Diseo de controladores por el mtodo de respuesta en frecuencia de sistemas discretos. (mtodo grfico)Catedrtico: Dr. Manuel Adam MedinaAlumno: Ing. Jaimes Maldonado Jos LuisCONTROL DIGITAL07-12-2011Compensacin de adelanto, atraso y adelanto-atraso de faseLa compensacindeadelanto produce,enesencia,unmejoramientorazonable enla respuesta transitoria y un cambio pequeo en la precisinen estado estable, Puede acentuar los efectos del ruido de alta frecuencia. Por su parte, la compensacin de atraso produce un mejoramientonotableen laprecisin en estado estable a costade aumentar el tiempode respuestatransitoria.Suprimelosefectosdelas sealesderuidoaaltasfrecuencias. La compensacinde atraso-adelanto combinalascaractersticasdela compensacinde adelanto con las de la compensacin de atraso. El uso de un compensador de atraso o de adelanto aumenta el orden del sistema en 1. El uso de un compensador de atraso-adelanto eleva el orden del sistema en 2, lo cual significa que el sistema se vuelve ms complejo y que es ms difcil controlar el comportamiento de la respuesta transitoria.Procedimiento de diseo en el plano w:1.- Primero obtenga G (z), la transformada z de la planta, precedida por un retn, a continuacin transforme G (z) en una funcin de trasferencia G (w) mediante la transformacin bilineal dada por:2.- Sustituya w=j*v en G (w) y trace el diagrama de Bode para G (j*v)wTwTz'+

'

'+

'

+=21213.- Lea del diagrama de Bode las constantes de error esttico, el margen de fase y el margen de ganancia.4.- Suponiendo que la ganancia en baja frecuencia de la funcin de transferencia del controlador en tiempo discreto GD (w) es la unidad, determine la ganancia del sistema al satisfacer el requisito para una constante dada de error esttico. A continuacin utilizando tcnicas de diseo convencionales para sistemas de control en tiempo continuo, determine los polos y ceros de la funcin de transferencia del controlador digital, entonces la funcin de transferencia del controlador en lazo abierto esta dada por: GD (w)*G (w).5.- Transforme la funcin de transferencia del controlador GD (w) en GD (z) mediante la transformacin bilineal dada por:entonces: funcin de transferencia pulso del controlador digital.11 2+

=zzTz) 1 () 1 ()2() ( ) (+

==zzTwD Dl w G z G6.- Lleve acabo la funcin de transferencia pulso mediante un algoritmo de calculo.EJEMPLO 4-12 Sistemas de control en tiempo discreto, Ogata.Considere el sistemas de control digital que se muestra en la Fig. Disee un controlador digital en el plano w de tal forma que el margen de fase sea 50,el margen de ganancia sea de por lo menos 10 dB, y la constante de error esttico Kv sea 2/seg. Suponga que el periodo de muestreo es 0.2 seg., T=0.2.Diagrama de bloques del sistema de control digital.Solucin: Primero obtenemos la funcin de transferencia pulso G (z) de la planta que esta precedida por un retenedor de orden cero:a continuacin, transformamos la funcin de trasferencia pulso G (z) en una funcin de transferencia G (w) mediante la transformacin bilineal dada por la ecuacin:Entonces:8187 . 0 8187 . 1) 01752 . 0 0187 . 0 () () 8187 . 0 )( 1 () 9356 . 0 (0187 . 0) 1 () 1 () 1 (1) (2212 . 0+ +=|

+=|

+ =|

+

=

z zz Kz Gz zz Ks sKZ zs sKseZ z GswwwTwTz1 . 0 11 . 0 12121

+='+

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'+

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+= )) 1 (1013001) (9966 . 09966 . 0 09633 . 0 000333 . 08187 . 01 . 0 11 . 0 18187 . 11 . 0 11 . 0 101752 . 01 . 0 11 . 0 10187 . 0) (222+'+

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'+

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+=++=+ '+

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+=w ww wKz Gw ww w KwwwwwwKz GUn compensador simple de adelanto de fase probablemente cumplir todos los requisitos. Por tanto, probaremos compensacin mediante adelanto. (si la compensacin en adelanto no satisface todos los requisitos, ser menester utilizar un tipo de compensacin diferente.Supongamos ahora que la funcin de transferencia del controlador digital tiene una ganancia unitaria para el intervalo de baja frecuencia y tiene la forma siguiente:(se trata de un compensador de atraso de fase) sta es una de las formas ms sencillas de la funcin de transferencia del controlador digital. La funcin de transferencia en lazo abierto es:La constante de error de velocidad esttica Kv queda especificada como 2/seg. Por tanto,,11) (www GDEXX++=1 0 Ew ww w Kwww G w GD9969 . 0) 9966 . 0 09633 . 0 000333 . 0 (11) ( ) (22++++=EXX2 ) ( ) ( lim0= = =K w G w wG KDwvLa ganancia K se determina entonces como el escalar 2.Al definir K=2, trazamos el diagrama de Bode de G (w):) 1 (1013001 29969 . 0) 9966 . 0 09633 . 0 000333 . 0 ( 2) ( ) (22+'+

