Upload
marcelhalbescu
View
139
Download
7
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Probleme
Citation preview
FORMULA LUI HERON
Heron din Alexandria, numit şi Heron Mecanicul, de origine egipteană, a fost unul din reprezentanţii de seamă ai celebrei Şcoli din Alexandria. A trăit şi a activat în perioada finelui secolului I şi începutul secolului al II-lea d. Hr. El a scris lucrări de geometrie şi mecanică, dintre care cele mai importante sunt Metrica (originalul ei a fost descoperit în 1869 la Constantinopol) şi Dioptra.
În Metrica, Heron dă două metode pentru calculul ariei unui triunghi când i se cunosc lungimile laturilor; prima se reduce la calculul unei înălţimi a triunghiului (folosind teorema lui Pitagora generalizată aşa cum o întâlnim în manualele şcolare), iar a doua utilizează segmentele determinate pe laturi de cercul înscris în triunghi, ceea ce a condus la celebra formulă
cpbpappABC , rămasă în istorie, ca formula lui Heron. Frumuseţea formulei, ca şi
teorema lui Pitagora, a atras atenţia multor matematicieni în decursul istoriei, astfel că s-au dat mai multe demonstraţii chiar de către matematicieni celebri ca Newton, Euler etc.
Mai mult, s-au căutat formule analoage pentru patrulatere (numai patrulaterul inscriptibil permite o formulă analoagă), pentru tetraedre (numai tetraedrele echifaciale şi cele tridreptunghice admit), ba chiar şi pentru triunghiurile sferice. Pe de altă parte, expresia ABC a trezit ideea
determinării triunghiurilor pentru care avem Ncba ,,, , aşa numitele triunghiuri heronice,
declanşând astfel o veritabilă teorie geometrică pe care am putea-o numi „geometrie heronică” . Unii istorici ai matematicii, au ajuns la concluzia că formula lui de calcul a ariei unui triunghi, în funcţie de laturile sale, a fost stabilită de Arhimede, şi de aceea ar trebui să fie numită formula lui Arhimede-Heron.
În cele ce urmează vom încerca să prezentăm cititorului „câte ceva” din această geometrie. Dar mai întâi, vom expune câteva demonstraţii date în decursul istoriei, acestei celebre formule.
Demonstraţii ale formulei lui Heron 1. Demonstraţia lui Heron (sec. I d. Hr.) Urmărim pe figura 1. Se prelungeşte AC cu
lungimea CM=BE, astfel că AM = p = 2
cba , unde a, b, c sunt lungimile laturilor ΔABC.
Avem evident OFAM = SABCrp unde r este
lungimea razei cercului înscris triunghiului. Perpendicularele în O pe AO şi în C pe AC se întâlnesc în L, evident patrulaterul AOCL este inscriptibil şi deci .2drALCAOC
Însă drBOEAOC 2 din care rezultă <ALC=<BOE şi
triunghiurile dreptunghice ACL şi BOE sunt asemenea.
Deci: OB
AL
OE
CL
BE
AC
De asemenea FOKCKL ~ (unde KOLAC )
Deci: OK
KL
FK
CK
OF
CL
Din şi rezultăKL
KFCK
CM
CMAC
FK
CK
CM
AC
sau .2
KFAF
CFAF
CMAM
AM
KF
CF
CM
AM
Cum ΔAOK este dreptunghic, avem:
2OFFKAF
Fig. 1
90º
90º A
C
B
M
D E
O
F
L
1
2
2
OF
CFAF
CMAM
AM
. Urmează că CFCMAFAMOFAM 22 sau
cpbpappABCS 22
În încheiere, Heron calculează cu această formulă, aria unui triunghi cu laturile 7, 8, 9,
găsind 720512 .
2. Demonstraţia a trei fraţi arabi (Mohammed, Ahmed şi Alhasan în sec. al IX-lea d. Hr.)
Urmărim pe figura 2. Prelungim laturile BA cu AG=CF şi BC cu CI=AF; avem BG=BI=p. Ducem în G perpendiculara pe BA care întâlneşte bisectoarea BO în O , astfel că IOGO unde
I este piciorul perpendicularei duse din O pe BC. Luăm
pe AC, AH=AG şi avem 222 ICIOCO şi 222 AGGOAO ; de unde
.2222 AGICAOCO
Cum cpAGAH ;
.ICapAGbAHbCH Deducem că:
2222 AHCHAOCO ceea ce înseamnă că H este
piciorul perpendicularei coborâte din Ope AC şi deci
AO este bisectoarea unghiului <GOH.
