Upload
curcubeu-roz
View
350
Download
17
Embed Size (px)
Citation preview
Indira Andreescu tefan Mocanu
Compendiu de
Rezistena Materialelor
Prefa Rezistena Materialelor este una din disciplinele de baz n pregtirea studenilor de la facultile mecanice, ea constituind temelia cursurilor de specialitate, reflectnd principiile i metodele de calcul necesare acestora. n cartea de fa sunt cuprinse cunotinele necesare profilului mecanic i n special utilajelor pentru construcii. n acest scop lucrarea prezint noiunile tiinifice, metodele concrete de calcul i dimensionare ale structurilor sub o form adecvat nelegerii aspectelor fizice ct i aplicrii acestora n cazuri specifice reale din domeniul mecanic. Problemele rezolvate la sfritul fiecrui capitol constituie exemple concrete de calcul de proiectare optim a unor elemente cu aplicabilitate n practica inginereasc.
Autorii
2
Cuprins
Prefa ------------------------------------------------------------------------- 1 1. Problemele Rezistenei Materialelor ----------------------------------- 9
1.1 Obiectul Rezistenei Materialelor. Relaii cu alte discipline -- 9 1.2 Rezistena Materialelor, probleme specifice ------------------- 10 1.3 Clasificarea corpurilor i a forelor care acioneaz asupra
acestora ---------------------------------------------------------------------- 11 1.3.1 Clasificarea corpurilor ------------------------------------- 13 1.3.2 Clasificarea forelor care acioneaz asupra corpurilor-14
1.4 Ipoteze n Rezistena materialelor ------------------------------- 16 1.5 Rezistene admisibile. Coeficieni de siguran ---------------- 17 1.6 Metode de rezolvare ----------------------------------------------- 18 1.7 Condiii de ndeplinit n soluionarea problemelor din
Rezistena Materialelor --------------------------------------------------- 18 1.8 Aspecte ale Rezistenei Materialelor ---------------------------- 19
2. Diagrame de eforturi ---------------------------------------------------- 20 2.1 Diagrame de eforturi la bare drepte ------------------------------- 20
2.1.1 Determinarea eforturilor ntr-o seciune ------------------ 22 2.1.2 Construirea diagramelor pornind de la expresiile analitice
ale eforturilo ---------------------------------------------------------------- 23 2.1.3 Relaii difereniale ntre eforturi i ncrcri ------------- 25 2.1.4 Utilizarea relaiilor difereniale la trasarea diagramelor de
eforturi ---------------------------------------------------------------------- 27 2.1.5 Relaii de recuren la grinda dreapt --------------------- 33 2.1.6 Grinzi cu ncrcri complexe. Metoda suprapunerii
efectelor --------------------------------------------------------------------- 34 2.2 Grinzi cu console i articulaii ------------------------------------- 36 2.3 Diagrame de eforturi pe cadre ------------------------------------- 38
3. Caracteristicile geometrice ale seciunilor transversale ale barelor ---------------------------------------------------------------------------------------- 48
3.1 Aria seciunii. Momente statice. Centre de greutate ------------ 48 3.2 Momente de inerie (geometrice) --------------------------------- 49
3.2.1 Momente de inerie pentru seciuni simple -------------- 51 3.2.2 Momente de inerie pentru seciuni de form complex-52
3.3 Variaia momentelor de inerie la translaia axelor ------------- 53 3.4 Variaia momentelor de inerie la rotaia axelor ---------------- 55
3
3.4.1 Momente de inerie principale i direcii principale ---- 57 3.4.2 Etapele de calcul pentru determinarea momentelor de
inerie principale I1, I2, ale unei figuri plane --------------------------- 58 3.5 Moment de inerie centrifugal maxim ---------------------------- 59
4. Tensiuni i deformaii specifice ---------------------------------------- 64 4.1 Tensiuni. Tensorul tensiunilor --------------------------------------- 64
4.1.1 Dualitatea tensiunilor tangeniale ------------------------- 67 4.1.2 Relaii de echivalen ntre eforturi i tensiuni n seciunea
transversal a unei bare --------------------------------------------------- 68 4.2 Deformaii specifice. Tensorul deformaiilor -------------------- 69
4.2.1 Deformaia specific liniar ------------------------------- 69 4.2.2 Deformaia specific unghiular -------------------------- 69
4.3 Diagrame caracteristice ale materialelor ------------------------- 70 4.4 Diagrame caracteristice schematizate ---------------------------- 75
5. Solicitarea axial centric ---------------------------------------------- 78 5.1 Fora axial. Tensiuni de ntindere compresiune ------------- 78 5.2 Deformaii i deplasri --------------------------------------------- 80 5.3 Dimensionarea, verificarea, fora capabil ----------------------- 80 5.4 Bare cu seciune variabil solicitate la ntindere ---------------- 81 5.5 Calculul barelor ntinse innd seama de greutatea proprie ---- 82 5.6 Sisteme static nedeterminate la fore axiale --------------------- 84
5.6.1 Bare cu seciuni neomogene ------------------------------- 85 5.6.2 Bar dublu articulat ---------------------------------------- 86 5.6.3 Sistem de bare paralele ------------------------------------- 87 5.6.4 Sistem de bare articulate concurente --------------------- 88
5.7 Tensiuni datorate dilatrilor mpiedicate ------------------------- 89 5.8 Efectul inexactitii de execuie i montaj n sistemele articulate
static nedeterminate ------------------------------------------------------- 91 6. Forfecarea ----------------------------------------------------------------- 98
6.1 Generaliti ----------------------------------------------------------- 98 6.2 Probleme de forfecare la mbinrile nituite ---------------------- 99
6.2.1 Forfecarea niturilor ---------------------------------------- 100 6.2.2 Strivirea niturilor ------------------------------------------- 101
6.3 mbinri cu uruburi ----------------------------------------------- 102 6.4 mbinri sudate ----------------------------------------------------- 103
6..4.1Calculul sudurilor de col --------------------------------- 103 7. ncovoierea barelor drepte -------------------------------------------- 110
7.1 Generaliti --------------------------------------------------------- 110 7.2 ncovoiere pur. Formula lui Navier ---------------------------- 110
4
7.3 Calculul modulului de rezisten axial Wz la seciunile simple ---------------------------------------------------------------------------------- 115
7.4 Calculul grinzilor supuse la ncovoiere ------------------------- 118 7.5 Alctuirea raional a seciunilor solicitate la ncovoiere ---- 118 7.6 ncovoiere simpl -------------------------------------------------- 120
7.6.1 Ipotezele lui Juravski -------------------------------------- 120 7.6.2 Formula lui Juravski --------------------------------------- 121 7.6.3 Variaia tensiunilor tangeniale la seciunile simple -- 123 7.6.4 Centrul de lunecare ---------------------------------------- 127
7.7 Grinzi compuse supuse la ncovoiere --------------------------- 129 7.7.1 Evaluarea forei de lunecare ------------------------------ 130 7.7.2 Calculul grinzilor compuse nituite ---------------------- 132 7.7.3 Calculul grinzilor compuse sudate ---------------------- 133
8. Deformarea grinzilor drepte solicitate la ncovoiere ------------ 142 8.1 Ecuaia diferenial a fibrei medii deformate ------------------ 142 8.2 Metoda integrrii directe a ecuaiei difereniale --------------- 144 8.3 Metoda grinzii conjugate ----------------------------------------- 151
8.3.1Corespondena ntre reazemele grinzii reale i conjugate --------------------------------------------------------------------------------- 153
8.4 Metoda parametrilor n origine ---------------------------------- 153 9. Variaia tensiunilor n jurul unui punct n cazul strii plane de tensiuni --------------------------------------------------------------------------- 168
9.1 Expresiile tensiunilor pe o seciune nclinat cu unghiul -- 168 9.2 Tensiuni normale principale i direcii principale ------------- 170 9.3 Tensiuni tangeniale maxime ------------------------------------- 171 9.4 Tensiuni pe o suprafa nclinat n cazurile solicitrilor simple -
------------------------------------------------------------------------------- 172 10. Torsiunea ----------------------------------------------------------------- 178
10.1 Generaliti. Torsiunea barelor cu seciune circular -------- 178 10.2 Tensiuni n bara de seciune circular i inelar ------------- 179
10.2.1 Condiia geometric -------------------------------------- 179 10.2.2 Condiia de elasticitate ---------------------------------- 182 10.2.3 Condiia static ------------------------------------------- 182
10.3 Deformaii --------------------------------------------------------- 184 10.4 Calculul arborilor de transmisie solicitai la torsiune ------- 184 10.5 Calculul modulului de rezisten polar Wp ------------------- 185 10.6 Sisteme static nedeterminate la torsiune ---------------------- 186 10.7 Torsiunea barelor cu seciune dreptunghiular --------------- 188 10.8 Torsiunea barelor cu perei subiri, cu profil deschis, cu
deplanri libere ----------------------------------------------------------- 189
5
10.9 Torsiunea barelor cu perei subiri, profil nchis, deplanri libere ----------------------------------------------------------------------- 192
10.10 Arcuri elicoidale cu pasul mic -------------------------------- 194 10.11 Moduri de montare a arcurilor -------------------------------- 196
10.11.1 Montaj n paralel ---------------------------------------- 196 10.11.2 Montaj n serie ------------------------------------------ 197
10.12 Sisteme static nedeterminate alctuite din arcuri elicoidale ----------------------------------------------------------------------------------- 197
11. Studiul deplasrilor prin metode energetice ---------------------- 208 11.1 Principiul lucrului mecanic virtual aplicat corpurilor elastice ---
------------------------------------------------------------------------------- 208 11.2 Energia potenial de deformaie ------------------------------- 209 11.3 Lucrul mecanic exterior ----------------------------------------- 210 11.4 Teorema reciprocitii lucrului mecanic (teorema lui Betti) -212 11.5 Expresiile lucrului mecanic funcie de eforturi --------------- 213 11.6 Expresiile energiei poteniale de deformaie n funcie de
eforturi --------------------------------------------------------------------- 214 11.7 Teorema reciprocitii deplasrilor. Teorema lui Maxwell - 216 11.8 Studiul deplasrilor prin metoda Mohr Maxwell ---------- 216 11.9 Metoda de integrare Veresceaghin ----------------------------- 218
12. Teorii de rezisten ----------------------------------------------------- 224 12.1 Legea lui Hooke generalizat ------------------------------------224 12.2 Deformaia specific volumic---------------------------------- 228 12.3 Legtura dintre constantele E, G, ---------------------------- 229 12.4 Energia potenial de deformaie n problema spaial ------ 231
12.4.1 Energia specific necesar variaiei de volum i schimbrii formei --------------------------------------------------------- 231
