1. INTRODUCCIÓN.Una función o señal periódica, es aquella que retoma el mismo valor al cabo de un tiempo característico T llamado periodo. En una cierta señal periódica existe una forma que se repite una y otra vez en cada periodo T. Esta forma que se repite se llama forma de onda de la señal.El teorema de Fourier establece que cualquier función periódica de período T, puede descomponerse en una suma de señales senoidales y cosenoidales puras cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia de la señal original, ver Ec. (1). La Ecuación (2) se emplea para obtener los coeficientes de los términos de senos, la ecuación (3) se emplea para calcular los coeficientes de los términos de cosenos. De estas ecuaciones, podemos destacar 2 casos importantes: 1.-Si las componentes de los términos de senos son nulos, la función es impar.2.- Si las componentes de los términos de cosenos son nulos, la función es par.

f ( t )=∑n=1

∞

an cos (n 2 π ft )+bn sin(2 nπ ft ) (1)

an=

2T ∫−T /2

T /2f ( t )cos(n 2 π ft )dt

(2)

bn=

2T ∫−T /2

T /2f ( t )sin (n2 π ft )dt

(3)La frecuencia de la señal original se llama frecuencia fundamental y las componentes con frecuencias múltiplos de esta, se llaman armónicos. La transformada de una señal periódica en el dominio del tiempo permite observarla en el dominio de la frecuencia.

2. DESARROLLO Y METODOLOGÍA.

Para el desarrollo de la práctica se utilizaron los siguientes equipos de medición:

a) Osciloscopio TEKTRONIX TDS 2002 b) Generador TEKRONIX AFG2021c) Generador Wavetek Meterman FG2Cd) Generador Stanford Research System

Model DS345e) Generador Hewlett Packard Model 33112

Cada uno de los generadores se usó para visualizar en el osciloscopio 4 diferentes tipos de ondas: senoidal, cuadrada, triangular y diente de sierra. En la primera parte, se observaron las formas de onda en el dominio del tiempo con diferentes cambios en la frecuencia.Para la segunda parte, se observaron las mismas formas de onda, pero en el dominio de la frecuencia, y amplitud expresada en decibeles. Adicionalmente, en esta parte, obtuvimos el espectro en frecuencias de estas señales utilizando Matlab.

1) Comparación de formas de onda en el dominio del tiempo con diferentes valores de frecuencia.

En esta primera parte; usamos el generador TEKTRONIX como primer equipo de prueba, una vez acoplado en potencia con una impedancia de carga igual a su impedancia interna; generamos una señal cuadrada de amplitud igual a 1 Vpp y frecuencia de 1 kHz. En el osciloscopio, usando acoplamiento AC, observamos una señal sin distorsión apreciable a simple vista, por lo que tomamos esta señal como referencia para hacer comparaciones, mantuvimos la señal cuadrada, pero con una frecuencia diferente. La fig. 1 muestra las señales vistas en el osciloscopio, a una frecuencia de a) 1 kHz, b) 10 Hz, c) 100 Hz y d) 1000kHz.

PRÁCTICA No. 2 COMPARACIÓN DE FORMA DE ONDA

García Fragoso Nestor Abdy / Universidad Nacional Autónoma de México / Centro de Ciencias Aplicadas y

Desarrollo Tecnológico / México, Distrito Federaldooegato@live.com

RESUMEN. En esta práctica se observaron diferentes tipos de ondas, (senoidal, cuadrada, triangular y diente de sierra), a diferentes frecuencias. Con la variación de la frecuencia observamos el comportamiento de cada forma de onda, tanto en acoplamiento AC como en acoplamiento CC. También trabajamos las diferentes forma de onda en el dominio de la frecuencia, medimos directamente en el osciloscopio la amplitud de los armónicos de cada una de estas señales y, finalmente obtuvimos los valores teóricos de los armónicos usando el método de series de Fourier. Palabras clave. Componentes armónicos, dominio de la frecuencia, espectro de una señal, forma de onda, Transformada de Fourier.