Pe de altă parte în patrulaterul inscriptibil OGAH ,
avem drHOGGAH 2 şi cum drBAHGAH 2 rezultă BAHHOG precum şi
jumătăţile lor: .DAOAOG Se observă că ΔAG O~ΔADO; de unde
AGADGOODGO
AD
AG
OD
şi
AGAD
OD
GOOD
OD
GO
OD
22
. Cum GOOD , avem că
BG
BD
AGAD
OD
BG
BD
GO
OD
2
.
Deci AGBDADBGBGODAGBDADBGOD 222
cpbpappABCS 22 unde BG=p; AD=p-a; BD=p - b; AG=p - c.
3. O demonstraţie clasică (care apare în mai multe lucrări ale matematicienilor din perioada sec. XII - XV, fără a putea fi atribuită unui autor concret). Urmărim pe Figura 3. Fie O centrul cercului exînscris triunghiului, corespunzător
unghiului B, a cărui rază este r , iar G, H, I punctele de contact ale cercului cu laturile triunghiului. Avem mai întâi
rpABC ; apoi
rbpr
bacACOBCOABOABC
2
Prin înmulţirea acestor relaţii obţinem: '2 rrbppABC .
Fig. 2
A
G
I
C
B
D
E
O
F H
O'
Fig. 3
A
G
C
B
D E
O
F
H
O'
I
2
Se observă că ADOAGO ~' ; deci cpapAGADrrGOOD '' ,
de unde rezultă .22 cpbpappABCS
4. Demonstraţia lui Newton ( din Aritmetica universală, 1707).
Urmărim pe Figura 4. Fie P mijlocul lui AC. Purtăm pe AC, de o parte şi de alta faţă de A AJ=AK=c şi la fel faţă de C, CL=CM=a. Evident <JBK=900,
Fie ACBN ; avem
2222 CNANBCAB
CNANCNAN .
De unde rezultă b
bc
AC
BCABPN
22
2222
.
Din 2
bcPK scădem PN şi rezultă că
b
bpcp
b
cbacba
b
cba
b
acbbcNK
2
222
222222
.
Scăzând NK din JK=2c, avem:
b
app
b
acbacb
b
acb
b
acbbccJN
2
222
22
22222
Cum ΔJBK este dreptunghic, putem scrie:
cpbpappb
NKJNBN 2 şi cpbpapp
BNbABCS
2
Observaţie: Din Fig. 4, observăm că JM=2p; JL=c+b-a; KM=a+b-c; KL=c-b+a, de unde
;2b
JLJMJN
2
KLKMNK
, iar
b
KMKLJLJMBN
2
şi deci
KMKLJLJMABCS 4
1 care exprimă aria triunghiului în funcţie de cele patru
segmente de pe AC, formă pe care a dat-o Newton.
5. Demonstraţia lui Euler (1748 ) Urmărim pe Figura 5. Coborând din A pe CO perpendiculara AJ care întâlneşte pe FO în K. Din figură avem:
BODABCBCABACAOJ 2
190
2
1
2
1 0 .
Se observă că: ΔAJO ~ ΔBDO r
BD
JO
AJ
şi ΔACJ ~ ΔAOK JO
AJ
OK
AC .
A P N C K MLc b2
a a
I
B
Fig. 4
3
Scăzând din , avem că
rACOKBDOK
AC
r
BD ; însă OK=FK-r, deci
rBDFKBDrFKBDOKBD ; de unde
rprACBDrBDrACFKBD .
Pe de altă parte ΔCFO ~ ΔKAF
CFAFrFKr
CF
AF
FK şi
CFBDAFrFKBD .
Rezultă că: cpbpapCFBDAFrp 2
sau
cpbpappS 2 .
Observaţie: Fie AM BCM mediană în ΔABC iar G =
baricentrul ΔABC. Dacă D este simetricul lui G faţă de M,
atunci se vede în figura 6, uşor că ABCBDG 3 .
Dacă ma, mb, mc sunt lungimile medianelor ΔABC, atunci
amBD
3
2 ;
bmBG3
2 ;
cmBD3
2 iar semiperimetrul
ΔBDG este cba mmm 3
1.