12.5 Teorii de rezisten a materialelor ----------------------------- 232 12.5.1 Starea de tensiune limit ntr-un punct ---------------- 232 12.5.2 Tensiunea echivalent ----------------------------------- 233 12.5.3 Teoria tensiunilor normale maxime (teoria I) -------- 234 12.5.4 Teoria tensiunilor tangeniale maxime (teoria III) --- 236 12.5.5 Teoria energiei de deviaie (teoria V sau IVa) -------- 238 12.5.6 Aplicarea teoriilor de rezisten n cazul barelor ----- 240
13. Solicitri compuse ------------------------------------------------------ 242 13.1 ncovoiere dubl sau oblic ------------------------------------- 243
13.1.1 ncovoierea dubl a barelor cu seciunea transversal dreptunghiular sau care se nscrie ntr-un dreptunghi cu coluri pline ------------------------------------------------------------------------------- 246
13.2 ncovoiere simpl cu for axial ------------------------------ 249
6
13.2.1 Cazul seciunii la care axa de ncovoiere este ax de simetrie -------------------------------------------------------------------- 250
13.3 ncovoiere dubl cu for axial -------------------------------- 251 13.3.1 ncovoiere dubl cu for axial la seciunea
dreptunghiular sau o seciune care se nscrie ntr-un dreptunghi cu coluri pline --------------------------------------------------------------- 254
13.3.2 Smbure central ------------------------------------------ 256 13.3.3 Smburele central la seciunea dreptunghiular ------ 257 13.3.4 Smburele central la seciunea circular -------------- 257 13.3.5 Zona activ ------------------------------------------------ 258
13.4 ncovoiere cu torsiune ------------------------------------------- 259 13.4.1Bara de seciune circular -------------------------------- 259
13.4.1.1Arbori de transmisie -------------------------------- 261 13.4.2 Bara de seciune dreptunghiular ---------------------- 263
14. Sisteme static nedeterminate ----------------------------------------- 274 14.1 Metoda eforturilor n rezolvarea sistemelor o dat static nedeterminate ------------------------------------------------------------- 277
14.2 Structuri de n ori static nedeterminate ------------------------- 280 14.3Utilizarea simetriei n rezolvarea sistemelor static nedeterminate ------------------------------------------------------------------------------- 282
14.4 Calculul deplasrilor la sisteme static nedeterminate ------- 284 14.5 Grinzi continue --------------------------------------------------- 285
14.5.1 Expresia rotirilor de capt la grinda simplu rezemat-286 14.5.2 Ecuaia celor trei momente ------------------------------ 288
15. Bare curbe plane -------------------------------------------------------- 295 15.1 Tensiuni n seciunea barei curbe ------------------------------ 295
15.1.1 Importana mrimii razei de curbur asupra domeniului de valabilitate a relaiilor de calcul ------------------------------------ 299
16. Stabilitatea barelor drepte -------------------------------------------- 305 16.1 Determinarea forei critice de flambaj pentru cazurile clasice de
rezemare. Formula lui Euler -------------------------------------------- 307 16.1.1 Bara dublu articulat ------------------------------------- 307 16.1.2 Bara ncastrat perfect la un capt i liber la cellalt-309 16.1.3 Bara articulat la un capt i ncastrat perfect la cellalt
------------------------------------------------------------------------------- 310 16.1.4 Bara dublu ncastrat ------------------------------------- 312
16.2 Rezistena critic de flambaj. Coeficientul de zveltee ------ 313 16.3 Coeficientul de siguran la flambaj cf ------------------------ 315 16.4 Calculul practic la flambaj -------------------------------------- 315
7
16.5 Calculul la flambaj folosind metoda coeficientului de flambaj ------------------------------------------------------------------------------- 316
16.6 Bara cu rezemri diferite dup axele principale de inerie -- 317 16.7 Influena forei tietoare asupra sarcinii critice de flambaj - 318 16.8 Flambajul barelor cu seciune compus ----------------------- 320 16.9 Calculul barelor la flambaj cu ncovoiere --------------------- 322
17. Solicitri dinamice ------------------------------------------------------ 327 17.1 Solicitri dinamice prin oc ------------------------------------- 328
17.1.1 Coeficientul dinamic n cazul cnd se neglijeaz masa corpului supus la oc ----------------------------------------------------- 329
17.1.2 Coeficientul dinamic n cazul n care se ine seama de masa corpului supus la oc ---------------------------------------------- 331
17.1.3 Solicitri prin oc orizontal ----------------------------- 333 18. Solicitri variabile ------------------------------------------------------ 337
18.1 Cicluri de solicitri variabile ------------------------------------ 337 18.2 Diagrame de rezisten la oboseal ---------------------------- 339 18.3 Diagrame schematizate ------------------------------------------ 342 18.4 Factorii de care depinde rezistena la oboseal --------------- 344 18.5 Calculul coeficientului de siguran la solicitri variabile simple
------------------------------------------------------------------------------- 345 18.5.1 Calculul coeficienilor de siguran la solicitri prin
cicluri alternant simetrice ----------------------------------------------- 346 18.5.2 Calculul coeficienilor de siguran la solicitrile prin
cicluri asimetrice --------------------------------------------------------- 347 18.6 Calculul coeficientului de siguran la solicitri compuse,
produse de sarcini variabile ciclice ------------------------------------ 348 Bibliografie ---------------------------------------------------------------------- 353
8
Capitolul 1
PROBLEMELE REZISTENEI MATERIALELOR
1.1 Obiectul Rezistenei Materialelor. Relaii cu alte discipline
Observaii asupra naturii nconjurtoare relev faptul c majoritatea corpurilor solide sunt capabile s suporte, n anumite limite, aciunile altor corpuri, fr s se rup sau s-i modifice sensibil forma i dimensiunile. Aceast remarc este esenial n definirea obiectului disciplinei aici examinate. n practica inginereasc se pune n permanen problema alegerii materialului celui mai potrivit pentru anumite utilizri, aceasta nsemnnd totodat stabilirea formei i dimensiunilor sale optime. Se are n vadere ca materialul ales s reziste la eforturi determinate, adic s nu se rup i s nu-i modifice geometria, astfel nct acesta s nu ating stadiul de cedare sau modificare excesiv, bineneles n anumite limite de siguran i economicitate. Principiile care stau la baza rezolvrii raionale tocmai a acestor probleme constituie obiectul Rezistenei Materialelor. Rezistena Materialelor se ocup cu studierea comportrii, sub aciunea forelor exterioare, a pieselor din alctuirea unor sisteme sau complexe tehnice anume configurate, a deformaiilor i deplasrilor care se produc n structurile examinate, precum i cu determinarea dimensiunilor limit ale fiecrei piese. Rezistena Materialelor face parte din grupul de discipline denumit Mecanica corpului solid deformabil, care mai include: Teoria elasticitii, Teoria plasticitii i alte specialiti disciplinare. Dat fiind c interaciunea dintre corpuri este reprezentat, n mod obinuit, prin fore, n rezolvarea problemelor de Rezistena Materialelor trimiterile de cea mai mare frecven se fac la Mecanica teoretic. Numai c, spre deosebire de Mecanica teoretic, unde se admite modelul corpului rigid, indeformabil, Rezistena Materialelor, studiind efectul forelor pe i
9
mai ales n interiorul elementelor, ine seama obligatoriu de proprietatea de deformabilitate a corpurilor. De aceea n Rezistena Materialelor se admite modelul corpului deformabil, a crui configuraie geometric se modific sub aciuni exterioare, cu observaia c modificrile geometrice au drept consecin apariia unor fore interioare ntre particulele structurale ale corpului solicitat. Cunoaterea relaiilor dintre modificrile geometrice, ncrcri i fore interioare implic deopotriv investigaii teoretice i experimentale, respectiv o dinamic a progresului disciplinei ca tiin cu pronunat caracter orientat, aplicativ. De altfel, experimentul are un rol deosebit n verificarea rezultatelor ce se obin n urma cercetrilor teoretice (implicit n validarea acestora), aa cum se ntmpl, de altfel, n toate ramurile tiinei. De menionat c, fa de Mecanica teoretic, unde toate forele sunt considerate vectori alunectori, n Rezistena Materialelor forele sunt vectori legai, cu reprezentarea intuitiv din fig.1.1
F F
R=2F
I
II
fig.1.1 n care cu I s-a reprezentat deformaia real a grinzii sub aciunea celor dou fore F (fore ca vectori legai), II fiind deformaia grinzii sub aciunea rezultantei celor dou fore F (fore ca vectori alunectori). 1.2 Rezistena Materialelor, probleme specifice S considerm un corp de o form dat i confecionat dintr-un anumit material, aezat (rezemat) ntr-un anumit mod i supus la ncrcare exterioar. Rezistena Materialelor ne permite s determinm la un asemenea corp:
- tensiunile produse de ncrcri; - deformaiile care rezult.
10
Practic, n cazurile cele mai simple pot apare trei situaii care reprezint, n general, problemele Rezistenei Materialelor, i anume:
- probleme de dimensionare; - probleme de verificare; - probleme de determinare a efortului capabil,
cu urmtoarele precizri: Problemele de dimensionare. Forele aplicate sunt cunoscute i se alege materialul dup anumite criterii; dimensiunile elementului de structur rezult din condiiile ca forele interne (implicit tensiunile) i deformaiile s nu depeasc anumite valori limit. Problemele de verificare. Cunoscnd forele exterioare i dimensiunile elementului se impune ca tensiunile i deformaiile s nu depeasc anumite valori limit prescrise. Problemele de determinare a efortului capabil. n acest caz sunt cunoscute dimensiunile i proprietile mecanice ale elementului i trebuie cunoscute/determinate fora sau i momentul limit suportabil n seciunea critic.
1.3 Clasificarea corpurilor i a forelor care acioneaz
asupra acestora
n studiul fenomenelor naturale, crora le sunt proprii diversitatea i complexitatea, sintetizarea observaiilor i a datelor experimentale i definirea, pe aceast baz, a ceea ce este esenial i caracteristic fiecrui fenomen constituie modul fundamental, raional, de abordare. Schematiznd proprietile materiei, adoptnd ipoteze referitoare la cauzele, desfurarea i efectele unor fenomene reale, n cadrul investigaiei teoretice cel mai adesea se procedeaz la vizualizarea modelului fizic real, respective la substituirea lui cu un model convenabil (i acceptabil) pentru calcul, aceasta cu observaia c pentru a fi eficiente i a conduce la rezultate verificabile experimental, ipotezele care stau la baza adoptrii modelului de calcul trebuie s surprind ceea ce este specific laturii studiate a fenomenului i, bineneles, s aib cuvenita cuprindere. innd seama de obiectul de studiu al Rezistenei Materialelor, schematizrile i ipotezele necesare definirii modelului de calcul optimal/uzitat n cadrul acestei discipline se vor referi n principal la proprietile geometrice i mecanice ale corpurilor precum i la forele care acioneaz asupra i n interiorul lor.