'

'+

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+=++=w ww ww ww ww G w GDLa figura anterior muestra el diagrama de Bode del sistema. Para las curvas de magnitud hemos utilizado asuntotas con lneas rectas. La magnitud y el Angulo de fase de G (j*v) aparecen como curvas punteadas. Note que el cero en v=10 que ocurre en el semiplano derecho de w da retraso de fase. El margen de fase se puede leer del diagrama de Bode, (curvas punteadas) como 30 y el margen de ganancia como 14.4 dB.-Diseemos el compensador de adelanto:--Ya que las especificaciones exigen un margen de fase de 50, el ngulo adicional del adelanto de fase necesario para satisfacer este requisito es de 20. Para obtener un margen de fase de 50 sin reducir el valor de K, el compensador de adelanto debe contribuir al ngulo de adelanto de fase requerido.--Si se considera el corrimiento de la ganancia en la frecuencia de cruce, debemos suponer que el ngulo mximo de adelanto de fase requerido es de aproximadamente 28 (se han aadido 8 para compensar el corrimiento de la ganancia en la frecuencia de cruce); si:el ngulo igual a 28 corresponde a EEJ+

=11msen361 . 0 = EUna vez que el factor de atenuacin (alfa) se ha determinado sobre la base del ngulo de adelanto de fase requerido, el siguiente paso es determinar las frecuencias de esquina del compensador de adelanto:A continuacin encontramos el punto de frecuencia donde la magnitud del sistema no compensado es Para encontrar el punto de frecuencia donde la magnitud es -4.425 dB, sustituimos w=j*v en G (w) y encontramos la magnitud de G (j*v):E EXXEX111/ 1=++= vjvjv) / 1 log( 20 E dB 425 . 4 6643 . 1 log 20 ) 361 . 0 / 1 log( 20== 22 211013001 2) (v vv vjv G+'+

'

+'+

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+=mediante prueba y error, encontramos que v=1.7, la magnitud se convierte en alrededor de -4.4 dB. Seleccionamos esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia entonces:Y el compensador de adelanto determinado es:De el diagrama de Bode vemos que el margen de fase es 50 y el margen de ganancia es 14 dB.la funcin de transferencia del controlador se transformara de regreso al plano z mediante la transformacin bilineal siendo:7 . 11= =EXv9790 . 07 . 11= =EX3534 . 0 = EXwwwww GD3534 . 0 19790 . 0 111) (++=++=EXX1110112 . 0211 2+

=+

=+

=zzzzzzTwEntonces:La funcin de transferencia pulso en lazo abierto del sistema compensado es:La funcin de transferencia pulso diseada en lazo cerrado es:observe que la funcin de transferencia pulso en lazo cerrado implica dos ceros localizados en z=0.9357 y z=0.8145. este ultimo cero prcticamente se cancela con el polo en lazo cerrado en z=0.8126.5589 . 09387 . 1 3798 . 21110 3534 . 0 11110 9790 . 0 1) (

='+

'

++'+

'

++=zzzzzzz GD4576 . 0 8352 . 1 3776 . 20679 . 0 0108 . 0 0891 . 0) 8187 . 0 )( 1 () 9356 . 0 ( 03746 . 05589 . 09387 . 1 3798 . 2) ( ) (2 32 +

= +

=z z zz zz zzzzz G z GD) 3196 . 0 7379 . 0 )( 3196 . 0 7379 . 0 )( 8126 . 0 () 8145 . 0 )( 9357 . 0 ( 0891 . 05255 . 0 8460 . 1 2885 . 20679 . 0 0108 . 0 0891 . 0) () (2 32j z j z zz zz z zz zz Rz C+ += +

=RESPUESTA DEL SISTEMA:0 5 10 15 20 25 30 35 4000. 20. 40. 60. 811. 21. 4res puest aesc al ondels is t emaperiododemues t reo0. 2s egsalida c(k)--La compensacin de adelanto proporciona el resultado deseado mediante su contribucin al adelanto de fase, mientras que la compensacin de retardo logra el resultado a travs de su propiedad de atenuacina altas frecuencias.--La compensacin de adelanto suele usarse para mejorar los mrgenes de estabilidad. La compensacin de adelanto da una frecuencia de cruce de ganancia mas alta que la que puede obtenerse con la compensacin de retardo. --La frecuencia de cruce de ganancia mas alta signica un mayor ancho de banda. Un ancho de banda grande implica una reduccin en el tiempo de asentamiento. Si se desea un ancho de banda grande o una respuesta rpida, debe emplearse la compensacin deadelanto. Sin embargo, si hay seales de ruido, tal vez no esa adecuado un ancho de anda grande, porque esto hace al sistema mas sensible a las seales de ruido, debido a un incremento de la ganancia a altas frecuencias. Se ve la cierta equivalencia entre un compensador de adelanto y un regulador PD, mientras que un compensador de retardo equivale a un PI.En el arreglo de compensacin adelanto-atraso, se tienen mezcladas ambas combinaciones pero cabe mencionar que el sistema se vuelve mas complicado para su anlisis, puede observarse a equivalencia con un regulador PID.Fin