Aplicând formula lui Heron ΔBDG, găsim că
cbacbacbccba mmmmmmmmmmmmABCS 3
1
Extinderi ale formulei lui Heron 1. La patrulatere
Se cunoaşte că în comparaţie cu triunghiurile, la patrulatere apare şi problema convexităţii.
Evident vom lua în consideraţie numai patrulaterele convexe care sunt construibile (determinate) cunoscând numai lungimile laturilor. În acest mod, de la început excludem paralelogramul (evident şi rombul), ca şi pătratul şi dreptunghiul. Primul patrulater în vizor este trapezul care e determinat (deci are arie) cunoscându-i laturile: a (baza mică), b ( baza mare) iar c şi d laturile neparalele. În acest caz urmărind pe Figura 7, avem:
Fie AE BC =c; evident ΔADE este bine determinat
cunoscându-i laturile: c, d, b-a. Din ΔADE, aplicând
teorema cosinusurilor, găsim abd
cdabD
2ˆcos
222
.
A
C
B
O
D
E
F
J
K
Fig.5
B C
A
M
G
D Fig. 6
D C
A B
d
b
c c
a
E
F
Fig. 7
4
Deci abd
cdababdDD
2
4cos1ˆsin
222222
2 iar
dcbadcbabadcbadcab
baABCD
4 formulă
care nu îmbracă întocmai haina formulei lui Heron. În caz că c=d (trapez isoscel) avem:
ababcbacbaab
baABCD
22
4
cbacbaba
ABCD 224
care aparent nu are o „formă Heron”.
Să calculăm acum aria unui patrulater inscriptibil care e bine determinat de lungimile laturilor. Fie patrulaterul inscriptibil ABCD (deci suma măsurilor unghiurilor este 1800) cu lungimile laturilor a, b, c, d. Aplicând teorema cosinusurilor triunghiurilor ABD şi BCD pentru diagonala DB şi egalând cele două expresii avem:
AbccbAadda ˆcos2ˆcos2 2222 ( căci cosC =- cosA) deducem
adbc
cbdaA
2cos
2222
iar :
adbc
cbdabcda
adbc
cbdaA
22cos1
22
adbc
dcbadcba
adbc
dacbA
22cos1
22
.
Dacă notăm dcbap 2 , atunci rezultă imediat că apdcba 2 ;
bpdcba 2 ; cpdcba 2 şi dpdcba 2 iar
adbc
cpbpAA
2
cos1
2cos ;
adbc
dpapA
2sin şi deci
adbc
dpcpbpapAAA
2
2cos
2sin2sin . Deci :
AbcAadBCDABDABCD 0180sinsin2
1
,2
sindpcpbpapbcad
A care reprezintă formula lui Heron pentru
patrulatere inscriptibile .
Se observă imediat că dacă c=d şi CDAB ( cazul trapezului isoscel care este totdeauna
inscriptibil) formula găsită pentru acesta, este un caz particular al formulei de mai sus.
2. La tetraedre Considerăm tetraedrul ABCD cu lungimile muchiilor BC=a; CA=b; AB=c; DA=l; DB=m; DC=n, în [1] se demonstrează relaţia care exprimă volumul tetraedrului:
22222222222222222222
2222222222222222144
mlcnlbnmacbancnmlcba
mbnmcbalanmlcbaV
care nu are o „formă heronică” în sensul celei de la triunghi.
5
Dacă considerăm tetraedrul tridreptunghic OABC cu OCOBOA şi cu BC=a; CA =b;
AB= c; OA=p; OB=q; OC=r ca în Figura 8, atunci
2222366
rqpVrqp
V
.
Cum 222222222 ;; brparqcqp
rezultă imediat, notând 2222
2s
cba
că :
;2
22222
2 ascba
p
22222
2
2bs
cbaq
şi
22222
2
2cs
cbar
. Deci
222222
6
1csbsasV , „ formula lui Heron” pentru tetraedru tridreptunghic.
În cazul tetraedrului echifacial (tetraedrul cu muchiile opuse congruente) cu toate cele patru feţe egale cu triunghiul ce are ca laturi a, b, c. Se observă că acest tetraedru se obţine din divizarea
paralelipipedului dreptunghic cu muchiile de lungimi p, q, r prin plane aşa cum se vede în Figura 9.