1

Para el caso del acoplamiento CC, la onda cuadrada no sufrió deformaciones, para 10Hz, 100Hz y 1kHz, la señal se mantuvo estable.

a) b)

c) d)

Fig. 1. Señal cuadrada observada en el osciloscopio en acoplamiento AC, a) la frecuencia es de 10Hz, b) la frecuencia es de 100 Hz, c) la frecuencia es de 1kHz y d) la frecuencia es de 1000 kHz.

La siguiente señal que probamos fue la senoidal, esta señal se mantuvo estable a las diferentes frecuencias. Tanto en acoplamiento en AC como en el acoplamiento CC. En la figura 2, muestro la salida en el osciloscopio de una señal senoidal. Un detalle importante es que en la frecuencia de 1000kHz, la señal presentó una atenuación a 600 mVpp, pero la forma onda siguió siendo una senoidal.

Fig. 2 Señal senoidal, la forma de la onda se mantiene estable a los cambios de frecuencia.

La siguiente señal, fue la señal de diente de sierra, al igual que en el caso de la onda cuadrada, presentó deformaciones en el acoplamiento AC del osciloscopio. Las diferentes salidas para una frecuencia de a) 1kHz, b) 10Hz, c) 100Hz y d) 1000kHz se muestran en la figura 3. Para el acoplamiento CC, en las frecuencias bajas no se aprecian cambios en la forma de la onda, pero para la frecuencia de 1000kHz, el diente de sierra cambia completamente.

a) b)

c) d)

Fig. 3. Señal triangular observada en el osciloscopio en acoplamiento AC, a) la frecuencia es de 10Hz, b) la frecuencia es de 10 Hz, c) la frecuencia es de 100 kHz y d) la frecuencia es de 1000 kHz.

La ultima forma de onda para observar, fue la onda triangular. En acoplamiento AC la señal sufre deformaciones, no tan notorios como en el caso de las formas de onda diente de sierra o la cuadrada. La figura 4 muestra estos cambios observados. En el acoplamiento CC, la forma de onda se mantiene estable, pero a la frecuencia de 1000kHz, la onda se asemeja mucho a una senoidal.

a) b)

c) d)

Fig. 3. Señal triangular observada en el osciloscopio en acoplamiento AC, a) la frecuencia es de 10Hz, b) la frecuencia es de 10 Hz, c) la frecuencia es de 100 kHz y d) la frecuencia es de 1000 kHz

El experimento se repitió para cada uno de los generadores. Las señales observadas en el osciloscopio fueron muy similares para una de las diferentes tipos de onda. Las figuras

2

1, 2, 3y 4 son un buen ejemplo de la pantalla en el osciloscopio de cómo se ven las formas de onda para cada generador. Sin embargo el valor de los voltajes pico a pico cambia y son diferentes para cada generador y para cada tipo de acoplamiento. La tabla 1, detalla estos valores de voltaje para cada generador. En ella se clasifica el valor de voltaje pico a pico por generador, por acoplamiento y por forma de la onda.Al observar detenidamente cada una de las señales en acoplamiento AC. Primero con la señal de la fig. 1(a), se observa entre cada escalón una curva que se levanta desde la parte negativa y después la misma curva pero en caída. El mismo patrón se observa para la fig. 1(b), pero la subida y la caída son menos inclinadas, la fig. 1(c), la señal ya es una cuadrad bien formada. Analizando las señales triangulares se puede observar en la fig. 2(a) y 2(b), un comportamiento similar al imagen de la señal cuadrada, un levantamiento y una caída con en forma de curva. Para la señal de diente de sierra, fig. 3(a) y fig. 3(b), el mismo patrón se repite, solo que aquí la caída es abrupta y se produce en forma de una recta vertical. Esta curva se asemeja mucho al comportamiento de la gráfica de carga y descarga de un capacitor en voltaje vs tiempo.