11
n continuare, se vor da dou criterii de clasificare a solidelor referitoare la comportarea lor dup descrcare i la mrimea deformaiilor care apar la anumite solicitri mecanice. ntr-un accept profesional,ingineresc i orientat, vom considera aceast disciplin de studiu i aplicativ dedicat n principal analizei i evalurii comportrii materialelor/corpurilor componente ale sistemelor tehnice n interaciune mecanic. Exprimarea matematic adecvat a interaciunilor respective reprezint desigur, o important asumare a disciplinei/tiinei considerate (Rezistena Materialelor). Se accept, pragmatic, c din punctual de vedere al comportrii materialelor dup descrcarea de anumite sarcini/eforturi mecanice se disting:
Materiale elastice; Materiale plastice; Materiale elasto-plastice.
Materale elastice. Se consider un corp solid ncrcat cu fore exterioare a cror intensitate crete de la zero. Sub aciunea acestor fore, corpul se deformeaz, crendu-se un echilibru continuu ntre forele externe i cele interne. Dac dup un anumit nivel de ncrcare se descarc corpul, n mod gradat pn la zero, acesta va reveni la forma sa iniial. Dac deformaiile dispar complet i materialul i reia exact forma sa iniial, atunci acesta ndreptete considerarea sa ca solid elastic. n mod corespunztor se definete elasticitatea ca proprietate a materialelor de a se deforma sub ncrcare i de a reveni la forma iniial cnd ncrcarea nceteaz.
Materiale plastice. Unele materiale se deformeaz foarte mult chiar sub ncrcri reduse i nu-i reiau dimensiunile i forma iniial cnd ncrcarea dispare. Acestea sunt solidele plastice.
Materialele elasto-plastice. Experiena arat c nu exist materiale/corpuri (solide) perfect elastice i c deformaiile produse de ncrcri nu dispar complet dup descrcare; n acest caz deformaiile corpului sunt de dou feluri: o deformare elastic care se diminueaz odat cu reducerea ncrcrii i o deformare remanent (permanent). Este cazul majoritii materialelor folosite pentru obinerea elementelor din domeniul construciilor de maini.
Din punctul de vedere al mrimii defomaiilor care conduc la rupere, se disting:
Materiale ductile; Materiale casante.
12
Materialele ductile: se caracterizeaz prin capacitatea de a suporta deformaii importante naintea apariiei fenomenului de rupere i au pronunate proprieti plastice. Se spune c asemenea materiale posed un grad nalt de avertizare la rupere (de ex. oel, aluminiu, etc.). Materialele casante: sunt cele care se rup brusc la anumite ncrcri, fr a prezenta nainte deformaii mari (cum ar fi fonta, oelurile de nalt rezisten, betonul, piatra, sticla, etc.).
1.3.1 Clasificarea corpurilor O structur poate fi descompus ntr-o serie de elemente simple. Acestea sunt corpuri avnd trei dimensiuni. n funcie de raportul ntre cele trei dimensiuni, aceste corpuri pot fi grupate n trei mari categorii:
- bare; - plci; - blocuri.
Barele sunt corpuri la care una din dimensiuni este mare n raport cu celelalte dou. Elementele caracteristice ale unei bare sunt axa sa longitudinal precum i forma i dimensiunile seciunii (normale) transversale.
Axa longitudinal a barei reprezint curba dat de succesiunea centrelor de greutate ale seciunilor (normale) transversale.
Seciunea normal ntr-un punct din bar este seciunea plan perpendicular pe axa barei.
Dup forma axei longitudinale barele pot fi drepte, curbe plane i curbe n spaiu.
Forma seciunii transversale poate fi (fig.1.2):
fig.1.2 O categorie special de bare o constituie firele, la care seciunea transversal a barei are dimensiuni neglijabile.
13
Plcile sunt corpuri la care dou dimensiuni sunt mari n raport cu a treia. Locul geometric al mijloacelor grosimilor plcii se numete suprafa median, grosimea plcii msurndu-se perpendicular pe suprafaa median. Plcile pot fi plane sau curbe. Blocurile sunt corpuri cu toate cele trei dimensiuni comparabile. De reinut meniunea c metodele de calcul din Rezistena Materialelor sunt valabile numai pentru elementele de tip bar (fir). Pentru solidele plac sau bloc trebuie apelat la teoria elasticitii i teoria plasticitii.
1.3.2 Clasificarea forelor care acioneaz asupra corpurilor
Forele exterioare care acioneaz asupra unui corp sunt fore active, care tind s imprime corpului o micare, aceste fore fiind denumite sarcini sau ncrcri respectiv fore care se opun tendinei de deplasare a corpului, numite reaciuni. Criterii de clasificare:
Dup dimensiunea suprafeei pe care se aplic: Fore concentrate: teoretic, se aplic ntr-un punct; Fore distribuite: se caracterizeaz numeric prin intesitatea pe
unitatea de lungime sau suprafa. Dup poziia zonei unde se aplic forele n raport cu corpul:
Fore de suprafa; Fore masice i de volum.
Dup modul de variaie n timp a intensitii forelor: Fore statice fore care ncarc treptat construcia, ncepnd
de la intensitate nul, la intensitate final, cu care acioneaz continuu asupra construciei (ex. greutatea proprie);
Fore dinamice fore a cror intensitate se modific n timp att de repede, nct provoac acceleraii sensibile punctelor materiale ale corpului. Sunt fore care se aplic brusc i produc ocuri precum i fore variabile n timp.
Forele interioare; cu reprezentarea din figura 1.3 se consider un corp supus la un grup de fore exterioare n echilibru care se secioneaz n dou pri.
Evident, pentru meninerea echilibrului solidului astfel secionat trebuie s acioneze fore interioare (interne) corespunztoare. La echilibru, forele interioare de pe cele dou fee ale seciunii separatoare sunt egale i
14
de sens contrar, reprezentnd, n fapt, forele de legtur care se opun separrii corpului.
F1F1
F3F3
F4F4
F2F2
II
IIII
M
M
R
R
fig.1.3 Mrimile R i M semnific fore interioare sau eforturi. De menionat c eforturile trebuie introduse n centrul de greutate al seciunii; atare eforturi pot avea direcii oarecare n spaiu. Fie cazul unei bare cu axa x ax longitudinal a barei respectiv y i z axele seciunii transversale. Se vor reprezenta eforturile R i M n centrul de greutate al seciunii, fiecare efort descompunndu-se pe cele trei axe conform figurii 1.4:
x
z
y
Ty
Tz
T
N
R
MxMz
MyMi M
fig.1.4 - R are o component dup axa barei (axa x), denumit for axial N
respectiv o component T denumit for tietoare, pe o ax
15
perpendicular pe axa x. Fora tietoare se descompune pe axele y i z n componentele forei tietoare Ty i Tz.
- M se descompune n momentul de torsiune Mx (dup axa barei) i un moment ncovoietor Mi (dup o ax perpendicular pe axa x), ale crui componente sunt My i Mz. Mrimile N, Ty, Tz, Mx, My, Mz se numesc eforturi; fiecrui efort i
corespunde o solicitare simpl: - ntindere compresiune - solicitarea produs de fora axial N; - Tiere sau forfecare solicitarea produs de componentele forei
tietoare Ty, Tz; - Torsiune sau rsucire solicitare produs de momentul de torsiune
Mx; - ncovoiere solicitarea produs de componentele momentului
ncovoietor My, Mz. Solicitrile compuse corespund cazului cnd apar simultan cel puin
dou eforturi n seciune. 1.4 Ipoteze n Rezistena Materialelor n tratarea problemelor propuse Rezistena Materialelor opereaz cu o serie de ipoteze privitoare la structura materialelor i comportarea solidului sub sarcini. Principalele ipoteze de acest fel sunt: - Ipoteza mediului continuu i omogen: se consider solidul ca mediu continuu i omogen, ocupnd ntregul spaiu corespunztor volumului su. - Ipoteza izotropiei materialelor: se consider solidul ca avnd proprieti identice pe toate direciile. - Ipoteza strii naturale a corpurilor: se admite c mai nainte de intrarea n aciune a forelor care produc solicitarea, n corp nu exist fore interioare. - Corpurile studiate sunt n echilibru static sau dinamic: astfel, n primul caz, n ecuaiile de echilibru intervin fore statice reprezentnd aciuni i reaciuni, iar n cel de-al doilea, se adaug efectul forelor de inerie. - Ipoteza elasticitii perfecte: se consider c deformaiile dispar complet odat cu dispariia sarcinilor care le-au produs. - Ipoteza deformaiilor mici: deformaiile se consider mici n raport cu dimensiunile corpurilor. De aceea se pot scrie ecuaiile de echilibru ca n static; se neglijeaz n calcule, puterea a doua (sau superioar) a deformaiilor, ca infinit mic de rang superior.
16
- Relaia liniar ntre tensiuni i deformaii specifice; se adopt curba caracteristic schematizat corespunztoare modelului elasto-plastic. Rezult c pentru valori ale deformaiilor care nu depesc c este valabil legea lui Hooke: = E, adic tensiunile sunt proporionale cu deformaiile. - Principiul lui Saint-Venant: dac se nlocuiesc forele care acioneaz asupra unui element de suprafa al unui corp elastic printr-un alt sistem de fore, echivalent cu primul din punct de vedere static, a doua distribuie de fore produce la locul de aplicare diferene apreciabile fa de prima, dar rmne fr efect sau cu efect neglijabil la distane mari fa de locul de aplicare a forelor. - Ipoteza lui Bernoulli (sau a seciunilor plane); o seciune plan, normal pe axa barei nainte de deformare rmne plan i normal pe ax i dup deformare.