Paralelipipedul DCBAABCD se descompune în
patru tetraedre tridreptunghice, luând vârfurile într-un anumit mod. De exemplu, dacă luăm vârfurile în
DBCA ,,, (diametral opuse) avem următoarea
descompunere: CADDCABBCBDCBDAA .;.;.;.
( patru tetraedre tridreptunghice egale, având fiecare volumul
egal cu rqp 6
1 ) şi tetraedrul echifacial DBAC (cele
patru feţe sunt triunghiuri egale cu laturile
222222 ;; rpcrqbqpa ).
rqprqprqpVVV BDAADCBAABCDDBAC 3
1
6
44
Cu notaţiile de mai înainte, rezultă că:
222222
3
1csbsasV DBAC
care reprezintă „formula lui Heron” pentru tetraedre echifaciale. Aceste aşa zise formule Heron, se pot extinde pentru tetraedre n-dreptunghice şi n-echifaciale din Rn.
A
O C
B
c
a
b
p
r
q
Fig. 8
A' B'
A B
D
D' C'
C
r
p
q
Fig. 9
6
Proiect didactic Data:
Clasa a IX-a A
PROPUNATOR: Oprişor Valerian
Disciplina: Matematică / Geometrie
Tema : Formule pentru aria unui triunghi
Unitatea de invatare : Formula lui Heron
Tipul lecţiei: Lecţie predare –învăţare
COMPETENŢE GENERALE
CG1 Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite.
CG2 Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice.
CG3 Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală unei situaţii concrete.
CG4 Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora.
CG5 Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă.
CG6 Modelarea matematică a unor contexte matematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii.
COMPETENŢE SPECIFICE
CS1 Identificarea elementelor necesare pentru calculul unor lungimi de segmente şi măsuri de unghiuri.
CS2 Utilizarea unor tabele şi formule pentru calcule în trigonometrie şi în geometrie.
CS3 Determinarea măsurilor unor unghiuri şi a lungimii unor segmente utilizând relaţii metrice.
CS4 Transpunerea într-un limbaj specific trigonometriei şi geometriei a unor probleme practice.
CS5 Utilizarea unor elemente de trigonometrie în rezolvarea triunghiului oarecare.
CS6 Analiza şi interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unor probleme practice.
7
COMPETENŢE DERIVATE
La sfârşitul orei elevii vor fi capabili:
CD1 Să calculeze aria unui triunghi.
CD2 Să determine înălţimea unui triunghi.
CD3 Să determine raza cercului înscris şi circumscris unui triunghi.
CD4 Să aplice corect noţiunile teoretice în rezolvarea exerciţiilor.
CD5 Să-şi însuşească treptat exigenţele unui exprimări riguroase specifice disciplinei.
CD6 Să justifice prin argumente înlănţuite logic, paşii de rezolvare a unei probleme.
Metode si procedee
Conversaţia euristică Explicaţia Demonstraţia Exerciţiul Problematizarea Învăţarea prin descoperire ŞTIU / VREAU SĂ ŞTIU /AM INVATAT
Forme de organizare a clasei:
Frontală Individuală
Resurse materiale:
Materiale didactice: fişe de lucru Mijloace de învăţământ: tabla, creta.
8
DESFĂŞURAREA LECŢIEI Secvenţele activităţii didactice
Activitatea profesorului
Activitatea elevului
Metode Procedee de
evaluare Moment organizatoric Asigurarea ordinii şi liniştii.
Notarea absenţelor. Elevii se pregătesc pentru oră.
conversaţia observaţia
Captarea atenţiei Se verifică, individual/frontal, calitativ/cantitativ, tema pentru acasă, prin sondaj.
Elevii prezintă caietele conversaţia observaţia
Verificarea cunoştinţelor din lecţia anterioară
Reamintim subiectul discutat ora trecută. „Rezolvarea triunghiului oarecare” şi rog elevii să-mi scrie pe tablă teoremele ce stau la baza rezolvării triunghiului oarecare.
Elevii vor scrie pe tablă teorema cosinusului şi teorema sinusurilor.
conversaţia Aprecierea răspunsurilor primite.
Anunţarea temei şi a obiectivelor lecţiei
Astăzi, vom prezenta „Formule pentru aria unui triunghi” . Vom calcula aria unui triunghi, vom determina înălţimea unui triunghi, raza cercului înscris şi circumscris unui triunghi.