Tabla 1. Valores de voltaje pico-pico para cada forma de onda y para cada generador, tanto en acoplamiento AC, como en acoplamiento CC

Vpp

AC CC AC CC AC CC AC CC

10Hz 3.66 2.1 1.46 1.6 1.96 1.98 1.46 1.46

100Hz 2.3 2.08 2.04 2.04 2.08 2.04 2.04 2.04

1kHz 2.08 2.08 2 2.04 2.08 2.08 2 2

1000kHz -- -- 0.5 0.5 0.6 0.6 0.11 0.11

Vpp

AC CC AC CC AC CC AC CC

10Hz 3.2 2.08 1.46 1.8 1.96 1.96 1.86 1.86

100Hz 2.08 2.08 2.04 2.04 2.04 2.04 2.08 2.08

1kHz 2 2.08 2.08 2.08 2.04 2.04 2.04 20.4

1000kHz -- -- 0.5 0.5 0.6 0.6 0.11 0.11

Vpp

AC CC AC CC AC CC

10Hz 3.16 2.04 1.86 1.86 1.86 1.86

100Hz 1.96 2.04 1.8 1.78 1.78 1.78

1kHz 1.98 2.04 2.04 2.04 2.04 2.02

1000kHz -- -- 0.6 0.6 0.89 0.89

Vpp

AC CC AC CC AC CC

10Hz 3.32 1.88 1.8 1.8 1.9 1.88

100Hz 2.08 1.88 1.78 1.78 1.9 1.88

1kHz 1.88 1.88 2.04 2.04 2.08 1.9

1000kHz 1.28 1.28 0.7 0.7 0.904 0.904

Senoidal

Senoidal Diente de sierra

Generador Stanford Research System Model DS345

Generador Tektronix AFG2021

Generador Wavetek Meterman FG2C

Cuadrada Triangular Senoidal

Generador Hewlett Packard Model 33112

Cuadrada Triangular Senoidal

Cuadrada Triangular

Cuadrada Triangular Diente de sierra

Esto se debe a que en la entrada del canal en el osciloscopio se encuentra un capacitor que bloquea la componente directa de

la señal, sin embargo para para señales se baja frecuencia o periodo largo, se puede observar en el osciloscopio los tiempos de carga y descarga de este capacitor. En el acoplamiento CC la señal no sufre este tipo de distorsión por que el capacitor que funciona para eliminar la componente de corriente directa, esta deshabilitado.

2) FFT de diferentes tipos de onda

En la segunda parte de la práctica, observamos las diferentes tipos de forma de onda (senoidal, cuadrada, diente de sierra y triangular) en el dominio de la frecuencia. Para ello usamos la tecla MATH MENU del osciloscopio, con ella observamos el espectro del tipo de onda.En el espectro de la forma de onda, la amplitud de los armónicos se da en decibeles. Para hacer la conversión a voltios se ocupa la expresión de la Ec2, de ella despejamos el valor el voltaje, el voltaje de referencia es igual a 1Vrms.

dB=20 log( VV ref

) (4)

Para la práctica utilizamos una señal de cada tipo de onda, de una frecuencia de 1kHz y una amplitud de 1Vp. Para la medición de la los armónicos usamos el cursor del osciloscopio, para posicionarnos en la punta de cada uno de los primeros 4 armónicos y medir su amplitud en decibeles.En la tabla 2 se muestran los datos obtenidos de la amplitud en volts para los 4 armónicos de la onda cuadrada, en cada generador.Para el cálculo de las amplitudes de los armónicos, se empleó la serie de Fourier, aplicada en cada una de las formas de onda. Para la determinación de los coeficientes se emplean las ecuaciones (2) y (3). Los coeficientes representan la amplitud del n-armónico de la señal en el dominio de la frecuencia, en la tabla 2, se dan las expresiones para determinar los armónicos de cada tipo de onda en términos de n, donde n es el número del armónico, estas expresiones son el resultado al obtener los coeficientes de los términos de la serie de Fourier.

