,6160 4 0,219 226
Newton Quadrático 2 6 e 6,1 5,6522 9 0,234 348
Uma das raízes aproximadas é 5,65222352013264.
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Na tabela 4 para a aproximação inicial 5 o método de Newton
Quadrático na segunda iteração calcula a raiz quadrada de um número
negativo, isto é, um número complexo que a priori não é nenhuma das raízes
da função estudada.
Na figura 5, apresenta-se o processo de convergência do método de
Newton-Raphson, com as suas retas tangentes, para x0 = 6.
Figura 5 – Ilustração da convergência da função f(x) para x0 = 6.
4. CONCLUSÕES
Este artigo apresentou os resultados numéricos, para obter a raiz de
algumas funções matemáticas, utilizando os métodos de Newton-Raphson,
Newton Melhorado e Newton Quadrático e Newton Quadrático 2. Os métodos
de Newton Melhorado e Newton Quadrático apresentaram convergência mais
rápida, a respeito do número de iterações, que o método de Newton-Raphson
na maior parte dos casos avaliados, o que já havia sido observado por
Shammas (2002). Contudo, nota-se que estas vantagens podem ser alteradas
dependendo da função matemática avaliada, do valor inicial da raiz, da
curvatura da função próxima à raiz, etc.
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O método de Newton Melhorado a cada iteração utiliza três avaliações
sucessivas para o cálculo da raiz, isto é, utiliza a avaliação do método de
Newton-Raphson e duas avaliações do método de Newton Quadrático, já o
método de Newton Quadrático é bastante instável, não convergindo em alguns
casos analisados, o método de Newton Quadrático 2 é altamente dependente
das estimativas iniciais para a raiz. Recomenda-se antes de adotar um método
para obter a raiz, que se faça o gráfico da função e analise como é a curvatura
da função próxima à raiz e a estimativa inicial da raiz.
5. REFERÊNCIAS
BARROSO, C. L., BARROSO, M. M., FILHO, C. F. F., CARVALHO, M. L. B.,Cálculo Numérico - com Aplicações, São Paulo, Harbra, 2ª. edição, 1987.
ROQUE, W. L., Introdução ao Cálculo Numérico - Um Texto Integrado comDerive, São Paulo, Atlas, 2000.
RUGGIERO, M. A. G., LOPES, V. L. R., Cálculo Numérico - AspectosTeóricos e Computacionais, Rio de Janeiro, Makron, 2ª. edição, 1996.
SHAMMAS, N. C., Enhancing Newton’s Method, Dr. Dobb’s Journal, p. 94 -97, 2002.