Elevii îşi notează titlul lecţiei în caiet.
conversaţia
Comunicarea noilor cunoştinţe
Profesorul face pe tabla tabelul ŞTIU / VREAU SĂ ŞTIU /AM INVATAT Solicită elevilor să scrie în coloana ŞTIU formulele de calcul pentru aria unui triunghi. În coloana VREAU SĂ ŞTIU o vom completa cu ce vrem să învăţăm: Aria S a unui triunghi verifică relaţiile:
S cba hchbha ⋅=⋅=⋅=21
21
21
.
S2sin
2sin
2sin BacAbcCab
===
S ( )( )( )cpbpapp −−−= (formula lui Heron)
S =A
CBasin2
sinsin2
Lunghimea ah a înălţimii corespunzătoare vârfului A din
triunghiul ABC este ah ( )( )( )cpbpappa
−−−=2
.
Elevii prezintă formulele de calcul pentru arii care le cunosc. Elevii îşi notează în caiet formulele.
Explicaţia, conversaţia euristică, exerciţiul, problematizarea, învăţarea prin descoperire
Observarea sistematică a elevilor, aprecierea răspunsurilor primite.
9
În orice triunghi ABC, avem S
abcR4
= şi pSr = .
Să se calculeze aria triunghiului ABC în cazurile :
a) a = 3, b = 4, C = 3π
,
b) a = 5, b = 6, c = 7,
c) b = 4, C = 4π
, A = 6π
.
Un elev rezolvă la tablă, iar ceilalţi îşi notează în caiete
Fixarea noilor cunoştinţe şi realizarea feed-back-ului
1. Calculaţi aria triunghiului ABC, dacă: a = 6, A =60 şi b + c = 9. 2. Arătaţi că în orice triunghi avem: S = 2R 2 sin A sin B sin C
r = 4R sin 2A
sin 2B
sin 2C
Elevii promesc fise de lucru
Fiecare elev rezolvă pe caiet, apoi comunică rezultatul
Munca independentă Observarea sistematică a elevilor, aprecierea răspunsurilor primite.
Evaluarea Apreciez cunoştinţele elevilor ce s-au remarcat la oră, solicitând părerea proprie şi a clasei în vederea notării.
Clasa va aprecia elevii ce s-au remarcat la oră.
conversaţia Nota în catalog
Tema pentru acasă.
Tema pentru acasă: Ex recapitulative din manual
Notează tema Activitate independentă Notarea răspunsurilor
Fişă de lucru nr 1
1. Să se calculeze aria triunghiului ABC ştiind că
( )ˆ2, 2 2, 45AB AC m A= = = .
2. Să se calculeze aria triunghiului ABC ştiind că
( )ˆ6, 4, 30AB AC m A= = = .
3. În triunghiul ABC se dau 5, 12, 13AB AC BC= = = . Să se calculeze aria triunghiului ABC şi sin sin sinA B C+ + .
4. Să se calculeze lungimea laturii AB a triunghiului ABC ştiind că aria triunghiului ABC este 21ABCA∆ = şi că ( ) 60 , 4 3m BAC AC= =
. 5. Să se calculeze aria triunghiului ABC ştiind că 4, 6, 8AB AC BC= = = .
FISA DE LUCRU nr 2
1. Să se calculeze aria triunghiului ABC ştiind că AC = 2, m(∠BAC) = 300 şi AB = 4 .
2. Să se calculeze aria triunghiului ABC, ştiind că AB = AC = 2 , m(A) = 300.
3. Să se calculeze aria triunghiului ABC, ştiind că AB = 6 , AC = 8 şi BC =10 .
4. Să se demonstreze că, în orice triunghi dreptunghic ABC de arie S şi ipotenuză de lungime a , este adevărată identitatea a2 sin BsinC = 2S.
10
2. Laturile unui triunghi au lungimile 13, 14 si 15 cm. Inaltimea si mediana duse la laturamai mare il impart in trei triunghiuri. Sa se calculeze ariile acestor triunghiuri.
Solutie
�������
bbbb
bbbb
bbbbLLLLLLL
C
A D E B
1413
Fie in triunghiul ABC AB = 15 cm, AC = 13 cm, BC = 14 cm, CD inaltimea, iar CE –mediana duse din varful C.