1.5 Rezistene admisibile. Coeficieni de siguran Piesele de maini trebuie astfel dimensionate, nct s fie exclus pericolul ruperii, al existenei deformaiilor mari sau al fenomenului de pierdere a stabilitii. Tensiunile trebuie s fie sub limita de elasticitate dar, din raiuni economice, ct mai aproape de aceasta, cerin sensibil, deoarece pentru o bun siguran a integritii solidului, tensiunile trebuie s fie ct mai departe de limita de elasticitate pentru a nu se ajunge la deformaii mari. Valoarea limit a tensiunii pn la care poate fi solicitat un material poart numele de rezisten admisibil (a). Rezistena admisibil se consider fie n raport cu limita de curgere c (pentru materialele ductile), fie n raport cu limita de rupere r (pentru materialele casante). Raportul ntre tensiunea limit i rezistena admisibil reprezint coeficientul de siguran (c); astfel, se definesc:
;;a
rr
a
cc c c
==
n care: cc coeficientul de siguran la curgere; cr coeficientul de siguran la rupere. Pentru o funcionare optim a piesei trebuie ndeplinit condiia: ;acc
17
cu ca fiind notat coeficientul de siguran admisibil; acest coeficient se determin astfel nct s aib cele mai mici valori pentru care se obine o siguran deplin a funcionrii piesei pe o durat ct mai ndelungat de solicitare. 1.6 Metode de rezolvare Rezolvarea problemelor din Rezistena Materialelor se face prin metode generale i proprii, dintre care sunt reprezentative:
Metoda rezistenelor admisibile (metod determinist), comportnd exprimarea valorilor acestui parametru (a) prin condiia: ;max a
ef unde simbolizeaz tensiunea efectiv maxim la nivelul elementului n discuie. Metoda adopt un coeficient de siguran unic, cu anumite rezerve sub raportul justificrii/confirmrii n practic.
efmax
Metoda strilor limit (metod semiprobabilistic); prin stare limit se nelege un stadiu de solicitare a crui atingere implic pierderea reversibil sau ireversibil a capacitii solidului/corpului de a satisface condiiile de utilizare.
Pentru materiale omogene (metale, .a.), expresia de calcul conform metodelor uzuale este: ;max Rm
n care: max - valoarea maxim probabil a tensiunii; R rezistena de calcul (valoarea minim probabil a rezistenei); m coeficient ce ine seama de reducerea sau majorarea rezistenelor de calcul n cazuri specifice ale unor solicitri.
1.7 Condiii de ndeplinit n soluionarea problemelor din Rezistena Materialelor
Prevalent n Rezistena Materialelor este studiul tensiunilor i deformaiilor, dar la fel de important este i determinarea sau/i verificarea condiiilor de stabilitate a elementelor structurale ale corpurilor n scopul dimensionrii optime. Se convine ca elementele structurale s satisfac urmtoarele cerine/condiii:
18
- Condiii de rezisten: tensiunile nu trebuie s depeasc anumite limite stabilite experimental pentru fiecare material, respectiv: .max a
ef
- Condiii de rigiditate: funcionarea organelor de maini este condiionat de deformaiile acestora, deformaii care nu trebuie s depeasc anumite limite, respectiv: .max a
ef - Condiii de stabilitate: peste anumite valori critice ale sarcinilor,
piesele i pierd echilibrul stabil, ceea ce poate duce la distrugerea acestora; valoarea maxim a unei sarcini se poate exprima:
;max cFcr=F
n care: Fcr fora critic la care poziia de echilibru elastic a barei devine instabil; c un coeficient de siguran (la stabilitate). 1.8 Aspecte ale Rezistenei Materialelor n abordarea i dezvoltarea/tratarea problemelor de rezisten se disting trei aspecte:
Aspectul static, care configureaz problema astfel, nct solicitrile de referin sunt reduse la forele interne ntr-un punct sau ntr-o seciune, cu utilizarea ecuaiilor de echilibru static;
Aspectul geometric, care se rezum la examinarea deformaiilor solidului ncrcat;
Aspectul fizic, care presupune un fundament experimental, permind stabilirea conexiunilor ntre forele interne (tensiuni) i deformaii.
19
Capitolul 2
DIAGRAME DE EFORTURI
2.1 Diagrame de eforturi la bare drepte Elementul de structur fundamental n majoritatea construciilor de cldiri, poduri, construcii mecanice, l reprezint bara i n special bara dreapt. Propunndu-se s se determine, n cadrul Rezistenei Materialelor, strile de solicitare ale barei sub influena diverselor aciuni, va trebui rezolvat urmtoarea problem: cunoscndu-se geometria barei, legturile ei cu alte corpuri i ncrcrile, s se determine starea de tensiune i deformaie. Principalele etape de rezolvare a problemei sunt urmtoarele: 1) mai nti trebuie determinat complet sistemul de fore exterioare care acioneaz asupra barei, adic pe lng ncrcri trebuie determinate reaciunile, ca valoare i natur; 2) trebuie determinate eforturile n seciunile transversale ale barei; 3) determinarea tensiunilor n oricare punct al barei. Primele dou etape pot fi soluionate pentru structuri static determinate folosindu-se principiile Mecanicii Teoretice. Noiunile operatoare n aceast matrice de abordare includ tipurile de reazeme. Orice corp n micare plan are trei grade de libertate, nct pentru a-l reprezenta sunt necesare trei legturi simple ale sale cu un anumit suport referenial. Tipurile de reazeme cu care opereaz Mecanica sunt:
Reazemul simplu, care are drept echivalent static o for vertical V;
V V
20
Articulaia plan, care are drept echivalent static dou fore: una vertical V, iar cealalt orizontal H;
V V
H H
ncastrarea, acest tip de reazem avnd drept echivalent static dou fore i un moment;
V
HM
Dintre posibilitile de scriere a ecuaiilor de echilibru cunoscute n Mecanica Teoretic, cele care convin i la care se apeleaz n cazul determinrii reaciunilor sunt: I. ;;0,;0,;0 AAAA MMVYHX === expresii avantajoase n cazul evalurii consolelor (fig.2.1):
VA
HA
MA
x
y
fig.2.1
A
II. ;;0,;0,;0 ABBAA VMVMHX === expresii edificatoare pentru cazul barelor simplu rezemate (fig.2.2):
VA VB
HA x
y fig.2.2
A B
21
2.1.1 Determinarea eforturilor ntr-o seciune Cunoscnd forele exterioare care acioneaz asupra unei bare, se pot determina eforturile ntr-o seciune a ei, n care scop se recurge la metoda seciunilor. Fie o bar solicitat de forele exterioare n echilibru P1, P2, ..., Pn, fore care includ att ncrcrile ct i reaciunile corespunztoare. Pentru a determina eforturile ntr-o seciune curent i se secioneaz bara dup un plan normal pe axa sa longitudinal (fig.2.3).
N
T
TM M
P1
P2P3
PnPn
P3P2
P1
x
y
1i
fig.2.3 n seciunea curent i s-au introdus eforturile secionale care trebuie s alctuiasc un sistem static echivalent cu sistemul de fore de pe partea nlturat. Dac se ndeprteaz partea din stnga, pentru echilibrul prii din dreapta, pe faa acesteia trebuie introdus aciunea prii nlturate, aciune manifestat prin forele interioare. Acest sistem de fore se va reduce n centrul de mas al seciunii, situat pe axa barei, astfel:
- o for tangent la ax (N), fora axial; - o for normal la axa barei (T), fora tietoare; - un cuplu (M), reprezentnd momentul ncovoietor.
Dac n loc s se nlture partea din stnga s-ar proceda la dislocarea prii din dreapta, am avea acelai recurs cu excepia inversrii sensului eforturilor secionale n raport cu prima situaie discutat, dar egale ca valoare cu acestea. Aceast alternativ d posibilitatea ca, n scopul reducerii calculelor numerice, s se aleag, la determinarea eforturilor, partea pe care reducerea sistemului de fore exterioare este cea mai facil.
Fora axial (N), reprezint suma proieciilor pe axa barei din seciunea considerat a tuturor forelor din stnga seciunii sau din dreapta. Este considerat pozitiv atunci cnd pe faa din dreapta are sens invers sensului axei x sau, ca sens fizic, este pozitiv cnd este de ntindere (trage de seciunea n care se aplic).
N N N N
Fora tietoare (T), este suma proieciilor pe normala la axa barei n
22
seciunea considerat a tuturor forelor din stnga seciunii sau a celor din dreapta. Se consider pozitiv cnd pe faa din dreapta are sens invers sensului axei y; ca sens fizic este pozitiv cnd rotete solidul n sensul acelor de ceasornic.
T T T T
Momentul ncovoietor (M), reprezint suma momentelor, n raport cu centrul de greutate al seciunii, a tuturor forelor de la stnga seciunii sau a celor de la dreapta. Se consider pozitiv cnd, n seciune, ntinde fibra inferioar (de jos), respectiv negativ cnd ntinde fibra superioar (de sus).
M MM M
Sunt denumite diagrame de eforturi reprezentrile grafice ale valorilor eforturilor n seciunile considerate. Reprezentarea acestor diagrame este strict necesar pentru stabilirea seciunilor n care eforturile se situeaz n limite de atenie. Se convine ca n atare grafice ordonatele pozitive s fie reprezentate astfel:
- pentru momentele ncovoietoare, sub linia de referin (de partea ntins a barei);
- pentru fora axial sau fora tietoare, deasupra liniilor de referin corespunztoare.
2.1.2 Construirea diagramelor pornind de la expresiile analitice ale eforturilor
O cale de a construi diagramele de eforturi const n determinarea expresiilor analitice pentru seciunea curent x i apoi reprezentarea grafic a funciilor N(x), T(x), M(x). Punctele caracteristice sunt punctele n care se modific ncrcrile. Exemplu (fig.2.4):
.25.2;02254;0
;75.0;0224;0
;3;0
FVaFaFaVM
FVaFaFaVM
FHX
CCA
AAC
A
==++===+=
==
23
x1 x2
x 2F F3FHA A B C D
VA VC2a 2a a
N
3F
TF
1.25F
0.75F
Fa
1.5Fa
M
fig.2.4
+
-
++-
-
Verificare: .0325.275.0;0 =+= FFFY
Se stabilete sensul de parcurgere de la stnga la dreapta; se alege o seciune curent x pe intervalul A-B, x [0; 2a]:
( )( )( )
.5.1;2;0;0;
;75.0;3
FaMaxMxxVxM
FVxTFxN
B
AA
A
=====
===
Se alege apoi pe intervalul B-C o nou seciune curent, x1 [2a; 4a]:
( )( ) ;25.1275.0
;3
1
1
FFFxTFxN
===
24
( ) ( )
.;4;5.1;2;2275.0
1
1111
FaMaxFaMaxaxFxFxM
C
B
=====
Se observ c n punctul B, n expresia lui Tx1 intervine un salt (discontinuitate) egal cu valoarea forei 2F i n sensul acesteia. Pe consola (tronsonul) C-D se iau forele de la dreapta n funcie de noul parametru curent, x2 [0; a]:
( )( )( )
.;;0;0;
;;3
2
222
2
2
FaMaxMxxFxM
FxTFxN
C
D
=====
==
2.1.3 Relaii difereniale ntre eforturi i ncrcri Se consider o bar solicitat de un sistem plan de fore exterioare concentrate i fore distribuite continuu. Se detaeaz un element de lungime dx separat prin dou seciuni transversale. Pe seciunea din stnga se aplic eforturile N, T i M, iar pe seciunea din dreapta aceleai mrimi cu creterile difereniale dN, dT i dM corespunztoare (fig.2.5).
x dx
NM
T pt
q
T+dT
N+dNM+dM
A B x
y
dx
fig.2.5 Se exprim astfel condiiile de echilibru ale elementului diferenial sub aciunea forelor exterioare i a eforturilor secionale:
( )( )2;;0;01;;0;0
qdxdTdTTdxqTY
pdxdNdNNdxpNX tt
===
==+++=
25
( )3.;02;0 dxdMTdxTdMMdxdxqMM B ==+=
Aceste relaii au urmtoarele semnificaii: - derivata forei axiale ntr-un punct oarecare al unei bare drepte, n
raport cu axa x, este egal n modul cu intensitatea sarcinii uniform distribuite dup tangenta la axa longitudunal a barei;
- derivata forei tietoare, n raport cu axa x, este egal n modul cu intensitatea dup normala la axa barei a sarcinii uniform dstribuite;
- derivata momentului ncovoietor ntr-un punct oarecare al barei drepte, n raport cu axa x, este egal cu fora tietoare.