Tabla 2. Ecuaciones para determinar el valor de la amplitud de los armónicos para cada forma de onda.

Forma de onda CoeficientesCuadrada

an=1

√2 ( 4(2 n−1) π )

Triangularan=

1

√2 ( 4

(2n−1 )2 π )Senoidal

a0=1

√2Diente de sierra

bn=1

√2 ( 4nπ )

A continuación de presentan el procedimiento para calcular los coeficientes de Fourier en términos de n. La ecuación (5),

3

representa la función de la señal cuadrada para un periodo T.

fc( t )={−1 ;−T /2≤t≤01;0≤t≤T /2 (5)

Usando f(t) se resuelven las integrales para obtener los

coeficientes an, Ec. (6) y bn, Ec. (7).

an=2V rms

T [∫−T /2

0− cos (n2π ft )dt+∫0

T /2cos(n2 π ft )dt ]

an=1

√2 ( 4(2 n−1 )π )

(6)

bn=

2 V rms

T [∫−T /2

0− sin (n2 π ft )dt +∫0

T /2sin (n 2 π ft )dt ]=0

(7)

La función de la señal triangular esta expresada en la Ec. (8)

ft ( t )={2 tT

;−T2

≤t≤0

−2 tT

;0≤t≤T2 (8)

Al sustituir la función en las ecuaciones de Fourier obtenemos los armónicos en términos de n, Ec. (9).

an=2V rms

T [∫−T /2

0 2tT

cos (n2π ft )dt+∫0

T /2−2 t

Tcos( n2 π ft )dt ]

(9)

an=1

√2 ( 4

(2 n−1 )2 π )Para los coeficientes pares, Ec. (9), muestra la expresión para calcularlos.

bn=2 V rms

T [∫−T /2

0 2 tT

sin(n 2 π ft )dt−∫0

T /2 2 tT

sin(n2 π ft )dt ]=0 (10)

Para la señal senoidal solo se calcula sólo un coeficiente que es para, precisamente para una señal senoidal, Ec. (11).

a0=∫−T /2

T /2sin( ft )sin(n 2 π ft )dt= 1

√2 (11) Finalmente el diente de sierra, su expresión Ec. 12. Y el cálculo delos armónicos se establece en la Ec. 13 y Ec. 14.

f ( t )=2tT

;−T2

≤t≤T2 (12)

an=2 V rms

T∫−T /2

T /2 2 tT

cos (n2 π ft )dt=0 (13)

bn=2 V rms

T∫−T /2

tT /2 2 tT

sin(n 2 π ft )dt= 4√2 πn (14)

La forma de onda cuadrada está formada solamente por

armónicos impares. La frecuencia de cada armónico es

múltiplo de la frecuencia fundamental (f n=nf ); donde n es el

número del armónico y es impar, f n es la frecuencia del

armónico n. En la tabla 3, se hace una comparación de las amplitudes medidas en el osciloscopio conectado a cada generador y con la misma señal cuadrada, además se agregaron los valores analíticos, obtenidos con la ecuación (5). A partir de la tabla podemos afirmar que el generador HP tiene una mejor aproximación de los valores teóricos.

Tabla 3. Valores de voltaje de los primeros 4 armónicos de una señal cuadrada para cada generador.

GeneradoresFrecuencia Tektronix HP SRS Wavetek Analítica1kHz 0.8923 0.8923 0.7771 0.8521 0.90033kHz 0.2818 0.2886 0.2951 0.2951 0.30015kHz 0.1549 0.1949 0.195 0.1622 0.187kHz 0.1230 0.123 0.1349 0.0891 0.1286

La forma de onda triangular está compuesta por armónicos

impares. La frecuencia de cada armónico es f n=nf , donde f

es la frecuencia fundamental y n es el número del armónico y además es un número impar. En la tabla 4, se muestran los valores medidos en el osciloscopio para cada generador. En base en ellos se puede decir que el generador HP sigue siendo el que mejor se aproxima a una señal teórica.

