Comparaciones múltiples entre medias Tema 6 1 ... · medias µ1 y µ2, en caso de que ... SC L 64,082 5 1 1 1 1 ... descubrir donde están las diferencias entre medias si la F ha

Universidad Autónoma de Madrid

Análisis de Datos en Psicología II Tema 6

1

Comparaciones múltiples entre medias Tema 6

1. Comparaciones múltiples 2. Comparaciones planeadas o a priori:

2.1 F planeadas 2.2 Comparaciones de tendencia

3. Comparaciones no planeadas o a

posteriori:

3.1 Prueba de Tukey

3.2. Prueba de Scheffé



2

1. Comparaciones múltiples Combinación lineal de medias con coeficientes que suman cero. Para J medias:

∑=

=

+++=J

jjj

JJ

c

cccL

1

2211

µ

µµµ L

Ejemplo: Si desean compararse dos medias µ1 y µ2, en caso de que sean iguales:

µ1 = µ2

Esto puede escribirse también del modo:

L = µ1 - µ2 = 0

Cuyos coeficientes son 1 y -1, y por tanto suman 0.



3

Ejemplo: Tres medias: 1) Una posibilidad es comparar µ1 y µ2, tomadas juntas, con µ3. Es decir:

321

2µ

µµ=

+

Lo cual puede escribirse: L1 = µ1 + µ2 - 2µ3 = 0

Cuyos coeficientes son 1, 1 y -2, y por tanto suman 0. 2) Otra posibilidad es comparar

231

2µµµ +

= Es decir: L2 = -µ1 + 2µ2 - µ3 = 0 Coeficientes: -1, 2 y -1 3) Otra comparación es: µ1 = µ3 Luego: L3 = µ1 - µ3 = 0 Coeficientes: 1, 0 y -1



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Asignación de coeficientes a las medias

1) Dividir las medias en los dos grupos que van compararse entre sí.

2) Asignar a la media de cada grupo un coeficiente igual al número de medias del otro grupo. 3) Cambiar el signo de los coeficiente de uno de los grupos. Ejemplo: Cinco medias: µ1, µ2, µ3, µ4 y µ5. Desea compararse µ1 y µ2 con µ3, µ4 y µ5. 1) Grupo 1: µ1 y µ2. Grupo 2: µ3, µ4 y µ5 2) Grupo 1: 3µ1, 3µ2. Grupo 2: 2µ3, 2µ4, 2µ5 3) Grupo 1: 3µ1, 3µ2. Grupo 2: -2µ3, -2µ4, -2µ5 Es decir: L = 3µ1 + 3µ2 -2µ3 -2µ4 -2µ5 = 0



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Comparaciones ortogonales Aquellas que no contienen información redundante. La información que proporciona una comparación no se solapa con la proporcionada por otra. Con J medias es posible realizar J-1 comparaciones ortogonales. Regla práctica: Dos comparaciones son ortogonales si el producto de sus coeficientes es cero.

JJ

JJ

cccLcccL

µµµµµµ

22221212

12121111

+++=+++=

L

L

Son ortogonales si: 01

21 =∑=

J

jjj cc



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Ejemplo:

Comparación Coeficientes L1 = µ1 + µ2 - 2µ3 1, 1, -2 L2 = µ1 - µ2 1, -1, 0 L3 = µ1 - µ3 1, 0, -1 L1 y L2 son ortogonales:

(1*1) + (1*-1)+(-2*0) = 0 L1 y L3 no son ortogonales:

(1*1) + (1*0)+(-2*-1) = 3 L2 y L3 no son ortogonales:

(1*1) + (1*0)+(0*-1) = 1



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2. Comparaciones planeadas o a priori Se realizan de forma independiente al ANOVA. No es necesario realizar también este. 2.1 Pruebas F planeadas Se aplican cuando desean realizarse dos o más comparaciones ortogonales: L1, L2, ..., Lh Para una comparación Li, por ejemplo con tres medias: 1. Hipótesis H0: Li = c1µ1 + c2µ2 - c3µ3 = 0 H1: Li ≠ 0 2. Supuestos (los mismos del ANOVA) Normalidad Independencia Homocedasticidad



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3. Estadístico de contraste Valor estimado de la comparación (utilizando las medias muestrales):

JJi YcYcYcYcL ++++= L332211ˆ

Suma de cuadrados de la comparación:

∑=

=J

j j

j

ii

ncL

LSC

1

2

2ˆ)ˆ(

Para J-1 comparaciones ortogonales:

)ˆ()ˆ( ii LSCLMC = Media de cuadrados error (la misma del ANOVA): MCE

Estadístico de contraste: MCELMCF i

i)ˆ(

=

Distribución: glei FF ,1~

4. Zona crítica y decisión: glei FF ,11 α−≥

SCILSCJ

jj =∑

−

=

1

1)ˆ(



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Ejemplo: (continúa). Métodos de enseñanza. El investigador desea contrastar si el método presencial difiere de la enseñanza autodidacta y por internet. También si el método por internet difiere del autodidacta. Los grupos eran: presencial, internet, autodidacta. Luego las comparaciones son:

232

1µµµ +

= 32 µµ =

L1 = 2µ1 - µ2 - µ3 = 0 L2 = µ2 - µ3 = 0

Son ortogonales: (2*0) + (-1*1) + (-1*-1)= 0 1. Hipótesis H0(1): L1 = 2µ1 - µ2 - µ3 = 0 H0(2): L2 = µ2 - µ3 = 0 H1(1): L1 ≠ 0 H1(2): L2 ≠ 0



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2. Supuestos: normalidad, independencia, homocedasticidad

3. Estadístico de contraste

Medias muestrales: 48,61 =Y , 43,42 =Y e 76,33 =Y

Valores estimados de las comparaciones: 77,476,3)1(43,4)1(48,6)2(ˆ

1 =−+−+=L 67,076,3)1(43,4)1(48,6)0(ˆ

2 =−++=L Sumas de cuadrados:

75,22

61

61

62

77,4ˆ)ˆ( 222

2

1

2

21

1 =−

+−

+==

∑=

J

j j

j

ncLLSC

34,1

61

61

60

67,0ˆ)ˆ( 222

2

1

2

22

2 =−

++==

∑=

J

j j

j

ncL

LSC

SCILSCLSC ==+=+ 09,2434,175,22)ˆ()ˆ( 21



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Como gl=1, entonces ( ) ( )ii LSCLMC ˆˆ = Media de cuadrados error: MCE = 2,308 Estadístico de contraste:

86,9308,2

75,22)ˆ( 11 ===

MCELMCF

58,0308,234,1)ˆ( 2

2 ===MCELMCF

Distribución: 15,1,1~ FFF glei = 4. Zona crítica:

54,415,195,0,11 ==≥ − FFF glei α 5. Decisión: Rechazar H0(1) Mantener H0(2)



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2.2 Comparaciones de tendencia La VI debe ser cuantitativa para poder aplicar este contraste. Con J medias pueden contrastarse J-1 tipos de tendencia. Las tendencias más sencillas son:

X

6543210

Y 6

5

4

3

2

10

a). Relación

lineal

X

6543210

Y 6

5

4

3

2

10

b). Relación cuadrática

X

6543210

Y 6

5

4

3

2

10

c). Relación

cúbica

d) Relación de 4º grado

e) Relación de 5º grado

f) Relación de 6º grado

Se realizan igual que las F planeadas, tomando los coeficientes de la tabla G.



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Ejemplo: Se está estudiando el efecto de la dosis de un medicamento sobre el rendimiento de los sujetos en una prueba de atención. Se han formado cuatro grupos de sujetos a los que se suministra diferente dosis, y se ha medido su rendimiento. Estudiar el tipo de relación con α = 0,01 sabiendo que la SCE es 33,32.

Dosis Rendimientomedio n

5mg 3,58 5 10mg 6,74 5 15mg 6,90 5 20mg 2,90 5

Solución: Cómo J=4 se estudia la tendencia lineal, cuadrática y cúbica



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1. Hipótesis (ver tabla G): H0(l): Ll : -3µ1 -µ2 + µ3 + 3µ4 = 0; H1(l): Ll ≠ 0 H0(c): Lc : µ1 -µ2 - µ3 + µ4 = 0; H1(c): Lc ≠0 H0(b): Lb : -µ1 +3µ2 -3µ3 + µ4 = 0; H1(b): Lb≠0 2. Supuestos (los mismos del ANOVA) Normalidad, Independencia, Homocedasticidad

3. Estadísticos de contraste:

3.1. Valor estimado de la comparación:

88,19,2)3(9,674,658,3)3( 33ˆ

4321

−=++−−==++−−= YYYYLl

16,79,29,674,658,3

ˆ4321

−=+−−==+−−= YYYYLc

16,19,29,6)3(74,6)3(58,3 33ˆ

4321

−=+−++−==+−+−= YYYYLb

gle = N - J = 20-4 = 16



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3.2. Sumas cuadráticas:

MCE = SCE / gle = 33,32 / 16 = 2,083

884,0

59119

88.1ˆ)ˆ(

2

1

2

2

=+++

−==

∑=

J

j j

j

ll

ncLLSC

082,64

51111

16.7ˆ)ˆ(

2

1

2

2

=+++

−==

∑=

J

j j

j

cc

ncLLSC

336,0

51991

16.1ˆ)ˆ(

2

1

2

2

=+++

−==

∑=

J

j j

j

bb

ncLLSC

3.3 Estadístico de contraste:

Fl = 0,884 / 2,083 = 0,424 Fc = 64,082 / 2,083 = 30,764 Fb = 0,336 / 2,083 = 0,161

4. Zona crítica: 53,8 16,199,0 =≥ FF

5. Decisión: Rechazar H0(c). Luego se concluye que la relación es cuadrática

MCELMCF i

i)ˆ(

=



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3. Comparaciones no planeadas o a posteriori

Se realizan después del ANOVA para descubrir donde están las diferencias entre medias si la F ha resultado significativa.

3.1 Prueba de Tukey

Se comparan todas las medias entre sí, tomándolas por pares.

Ejemplo: Tabla de pares de cuatro medias

2Y 3Y 4Y 1Y || 21 YY − || 31 YY − || 41 YY −

2Y || 32 YY − || 42 YY −

3Y || 43 YY −



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Para cada par de medias:

1) Tomar el punto 1-αqJ, gle de la tabla J. 2) Calcular:

+= −

21,1

112 nn

MCEqDMS gleJTukey α Concluir que las medias poblacionales son distintas si su diferencia es mayor que la DMSTukey



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Ejemplo: Comparar entre sí todos los posibles pares de medias en el ejemplo de la agorafobia.

Tabla de diferencia de medias

1-αqJ, gle = 0,95 q3, 39 = 3,44 (buscando 0,95 q3, 40)

• Comparando el control con el A (H0: µ1 = µ2):

72,1141

121

222,344,3

112 21

,1

=

+=

+= − nn

MCEqDMS gleJTukey α

2,65 > 1,72. Diferencia significativa

2Y 3Y

1Y 2,65 1,71

2Y 0,94



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• Comparando el control con el B (H0: µ1 = µ3):

66,1161

121

222,344,3

112 31

,1

=

+=

+= − nn


1,71 > 1,66. Diferencia significativa • Comparando el A con el B

(H0: µ2 = µ3):

60,1161

141

222,344,3

112 32

,1

=

+=

+= − nn


0,94 < 1,60. Diferencia no significativa



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3.2 Prueba de Scheffé Se realiza una única comparación. Por tanto, a diferencia de Dunnett o Tukey, pueden compararse simultáneamente más de dos medias. Ejemplo: Con tres medias: Hipótesis:

H0: L = c1µ1 + c2µ2 + c3µ3 = 0 H1: L ≠ 0 Estadístico de contraste:

Estimar: 332211ˆ YcYcYcL ++=

∑=

−−−=J

j j

jgleJScheffe n

cMCEFJDMS

1

2

,11)1( α

Rechazar H0 si SchefféDMSL ≥ |ˆ|



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Ejemplo: Contrastar si la media del grupo control es igual a la del A y B tomados juntos. Hipótesis:

H0: L = 2µ1 - µ2 - µ3 = 0 H1: L ≠ 0 Estadístico de contraste:

36,406,612,577,7)2(2ˆ321 =−−=−−= YYYL

1-αFJ-1, gle = 0,95F2, 39 ≈ 0,95F2, 40 = 3,23

12,3161

141

12422,323,3)2(

)1(1

2

,11

=

++=

−= ∑=

−−

J

j j

jgleJScheffe n

cMCEFJDMS α

4,36 > 3,12. Rechazar H0



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Formulario del tema 6 Comparaciones ortogonales:

01

21 =∑=

J

jjj cc

Pruebas F planeadas y de tendencia:

JJi YcYcYcYcL ++++= L332211ˆ

∑=

=J

j j

j

ii

ncL

LSC

1

2

2ˆ)ˆ(

MCELMCF i

i)ˆ(

=

glei FF ,1~



23

Prueba de Tukey:

+= −

21,1

112 nn


q ≡ Tabla J Prueba de Scheffe:

332211ˆ YcYcYcL ++=

∑=

−−−=J

j j

jgleJScheffe n

cMCEFJDMS

1

2

,11)1( α



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Ejercicios recomendados del libro: 6.9 6.10 6.13 6.14 6.15

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