Relaiile (2) i (3) au drept corolar:
( )4.22
qdxdT
dxMd ==
Din relaiile (1), (2), (3) i (4) rezult urmtoarele observaii: - cnd sarcina tangenial uniform distribuit pt este nul, fora axial
este constant; - cnd sarcina normal uniform distribuit q este nul, fora tietoare
este constant iar momentul ncovoietor variaz liniar; - cnd sarcina normal uniform distribuit este constant, fora tietoare
variaz liniar iar momentul ncovoietor variaz parabolic; - dac fora tietoare intersecteaz axa barei (linia de referin),
diagrama de moment ncovoietor are un punct de extrem n dreptul seciunii n care fora tietoare este nul (fig.2.6 curbura diagramei de moment ine sarcina).
Mmax
T
M
fig.2.6
- n dreptul unei sarcini concentrate diagrama forei tietoare face un salt egal cu sarcina din punctul respectiv i n sensul acesteia, pentru un sens de parcurgere de la stnga la dreapta, iar diagrama de moment ncovoietor prezint un vrf n sensul sgeii sarcinii concentrate (fig.2.7).
26
F
T
M
fig.2.7
+
-
- n dreptul unui cuplu de pe bar diagrama de moment ncovoietor prezint un salt egal cu valoarea cuplului i n sensul acestuia (fig.2.8).
T
M
fig.2.8
+
M
M
2.1.4 Utilizarea relaiilor difereniale la trasarea diagramelor de
eforturi Pentru trasarea diagramelor de eforturi se determin eforturile n punctele caracteristice prin metoda reducerii: parcurgnd bara de la stnga la dreapta se cumuleaz forele longitudinale respective cele transversale ntlnite. ntre punctele caracteristice se reprezint diagrama de efort pe baza relaiilor difereniale. Punctele caracteristice sunt cele n care ncrcarea este discontinu.
27
Vor fi tratate n continuare o serie de exemple tipice de construire a diagramelor de eforturi.
a) Grind simplu rezemat la capete, ncrcat cu o for concentrat (fig.2.9).
P
A C B H =0B
VBVAa b
l
Pb/l
Pa/l
T
M
Pab/l fig.2.9
+
+
-
.
;0
;
;
;
lPaba
lPbM
MM
Tl
PaPl
PbT
Tl
bPT
lbPV
C
BA
stB
drC
stCA
A
====
===
==
=
Caz particular: a = b = l/2, (fig.2.10).
b) Grind simplu rezemat la capete, ncrcat cu o sarcin uniform distribuit (fig.2.11).
28
P
A C B H =0B
VBVA
P/2
P/2
T
M
Pl/4 fig.2.10
+
+
-
l/2 l/2
A B H =0B
VBVA l
T
M
fig.2.11
x
ql/2
ql/2l/2
ql/82
+
+-
q
;2qlVV BA ==
;2xqqlT variaie liniar; x =
29
;2
;0
;2
;
;2
;0
lx
qlTl
qlT
x
B
A
==
==
==
T
x
x
;2222
2
xqxqlqxxVM Ax == variaie parabolic;
.8;0
2
maxqlMMM BA ===
c) Grind simplu rezemat la capete ncrcat cu un cuplu concentrat (fig.2.12)
A C B
VBVAa b
l
T
Mfig.2.12
+
H =0AM
M/l
Mb/l
Ma/l+
-
;0
;
;
====
==
BA
stBA
BA
M
Tl
M
M
lMVV
T
.; lbMM
laMM
laMM drC
stC
===
30
d) Grind n consol acionat de o for concentrat (fig.2.13)
A B
VAl
T
Mfig.2.13
+
P
N
HA
MA
--
Pcos
Psin
Plsin
.0;sin
;sin
;cos
;sin;0
;cos;0
;sin;0
==
====
====
==
B
A
stBA
stBA
AA
A
A
MPlM
TPNPN
PlMM
PHX
PVY
T
e) Grind n consol acionat de o sarcin uniform distribuit (fig.2.14)
.M;plM;pxxplplM
;T;plT;pxplT
;plM;M
;plV;Y
BAx
BAx
AA
A
0222
02
0
0
222
2
==+====
====
31
A B
VAl
T
Mfig.2.14
MA
p
pl
pl/22
+
-
x
f) Grind cu console acionat de fore concentrate (fig.2.15)
P P
AC B
VBVAl
T
Mfig.2.15
a a
D
P
P
Pa Pa
+
-
-
(datorit simetriei); PVV BA == T ;stAC TP ==
32
.0;;;
;0
====
====+=
DC
B
A
stD
drB
stB
drA
MMaPMaPMTP
TPPTT
2.1.5 Relaii de recuren la grinda dreapt Relaiile de recuren pot uura mult rezolvarea problemelor de trasare a diagramelor de eforturi. Astfel, ntr-o seciune oarecare i, efectul ncrcrilor precum i al forelor de legtur din seciune poate fi nlocuit prin rezultanta acestora, eforturile secionale Ni, Ti, Mi. n seciunea oarecare j nu mai este necesar s se reia n discuie toate forele de la stnga, eforturile din j putnd fi exprimate n funcie de eforturile din i i ncrcrile de pe i-j (fig.2.16):
T
.dsinFdTMM
;sinFT
;cosFNN
jkkijiij
kkij
kkij
+==
=
Fk
FkMi Mj
Ti
Tj
Ni Nj
djk
dij
1i
k
j
fig.2.16
Dac pe o poriune cu sarcin distribuit se consider o seciune curent x (fig.2.17), eforturile vor fi:
33
x
Mi Mjp
x0
Ti Tj
Ti
Tj
MiMj
Mx0
T
M
+
+
-
fig.2.17
.2
;;0
;2
;
max
2
00
2
0M
pTMM
pTxxpT
xpxTMM
xpTT
iix
ii
iix
ix
=+=
==
+= =
Expresia lui Mx0 se poate scrie i n funcie de eforturile din j, obinndu-se aceeai valoare.
2.1.6 Grinzi cu ncrcri complexe. Metoda suprapunerii efectelor
Uneori diagramele se pot determina fr calcule, prin suprapunerea efectelor, recurgndu-se la ipoteza micilor deplasri. Ecuaiile de echilibru se pot scrie pe forma nedeformat a sistemului, deci la calculul reaciunilor i al eforturilor se poate aplica principiul suprapunerii efectelor (principiul suprapunerii efectelor este o proprietate a funciilor liniare). Fie grinda simplu rezemat cu consol ncrcat ca n figura 2.18. Se consider separat aciunea fiecrei fore exterioare i se traseaz diagramele de moment ncovoietor corespunztoare.
34
F2 F1A D B C
la b c
F1
F ca/l1F c1
M
F2
F ab/l2
M
F1
F2
M
F c1
A
B
D
D
/
/
//
fig.2.18
+
+
-
-
Diagrama final se obine prin adunarea n fiecare seciune caracteristic a ordonatelor obinute n cele dou diagrame. Astfel, de la linia AB/ se scad ordonatele corespunztoare diagramei MF2; din punctul D/ se traseaz n jos ordonata pn n D//, egal cu valoarea corespunztoare din diagrama MF2:
.12 lcaF
labFM D =
35
2.2 Grinzi cu console i articulaii Sunt sisteme de bare drepte fixate la teren printr-o articulaie i reazeme simple, bare legate ntre ele prin articulaii intermediare. O prim problem de clarificat este dac sistemul este sau nu static determinat. Se numete grad de nedeterminare static a unui sistem: n = L 3C (pentru sisteme plane), cu C numrul de corpuri libere deschise i L numrul de legturi echivalente legturilor simple ce trebuie suprimate pentru obinerea a C corpuri. Pentru n = 0 sistemul este static determinat. Ecuaiile de echilibru pentru sistem se pot scrie pentru tot sistemul n ansamblu sau pentru fiecare corp n parte. Un astfel de sistem este alctuit dintr-o parte independent i una sau mai multe pri fundamentale, n urmtoarea accepiune:
Pri independente sau corpuri de tip I sunt corpuri ale cror fore de legtur pot fi determinate din ecuaii de echilibru proprii. Forele de legtur ale prilor independente depind numai de ncrcrile exterioare ale acestora.
Pri fundamentale sau corpuri de tip II sunt corpuri care i transmit singure forele la teren.
Forele de legtur de pe prile independente devin aciuni pe prile fundamentale.
Pentru exemplul din figura 2.19 gradul de nedeterminare static se
calculeaz astfel: ;02363 === CLn sistemul este static determinat. Partea independent este ABCD, pentru care:
;33.134
aM
aMVV DA ===
pentru partea fundamental DEF reaciunea VD devine aciune (for de ncrcare). Trasarea diagramelor de efort se face ca i n cazul grinzilor drepte, pentru fiecare tip de corp (tronson) n parte, diagramele finale fiind compuse din diagramele corespunztoare fiecrui tronson reprezentate una n continuarea celeilalte (fig.2.19).