Tabla 4. Valores de voltaje de los primeros 4 armónicos de una señal triangular para cada generador.

GeneradoresFrecuencia Tektronix HP SRS Wavetek Analítica1kHz 0.5895 0.8923 0.5377 0.4903 0.90033kHz 0.0603 0.02818 0.0324 0.0513 0.10005kHz 0.0195 0.01549 0.0245 0.0186 0.03607kHz 0.0112 0.01189 0.0110 0.112 0.0183

La señal senoidal, está compuesta por únicamente por su armónico fundamental, la amplitud de este armónico corresponde al valor Vrms de la senoidal esto es 1/√2. De los generadores, ver la tabla 5, el generador SRS es el que se acercó más al valor teórico de la amplitud de la fundamental.

Tabla 5. Valor de voltaje del armónico de una señal senoidal para cada generador.

GeneradoresFrecuencia Tektronix HP SRS Wavetek Analítica1kHz 0.6464 0.7595 0.6769 0.6464 0.7071

En la señal diente de sierra, los armónicos están separados en múltiplos de la frecuencia fundamental. Solo dos generadores son capaces de producir este tipo de onda, el generador Tektronix y el generador Stanford Research System, observando la tabla 6. Podemos concluir que el generador Tektronix es el que tiene una mejor aproximación en el espectro de la señal teórica.

Tabla 6. Valores de voltaje de los primeros 4 armónicos en una señal diente de sierra para cada generador.

GeneradoresFrecuencia Tektronix SRS Analítica

4

1kHz 0.8923 0.8078 0.90032kHz 0.4472 0.4055 0.45013kHz 0.2884 0.2796 0.30014kHz 0.2042 0.1975 0.2250

3) FFT de las diferentes tipos de onda en Matlab

Función en Matlab comentada, línea a línea

% PROGRAMAS PARA OBTENER EL ESPECTRO EN FRECUENCIAS DE UNA SEÑAL SENOIDAL% DE DOS FORMAS% % Sintaxis: f= Frecuencia en Hz.% A = Amplitud, en Vp% fm = frecuencia de muestreo, en Hz% to =Tiempo de observación% NFFT= Número de muestras % % PROCEDIMIENTO No. 1function espectro1(f,A,fm,to,NFFT)%W es la frecuencia angularw =(2*pi*f);%Tm es el tiempo de muestreo tm=1/fm; %t es el tiempo de observación, un punto por cada tiempo de muestreo. t=0:tm:to-tm; %V es la forma de onda al que se le aplicara la transformada de Fourier V=A*sin(w*t); %T es el periodo, inverso de la frecuencia T=1/f; %Es el total de muestras en t. nmio=length(t); %resf la frecuencia de muestreo entre el numero total de muestras resf=fm/nmio; %El numero de muestras entre 2 nd=nmio/2; %ab es el intervalo de frecuencias, es el nuevo eje x para el espectro ab=0:resf:nd*resf-resf; inter=1:nd; %tf es la tranformada de fourier entre el numero de muestras tf=fft(V)/nmio; %Ha es en valor eficaz de la transformada de fourier Ha=sqrt(A*abs(tf(inter))); %En la figura 1 graficamos cada una de la armonicas del tipo de onda figure(1); clf; %La grafica se presenta con el eje x en formato logaritmico semilogx(ab,Ha,'r','linewidth',2); title('Señal senoidal'); ylabel('Amplitud en Vrms.'); xlabel('Frecuencia en Hz.');%Los ejes en la grafica se delimitan para darle una mejor vistaaxis([0 nd*resf 0 max(Ha)+max(Ha*0.01)]);grid%PROCEDIMIENTO 2%La función spectrum de Matlab realiza una estimación espectral de un