Calculam aria 4ABC, urilizand formula lui Heron:
A4ABC =√
21 · 8 · 7 · 6 =√
3 · 7 · 8 · 7 · 3 · 2 = 7 · 3 · 4 = 84.
Cum CE este mediana, obtinem A4BCE = A4ACE =A4ABC
2= 42.
Calculam inaltimea CD:
A4ABC =1
2· AB · CD = 84,
de aici1
2· 15 · CD = 84 rezulta CD =
56
5.
Gasim lungimea catetei AD a triunghiului dreptunghic ADC:
AD =
√132 −
(56
5
)2
=
√(13− 56
5
)(13− 56
5
)=
√9
5· 121
5=
33
5.
1. Triunghiul ABC are AB=6, AC=3 și BC=5. Calculați lungimea înălțimii AD.Rezolvare: Calculam semiperimetrul triunghiului ABC si obtinem:
Aria triunghiului ABC se calculeaza cu formula lui Heron astfel:
Mai departe avem:
TEST DE EVALUARE
Calculam A4ADC =1
2· AD · CD =
1
2· 33
5· 56
5=
924
25.
In fine,
A4CDE = A4ACE − A4ADC = 42− 924
25=
1050− 924
25=
126
25.
Raspuns: 42 cm2,924
25cm2,
126
25cm2.
11
3. Dintre toate triunghiurile de perimetru dat determinaŞi triunghiul de arie maximŁ.
Soluţie : ConsiderŁm un triunghi arbitrar de laturi a, b, c ĸi de perimetru 2p=a+b+c cunoscut.
Aria triunghiului, prin formula lui Heron este cpbpappA . Folosind inegalitatea
dintre media aritmeticŁ ĸi media geometricŁ pentru numerele pozitive p-a, p-b, p-c avem cŁ
333 pcpbpapcpbpapp
.
RezultŁ cŁ 93
32
3
ppp a p b p cpA
p
. RezultŁ cŁ
932
maxA p pentru p-a=p-b=p-c.Deci triunghiul de arie maximŁ este echilateral de laturŁ
32pa .
In orice triunghi cu lungimile laturilor a, b, c si arie S, este adevarata inegalitatea
a2 + b2 + c2 ≥ 4S√
3 + (a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2.
Demonstratie. Inegalitatea mai poate fi rescrisa astfel
2(ab + bc + ca)− (a2 + b2 + c2) ≥ 4S√
3.
Ridicand la patrat inegalitatea de mai sus si tinand cont de formula lui Heron, vom avea
4∑
ab
)2
+
(∑a2 − 4
(∑ab
)(∑a2
( )2 )≥ 3(a + b + c)
∏(b + c− a),
unde∑cyc
cyc cyc cyc cyc
reprezinta sumarea ciclica. Inegalitatea de mai sus este echivalenta cu
6cyc
a2b2 + 4cyc
a2bc +cyc
a4 − 4∑ ∑ ∑ ∑
ab(a + b) ≥ 3(a + b + c)∏
6∑cyc
a2b2 + 4∑cyc
a2bc +∑cyc
a4 − 4∑cyc
cyc
ab(a + b) ≥ 3(a + b + c)(∑cyc
ab(a + b)−
(b + c− a)⇔
∑cyc
a3 − 2abc)⇔
∑cyc
a4 +cyc
a2bc ≥∑ ∑
cyc
ab(a2 + b2),
care rescrisa sub forma
a4 + b4 + c4 + abc(a + b + c) ≥ ab(a2 + b2) + bc(b2 + c2) + ca(c2 + a2),
nu este altceva decat inegalitatea lui Schur ın cazul particular t = 2.
O alta inegalitatea foarte interesanta este reversul inegalitatii Finsler-Hadwiger, anume
In orice triunghi cu lungimile laturilor a, b, c si arie S, este adevarata inegalitatea
a2 + b2 + c2 ≤ 4S√
3 + 3[(a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2].
Demonstratie. √Consideram a = x+y, b = y+z si c = z+x, unde x, y, z > 0. Din formula lui Heron,vom avea ca S = xyz(x + y + z). Astfel, inegalitatea noastra va fi echivalenta cu urmatoareainegalitate algebrica ∑ √ √
(x + y)2 ≤ 4 3 · 3xyz(x + y + z) + 3∑cyc
(x− y)2
cyc
4.
5.