36
M 3M M/a2
A B C D E F
a a a 2a 4a
V =1.33M/aA
V =1.33M/aD
1.33M/a
V =4.5M/aE V =1.16M/aF
1.16M/a
3.33M/a
1.33M/a
T
M
4.66M
1.33M
1.67M0.33M1.33M
fig.2.19
+
+
-
--
37
2.3 Diagrame de eforturi pe cadre Intersecia a dou bare reprezint un nod. Dac unghiul fcut de cele dou bare rmne constant i dup deformare, nodul este rigid. Structurile din bare care au cel puin un nod rigid poart denumirea de cadre. Cadrele pot fi spaiale sau plane. La un nod plan n care se intersecteaz numai dou bare, momentele sunt egale i ntind aceeai fibr. Linia de referin pentru reprezentarea diagramelor este chiar schema cadrului. Pentru fiecare bar trebuie ales un sistem de axe proprii; axa x este ntotdeauna axa barei (fig.2.20a). Dac diagramele de efort sunt trasate corect, nodurile sistemului trebuie s fie n echilibru. Pentru verificarea corectitudinii trasrii diagramelor se separ fiecare nod, prin secionarea barelor concurente n nod i se introduc pe feele seciunilor eforturile, inndu-se seama de convenia de semne i de sensul de parcurgere (fig.2.20b).
4P PA B C D
V =3PA
H =PE E
2a
a a aV =PE
xy
xy
x
y
P
P
N
3P
P
PT
3Pa
2Pa
2Pa
M
+ +
+
-
-
-
-
fig.2.20a
38
.3;0
;;0
;;0
PVM
PVM
PHX
AE
EA
E
======
nod C
P
2PaP
2Pa
P
P fig.2.20b Probleme Problema 2.a S se traseze diagramele de efort pentru grinda din figura 2.a.
1kN/m 2kNA B C D x
H =0A
V =3.5kNA V =2.5kND4m 2m 2m
3.5
0.5 2.5x0
6.125 65
T
M
[kN]
[kNm]
fig.2a
+
+
-
39
Calculul reaciunilor:
.5.2,0124628;0
;5.3,0822641;0
;0;0
kNVVM
kNVVM
HX
DDA
AAD
A
=====+=
==
Verificarea reaciunilor verticale: .0241;0 =+= DA VVY Calculul forei tietoare:
T .5.225.0
;5.0415.3
;0
stD
drC
stCB
drA
TkNTkN
======
=
T
T
Calculul momentului ncovoietor:
;125.625.3
2
;624145.3;0
22
max kNmqT
MM
kNmMMM
AA
C
DA
==
+=
====
pentru determinarea seciunii n care momentul este Mmax se egaleaz fora tietoare cu zero n aceast seciune:
.525.2
;5.315.3;0 0000kNmM
mxxTT
D
xx
=====
Problema 2.b S se traseze diagramele de efort pentru grinda din figura 2b. Calculul reaciunilor:
.;0275;0
;5
242;04225;0
;0;0
FVFaaFFaaFaVM
Fa
FaFaFaFaV
FaaFFaaFaVM
HX
B
BE
E
EB
B
==++=
=++==+=
==
40
F 2Fa F Fa
A B C D E G xH =0B
V =FB V =FE2a 2a 2a a a
F FT
2FaFa
M
fig.2b
-
--
-
Verificarea reaciunilor verticale: .0;0 =+= FFVVY EB Calculul forei tietoare:
T
.0;
;0
;
=+===
==+===
FFTF
TFFTF
drE
stE
drD
stD
drB
stB
drA
T
TT
Calculul momentului ncovoietor:
.;0246
;022
;224;22
;0
FaMMFaaFaFM
FaFaMFaaFaFM
FaaFMM
GE
D
drC
stC
B
A
===++=
=+==+=
===
41
Problema 2.c S se traseze diagramele de efort pentru grinda n consol din figura 2c.
10kN 40kNm 20kN
A B C D
1m 1m 1m
30kN20kN
T
30kNm
20kNm
20kNm
M
+
+
- -
fig.2c Necalculndu-se reaciunile iniial, se pornete cu calculul eforturilor secionale (for tietoare i moment ncovoietor), din dreapta ctre stnga, lundu-se mereu n considerare forele dinspre captul liber al consolei:
.3011040320;040220
;204020
;20120;0
;301020
;20
kNmMM
kNmMkNmM
MTkN
TkN
A
B
stC
drC
D
drA
stB
drB
stD
=+==+=
=+===
===+=
==TT
42
Problema 2.d S se traseze diagramele de efort pentru grinda cu articulaie intermediar din figura 2d.
20kN 20kN/mA B C
DE
1m 2m 2m 6m
V =60kNE20kN
60kN
26.6746.67
60
60
T
26.67120
90
M
[kN]
[kNm]fig.2d
+
+-
- -
V =60kND
V =106.67kNCV =26.67kNA
Se calculeaz gradul de nedeterminare static: .02363 === CLn Partea independent este DE; reaciunile sunt:
.602206 kNVV ED ===
Reaciunea VD devine aciune pe bara AD; reaciunile pe bara AD sunt:
.67.26
3260202;0
;67.1063
605120;0
kNVM
kNVM
AACD
C
CACDA
=+==
=+==
Calculul forei tietoare:
T ;;67.26
drAstB
AdrA
TkNV
=T ==
43
;67.462067.26 stCdrB TkNT ===
.60
;6067.10667.46
kNTTkNT
stE
DdrC
===+=
Calculul momentului ncovoietor:
.908
6208
;120260;67.26167.26
;0
22
max kNmlqM
kNmMkNmM
MMM
C
B
EDA
=====
=====
Problema 2.e Pentru cadrul din figura 2e s se traseze diagramele de efort.
40kN
10kN
A
BCD
3m
1m 2m
H =0A
M =90kNmA
V =30kNA
1 2
3
fig.2e
Calculul reaciunilor:
.90240110;0
;30;0
;0;0
kNmMM
kNVY
HX
AA
A
A
=+====
==
44
30
10
40
10
90
80
TN M
-
-
-
+
+
[kN] [kN] [kNm]
Nodul B 10kNm
10kN
40kN
80kNm
30kN
90kNm
1 2
3
Problema 2.f Pentru cadrul din figura 2f s se traseze diagramele de efort.
34kNm 52kNm V =28.67kNE
H =0A
V =28.67kNA
1m
1m 1m 1m
A
B C DE
fig.2f
45
Calculul reaciunilor:
.kN.VV EA 6728386
35234 ==+==
28.67
28.67
28.67
5.34
23.33
28.67
N T M
+
++
-
- -
[kN] [kN] [kNm] Problema 2.g Pentru cadrul din figura 2g s se traseze diagramele de efort.
1kN/m
3m
2m6m2m
450
AB
C
D
EHE
VE
1 23
F
4kN
fig.2g
NB-F
46
Calculul reaciunilor:
( )
.6;0
;8;0;5.8
,0310643622
;0
kNHX
kNVYkNN
N
M
E
E
EB
EB
E
====
==+
=
Nodul C
20kNm
6kN
2kN
2kNm
8kN18kNm
1 2
3
8.5
6
8
26
2
6
2
20
218
6kN
6kN
N T
M
[kN] [kN]
[kNm]
+
- -- -
+
+
- -
-
47
Capitolul 3
CARACTERISTICILE GEOMETRICE ALE SECIUNILOR TRANSVERSALE ALE BARELOR
3.1 Aria seciunii. Momente statice. Centre de greutate Dac se consider seciunea compus dintr-o infinitate de arii elementare dA, atunci aria seciunii va fi: .=
A
dAA
S
S
Se raporteaz consideraiile urmtoare la o figur plan (seciunea transversal a unei bare raportat la un sistem ortogonal de axe de coordonate Oy1z1) i se apeleaz la expresiile:
=
=
Az
Ay
dAy
dAz
,
;
11
11
reprezentnd suma produselor ariilor elementare dA cu distana la axa corespunztoare (y1 sau z1). Aceste expresii definesc momentele statice ale seciunii fa de axa y1 sau z1 (fig.3.1); unitatea de msur pentru momentul static este: [ ] ., 333 mmcmL =
O
y1
z1
z
y
b zz1
a
yy1G
dA
fig.3.1
48
n situaia n care axele z i y trec prin centrul de greutate al seciunii, momentele statice sunt nule: ;0== yz SS
S
y
cu: ==
A Ayz dAzSdAy .,
Se exprim y i z n forma: ;; 11 bzzay == i se introduc n relaiile lui Sz i Sy, astfel:
;0
;0
1
1
=
=
A
A
dAbdAz
dAadAy
A
A
rezult coordonatele centrului de greutate:
.
;
11
1
11
1
===
===
ii
iii
G
ii
iii
G
A
Az
A
dAzz
A
Ay
A
dAyy
b
a
Orice sistem de axe cu originea n centrul de greutate al figurii geometrice reprezint un sistem de axe centrale. 3.2 Momente de inerie (geometrice) Se numete moment de inerie axial al figurii plane (de arie A), n raport cu o ax din planul su, suma produselor elementelor de arie dA cu ptratul distanei lor la axa considerat. n raport cu axele Oy i Oz momentele de inerie se exprim: ==
A Azy dAyIdAz ,;
22I
ntotdeauna pozitive. Suma produselor elementelor de arie dA cu distanele lor la un sistem de axe rectangular Oyz :
49
;=A
yz dAyzI
I
sum ce poate fi pozitiv sau negativ, poart denumirea de moment de inerie centrifugal al figurii plane n raport cu axele Oyz. Momentul de inerie polar al unei figuri plane n raport cu un punct (pol) din planul figurii, este reprezentat de suma produselor elementelor de arie dA cu ptratele distanelor lor n raport cu acel punct: =
Ap dAr ;
2
deoarece r2 = z2 + y2 (fig.3.2), rezult:
O
y
z
y
zr
dA
fig.3.2
( ) .IIdAyzI zy
Ap +=+= 22
Momentul de inerie polar este aadar, egal cu suma momentelor de inerie axiale Iy i Iz pentru orice sistem de axe ortogonale Oy i Oz care trec prin polul O. Din aceast relaie rezult c suma momentelor de inerie axiale n raport cu un sistem de axe rectangulare cu aceeai origine, O, reprezint un invariant la rotirea sistemului de axe. Momentele de inerie (axiale, centrifugale, polare) se exprim n uniti de lungime la puterea a patra: [ ] ., 444 mmcmL = Dac axele de referin sunt centrale, momentele de inerie se numesc centrale. Uneori n calcule se utilizeaz razele de inerie (giraie), mrimi liniare, ce se definesc prin expresiile:
.;; AI
iAI
iAI p
py
yz
z ===i
50
3.2.1 Momente de inerie pentru seciuni simple Determinarea momentelor de inerie, pentru figurile simple se poate realiza prin integrarea direct n formulele de definiie.