%vector [Grafico, x]= spectrum(V,NFFT,NFFT/2,hanning(NFFT),fm);%spectrum devuelve los valores del grafico en decibeles, en la siguiente%línea se hace la conversión a voltajeGrafico=20*log10(Grafico(:,1));%En la figura se grafica el nuevo espectro figure(2);clf;semilogx(x,Grafico,'linewidth',2);title('Espectro de frecuencias.');xlabel('Frecuencia en Hz');ylabel('Amplitud, en dbV');axis([0 fm/2 min(Grafico)-10 max(Grafico)+10]);grid

La fig. 4 muestra las gráficas obtenidas con la función de Matlab, los parámetros que se usaron fueron: f=1000Hz, A=1Vp, fm=100*f; to=2seg. y NFFT=210

.

a) b)

c) d)

e) f)

5

g) h)

Fig. 4. Gráficas obtenidas con la función de Matlab, a la izquierda en rojo fueron obtenidas con el procedimiento no. 1; a la derecha en azul, fueron obtenidas con el procedimiento no. 2. Las gráficas a) y b) son de una señal senoidal; c) y d) pertenecen a una señal cuadrada; e) y f) son de una señal triangular y g) y h) de una señal diente de sierra.

Para la generación de las señales se usaron las siguientes instrucciones:a) Señal senoidal; V=A∗sin (wt )b) Señal cuadrada; V=A∗square (wt )c) Señal triangular; V=A∗sawtooth (wt , 0.5 )d) Señal diente de sierra; V=A∗sawtooth(wt )

4) CONCLUSIONES.

En la práctica se observaron en el osciloscopio formas de onda senoidales, cuadradas, triangulares y dientes de sierra. El acoplamiento CC es el que mejor resolución tiene, al construir las diferentes tipos de onda. Las señales que llegan al osciloscopio no tienen distorsión aparente a bajas frecuencias, sin embargo, para altas frecuencias la distorsión si se observa. En acoplamiento AC, el capacitor que tiene a la entrada de la señal, afecta la formación de la señal en la pantalla del osciloscopio. Se puede observar los periodos de carga y descarga de este capacitor directamente en la pantalla. Para bajas frecuencias, se observan mejor estas curvas al tener un periodo grande. También se puede decir que la señal senoidal no sufre, cambios en ambos tipos de acopamiento, siendo esta la más estable. Y la cuadrada es la que sufre mayor distorsión a frecuencias menores de 1kHz. De los diferentes generadores, se concluye que el Stanford Research System tiene mayor fiabilidad al producir la señal, por la correlación de los datos obtenidos con cada variación de frecuencia. También por la correspondencia de los datos ingresados en el generador y los vistos en el osciloscopio, considerando el acoplamiento en potencia obtenido con la conexión de la resistencia de carga, conectada en paralelo a la salida del generador.En el análisis de los espectros de las formas de onda, los datos medidos fueron en una ventana hanning, y una resolución de 2dB por cuadro de la pantalla, ya que el osciloscopio solo maneja 3 cifras significativas en los valores de estas mediciones, no fue posible hacer una mejor aproximación para convertir la amplitudes en valores de voltaje. Sin embargo los datos calculados fueron muy cercanos a los valores obtenidos analíticamente. De la comparación de estos datos se concluyó que el generador Hewlett Packard es el que tiene mayor fiabilidad para el análisis de señales en el dominio de la frecuencia.

El uso de Matlab, para el análisis de una señal sirvió para establecer un marco de referencia para realizar una comparación, debido a que, en este tipo de herramientas, los resultados que entregan son muy precisos y exactos. No se ven afectados por interferencias que puedan generar errores en los cálculos o en las mediciones.La principal ventaja de la simulación en un software, es que permite crear una guía de los resultados esperados en la experimentación.

5) REFERENCIAS.

Libros:[1] Hwein P. Hsu. Análisis de Fourier. Addison Wesley Iberoamricana,

Delaware, E.U.A, 1987[2] KreysZig, Erwin. Matemáticas Avanzadas. Limusa, 3ª. Edición. México.

1982.

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