12
care la randul ei va fi echivalenta cu
2∑
xy −∑cyc
x2 ≤√
3xyz(x + y + z).cyc
Aplicand acum inegalitatea lui Schur, i.e.
2∑
xy −∑
x2 ≤ 9xyz
x + y + z,
3√
cyc cyc
ne mai rmane sa aratam ca 27xyz ≤ (x+y +z)3 care se reduce la inegalitatea mediilor, x+y +z ≥3 xyz.
6. Fie S(a, b, c) aria unui triunghi care are laturile de lungimi a, b, c. Aratati ca√S(x, y, z) +
√S(x′, y′, z′) ≤
√S(x + x′, y + y′, z + z′).
Intuim usor ca avem egalitate atunci cand triunghiurile sunt asemenea, adica atunci
candx
x′ =y
y′=
z
z′. Deoarece acesta este tocmai cazul de egalitate ın inegalitatea
CBS, ne gandim ca va trebui sa aplicam respectiva inegalitate.
x + y + z
2si p′ =
x′ + y′ + z′
2. AtunciNotam cu p respectiv p′ semiperimetrele p =
(x + x′) + (y + y′) + (z + z′)= p + p′.
2
Cu formula lui Heron, inegalitatea de demonstrat revine la
4√
4√
p(p− x)(p− y)(p− z) + p′(p′ − x′)(p′ − y′)(p′ − z′) ≤
4√
(p + p′)(p + p′ − x− x′)(p + p′ − y − y′)(p + p′ − z − z′).
Aplicam de doua ori inegalitatea CBS:
4√
4√
p(p− x)(p− y)(p− z) + p′(p′ − x′)(p′ − y′)(p′ − z′) ≤√[√ √p′(p′ − x′)
]·[√
(p− y)(p− z) +√
(p′ − y′)(p′ − z′)]≤p(p− x) +√√
(p + p′)(p− x + p′ − x′) ·√
(p− y + p′ − y′)(p− z + p′ − z′) =
4√
(p + p′)(p + p′ − x− x′)(p + p′ − y − y′)(p + p′ − z − z′).
7. Fie Tap clasa triunghiurilor cu baza a şi perimetrul 2p. Demonstraţi că triunghiul isoscel din Tap este figura cu aria maximală în această clasă.
Rezolvare. Admitem că baza a = 2m = BC a triunghiului ABC este situată pe axa Ox, originea O este mijlocul bazei şi vârful A are coordonatele (x,h), h > 0. Notăm q=b+c=2p-a. Fixăm mărimea h > 0 a înălţimii
triunghiului ABC. Admitem că x ≥ 0, B(-m,0) şi C(m,0). Atunci b=22h (m x) şi c=
22h (m x) .
Pentru x=0 obţinem b=c=2h 2m . Examinăm funcţia f(x)=
22h (m x) +22h (m x) . Funcţia
f(x) este nenegativă şi atinge valoarea minimă pentru x=0. Pentru x = 0 triunghiul este isoscel. Acest fapt rezolvă problema.
13
8. Fie Tp clasa triunghiurilor cu perimetrul 2p, adică 2p = a+b+c. Demonstraţi că triunghiul echilateral din
clasa Tp este figura cu aria maximală în această clasă.
Rezolvare. Afirmaţia din problemă este o consecinţă a problemei precedente. Să prezentăm o soluţie
elementară, folosind inegalităţile de tip Cauchy.
1. Fie x,y,u,v mărimi nenegative. Atunci x+y≥2 xy şi x+y+u+v≥4 4 xyuv . Deci,3
zyx=
4
3
zyxzyx
≥ 4
3
zyxxyz şi, prin urmare,
3
zyx=≥ 3 xyz . Acestea sunt inegalităţile
Cauchy.
2. Conform formulei lui Heron, aria triunghiului S= ))()(( cpbpapp . Din inegalitatea lui
Cauchy obţinem p=(p-a)+(p-b)+(a+b-p)≥3 3 ))()(( pbabpap . Deci, p3≥27(p-a)(p-b)(a+b-p).
Prin urmare, S= ))()(( cpbpapp = = ))()(( pbabpapp ≤27
3pp =
9
2p3 . Pentru
a=b=c vom avea egalitatea S=9
2p∙ 3 . Prin urmare, orice triunghi echilateral este soluţie a problemei.
14