a. Cazul unei seciuni dreptunghiulare (fig.3.3) S se evalueze momentele de inerie n raport cu axele centrale Oy i
Oz paralele cu laturile dreptunghiului. Pentru determinarea momentului de inerie n raport cu axa Oz se
consider o suprafa elementar dA, de forma unei fii paralele cu axa Oz, de lime b i nlime dy:
.123
;
32
2
32
2
22 bhbydybydAyI
dybdAh
h
h
hAz ====
=
n mod analog se determin:
.12
32 hbdAzI
Ay ==
Momentul de inerie centrifugal n raport cu sistemul de axe Oyz
este nul, deoarece acestea sunt axe de simetrie.
b
h/2
h/2y
dy
z
y
O
fig3.3
b. Cazul unei seciuni circulare (fig.3.4) Avndu-se n vedere simetria seciunii n raport cu oricare ax
central, este indicat s se determine mai nti momentul de inerie polar i apoi momentele de inerie n raport cu axele centrale. Elementul de arie dA este cuprins ntre dou raze care fac ntre ele unghiul d i dou cercuri concentrice de raz r i r+dr, astfel:
z
y
rdrR
R
fig3.4
dA
d.642
;322
;
4
44
0
32
0
2
DIII
DRdrrddArI
ddrrdA
pyz
R
Ap
===
=====
51
3.2.2 Momente de inerie pentru seciuni de form complex
n problemele de calcul ale elementelor de construcii apare adesea necesitatea determinrii momentelor de inerie pentru seciuni de forme mai complicate, n raport cu diferite axe situate n planul acestor seciuni. n acest caz, separnd seciunea n pri componente simple, la care momentele de inerie se pot evalua uor, momentul de inerie al ntregii seciuni n raport cu o ax se va determina ca suma momentelor de inerie ale tuturor prilor componente n raport cu acea ax. Fie, astfel, o seciune de o form oarecare descompus n figuri elementare (fig.3.5):
1 2 34 5 6
O z
y
y dA
fig.3.5 relaia de baz avut n vedere este: ....... 21
2
2
1
22 ++=++== zzAAA
z IIdAydAydAyI
Dac seciunea are goluri, atunci aria corespunztoare acestora se va lua cu semnul minus; astfel: De
Di
z
y fig.3.6
( ).64 44 ieyz DDII ==
52
b
h D z
y fig.3.7
.DbhI z
43
6412=
3.3 Variaia momentelor de inerie la translaia axelor Se consider o figur plan de arie A raportat la un sistem de axe ortogonale Oyz, pentru care sunt cunoscute momentele de inerie raportate la axele Oy i Oz. S se determine momentele de inerie n raport cu noile axe O1 y1 i O1 z1 paralele cu primele (fig.3.8);
O1
y1
z1
z
y
b zz1
a
yy1O
dA
fig.3.8 astfel:
( )
( )( ) .;2;2
;2
;;
11
11
1
22
22221
11
AabSbSaIdAbzayI
AbSbIIAaSaII
dAadAyadAydAaydAyI
ayybzz
zyyzA
yz
yyyzzz
AAAAAz
+++=++=++=++=++=+==
+=+=
53
Sz i Sy reprezint momentele statice ale figurii n raport cu axele Oy i Oz. Dac aceste axe sunt centrale, atunci momentele statice sunt nule, iar relaiile pentru momentele de inerie raportate la axele paralele cu cele centrale vor fi:
.
;
;
11
1
1
2
2
AabI
AaI
AbI
zyyz
zz
yy
+=+=+=
I
I
I
Adunnd primii doi termeni, se obine: ( ) .AbaIII ppzy ++==+ 22111I
Momentele de inerie axiale sunt minime n raport cu centrul de greutate al seciunii; cu ct axele de referin sunt mai deprtate de centrul de greutate cu att momentele de inerie axiale cresc. Exemplu S se calculeze momentele de inerie n raport cu axele z i y care trec prin centrul de greutate al figurii compuse (fig.3.9):
b2
h2
h1
h2
b1
Gz
y fig.3.9 Rezolvare:
( )( )( );
;
;
2
2
+=+=+=
iiyyzzyzzy
iiyyyy
iizzzz
AddI
AdI
AdI
iiii
ii
ii
I
I
I
;21220
12 222
21322
311
+++
+= hbhhhbhbIz
54
;122
12
322
311 bhbh
y +=I n care s-au notat cu dz zi distana de la axa central z la axa zi a dreptunghiului i i cu dy yi, distana de la axa central y la axa yi a dreptunghiului i. 3.4 Variaia momentelor de inerie la rotaia axelor Dac se cunosc momentele de inerie Iz, Iy, Izy ale unei figuri plane n raport cu un sistem ortogonal de axe Oyz din planul acesteia, s se determine momentele de inerie n raport cu un nou sistem de axe ortogonal Oy1z1, rotit fa de primul cu un unghi (fig.3.10).
O E
B
C
y
y1
z
z1dA
z
z1
yy1
D
fig.3.10
Pentru elementul de arie dA, coordonatele fa de sistemul respectiv sunt:
- fa de Oyz: y i z; - fa de Oy1z1: y1i z1.
Relaiile ntre aceste coordonate sunt:
.cossin;sincos
1
1
zyOBCDzzyBECEBCy
+=+====
Momentele de inerie fa de noile axe sunt:
55
( )
2sinsincos
cossin2sincos
sincos
22
2222
2211
zyyz
AAA
AAz
III
dAyzdAzdAy
dAzydAyI
+==+=
===
(1)
( )
.2sincossin
cossin2cossin
cossin
22
2222
2211
zyyz
AAA
AAy
III
dAyzdAzdAy
dAzydAzI
++==++=
=+==
(2)
Momentul de inerie centrifugal este:
( )( )( )
+=
=+==
AAA
AAyz
dAyzdAzdAy
dAzyzydAzyI
;sincoscossincossin
cossinsincos
2222
1111
.2cos2sin211 zyyzyz IIII += (3)
Prin sumarea relaiilor (1) i (2), se obine: ,
11 zyzyIIII +=+
adic suma momentelor de inerie axiale n raport cu dou axe ortogonale, cu aceeai origine, este un invariant. nlocuind n relaiile de mai sus:
,22cos1cos;
22cos1sin 22 +== relaiile (1), (2) i (3) devin:
;2sin2cos
22
2sin2
2cos12
2cos11
zyyzyz
zyyzz
IIIII
IIII
++=
=++=
;2sin2cos22
2sin2
2cos12
2cos11
zyyzyz
zyyzy
IIIII
IIII
++=
=+++= (4)
.2cos2sin211 zyyzyz III +I =
56
3.4.1 Momente de inerie principale i direcii principale Din expresiile precedente ale momentelor de inerie axiale rezult c mrimea momentului de inerie n raport cu o ax oarecare depinde de unghiul de nclinare a acestei axe n raport cu o ax de referin. n acest caz se poate determina o valoare a unghiului, pentru care momentul de inerie atinge o valoare extrem. Pentru evaluarea acestei limite se va anula prima derivat a expresiei lui Iz1 din grupul de relaii (4):
( ) ,02cos2sin2;02 111 === yzzyyzz IIIId
Id de unde:
.2
2zy
zy
III
tg = (5) Se poate trage concluzia c momentele de inerie axiale sunt extreme pe direciile pe care momentele de inerie centrifugale sunt nule. Aceste direcii se numesc direcii principale, iar valorile momentelor de inerie respective sunt momente de inerie principale. Relaia (5) conduce la dou valori pentru unghiul : / i / + /2. Sunt deci dou direcii principale ortogonale; fa de una din axe momentul de inerie este maxim, fa de cealalt, minim. Se noteaz: .; 2min1max IIII == Pentru a calcula momentele de inerie principale, se calculeaz din relaia (5):
( )
( )( ) ;421
12cos
;4
2
2122sin
222
222
zyzy
zy
zyzy
zy
III
II
tg
III
I
tgtg
+=+=
+=+=
substituind n (4), se obine:
( ) ( ) ;42
422 22222,1
zyzy
zyzy
zyzy
zyyzyz
III
II
III
IIIIIII
+++=
dup simplificri, rezult forma final:
57
( ) .4212 222,1 zyzyyz IIIII +I += (6) Msurarea unghiului se face n sens orar (pentru unghiuri pozitive), n raport cu axa z. Pentru stabilirea axelor principale de inerie se calculeaz derivata a doua a expresiei lui Iz1, notndu-se cu 1 unghiul fcut de direcia principal corespunztoare lui I1:
( ) ;2sin2cos22 1122
1 zyyzz I
IId
Id += prin efectuarea calculelor, rezult expresia final a derivatei:
.cos221
122
2
zyzy
yz
ItgI
II +
(7)
Se observ c semnul expresiei (7) depinde numai de raportul:zyI
tg 1 ; pentru un maxim trebuie ndeplinit condiia:
;01 0
t > 0
fig.5.14 Fie cazul barei de rigiditate constant EA, de lungime l, ncastrat la extremiti n doi perei rigizi (fig.5.15). Prin nclzire cu gradientul de temperatur t, bara se va alungi cu l = lt. Pereii se vor opune dilatrii, ceea ce va duce la apariia unei fore axiale de compresiune, N.
l
EA
t > 0
l l
N N
fig.5.15 Condiia de deformabilitate a barei este: alungirea barei datorat nclzirii, minus scurtarea datorat forei axiale de compresiune (N), reprezint deformaia total, care pentru cazul de fa este nul, astfel:
;0== AElNtlltot
rezult:
.
;
tEAN
tEAN
===
90
Dac la un capt al barei exist un joc tehnologic cunoscut, numit rost de dilatare- de mrime , bilanul deformaiilor se exprim: ; == AE
lNtlltot de unde rezult valoarea forei, N, respectiv valoarea tensiunii normale . n cazul barei alctuite din poriuni cu rigiditi diferite (fig.5.16), condiia de deformaie este asemntoare:
,022
2
11
12211 =
+=
AElN
AElNtltlltot
de unde rezult valoarea forei de compresiune N.
l1 l2
E , A , 1 1 1E , A , 2 2 2
N N t > 0
fig.5.16 Pentru anumite valori ale forei axiale de compresiune, bara i pierde stabilitatea. Pentru a reduce eforturile datorate variaiei de temperatur, sistemele se prevd cu compensatori de dilataie (fig.5.17). Valoarea coeficientului pentru oel este: = 1210-6.
fig.5.17
5.8 Efectul inexactitii de execuie i montaj n sistemele articulate static nedeterminate
La confecionarea elementelor sunt posibile mici abateri de la dimensiunile stabilite n proiect. Dac barele cu asemenea erori de execuie se monteaz ntr-un sistem static nedeterminat, acestea induc n sistem eforturi suplimentare, numite eforturi iniiale, iar tensiunile corespunztoare,
91
tensiuni iniiale. Ca aplicaie, se va descrie modul de evaluare al acestor tensiuni iniiale pe sistemul de bare articulate din figura 5.18, la care se presupune c bara OB a fost executat mai lung cu segmentul de lungime egal cu :
A AB
N2 N2
N1
l1l2
l1
fig.5.18
O
O/
/
O //
EA2EA1
EA2
Pentru a fi posibil montarea barei OB n sistem, va trebui recurs la un efort de scurtare a ei cu segmentul , respectiv, la aplicarea unei fore exterioare. Dup motaj, nlturnd fora care a comprimat bara OB, aceasta va tinde s revin la lungimea iniial, dar va fi mpiedicat parial de barele OA i OA/. Nodul O se va deplasa n O/, antrennd i barele OA i OA/ care se vor alungi corespunztor. n aceast situaie vor exista eforturi n barele sistemului. Din condiia de echilibru a nodului O, rezult: ;0cos2 21 = NN (1) ecuaia de deformaie este: ;;cos 12 ll == (2) dar
.cos;
2
12
2
222
1
111 AE
lNAE
lNlAElNl ===
Rezolvnd sistemul alctuit din ecuaiile (1) i (2) rezult valorile eforturilor axiale N1 i N2.
92
Problema 5.a S se dimensioneze bara din figura 5a i s se calculeze deplasarea total a captului liber sub aciunea ncrcrilor; se cunosc: a = 160 N/mm2, E = 2,1105 N/mm2.
1.2m
0.8m240kN
120kN
d1
d2A
B
C
360
120
N [kN] fig.5a
+
Bara fiind solicitat axial, condiia de dimensionare este:
;maxa
necN=A
seciunea fiind circular:
,;4 dim2
dim necAAd == A
astfel, pe zona AB:
,319.30120
;4
2
22
dim22
mmmmdkNN
dA
NA
AB
a
ABnec
=====
iar pe zona BC:
.545.53360
;4
1
21
dim11
mmmmdkNN
dANA
BC
a
BCnec
=====
Deplasarea total a captului liber este:
.695.0
;
431101.2
80010120
454101.2
120010362
5
3
25
3
12
mml
AElN
AElNl BCBCABAB
=
+
=+=
93
Problema 5.b Un stlp prismatic de zidrie este solicitat la compresiune (fig.5b). S se determine volumul stlpului, cunoscndu-se: P = 270 kN, l = 12 m, = 1600 daN/m3, a = 1 N/mm2.
P
l/2
l/2
A1
A2
fig.5.b
inndu-se seama de greutatea proprie a stlpului pe cele dou tronsoane de arii diferite, dimensionarea se va face cu relaiile:
;1031.3
10610
160001
108.2810270
2
;103106
10160001
10270
225
39
331
2
25
39
3
1
mmlGPA
mmlPA
a
nec
a
nec
=
+=
+=
=
=
=
n care:
.2880010
16000108.1
;108.1106103
,2
;
99
1
39351
1111
NG
mmV
lAVVG
====
==
Volumul stlpului va fi: V ,21 VV += cu V1 i V2 volumul celor dou tronsoane de stlp, astfel:
.786.3
;10986.11061031.32
3
393522
mV
mmlAV
====
94
Problema 5.c S se determine tensiunile din barele BB1 i DD1; se consider
giditatea barei AD, infinit (fig.5c). ri
B1 D1
20mm 20mm l
NB NDA B C D
150kNlBB1lDD1
1m 1m 2m
fig.5c
B D//
Deplasrile punctelor B i D n poziiile B/ i D/ se consider a fi efectuate pe vertical (deplasrile fiind neglijabile n raport cu lungimile
e n raport cu punctul A einiiale ale barelor). Ecuaia de moment ste: 21501BN DN ;04 =+ (1)
trii acestuia de ctre fora de 150 kN; din asemnarea triunghiurilor rezult:
sistemul este o dat static nedeterminat. Ecuaia de compatibilitate geometric se determin considernd sistemul n urma solici
;41
11 DDBBll =
n care:
.;11 AE
lNlAE
lNl DDDBBB==
Astfel, rezult:
95
.DN=4B
N (2)
sistemului format din ecuaiile (1) i (2), rezult: Prin rezolvarea
,59.70;65.17 kNNkNN DB == iar tensiunile vor fi:
./8.224
;/2.56
2
2
mmNA
N
mmNA
N
DD
BB
==
==
Problema 5.d S se verifice condiia de rezisten pentru bara dublu articulat olicitat ca n figura 5d. Seciunea barei este inelar cu d/D = 0,8; a = 100
N/mm2. Rigiditatea barei (EA), este constant pe toat deschiderea.
s
HA A 175kN 50kN B HB x
1500 2000mm 1500
107.5
67.5
17.5N [kN]
+
-
fig.5d
l, rezult:
ul este o dat static nedeterminat. Ecuaia de compatibilitate geometric care se ataeaz, este:
Din ecuaia de proiecii pe orizonta ;050175;0 =++= BHHX Asistem ( ) ( ) ;015005017520001751500 = +0 ++
AEH
AEHH AAA =l AE
96
astfel, rezult: H .5.107 kNA = Se traseaz diagrama de forsolicitarea axial este:
e axiale; condiia de rezisten la
; max
max AN = a
ef
kNNn care 5.107max = . n acest caz:
( ) ./100/87.928.01644
105.107 2222
3
max ammNmmN =
Capitolul 6
FORFECAREA
6.1 Generaliti O seciune transversal a unei bare este supus la solicitarea prin
ste aceea de lunecare a celor dou jumti de bar, n planul de separaie al forelor transversale. Bara lucreaz, astfel, la forfecare sau, la tiere.
forfecare dac efectul rezultant al forelor de pe feele exterioare se va reduce la un singur efort, fora tietoare T, efort cuprins n planul seciunii. Se poate considera o bar dreapt solicitat de ctre dou fore transversale egale, de sens contrar i foarte apropiate una de alta (fig.6.1); tendina de deformare e
T
T
fig.6.1 Distana dintre cele dou fore tietoare T fiind foarte mic, efectul acesteia are un caracter localizat.
98
n fapt, forele tietoare nu apar izolat, ci nsoesc ntotdeauna momentele ncovoietoare (de altfel, cazul va fi studiat separat). n situaii ca cea reprezentat n figura 6.1, momentul ncovoietor este
n considerare
implificatoare i aproximaii de calcul. Se vor avea n vedere, de
care se determin valoarea tensiunii ste = T/A, aceasta constituind formula de baz n calculul simplificat la rfecare al pieselor de seciuni mici.
considerat nul sau are valori neglijabile, rmnnd a fi luatdoar efectul forei tietoare. Fora tietoare produce tensiunea n planul seciunii. n studiul ce urmeaz va fi luat n considerare cazul pieselor cu seciuni transversale mici, supuse la forfecare, situaie n care pot fi admise ipoteze sasemenea, tipurile uzuale de mbinri ale barelor, prin nituire, nurubare sau sudur. Astfel, se admite aici ipoteza distribuiei uniforme a tensiunilor tangeniale pe ntreaga suprafa a seciunii. n aceast ipotez, formula cu efo 6.2 Probleme de forfecare la mbinrile nituite Din raiuni de ordin practic, rnduirea niturilor necesare realizrii mbinrii se face respectnd anumite reguli privind distana dintre dou ituri vecine, precum i deprtarea minim fa de marginile pieselor;
conform marcrilor din figura 6.2, aceste distane recomandate sunt:
n
e3
e1
e1
e3
3d e 8d3d e1 8d2d e2 4d
1.5d e3 4d
e2 e e fig.6.2 Numrul de nituri necesar mbinrilor de rezisten, pentru bare solicitate axial, se stabilete astfel nct transmiterea forei axiale s se fac
99
n bune condiii. Pentru aceasta se introduce noiunea de rezisten a nitului, notat cu R , pornind de la o mbinare teoretic, cu un singur nit. Fora axial maxim pe care o poate transmite o astfel de mbinare reprezint tocmai
le, cu mai multe nituri.
a nituit, iar R rezistena unui
N, care olicit mbinarea, piesele au tendina de a luneca una fa de alta, prin
urmare nitul se poate distruge (prin forfecarea tijei sau prin strivire).
ceea ce am denumit rezistena nitului. Este etalonul cu care se poate aprecia capacitatea de rezisten a mbinrilor rea Se admite, n cazul barei solicitat axial centric, repartizarea uniform a ncrcrii la toate niturile. Dac N este fora axial pentru mbinaresingur nit, numrul necesar de nituri va fi: n = N/R (valoarea rezultat se rotunjete la numrul ntreg imediat urmtor). Pentru a stabili rezistena nitului se va considera cazul unui nit folosit la o mbinare simpl a dou piese (fig.6.3). Sub aciunea forei axiales
forfecare
strivire
N
N
fig.6.3 6.2.1 Forfecarea niturilor Cu referire la mbinarea a dou piese, distrugerea niturilor se poate datora forfecrii unei seciuni, aria seciunii de forfecare fiind: Af = d2/4. Evident, o mbinare de tipul celei ilustrate de fig.6.4 nu este
comandabil, aceasta prezentnd dezavantajul de a introduce o xcentricitate, t, la transmiterea forei axiale N de la o pies la cealalt.
ree
100
t tN N
O sectiune de forfecare
fig.6.4 n ceea ce privete mbinarea a trei piese, ca n figura 6.5, distrugerea niturilor se poate produce prin forfecarea concomitent a dou seciuni avnd: Af = 2d2/4.
N N
Doua sectiuni de forfecare
fig.6.5 Cunoscnd rezistena admisibil i diametrul nitului, efortul capabil al unui nit supus la forfecare este: Rf = Af af ; s-a determinat experimental relaia: af = 0,8a. 6.2.2 Strivirea niturilor (presiunea pe pereii gurii) n practic, distribuirea presiunilor pe pereii gurii ntr-o pies este neuniform, n calcule ns, se admite faptul c presiunile se distribuie uniform pe o seciune diametral (fig.6.6).
str
fig.6.6
101
Aria de suport a presiunii pe pereii gurii, n cazul mbinrii a dou piese de grosimi t i t1 > t (fig.6.7), este: t ( ) .,min
;
1min
min
ttttdstr
==A =
N
Nt
t1
fig.6.7 Dac se mbin mai multe elemente, aria pe care se exercit n mod convenional presiunea pe gaur este:
